2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)

第九讲 圆锥曲线

一、知识方法拓展： 1、直线系方程

若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。

特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；

当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。

对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。

2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）

圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上）

的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率c

e a

=

，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2

a x c

=±。

3、圆锥曲线和直线的参数方程

圆2

2

2

x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θ

θ=⎧⎨

=⎩

，其中θ是参数。

椭圆22

221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ

=⎧⎨=⎩，其中θ是参数，称为离心角。

双曲线22

221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ

=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。

抛物线2

2y px =的参数方程是2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩，其中t 是参数。

过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t α

α=+⎧⎨=+⎩

，t 为参数。（关注几

何意义）。

4、圆锥曲线的统一极坐标方程

以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为

1cos ep

e ρθ

=

-，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。

二、热身练习：

1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>>

那么双曲线22221x y a b -=的

离心率为（ ） （A

（B ）2

（C

（D ）

54

【答案】C

【解析】圆锥曲线的离心率c e a

=

， 椭圆中：2

2

2

c a b =-∴222

2

34

a b e a -==，得22

4a b = 双曲线中：2222

2254c a b e a a +===

，得e =

C 。

2、（07武大）点P 为椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>上的一点，12,F F 为椭圆两焦点，那么

12F P F P ⋅

的最小值为（ ）

（A ）22a b - （B ）2b

（C ）222a b -

（D ）222b a -

【答案】D

【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：

设点()[]()

()()12,,,:,0,:,0P x y y b b F c F c ∈--坐标为∵

∴()()2222222222

122=,,2,a b F P F P x c y x c y x y c y b b a b b

-⎡⎤⋅+⋅-=+-=-+∈-⎣⎦ 所以答案选择D 。

3、（11复旦）椭圆

2212516

x y +=上的点到圆()2

261x y +-=上的点距离的最大值是（ ）

（A ）11

（B

（C ）

（D ）9

【答案】A

【解析】由平面解析几何的知识，椭圆

2212516

x y +=上的点到圆()2

261x y +-= 上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。

设椭圆上点的坐标()5cos ,4sin P θθ，圆的圆心()0,6O ，则：

PO =

==

10≤=（当sin 1θ=-时取等号）

∴所求距离的最大值=10+1=11。

4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ） （A ）216y x = （B ）28y x =

（C ）216y x =-

（D ）28y x =-

【答案】A

【解析】设抛物线方程为px y 22=，则⎪⎭

⎫

⎝⎛0,2p F ，联立直线与抛物线方程消去y 得： ()02008082=++-x p x ，88021p x x +=

+，122

p

y y +=- 从而根据点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,88011p p A 在抛物线px y 22=上得：880222

p p

p +=⎪⎭

⎫

⎝⎛- 解得：8=p 或0（舍去），故选A 。

三、真题精讲：

精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。

例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为()11,0F -、()21,0F

，且椭圆与直线y x =切。

（1）求椭圆的方程；

（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于P 、Q 及M 、N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

【解析】（1）由题知：2

2

1a b =+ 所以可设椭圆方程为22

2

211x y b b

+=+

∵椭圆与直线y x =

∴方程组22

2

211x y b b y x ⎧+=⎪+⎨⎪=-⎩

只有一个解，

即方程(

))

22242

211230b x b x b b +-+-++=有两个相等的实数根