2.5等比数列的前n项和(1)
人教版高中数学必修五《数列》2.5等比数列的前n项和(1)
教学过程
实例引入
“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比前一天多1万元；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”你能帮助这个穷人出个主意么？
上面等式成立的条件为 。若 时，
3、在 时，根据等比数列的通项公式 ，代入公式可以得到什么样的结论？
……公式2
4、在 时，在公式1与公式2中一共牵涉几个元素，我们只要知道其中的几个就可以求出其它的？分别用在什么情况下？
公式中共有 ， ， ， ， 五个元素，类比等差数列，我们可以知道其中任意三个，就可以建立方程组求出另外两个。
若已知 与 ，则用公式1较好；若已知 与 ，则用公式2比较好。
结论：
等比数列的前 项和公式：
等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和 ：
§2.5 等比数列的前 项和
（第一课时）
教学内容分析
本节课是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
教学目标
1、理解并掌握等比数列前 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的简单问题；
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的求解练习(含解析)新
第1课时 等比数列前n 项和的求解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为() A ．63 B ．64 C ．127 D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127.答案：C2．设在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为() A.154B.152C.74D.72解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1（1－q 4）（1－q ）·a 1q 2＝（1－q 4）（1－q ）q 2＝1－24（1－2）×22＝154. 答案：A3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于()A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. 因为S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，所以q m＝8. 所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8， 所以q ＝2. 答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________．解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1（1－833）1－8＝4a 1（299－1）7＝47×30＝1207.答案：12077．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －28．(2016·某某卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1， 所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1121 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n 及其前n 项和S n ； (2)设b n ＝1＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前10项和T 10.解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1，S n ＝1（1－3n ）1－3＝3n－12.(2)由(1)知b n ＝1＋log 3a n ＝1＋(n －1)＝n ， 则1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T 10＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②① —②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.B 级 能力提升1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，即S n ＝2n－1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)．答案：D2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则该数列的项数n ＝________．解析：a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）q 4a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2.因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－2）1－q ＝－a 11－q ＝1，所以a 11－q ＝－1.所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝q n－1＝15，所以q n＝16，即(q 4)n4＝24，所以n4＝4，所以n ＝16.答案：163．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝5，4a 23＝a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝2，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设＝a nb n b n ＋1，求数列{}的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 23＝a 2a 6得4a 23＝a 24，所以q 2＝4，由条件可知q >0，故q ＝2，由a 1＋2a 2＝5得a 1＋2a 1q ＝5，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由b n ＋1＝b n ＋a n 得b n ＋1－b n ＝2n －1，故b 2－b 1＝20，b 3－b 2＝21，……，b n －b n －1＝2n －2(n ≥2)，以上n －1个等式相加得b n －b 1＝1＋21＋…＋2n －2＝1·（1－2n －1）1－2＝2n －1－1，由b 1＝2，所以b n ＝2n －1＋1(n ≥2)．当n ＝1时，符合上式，故b n ＝2n －1＋1(n ∈N *)．(3)＝a nb n b n ＋1＝b n ＋1－b n b n b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝12－12n ＋1.。
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减 自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1， 所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4， 即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学
• 『规律总结(zǒngjié)』 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时 ，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
第六页，共五十页。
• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量 公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
第三十一页，共五十页。
(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)， 由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－ －65kk＝ ＝1－5b91，， 解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第一页，共五十页。
第二章
数列(shùliè)
等比数列 的前 项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时 第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共五十页。
自主预习(yùxí)学案
2.5等比数列的前n项和(1)
课堂反思
公式的推导方法二：
由等比数列的定义， ，
有 ，
即 .
∴ （结论同上）
公式的推导方法三：
＝
＝ ＝ .
∴ （结论同上）
3自学检测
（1）求等比数列 ， ， ，…的前8项的和.
二.合作交流
1 ， .求此等比数列的前5项和.
2.等比数列中， .
三.拓展延伸
1、一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）
四、当堂训练
1.数列1， ， ， ，…， ，…的前n项和为（）.
A. B.
C. D.以上都不对
2.等比数列中，已知 ， ，则 （）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3.设 是由正数组成的等比数列，公比为2，且 ，那么 （）.
A. B. C. 1 D.
4.等比数列的各项都是正数，若 ，则它的前5项和为.
年级：高二学科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.5等比数列的前n项和(1)
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：________组名：________姓名：________时间：__
一.自主学习
1学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式；
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
2学习指导
阅读教材,回答下面问题：
探究任务：等比数列的前n项和
故事：“比数列的前n项和公式
设等比数列 它的前n项和是 ，公比为q≠0，
2.5 §1等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：2.等比数列的通项公式：3.等比数列的性质：知识探究探究（一）等比数列前n项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？问题2：该数列的前n项和S n怎样表示呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：那么该数列2S n的表达式如何？问题5：S n与2S n的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？探究新知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，如何求它的前n项和S n呢？问题1：等比数列的前n项和S n怎样表示呢？问题2：前n项和S n采用什么方法，怎样化简呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有相同的项，如何构造式子？问题5：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？思考：你还有其他方法去推导等比数列前n项和公式吗？1.等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q(q ≠1)思考1：根据求和公式，要求一个等比数列的前n 项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将S n 和用a 1， q ，a n 来表示？思考3：q ≠1时，应该怎样选用哪个公式？探究（二）错位相减法求和问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n∴12S n ＝_______________________________ ∴S n －12S n ＝_______________________________即12S n ＝__________________＝__________________ ∴S n ＝__________________＝__________________小结：典例讲练例1.设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求公比q 的值．例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .变式：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .例4.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ＝______________．例5.求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．课堂小结：这节课我们主要学习了什么？ 首项、末项与公比 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝a 1－qa n1－qq2.两种方法：错位相减、解方程推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．3.三种数学思想：类比、方程、分类讨论 课后作业1.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0，a 2=34-，则{a n }的前10项和等于( ) A.()-10-61-3B.()-1011-39C.()-1031-3D.()-1031+32.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则( ) A.11 B.5 C.-8D.-113.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且，则数列的前5项和为( ) A.或5 B.或5 C. D.52S S =369s s =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭158311631161584.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，,则S n =( )A. 2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －15.已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n +a n +2)=5a n +1，则数列{a n }的公比q = _______.6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.7.在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于________．8.已知等比数列{a n }的公比为q =-12. （1）若a 3=41，求数列{a n }的前n 项和； （Ⅱ）证明：对任意k ∈N +，a k ，a k +2，a k +1成等差数列.9.已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和.2.5 等比数列的前n 项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题． 知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0).数学符号表述:a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1(n ∈N *)或a n ＝a m ·q n －m . 3.等比数列的性质：在等比数列{a n }中，若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n =a p ·a q . 推论1:若m+n =2p ，则a m ·a n =a p 2.推论2:若{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积，即a 1a n ＝a 2a n －1＝….知识探究探究（一）等比数列前n 项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n ，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？【提示】首项为1，公比为2.问题2：该数列的前n 项和S n 怎样表示呢？【提示】数列的前n 项和S n ＝1＋2＋22＋…＋2n -1①问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？【提示】后项=前项×公比。
2018版高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和(一) 新人教A版必修5
本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设{an}的公比为q，依题意得
a1q＝3 a1q4＝81
，解得aq1＝＝31
，
因此，an＝3n－1，Sn＝111－－33n＝3n－2 1.
解析答案
1 (2)设 bn＝1＋log3an，求数列bn·bn＋1的前 10 项和 T10.
＋a5＋a6＋a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q＝3，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4＝a111－－334＝40a1，又 a2＝3a1， ∴Sa42＝430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5＝a2·q3，∴q3＝2943＝27. ∴公比q＝3，从而a1＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝311－－334＝120.
解析答案
12345
5．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ________，S5＝________．
2.5等比数列前n项和(1)
等比数列的前n 项和【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导方法． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= ② 思考：①,②的右边相同的项有 1 ； 如何消去这些相同的项？ 得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn= （q ≠1）； 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn= （q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 当ｑ=１时，Sn= ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？ ； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = ，从函数的角度看，可以由指数函数n q 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()．()A 63 ()B 64 ()C 127()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn ． 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a , =2a ,=3a ,a 的值为 ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = ；n = .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = ；q = .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{.12⋅=-=1.若等比数列{}n a 前n 项的和,5m s n n +=则()=m ．()1-A ()1B ()5-C ()5D ．2. 若等比数列{}n a 前n 项的和,13-=n n s 则此数列为().()A 等差数列 ()B 等比数列 ()C 常数数列 ()D 递减数列．3. 在等比数列{}n a 中，（1）已知64,141=-=a a ，则=q ，=4s ； （2）已知,29,2333==s a ，则=q ，=1a 或=q ，=1a ． 4.如果一个等比数列{}n a 前5项的和为10，前10项的和为50，那么它15项的和 为 ．5. 在等比数列{}n a 中，已知12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++．6.已知n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，求证582,,a a a 成等差数列．1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()=24a s ．()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2.（2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-=必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 【难点】1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；2. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1．教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①② 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② 思考：①,②的右边相同的项有 a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ；如何消去这些相同的项？用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1）；又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qqa a n --11（q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 数列的通项由两部分的积组成，一部分是等差数列，一部分是等比数列 当ｑ=１时，Sn= 1na ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？知其中三个通过联立方程（组）求另外两个； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = n A Aq - ，从函数的角度看可以由指数函数nq 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为()()111,(1).n n n s a s s a n -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩ 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()C ．()A 63 ()B 64 ()C 127 ()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn 答：（1）189n s =；（2）9145n s =-（3）211n s =或55.n s = 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a 2 , =2a 6 ,=3a 18 ,a 的值为 1- ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 解：231010173757197,s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2351011107173757177197.s ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯两式相减得：23101110617272727197,s -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯121014479s +⨯∴=．【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质 例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【审题要津】这里能用的公式有等比数列通项公式与前n 项和公式，而前n 项和公式只有两种情况，直接利用公式或通过通项公式转化．解：（1）①8181112211255,,12225612a q s ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==∴==-； ②8191127,,27,243243a a q ==∴=⨯8116400,,.381q q s <∴=-∴= （2）10410412121008.1212s s ---=-=-- （3）1211128,66n n n a a a a a a -==+=，12,64n a a ∴==或164, 2.n a a ==当1q >时，264126.1n qs q-==-解得2,q =6;n = 当1q <时，642126.1n qs q-==-解得1,2q = 6.n =【方法总结】结合等比数列通项公式与前n 项和公式，正确分析条件，选择恰当的公式求解．【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = 17 .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = -5 ；n = 7 .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = -3 ；q = -2 .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础，注意它们基本公式在解题的思路和作用.解：（1）设数列{}n a 的公差d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,4a d ==.故{}n a 的通项公式为4 1.n a n =+ （2）由41n a n =+得412,n n b +=当412,2,nn b n b -≥= 所以{}n b 是首项512,b =公比42q =的等比数列. 故得{}n b 的前n 项和()()54442213221.2115n n n s --==-【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ．【审题要津】观察数列的通项，适当变形后，转化为等差或等比数列求解． 解：（1）拆项法求和()2123n s a a a n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+1(1)(1)12n a a n n s a a +-+∴=-≠-当 (1)1,.2n n a s na +==-（2）错位相减法求和12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s n n n nx x n x x xs +-+⋅⋅⋅++=∴-12)1(2 n n n nx x x x s x -+⋅⋅⋅+++=-∴-121)1( 当1x ≠时，;1)1(12xnx x x s nn n ----= 当1x =时，.2)1(+=n n s n 【方法总结】认真观察分析数列的通项，（1）拆项法求和：适当变形后，转化为两个等差或等比数列求和后再求和差；（2）当数列的通项可化为等差与等比的积或商时，可用错位相减法求和；（3）应用并体会数列求和中的转化的思想方法． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{2⋅=-=.2)94(182)94(182)54(21)21(4422)54(242②① ② ,2)54(2)94(22①,2)54(232,25)(4n (2)b 1.a 4,d }{a ,45)1(45n 4a a ，2n *).(54a ，a .54)1(31)-2(n 3n 2n S S a ，2n 1,S a 1:1n 1n 1n 11n 2112n 21n 1n 1n n n 1221n n n 11+++-++--⋅-+=∴⋅---=⋅----⋅+-=⋅-++⋅+-=--⋅-+⋅-++-=⋅-++⋅+-=∴⋅-=-===+---=-≥∈-=-=-+--=-=≥-==n T n n n T n n T n T n N n n n n n n n n n n n n 得是等差数列且所以时当故适合上式又时当）证明（解1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()C a s =24． ()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2. （2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-= 解：()() 1.1)2(n 2n 1)(2 2n 2221S 两边相减得,2n 2222S 得：2两边乘以,2n 23221S 2n a 即n,2a 知1 2.的等差数列1公差为1,是首项首}{b 因此1,a b 又 1.b 12a 222a 2a b 得22a a 由已知数 (1) n n n n 1n 21n n 2n 1n 21n 1n n 1n nn 11n 1n n n n n n 1n 1n n n 1n +-=⋅+--=⋅+-⋯----=⋅+⋯+⋅+=⋅+⋯+⋅+⋅+=⋅====+=+=+==+=-----+-+由。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
2.5 等比数列的前n项和(一)
2.5 等比数列的前n 项和（一）一．目标定向：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式的证明思路；2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．二．回顾思考1．复习回顾：(1) 等比数列的定义：(2) 等比数列｛a n ｝的公比为q ，则=-+q a a n 1n =-q a q a n n 1(3) 等比数列的通项公式：2．探索研究：国王奖赏国际象棋发明者……你能计算出国际象棋盘中麦粒数吗？（1）6322221++++ =（2）若q ≠1,则121-++++n q q q =（3）对于一般的等比数列｛a n ｝，若q ≠1,其前n 项和112111-++++=n n q a q a q a a S 如何化简？如果q=1呢？（4）等比数列的前n 项和公式可以怎样写？ 三．分组讨论1．分小组就以上几个问题进行交流讨论，教师点拔．2．师生共同小结．四．例题讲释例1．求下列等比数列的前8项和…（1）21，41，81，… (2) 1，2，22，…（3）2，2，2，…例2．在等比数列｛a n ｝中，a 1=1，a n =－32，S n =－21，求公比q 和项数n ．五．当堂检测1．等比数列⋯,81,41,21的前多少项和为6463； 2．等比数列｛a n ｝中，a 1=41，a 3 =1，求S 5； 3．等比数列｛a n ｝中，3a 2=，9a 3=，求其通项公式n a 及其前n 项和n S ．六．探究反思1．甲乙两人约定甲每天都给乙一百元钱，乙则第一天给甲一元钱，第二天给甲两元钱，第三天给甲四元钱，即乙后一天给甲的钱是前一天的两倍。
问10天后甲乙两人谁赢谁亏？ 2（1）求等比数列⋯,b ,b ,b ,132的前n 项和.S n(2)若数列{}n a 的通项公式为n n b a =，求其前n 项和n S。
内蒙古赤峰二中高一数学新人教B版必修5教案2.5《等比数列的前n项和》(1)
2.5等比数列的前n 项和（1）教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题.教学方法 启发引导式教学法教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列{}na 中，公比为q ，则1kk a q a+-=II ）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++=Λ21。
分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-（1）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。
（2）1=q 时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式q q a a S n n --=11总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q qq a S n n 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q qqa a S n n注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。
二．例题讲解例1．课本63页例1例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？例3．求等比数列Λ,83,43,23从第7项到第15项的和。
例4．已知等比数列{}na 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n 。
例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若3221a S =+，4321a S =+，求公比q 。
等比数列的前n项和(1)
课题：§2.5等比数列的前n项和教学目标：（一）知识目标掌握等比数列前n项和公式，理解公式的推导过程，熟练运用公式。
（二）能力目标1、通过推导等比数列的前n项和公式，学会错位相减法求和的方法。
2、培养学生的方程思想和分类思想。
（三）情感目标通过有趣的情境引入形成良好的课堂气氛，增强学生的学习数学的兴趣。
教学重点：等比数列的前n项和公式的推导过程和运用。
教学难点：公式推导过程的理解。
教学关键：利用“错位相减法”来推导公式。
教学方法：问题探究法，讲练结合法等。
教学准备：多媒体、彩色粉笔。
课型：新授课。
教学过程（一）情景引入，感知新知国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2格子里放上2颗麦粒，在第3格子里放上4颗麦粒，在第4格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。
提问：国王需要给发明者多少颗麦粒呢？让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
我们就用64S 来表示，则?22221633264=+++++= S我们要怎么才能很好地求出这个棋盘上总的麦粒数呢？（二）公式推导 一般地，设等比数列 ,,,,,321n a a a a 是以1a 为首项，)0(≠q q 为公比，那么它的前n 项和是n n a a a a S ++++= 321根据通项公式11-=n n q a a ，上式可写成112111-++++=n n q a q a q a a S （1）从这个等式我们知道n S 为n 项相加，计算起来比较难，若只有两项或三项就大降低计算量，从而我就提出三个问题让同学们思考。
等比数列前n项和案例
案例课题：2.5等比数列的前n项和（第1课时）教材：数学必修5（人教A版）授课教师：一、教学内容与学情分析本节课的内容是：数学必修五第二章第五节等比数列前n项和第一节，等比数列前n项和公式推导.与等差数列的前n项和公式一样，等比数列的前n项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出任意等比数列的前n项的和，教材中，等比数列前n项和的推导方法时“错位相减法”，这也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的。
也可以让学生探究其它的求和算法，学生已掌握了等比数列的定义及通项公式；并有探究等差数列前n 项和的经验；学生个性活泼，思维活跃，积极性高，已具有对数学问题探究的能力；高中学生智力、非智力因素有很大差别,存在明显的个性差异；还没有建立起运用方程思想、由一般到特殊等数学思想解决问题的思维结构.本节课从学生已有知识出发，创设了有助于激发学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在生动活泼地、主动地、富有个性地学习中获得广泛的数学活动经验.二、教学目标根据《课标》要求和教学内容的结构特征，依据学生的认知能力和数学思维特征，本着素质教育为主的宗旨，特设定目标如下：知识与技能目标：识记等比数列前n项和公式；理解并掌握公式的推导方法、会运用错位相减发解决类似数列求和问题.过程与方法目标：在形成公式的过程中，培养学生观察、分析、从特殊到一般的能力，初步感受数学的错位美，知识间的迁移转换能力，自主发现问题、解决问题的发展能力.情感、态度、价值观目标：本节课的宗旨是学生主体参与.让学生通过观察、联想、猜测、探求、归纳等合情推理，鼓励学生多角度思维、勇于探索。
优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
三、教学重点、难点、关键点本节课的重点是公式的推导、推导方法的迁移运用、公式的简单运用.难点是公式的推导、推导方法的迁移运用.关键点是要通过创设情景引导学生主动探索前n 项和公式的推导，使教学过程体现流畅、自然.让学生在不知不觉中依个性思维进行了“合情推理”的思维训练.四 、课堂过程实施（1）新课背景知识复习1）请同学们说出等比数列的基本量？通项公式？及 q=1时，数列的性质？设计意图：基本量是研究等差、等比数列有关问题的最基本的方法；q 和1的关系是研究等比数列相关问题讨论的一个关键点.也为这节课公式推导方向及注意点作一个必要的铺垫.2）等差数列的前n 项和公式及推导方法？倒序相加法还可迁移运用到哪种数列求和上？设计意图：不只公式是我们应掌握的，还应注重它生成的过程，方法、迁移转换以及学生在这个过程当中所获得的个人体验.3）因式分解:1－q 2＝（1－q ）(1＋q )1－q 3＝（1－q ）(1＋q ＋q 2)1－q 4＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3)1－q 5＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4)……1－q n ＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＋…＋q n -1)设计意图：体现由特殊到一般的不完全归纳思想，为求和公式推导奠定理论基础和知识基础.并且可以让学生在推导中很快获得成功感，有信心继续探索.课堂活动： 三个问题要求同桌互相检查、补充，体现学习的合作精神与多边交流.（2）设计问题，创设情景，引出课题介绍饶有趣味的古印度国王奖励国际象棋发明的典故，然后提出问题：“国王能做到吗？”（“能”，“不能”，同学们争起来了.），“能，还是不能呢？打个比方，你就知道了：用（1+2+22+…+263）粒小麦能从地球到太阳铺设一条10米宽，18米厚的大道.”（学生会露出惊异的表情，急于想知道究竟有多大，有的都忙着算起来了.）“别急呀，如果我又讲了几个故事，要计算a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 20；或（21）2＋（21）3＋（21）4＋…＋（21）14；……呢？” 学生思维活动：通过类比思想，学生抽象出研究问题：等比数列a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …,a n ，公比是q （q ≠0），试用基本量a 1 ，q 表示s n (其中s n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ）设计意图：学生不仅能很快地领悟到本课的教学目标，而且适时的锻炼了学生从具体事例中抽象出一般的数学问题的能力，急于想找到答案又会让学生带着浓厚的兴趣积极主动的学习新内容.（3）推导等比数列前n 项和公式课堂活动：让同学们先思考，讨论刚才的问题。
2.5等比数列的前n项和公式(1)
n 1
n
分析：
1、求和公式
a1 (1 q ) 当q≠1时， Sn 1 q
n
a1 an q Sn 1 q
当q=1时，
Sn na1
强调： ①注意分类讨论的思想 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想，五个量“知三求二”.
2、公式的推导方法
错位相减法
①
二、探究新知：
2．探究麦粒总数的求法
思考3：如果①式两边同乘以2得：
2S64=2+22+23+· · · +263+264 S64=1+2+22+···+263 ② ①
比较①、②两式，有什么关系？
错位了!
二、探究新知：
S64=1+2+22+23+· · · +263
2S64= 2+22+23+· · · +263+264
a1 (1 q n ) 公式１： Sn 1 q na1
公式２：
(q 1)
想根 ，据 解求 决和 “公 知式 三， 求 二运 ”用 问方 题程 思
(q 1)
n1
a1 qan 1 q Sn na 1
an a1q
(q 1) (q 1)
结合上面的例子，说说你的想法
sn a1 a1q a1q a1q
2
n1
qsn
对的？
a1q a1q a1q
2
n1
a1q
n
n a a q 1 1 n 思考4：由 (1 - q)sn = a1 - a1q 得 sn = 对不 1-q
等比数列前n项和
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
y=9-x2
阅读程序，回答下列问 1 2 3 x 题： （1）程序中的AN，SUM 分别表示什么，为什么？ （2）请根据程序分别计算当n=6， 11，16时，各个矩形的面积的和 （不必在计算机上运行程序）．
63
能目标
目标
64
情感、态 度和价值 观目标
由② - ①可得：
S 64 2
64
1
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,an
它的前n项和是 S n a1 a2 a3 an
S n a1 a 2 a3 a n 由 n 1 a n a1 q 教学重点
举一反三
1.(等比数列前n项和公式的直接应用)等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100等于 ( ) (A)4-2100 (B)4+2100 (C)4-2-98 (D)4-2-100
2 1 2-100 1 解析:由题意 a1=2,q= .所以 S100= =4-2-98. 1 2 1 2
当q≠1时，
a1 a n q Sn 1 q
当q=1时，S n na1
例题讲解
例1、求下列等比数列前8项的和：
1 1 1 （1） ， ， ， ； 2 4 8 1 （2） a1 27，a9 ，q 0． 243
例题讲解
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售 量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量 达到30000台？（保留到个位）Fra bibliotek方法技巧
2.5等比数列的前n项和(1)教师版
2.5等比数列的前n 项和（一）教学目标分析：知识目标：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.情感目标：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神.重难点分析：重点：等比数列的前项n 和公式推导.难点：灵活应用公式解决有关问题.互动探究：一、课堂探究：1、情境引入：“国王对国际象棋的发明者的奖励”的故事.23636412222S =+++++ ？探究：你能推导出首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和n S 的公式吗?公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321；由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 ；n n q a a S q 11)1(-=-∴； ∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或q q a a S n n --=11 当1q =时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1( 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(2、等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时，q q a S nn --=1)1(1或q qa a S n n --=11当1q =时，1na S n = 解决问题：有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
2.5等比数列前n项和公式的推导及简单应用(1)
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意. 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
若q=1，则Sn na1
Sn
na1 a1(1
q
n
1 q
)
, ,
q 1 (完整版） 错位相减法
q 1
类型一 等比数列前n项和公式的应用 命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； 解 因为 a1＝12，q＝12， 所以 S8＝1211－－12128＝225556.
Sn 2n1 2
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
√C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当
x≠1
1－xn 时，Sn＝ 1－x .
1－xn－1
D.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
(2)a1＝27，a9＝2143，q<0.
解 由 a1＝27，a9＝2143，可得2143＝27·q8.
又由 q<0，可得 q＝－13，
所以
S8＝a11－－aq8q＝a11－－aq9＝217－－－214313＝1
640 81 .
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末
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§2.5等比数列的前n 项和(1)
引标：1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？
2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .
示标: 掌握等比数列的前n 项和公式；能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题. 学标
（一） 自主学习、知识盘点
等比数列的前n 项和公式
设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，
公式的推导方法：
则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=
⎪⎩ (1)n q S ∴-=
当1q ≠时，n S = ①
或n S = ②
当q =1时，n S =
试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.
（二） 合作探讨、师生互动
例1已知a 1=27，a 9=
1243
，q <0，求这个等比数列前5项的和.
变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.
例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
※ 知识拓展
1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,a a aq q
. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a a aq aq q q . 3. 证明等比数列的方法有：
（1）定义法：1n n
a q a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++= . 4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示. 诊标 课堂测试
1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）. A. 11n a a -- B. 111n a a
+-- C. 211n a a
+-- D. 以上都不对 2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.
A. 30
B. 60
C. 80
D. 160
3. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.
A. 102
B. 202
C. 1
D. 602
4. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ . 补标 （总结提炼、拓展延伸）
1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及
2. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +== ，求6S .
3.等比数列中，33139,.22
a S a q ==,求及。