解析几何：直线与圆、圆与圆的位置关系
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直线与圆、圆与圆的位置关系
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 设圆 C 的半径为 r(r>0)，圆心到直线 l 的距离为 d， 则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个 几何特征 数 ________ ________ 0 d>r 代数特征 (解的个数) 无实数解
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
8．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法． 过点 P(－1，0)作圆(x－1)2＋y2＝1 的切线，则切线方程 是____________. 3 [答案] y＝± 3 (x＋1)
[解析] 作出图形(图略)，可知过点 P(－1，0)的圆的 3 切线的倾斜角为 30° 或 150° ，所以切线方程为 y＝± (x 3 ＋1)．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．[教材改编] 圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0 与圆 C2：x2＋ y2－14x－2y＋14＝0 的位置关系是________．
[答案] 内切
[解析] 圆 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆 C2：(x－7)2＋(y －1)2＝36，|C1C2|＝5＝6－1，故两圆内切．
第46讲
[答案] 相交
|m| [ 解析 ] 方法一：圆心 (0 ， 1) 到直线的距离 d ＝ m2＋1 <1< 5，所以直线与圆相交． 方法二：直线 mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1， 1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[答案] (1)10 或－68
(2)4
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[解析] (1)∵弦长为 8， 圆的半径为 5， ∴弦心距为 52－42 ＝3. |5×1－12× （－2）＋c| ∵圆心坐标为(1，－2)，∴ ＝3，∴ 13 c＝10 或 c＝－68. (2)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)， |1＋4－5＋ 5| 圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 2 2 1 ＋2 故直线被圆截得的弦长为 2 5－12＝4.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
通性通法
7．求圆的弦长的方法：几何法，代数法．常用几何法研究 圆的弦的有关问题． (1)若圆 x2＋y2－2x＋4y－20＝0 截直线 5x－12y＋c＝0 所得 的弦长为 8，则 c 的值为________． (2)直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦 长为________．
[答案] x＝2 或 4x－3y＋1＝0
[解析] 当切线斜率存在时，设切线方程为 y＝k(x－2)＋ 4 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝3，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0.又直线 x＝2 也是圆的切线，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[答案] 10
|3－2－6| 10 [解析] 圆心 C(1， 2)到直线 l 的距离 d＝ 2 2 ＝ ， 2 3 ＋1 所以|AB|＝ ＝ 10.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
► 易错问题 5．圆的切线：易忽视切线斜率 k 不存在的情形． 过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 ________________．
1 ________
2
dΒιβλιοθήκη Baidur
两组相同实数解 ________ 两组不同实数解 ________
d<r ________
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．圆的切线方程 求圆的切线方程，常用两种方法： (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知 数(x 或 y)，令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参 数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直 线的距离等于半径，求出相关参数． 3．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角 三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法： 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，
直线与圆、圆与圆的位置关系
3．[教材改编]圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆 的方程是________．
16 [答案] x ＋y ＝ 5
2 2
4 4 [解析] 由题可知半径 R＝ ，所以圆的方程为 2＝ 5 1＋2 16 2 2 x ＋y ＝ 5 .
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
4．[教材改编] 直线 l：3x－y－6＝0 被圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝5 截得的弦 AB 的长等于________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM· xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM· xN. 4.两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为 d. 位置关系 公共点个数 几何特征(|O1O2|＝d) 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0
d>R＋r ________________ d=R＋r ________________ R－r<d<R＋r ________________ d＝R－r ________________
________________ d<R－r
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
链接教材
1．[教材改编] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y －1)2＝5 的位置关系是________．
6．两圆相切：分内切与外切两种情形． 已知圆 O1：x2＋y2＝9 与圆 O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2 相切， 则实数 m 的取值组成的集合为________．
[答案] {－8，－2，2，8}
[解析] 当两圆内切时，|3－|m||＝ （3－0）2＋（－4－0）2 ⇒m＝±8；当两圆外切时，3＋|m|＝5⇒m＝±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{－8，－2，2，8}．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系 设圆 C 的半径为 r(r>0)，圆心到直线 l 的距离为 d， 则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个 几何特征 数 ________ ________ 0 d>r 代数特征 (解的个数) 无实数解
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
8．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法． 过点 P(－1，0)作圆(x－1)2＋y2＝1 的切线，则切线方程 是____________. 3 [答案] y＝± 3 (x＋1)
[解析] 作出图形(图略)，可知过点 P(－1，0)的圆的 3 切线的倾斜角为 30° 或 150° ，所以切线方程为 y＝± (x 3 ＋1)．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
2．[教材改编] 圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0 与圆 C2：x2＋ y2－14x－2y＋14＝0 的位置关系是________．
[答案] 内切
[解析] 圆 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆 C2：(x－7)2＋(y －1)2＝36，|C1C2|＝5＝6－1，故两圆内切．
第46讲
[答案] 相交
|m| [ 解析 ] 方法一：圆心 (0 ， 1) 到直线的距离 d ＝ m2＋1 <1< 5，所以直线与圆相交． 方法二：直线 mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1， 1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[答案] (1)10 或－68
(2)4
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[解析] (1)∵弦长为 8， 圆的半径为 5， ∴弦心距为 52－42 ＝3. |5×1－12× （－2）＋c| ∵圆心坐标为(1，－2)，∴ ＝3，∴ 13 c＝10 或 c＝－68. (2)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)， |1＋4－5＋ 5| 圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 2 2 1 ＋2 故直线被圆截得的弦长为 2 5－12＝4.
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直线与圆、圆与圆的位置关系
►
通性通法
7．求圆的弦长的方法：几何法，代数法．常用几何法研究 圆的弦的有关问题． (1)若圆 x2＋y2－2x＋4y－20＝0 截直线 5x－12y＋c＝0 所得 的弦长为 8，则 c 的值为________． (2)直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦 长为________．
[答案] x＝2 或 4x－3y＋1＝0
[解析] 当切线斜率存在时，设切线方程为 y＝k(x－2)＋ 4 3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝3，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0.又直线 x＝2 也是圆的切线，所以切线 方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
[答案] 10
|3－2－6| 10 [解析] 圆心 C(1， 2)到直线 l 的距离 d＝ 2 2 ＝ ， 2 3 ＋1 所以|AB|＝ ＝ 10.
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直线与圆、圆与圆的位置关系
► 易错问题 5．圆的切线：易忽视切线斜率 k 不存在的情形． 过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为 ________________．
1 ________
2
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两组相同实数解 ________ 两组不同实数解 ________
d<r ________
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直线与圆、圆与圆的位置关系
2．圆的切线方程 求圆的切线方程，常用两种方法： (1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知 数(x 或 y)，令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参 数． (2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直 线的距离等于半径，求出相关参数． 3．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角 三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法： 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，
直线与圆、圆与圆的位置关系
3．[教材改编]圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆 的方程是________．
16 [答案] x ＋y ＝ 5
2 2
4 4 [解析] 由题可知半径 R＝ ，所以圆的方程为 2＝ 5 1＋2 16 2 2 x ＋y ＝ 5 .
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
4．[教材改编] 直线 l：3x－y－6＝0 被圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝5 截得的弦 AB 的长等于________．
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM· xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM· xN. 4.两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为 d. 位置关系 公共点个数 几何特征(|O1O2|＝d) 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0
d>R＋r ________________ d=R＋r ________________ R－r<d<R＋r ________________ d＝R－r ________________
________________ d<R－r
第46讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
►
链接教材
1．[教材改编] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y －1)2＝5 的位置关系是________．
6．两圆相切：分内切与外切两种情形． 已知圆 O1：x2＋y2＝9 与圆 O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝m2 相切， 则实数 m 的取值组成的集合为________．
[答案] {－8，－2，2，8}
[解析] 当两圆内切时，|3－|m||＝ （3－0）2＋（－4－0）2 ⇒m＝±8；当两圆外切时，3＋|m|＝5⇒m＝±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{－8，－2，2，8}．