异面直线所成角的计算
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角的定义
异面直线是指空间中不在同一平面上的直线。
一般情况下，异面直线是无法相交的，
它们之间不具有任何交点，但它们的方向可以有交叉或相互平行的情况。
二、异面直线的性质
1.异面直线不在同一平面上，它们之间的距离是有限的，可以用它们最短距离来表示。
2.两条异面直线的方向可以有交叉或相互平行的情况。
3.异面直线不存在交点，但它们可以相互延长。
4.异面直线与同一平面上的直线的交点可以为零个或无限个。
异面直线所成角是指两条异面直线之间的夹角，它是两条异面直线在空间中的相对位
置关系的体现。
1.当两条异面直线相交时，它们所成的角度等于它们在交点处的夹角。
3.当两条异面直线相交且不在同一平面上时，它们所成的角度可以通过向量叉积计算。
异面直线所成角不仅是数学上的概念，还在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，
在三维几何中，异面直线的夹角常常用于计算空间角的大小，如在机械加工和建筑设计中，需要计算两个不在同一平面上的部件之间的角度大小，这时就需要运用异面直线所成角的
概念进行计算。
在物理学和工程学中，异面直线所成角也经常被用来描述电场、电磁场、
热力学等物理量的性质。
因此，理解异面直线所成角的定义和计算方法，不仅有助于我们
加深对空间几何的认识，同时也有助于我们解决实际问题。
异面直线所成角的计算
C1
D
C
则MON=120，
即异面直线AC与BD所成的角为60°.
2.已知正方体的棱长为a , M为AB的中点,N 为 BB1的中点， 求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值.
解： 如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中 D1 C1
1 2 1 2
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角（或其补角）
∵ EG AD 1, FG BC 1 ，
EG 2 FG 2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 在 EGF 中， cos EGF 2 EG FG 2
，
∵两异面直线所成角的范围是： 00 , 90 0 ∴异面直线 AD, BC 所成的角为 60
BG=BE=
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
5 2
a,， F C1 =
6 a 2
A1
E
F
B1
G D N C
想一想：还有其他定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
则∠FNC为所求角.
A
M
B
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化 归的数学思想.
化归的一般步骤是：定角
方法归纳： 平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中， 由余弦定理得
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角公式
异面直线所成角公式
异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度。
这种角度可以用以下公式来计算：
所成角（°）= 180° - 倾斜角1 - 倾斜角2
其中，倾斜角1和倾斜角2分别表示两条直线的倾斜角度。
注意，倾斜角是指直线与水平面的夹角，一般情况下，倾斜角的取值范围是0°~90°。
举个例子，如果有两条直线，倾斜角分别为30°和45°，那么它们所成角的大小就可以用以下公式计算：
所成角（°）= 180° - 30° - 45° = 105°
总之，异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度，可以使用以上公式来计算。
异面直线成角求法附答案
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解。
异面直线所成的角的范围为（ 0°, 90°]例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：向量几何法：|b ||a |ba cos ⋅=θ设→→→1AA AD AB 、、为空间一组基向量ba C A ac b D A AA BA BD 0c b ,0c a ,0b a 2|c |,1|b |,2|a |c AA ,b AD ,a AB 1111111+=→-+=→+→+→=→=⋅=⋅=⋅====→=→=→3|c ||a ||b ||a c b ||BD |512|b a |C A 222212211=++=-+=→=+=+=→55533|C A ||BD |C A BD C A BD cos 341|a ||b |)b a )(a c b (C A BD 11111111122111-=-=→→→⋅→>=→→<-=-=-=+-+=→⋅→所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图4练习：1. A 为正三角形BCD 所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a ，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ，如图所示，求异面直线AF 、CE 所成角的余弦值。
异面直线所成角余弦值公式
异面直线所成角余弦值公式
异面直线所成角余弦值公式是一个计算数学里所谓异面直线所成角余弦值的公式，这个公式也叫作“余弦定理”，余弦定理可以用来解决一些复杂的三角形问题，它是三角函数的重要应用。
余弦定理的基本公式是：a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA，其中a，b和c 是三角形的三边的长度，A是三角形的内角，cosA是内角A的余弦值。
余弦定理可以用来计算三角形的边长，即可以根据两边的长度和内角的余弦值来求得三角形的第三边的长度。
余弦定理也可以用来计算异面直线所成角的余弦值，其公式为：cosA = (a2 + b2 - c2)/2ab，其中a和b是两条异面直线的长度，c 是两条异面直线之间的距离，A是两条异面直线所成的角。
余弦定理可以用来解决一些有关三角形和异面直线所成角余弦值的问题，这是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们节省许多时间和精力，更快更准确地解决问题。
异面直线所成角求法
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, E, F分别为AB、CD的中点，EF= 3，求AD、BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG, EG。
在厶EFG中EF=、.3 FG = EG= 1•••/ EGF= 120°二AD 与BC 成60°的角。
2. 正=ABC的边长为a, S为厶ABC所在平面外的一点，SA= SB= SC= a, E，F分别是SC 和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA= SB= SC,且.ASB = BSC= • CSA=-,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.2证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN // SM•••/ QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC= &,在厶BQN中B BN = ^a NQ = ：SM =^a BQ=』a2 2 4 4••• COS/QNB二BN2 NQ2-BQ2 d2BN NQ 54. 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，/ BCA = 90°, M、N分别是A i B i和A i C i的中点, 若BC =CA = CC i, 求BM与AN所成的角.解：连接MN，作NG // BM交BC于G,连接AG , 易证/ GNA就是BM与AN所成的角.设：BC = CA = CC i = 2,贝U AG = AN = 5, GN = BM = 6, cos/ GNA = 6 5 _530。
2江』6江』5 105. 如图，在正方体 ABCD - A i B i C i D i 中，E 、F 分别是BB i 、CD 的中点.求AE 与D i F 所成 的角。
异面直线所成的角求法课件
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
向量法是求解空间几何角的一种常用方法。通过向量的点积和叉积运算，可以求解出两个向量之间的 夹角，从而得到空间几何角的大小。
三角函数法
三角函数法也是求解空间几何角的一种常用方法。通过构造直角三角形或者利用三角函数的性质，可 以求解出空间几何角的大小。这种方法通常适用于一些比较简单的空间几何图形。
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入Βιβλιοθήκη 面直线的定义定义不在同一个平面上的两条直线称 为异面直线。
判定定理
平面内一点和平面外一点的连线 ，与平面内不经过该点的直线是 异面直线。
03
几何法求解异面直线所成角
平行线间距离与夹角关系
平行线间距离
两平行线间的距离是一个定值，等于其中一条直线上任取一点到另一条直线的垂 线段长度。
夹角关系
两异面直线分别与第三条直线相交，所得到的两个夹角相等或互补。因此，可以 通过求解其中一个夹角来得到异面直线所成的角。
利用平行线间距离求解异面直线所成角步骤
根据夹角判断异面直线所成的 角是锐角还是钝角。
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
解析
异面直线所成的角的求法
异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体ABCD-A1BC11D1中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）AA1与BC；（2）DD1与A1B；（3）A1B与AC。
法二：中位线例2：在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB⊥CD，点M、N分别为BC、AD的中点，求直线AB与MN所成的角。
变式：在空间四边形ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，AB＝CD＝2，且MN＝AB与CD所成的角。
法三：补形法例3：如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB与AC；(2)AB与PC。
法四：空间向量法例4：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F 1,CD的中点，求证：AE⊥D法五：证明垂直法例5：在正方体ABCD-A1BC11D1中，E、F分别是BB1F所成的1,CD的中点，求AE与D角。
变式：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，AA1=2,AB=BC，求AE与D1C所成的角。
练习题：1．在正四面体ABCD中，点M、N分别为BC、AD的中点，则直线AB与MN 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿。
2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角为＿＿＿＿＿＿＿3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90︒，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________________.E为AA1中点，4. 已知正四棱柱ABCD-A则异面直线BE与CD1AA1=2AB，1BC11D1中，所成的角的余弦值为________________.5.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB 的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________________.6．如图1，P是正方形ABCD所在平面外一点，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成的角的度数为________________.7。
异面直线所成的角的求法
异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体1111ABCD A B C D -中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）1AA 与BC ； （2）1DD 与1A B ； （3）1A B 与AC 。
法二：中位线例2：在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB ⊥CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求直线AB 与MN 所成的角。
变式：在空间四边形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，AB ＝CD ＝2，且MN ＝2，求直线AB 与CD 所成的角。
习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 5．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值法三：补形法 例3：如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC ，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB 与AC ；(2)AB 与PC 。
法四：空间向量法例4：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求证：1AE D F⊥ 变式1. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。
1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。
所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。
2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。
3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。
总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。
基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法宇文皓月异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
（作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，B ACD F EB 1A 1 D 1C 1G HSRPQ连QH ，可知△GQH 为直角三角形），（连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），（作直线GP 交BC 于点P为直角梯形）。
∴Cos ∠所以直线A 1E 与直线B 1F 解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标暗示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1）， 点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）；-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足1cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。
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A
'
∴ AE //DF , ⇒ BC //EF , AD //EF .
∴ AE //DF , ∠DFB即为直线AE与BF所成的角.
设正方形的棱长为a, 得
在∆DFB中,由余弦定理得
DF + BF − BD cos ∠DFB = 2 DF ⋅ BF
2 2 2
5 DF = a, DB = 2a 2 D C
C1 B1
设正方体的棱长为1, 则AB1 = 2 , A1
2 2 2 OD = OA = , OD1 = OD + DD1 2
D O
2 1 2 1
2 2 6 = 1+ ( ) = . 2 2
2
C B
OA + OD − AD cos ∠AOD1 = = 0. 2 ⋅ OA ⋅ OD1
A
练 已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的
EBG即为所求角 即为所求角。 EBG中 ∠EBG即为所求角。 在△EBG中 5 A1 6 BG=BE= a, F C1 = a 2 2 由余弦定理， cos∠EBG=2/5 由余弦定理， 想一想： 还有其它定角的方法吗？ 想一想： 还有其它定角的方法吗？ 的中点F， 取EB1的中点 ，连NF,有 有 BE∥NF 则∠FNC为所求角。A ∥ 为所求角。 为所求角
2
b′
b
O a
a′
2011-12-16
王玮琪
求异面直线所成角的步骤有哪些？ 求异面直线所成角的步骤有哪些？ 有哪些
★求角的步骤：
1.作图 ；2.证明； 证明； 3.计算（解三角形）. 计算（解三角形）
即一作二证三计算
我们来看下面这个引例1： 我们来看下面这个引例 ：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是BB1、CC1的中点， 求异面直线AE和BF所成的角。 AE BF
π 2
D A D’ B
C
C’ B’
A
'
2011-12-16
王玮琪
中 与 的中点， 所成角的余弦值。 C1N 所成角的余弦值。
C1 E F B1 G D N C
如图， 的中点E， 的中点 ， ∥ 解： 如图，取AB的中点 ， 连BE， 得BE∥ A1M ，
D 的中点G， 取CC1的中点 ，连BG. 有BG∥ C1N， 1 ∥
一.定义:
直线a、 是异面直线 是异面直线， 直线 、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 分别 引直线a′∥ 引直线 ∥a , b′∥ b。我们把直线 和b′所成的锐角 ∥ 。我们把直线a′和 所成的锐角 (或直角 叫做异面直线 和b所成的角 或直角)叫做异面直线 所成的角. 或直角 叫做异面直线a和 所成的角 π ， 注意： 注意：异面直线所成角的范围是 （0， ]
设棱长为a，连结MD，取MD中点 中点O, ， 中点 解：设棱长为 ，连结 连结NO，CO得角ONC就是AM,CN所成的角, A 1 1 2 1 2 3 NO = AM = a − ( a) = a, N 2 2 2 4 3 2 1 2 B 2 2 O D CO = OM + MC = ( a) + ( a) M 4 2 C
7 = a. 4
ON + NC − OC 2 cos ∠ONC = = 2 ⋅ ON ⋅ NC 3
2 2 2
练 正方体ABCD- A B C D 中，AC、BD交于 1 1 1 1 900 习 O，则OD1与A1C1所成的角的度数为
分析: 连结AC则AC平行且等于A1 C 1， D1 ∠D1OA就是所求的角。
点E、F分别是BB , CC 的中点，求
' '
解:
直线AE与BF所成的角的余弦值.
D B D’ E F C’ B’
王玮琪
连结DF , EF因E , F分别是BB' , CC '的中点, 且BB ' //CC '
A
C
∴ BE //CF , ⇒ BC //EF , AD //EF .
2011-12-16
说明：异面直线所成角的范围是（ ， 说明：异面直线所成角的范围是（0， ]， ， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角，常用余弦定理求其大小， 形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦 值为负值时 其对应角为钝角， 不符合两 值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两 条异面直线所成角的定义， 条异面直线所成角的定义，故其补角为所求 的角，这一点要注意。 的角，这一点要注意。
A D’
B F E B’
王玮琪
5 2 5 2 a + a − 2a 2 1 4 4 = = . 5 2 5 2⋅ a 2011-12-16 4
C’
A
'
在棱长都相等的四面体A-BCD中，N、 例2 在棱长都相等的四面体 中 、 2 ∴ ∠ONC M分别是棱 = arccos 分别是棱AD、 的中点，连结AM、CN， 分别是棱 、BC 的中点，连结 、 ， 3 求异面直线AM、CN所成的角的余弦值。 所成的角的余弦值。 求异面直线 、 所成的角的余弦值
2011-12-16
王玮琪
2011-12-16
王玮琪
我们来看下面这个引例2： 我们来看下面这个引例 ：
在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 点，求异面直线BD1和AC所成 的角。
2011-12-16
王玮琪
2011-12-16
王玮琪
例1 在正方体ABCD − A B C D 中，
' ' ' '
M
B
小结： 小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 、 体现了化归的数学思想。 体现了化归的数学思想。 化归的一般步骤是： 化归的一般步骤是： 定角 求角 定角一般方法有： 1）平移法（常用方法） 2）补形法 （ ）平移法（ （ ） 2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： 、用余弦定理求异面直线所成角时， 范围： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ ） 所成角为π－ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为 － θ ） 90o （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 ） 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 、当异面直线垂直时 垂直 解决。 解决。