解析几何：直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解提高
直线与圆相交于一点 直线与圆相切于一点 直线与圆相离于一点 直线与圆相交于两点
判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来实现。
圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切；大于半径，则 直线与圆相离。
判断圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和或半径之差的大小来实 现。
圆心到直线的距离：利用圆心到直 线的距离判断圆与直线的关系
弦长：通过比较弦长来判断圆与圆 的位置关系
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圆的半径：比较两圆的半径大小， 判断圆与圆的位置关系
切线：利用切线性质判断圆与直线 的关系
距离公式：利用两点间的距离公式求解直线与圆之间的距离 角度公式：利用三角函数或余弦定理求解直线与圆之间的夹角 代数运算：利用代数方法简化计算过程，提高解题效率
交通路线规划：利用直线与圆的位置关系，确定最佳路线。 股市分析：通过分析股票价格与均线的位置关系，判断股票走势。 地球科学：利用圆与圆的位置关系，研究地球与其他天体的相对位置。 建筑学：在建筑设计时，利用直线与圆、圆与圆的位置关系，实现美观与实用的统一。
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用 圆与圆的位置关系在几何证明题中的应用 利用直线与圆、圆与圆的位置关系解决数学竞赛中的难题 在数学竞赛中，直线与圆、圆与圆的位置关系常作为考点和难点
特殊情况处理：针对直线与圆相切、相交等特殊情况，采用相应的方法进行求解
理解数形结合的概念，将数学问题转化为图形问题 掌握常见的数形结合方法，如坐标法、向量法等 学会利用图形直观地分析问题，找到解题思路 练习数形结合的题目，提高解题能力
掌握直线与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 掌握圆与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 熟悉不同题型的特点和解题方法，能够根据题目的具体要求选择合适的解题方法。 掌握解题技巧，如利用几何性质、数形结合等方法，提高解题效率。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
直线与圆圆与圆的位置关系
圆与直线周长的计算
首先，需要知道圆的半径和直线与圆的交点，然后通过交点 构造半径，最后根据公式计算周长。
05
应用举例
实际应用
制造加工
在制造工业中，可以利用直线 与圆的方程来设计机器设备， 例如数控机床的轨迹控制、圆
《直线与圆圆与圆的位置关 系》
xx年xx月xx日
目录
• 直线与圆的位置关系 • 圆与圆的位置关系 • 判定方法和性质 • 面积和周长的计算 • 应用举例
01
直线与圆的位置关系
相交
垂直相交
直线与圆心到直线的垂线段相等，即圆心到直线的距离小于 圆的半径。
斜交
直线与圆心到直线的垂线段不相等，即圆心到直线的距离大 于圆的半径。
解析几何中的运用
研究轨迹
直线与圆的方程可以用于研究一些点的轨迹，例如动点在平面直角坐标系中的运 动轨迹、动点在空间直角坐标系中的运动轨迹等。
解决最值问题
利用直线与圆的位置关系可以求解一些最值问题，例如距离、角度等最值。
THANKS
感谢观看
弧形零件的加工等。
航海航天
在航海和航天领域，直线与圆的 方程可以用于计算航行器的轨道 、飞行路径等。
防洪抗灾
在防洪抗灾方面，可以利用直线与 圆的位置关系来计算洪水淹没范围 、预测洪水发展趋势等。
几何题中的运用
证明定理
利用直线与圆的位置关系可以证明一些几何定理，例如勾股定理、蝴蝶定理 等。
求解面积
直线与圆的位置关系可以用于求解一些几何图形的面积，例如扇形、弓形、 三角形等。
圆与圆的判定方法
d-r 法则
对于两个圆，可以计算它们之间的距离 d 和两个圆的半径 r1 和 r2，如果 d<min(r1,r2)，则两个圆相交，如果 d=min(r1,r2)，则两个圆相切，如果 d>min(r1,r2)，则两个圆相离。
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
解析几何中的直线与圆
解析几何中的直线与圆解析几何是几何学的分支之一，它将代数工具引入几何问题的研究中，通过坐标系的建立以及运用代数的方法，使几何问题能够用代数的语言来描述和解决。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何元素，它们之间的关系和性质是解析几何的重要内容之一。
本文将针对直线和圆的关系进行解析几何分析。
一、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线与圆不相交。
1. 直线与圆相切当一条直线与圆相切时，直线与圆的切点是直线上距离圆心最近的点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其中(a,b,c,p,q,r为已知常数)，则直线与圆相切的条件是：|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) = r。
2. 直线穿过圆当一条直线穿过圆，即直线与圆有两个交点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，则直线穿过圆的条件是：(ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2)。
3. 直线与圆不相交当直线与圆不相交时，有两种情况：直线在圆的外部，直线在圆的内部。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 =r^2，则当(ap+bq+c)^2 < (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的外部；当 (ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的内部。
二、直线与圆的运算在解析几何中，直线和圆的运算包括直线与直线的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等。
1. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以通过它们的方程来判断。
设直线1的方程为a1x + b1y + c1 = 0，直线2的方程为a2x + b2y + c2 = 0，则直线1与直线2的位置关系有以下几种情况：相交（斜交或垂直交）、平行、重合。
平面解析几何：圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
>0⇔相交 (2)代数法：―Δ―― ＝判―b―别2―－―式―4―a→c ＝0⇔相切
<0⇔相离
弦长 l 2 2.弦长问题 几何法 r 2 d 2
d
r
P150例2:弦长问题
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交 点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－ 1)
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代 数 法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的 一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长
3.切线问题
P150例3:切线问题
M(x0,y0)
M(x0,y0)
(x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
y y0 k(x x0 ) kx y kx0 y0 0
汇报人：木哈哈哈
位置关系
的关系
组的解的情况
外离 外切
_d_>_r_1_＋__r_2 _ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
无解 一组实数解
相交 内切 内含
|r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __0_≤__d_<_|r_1_－__r2_|(_r_1_≠__r2_)_
两组不同的实数解 一组实数解 无解
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
《解析几何》第6讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
代数法：两圆方程 联立组成方程组的 解的情况 无解 ________ 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 ____________
无解 __________
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第八章
平面解析几何
例题1. 已知圆x2＋y2＝1. (1) 它与直线y＝x＋2的位置关系 是 . (2) 若它和直线y＝kx＋2没有公共 点，则实数k的取值范围是___．
第八章
平面解析几何
第6讲
直线与圆、圆与圆
的位置关系
第八章
平面解析几何
1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线 l的距离，联立直线和圆的方程，消元 后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法 位置关系 相交 相切 相离
x y 1
x y 4 0
2 2
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几何法 d____ < r d____ ＝ r d____ > r
代数法 Δ____0 > Δ____0 ＝ Δ____0 <
栏目 导引
第八章
平面解析几何
2．圆与圆的位置关系 设圆 O1： (x－ a1 )2＋ (y－ b1 )2＝ r2 1( r1 >0)， 圆 O2： (x－ a2)2＋ (y－ b2)2＝ r2 2( r2 >0).
(3) 若点M(a,b)在圆上，则圆和直线 ax＋by＝1的位置关系是 ．
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第八章
平面解析几何
例题2. 圆(x＋2)2＋y2＝4与 圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 (1) 两圆的位置关系为 . (2) 公共弦所在的直线方程是 .
高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――直线和圆、圆与圆的位置关系圆的切线方程设法：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200r y y x x =+.（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--. （3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200r y y x x =+.（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.[例]经过点M （2，-1）作圆522=+y x 的切线，则切线方程为_________________. 2x-y-5=0[巩固] 过点P （3，1）作曲线C ：0222=-+x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________. 2x+y-3=01．若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置 关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2 的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|< d < r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|两圆的公共点个数0个 1个 2个 1个 0个2．两圆的共切线：（1）当两圆内含时，没有公切线； （2）当两圆内切时有一条公切线； （3）当两圆相交时，有两条外公切线；知识模块4圆与圆的位置关系 精典例题透析知识模块3切线及弦所在直线的方程设法∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.[巩固] (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.题型三：直线与圆相交的问题[例]已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4，所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3，解之得k ＝±3.[巩固] 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，所以OM ＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以AB ＝2AM ＝2OA 2－OM 2＝222－(3)2＝2.圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为___________. 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )．化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2013·山东)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________.解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2， ∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB →等于___________.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，故x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是______________．由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.7．(2014·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AO→＝0，则m 的取值范围为________．曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得＋＝0，（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22， ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内，∴l 与圆P 恒相交．设l 与圆P 的交点为M ，N ，则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12， 故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.11．若直线l ：y ＝kx ＋1 (k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是_________. 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交． 12．设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为____________.B解析 由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋(－3)2＝710＝71010. 能力提升训练要使曲线上的点到直线l 的距离为71010， 此时对应的点在直径上，故有两个点．13．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于____________.∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时， △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 15．(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系
位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题（每小题5分,共20分)1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不确定解析: 圆C：x2＋（y－1）2＝5的圆心C为（0，1），半径为错误!.由圆心（0,1）到直线2x－y＋3＝0的距离：d＝错误!＝错误!错误!＜错误!.∴直线和圆相交．答案：A2．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C 的方程是（）A．（x－5)2＋y2＝5 B．(x＋错误!）2＋y2＝5C．（x－5）2＋y2＝5 D．（x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(x0，0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为错误!，故有错误!＝错误!，∴|x0｜＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D。
答案: D3．若点P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0解析: 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB,得k AB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0,故选D。
2021版新高考数学：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为______． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0、0)、半径r ＝2、且圆心(0、0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.](对应学生用书第148页)考点1 直线与圆的位置关系A ．(－∞、＋∞)B ．(－∞、0)C ．(0、＋∞)D ．(－∞、0)∪(0、＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋（y －1）2＝5，消去y 、整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0、 因为Δ＝16m 2＋20>0、所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0、1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1、1)、∵点(1、1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部、∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心C (1、1)、半径r ＝1.因为直线与圆相交、所以d ＝|1＋m －2－m|1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示、因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2、又因为圆的半径为3、所以直线与圆相交、故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围、就是利用d＝r、d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合、转化为点到直线的距离求解．1.已知点M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[因为M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、所以a2＋b2＞1、而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点、则m的取值范围是________．[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0、0)、(－a 、a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22、∴a2＋（－a ）2＝22.又a >0、∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0、即x 2＋(y －2)2＝4、圆心M (0、2)、半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心N (1、1)、半径r 2＝1、∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵r 1－r 2＝1、r 1＋r 2＝3、1<|MN |<3、∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切、则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0、0)、半径r 1＝1、因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m 、所以圆C 2的圆心为C 2(3、4)、半径r 2＝25－m (m ＜25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2、即1＋25－m ＝5、解得m ＝9、故选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径、从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条、若仅求得一条、除了考虑运算过程是否正确外、还要考虑斜率不存在的情况、以防漏解．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线、则切线长的最小值为()A．1 B．22C．7D．3C[如图、切线长|PM|＝|PC|2－1、显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3＋12＝22时|PM|最小为7、故选C.]D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5、圆心坐标为F (2、－1)、半径r ＝5、如图、显然过点E 的最长弦为过点E 的直径、即|AC |＝25、而过点E 的最短弦为垂直于EF的弦、|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2、|BD |＝2r2－|EF|2＝23、∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)、把它转化为代数问题、通过代数的计算、使问题得到解决．所以当点N 为(4、0)时、能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题、求解的关键是把几何问题代数化、即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”、然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2、4).(1)设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x ＝6上、求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC ＝OA 、求直线l 的方程．[解] (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25、圆心M (6、7)、半径r ＝5、由题意、设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0).且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1、∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.,(2)∵k OA ＝2、∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m 、即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25．由题意、圆M 的圆心M (6、7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25．。
直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。
法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。
法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。
分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。
例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
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外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系知识精讲
高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【本讲主要内容】点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 点与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，点M （x 0，y 0）到圆心的距离为d ，则有： （1）d ＞r 点M 在圆外； （2）d ＝r 点M 在圆上； （3）d ＜r 点M 在圆内。
2. 直线与圆的位置关系设圆C ∶（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆心（a ，b ）到直线l 的距离为d ，⎩⎨⎧=++=-+-0C By Ax r )b y ()a x (222消去y 得x 的一元二次方程判别式为△，则有： （1）d ＜r 直线与圆相交； （2）d ＝r 直线与圆相切； （3）d>r 直线与圆相离，即几何特征； 或（1）△＞0直线与圆相交； （2）△＝0直线与圆相切； （3）△＜0直线与圆相离，即代数特征。
3. 圆与圆的位置关系 设圆C 1：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2和圆C 2：（x －m ）2＋（y －n ）2＝k 2（k≥r ），且设两圆圆心距为d ，则有： （1）d ＝k ＋r 两圆外切； （2）d ＝k －r 两圆内切； （3）d ＞k ＋r 两圆外离； （4）d ＜k －r 两圆内含； （5）k －r ＜d ＜k ＋r 两圆相交。
4. 其他（1）过圆上一点的切线方程：①圆x 2＋y 2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则此点的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ②圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，圆上一点为（x 0，y 0），则过此点的切线方程为（x 0－a ）（x －a ）＋（y 0－b ）（y －b ）＝r 2（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C 1∶x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2∶x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋（F 1－F 2）＝0。
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|3－2－6| 10 [解析] 圆心 C(1， 2)到直线 l 的距离 d＝ 2 2 ＝ ， 2 3 ＋1 所以|AB|＝ ＝ 10.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
► 易错问题 5．圆的切线：易忽视切线斜率 k 不存在的情形． 过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 ________________．
[答案] x＝2 或 4x－3y＋1＝0
[解析] 当切线斜率存在时，设切线方程为 y＝k(x－2)＋ 4 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝3，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0.又直线 x＝2 也是圆的切线，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
通性通法
7．求圆的弦长的方法：几何法，代数法．常用几何法研究 圆的弦的有关问题． (1)若圆 x2＋y2－2x＋4y－20＝0 截直线 5x－12y＋c＝0 所得 的弦长为 8，则 c 的值为________． (2)直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦 长为________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．[教材改编] 圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0 与圆 C2：x2＋ y2－14x－2y＋14＝0 的位置关系是________．
[答案] 内切
[解析] 圆 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆 C2：(x－7)2＋(y －1)2＝36，|C1C2|＝5＝6－1，故两圆内切．
第46讲
[答案] (1)10 或－68
(2)4第46讲ຫໍສະໝຸດ 直线与圆、圆与圆的位置关系
[解析] (1)∵弦长为 8， 圆的半径为 5， ∴弦心距为 52－42 ＝3. |5×1－12× （－2）＋c| ∵圆心坐标为(1，－2)，∴ ＝3，∴ 13 c＝10 或 c＝－68. (2)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)， |1＋4－5＋ 5| 圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 2 2 1 ＋2 故直线被圆截得的弦长为 2 5－12＝4.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM· xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM· xN. 4.两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为 d. 位置关系 公共点个数 几何特征(|O1O2|＝d) 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0
[答案] 相交
|m| [ 解析 ] 方法一：圆心 (0 ， 1) 到直线的距离 d ＝ m2＋1 <1< 5，所以直线与圆相交． 方法二：直线 mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1， 1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
6．两圆相切：分内切与外切两种情形． 已知圆 O1：x2＋y2＝9 与圆 O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2 相切， 则实数 m 的取值组成的集合为________．
[答案] {－8，－2，2，8}
[解析] 当两圆内切时，|3－|m||＝ （3－0）2＋（－4－0）2 ⇒m＝±8；当两圆外切时，3＋|m|＝5⇒m＝±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{－8，－2，2，8}．
1 ________
2
d＝r
两组相同实数解 ________ 两组不同实数解 ________
d<r ________
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．圆的切线方程 求圆的切线方程，常用两种方法： (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知 数(x 或 y)，令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参 数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直 线的距离等于半径，求出相关参数． 3．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角 三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法： 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，
d>R＋r ________________ d=R＋r ________________ R－r<d<R＋r ________________ d＝R－r ________________
________________ d<R－r
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
链接教材
1．[教材改编] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y －1)2＝5 的位置关系是________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
8．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法． 过点 P(－1，0)作圆(x－1)2＋y2＝1 的切线，则切线方程 是____________. 3 [答案] y＝± 3 (x＋1)
[解析] 作出图形(图略)，可知过点 P(－1，0)的圆的 3 切线的倾斜角为 30° 或 150° ，所以切线方程为 y＝± (x 3 ＋1)．
直线与圆、圆与圆的位置关系
3．[教材改编]圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆 的方程是________．
16 [答案] x ＋y ＝ 5
2 2
4 4 [解析] 由题可知半径 R＝ ，所以圆的方程为 2＝ 5 1＋2 16 2 2 x ＋y ＝ 5 .
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
4．[教材改编] 直线 l：3x－y－6＝0 被圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝5 截得的弦 AB 的长等于________．
直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 设圆 C 的半径为 r(r>0)，圆心到直线 l 的距离为 d， 则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个 几何特征 数 ________ ________ 0 d>r 代数特征 (解的个数) 无实数解