2017—2018学年苏科版九年级数学上册第一次月考数学试卷(含答案)

2017—2018学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：1.若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2．若方程：x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≥13．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3 B．中位数是4 C．极差是4 D．方差是24．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．24πD．30π7．三角形两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2﹣14x+40=0的两根，则该三角形的周长为（）A．14 B．16 C．20 D．14或208．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，P 是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）A．2 B．C．1 D．2二、填空题：9.一元二次方程x2﹣5x=0的解为．10．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=．11．已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为．12．若m2﹣5m+2=0，则2m2﹣10m+2020=．13．已知x=m+1和x=2时，多项式x2+4x+6的值相等，则m的值等于．14．如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于．15．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为．16．在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．17．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是．18．如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O 的半径为1，则AE=．三、解答题（本题共10小题，共96分，解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．（10分）解方程：（1）3x2﹣1=4x（配方法）（2）x2﹣2x=2x+1．20．（8分）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．21．（8分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．22．（9分）中考体育测试满分为40分，某校九年级进行了中考体育模拟测试，随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计分析，并把分析结果绘制成如下两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下列问题：（1）抽取的样本中，成绩为39分的人数有人；（2）抽取的样本中，考试成绩的中位数是分，众数是分；（3）若该校九年级共有500名学生，试根据这次模拟测试成绩估计该校九年级将有多少名学生能得到满分？23．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．25．（10分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．元，那么第二个月的单价应是多少元？26．（12分）某校七年级（1）班为了在王强和李军同学中选班长，进行了一次“演讲”与“民主测评”活动，A，B，C，D，E五位老师为评委对王强，李军的“演讲”打分；该班50名同学分别对王强和李军按“好”，“较好“，“一般“三个等级进行民主测评．统计结果如下图，表．计分规则：①“演讲”得分按“去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分”；②“民主测评”分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；③综合分=“演讲”得分×40%+“民主测评”得分×60%．解答下列问题：（1）演讲得分，王强得分；李军得分；（2）民主测评，王强得分；李军得分；27．（10分）实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠BCA的平分线，交AB于点O；（2）以O为圆心，OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中，（1）AC与⊙O的位置关系是（直接写出答案）（2）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．28．（10分）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（1）当t=8（s）时，试判断点A在半圆O的位置关系；（2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；（3）在（2）的条件下，如果半圆面与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求半圆面与△ABC重叠部分的面积．九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得出a2﹣1=0，求出a=±1，再根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵方程为一元二次方程，∴a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a=1，故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程a2﹣1=0和a+1≠0．2．若方程：x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≥1【考点】根的判别式．【分析】利用方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4m＞0，∴m＜1．故选B．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3 B．中位数是4 C．极差是4 D．方差是2【考点】算术平均数；中位数；极差；方差．【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；根据中位数的定义可求出；对于极差是最大值与最小值的差；方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数【解答】解：在已知样本数据1，2，4，3，5中，平均数是3；极差=5﹣1=4；方差=2．所以根据中位数的定义，中位数是3，所以B不正确．故选：B．【点评】本题考查平均数和中位数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．4．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°【考点】圆周角定理．【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，∴∠D=×50°=25°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解．5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．6．如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．24πD．30π【考点】圆锥的计算；勾股定理．【分析】利用勾股定理可求得圆锥底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的直径为6，则底面半径=3，底面周长=6π．由勾股定理得：母线长=5，∴圆锥的侧面积=×6π×5=15π，故选B．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．7．三角形两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2﹣14x+40=0的两根，则该三角形的周长为（）A．14 B．16 C．20 D．14或20【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】利用三角形三边关系可知：第三边长的范围为：2＜x＜10，求解方程后即可得出第三边的长．【解答】解：由题意可知：第三边长的范围为：2＜x＜10，∵x2﹣14x+40=0，∴x=4或x=10，故第三边长为4，所以三角形周长为：4+6+4=14，故选（A）【点评】本题考查一元二次方程的应用，涉及三角形的周长，属于基础题型．8．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，P 是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）A．2 B．C．1 D．2【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．【分析】作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，即=，∴∠BAD′=∠CAB=15°．∴∠CAD′=45°．∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．∵OC=OD′=AB=1，∴CD′=．故选B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题：9.一元二次方程x2﹣5x=0的解为x1=0，x2=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣5）=0，x=0或x﹣5=0，所以x1=0，x2=5．故答案为x1=0，x2=5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=25°．【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】连接OB，AB与⊙O相切于点B，得到∠OBA=90°，根据三角形内角和得到∠AOB 的度数，然后用三角形外角的性质求出∠C的度数．【解答】解：如图：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=25°．故答案是：25°．【点评】本题考查的是切线的性质，根据求出的性质得到∠OBA的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．11．已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为4．【考点】众数；算术平均数．【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．【解答】解，∵数据3，a，4，5的众数为4，∴a=4，则这组数据的平均数为=4，故答案为：4．【点评】本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．12．若m2﹣5m+2=0，则2m2﹣10m+2020=2016．【考点】代数式求值．【分析】先由m2﹣5m+2=0求得m2﹣5m=﹣2，然后再整体代入求解即可．【解答】解：∵m2﹣5m+2=0，∴m2﹣5m=﹣2．∴2m2﹣10m+2020=2×（﹣2）+2020=﹣4+2020=2016．故答案为：2016．【点评】本题主要考查的是求代数式的值，求得m2﹣5m=﹣2是解题的答案．13．已知x=m+1和x=2时，多项式x2+4x+6的值相等，则m的值等于﹣7或1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据x=m+1和x=2时，多项式x2+4x+6的值相等，得出（m+1）2+4（m+1）+6=22+4×2+6，解方程即可．【解答】解：∵x=m+1和x=2时，多项式x2+4x+6的值相等，∴（m+1）2+4（m+1）+6=22+4×2+6，化简整理，得（m+1）2+4（m+1）﹣12=0，（m+1+6）（m+1﹣2）=0，解得m=﹣7或1．故答案为﹣7或1．【点评】本题考查了多项式以及代数式求值，正确理解题意是解题的关键．本题还可以根据二次函数的对称性求解．14．如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于π．【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解．【解答】解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r=1，则面积S=πr2=π．故答案是：π．【点评】本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键．15．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为2．【考点】一元二次方程的应用．【分析】彩纸面积为相片面积的，设所镶纸边的宽为x厘米，根据面积即可列出方程求解．【解答】解：设所镶纸边的宽为x厘米，根据题意得：2[x（18+2x）+12x]=×12×18，解得：x=2或x=﹣17（舍去），答：所镶纸边的宽约为2厘米．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系比较明显，到最后需检验两个解是否符合题意．16．在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为x1=5，x2=﹣5．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据题意将原式转化为一元二次方程进而利用直接开平方法求出即可．【解答】解：∵a⊕b=a2﹣b2，∴（4⊕3）⊕x=24可化为：（42﹣32）⊕x=24，则72﹣x2=24，故x2=25，解得：x1=5，x2=﹣5．故答案为：x1=5，x2=﹣5．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确利用已知将原式转化为方程是解题关键．17．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是．【考点】切线的性质．【分析】因为PB为切线，所以△OPB是Rt△．又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小．根据垂线段最短，知OP=3时PB最小．根据勾股定理得出结论即可．【解答】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∴PB2=OP2﹣OB2，而OB=2，∴PB2=OP2﹣4，即PB=，当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PB的最小值为=．故答案为：．【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．18．如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O 的半径为1，则AE=1．【考点】切线的性质；等边三角形的性质．【分析】作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，根据等边三角形的性质得∠BOC=120°，则∠OBC=30°，可计算得OH=，BH=，再根据垂径定理得BC=2BH=；然后根据切线的性质得OB⊥DB，易判断四边形BDFO为矩形，则DF=OB=1，设AF=x，则EF=x，DE=1﹣x，AD=1+x，接着根据切割线定理得到BD2=1﹣x2，然后在Rt△ABD中利用根据定理可得到（1+x）2+1﹣x2=（）2，解得x=，由此得到AE=2x=1．【解答】解：如图所示：作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE．∵△ABC为等边三角形，∴∠BOC=120°．∴∠OBC=30°．在Rt△OBH中，OH=OB=，∴BH=OH=．∵OH⊥BC，∴BH=CH．∴BC=2BH=，∴AB=．∵BD切⊙O于B，∴OB⊥DB．∵AD⊥BD，OH⊥BC，∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF．∴四边形BDFO为矩形．∴DF=OB=1．设AF=x，则EF=x，DE=1﹣x，AD=1+x，∵BD⊙O的切线，∴BD2=DE•DA=（1﹣x）（1+x）=1﹣x2．在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴（1+x）2+1﹣x2=（）2，解得x=．∴AE=2x=1．故答案为：1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、切割线定理和等边三角形性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题（本题共10小题，共96分，解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）19．（10分）（2016秋•盱眙县校级月考）解方程：（1）3x2﹣1=4x（配方法）（2）x2﹣2x=2x+1．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】利用配方法即可求出一元二次方程的解．【解答】解：（1）3x2﹣4x=1，3（x2﹣x）=1，3（x2﹣x+﹣）=1，3（x﹣）2﹣=1，3（x﹣）2=，（x﹣）2=，∴x=；（2）x2﹣4x=1，x2﹣4x+4=5，（x﹣2）2=5，∴x=2±．【点评】本题考查一元二次方程的解法，本题采用配方法求解，关键是找出一次项系数的一半的平方即可．20．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定．【分析】求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE，从而判定等腰三角形．【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定的知识，属于基础题，相对比较简单．21．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可计算出太阳在海平线以下部分的高度，根据太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟即可得出结论．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD=AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD==3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟．【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．中考体育测试满分为40分，某校九年级进行了中考体育模拟测试，随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计分析，并把分析结果绘制成如下两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下列问题：（1）抽取的样本中，成绩为39分的人数有14人；（2）抽取的样本中，考试成绩的中位数是39分，众数是40分；（3）若该校九年级共有500名学生，试根据这次模拟测试成绩估计该校九年级将有多少名学生能得到满分？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）先通过38分的人数和所占的百分比求出样本总数，再减去其他得分人数，即可得到成绩为39分的人数；（2）数据按从小到大顺序排列，最中间的数（或中间两数的平均数）即为中位数，众数指数据中出现次数最多的数；（3）用九年级学生数乘以这次模拟测试成绩满分所占百分比即可．【解答】解：（1）样本总数为10÷20%=50，成绩为39分的人数=50﹣20﹣10﹣4﹣2=14（人）；（2）数据总数为50，中位数为第25、26位数的平均数，所以中位数为（39+39）÷2=39，数据40出现了20次，出现次数最多，所经众数是40；（3）满分所占百分比为20÷50=40%∴该校九年级能得到满分人数为500×40%=200（人）．所以估计这次模拟测试成绩该校九年级有200名学生能得到满分．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了中位数、众数的定义和用样本估计总体．23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．24．（10分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．25．（10分）（2010•南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．元，那么第二个月的单价应是多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．80×200+（80﹣x）（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800=9000整理得10x2﹣200x+1000=0，即x2﹣20x+100=0，解得x1=x2=10当x=10时，80﹣x=70＞50答：第二个月的单价应是70元．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．26．（12分）（2010•遵义）某校七年级（1）班为了在王强和李军同学中选班长，进行了一次“演讲”与“民主测评”活动，A，B，C，D，E五位老师为评委对王强，李军的“演讲”打分；该班50名同学分别对王强和李军按“好”，“较好“，“一般“三个等级进行民主测评．统计结果如下图，表．计分规则：①“演讲”得分按“去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分”；②“民主测评”分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；③综合分=“演讲”得分×40%+“民主测评”得分×60%．解答下列问题：（1）演讲得分，王强得92分；李军得89分；（2）民主测评，王强得87分；李军得92分；【考点】加权平均数；统计表；条形统计图．【分析】（1）只要运用求平均数公式：即可求出；（2）王强“好”票40张，“较好”票7张，“一般”票3张，李军“好”票44张，“较好”票4张，“一般”票2张，分别代入即可求得民主测评分；（3）把（2）的结果代入即可求得综合得分．【解答】解：（1）王强演讲得分=（90+92+94）÷3=92分，李军演讲得分=（89+87+91）÷3=89分；（2）民主测评，王强：40×2+7×1+3×0=87分，李军：44×2+4×1+2×0=92分；（3）综合得分，王强：92×40%+87×60%=89分，李军：89×40%+92×60%=90.8分．李军当选班长，因为李军的综合得分高．【点评】此题把平均数、统计表和条形统计图结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．27．（10分）（2013秋•徐州期末）实践操作：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠BCA的平分线，交AB于点O；（2）以O为圆心，OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中，（1）AC与⊙O的位置关系是相切（直接写出答案）（2）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．【考点】作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．【分析】实践操作：（1）根据角平分线的做法得出即可；（2）利用以O为圆心，OB为半径作圆直接得出即可；综合运用：（1）根据切线的判定方法直接得出即可；（2）利用切线长定理以及勾股定理求出⊙O的半径即可．【解答】解：实践操作：（1）如图所示：CO即为所求；（2）如图所示：⊙O即为所求；综合运用：（1）AC与⊙O的位置关系是：相切；故答案为：相切；（2）过点O连接AC与⊙O的切点E，∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，∴AC==10，由题意可得出：CB⊙O的切点为B，则CE=CB=6，设BO=x，则EO=x，AO=6﹣x，AE=10﹣6=4，∴在Rt△AOE中，AE2+EO2=AO2，即42+x2=（8﹣x）2，解得：x=3，∴⊙O的半径为：3．【点评】此题主要考查了角平分线的做法以及勾股定理和切线长定理以及切线的判定等知识，熟练利用切线的判定定理是解题关键．28．（10分）（2015秋•北塘区期中）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O 在△ABC的左侧，OC=8cm．（1）当t=8（s）时，试判断点A在半圆O的位置关系；（2）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；（3）在（2）的条件下，如果半圆面与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求半圆面与△ABC重叠部分的面积．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据线段AC的长度可知当t=0（s）时，点A在半圆外，由条件可知CO=8，在Rt△ACO中可求得AO=4，所以当t=8时点A在半圆外；（2）过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC 的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=4；当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t；（3）在（2）的条件下，只有当t=4时符合条件，利用圆扇形的面积可求得面积．【解答】解：（1）当t=8时，如图，此时OC=8，在Rt△ACO中，AC=4，则AO=4＞6，。