2020高一数学新教材必修1教案学案 第四章总结及测试解析版

第四章总结及测试一．单选题（每题5分，共60分）1．已知关于x 的不等式42133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，则该不等式的解集为（ ）A ．［4，+∞)B ．(-4，+∞)C ．(-∞,-4 )D ．(]4,1- 【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为4233x x -+->，由于指数函数3xy =为增函数，故42,4x x x -+>->-，故选B.2．已知f(x)是定义域为R 的偶函数，且x ≥0时，f(x)=(12)x ，则不等式f(x)>12的解集为( ) A ．(−14,14) B ．(−12,12) C ．(−2,2) D ．(−1,1)【答案】D【解析】由题意得，当x ≥0时，f(x)=(12)x ，则不等式f(x)>12，即(12)x >12，解得0≤x <1；又因为函数f(x)是定义域为R 的偶函数，当x <0时，f (x )=2x ，则不等式f(x)>12，即2x >12，解得−1<x <0，所以不等式f(x)>12的解集为{x|−1<x <1}，故选D ．3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是：b a c >>.故选：D ．4．下列四个函数中，在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．2log y x =B ．1y x=C ．12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．23y x =【答案】B【解析】A.2log y x =在()0,∞+上是增函数，∴2log y x =在()0,1上是增函数，故错；B.1y x =在()0,∞+上是减函数，1y x∴=在()0,1上是减函数，故对； C.12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数，12xy ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在()0,1上是增函数，故错； D.23y x =在()0,∞+上是增函数，∴23y x =在()0,1上是增函数，故错.故选：B 。

5．已知函数()22()log 67f x x x =-++的值域记为集合A ，函数()g x =B ，则有（ ） A ．R B C A ⊆ B ．R A C B ⊆C ．A B ⊆D ．B A ⊆【答案】D【解析】令267t x x =-++，0t >当3x =时，2max 363716t =-+⨯+=，此时max 2()log 164f x ==所以函数()22()log 67f x x x =-++的值域为：(],4A =-∞在函数()g x =201616x ≤-≤所以函数()g x []0,4B =所以B A ⊆故选：D6．设a ，b 都是不等于1的正数，则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若log a 3<log b 3，当a 、b 都大于1，log a 3>0,log b 3>0 此时1loga3>1log b 3⇒log 3a >log 3b得出a >b >1当a 、b 都大于0小于1时，log a 3<0,log b 3<0 此时1loga3>1log b 3⇒log 3a >log 3b得出0<b <a <1所以综上可得“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件 故选A7．函数1()322xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A ．(21)--，B ．(10)-，C ．(01)，D ．(12)，【答案】C【解析】由已知可知，函数f （x ）=3x +12x ﹣2单调递增且连续 ∵2613321001010962f f f f =-=-=-=>（﹣），（﹣）＜，（）＜，（） ∴010f f ⋅（）（）＜，由函数的零点判定定理可知，函数32x f x x =+（）﹣的一个零点所在的区间是（0，1），故选C.8．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为213log (32)y x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x > 令232t x x =-+，因为232y x x =-+的图像开口向上，对称轴方程为32x = ， 所以内函数232t x x =-+在()2,+∞上单调递增，外函数13log y t =单调递减，所以由复合函数单调性的性质可知函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为()2,+∞ 故选A.9．函数f(x)=a x−1−2(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx −ny −1=0上，其中m >0，n>0，则1m +2n的最小值为（）A.4B.5C.6D.3+2√2【答案】D【解析】令x−1=0，得x=1，则f(1)=a0−2=−1，∴函数y=f(x)的图象恒过点A(1,−1)，点A在直线mx−ny−1=0上，可得m+n=1，由基本不等式得1m +2n=(1m+2n)(m+n)=nm+2mn+3≥2√nm⋅2mn+3=3+2√2，当且仅当n=√2m时，等号成立，因此，1m +2n的最小值为3+2√2，故选：D.10．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x−log12x，h(x)＝log2x－√x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )A.x1＞x2＞x3B.x2＞x1＞x3C.x1＞x3＞x2D.x3＞x2＞x1【答案】D【解析】∵f（x）＝2x+x，g（x）＝x−log12x都是单调递增函数，∴f（x）＝2x+x，g（x）＝x−log12x，均只有一个零点，∵f（﹣1）=12−1=−12＜0，f（0）＝1＞0，∴f（x）＝2x+x的零点x1∈（﹣1，0）．∵limx→0g（x）＝﹣∞，g（1）＝1＞0∴g（x）的零点x2∈（0，1）；又h（x）＝log2x−√x=0，即log2x=√x的交点的横坐标∵h（4）＝0∴h（x）的零点x3＝4，∴x1＜x2＜x3．故选：D11．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A．等于12.5 B．12.5到12.6之间C．等于12.6 D．大于12.6【答案】D【解析】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，故选D ．12．已知函数f (x )＝{−x 2−2x +3,x ≤1lnx,x >1,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.(12,√e ) B.[12,√e) C.(12,√e e ]D.(12,√ee) 【答案】D【解析】若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ， 则k ＝lnm+12m＝1m ，∴m ＝√e .此时，k ＝1m ＝√ee，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是(12,√ee)，故选D ..二、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．【答案】－32【解析】①当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1，0]上单调递减，由题意可得(1)0,(0)1,f f -=⎧⎨=-⎩即100,1,a b a b -⎧+=⎨+=-⎩解得1,22,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩此时a ＋b ＝－32.②当a ＞1时，函数f (x )在[－1，0]上单调递增，由题意可得(1)1,(0)0,f f -=-⎧⎨=⎩即101,0,a b a b -⎧+=-⎨+=⎩显然无解.所以a ＋b ＝－32.故答案为：－3214．函数()()20f x x x =>的反函数为___________【答案】0y x =>【解析】当0x >时，20x >，即()0f x >又x=y ⇒=∴反函数为：y =0x >15．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．【答案】(1,)+∞【解析】()2212log 232301y x x x x x =+-⇒+->⇒>或3x <-12log y x =为减函数，要求()212log 23y x x =+-的单调递减区间即2()23f x x x =+-的增区间：1x ≥- 综上所诉：1x > 故答案为：(1,)+∞16．已知函数()()231,2log 2,x x af x x x a ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[]2,0-【解析】因为二次函数212y x =在区间(],a -∞上单调递减，所以a ≤0.由x +2＞0，所以x ＞-2.所以2a ≥-.故a 的取值范围为[]2,0-.三、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17．计算:(1)11321125(lg 252lg )1001)()264--÷+-（2）21123321lg3lg9114125()()100227lg81lg 27--+-+-++-； （3）5log 35233log 8log 5255log 2log lg 4l 3g 2295⋅++-+．（4）已知15a a -+=，求22a a -+的值；（5）求13102322564()[(2)](0.01)9---+-+的值.【答案】(1)25（2）37；（3）8.（4）23；（5）21 【解析】（1）原式=()11233215lg25lg 10144-⎛⎫-÷+- ⎪⎝⎭（（）） ()42lg10010155=÷+-=（2）原式=21123321lg3lg9114125()()100227lg81lg 27--+-+-++-lg 32543103637lg 3lg 27=+-++=+=,（3）原式=5log 35233log 8log 5255log 2log lg 4l 3g 2295⋅++-+52log 35523333log log 55log 2log lg123239log 989002⨯⋅+++=+-==（4）由题意，可得2211211()2a a a a a a ---+=+-⋅，又由15a a -+=，所以2225223a a -+=-=.（5）由11310263322564()[(2)](0.01)(2)181041810219---+-+=-++=-++=.18．已知()()()()log 1log 10,1a a f x x x a a =+-->≠且(1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证；;(3)求使()f x >0成立的x 的取值范围.【答案】（1）{|11}x x -<<；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）由题得1010x x +>⎧⎨->⎩，所以11x -<<，所以函数的定义域为{|11}x x -<<； （2）函数的定义域为{|11}x x -<<，所以函数的定义域关于原点对称，所以()()()log 1log 1()a a f x x x f x -=--+=-,所以函数f(x)为奇函数.(3)由题得()1log 0log 11a a x f x x +⎛⎫=>= ⎪-⎝⎭，当a ＞1时，所以1+1,011xx x >∴<<-,因为函数的定义域为{|11}x x -<<，所以01x <<；当0＜a ＜1时，所以11,101+11x x xx -<<⎧⎪∴-<<⎨<⎪-⎩.19．已知函数22()log (21)xf x ax =++．（1）若()f x 是定义在R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若()()2g x f x =-，求函数()g x 的零点．【答案】（1）1a =-；（2）()g x有两个零点，分别为2log (2和2log (2【解析】(1)解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数.∴()()11f f -=，即225log log 54a a -=+ 故22251log log 5log 44122a -===-.（2）依题意()()22log 212x g x x =+-- ()2222log 21log 2x x +=+-.则由22212x x ++=，得()()224210x x -+=， 令2(0)x t t =>，则2410t t -+=解得1222t t ==.即((1222log 2,log 2x x ==+.∴函数()g x 有两个零点，分别为(2log 2和(2log 2.20某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) ≤75恒成立;③()5x f x ≤恒成立． (1)判断函数() 1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2] 【解析】(1)对于函数模型()1030x f x =+, 当x ∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数()5xf x ≤恒成立，即10305x x +≤,解得x ≥60．∴()5x f x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030x f x =+，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求．(2)当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225xa x ≤++, ∵25225xx +≥，当且仅当x=25时取等号，∴a 2≤2+2=4∵a ≥1, ∴1≤a ≤2, 故a 的取值范围为[1，2]21．已知函数f （x ）=（13）x+a 的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a 的取值范围；（2）设g （a ）=f （a ）–f （a +1），求g （a ）的取值范围．【答案】（1）a <–1．（2）g （a ）的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）如图，∵函数f （x ）=（13）x +a 的图象经过第二、三、四象限，∴a ＜-1；（2）g （a ）=f （a ）−f （a +1）=(13)a +a −(13)a+1−a =(13)a (1−13)＝23⋅(13)a ．∵a ＜-1，∴(13)a＞3，则23⋅(13)a ＞2． 故g （a ）的取值范围是（2，+∞）．22．已知函数()f x 满足22()log log (1)f x x ax +=+．（Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程12()2log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的值； （Ⅲ）设0a >，若对13,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）{|01}x x <<； （Ⅱ）0a ≥或14a =-；（Ⅲ）2[).3+∞，. 【解析】 （Ⅰ）由题意可得201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，得112x +>，解得{|01}x x <<。