2019届二轮复习圆锥曲线学案 (全国通用)

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高二文科数学复习学案(圆锥曲线)

圆锥曲线与方程一、知识点总结： 1、三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。

动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。

椭圆：平面内与两个定点1F ，2F 的距离_____等于常数（___于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

即：212122F F c a PF PF =>=+（0a >，0c >，a ，c 为常数），则P 点的轨迹为以_______为焦点的椭圆。

注意：若122a F F =时，点P 的轨迹为________。

若1202a F F <<时，点P 的轨迹________。

双曲线：在平面内到两个定点1F ，2F 距离___________等于常数（___于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

即：212122F F c a PF PF =<=-（0a >，0c >，a c ，为常数），则P 点的轨迹为以________为焦点的双曲线．注意：若122a F F =时，点P 的轨迹为_______________。

若122a F F >时，点P 的轨迹________。

若20a =时，点P 的轨迹是_________________．另外，定义中的_________必不可少. 抛物线：平面内到定点F 与到定直线l 距离_______的点的轨迹。

（其中F l ∉）注意：若l F ∈，则P 点的轨迹为______________________________。

2、三种圆锥曲线的标准方程：椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>，焦点在x 轴上；22221(0)y x a b a b+=>>，焦点在y 轴上．（谁的_______________，焦点就在谁的轴上。

）双曲线：22221(00)x y a b a b-=>>，，焦点在x 轴上；22221(00)y x a b a b-=>>，,焦点在y 轴上． (谁的______________，焦点就在谁的轴上。

2019届高考数学二轮复习分层教学专项二专题五3第3讲圆锥曲线的综合问题学案

第3讲圆锥曲线的综合问题定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．【解】 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，所以λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.因为λ1＋λ2＝－3，所以my 1－1＋m y 2－1＝－3，所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若bk为常量，则直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k，0.(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标．[对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0. 由根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)．定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．【解】 (1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，NP →＝(0，y )，又NM →＝12NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又点M 在椭圆上，所以x 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＝1，即x 29＋y 28＝1.所以点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝163，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝163，|CD |＝6，所以1|AB |＋1|CD |＝1748.当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48（1＋k 2）8＋9k2，联立直线l 2与曲线E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x 29＋y 28＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋9k 2x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，同理可得|CD |＝1＋1k 2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝48（1＋k 2）9＋8k2. 所以1|AB |＋1|CD |＝8＋9k 248（k 2＋1）＋9＋8k 248（k 2＋1）＝1748. 综上可得1|AB |＋1|CD |为定值．求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E ，F 是椭圆C 上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，则x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12（4k 2＋3）x A＝4k 2－12k －34k 2＋3，①又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，故以上k 用－k 代替得x F ＝4k 2＋12k －34k ＋3，② 所以k EF ＝y F －y Ex F －x E＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k （x F －1）＋32－⎣⎢⎡⎦⎥⎤k （x E －1）＋32x F －x E＝－k （x F ＋x E ）＋2kx F －x E.把①②两式代入上式，得k EF ＝12，为定值．最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围．【解】 (1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k2.由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系23≤λ≤34，结合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k 的不等式，通过解不等式达到目的．方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】 (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：x 24＋y 23＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－27，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，127，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，－127，则△AMN 的面积为12×247×⎝ ⎛⎭⎪⎫－27＋2＝14449.(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2ttk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－t )＝t 2k 2－3t3＋tk2，即x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.由t >3，得3k （2k －1）k 3－2>3，所以k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式．方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，①当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，k 2>14.所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.此题抓住直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k 的不等式，从而求得λ的取值范围．方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】 (1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以4x 2＋y 2＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4，两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k ，代入①式得k ＝－y 02.又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m ，所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，334.利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．命题角度二构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 2A →＝λF 2B →，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|TA →＋TB →|的取值范围．【解】 (1)由离心率e ＝33，可知c a ＝33，由△F 1AB 的周长为43，得4a ＝43，所以a ＝3，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－233，又T (2，0)，所以|TA →＋TB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－233＝2.当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－4k 2＋3k 2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4k 22＋3k2.因为F 2A →＝λF 2B →，F 2(1，0)，所以y 1y 2＝λ，λ<0.易知λ＋1λ＋2＝（y 1＋y 2）2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22－4k 22＋3k2＝－42＋3k 2，由λ∈[－3，－1)，得λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－103，－2，即λ＋1λ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0，故－43≤－42＋3k 2<0，解得k 2≥13.因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)，所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k ，－4k 2＋3k ，故|TA →＋TB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2＋82＋3k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋3k 22＝36k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）2＝4（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）2＝4＋643·12＋3k 2＋163·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3k 22. 令t ＝12＋3k 2，因为k 2≥13，所以0<12＋3k 2≤13，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，所以|TA →＋TB →|2＝4＋643t ＋163t 2＝163(t ＋2)2－523∈⎝⎛⎦⎥⎤4，31627，所以|TA →＋TB →|∈⎝⎛⎦⎥⎤2，22379.综上，|TA →＋TB →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，22379.本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子12＋3k 2，此时可把式子12＋3k 2看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个简单的二次函数．方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋bx(b ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．【解】 (1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以a 2＝2c 2，所以e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42，所以4a ＝42，即a ＝ 2.由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.所以F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92（2k 2＋1），令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P →·F 2Q →＝72－9t (t >2)，所以F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72.结合①②，得F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到F 2P →·F 2Q →的目标函数，然后分离参数，构建y ＝a ＋bx(b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋b x(ab ≠0)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0，又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－1my －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4. 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8m24m 2＋1，－4m 4m 2＋1.①当m ≠±1时，k MN ＝5m 4（m 2－1），l MN ：y ＝5m 4（m 2－1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，此时直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，此时直线MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.综上，直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. (3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＋9＝令t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，则S △AMN ＝84t ＋9t，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号．又y ＝4t ＋9t 在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤1625，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S △AMN )max ＝1625.本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ，再进行换元就可以看出其分母为双曲线型函数结构y ＝4t ＋9t，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．[对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3，又|OA |－|OF |＝1，所以a －a 2－3＝1，解得a＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1.设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，则FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，即4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，所以直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 由x M ≥1，得20k 2＋912（k 2＋1）≥1，解得k ≤－64或k ≥64，所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 的斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以直线AP 的斜率k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)． (2)由(1)知P (x ，x 2)，－12<x <32，所以PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ，14－x 2.①当直线AP 的斜率为0时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，|PA |·|PQ |＝1.②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋12k ＋14，l BQ ：y ＝－1k x ＋32k ＋94，由14－x 2－12－x ＝k ，整理得x ＝k ＋12，联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q ⎝ ⎛3＋4k －k 22k 2＋2，⎭⎪⎫9k 2＋8k ＋14k 2＋4，故PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2，又PA →＝(－1－k ，－k 2－k )，故|PA |·|PQ |＝AP →·PQ →＝（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＋k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2716，故|PA |·|PQ |的最大值为2716.综上，|PA |·|PQ |的最大值为2716.存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以c 2a ＋t 2b ＝1，解得t ＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a ＝b 2ac，即b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，① 又AB ＝23，所以a 2＋b 2＝12，②由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204＝1，③设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－22，0)，所以y 0x 0＋22×y 0x 0－m＝k ，④由③得y 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 208，⑤ 将⑤代入④，得k ＝8－x 22[x 20＋（22－m ）x 0－22m ]. 所以⎩⎨⎧22－m ＝0，22m ＝8，所以m ＝22，k ＝－12，所以存在点D (22，0)，使得k QA ×k QD ＝－12.命题角度二字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切． (1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，x 1＋x 2＝－36k 9k 2＋8，所以x 0＝－18k9k 2＋8， y 0＝kx 0＋2＝169k 2＋8，因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－1k，即169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m ＝－1k ，所以m ＝－2k 9k 2＋8＝－29k ＋8k ，当k >0时，9k ＋8k ≥29×8＝122，所以－212≤m <0；当k <0时，9k ＋8k ≤－122，所以0<m ≤212.因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－212，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，212.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[对点训练]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝14，一动圆与直线x ＝－12相切且与圆C 外切．(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程．(2)若经过定点Q (6，0)的直线l 与曲线T 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在y 轴的左侧，故x ≥0，因为动圆与直线x ＝－12相切，且与圆C 外切，所以|PC |－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝12，所以|PC |＝x ＋1，所以（x －1）2＋y 2＝x ＋1，化简可得y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线l 与y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋6，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋6，y 2＝4x 并消去x ，可得y 2－4my －24＝0，显然Δ＝16m 2＋96>0，由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，①又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)，所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝y 214·y 224，所以x 1x 2＝36，③假设存在N (x 0，y 0)，使得NA →·NB →＝0，由题意可知y 0＝y 1＋y 22，所以y 0＝2m ，④由N 点在抛物线上可知x 0＝y 204，即x 0＝m 2，⑤又NA →＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，NB →＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，若NA →·NB →＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0，由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0，即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝23，故m ＝±63，所以存在直线3x ＋6y －18＝0或3x －6y －18＝0，使得NA ⊥NB .1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则x 2M 4＋y 2M3＝1，所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M ＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2，又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9，所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0，由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 1，所以x M ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21，同理可得x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22，又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3，则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21＝－x M ，从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数． 3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若PA ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c 2＝c a，解得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意知直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0.设k PA ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ，直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k ，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－1k .因为y M ·y N ＝8k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1k ＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .① 由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.。

二轮复习圆锥曲线的性质学案(全国通用)

微专题67 圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。

则22b PQ a= （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan 2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅V 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++ 12212121212112sin sin 221cos PF F b S PF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+V 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F S c y c y =⋅⋅=⋅V ，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S V 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

2019-2020学年高三数学二轮专题复习《圆锥曲线与方程》导学案.doc

2019-2020学年高三数学二轮专题复习《圆锥曲线与方程》导学案1. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>，其焦点F 到准线l 的距离是12。

（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线上的一点P 的横坐标是(0)t t >，过P 的直线交抛物线于另一点Q ，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线于另一点N ，若MN 为抛物线的切线，求t 的最小值。

2. 已知222:(1)(1)C x y r r -+=>，设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上。

（1）求点N 的轨迹E 的方程；（2）若12200(,2),(,),(,)A x B x y C x y 是E 上不同的点，且AB BC ⊥，求0y 的取值范围。

3. 如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D在抛物线22(0)x py p =>上，其中点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知过点(0,1)P -的直线l 与抛物线24x y =相交于点1122(,),(,)A x y B x y 两点，12,l l 分别是抛物线24x y =在,A B 两点处的切线，,M N 分别是12,l l 与直线1y =-的交点。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较||,||PM PN 的大小，并说明理由。

复合函数1.设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a …的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.2.已知函数22()ln(1).1xf x xx=+-+(I) 求函数()f x的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)n a en++≤对任意的N*n∈都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.3．已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，/1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥．4.设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．。

二轮专题复习圆锥曲线教学案

专题复习：圆锥曲线【知识梳理】1、椭圆、双曲线、抛物线的概念。

2、标准方程所表示曲线的几何性质。

3、直线与圆锥曲线的位置关系。

4、体会设而不求思想及坐标法解题。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现。

2．直线与圆锥曲线的位置关系，常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。

3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．轨迹问题、对称问题、参变量的范围问题、定点、定值及最值问题也是本章的几个热点问题，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

【自测回扣】1、已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为(A) 3(2＋3) (B) 3(2－3) (C)2＋ 3 (D) 2－ 3答案：(B)2、设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：(B)3、椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为____________.答案：24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________．答案：658.【典型例题】例1、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. 因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=.故椭圆C 的方程为 22143x y +=. （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+.所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=.当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥.所以00y ≤<，或00y <≤.综上，0y 的取值范围是[. 思想方法规律总结：垂直平分问题要充分抓住垂直和平分两个条件：垂直用好斜率为负倒数的条件，平分用好中点在对称轴上的条件；求0y 的范围，要把0y 表示为k 的函数. 变式训练1、在周长为定值的ABC ∆中，已知||AB =，动点C 的运动轨迹为曲线G ,且当动点C 运动时，C cos 有最小值12-. (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，求曲线G 的方程. (2)过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线G 于M ，N 两点．将线段MN 的长|MN |表示为m的函数，并求|MN |的最大值．解：(1)设 ||||2CA CB a += (a >为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距2||c AB ==因为 22(||||)2||||1226cos 12||||||||CA CB CA CB a C CA CB CA CB +---===-又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 26cos 1C a ≥-，由题意得 22611,42a a -=-=. 所以C 点轨迹G 的方程为 221(0)4x y y +=≠ (2) 由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|MN |＝ 3.当m ＝－1时，同理可知|MN |＝ 3. 当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|MN |＝ 3. 所以|MN |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．因为|MN |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|MN |＝2. 所以|MN |的最大值为2.例2、已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值;（II ）若△POM 的面积为25，求向量与的夹角；(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即4,142121211=∴+=+y y y y y y 即.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM .5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOM S ROM 由此可得tan α =1, 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,Q M BQ k k =∴ 313222331,1444y y y y y y -=+-即3231311,4y y y y +=-+ 23133(1)()4,y y y y ∴++=-即131340y y y y +++=,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点)4,1(-E .思想方法规律总结：定值问题注意联系韦达定理；定点问题注意要把直线表示成y-0y =k(x-0x ). 变式训练2、已知 F 1、F 2是椭圆14222=+y x 的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足21PF ⋅=1.过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（1）求P 点坐标;（2）求证：直线AB 的斜率为定值; （3）求△PAB 面积的最大值.解：（1）由题可得F 1(0, 2), F 2(0, －2), 设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) 则)2,(),2,(001001y x PF y x PF ---=--=,1)2(202021=--=⋅∴y x PF PF),(00y x P 在曲线上，则21)2(24:24,1420202020202020==----=∴=+y y y y x y x 得从而则点P 的坐标为（1，2）（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k(k>0) 则BP 的直线方程为：y －2=k(x －1)222222222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2k k k k k k x k k k x y x B k x k k x k y x x k y B B B B +--=-+-=+-=+=--+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-则设得由222222k k k x A +-+=同理可得 2228)1()1(,224k kx k x k y y k k x x BA B A B A +=----=-+=-则 ∴AB 的斜率2=--=BA BA AB x x y y k 为定值（3）设AB 的直线方程：m x y +=204224:14222222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y 得 22220)4(16)22(22<<->--=∆m m m 得由3||m d AB P =的距离为到 3)214(||2⋅-=⋅m AB2)28(81)8(813||3)214(21||21222222=+-≤+-=⋅⋅-=⋅=∆m m m m m m d AB S PAB 则当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号 ∴三角形PAB 面积的最大值为2【总结提高】高考命题要求掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，直线与圆锥曲线的位置关系，注意数学思想与方法的应用，注重对数学能力的培养，加强探究性、综合性、应用性,体会设而不求思想及坐标法解题。

圆锥曲线复习学案

圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，（这种说法不作要求）三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ∉ ，如图：因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

② 定量：（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变），举焦点在x 轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2019届二轮复习高考解答题突破(五)圆锥曲线的综合应用学案

高考解答题突破(五)圆锥曲线的综合应用突破“两设”——设点、设线[思维流程][技法点拨]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2问往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点\”“线\”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．考向一圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD ＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．解圆锥曲线范围、最值问题的要点求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[对点训练]1．(2018·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于两点P ，Q ，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．[解] (1)由题意可知以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．∴|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)． ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12.∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝ 1－b 2a 2＝12＝22.(2)∵△PQF 2的周长为42，∴4a ＝42，∴a ＝2，由(1)知b 2a 2＝12，∴b 2＝1， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝－1，解方程组⎩⎨⎧x ＝－1，x 22＋y 2＝1，可得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－22.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，∴F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，∴F 2P →·F 2Q →＝(－2)×(－2)＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝4－12＝72.故F 2P →·F 2Q →＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y 整理得 (2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.∴F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1 ＝72－92(2k 2＋1)，∵k 2>0，∴可得－1<F 2P →·F 2Q →<72，综上可得－1<F 2P →·F 2Q →≤72， ∴F 2P →·F 2Q →的最大值是72.考向二圆锥曲线中的定点、定值问题1．定点问题的求解策略解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．2．定值问题的求解策略定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．[解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1，由已知可得，点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3点(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[对点训练]2．(2018·天津和平二模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于M 、N 两点(异于A 点)，且满足MA ⊥NA ，试证明直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：如图，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，整理，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.从而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2，由椭圆E 的右顶点为A (2,0)，MA ⊥NA ，得y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 则有3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，整理，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k7，均满足条件3＋4k 2－m 2>0. 当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，直线l 过定点A ，与题设矛盾；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，所以直线l 经过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 考向三圆锥曲线中的探索性问题处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．[解]存在性问题的解题步骤[对点训练]3．(2018·河北唐山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k ，使得以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．[解] (1)直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab (－a )2＋b2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)存在．理由：假设存在这样的k .联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.由题意知Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，②x 1x 2＝91＋3k 2，③而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时成立，则y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，④ 将②③式带入④式整理得k ＝76. 经验证，k ＝76时使得①式成立．综上可知，存在k ＝76使得以CD 为直径的圆过点E .专题跟踪训练(二十七)1．(2018·济南模拟)已知点P (－2,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； (2)求△P AB 面积的最大值．[解] (1)将P (－2,1)代入x 2a 2＋y 22＝1，得(－2)2a 2＋122＝1，a 2＝8.故椭圆方程为x 28＋y 22＝1.当直线AB 斜率不存在时不合题意，故设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4km 1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM ＝k OP ，y 0x 0＝－12，m －4km＝－12，∴k ＝12，即直线AB 的斜率为12. (2)当k ＝12时，由Δ＝64－16m 2>0得－2<m <2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝1＋122(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21＋1224－m 2，点P 到直线AB ：y ＝12x ＋m 的距离d ＝|m －2|1＋122，△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m －2|4－m 2 ＝－(m －2)3(m ＋2).设f (m )＝－(m －2)3(m ＋2)(－2<m <2)，则f ′(m )＝－[3(m －2)2(m ＋2)＋(m －2)3]＝－4(m －2)2·(m ＋1)，求得f (m )max ＝f (－1)＝27，所以S max ＝27＝3 3.2．(2018·东北三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为22，且过焦点的弦中最短的弦的长度为233.(1)求该椭圆C 的方程．(2)经过椭圆右焦点F 2的直线和该椭圆交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，O 为原点，若OP →＝12OA →＋32OB →，求直线的方程．[解] (1)由题意得，在椭圆中c ＝2，所以a 2－b 2＝2.① 过焦点的弦中垂直于x 轴的弦最短，易得该直线与椭圆的交点的纵坐标为±b 2a .由弦的长度为233得2b 2a ＝233，即b 2a ＝33.② 由①②式得a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，因为OP →＝12OA →＋32OB →，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2. 又因为点P 在椭圆上，所以x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2 ＝14＋34＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，所以x 1x 2＋3y 1y 2＝0.①当直线斜率为0时，其方程为y ＝0，此时不妨设A (3，0)，B (－3，0)，不满足x 1x 2＋3y 1y 2＝0，不符合题意，舍去．②当直线斜率不为0时，设直线方程为x ＝my ＋2，由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，x 23＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋3y 1y 2＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋2＋3y 1y 2＝(m 2＋3)×－1m 2＋3＋2m ×－22mm 2＋3＋2＝0，化简，得m 2－4m 2＋3＝0，解得m 2＝1，所以直线方程为x ＝±y ＋ 2.综上，直线方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.3．(2018·西安模拟)如图，点F 是抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2,0)，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求抛物线Γ的方程；(2)若k 2－k1＝2，点D 是B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 是定值．[解] (1)设A (x 0，y 0)，可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，p 2－y 0＝(2,0)，∴⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝p2代入x 2＝2py (p >0)，得4＝p 2，即p ＝2，∴抛物线Γ的方程为x 2＝4y .(2)证明：如图，过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，由(1)得A (－2,1)，∴k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14，又k 2－k 1＝2，∴x 2－x 14＝2，即x 2－x 1＝8. 又x 2＝4y 即y ＝14x 2，有y ′＝12x ， ∴k BD ＝x 12，k CD ＝x 22，∴直线DB ：y ＝x 12x －x 214，直线CD ：y ＝x 22x －x 224. ∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224解得⎩⎨⎧x D ＝x 1＋x 22，y D＝x 1x24.又∵直线BC 的方程为y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，将x D 代入，得y E ＝x 21＋x 228.∴△BCD 的面积为S ＝12ED ·(x 2－x 1)＝12×(y E －y D )×(x 2－x 1)＝12×(x 2－x 1)28×(x 2－x 1)＝12×828×8＝32(定值)． 4．(2018·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m 2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝m －m 2＝m 2，故e ＝c a ＝22.(2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)．所以x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·12(m －6)3. |CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上，因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫4232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49，又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49，故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．。

高二期末圆锥曲线复习学案汇编

圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识1、三种圆锥曲线的研究（1）当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：椭圆双曲线抛物线焦距无长轴长无无实轴长无无短轴长无通径长离心率基本量关系无（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变），当焦点在x 轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程 1b y a x 2222=+（a>b>0）1b y a x 2222=-（a>0，b>0） y 2=2px （p>0）顶点（±a ，0）（0，±b ）（±a ，0）（0，0）焦点（±c ，0）（2p，0）中心（0，0）范围 |x|≤a |y|≤b|x|≥a x ≥0 焦半径————|PF|=x 0+2p总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

二、常见结论：1、与双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为等轴双曲线的性质：离心率为，渐近线方程为，等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠02、焦点弦的性质焦点弦过px y22=()0>p 的焦点弦ＡＢ，Ａ（1x ，1y ）Ｂ（2x ，2y ）（1）AB = ；（2）12y y = ，12x x = ，（3）以AB 为直径的圆与准线相切（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦. 三、典例剖析题型一:圆锥曲线的定义及方程例1根据下列条件，求双曲线方程：（1）已知双曲线的一条渐进线方程为12y x =，且通过点(3,3)A ，则该双曲线的标准方程为．（2）与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；例2（1）设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(3,1)，则2||||PM PF +的最大值为．（2）设点P 在双曲线116922=-y x 上，若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，求△F 1PF 2的周长。

(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线学案文

第2讲圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为22，F 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F 关于直线y ＝x ＋4对称，则椭圆方程为( ) A.x 218＋y 29＝1 B.x 29＋y 218＝1C.x 218＋y 29＝1或x 29＋y 218＝1 D.x 28＋y 24＝1或x 24＋y 28＝1 答案 C解析由题意知，ca ＝22，得a 2＝2b 2＝2c 2，当F 在x 轴上时，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，椭圆上任取点P ()x 0，y 0，取焦点F (－c,0)，则PF 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－c 2，y 02，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝x 0－c 2＋4，k PF＝yx 0＋c ＝－1，联立两式解得x 0＝－4，y 0＝4－c ，代入椭圆方程解得a ＝32，b ＝3，由此可得椭圆方程为x 218＋y 29＝1.同理，当F 在y 轴上时，椭圆方程为y 218＋x 29＝1.(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A解析因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C ：y 26＋x 22＝1共焦点且渐近线方程为y ＝±3x 的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.y 23－x 2＝1 答案 D解析 ∵y 26＋x 22＝1的焦点坐标为(0，±2)，∴双曲线的焦点为(0，±2)，可得c ＝2＝a 2＋b 2，由渐近线方程为y ＝±3x ，得a b＝3， ∴a ＝3，b ＝1，∴双曲线的标准方程为y 23－x 2＝1，故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M为y 轴上一点，点A 是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且|OA |＝|OF 2|＝3|OM |，则椭圆C 的离心率为( ) A.104 B.106 C.55 D.53答案 A解析因为|OA |＝|OF 2|＝3|OM |，所以∠F 1AF 2＝90°. 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，如图所示，由题意可得Rt△AF 1F 2∽Rt△OMF 2，所以|AF 1||AF 2|＝|OM ||OF 2|＝13，则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，n ＝3m ，解得m 2＝2b 23，n 2＝9m 2＝6b 2，所以2b 23＋6b 2＝4c 2，即5(a 2－c 2)3＝c 2，解得e ＝c a ＝104，故选A. (2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322 D ．2 2答案 D解析由题意，得e ＝c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2. 又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，所以点(4,0)到渐近线的距离为42＝2 2.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1 答案 D解析在Rt△PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析方法一由题意可设渐近线方程为y ＝b a x ，则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c 3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴c ＝2a ，b ＝3a ，∴渐近线方程为y ＝±3x . 热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率；(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a3a 2＋b 2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ， ∴|AB |＝2b 2a ＝12a ，即a 2＝4b 2，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2，∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b4a 2＋b2＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12，∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m >0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上；当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m(x －1)，消去y ，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan∠NTF ＝|NF ||TF |＝1，得∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2，又动点T (－1，m )，其中m >0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．综上可知，m ＝2，N (3,2)．真题体验1．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．答案 2解析设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．答案 2 3解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2 押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．答案 A解析由F 2(c ,0)到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中，||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan∠F 2OA ＝b a ，tan∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组专题通关1．(2018·合肥模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线C 的方程为( )A.y 22－x 28＝1 B.y 28－x 22＝1 C ．y 2－x 24＝1D.y 24－x 2＝1 答案 C解析设M 为双曲线虚轴的右端点，由题意，可得F (0，c )，M (b ,0)，则A (2b ，－c )，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝9，c 2a 2－4b2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，所以双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.2．(2018·潍坊模拟)设P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内切圆的半径为( ) A ．a B ．b C ．c D ．e 答案 A解析根据题意PF 1→·PF 2→＝0，可知△AF 1P 是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径公式以及双曲线的定义可知2r ＝|PF 1|＋|PA |－|AF 1|＝|PF 1|＋|PA |－|AF 2|＝|PF 1|－(|AF 2|－|PA |)＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，求得r ＝a ，故选A.3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 29＝1 B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析设双曲线的右焦点为F (c ,0)．将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a b 2＋(－a )2＝|bc －b 2|c＝bc(c －b )，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a b 2＋(－a )2＝|bc ＋b 2|c＝bc(c ＋b )，∴d 1＋d 2＝bc·2c ＝2b ＝6，∴b ＝3. ∵c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝3， ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选A.4．(2018·全国Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 C解析如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a . 又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.5．(2018·全国Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________. 答案 2解析方法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 的中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM →＝(－1－x 1,1－y 1)， BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.6．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．答案3－1 2解析方法一双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ，则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2.如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________．答案 ±22解析由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，可得|CD |＝2p ，若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意，∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，化为x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k 2x ＋p24＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2，由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2pk2＝6p ，可得k 2＝12，所以k ＝±22.8．(2018·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且离心率为12，△ABC的三个顶点都在椭圆C 上，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1，k 2，k 3均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1，则1k 1＋1k 2＋1k 3＝________.答案－43解析由题意可得c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ()x 3，y 3，x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式作差得()x 2－x 1()x 2＋x 14＝－()y 2－y 1()y 2＋y 13，则()x 2＋x 1()y 2＋y 1＝－4()y 2－y 13()x 2－x 1，1k 1＝－43k OD ，同理可得1k 3＝－43k OM ，1k 2＝－43k OE ，所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43()k OD ＋k OE ＋k OM ＝－43.9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题意知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2，所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 由题意求得直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.B 组能力提高11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 D 解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与C 的左支相交于M ，N 两点，若△MNF 2的一个内角为60°，则C 的离心率为________．答案3＋12解析画出图形如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得△MNF 2是等边三角形，点M ，N 关于x 轴对称，且|F 1M |＝|F 1N |＝2c ，∠MF 1N ＝120°. ∴点M 的横坐标为－c －2c ·cos 60°＝－2c ，纵坐标为2c ·sin 60°＝3c ，故点M (－2c ，3c )．又点M 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，∴4c2a 2－3c 2b 2＝1，即4c 2a 2－3c2c 2－a 2＝1，整理得4c 4－8c 2a 2＋a 4＝0， ∴4e 4－8e 2＋1＝0，解得e 2＝8±488＝4±234，∴e ＝3±12，又e >1，故e ＝3＋12. 13．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析方法一特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝2 2.方法二由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， Δ＝8k 2＋8>0. 由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2，则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，所以|PQ |2|MN |＝2 2. 综上，|PQ |2|MN |＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c . 因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。

高考数学第二轮复习圆锥曲线导学案1

4.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______
总结：
四、典型例题
例1 双曲线的中心在原点，实轴在轴上，且与圆交于点，如果过点的圆的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴的上端点的连线，求双曲线的方程．
例2.如图，椭圆（）的左、右焦点分别为，是椭圆的右准线上的两个动点，且．
画川高级中学高三数学（体艺）学案
复习课题：圆锥曲线1
〖导学过程〗
1、复习目标：
掌握圆锥曲线的相关知识，能解决基础的相关问题
二．知识整理：
三、小题练习
1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A． B．
C． D．
2.方程表示的曲线是_____
3.已知方程表示椭圆，则的取值范围为____
（1）设曲线是以为直径的圆，试判断原点与圆的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，若双曲线的一个焦点为，那么的值为．
2.过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是．
3.已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

高考数学第二轮专题复习圆锥曲线教案

高考数学第二轮专题复习圆锥曲线教案一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭圆双曲线抛物线轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a 短轴长：2b对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=焦点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上F(2P，0) 曲线性质焦点对称轴上焦距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2准线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a=1 (h,±c+k) y=±ca 2+kx=h y=k二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

2019届二轮复习圆锥曲线综合应用学案 (全国通用)

一、考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．二、概念掌握和解题上注意点：1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：）.消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.）.重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.3.处理中点弦问题的常用方法）.点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.）.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 三、高考考题题例分析例1.(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率，(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】(1)1；(2) y ＝x ＋7.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.例2. (2017浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【答案】(1) (－1,1)；(2)2716【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时， |P A |·|PQ |取得最大值2716.学例3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A ． 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3【答案】C∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝(3＋1)2＋(23－23)2＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C ．例4．(2016全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【答案】(1)14449；(2) (32，2)．【解析】设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6kt (1＋k 2)3k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．例5.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【答案】见解析(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值圆锥曲线综合应用练习题一、选择题1．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23 B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．⎝⎛⎭⎫－23，23 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 【答案】C【解析】双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝ ( )A ． 2B ．22 C ．12D ．03．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个共公点时，k ＝0或1.4．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是 ( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分【答案】B 【解析】x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0【答案】D【解析】由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为 ( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4y【答案】B7．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )A ．4x 221－4y 225＝1B ．4x 221＋4y 225＝1C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1【答案】D【解析】因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1. 学8．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)【答案】A9．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有 ( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A ．x 218＋y 29＝1B ．x 227＋y 218＝1C ．x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1【答案】A【解析】因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.11．已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP→为 ( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9【答案】D12.抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为 ( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . 二、填空题13．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为．【答案】16【解析】直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.14．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是．【答案】x ＋2y －8＝015．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为 . 【答案】2【解析】不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2＋3【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)．故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.学三、解答题17．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．【答案】(1) x 24＋y 22＝1；(2) 126818.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；(2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标．【答案】(1) y 2＝8x ；(2) (1，－1)．【解析】 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由点⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .19．已知定点F (0,1)，定直线l ：y ＝－1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切． (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2两条切线相交于点P ，求△P AB 外接圆面积的最小值. 【答案】(1) x 2＝4y ；(2) 4π.【解析】 (1)法一：设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d . 设圆心M (x ，y )，则有x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|.化简得x 2＝4y .所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设圆心M 到直线l 的距离为d ，由题意|MF |＝d .根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .法二：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝4(k 2＋1)．因为曲线C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x2.所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.①同理可得直线l 2的方程为y ＝x 22x －x 224.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P (2k ，－1)．因为P A →·PB →＝(x 1－2k ，y 1＋1)·(x 2－2k ，y 2＋1) ＝x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝0，所以P A ⊥PB ，即△P AB 为直角三角形．所以△P AB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径．因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.因为AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋1)，所以AB 的中垂线方程为y －(2k 2＋1)＝－1k (x －2k )，因为P A 的中垂线方程为y －(k 2－kk 2＋1)＝(k ＋k 2＋1)[x －(2k －k 2＋1)]，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N (2k,2k 2＋1)．因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 为△P AB 的外接圆的圆心．所以△P AB 是直角三角形，且P A ⊥PB ，所以线段AB 是△P AB 外接圆的直径．学因为|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2＝23相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．【答案】(1) x 22＋y 2＝1；(2)见解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2⇒(kx 2＋m －1)x 1＋(kx 1＋m －1)x 2x 1x 2＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)．综上，直线AB 过定点(－1，－1)．21．已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，F 为左焦点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点．直线AP 与过点B 且垂直于x 轴的直线l 交于点M ，直线MN ⊥BP 于点N .(1)求证：直线AP 与直线BP 的斜率之积为定值； (2)若直线MN 过焦点F ，AF →＝λFB →(λ∈R )，求实数λ的值. 【答案】(1)见解析；(2) λ＝13.(2)设直线AP 与BP 的斜率分别为k 1，k 2，由已知F (－c,0)，直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋a )，直线l 的方程为x ＝a ，则M (a,2ak 1)． ∵MN ⊥BP ，∴k MN ·k 2＝－1. 由(1)知k 1·k 2＝－b 2a 2，∴k MN ＝a 2b 2·k 1.又F ，N ，M 三点共线，得k MF ＝k MN ，即2ak 1a ＋c ＝a 2b 2k 1，得2b 2＝a (a ＋c )．∵b 2＝a 2－c 2，∴2(a 2－c 2)＝a 2＋ac ，化简整理得2c 2＋ac －a 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝12或ca ＝－1(舍去)．∴a ＝2c .由AF →＝λFB →，得(a －c,0)＝λ(a ＋c,0)，将a ＝2c 代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c ＝3λc ， ∴λ＝13.22．已知抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，椭圆C 2与抛物线C 1有公共的焦点，且C 2的中心在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 1分别交于A ，B 两点．(1)若AM →＝12MB →，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 1上，直线l 与椭圆C 2有公共点，求椭圆C 2的长轴长的最小值.【答案】(1) y ＝2x －42或y ＝－2x ＋42；(2) 34(2)设P (m ，n )，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫m 2，n 2. 因为O ，P 两点关于直线y ＝k (x －4)对称，所以⎩⎨⎧n 2＝k ⎝⎛⎭⎫m2－4，nm ·k ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8k 21＋k2，n ＝－8k1＋k2.将其代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋k 22＝4·8k 21＋k 2. 所以k 2＝1.。

高考数学二轮复习圆锥曲线综合学案(全国通用)

培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q两点，且PQ = （1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1．【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，因为PQ =，不妨设点(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==，所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=，设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--，即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y xc=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=，则tan b c α=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c aα=， ()12122sin 9012||sin sin 90F F c a c e b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++，解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m+==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，2CD x =-===而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．（1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=u u u u r u u u r ，2240BM BN +=，求λ的值．【答案】（1）24y x =，2AF =；（2）2λ=±．【解析】（1）Q 抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ， 12p∴=，则24p =，抛物线方程为24y x =； Q 点()1,2A 在抛物线C 上，122pAF ∴=+=．（2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程241y xx my ==+⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my -=-．所以121244y y m y y +==-⎧⎨⎩ ①，且112211x my x my =+=+⎧⎨⎩，又MF FN λ=u u u u r u u u r，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+u u u u r ，()221,BN x y =+u u u r，则()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++u u u u r u u u r u u u u r u u u r()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640m m ++=，解得212m =，故2λ=±．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-u u u u ru u u u r ，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(．【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x x =⇔=，1b =，∴椭圆方程2213x y +=．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()22222222130130 3641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩，设()111,Q x y ，()222,Q x y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k --⋅=-．又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u u u u u r u r．又：125OQ OQ ⋅=-u u u u ru u u u r ，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③ 由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M==将2219mk =-代入有1212M M M M =⇒=12M M ⇒=，令2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，点A ⎛ ⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，∵A ⎛ ⎝在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=， ∴1229ty y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y t y +==且33t -<<，由PM NQ =u u u u r u u u r，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析．【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=， P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c = ∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，对点增分集训()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-，下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-，即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=--- 即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2）．【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有229141a b +=，由等面积法，可得原点O 到直线AB=联立两方程解得2a =，b =，所以椭圆E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即2203412x y +=．直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有0022y BD x =+=+，同理，可得AC =．所以四边形的面积为1122AC BD ⋅=1122====．所以四边形ABCD的面积为．3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=u u u r u u r u u ，2AP AM =u u u u r u u u r ．（1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤u u ur u u u r （其中O 是坐标原点），求k 的取值范围．【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2212x y +=；（2）⎡⎢⎣U ．【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为∴a =，1c =，1b ==，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ，直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+， ∴()()()()()222221212121222122411212k b kb OF OH x x y y k x x kb x x b kb b k k +--⋅=+=++++=++++u ur u u u u u r()()222222222124111121212k kk k k k k k k +++=-++=+++，所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，k ≤≤，解得k ≤≤k ≤≤故所求范围为⎡⎢⎣U ． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S A O h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△， 12c e a ==Q ，2a c ∴=，2a ∴=，1c =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x xk m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长22212243132143k k PQ k x x k ⋅+⋅+=+-=+，令2433t k =+≥，所以21246333,3PQ t t ⎛⎤⎛⎫=⋅-++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝；综上，463,3PQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣，5．如图，己知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的左、右焦点，直线():1l y k x =+经过左焦点1F ，且与椭圆G 交A ，B 两点，2ABF △的周长为43．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）是否存在直线I ，使得2ABF △为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132x y+=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为()1,0-，故1c =．又2ABF △的周长为43，即22443AB AF BF a ++==3a =222312b a c =-=-=．因此，椭圆G 的标准方程为22132x y +=．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即22AF BF ≠．由题意知()21,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，假设22AF BF =，则=又2211132x y +=，2222132x y +=，代入上式，消去21y ，22y 得：()()121260x x x x -+-=．因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以12x x ≠，故126x x +=．(与1x ≤2x≤126x x +≤<矛盾）联立方程()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k +++-=，所以21226632k x x k +=-=+矛盾．故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰．假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点．设1AF m =，则2AF m =-，在12AFF △中，由勾股定理得：()224m m +-=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。