历年北京高中数学合格性考试汇编：函数(教师版)
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =（ ） A ．{2,1}-- B ．{2,0}- C ．{0,1} D ．{0,2}【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案. 【详解】集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=, 故{0,2}A B ⋂=， 故选：D2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-， ∴z =12i -. 故选：D.3．()sin 45-︒=（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 45sin 45-︒=-︒=. 故选：B4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，()()()22R,x f x x x f x ∈-=-==，即函数为偶函数. 故选：B.5．sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（ ） A ．0.24 B ．0.14 C ．0.06 D ．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案. 【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=. 故选：C8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x=C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意； 1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意；2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，14,3AB AC AA ===，则BAC ∠ 为直角， 故可得：11111114432422AB BC B A C A C V S AA AB AC AA -=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= , 故选：D10．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】11011a b →→⋅=⨯+⨯=. 故选：B.11．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABCD 不一定是矩形，所以“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A.12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由真数大于0可得. 【详解】由30x ->，得3x >. 故选：A13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（ ）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=. 故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ） A ．0.25 B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是21222=+. 故选：C15．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊂∥，则αβ∥【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD ，由线面垂直的性质可得B 正确. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，记底面ABCD 为α，EF 为m ，EH 为n ，显然A 不正确；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面CDHG 为β，故排除C ；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面ABFE 为β，可排除D ；由线面垂直的性质可知B 正确. 故选：B16．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ） A ．1 B ．2 C 2D 3【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴ 3b =故选：D.17．已知a ，b 是实数，且a b >，则（ ） A ．a b -<- B ．22a b <C ．11a b> D ．||||a b >【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于a b >，所以a b -<-，A 选项正确.221,1,,a b a b a b ==-==，BD 选项错误.112,1,a b a b==<，C 选项错误. 故选：A18．已知0,0x y >>，且1xy =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为,0x y >，所以2x y +≥=，当且仅当1x y ==时取“=”. 故选：B.19．已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】()2xf x =在[)0,∞+上是增函数，所以最小值为()0f ，没有最大值. 故选：C20．对于正整数n ，记不超过n 的正奇数的个数为()K n ，如(1)1K =，则(2022)K =（ ） A ．2022 B ．2020 C ．1011 D ．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可. 【详解】由题意，不超过2022的正奇数有202210112=个. 故选：C. 二、填空题21．计算：lg 2lg5+=___________． 【答案】1【详解】lg2lg5lg101+==. 故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,S S 甲乙，则：2S 甲______2S 乙（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】<【分析】计算出22,S S 甲乙，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455S =⨯=甲. 乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255S =⨯+⨯=乙， 所以22S S <甲乙. 故答案为：<23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25℃对应77℉； ②20-℃对应4-℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值． 其中所有正确推断的序号是_____________． 【答案】①②③【分析】根据条件可得 1.832y x =+，然后逐项分析即得. 【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确.故答案为：①②③. 三、双空题24．已知函数()2,0,0,x x f x x <⎧⎪=≥则(1)f -=________；方程()1f x =的解为________．【答案】 －2 1【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥01=，解得x ＝1. 故答案为：－2；1. 四、解答题25．已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集． 【答案】(1)2()1f x x =+； (2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m =，即得； （2）利用一元二次不等式的解法即得. (1)由题意，(1)22f m =+=， 所以0m =．所以()f x 的解析式为2()1f x x =+． (2)不等式()21f x x <+等价于220x x -<． 解得02x <<．所以不等式()21f x x <+的解集为(0,2)．26．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π (2)12【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值. (1)()f x 的最小正周期为：221T ππ==. (2) 因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．27．阅读下面题目及其解答过程． 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（Ⅰ）求证：1AC BD ⊥；（Ⅱ）求证：直线1D D与平面1AB C 不平行．解：（Ⅰ）如图，连接11,BD B D ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1D D ⊥平面ABCD ．所以①___________． 因为四边形ABCD 为正方形， 所以②__________． 因为1D D BD D⋂=，所以③____________． 所以1AC BD ⊥．（Ⅱ）如图，设ACBD O =，连接1B O ．假设1//D D 平面1AB C ． 因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C平面11D DBB =④____________，所以⑤__________． 又11//D D B B，这样过点1B 有两条直线11,B O B B 都与1D D 平行，显然不可能．所以直线1D D与平面1AB C 不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ①A ．1D D AC⊥ B ．1D D BD⊥②A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥ ③A ．1BD ⊥平面1ABC B ．AC ⊥平面11D DBB④A ．1B OB ．1B B⑤ A ．11//D D B OB ．1D D与1B O为相交直线【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B ；（Ⅱ）④A ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案. 【详解】要证明1AC BD ⊥，可通过证明AC ⊥平面11D DBB 来证得，要证明AC ⊥平面11D DBB ，可通过证明1,D AC A BD D C ⊥⊥来证得， 所以①填A ，②填B ，③填B.平面1AB C 与平面11D DBB 的交线为1B O ，所以④填A ， 由于1//D D 平面1AB C ，因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C 平面111D DBB B O =，根据线面平行的性质定理可知，11//D D B O ，所以⑤填A.28．给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=； 条件②：()()1f x f x -⋅=； 条件③：()()1f x f x --=． 解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数． 【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当0x >时，()f x 的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意()f x 的定义域为(,0)(0,)D =-∞+∞， 当0x <时，24()4xf x x =+. 对于条件③，对任意x D ∈，都有()()1f x f x --=，以x -替换x ，则()()1f x f x --=，这与()()1f x f x --=矛盾，所以条件③不合题意. 若选条件①，当0x >时，0x -<，()()224411144x xf x f x x x -=--=-=+++. （1）()()44491,11145145f f --==-=+=++. （2）对于函数()()2404xh x x x =≠+， 任取120x x <<，()()()()()()221221121222221212444444444x x x x x x h x h x x x x x +-+-=-=⨯++++()()22121122221244444x x x x x x x x +--=⨯++()()()()12212122124444x x x x x x x x ---=⨯++ ()()()()122122124444x x x x xx --=⨯++，其中210x x ->，当122x x <<-时，1240x x ->，()()()()12120,h x h x h x h x ->>， 所以()h x 在(),2-∞-上递减.当1220x x -<<<时，1240x x -<，()()()()12120,h x h x h x h x -<<， 所以()h x 在()2,0-上递增.所以在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<.同理可证得：()h x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，()()()02,01h x h h x <≤<≤. 当0x >时，()()24114xf x h x x =+=++， 由上述分析可知，()f x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减.且()12f x <≤. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，由（2）的分析可画出()f x 的大致图象如下图所示，所以，当1m <-或01m ≤≤或2m >时，()g x 的零点个数是0； 当1m =-或2m =时，()g x 的零点个数是1； 当10m -<<或12m <<时，()g x 的零点个数是2．若选条件②，当0x >时，0x -<，由()()1f x f x -⋅=得()()2144x f x f x x+==--，（1）()()441451,114544f f -+-==-==-+-. （2）对于函数()()2404xh x x x =<+， 根据上述分析可知：()h x 在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增， 且在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<. 对于()()2404x f x x x+=>-，任取120x x <<，()()2222122112122144441444x x x x f x f x x x x x ⎛⎫++++-=-=- ⎪--⎝⎭()2212121212414x x x x x x x x -+-=⋅()()12212112414x x x x x x x x ---=⋅()()122112414x x x x x x --=⋅.其中210x x ->.当1202x x <<<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x -<-<<，()f x 递增；当122x x <<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x ->->>，()f x 递减.所以()f x 的增区间为()0,2，减区间为()2,+∞.且()()21f x f ≤=-. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，结合上述分析画出()f x 的大致图象如下图所示，所以当0m ≥时，()g x 的零点个数是0；当0m <时，()g x 的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出()()12f x f x -的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.。
2019北京高中数学期中汇编：函数的性质综合(教师版)
2019北京高中数学期中汇编：函数的性质综合一．选择题（共27小题）1．（2019秋•西城区校级期中）函数的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2}2．（2019秋•海淀区校级期中）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：x123f（x）213x123321g（x）则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}3．（2019秋•海淀区校级期中）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}，则函数的值域为（）A．{﹣1，0，1}B．[0，1]C．{0，1}D．[0，+∞）5．（2019秋•西城区校级期中）要得到函数y＝log2（2x+4）的图象，只需将函数y＝log2（x+2）的图象（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度6．（2019春•海淀区期中）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（）A．B．C．D．7．（2019秋•海淀区校级期中）已知，则函数f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝lnx D．y＝x2+19．（2019秋•西城区校级期中）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．D．f（x）＝x﹣|x|10．（2019秋•顺义区校级期中）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝B．y＝e﹣x C．y＝﹣x2+1D．y＝lg|x|11．（2019秋•海淀区校级期中）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣4x+5C．D．12．（2019秋•朝阳区校级期中）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②；③；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④13．（2019秋•海淀区校级期中）在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y＝3x+1B．y＝3x2+1C．y＝D．y＝x2+x14．（2019秋•西城区校级期中）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）15．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）＝x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，则a的值可以是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．316．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣2x（x≥0），则函数f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．317．已知函数f（x）＝x3+x2﹣2|x|﹣k．若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]18．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，3）D．（0，3]19．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）＝，x∈（0，1）；②g（x）＝；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）＝其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②20．（2019秋•海淀区校级期中）设函数f（x）＝4x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值3B．有最小值3C．有最小值﹣5D．有最大值﹣521．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，则正数a的所有可取的值的集合为（）A．B．C．D．22．（2019秋•西城区校级期中）函数在区间（1，3）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．323．（2019秋•朝阳区期中）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣kx+1恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）24．（2019秋•东城区校级期中）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，+∞）25．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]26．（2019秋•海淀区校级期中）给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）＝﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）＝f（1+x）．下列三个函数：y＝x3，y＝|x﹣1|，y＝中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0B．1C．2D．327．（2019春•海淀区校级期中）已知实数a，b满足a2﹣3lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）A．1B．C．2D．二．填空题（共23小题）28．（2019秋•海淀区校级期中）函数f（x）＝的定义域为（区间法）．29．（2019秋•顺义区校级期中）已知函数f（x）＝x•|x|﹣4x，则该函数的单调递增区间为，若方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值集合是．30．（2019秋•西城区校级期中）设a＞0，函数f（x）＝的值域为集合S，若2∈S，则a的取值范围是．31．（2019秋•丰台区期中）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的值域为．32．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）为一次函数，且f（x+1）＝f（x）﹣2，f（x）的零点为1，则函数f（x）的解析式为．33．（2019秋•海淀区校级期中）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为．34．（2019秋•西城区校级期中）已知x﹣2y＝6，x﹣3y＝4，则x2﹣5xy+6y2的值为．35．（2019秋•海淀区校级期中）关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，k＝．36．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．37．（2019秋•朝阳区校级期中）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是．38．（2019秋•西城区校级期中）函数的定义域是．39．（2019秋•海淀区校级期中）函数的定义域为．40．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数在区间[0，1]的最小值是﹣2，则实数a的值为．41．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数，则函数f（x）的最大值为，函数f（x）的最小值点为．42．（2019秋•海淀区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值是．43．（2019秋•西城区校级期中）已知α，β是方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝．44．（2019秋•海淀区校级期中）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）写出函数y＝x2的一个“保值”区间为；（2）若函数f（x）＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，则实数m的取值范围为．45．（2019秋•海淀区校级期中）如果关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0有两个大于的正根，则实数m的取值范围为．46．（2019秋•海淀区校级期中）已知，若函数f（x）＝x2﹣mx+m+1在A内有两个零点，则m的取值范围是．47．（2019秋•海淀区校级期中）关于x的方程g（x）＝t（t∈R）的实根个数记为f（t）．（1）若g（x）＝x+1，则f（t）＝；（2）若（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是．48．（2019秋•西城区校级期中）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．49．（2019秋•朝阳区校级期中）已知函数，若有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的值为，若存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则x1x2x3x4的取值范围是．50．（2019春•西城区校级期中）对于函数，存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝k，则符合条件的一个k的值为．三．解答题（共10小题）51．（2019秋•丰台区期中）已知函数f（x）＝a x，（a＞0且a≠1），f（﹣1）＝．（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；（Ⅰ）在同一坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象；（Ⅰ）如果f（x）＜g（x），请直接写出x的取值范围．52．（2019秋•西城区校级期中）已知函数．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅰ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅰ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．53．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+b为偶函数，且有一个零点为2．（1）求实数a，b的值．（2）若g（x）＝f（x）﹣kx在[0，3]上的最小值为﹣5，求实数k的值．54．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）＝0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．55．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数y＝f（x）的定义域为D，若存在区间[a，b]⊆D，使得{y|y＝f（x），x∈[a，b]}＝[a，b]，称区间[a，b]为函数y＝f（x）的“和谐区间”．（1）请直接写出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”．（2）若[0，m]（m＞0）为函数f（x）＝|x﹣1|的一个“和谐区间”，求m的值．（3）求函数f（x）＝x2﹣2x的所有“和谐区间”．56．（2019秋•西城区校级期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，有f（x）＝．（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）求函数f（x）的解析式（写成分段函数的形式）．57．（2019秋•西城区校级期中）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅰ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；58．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．（Ⅰ）比较f（1﹣）与f（1+）的大小，并说明理由；（Ⅰ）若函数f（x）的图象恒在x轴的上方，求实数a的取值范围；（Ⅰ）若函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a的值．59．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）满足：函数y＝在（0，3]上单调递增．（Ⅰ）比较3f（2）与2f（3）的大小，并说明理由；（Ⅰ）写出能说明“函数y＝f（x）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（Ⅰ）若函数的解析式为f（x）＝ax3+（1﹣a）x2，求a的取值范围．60．（2019秋•海淀区校级期中）已知集合M＝（﹣1，1），对于x，y∈M，记φ（x，y）＝．（Ⅰ）求φ（0，）的值；（Ⅰ）如果0＜x＜1，求φ（x，1﹣x）的最小值；（Ⅰ）求证：∀x，y∈M，φ（x，y）∈M．2019北京高中数学期中汇编：函数的性质综合参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2019秋•西城区校级期中）函数的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2}【分析】根据函数f（x）的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数中，令，解得x≥1且x≠2，所以函数f（x）的定义域是{x|x≥1且x≠2}．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．2．（2019秋•海淀区校级期中）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：x123f（x）213x123321g（x）则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】根据函数定义域和值域关系，分别进行讨论求解即可．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．【点评】本题主要考查方程的求解，结合函数的定义域和值域的关系，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，比较基础．3．（2019秋•海淀区校级期中）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）【分析】容易求出y＝x2在[﹣2，3]上的最小值和最大值，从而得出该函数的值域．【解答】解：∵﹣2≤x≤3，∴x＝0时，y＝x2取最小值0；x＝3时，y＝x2取最大值9，∴y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为[0，9]．故选：B．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，二次函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．4．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}，则函数的值域为（）A．{﹣1，0，1}B．[0，1]C．{0，1}D．[0，+∞）【分析】根据函数的定义域求得值域即可．【解答】解：由x∈{﹣1，0，1}，代入f（x）＝x2，解得f（﹣1）＝1，f（0）＝0，f（1）＝1，根据集合的互异性函数的值域为{0，1}故选：C．【点评】本题考查了函数的定义，根据定义域求得值域的问题，属于基础题．5．（2019秋•西城区校级期中）要得到函数y＝log2（2x+4）的图象，只需将函数y＝log2（x+2）的图象（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度【分析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．【解答】解：y＝log2（2x+4）＝log22（x+2）＝log22+log2（x+2）＝1+log2（x+2），故只需将函数y＝log2（x+2）的图象向上平移1个单位长度，即可，故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键．6．（2019春•海淀区期中）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】根据球的形状，结合单位时间内体积的变化情况进行判断．【解答】解：容器是球形，两头体积小，中间体积大，在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快，故对应的图象是C，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键．7．（2019秋•海淀区校级期中）已知，则函数f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）的解析式，结合函数图象平移关系进行判断即可．【解答】解：由得f（x+1）＝，即f（x）＝，x≥1，即函数f（x）的图象是函数y＝的图象向右平移一个单位得到，即对应的图象为A，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象平移关系是解决本题的关键．8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝lnx D．y＝x2+1【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）＝cos x，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）＝﹣sin x，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，没有零点；故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．9．（2019秋•西城区校级期中）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．D．f（x）＝x﹣|x|【分析】根据题意，依次分析验证选项中函数是否符合f（2x）＝2f（x），综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）＝，f（2x）＝＝，2f（x）＝，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．10．（2019秋•顺义区校级期中）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝B．y＝e﹣x C．y＝﹣x2+1D．y＝lg|x|【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为y＝为奇函数，不符合题意；因为y＝f（x）＝e﹣x，则f（﹣x）＝e x≠±f（x），故f（x）不是偶函数，f（x）＝1﹣x2，则f（﹣x）＝1﹣（﹣x）2＝1﹣x2＝f（x），即f（x）为偶函数，且x＞0时，函数单调递减，不符合题意；y＝lg|x|为偶函数，且x＞0时，y＝lgx单调递增，故选：D．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．11．（2019秋•海淀区校级期中）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（）A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣4x+5C．D．【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y＝在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．（2019秋•朝阳区校级期中）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②；③；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据题意，依次分析所给的四个函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②，在（0，+∞）上是增函数；对于③，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．13．（2019秋•海淀区校级期中）在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y＝3x+1B．y＝3x2+1C．y＝D．y＝x2+x【分析】根据函数的图象可直接判断它们的单调性，从而可得答案．【解答】解：y＝3x+1在区间（0，+∞）上是增函数，排除A；y＝3x2+1在区间（0，+∞）上是增函数，排除B；y＝x2+x在区间（0，+∞）上是增函数，排除D；y＝在区间（0，+∞）上是减函数，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，属基础题．判断函数的单调性可利用定义、图象等．14．（2019秋•西城区校级期中）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）【分析】由已知可检验f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，结合零点判定定理即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．15．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）＝x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，则a的值可以是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．3【分析】由已知可转化为a＝﹣x2在（1，2）只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a的范围．【解答】解：由f（x）＝x+＝0可得，a＝﹣x2，由函数f（x）＝x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，可知a＝﹣x2在（1，2）只有一个零点，当x∈（1，2）时，y＝﹣x2∈（﹣4，﹣1），∴﹣4＜a＜﹣1，结合选项可知，A符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．16．（2019秋•海淀区校级期中）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣2x（x≥0），则函数f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】先求出当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x的零点，然后根据f（x）为奇函数，图象关于原点对称即可求解．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x＝0可得，x＝0或x＝2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，从而函数f（x）有3个零点：0，2，﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了奇函数的对称性及函数零点的求解，属于基础试题．17．已知函数f（x）＝x3+x2﹣2|x|﹣k．若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]【分析】本题将f（﹣x0）＝﹣f（x0）有根转化为x2﹣2|x|＝k有根，进而转化为y＝x2﹣2|x|与y＝k的图象有交点．【解答】解：∵f（x）＝x3+x2﹣2|x|﹣k且f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴﹣x3+x2﹣2|x|﹣k＝﹣（x3+x2﹣2|x|﹣k）整理得x2﹣2|x|＝k，∴原题转化为y＝x2﹣2|x|与y＝k的图象有交点，画出y＝x2﹣2|x|的图象如下：x＝1时y＝﹣1，由图可知，k≥﹣1．故选：A．【点评】本题考查了转化思想和数形结合思想，难度较低，属于基础题．18．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，3）D．（0，3]【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥2a，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥2a③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：B．【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．19．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）＝，x∈（0，1）；②g（x）＝；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）＝其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②【分析】本题属于新定义题，对每一个函数按照定义要求化简，判断即可．【解答】解：①，故①正确；②，当x1＞4，x2＞4时，，，故②不正确；③，当x1≤﹣1，x2≤﹣1时，|x1+x2|≥2，故③正确；④，因为，所以，同理，所以，故④不正确，故选：B．【点评】本题为新定义题目，对每一个函数按照定义要求化简判断即可，只有④的化简略为难点，但放缩过程比较经典，可以重点掌握．20．（2019秋•海淀区校级期中）设函数f（x）＝4x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值3B．有最小值3C．有最小值﹣5D．有最大值﹣5【分析】直接利用基本不等式求得函数f（x）＝4x+﹣1（x＜0）的最值得答案．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝4x+﹣1＝﹣[（﹣4x）+]﹣1．当且仅当﹣4x＝﹣，即x＝﹣时上式取“＝”．∴f（x）有最大值为﹣5．故选：D．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．（2019秋•海淀区校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，则正数a的所有可取的值的集合为（）A．B．C．D．【分析】利用参数分离法分离出2a，求出y＝x+的值域，即可得到解．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得，当且仅当x＝成立，又y＝x+，y（1）＝6，y（3）＝，所以y∈[，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[，6]，a∈[，3]，故选：C．【点评】考查函数的零点问题，用了参数分离法，对勾函数求值域，中档题．22．（2019秋•西城区校级期中）函数在区间（1，3）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】求导，根据函数f（x）在（1，3）上的单调性，结合函数零点的存在性定理即可得到所求．【解答】解：f′（x）＝2x+，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）＝＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．【点评】本题考查了函数单调性，函数的零点的存在性定理．考查分析和解决问题的能力，属于基础题．23．（2019秋•朝阳区期中）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣kx+1恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】先构造两函数y1＝kx﹣1，y2＝|x﹣2|，问题等价为y1和y2的图象有两个交点，再数形结合得出k的范围．【解答】解：令f（x）＝0得，kx﹣1＝|x﹣2|，设y1＝kx﹣1，y2＝|x﹣2|，画出这两个函数的图象，如右图，黑色曲线为y1的图象，红线为y2的图象，且y12的图象恒过（0，﹣1），要使f（x）有两个零点，则y1和y2的图象有两个交点，当k＝1时，y1＝x（红线）与y2图象的右侧（x＞1）平行，此时，两图象只有一个交点，k P A＝，因此，要使y1和y2的图象有两个交点，则＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．24．（2019秋•东城区校级期中）已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，+∞）【分析】本题利用数形结合思想，画出f（x）＝|x﹣2|的图象，结合图象分析．【解答】解：∵f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，∴f（x）＝|x﹣2|和g（x）＝kx的图象有两个不同的交点．画出f（x），g（x）的图象如下：∴0＜k＜1．故选：B．【点评】本题考查了数形结合思想，和直观想象的能力，难度较低，属于基础题．25．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣解得x＝或x＝，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m≤．故选：B．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．26．（2019秋•海淀区校级期中）给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）＝﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）＝f（1+x）．下列三个函数：y＝x3，y＝|x﹣1|，y＝中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据条件可判断出条件②为函数图象关于（1，0）对称，故可排除y＝x3，另|﹣x0﹣1|+|x0﹣1|＝0无解，故可排除y＝|x﹣1|，而y＝满足①②．【解答】解：令g（x）＝f（1+x），则g（﹣x）＝f（1﹣x）＝f（1+x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，关于（0，0）对称，将g（x）＝f（1+x）的图象向右平移一个单位可得f（x）的图象，故f（x）图象关于（1，0）对称，故可排除y ＝x3；若存在一个x0使得|﹣x0﹣1|＝﹣|x0﹣1|，即|﹣x0﹣1|+|x0﹣1|＝0，该方程无解，故y＝|x﹣1|不满足②，排除；对于y＝，当x＝1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0，﹣f（1）＝﹣（1﹣4+3）＝0，其满足①，画出图象如下：由图象可知，满足②．故选：B．【点评】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于（1，0）对称是关键，属于中档题．27．（2019春•海淀区校级期中）已知实数a，b满足a2﹣3lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）A．1B．C．2D．【分析】构造函数，y＝f（x）＝x2﹣3lnx，（x＞0），y＝﹣x，则（a﹣c）2+（b+c）2表示曲线y＝f（x）上的点到直线y＝﹣x的距离的平方，求导，求出与y＝﹣x平行的切线方程，进而求出切点的坐标，求出两条平行线的距离，进而求出（a﹣c）2+（b+c）2的最小值．【解答】解：分别设y＝f（x）＝x2﹣3lnx，（x＞0），y＝﹣x，则（a﹣c）2+（b+c）2表示曲线y＝f（x）上的点到直线y＝﹣x的距离的平方，因为f（x）＝x2﹣3lnx，所以f'（x）＝2x﹣，所以2x﹣＝﹣1，x＞0，解得：x＝1，所以切点为P（1，1），所以P到直线y+x＝0距离为：d＝＝，所以（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为2，故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义和平行线间的距离公式，关键是构造函数和直线，属于中难题．二．填空题（共23小题）28．（2019秋•海淀区校级期中）函数f（x）＝的定义域为（0，1）∪（1，+∞）（区间法）．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数非负列出不等式组，求解即可．【解答】解：要使函数有意义．可得：，解得x＞0且x≠1．函数f（x）＝的定义域为：（0，1）∪（1，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．29．（2019秋•顺义区校级期中）已知函数f（x）＝x•|x|﹣4x，则该函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]和[2，+∞），若方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值集合是（﹣4，4）．【分析】作出函数f（x）＝x•|x|﹣4x，根据图象可得单调递增区间，通过f（x）的图象与y＝k有有三个不同的实根，即可求解实数k的取值集合【解答】解：由函数f（x）＝x•|x|﹣4x＝，作出函数f（x）如图所示：从图上可得该函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）方程f（x）＝k有三个不同的实根，即f（x）的图象与y＝k有三个不同的交点，从图象可得﹣4＜k＜4；故答案为（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）；（﹣4，4）【点评】本题主要考查了分段函数的图象画法和识别，属于基础题30．（2019秋•西城区校级期中）设a＞0，函数f（x）＝的值域为集合S，若2∈S，则a的取值范围是．【分析】根据f（x）的值域为S，2∈S，可得方程＝2有实根，然后求出a的范围．【解答】解：∵f（x）的值域为S，2∈S，∴方程＝2有实根，即有实根，∴△＝（﹣7）2﹣4（a+10）≥0，∴a≤，又a＞0，∴0＜a≤．∴a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了利用函数的值域求参数的范围，考查了方程思想，属基础题．31．（2019秋•丰台区期中）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的值域为[﹣4，3]．【分析】根据函数图象便可看出f（x）的值域．【解答】解：根据y＝f（x）的函数图象可看出，f（x）的值域为[﹣4，3]．故答案为：[﹣4，3]．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，根据函数图象求函数值域的方法，考查了看图能力，属于基础题．32．（2019秋•海淀区校级期中）若函数f（x）为一次函数，且f（x+1）＝f（x）﹣2，f（x）的零点为1，则函数f（x）的解析式为f（x）＝﹣2x+2．【分析】先设f（x）＝kx+b，k≠0，然后根据f（x+1）＝f（x）﹣2，及f（1）＝0，代入后根据对应系数相对可求k，b，即可求解．【解答】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2故答案为：f（x）＝﹣2x+2．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，属于基础试题．33．（2019秋•海淀区校级期中）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为[2，5]．【分析】根据函数的单调性以及指数函数，二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若f（x）在R递增，则，解得：2≤a≤5，故答案为：[2，5]．【点评】本题考查了函数的单调性，常见函数的性质，是一道常规题．34．（2019秋•西城区校级期中）已知x﹣2y＝6，x﹣3y＝4，则x2﹣5xy+6y2的值为24．【分析】把x2﹣5xy+6y2进行因式分解，代入已知条件得答案．【解答】解：∵x﹣2y＝6，x﹣3y＝4，∴x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）＝6×4＝24．故答案为：24．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，训练了利用因式分解法求值，是基础题．35．（2019秋•海淀区校级期中）关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，k＝﹣1或0或3．【分析】本题将所给方程变形后转化为一元二次方程只有一个解，利用△≥0求k．【解答】解：∵＝的解集中只含有一个元素，∴x﹣1≠0，且，∴x≠0，且x2+2x﹣k＝0有一个实数根，结合x≠0且x≠1，可得k＝﹣1或k＝0或k＝3．故答案为：﹣1或0或3．【点评】本题考查了函数方程零点个数的问题，考查了函数思想．属于基础题．36．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为[﹣2，+∞）．【分析】根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f（x）是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程（2x+2﹣x）2﹣m （2x+2﹣x）﹣8＝0有解．可设2x+2﹣x＝t（t≥2），从而得出需方程t2﹣mt﹣8＝0在t≥2时有解，从而设g（x）＝t2﹣mt﹣8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解；即4﹣x﹣m•2﹣x﹣3＝﹣（4x﹣m•2x﹣3）有解；变形可得4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）﹣6＝0，即（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8＝0有解即可；设2x+2﹣x＝t（t≥2），则方程等价为t2﹣mt﹣8＝0在t≥2时有解；设g（t）＝t2﹣mt﹣8＝0，必有g（2）＝4﹣2m﹣8＝﹣2m﹣4≤0，解可得：m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于基础题．37．（2019秋•朝阳区校级期中）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是[0，1）．【分析】据题意可知，不等式mx2﹣2mx+1＞0的解集为R，从而讨论m：m＝0时，显然满足题意；m≠0时，，解出m的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴不等式mx2﹣2mx+1＞0的解集为R，①m＝0时，1＞0恒成立，满足题意；②m≠0时，，解得0＜m＜1，∴实数m的取值范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】考查函数的定义域的定义及求法，一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立时，a，b，c所满足的条件，分类讨论的思想．38．（2019秋•西城区校级期中）函数的定义域是[﹣1，3]．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，我们构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：的解：要要{x+1≥03﹣x≥0即∴解得∴﹣1≤x≤3∴定义域为[﹣1，3]故答案为：[﹣1，3]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据函数的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，是解答本题的关键．39．（2019秋•海淀区校级期中）函数的定义域为．【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x的范围．【解答】解：要使函数有意义需要。
2021-2023北京高中合格考数学汇编：三角函数
2021-2023北京高中合格考数学汇编三角函数1．（2023·北京·高三统考学业考试）已知1sin 2α=，则()sin α-=（ ） A ．12- B ．12 C ．22- D ．222．（2023·北京·高三统考学业考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π3．（2022·北京·高三统考学业考试）()sin 45-︒=（ ）A ．22B ．22-C ．12D ．12- 4．（2022·北京·高三统考学业考试）sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ5．（2022·北京·高三统考学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x = C ．2()log f x x = D ．()sin f x x =6．（2021·北京·高二统考学业考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45C ．34-D ．347．（2021·北京·高二统考学业考试）sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12B ．22C ．32D ．18．（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数()1sin 2f x x =+．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最大值，并写出相应的一个x 的值．9．（2021·北京·高二统考学业考试）已知函数()sin 2f x x =.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[0,4π]上的最大值及相应x 的值.三、填空题11．（2021·北京·高二统考学业考试）计算sin13cos32cos13sin32+=____________.1．A【分析】根据诱导公式求解即可．【详解】由诱导公式得()sin sin αα-=-，因为1sin 2α=，所以()1sin sin 2αα-=-=-， 故选：A ．2．C【分析】根据广义角的定义角和正切函数值求解.【详解】由题意1tan 11α==-- ，并且点()1,1- 在第二象限，3π4α∴= ； 故选：C.3．B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()2sin 45sin 452-︒=-︒=-. 故选：B4．A【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ. 故选：A.5．B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意；1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意； 2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.6．B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果.【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴2244cos 543α==+. 故选：B.02x π，444x ππ-．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，4π=-，即x ＝0时，4π=，即2x π=时，()sin13cos32cos13sin 32sin 1332sin 4522+=+== 2。
历年北京高中数学合格性考试汇编：概率(教师版)
历年北京高中数学合格性考试汇编：概率一．选择题（共12小题）1．（2019•北京学业考试）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A．B．C．D．2．（2019•北京学业考试）某中学组织开展3项拓展活动，要求每名学生必须参加其中一项活动，该校甲、乙两名学生随机选择拓展活动，恰好选择同一活动的概率为（）A．B．C．D．3．（2018•北京学业考试）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（）A．B．C．D．4．（2018•北京学业考试）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．5．（2018•北京学业考试）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A．B．C．D．6．（2017•北京学业考试）在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（）A．1B．C．D．7．（2016•北京学业考试）每年的3月5日是“青年志愿者服务日”，共青团中央号召全国青年积极参加志愿服务活动．甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，那么2人参加的活动恰好相同的概率是（）A．B．C．D．8．（2015•北京学业考试）边长为2的正三角形的顶点和各边的中点共6个点，从中任选两点，所选出的两点之间距离大于1的概率是（）A．B．C．D．9．（2013•北京学业考试）口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（）A．B．C．D．10．（2012•北京学业考试）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．11．（2011•北京学业考试）某校高二年级开设三门数学选修课程．如果甲、乙两名同学各从中任选一门，那么他们所选课程恰好相同的概率为（）A．B．C．D．12．（2010•北京学业考试）盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）13．（2011•北京学业考试）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．14．（2010•怀柔区学业考试）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝0的概率为．历年北京高中数学合格性考试汇编：概率参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2019•北京学业考试）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，计算出基本事件的总数和事件A包含的基本事件个数，即可得到事件A的概率．【解答】解：设事件A表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，则基本事件的总数为＝4个，事件A包含1个基本事件，所以P（A）＝，故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理，属于基础题．2．（2019•北京学业考试）某中学组织开展3项拓展活动，要求每名学生必须参加其中一项活动，该校甲、乙两名学生随机选择拓展活动，恰好选择同一活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，恰好选择同一活动包含的基本事件个数m＝3×1＝3，由此能求出恰好选择同一活动的概率．【解答】解：某中学组织开展3项拓展活动，要求每名学生必须参加其中一项活动，该校甲、乙两名学生随机选择拓展活动，基本事件总数n＝3×3＝9，恰好选择同一活动包含的基本事件个数m＝3×1＝3，∴恰好选择同一活动的概率为p＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2018•北京学业考试）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝，所选的两个文化带中包含大运河文化带包含的基本事件个数m＝，由此求出所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率．【解答】解：从大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，基本事件总数n＝，所选的两个文化带中包含大运河文化带包含的基本事件个数m＝，∴所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是p＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（2018•北京学业考试）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出基本事件有4个，有一天是星期二包含的基本事件有2个，由此能求出某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．5．（2018•北京学业考试）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，易得口袋中有6个球，其中红球和白球共有4个，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是＝；故选：D．【点评】本题考查古典概型的计算，注意对题意中“红球或白球”的理解．6．（2017•北京学业考试）在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（）A．1B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n＝＝3，再求出甲同学被选中包含听基本事件个数m＝＝2，由此能求出甲同学被选中的概率．【解答】解：在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，基本事件总数n＝＝3，甲同学被选中包含听基本事件个数m＝＝2，∴甲同学被选中的概率p＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（2016•北京学业考试）每年的3月5日是“青年志愿者服务日”，共青团中央号召全国青年积极参加志愿服务活动．甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，那么2人参加的活动恰好相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n＝2×2＝4，再求出2人参加的活动恰好相同包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出2人参加的活动恰好相同的概率．【解答】解：甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，基本事件总数n＝2×2＝4，2人参加的活动恰好相同包含的基本事件个数m＝＝2，∴2人参加的活动恰好相同的概率p＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．8．（2015•北京学业考试）边长为2的正三角形的顶点和各边的中点共6个点，从中任选两点，所选出的两点之间距离大于1的概率是（）A．B．C．D．【分析】从6个点中选出2个的选法共有∁62＝15种，若使得取出的两点中距离为2，则只能是三角形的顶点中任意取出2个，只有3种情况，每个边的中点到对着的顶点的距离也大于1，代入古典概率的求解公式即可求解【解答】解：从6个点中选出2个的选法共有∁62＝15种若使得取出的两点中距离为2，则只能是三角形的顶点中任意取出2个，只有3种情况，每个边的中点到对着的顶点的距离也大于1，有3种情况，故由古典概型概率公式：，故选：C．【点评】本题主要考查了古典概率的计算公式的应用，属于基础试题9．（2013•北京学业考试）口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（）A．B．C．D．【分析】从口袋中4个小球中随机摸出2个小球，共有种选法，其中摸出2个小球一个是红色小球和另一个是白色小球的方法只有一种．利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：从口袋中4个小球中随机摸出2个小球，共有种选法，其中摸出2个小球一个是红色小球和另一个是白色小球的方法只有一种．∴从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率P＝＝．故选：A．【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题．10．（2012•北京学业考试）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52＝10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52＝10．则这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5）；共有6中取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：．故选：B．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握古典概率模型的特征，并且结合排列与组合解决概率问题11．（2011•北京学业考试）某校高二年级开设三门数学选修课程．如果甲、乙两名同学各从中任选一门，那么他们所选课程恰好相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出甲乙选课一共有多少种情形，再求出甲乙选择的课程恰好相同，一共有多少种情形，由此利用等可能事件概率计算公式能求出他们所选课程恰好相同的概率．【解答】解：∵某校高二年级开设三门数学选修课程，甲、乙两名同学各从中任选一门，∴甲乙选课共有3×3＝9种情形甲乙选择的课程恰好相同，共有3种情形，∴他们所选课程恰好相同的概率P＝＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．（2010•北京学业考试）盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种由古典概型的概率公式可得：其号码为偶数的概率是故选：B．【点评】本题考查古典概型的求解，数准事件数是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共2小题）13．（2011•北京学业考试）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6＝36个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，∴故答案为：【点评】本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．14．（2010•怀柔区学业考试）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝0的概率为．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从7个元素中选一个共有7种结果，列举出可以使得余弦值等于0的有1，3，5，共有3种结果，得到概率．【解答】解；有题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从7个元素中选一个共有7种结果，满足条件的事件是所取元素恰好满足方程cos x＝0，列举出可以使得余弦值等于0的有1，3，5，共有3种结果，∴要求事件的概率是P＝故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是不重不漏的列举出满足使得余弦函数等于0的情况，本题是一个基础题．。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．3．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．4．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．5．【2016年北京文科04】下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x 减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．6．【2016年北京文科08】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．7．【2015年北京文科03】下列函数中为偶函数的是（）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|lnx| D．y＝2﹣x【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sin x；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）＝x2cos x；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）＝2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选：B．8．【2015年北京文科08】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8；故选：B．9．【2014年北京文科02】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y＝e﹣x B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．10．【2014年北京文科06】已知函数f（x）log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）log2x，∴f（2）＝2＞0，f（4）0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．11．【2014年北京文科08】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t 3.75．故选：B．12．【2013年北京文科03】下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝e﹣x C．y＝lg|x| D．y＝﹣x2+1【解答】解：A中，y为奇函数，故排除A；B中，y＝e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y＝lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y＝lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y＝﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．13．【2012年北京文科05】函数f（x）（）x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y在定义域上为增函数，y在定义域上为增函数∴函数f（x）在定义域上为增函数而f（0）＝﹣1＜0，f（1）0故函数f（x）的零点个数为1个故选：B．14．【2012年北京文科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．15．【2011年北京文科03】如果x y＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0 1故函数为减函数∴x＞y＞1故选：D．16．【2010年北京文科06】给定函数①，②，③y＝|x﹣1|，④y＝2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y＝x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选：B．17．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．18．【2016年北京文科10】函数f（x）（x≥2）的最大值为．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．19．【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．20．【2015年北京文科10】2﹣3，，log25三个数中最大数的是．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，12，log25＞log24＝2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．21．【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为个工作日．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42 个工作日．故答案为：42．22．【2013年北京文科13】函数f（x）的值域为．【解答】解：当x≥1时，f（x）；当x＜1时，0＜f（x）＝2x＜21＝2．所以函数的值域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．23．【2012年北京文科12】已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝．【解答】解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案为：2．24．【2012年北京文科14】已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜0或g （x）＜0，则m的取值范围是．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）25．【2011年北京文科13】已知函数若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）＝k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）26．【2011年北京文科14】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）＝，N（t）的所有可能取值为．【解答】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）＝6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，827．【2010年北京文科09】已知函数y，如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写；②处应填写．【解答】解：由题目可知：该程序的作用是计算分段函数y的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y＝2﹣x，易得条件语句中的条件为x＜2不满足条件时②中的语句为y＝log2x故答案为：x＜2，y＝log2x．28．【2010年北京文科14】（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（x）的最小正周期为；y＝f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34CD ．4 【答案】B【解析】∵f （x ）在[a ，a +1]上是偶函数，∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （x ）的定义域为[12-，12]， 故：f （x ）12=-x 2﹣bx +1， ∵f （x ）在区间[12-，12]上是偶函数， 有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0； ∴2b a a -13144=-=． 故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为（ ） A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．D ．【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞ 【答案】A【解析】 函数,所以或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
北京市第一次普通高中2019_2020学年高二数学学业水平考试合格性考试试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由向量加法 平行四边形法则即可得结果.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得 ，
故选：A.
6. 在平面直角坐标系 中，角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的定义计算．
某同学的解答过程如下：
解答：因为圆 的圆心坐标为 ，且与 轴相切，
由直线垂直斜率乘积为 解方程可得答案．
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ， ．
故选：A
【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为 ，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．
9. 如图，正方体 的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面直线的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
① ；② ；③ 平面 ；④ .
【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2： ； 平面 ； .
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.
25. 已知函数 如果 ，那么实数 的值是（ ）
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。
2023北京高中合格考数学(第一次)(教师版)
2023北京高中合格考数学（第一次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则UA =（ ）A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ）A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =−的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1−，则角α可以是（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π 5．已知三棱柱111ABC A B C −的体积为12，则三棱锥111A A B C −的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sin α−=（ ）A ．12−B ．12C ．2−D ．27．lg100=（ ）A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ）A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =−B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =−，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x −D ．21log x −+13．四棱锥P ABCD −如图所示，则直线PC （ ）A ．与直线AD 平行B ．与直线AD 相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线 14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b −=（ ）A ．2BC．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[,0−∞C ．[)1,+∞D ．[),1−∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪−>⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：a bc 甲 8585 90 乙 90 85 80 丙 85 80 85 丁858090则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。
12-19北京高考数学汇编2：函数(教师版)
【理科解析分类汇编：北京高考真题】2：函数（2012文）（5）函数()121()2x f x x =-的零点个数为B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2012文）（12）已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b += 2 ． （2012文）（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是 (4,0)- ．（2012理）（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：① x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；② (,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则m 的取值范围是 (4,2)-- ．（2013文）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是C（A ）1y x =（B ）e x y -= （C ）21y x =-+（D ）lg ||y x = （2013文）（13）函数()f x =12log ,2,1x x x x ⎧⎪⎨⎪<⎩≥1,的值域为 (,2)-∞ ．（2013理）（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =D（A ）1e x +（B ）1e x - （C ）1e x -+ （D ）1e x --（2014文）（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是B（A ）e x y -=（B ）3y x = （C ）ln y x = （D ）||y x =（2014文）（6）已知函数26()log f x x x =-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是C （A ）(0,1)（B ）(1,2)（C ）(2,4) （D ）(4,)+∞（2014理）（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A（A）y = （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+（2015文）（3）下列函数中为偶函数的是B（A ）2sin y x x =（B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -= （2015文）（10）32-，123，2log 5三个数中最大的数是__2log 5_____．（2015理）（7）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式C2()log (1)f x x +≥的解集是 （A ）{|10}x x -<≤（B ）{|11}x x -≤≤（C ）{|11}x x -<≤（D ）{|12}x x -<≤（2015理）（14）设函数2,1,()4()(2), 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥ ① 若1a =，则()f x 的最小值为___1-____；② 若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__1[,1)[2,)2+∞U _____． （2016理）（5）已知,R x y ∈，且0x y >>，则（A ）110x y-> （B ）sin sin 0x y -> （C ）11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）ln ln 0x y +>【答案】C（2016文）（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A ）11y x =- （B ）cos y x =（C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -= 【答案】D（2016理）（14）设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ ① 若0a =，则()f x 的最大值为 ；② 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2 (,1)-∞-（2016文）（10）函数() (2)1x f x x x =-≥的最大值为 ． 【答案】2（2017理）（5）已知函数1()33x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A （2017文）（5）已知函数1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B （2017理）（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010（参考数据：lg30.48≈）（A ）3310（B ）5310 （C ）7310（D ）9310 【答案】D（2017文）（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010（参考数据：lg30.48≈）（A ）3310（B ）5310 （C ）7310 （D ）9310 【答案】D（2017文）（11）已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 ．【答案】1[,1]2（2018理）（11）设函数π()cos()6f x x ω=-(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【答案】23（2018理）（13）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）（A ）10（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110- 【答案】A（2019理）（ 9 ）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是________．【答案】π2（2019理）（13）设函数()e e x x f x a -=+（a 为常数）．若()f x 为奇函数，则a =________；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．【答案】1-(],0-∞ （2019理）（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．① 当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．【答案】130 15（2019文）（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）12y x =（B ）2x y -= （C ）12log y x =（D ）1y x=【答案】A（2019文）（6）设函数()cos sin f x x b x =+（b 为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）10.110（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-【答案】A26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）10.110（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-【答案】A（2019文）（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．① 当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．【答案】130 15。
北京市普通高中学业水平考试数学试题 解析版
绝密★启用前北京市普通高中学业水平考试数学试卷评卷人得分一、单选题1．已知集合，1，，那么等于A．B．C．D．1，【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】集合，1，，．故选：B．【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.2．平面向量，满足，如果，那么等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用数乘向量运算法则直接求解．【详解】平面向量，满足，，．故选：D．【点睛】本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．如果直线与直线平行，那么实数k的值为A．B．C．D．3【答案】D【解析】【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线与直线平行，，经过验证满足两条直线平行．故选：D．【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于A．B．C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案．【详解】根据题意，由函数的图象可得，又由函数为奇函数，则，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．5．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值．【详解】指数函数的图象经过点，，解得，故选：B．【点睛】本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题．6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为A．60 B．90 C．100 D．110【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数人．故选：A．【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．7．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．【详解】直线l与直线垂直，直线l的斜率为，则，即故选：C．【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】在矩形ABCD中，E为CD中点，所以：，则：．故选：A．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．实数的值等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．10．函数，，，中，在区间上为减函数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析四个函数在区间（0，+∞）的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数，为二次函数，在区间为增函数；，为幂函数，在区间为增函数；，为指数函数，在区间上为减函数；中，在区间为增函数；故选：C．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为，中二等奖的概率为，那么本次活动中，中奖的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小．【详解】由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为，故选：B．【点睛】本题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．12．如果正的边长为1，那么等于A．B．C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算性质计算即可．【详解】正的边长为1，，故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么b等于A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理直接代入求值即可．【详解】由正弦定理，得，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．14．已知圆C：x2+y2–2x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是A．B．C．1 D．【答案】C【解析】【分析】通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解.【详解】根据题意，圆C：x2+y2–2x=0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d==1．故选C．【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间的距离公式是关键.15．如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，那么该四棱柱的体积为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1，由此能求出结果．【详解】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，该四棱柱的体积为．故选：B．【点睛】题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．函数的零点所在的区间是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求得 f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【详解】由函数可得，，故有，根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．17．在，，，四个数中，与相等的是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简可得答案．【详解】由．与相等的是故选：A．【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18．把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．函数的最小值是A．B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．【详解】当时，的最小值为；当时，递减，可得，综上可得函数的最小值为0．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．20．在空间中，给出下列四个命题：平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由线面平行的性质可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由两个平面的位置关系可判断③；由面面平行的判定定理可判断④．【详解】对于，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；对于，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故错误；对于，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故错误．故选：B．【点睛】本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．21．北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况年1月份各区域的浓度情况如表：各区域1月份浓度单位：微克立方米表区域浓度区域浓度区域浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36开发区46昌平32石景山37房山47朝阳34通州39从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可．【详解】从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份的浓度小于36微克立方米的地区有9个，则2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是，故选：D．【点睛】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22．已知，那么A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】知，那么，则：，故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么的最大内角的余弦值为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先判断△ABC的最大内角为A，再利用余弦定理计算cosA的值．【详解】中，，，的最大内角为A，且．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．24．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万【答案】C【解析】【分析】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．【详解】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．25．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以A．底面PAC B．底面PBC C．底面PAC D．底面PBC 【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【详解】根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面PAC，故选：C．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、解答题26．已知函数Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ函数的最小正周期______将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅲ求函数的最小值及相应的x的值．【答案】（1）2（2）（3）-2，，【解析】【分析】（Ⅰ）由f（0）=1求得A的值；（Ⅱ）由正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期；（Ⅲ）由正弦函数的图象与性质求得f（x）的最小值以及对应x的值．【详解】Ⅰ函数由，解得；Ⅱ函数，的最小正周期为；Ⅲ令，；，；此时函数取得最小值为．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.27．如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E，分别为PB，PC的中点．Ⅰ求证：平面ADE；Ⅱ求证：平面PAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由D、E分别为PB、PC的中点，得DE∥BC，由此能证明BC∥平面ADE；（Ⅱ）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．【详解】证明：Ⅰ在中，、E分别为PB、PC的中点，，平面ADE，平面ADE，平面ADE．Ⅱ平面ABC，平面ABC，，，，平面PAB．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．28．已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B．Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）5（2）存在点或满足题意．【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知条件可得r；（Ⅱ）存在．由（Ⅰ）可得圆O的方程为：x2+y2=25，依题意，A（0，5），B（5，0），求出|AB|=，直线AB的方程为x+y﹣5=0，又由△PAB的面积，可得点P到直线AB的距离为，设点P（x0，y0），解得x0+y0=﹣1或x0+y0=11（显然此时点P不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．【详解】Ⅰ；Ⅱ存在．，圆O的方程为：．依题意，，，，直线AB的方程为，又的面积为15，点P到直线AB的距离为，设点，，解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，联立方程组，解得或．存在点或满足题意．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．29．种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离按照北京市行道树修剪规范要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝行道树修剪规范中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表安全距离单位：电力线水平距离垂直距离330KV500KV现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为据研究，这种行道树自然生长的时间年与它的高度满足关系式Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？Ⅲ假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？【答案】（1）（2）这棵行道树自然生长10年必须修剪；（3）该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【解析】【分析】（Ⅰ）将x=2，y=2代入计算即可，（Ⅱ）函数解析式为y=，令y=20﹣4=16，解得x=10，问题得以解决，（Ⅲ）根据指数函数的性质可得y=＜30，问题得以解决【详解】Ⅰ，故答案为：Ⅱ根据题意，该树木的高度为16米时需要及时修剪这颗行道数，函数解析式为，令，解得，故这棵行道树自然生长10年必须修剪；Ⅲ因为，所以，所以，所以该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数(教师版)
2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数一．选择题（共17小题）1．（2021•北京学业考试）函数2()log f x x =的定义域是( ) A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．（2021•北京学业考试）已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x 的解集为( )A ．[2-，1]B ．[3-，3]C ．[2-，2]D ．[2-，3]3．（2021•北京学业考试）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．2C ．3-D ．34．（2019•北京学业考试）函数()(1)f x lg x =-的定义域为( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．（2019•北京学业考试）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=-，那么f （1）的值为( ) A ．0B ．12C ．1D ．26．（2019•北京学业考试）给出下列四个函数： ①2y x =； ②3y x =； ③|1|y x =+； ④x y e =．其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（2018•北京学业考试）在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平． 2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中 “2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数100%⨯．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数100%⨯．根据上述信息，下列结论中错误的是( )A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大 8．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y ③2log y x =； ④3x y =． 其中在区间(0,)+∞上是减函数的为( ) A ．①B ．②C ．③D ．④9．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数①1y x=；②||y x =； ③y lgx =； ④31y x =+，其中奇函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④10．（2017•北京学业考试）给出下列四个函数： ①1y x =-；②2y x =；③y lnx =；④3y x =． 其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（2017•北京学业考试）已知定义在R 上的函数()f x 是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式()3f x <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-12．（2021•北京学业考试）下列函数中是偶函数，且在(,0)-∞上单调递增的是( ) A ．23()f x x = B ．||()2x f x = C ．21()log |1|f x x =+ D ．1()||||f x x x =- 13．（2018•北京学业考试）在函数①1y x -=；②2x y =；③2log y x =；④tan y x =中，图象经过点(1,1)的函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2018•北京学业考试）已知函数2()1xf x x =+，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(,)-∞+∞； ②()f x 的值域是11[,]22-；③()f x 是奇函数；④()f x 是区间(0,2)上的增函数． 其中推断正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．（2018•北京学业考试）为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( ) A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．（2021•北京学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A ．2y x =B ．y =C ．2x y =D ．1()2x y =17．（2018•北京学业考试）已知函数2()|2|f x x x a a =--+在区间[1-，3]上的最大值是3，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．1[,)2+∞二．填空题（共1小题）18．（2021•北京学业考试）已知函数1()f x x x=+，则()f x 是 函数（填“奇”或“偶” )；()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是 ． 三．解答题（共3小题）19．（2021•北京学业考试）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求(2)f -与f （2）的值； （2）求()f x 的最大值．解：（1）因为20-<，所以(2)f -= ． 因为20>，所以f （2）= ． （2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为 ． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为 ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ” )．20．（2021•北京学业考试）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=． （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围．21．（2018•北京学业考试）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为()x xf x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828)e =⋯． （1）当1a =，()f x 为偶函数时，b = ；（2）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的a ，b 值； （3）如果()f x 的最小值为2，求a b +的最小值．2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数参考答案一．选择题（共17小题）1．【分析】利用对数函数的性质可得答案． 【解答】解：2()log f x x =，0x ∴>，∴函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞，故选：B ．【点评】本题考查函数的定义与及其求法，属于基础题．2．【分析】由1(1)13f a --=+=，解得12a =，从而21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，由此能求出不等式()5f x 的解集．【解答】解：函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，(1)3f -=，1(1)13f a -∴-=+=，解得12a =， ∴21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，()5f x ，∴当0x >时，215x -，解得03x <，当0x 时，1()152x +，20x -．综上，不等式()5f x 的解集为[2-，3]． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得(1)f f -=-（1），运算求得结果． 【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，(1)f f ∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．【分析】由函数的解析式可得10x ->，解得1x >，从而得到函数的定义域． 【解答】解：由函数()(1)f x lg x =-可得10x ->，解得1x >，故函数()(1)f x lg x =-的定义域为(1,)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．5．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （1）(1)f =--，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-， 又由(1)2f -=-，则f （1）(1)2f =--=； 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题． 6．【分析】判断每个函数的奇偶性即可．【解答】解：2y x =是偶函数，3y x =是奇函数，|1|y x =+和x y e =都是非奇非偶函数． 故选：A ．【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断．7．【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：由折线图知：从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌，故A 正确；在B 中，从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大，故B 正确； 在C 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌，故C 错误； 在D 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【分析】根据常见函数的性质分别判断即可．【解答】解：①21y x =-+，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意；②y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ③2log y x =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ④3x y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道常规题．9．【分析】运用奇函数的定义，即可得到所求结论． 【解答】解：①1y x=满足()()f x f x -=-，为奇函数；②||y x =满足()()f x f x -=，为偶函数； ③y lgx =为对数函数，为非奇非偶函数； ④31y x =+不满足()()f x f x -=-，不为奇函数． 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 10．【分析】根据题意，依次分析所给四个函数是不是偶函数，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析所给的4个函数： 对于①，1y x =-，为一次函数，不是偶函数； 对于②，2y x =，为二次函数，是偶函数， 对于③，y lnx =，为对数函数，不是偶函数， 对于④，3y x =，为幂函数，是奇函数不是偶函数， 则四个函数中只有②是偶函数． 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 11．【分析】结合图象即可求得不等式的解集．【解答】解：由图象可知，(0)3f =，且函数()f x 为减函数， 所以不等式()3f x <，即()(0)f x f <的解集为(0,)+∞． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用函数图象解不等式，属于基础题．12．【分析】选项A 和B 对应的函数在(,0)-∞上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明． 【解答】解：函数23()f x x =在(,0)-∞上单调递减，即A 错误； 函数||()2x f x =在(,0)-∞上单调递减，即B 错误； 函数21()log |1|f x x =+的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞，是非奇非偶函数，即C 错误； 对于选项D ，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，11()||||()||||f x x x f x x x -=--=-=-，是偶函数， 当0x <时，1()f x x x-=-+，任取120x x <<，则1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+， 120x x <<，∴121210,10x x x x -<+>，12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，即D 正确．故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．13．【分析】把点(1,1)代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：把点(1,1)代入各个选项检验，可得只有1y x -=的图象经过点(1,1)， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，属于基础题．14．【分析】根据()f x 的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出()f x 的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误． 【解答】解：①函数2()1xf x x =+， ()f x ∴的定义域是(,)-∞+∞，故①正确； ②1()1f x x x=+，0x >时：1()2f x ， 0x <时：1()2f x -， 故()f x 的值域是11[,]22-，故②正确；③()()f x f x -=-，()f x 是奇函数， 故③正确；④由2221()(1)x f x x -'=+，令()0f x '>，解得：11x -<<， 令()0f x '<，解得：1x >或1x <-， ()f x ∴在区间(0,2)上先增后减，故④错误； 故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．15．【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，再据此方案，能求出她退休的年份． 【解答】解：小明的母亲是出生于1964年的女干部，∴按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁， ∴据此方案，她退休的年份是2020年．故选：B ．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16．【分析】利用基本初等函数单调性的性质对四个选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，y =在区间(0,)+∞上单调递增，故B 错误； 对于C ，2x y =在区间(0,)+∞上单调递增，故C 错误； 对于D ，1()2x y =在区间(0,)+∞上单调递减，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查基本初等函数单调性的性质与判断，属于基础题．17．【分析】先求出22x x -的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的范围． 【解答】解：22()|2||(1)1|f x x x a a x a a =--+=---+， 其对称轴为1x =，(1)f f -=（3）|3|a a =-+， 当0a >时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意，当0a 时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意， 综上所述a 的取值范围为(-∞，1] 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及分段函数，考查了函数的最值问题，属于中档题 二．填空题（共1小题）18．【分析】由函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性，由对勾函数的单调性即可求解()f x 在区间(0,)+∞上的最小值．【解答】解：1()f x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，且1()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数， 1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是f （1）2=．故答案为：奇；2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．三．解答题（共3小题）19．【分析】依据题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得出答案．【解答】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩， （1）因为20-<，所以(2)231f -=-+=，因为20>，所以f （2）22220=-+⨯=．（2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为3，又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且f （1）1=，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1，综上，()f x 的最大值为3．故答案为：（1）①A ②B ．（2）③A ④A ⑤B ．【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20．【分析】（1）由()log a f x x =，且f （3）1=，可得3a =及函数()f x 的定义域；（2）依题意，(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，可转化为[1x ∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -，又122x x y =-为增函数，[1x ∈，2]时，14[15y ∈，2]3，从而可得实数t 的取值范围．【解答】解：（1）()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=，log 31a ∴=，3a =，函数()f x 的定义域为(0,)+∞；（2）由（1）知，3()log f x x =，为定义域上的增函数，(4)(2)x x f t f t ∴⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，即(41)2x x t -对任意[1x ∈，2]恒成立．0410x x >⇒->，[1x ∴∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -， 又122x x y =-为增函数，[1x ∴∈，2]时，3[2y ∈，15]4，14[15y ∈，2]3， 23t ∴，即实数t 的取值范围为2[3，)+∞． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性的判定与应用，突出考查等价转换思想与运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）当1a =时，结合函数是偶函数，利用偶函数的定义进行求解即可．（2）根据指数函数的单调性进行求解即可．（3）利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当1a =时，()x x f x e be -=+，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e be e be --+=+，则1b =．（2）当1a =时，1b =-时，()x x f x e e -=-，为增函数．（3）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()222x x x x fx ae be ae be --=+==， 1=，即1ab =，则22a b ab +=，即a b +的最小值为2．故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数函数的性质是解决本题的关键．。
2023年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
2023北京高中合格考数学（第二次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}1,2A =，{}0,1B =，则A B ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}1,22. 函数2log y x =的图象经过点（ ） A. ()1,0B. ()1,1C. ()1,1−D. ()2,23. 要得到函数πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只要将函数cos y x =的图象（ ） A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度 4. 已知向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则x 的值为（ ） A. 12−B. 1−C. 2D. 2−5. 已知平面内的两个非零向量a ，b 满足3a b =−，则a 与b （ ） A. 相等B. 方向相同C. 垂直D. 方向相反6. 031log 93⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ） A.5−B. 1−C. 0D. 17. 在复平面内，复数2i z =−+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AD AA ==，AB =，则1B D =（ ）A.3B. 4C. 5D. 69. 函数()22xf x =−的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 不等式()()310x x +−<的解集是（ ） A. {}31x x −<< B. {}13x x −<< C. {|3x x <−或}1x > D. {|1x x <−或}3x >11. 复数()22i +=（ ） A. 43i −B. 34i −C. 43i +D. 34i +12. 已知0x >，则4x x+的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 413. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08B. 0.14C. 0.24D. 0.5614. 如图，四边形ABCD 是菱形，下列结论正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD =C. AB BC AC +=D. AB AD BD += 15. 已知直线l ，m 和平面α，满足//l m ，m α⊥，则下列结论正确的是（ ） A. //l α B. l ⊂α C. l α⊥D. l 是平面α的斜线16. 已知3sin 5α=，则()sin α−=（ ） A. 45−B.35C.35D.4517. 在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ） A.910B. 12C.19D.11018. “0a b >>”是“22a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 已知集合{}2,4,6,8P =，定义函数()1,,1,.x P f x x P ∈⎧=⎨−∉⎩则()()23f f +=（ ） A. 2−B. 0C. 1D. 220. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为6.5kW h ⋅，收费标准如下表所示：看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元B. 37.5元C. 45.3元D. 51.1元第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 函数()11f x x =+的定义域是______． 22. 已知向量()1,2a =，()3,1b =−，则2a b +=______． 23. 计算ππ2sincos 88=______． 24. ．根据图中信息，给出下列三个结论：①该公司去年12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数； ③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形．AB平面PCD；（1）求证：//（2）求证：AB⊥平面PAD．26. 阅读下面题目及其解答过程．个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．27. 已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．28. 已知数集A 含有n （*n ∈N ）个元素，定义集合{}*,A x y x y A =+∈．（1）若{}1,2,3A =，写出*A ； （2）写出一个集合A ，使得*A A =；（3）当4n =时，是否存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =？若存在，写出一个符合条件的集合A ；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】由并集定义可求.【详解】由题意，{}1,2A =，{}0,1B =， 所以A B ⋃={}0,1,2. 故选：B 2. 【答案】A【分析】根据对数的运算求解即可.【详解】根据对数的运算可知，2log 10=，2log 11≠，2log (1)−无意义，2log 21=， 所以函数2log y x =的图象经过点(1,0). 故选：A 3. 【答案】D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度所得图象的解析式为πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 故选：D 4. 【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数x 的值.【详解】因为向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则20a b x ⋅=−+=，解得2x =. 故选：C. 5. 【答案】D【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量a ，b 满足3a b =−， 所以,a b 为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC 错误，D 正确. 故选：D 6. 【答案】B【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解.【详解】02331log 91log 31213⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】B【分析】由复数的几何意义得出答案.【详解】复数2i z =−+对应的点坐标为()2,1−，位于第二象限 故选：B 8. 【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，14B D ====，故选：B 9. 【答案】A【分析】由函数的单调性结合()10f =即可判断零点个数.【详解】函数()22xf x =−是R 上的单调递增函数，且()122=0f =−，所以函数()22xf x =−只有一个零点，故选：A. 10. 【答案】A【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可. 【详解】解方程()()310x x +−=得3x =−或1x =， 因为函数()()()31f x x x =+−开口向上，所以不等式()()310x x +−<的解集为{}31x x −<<. 故选：A 11. 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()2244134i i i +=+−=+. 故选：D. 12. 【答案】D【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，即4x x +的最小值为4，当且仅当20x =>时，等号成立. 故选：D. 13. 【答案】D【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解. 【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知， “甲、乙两人都命中”的概率为0.70.80.56P =⨯=， 故选：D 14. 【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，AB BC AC +=，AB AD AC BD +=≠，故C 对D 错；因为向量方向不同，所以AB AD ≠，AC BD ≠，故AB 错误. 故选：C 15. 【答案】C【分析】根据线面垂直的性质得解. 【详解】因为//l m ，m α⊥， 所以l α⊥， 故选：C 16. 【答案】B【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为3sin 5α=，所以()3sin sin 5αα−=−=−， 故选：B 17. 【答案】D【分析】根据古典概型求解.【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的， 有10个位置可排，成为第一个人的可能性为110， 所以他拿到采集管的概率为110. 故选：D 18. 【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件. 故选：A. 19.【答案】B【分析】由23P P ∈∉，，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知23P P ∈∉，， 所以(2)(3)1(1)0f f +=+−=， 故选：B. 20. 【答案】B【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为6.50.5 1.4 4.55⨯⨯=元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为6.53 1.631.2⨯⨯=元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x 小时，费用为6.5 1.49.1x x ⨯=元. 综上，小王应缴纳的充电费 4.5531.29.19.135.75y x x =++=+， 因为00.5x <≤，所以35.7540.3y <≤. 故选：B第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 【答案】{|1}x x ≠−【分析】根据函数解析式有意义求解即可. 【详解】由10x +≠可得1x ≠−， 所以函数()11f x x =+的定义域是{|1}x x ≠−， 故答案为：{|1}x x ≠− 22. 【答案】(5,4)−【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为()1,2a =，()3,1b =−， 所以2(1,2)(6,2)(5,4)a b +=+−=−， 故答案为：(5,4)−23. 【答案】2【分析】由二倍角的正弦公式求解.【详解】πππ2sincos sin 8842==.故答案为：224. 【答案】①②③【分析】根据雷达图，明显可得出甲、乙每月投资额的大小及波动幅度，即可得出结论. 【详解】由雷达图可知，12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额，故①正确；由雷达图可知，该公司去年甲产品的月投资额的平均数在25万元附近，比较稳定，变化幅度小，乙产品的月投资额的平均数明显小于25万元较多，并且不稳定，变化幅度大，故②③正确. 故答案为：①②③三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）因为//AB CD ，由线面平行判定定理得证；（2）由题意得AB AD ⊥，AB PD ⊥，根据线面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】由题意，底面ABCD 是矩形，即//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ；【小问2详解】由题意，PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB PD ⊥，又底面ABCD 是矩形，即AB AD ⊥，,AD PD D AD ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． 26. 【答案】①B ②A ③A ④A ⑤B【分析】①由具体函数的定义域求解；②由()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=求解；③由()()()11112f x x x x x =−++=−−++=求解；④()11112f x x x x x x =−++=−++=求解；⑤由一次函数的单调性判断.【详解】解：①因为()11f x x x =−++，所以()f x 的定义域为R ；故答案为：B. ②因为()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=，故答案为：A. ③因为()()()11112f x x x x x =−++=−−++=，故答案为：A. ④因为()11112f x x x x x x =−++=−++=，故答案为：A ；⑤因为当1x ≥时，()2f x x =，所以函数是[)1,+∞上的增函数，故答案为：B. 27. 【答案】（1）π（2）2，π6x = 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式得解；（2）根据自变量的取值范围求出π26x +的范围，再由正弦函数求解即可. 【小问1详解】因为函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以周期2ππ2T ==， 即函数最小正周期为π.【小问2详解】 因为ππ,36x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以πππ2262x −≤+≤， 所以π1sin 216x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，π2()2sin 226f x x ⎛⎫−≤=+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值为2， 此时ππ262x +=，即π6x =. 28. 【答案】（1）{}2,3,4,5,6（2）{}0（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据集合的新定义，写出A *中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解；（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.【小问1详解】因为{}1,2,3A =，{}*,A x y x y A =+∈， 所以112,123,134,224,235,336+=+=+=+=+=+=为A *中元素， 故{}{}*,2,3,4,5,6A x y x y A =+∈=. 【小问2详解】取{}0A =，此时{}{}*,0A x y x y A =+∈=， 满足*A A =.【小问3详解】当4n =时，不存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =. （反证法）假设4n =时，存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =， 不妨设{,,,}A a b c d =，且a b c d <<<，则22a a b a c b c b d c d d <+<+<+<+<+<，所以2,,,,,,2a a b a c b c b d c d d +++++为*A 中7个不同的元素， 所以22,3,4,6,7,8,210a a b a c b c b d c d d =+=+=+=+=+==， 由22,3,4a a b a c =+=+=解得1,2,3a b c ===.此时，5b c A *+=∈与5A *∉矛盾，所以假设不成立，故不存在这样的集合A .。
2024北京高中合格考数学(第一次)(教师版)
2024北京高中合格考数学（第一次）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，则AB =（ ） A. {}1B. {}2C. {}1,2D. {}1,0,1,2− 2. 复数2i =（ ）A. iB. i −C. 1D. 1−3. 函数()()21f x x x =+的零点为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. 24. 已知向量()()0,1,2,1a b ==，则a b −=（ ）A. ()0,2−B. ()2,0C. ()2,0−D. ()2,2 5. 不等式21x >的解集为（ ） A. {}10x x −<< B. {}01x x << C. {}11x x −<< D. {1x x <−或}1x > 6. 在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （ ）A. 相交B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线7. 在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =−的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称 8. 已知,a b R R ，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 1610. 已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（ ） A. 12 B. 12− C. 2 D. 2−11. 在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（ ）A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒12. 下列函数中，存在最小值的是（ ）A. ()1f x x =−+B. ()22f x x x =−C. ()e x f x =D. ()ln f x x = 13. 贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：A. 40.3%B. 40.45%C. 40.6%D. 41.4%14. 若tan 1α=−，则角α可以为（ ）A. π4B. π6C. 3π4D. 5π615. 66log 2log 3+=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 函数()f x =的定义域为（ ） A. [)3,∞−+ B. [)2,−+∞ C. [)2,+∞ D. [)4,+∞17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP −的体积为（ ）A. 2B. 1C. 12D. 16 18. ()2sin15cos15︒+︒=（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 219. 已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b −的取值范围是（ ）A. []1,0−B. []0,1C. []1,1−D. []22−,20. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）A. 最多有1651名学生B. 最多有1649名学生C. 最少有618名学生D. 最少有617名学生第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22. 已知,a b R R ，且a b >，则2a −________3b −（填“>”或“<”）.23. 已知向量,,a b c ，其中()1,0a =.命题p ：若a b a c ⋅=⋅，则b c =，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b =________，c =________.24. 已知的()11f x x =+，给出下列三个结论： ①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 26. 阅读下面题目及其解答过程. ①________.D ∈，且f )个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），()0,+∞ )27. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28. 已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成. ①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2. 【答案】D【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=−.故选：D.3. 【答案】B【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =， 即函数()()21f x x x =+的零点为0， 故选：B4. 【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴−=−.故选：C.5. 【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<−或1x >， 所以原不等式的解集为{1x x <−或1}x >.故选：D6. 【答案】D【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7. 【答案】B【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =−互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =−的图象关于x 轴对称.故选：B.8. 【答案】A【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时， a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9. 【答案】A【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=. 故选：A.10. 【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x =>， 故由()02f x =，得001122,x x =∴=， 故选：A11. 【答案】D【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===， 由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +−+−===−⨯⨯, 而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12. 【答案】B【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =−+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =−在(),1−∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13. 【答案】B【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%， 中位数为40.3%40.6%40.45%2+=. 故选：B14. 【答案】C【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=−,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4. 故选：C.15. 【答案】B【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16. 【答案】C【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x −≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17. 【答案】D【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S −=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=， 故选：C19. 【答案】C【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =−，所以10a −≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a −=−−=−∈−.故选：C.20. 【答案】D【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷=,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650−−=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 【答案】2【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222. 【答案】<【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b −<−，所以23a b −+<−+，即23a b −<−.故答案为：<23. 【答案】 ①. ()0,1（答案不唯一） ②. ()0,2（答案不唯一）【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=即可，如()()0,1,0,2b c ==，此时b c ≠故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k =与()()1y g x x x ==+的交点个数即可. 【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确； 对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确； 对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=， 作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨−+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增， 故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②. 三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 【答案】（1） π（2） 最大值为2，最小值为-2【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】 由2π2ππ2T ω===， 知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤， 令2x θ=，则0πθ≤≤， 函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1， 所以2()2f x −≤≤，即函数()f x 在π[0,]2上的最大值为2，最小值为-2.26. 【答案】ABABA【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22x x f x −=+的定义域为R ，故A 正确； ②由于()2()2x x x x f f −−=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x −<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴−>，故A 正确.27. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28. 【答案】（1）是 （2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当1i =时，451,561,561,963−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当2i =时，341,853,451,891−=−−=−=−−=−，共三个1−，一个3； 任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3， 则13i i a a +−=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反； 因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=−，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++−=−−−=−−−， 分三种情况：（i ）若11i i a a +−=−，且11i i b b +−=−，则10i i +∆∆=−； （ii ）若11i i a a +−=−，且13i i b b +=−，则14i i +∆−=−∆； （iii ）若13i i a a +−=，且11i i b b +−=−，则14i i +∆∆=−； 均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈k k b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”； 类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”； 所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3. 其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈， 使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c −>−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−>−≥−−>，()332240d c d c −≥−−>，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c −>，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ， 则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =−−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−=−≥−−≥， ()332240d c d c −≥−−≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++−=−=−，则111,1k k k k a a b b ++−=−−=−，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
2019-2021北京高中数学二模汇编：函数的性质综合(教师版)
2019-2021北京高中数学二模汇编：函数的性质综合一．选择题（共32小题）1．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）2．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．4．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数5．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．6．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（）（参考数据：ln3≈1.099）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.37．（2021•丰台区二模）将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．log2（2x+1）﹣1B．log2（2x+1）+1C．log2x﹣1D．log2x8．（2021•海淀区二模）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．9．（2021•丰台区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣1C．y＝（x﹣1）2D．y＝lnx10．（2021•朝阳区二模）下列函数是奇函数的是（）A．y＝cos x B．y＝x2C．y＝ln|x|D．y＝e x﹣e﹣x11．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R12．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx13．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x14．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数15．（2019•东城区二模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+116．（2019•海淀区二模）若关于x的方程在（0，+∞）上有解，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．[3，+∞）17．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x|D．y＝ln|x|18．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数19．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16B．8C．4D．220．（2020•房山区二模）函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．321．（2019•朝阳区二模）已知函数f（x）＝，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）22．（2021•东城区二模）有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：℃）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立．其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7．按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案．如表给出了这9次实验的结果：实验号温度（℃）时间（min）催化剂用量（g）产量（kg）180905312801206543801507384859065358512074968515054279090757890120562990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为（）A．85℃120min 7g B．90℃120min 6gC．85℃150min 6g D．90℃150min 7g23．（2021•朝阳区二模）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为（）A．B．C．D．24．（2021•顺义区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25B．﹣0.25C．0.89D．﹣0.8925．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）26．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a27．（2019•昌平区二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F （x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．28．（2021•房山区二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．829．（2021•顺义区二模）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．30．（2021•海淀区二模）已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A．0B．1C．2D．无数31．（2020•顺义区二模）已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，4]C．[1，3]D．[1，2]32．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A．12辆B．11辆C．10辆D．9辆二．填空题（共5小题）33．（2021•门头沟区二模）函数y＝log（3x﹣2）+的定义域是．34．（2020•东城区二模）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为．35．（2019•房山区二模）已知函数当a＝0时，f（x）的最小值等于；若对于定义域内的任意x，f（x）≤|x|恒成立，则实数a的取值范围是．36．（2019•房山区二模）已知函数f（x）＝当a＝0时，f（x）的值域为；若f（x）有三个零点，则a的取值范围是．37．（2021•朝阳区二模）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S“型曲线．某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y（单位：个）与时间t（单位：小时）的关系近似为一个“S“型函数y＝．已知函数f（t）＝（t≥0）的部分图象如图所示，f′（t）为（t）的导函数．给出下列四个结论：①对任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＞；②对任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＝；③对任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f（t2）＞；④对任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f'（t2）＝．其中所有正确结论的序号是．2019-2021北京高中数学二模汇编：函数的性质综合参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．（2020•朝阳区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．[0，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．【解答】解：函数，∴，解得x＞0且x≠1，∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．2．（2020•丰台区二模）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2．∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3．（2020•东城区二模）已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．【解答】解：结合已知函数的图象可知，f（1）＝b＜﹣1，a＞1，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，y＝a x+b的图象单调递增，且由y＝a x的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．4．（2020•东城区二模）已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数【分析】根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．【解答】解：函数y＝log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；函数y＝3x的值域是（0，+∞），即B错误；函数y＝3x和y＝log3x是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．【点评】本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．（2020•顺义区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣x2B．C．y＝cos x D．【分析】由二次函数的图象及性质，直接可以判断选项A符合题意．【解答】解：二次函数f（x）＝﹣x2为开口向下的抛物线，且对称轴为x＝0，由二次函数的性质可知，其在（0，+∞）上为减函数，又f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝f（x），故函数f（x）＝﹣x2为定义在R上的偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．6．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（）（参考数据：ln3≈1.099）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【分析】列方程，根据对数运算性质计算即可．【解答】解：由题意可得：40＝20+（80﹣20）e﹣4k，∴e﹣4k＝，两边取对数可得：﹣4k＝ln＝﹣ln3＝﹣1.099，∴k＝≈0.3．故选：D．【点评】本题考查了对数性质，对数运算，属于基础题．7．（2021•丰台区二模）将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．log2（2x+1）﹣1B．log2（2x+1）+1C．log2x﹣1D．log2x【分析】根据函数平移变换进行求解即可．【解答】解：将函数y＝log2（2x+2）的图象向下平移1个单位长度，得到y＝log2（2x+2）﹣1，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，级g（x）＝log2[2（x﹣1）+2]﹣1＝log22x﹣1＝1+log2x﹣1＝log2x，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象变换，根据平移关系是解决本题的关键，是基础题．8．（2021•海淀区二模）已知指数函数f（x）＝a x，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝3a x，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3a x﹣2＝•a x，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则＝1，即a2＝3，a＝，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的变换，利用平移变换求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题．9．（2021•丰台区二模）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣1C．y＝（x﹣1）2D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝（）x，是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，对于B，y＝x﹣1＝，是反比例函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意，对于C，y＝（x﹣1）2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意，对于D，y＝lnx，是对数函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意，故选：D．【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．10．（2021•朝阳区二模）下列函数是奇函数的是（）A．y＝cos x B．y＝x2C．y＝ln|x|D．y＝e x﹣e﹣x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x，是余弦函数，是偶函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意，对于C，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有ln|﹣x|＝lnx，是偶函数，不符合题意，对于D，y＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，e x﹣e﹣x＝﹣（y＝e x﹣e﹣x），则函数为奇函数，符合题意，故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．11．（2020•西城区二模）函数f（x）＝x﹣是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．12．（2020•海淀区二模）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．【解答】解：A：y＝x2为偶函数，且值域[0，+∞），符合题意；B：y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；C：y＝cos x的值域[﹣1，1]，不符合题意；D：y＝lnx为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．13．（2020•平谷区二模）在下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．B．f（x）＝ln|x|C．f（x）＝2x+2﹣x D．f（x）＝x cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、值域，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），不符合题意；对于B，f（x）＝ln|x|＝，是值域为R的偶函数，符合题意；对于C，f（x）＝2x+2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），为偶函数，有f（x）＝2x+2﹣x≥2，其值域为[2，+∞），不符合题意；对于D，f（x）＝x cos x，有f（﹣x）＝（﹣x）cos x＝﹣x cos x，不是偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数值域的计算，注意常见函数的奇偶性以及值域，属于基础题．14．（2020•丰台区二模）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则有，解可得﹣1＜x＜1，即f（x）的定义域为（﹣1，1）；设任意x∈（﹣1，1），f（﹣x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝ln，其导数f′（x）＝，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，则f（x）为（﹣1，1）上的减函数；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．15．（2019•东城区二模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+1【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．16．（2019•海淀区二模）若关于x的方程在（0，+∞）上有解，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．[3，+∞）【分析】根据函数与方程之间的关系，结合基本不等式求出x+≥2，即可得到结论．【解答】解：当a＞0时，x+＝2，当且仅当x＝．即x＝1时，取等号，要使方程在（0，+∞）上有解，则a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合基本不等式求出x+的范围是解决本题的关键．17．（2020•密云区二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x|x|D．y＝ln|x|【分析】分别结合奇偶性及定义域对各选项中的函数进行检验即可判断．【解答】解：A：y＝sin x为奇函数，不符合题意；B：y＝cos x的定义域R且为偶函数，符合题意；C：y＝x|x|为奇函数，不符合题意；D：y＝ln|x|的定义域{x|x≠0}，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及定义域的判断，属于基础试题．18．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数【分析】结合奇偶函数的定义先判断f（﹣x）与f（x）的关系，然后结合x＞1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．【解答】解：f（﹣x）＝lg|1﹣x|+lg|1+x|＝f（x），故f（x）为偶函数，当x＞1时，f（x）＝lg（1+x）+lg（x﹣1）＝lg（x2﹣1）单调递增，故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．19．（2020•密云区二模）已知函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且f（5）＝3f（3）+4，则f（4）＝（）A．16B．8C．4D．2【分析】根据关系式得到f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），进而求得结论．【解答】解：因为函数y＝f（x）满足f（x+1）＝2f（x），所以：f（4）＝2f（3）且f（5）＝2f（4），又f（5）＝3f（3）+4，即2f（4）＝3×f（4）+4；则f（4）＝8；故选：B．【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．20．（2020•房山区二模）函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由f（x）＝e x﹣x2＝0，得e x＝x2，设y＝e x，y＝x2，分别作出两个函数的图象，利用图象的交点个数，确定函数零点的个数．【解答】解：由f（x）＝e x﹣x2＝0，得e x＝x2，设y＝e x，y＝x2，分别作出两个函数的图象，当x＜0时，两个函数图象有一个交点，当x＞0时，f′（x）＝e x﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，x＝ln2时，f″（x）＝0，函数f′（x）取得最小值，f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，所以f（x）在x＞0时，是增函数，两个函数y＝e x，y＝x2，则x＞0时，没有公共点．可知函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．21．（2019•朝阳区二模）已知函数f（x）＝，若函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【分析】由指数函数的值域和函数零点的定义，即可得到所求范围．【解答】解：由2x＞0，函数f（x）存在零点，则f（x）的零点为0，可得a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的零点判断，注意运用指数函数的值域和定义法，属于基础题．22．（2021•东城区二模）有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：℃）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立．其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7．按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案．如表给出了这9次实验的结果：实验号温度（℃）时间（min）催化剂用量（g）产量（kg）180905312801206543801507384859065358512074968515054279090757890120562990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为（）A．85℃120min 7g B．90℃120min 6gC．85℃150min 6g D．90℃150min 7g【分析】利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．【解答】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．23．（2021•朝阳区二模）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为（）A．B．C．D．【分析】由题意分析可知，2024年的生活垃圾为24万吨，根据题意列出不等关系，即可解出．【解答】解：由题意可知2024年的生活垃圾为24万吨，有题意可知2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为5×q4（万吨），∴，解得：，故选：C．【点评】本题考查了函数的实际应用，方程思想，学生的数学运算能力，属于基础题．24．（2021•顺义区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25B．﹣0.25C．0.89D．﹣0.89【分析】由题意可知当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，代入θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，再结合指数的运算性质即可求出k的值．【解答】解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，∴e﹣k＝，∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数函数的性质，是基础题．25．（2020•怀柔区二模）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0且a≠1），若g（2）＝a，则函数f（x2+2x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】由已知可求f（x），g（x），然后结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣a x+a﹣x+2＝﹣f（x）+g（x），联立可得f（x）＝a x﹣a﹣x，g（x）＝2，因为g（2）＝a，所以a＝2，f（x）＝2x﹣2﹣x，故f（x）在R上单调递增，因为y＝x2+2x的单调递增区间（﹣1，+∞），根据复合函数的单调性可知，函数f（x2+2x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数的性质，要熟悉复合函数单调性的判断方法，属于中档试题．26．（2020•密云区二模）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0；②f（x+8）＝f（x）；③y＝f（x+4）是偶函数；若a＝f（﹣7），b＝f（11），c＝f（2020），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【分析】根据函数对称性和单调性之间的关系，结合函数的周期进行转化即可得到结论．【解答】解：由①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有＞0可得f（x）在[4，8]上单调递增，由②f（x+8）＝f（x）可得函数的周期T＝8，由③y＝f（x+4）是偶函数可得f（x）关于x＝4对称，故a＝f（﹣7）＝f（1）＝f（7），b＝f（11）＝f（3）＝f（5），c＝f（2020）＝f（4），则f（7）＞f（5）＞f（4），即a＞b＞c．故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．27．（2019•昌平区二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F （x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）＝f（x）﹣m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，且0不是函数F（x）＝f（x）﹣m的零点，即当x＞0时，f（x）＝m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣＝（x﹣）2﹣，当x≥1时，f（x）＝，则f′（x）＝＝当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x＝2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）＝，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y＝m与y＝f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．28．（2021•房山区二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先求出年平均利润的关系式，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：由已知可得年平均利润为Z＝＝，（t＞0），所以Z＝﹣（t+）+23+23＝﹣16+23＝7，当且仅当，即t＝8时取等号，此时年平均利润的最大值为7，故选：D．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．29．（2021•顺义区二模）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】通过函数的导数求解函数的极值点，作出f（x）的图象，讨论a的范围，根据图象判断即可得出结论．【解答】解：函数y＝﹣x3+3x，x∈R，则y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），所以当﹣1＜x＜1时，y'＞0，故函数单调递增，当x＜﹣1或x＞1时，y'＜0，故函数单调递减，当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，作出函数y＝﹣x3+3x，x∈R的图象与y＝2x，x∈R的图象，如图所示，在图象中作直线x＝a，通过x＝a左右平移，得到函数f（x）＝的图象，因为f（x）恰有两个零点，则f（x）的图象与x轴恰有两个交点，所以实数a的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数的导数的应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题30．（2021•海淀区二模）已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A．0B．1C．2D．无数【分析】分情况讨论，并作出大致图象，由图象结合题意分析即可得解．【解答】解：函数y＝|x+a|的图象形状大致如下，①当a＞0时，要使f（x）＝k有两个不相等的实数根，即f（x）的图象与直线y＝k有两个交点，如图，当y＝x2﹣ax+2的对称轴在x＝a的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时，解得a＝1；②当a＜0时，如图，要满足条件，需在x＝a处相接，且y＝x2﹣ax+2在处的函数值为0，则，无解；③当a＝0时，，显然不合题意；综上，满足条件的a有1个．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．31．（2020•顺义区二模）已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，4]C．[1，3]D．[1，2]。
2019北京高中数学期末汇编：函数的性质综合(教师版)
2019北京高中数学期末汇编：函数的性质综合一．选择题（共8小题）1．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，则f（﹣10）的值是（）A．1B．﹣1C．0D．﹣22．（2019春•海淀区校级期末）下列哪个函数的定义域与函数f（x）＝（）x的值域相同（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝x+D．y＝lnx3．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（2019春•顺义区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x+1B．x C．y＝e﹣x D．y＝5．（2019春•海淀区校级期末）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x2+x B．y＝lnx2C．y＝x D．y＝cos x6．（2019春•西城区期末）如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H．记四边形EFGH的面积为y，设，则（）A．函数y＝f（x）的值域为（0，4]B．函数y＝f（x）为偶函数C．函数y＝f（x）在上单调递减D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x）7．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝（a∈R），若存在x0∈[0，1]，使得f（f（x0））＝x0，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[0，1]C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]8．（2019春•海淀区校级期末）已知函数y＝f（x）的图象如图，则函数f（x）的解析式可能是（）A．（x﹣）cos x B．（x+）cos x C．x cos x D．二．填空题（共10小题）9．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是．10．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）同时满足条件：f（x）在区间[0，+∞）上单调递减；f（x）仅有一个极值点，则f（x）可以是．11．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，若f（x）＝3，则x＝．12．（2019春•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3），设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H（单位：m），由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位：rad/s），盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t（单位：s）．已知r＝3m，h＝2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向）1.5圈，点P0距离水面的高度为 3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过s就可到达最高点；若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，则此函数表达式为．13．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝1﹣x﹣（x＞0）的值域为．14．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）＝，若函数f（x）﹣m＝0有三个零点，则实数m的取值范围是．15．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x），对于给定的实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x＝[t﹣a，t+b]，|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝：（2）当f（x）＝x2且t∈[，2]时，函数H（t）的解析式为．16．（2019春•东城区期末）已知函数f（x）＝﹣x2+8x，g（x）＝6lnx+m，当7＜m＜8时，这两个函数图象的交点个数为个．（参考数值：ln2≈0.693，ln3≈1.099）17．（2019春•朝阳区期末）已知函数f（x）＝其中k≥0．①若k＝2，则f（x）的最小值为；②关于x的函数y＝f（f（x））有两个不同零点，则实数k的取值范围是．18．（2019春•海淀区校级期末）函数f（x）＝log0.5（x2+4x﹣5）的单增区间是．三．解答题（共5小题）19．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，若f（x）＞0，求x的取值范围；（Ⅰ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．20．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）函数f（x）的零点分别是和，其图象与x轴围成的三角形面积为；（Ⅰ）设g（x）＝，若对任意s∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（1）成立，求实数a的取值范围．21．（2019春•平谷区期末）已知二次函数y＝mx2﹣（m+3）x﹣1，（m≠0）．（Ⅰ）如果二次函数恒有两个不同的零点，求m的取值范围．（Ⅰ）当m＞0时，讨论二次函数在区间[0，2]上的最小值．22．（2019春•海淀区校级期末）设A是一个由0和1构成的m行n列的数表，且A中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为S（m，n）．记R i（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），∁j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）K（A）为R1（A），R2（A），……，R m（A），C1（A），C2（A），……∁n（A）中的最大值．（1）对如下数表A，求K（A）的值11000011（2）设数表A∈S（4，4），求K（A）的最小值；（3）已知t为正整数，对于所有的A∈S（6，t），若R i（A）＝5（1≤i≤6），且A的任意两行中最多有2列各数之和为2．求t的值．23．（2019春•海淀区校级期末）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[1]＝1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）＝f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）＝x2﹣x，g（x）＝sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅰ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅰ）若函数f（x）＝x+是Ω函数，求a的取值范围．2019北京高中数学期末汇编：函数的性质综合参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，则f（﹣10）的值是（）A．1B．﹣1C．0D．﹣2【分析】判定出自变量x的值是在那一段上，将其代入相应段的解析式，求出函数值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣10）＝f（﹣7）＝f（﹣4）＝f（﹣1）＝f（2）＝log22＝1故选：A．【点评】本题考查分段函数的求值问题，关键是判定出自变量x的值是在那一段上，属于一道基础题，2．（2019春•海淀区校级期末）下列哪个函数的定义域与函数f（x）＝（）x的值域相同（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝x+D．y＝lnx【分析】求出函数f（x）＝（）x的值域，然后依次求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】解：函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞）．函数y＝|x|的定义域为R；函数y＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数y＝x+的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数y＝lnx的定义域为（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及值域的求法，是基础的计算题．3．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及当x＞0时，f（x）的符号，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，当x＞0时，有f（x）＞0，函数的图象在第一象限，分析选项可得：C符合；故选：C．【点评】本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数f（x）的奇偶性与值域，属于基础题．4．（2019春•顺义区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x+1B．x C．y＝e﹣x D．y＝【分析】由题意结合一次函数，指数与对数函数及幂函数的性质，分别检验各选项即可判断．【解答】解：根据一次函数的性质可知y＝﹣x+1在（0，+∞）上单调递减，A错误；根据对数函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上单调递减，B错误；根据指数函数的现在可知，y＝e﹣x在（0，+∞）上单调递减，C错误‘根据幂函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上单调递增，D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．5．（2019春•海淀区校级期末）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x2+x B．y＝lnx2C．y＝x D．y＝cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+x，为二次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝lnx2，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝＝，为奇函数，不符合题意；对于D，y＝cos x，为余弦函数，是偶函数但在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6．（2019春•西城区期末）如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H．记四边形EFGH的面积为y，设，则（）A．函数y＝f（x）的值域为（0，4]B．函数y＝f（x）为偶函数C．函数y＝f（x）在上单调递减D．函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x）【分析】根据空间四边形的性质证明四边形EFGH为矩形，然后根据比例关系求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，∴AC∥EF，AC∥HG，BD∥EH，BD∥FG，则四边形EFGH为平行四边形；∵两条对角线AC，BD互相垂直，∴EH⊥EF，则四边形EFGH为矩形；∵，∴；即EH＝（1﹣x）BD＝6（1﹣x），同理，则EF＝x•AC＝4x，则四边形EFGH的面积为y＝EH•EF＝4x•6（1﹣x）＝24（x﹣x2）＝﹣24（x﹣）2+6，∵x∈（0，1），∴当x＝时，函数取得最大值为6，故A，B错误；函数的对称轴为x＝，则函数在（0，）上不是单调函数，C错误；∵函数的对称轴为，∴函数y＝f（x）满足f（x）＝f（1﹣x），故D错误．故选：D．【点评】本题考查空间四边形和函数的综合以及与一元二次函数有关的性质，综合性较强，有难度．7．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝（a∈R），若存在x0∈[0，1]，使得f（f（x0））＝x0，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[0，1]C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【分析】由存在x0∈[0，1]，使得f[f（x0）]＝x0，又函数f（x）单调递增，则必有f（x0）＝x0化为：e x+x﹣a＝x2，即e x﹣x2+x＝a，由函数h（x）＝e x﹣x2+x在[0，1]的值域即可得出．【解答】解：由存在x0∈[0，1]，使得f[f（x0）]＝x0，又函数f（x）单调递增，则必有f（x0）＝x0，（证明：假设f（x0）≠x0，则f（f（x0））≠f（x0）≠x0，与已知矛盾）由x0＝f（x0）化为：e x+x﹣a＝x2，即a＝e x﹣x2﹣+x，x∈[0，1]，函数h（x）＝e x﹣x2+x，x∈[0，1]，h′（x）＝e x+1﹣2x≥0．∴函数h（x）＝e x﹣x2+x在[0，1]单调递增．h（0）≤h（x）≤h（1），∴1≤h（x）≤e，∴1≤a≤e，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与二次函数的单调性、数形结合方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题8．（2019春•海淀区校级期末）已知函数y＝f（x）的图象如图，则函数f（x）的解析式可能是（）A．（x﹣）cos x B．（x+）cos x C．x cos x D．【分析】根据函数图象可知，函数y＝f（x）为奇函数，排除D，定义域为{x|x≠0}，排除C，再结合函数在y轴附近的单调性即可得到答案．【解答】解：依题意，根据函数图象可知，函数y＝f（x）为奇函数，且定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），D为偶函数，排除D；C中函数定义域为R，排除C；又因为当x→0+（x＞0，且x无限接近0）时，f（x）＜0，而当当x→0+时，（x+）cos x＞0，排除B，故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的应用，函数的图象变换，属于中档题．二．填空题（共10小题）9．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是[2，+∞）．【分析】根据二次根式和对数函数的定义与性质，列出不等式求得解集即可．【解答】解：由题意，令log4（x﹣1）≥0，得x﹣1≥1，解得x≥2，所以函数y＝的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题．10．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）同时满足条件：f（x）在区间[0，+∞）上单调递减；f（x）仅有一个极值点，则f（x）可以是f（x）＝﹣x2．【分析】由已知结合函数极值存在的条件即可求解．【解答】解：因为f（x）在区间[0，+∞）上单调递减；f（x）仅有一个极值点，所以函数在（﹣∞，0）上单调递增，在x＝0处取得唯一的极值，故答案为：f（x）＝﹣x2．【点评】本题主要考查了函数极值存在条件的简单应用，属于基础试题．11．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，若f（x）＝3，则x＝8．【分析】当x≤1时，f（x）＝2x﹣1＝3，解得x＝2，当x＞1时，f（x）＝log2x＝3，由此能求出x．【解答】解：函数f（x）＝，f（x）＝3，当x≤1时，f（x）＝2x﹣1＝3，解得x＝2，不成立；当x＞1时，f（x）＝log2x＝3，解得x＝23＝8．综上，x＝8．故答案为：8．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查数学运算等核心素养，是基础题．12．（2019春•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3），设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H（单位：m），由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位：rad/s），盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t（单位：s）．已知r＝3m，h＝2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向）1.5圈，点P0距离水面的高度为3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过s就可到达最高点；若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，则此函数表达式为H＝3sin（t+）+2．【分析】求出∠P0Ox，角速度ω，得出H关于t的函数解析式．【解答】解：过P0向x轴作垂线，垂足为A，则P0A＝3.5﹣2＝1.5＝r，∴∠P0OA＝，筒车的角速度ω＝＝，∴H＝3sin（t+）+2，令t+＝可得t＝．故答案为：，H＝3sin（t+）+2．【点评】本题考查了函数解析式，函数的应用，属于中档题．13．（2019春•朝阳区期末）函数f（x）＝1﹣x﹣（x＞0）的值域为（﹣∞，﹣1]．【分析】可知在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，从而得出g（x）≥2，即得出，从而可求出，即得出f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．【解答】解：∵在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；∴g（x）≥g（1）＝2；即；∴；∴；∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】考查函数值域的定义及求法，不等式的性质，函数的单调性及值域．14．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）＝，若函数f（x）﹣m＝0有三个零点，则实数m的取值范围是（1，2]．【分析】由f（x）﹣m＝0可得f（x）＝m，转化为求解y＝f（x）与y＝m的交点个数，结合函数的图象即可求解．【解答】解：数f（x）＝＝，由f（x）﹣m＝0可得f（x）＝m，其图象如图所示，结合函数的图象可知，1＜m≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要函数图象在求解函数零点中的应用，体现了数形结合思想的应用．15．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x），对于给定的实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：∀x＝[t﹣a，t+b]，|f（x）﹣f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（1）当f（x）＝2x时，H（0）＝2：（2）当f（x）＝x2且t∈[，2]时，函数H（t）的解析式为H（t）＝．【分析】（1）根据题意，当f（x）＝2x时，不等式|f（x）﹣f（0）|≤2，可求出解集，得出a+b的最大值H（0）；（2）根据题意，当f（x）＝x2且x∈时，不等式可化为|x2﹣t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；【解答】解：（1）根据题意得，当f（x）＝2x时，存在a＞0，b＞0，满足：∀x∈[﹣a，b]，使得|f（x）﹣f（t）|≤2，即|f（x）|≤2，∴|2x|≤2，即|x|≤1⇒﹣1≤x≤1；令，解得a＝b＝1；∴a+b的最大值为H（0）＝2；（2）由|f（x）﹣f（t）|≤2，可得f（t）﹣2≤f（x）≤f（t）+2，即t2﹣2≤x2≤t2+2；当t∈[]时，解得，此时a+b＝；故答案为：2；H（t）＝（）．【点评】本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合体．16．（2019春•东城区期末）已知函数f（x）＝﹣x2+8x，g（x）＝6lnx+m，当7＜m＜8时，这两个函数图象的交点个数为3个．（参考数值：ln2≈0.693，ln3≈1.099）【分析】原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．【解答】解：函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，，令y′＝0，解得x＝1或x＝3，故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，当x∈（1，3）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，当x∈（3，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，且y|x＝1＝7，y|x＝3＝15﹣6ln3＞8，作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，由图可知，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）有3个交点．故答案为：3．【点评】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，通过数形结合思想，观察得出答案，属于常规题目．17．（2019春•朝阳区期末）已知函数f（x）＝其中k≥0．①若k＝2，则f（x）的最小值为﹣1；②关于x的函数y＝f（f（x））有两个不同零点，则实数k的取值范围是[0，1）．【分析】①k＝2时，，作出函数图象，则最小值可求；②问题转化为f（x）＝1有两个不同的零点，结合图象即可求解．【解答】解：①若k＝2，则，作函数f（x）的图象如下图所示，显然，当x＝0时，函数f（x）取得最小值，且最小值为f（0）＝﹣1．②令m＝f（x），显然f（m）＝0有唯一解m＝1，由题意，f（x）＝1有两个不同的零点，由图观察可知，k＜1，又k≥0，则实数k的取值范围为0≤k＜1．故答案为：﹣1；[0，1）．【点评】本题考查函数的最值及函数零点，考查换元法及数形结合的运用，属于基础题．18．（2019春•海淀区校级期末）函数f（x）＝log0.5（x2+4x﹣5）的单增区间是（﹣∞，﹣5）．【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间得答案．【解答】解：由x2+4x﹣5＞0，得x＜﹣5或x＞1．∴函数f（x）＝log0.5（x2+4x﹣5）的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．又内层函数t＝x2+4x﹣5在（﹣∞，﹣5）上单调递减，外层函数y＝log0.5t为定义域内的减函数，∴函数f（x）＝log0.5（x2+4x﹣5）的单增区间是（﹣∞，﹣5）．故答案为：（﹣∞，﹣5）．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．三．解答题（共5小题）19．（2019春•顺义区期末）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，若f（x）＞0，求x的取值范围；（Ⅰ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）结合对数函数的定义域即可直接求解；（2）结合奇偶性的定义，只有检验F（﹣x）与F（x）的关系即可判断．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝log2（x+1），由f（x）＞0可得x+1＞1即x＞0，（2）F（x）＝f（x）﹣g（x）＝log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＝，（﹣1＜x＜1），∴F（﹣x）＝＝﹣F（x），故F（x）为奇函数．【点评】本题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的定义在判断奇偶性中的应用，属于基础试题．20．（2019春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）函数f（x）的零点分别是和3，其图象与x轴围成的三角形面积为；（Ⅰ）设g（x）＝，若对任意s∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（1）成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）令f（x）＝0，即|x+1|﹣2|x﹣1|＝0，移项平方即可求解x的值，可得零点；从而可以求解与x轴围成的三角形面积．（Ⅰ）对任意s∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（1）成立，求解f（1），分离参数，利用基本不等式的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）＝0，即|x+1|﹣2|x﹣1|＝0，可得|x+1|＝2|x﹣1|那么（x+1）2＝4（x﹣1）2解得或x＝3∴零点分别为，3；由f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|＝根据图象可得：f（x）的最大值为2．即三角形的高为2从而可以与x轴围成的三角形面积S＝＝．故答案为：，3，；（Ⅰ）由f（1）＝2，∴对任意s∈（0，+∞）恒有g（s）≥2成立，即g（s）＝≥2，即：s，∵，（当且仅当s＝2时取等号）∴2+a≤4则a≤2；故实数a的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查了函数零点问题，恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，属于基础题21．（2019春•平谷区期末）已知二次函数y＝mx2﹣（m+3）x﹣1，（m≠0）．（Ⅰ）如果二次函数恒有两个不同的零点，求m的取值范围．（Ⅰ）当m＞0时，讨论二次函数在区间[0，2]上的最小值．【分析】（Ⅰ）根据该二次函数恒有两个不同零点，可知△＞0，进而求出m的取值范围；（Ⅰ）讨论对称轴与区间的位置关系，进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题，得△＝（m+3）2+4m＞0，解得m＜﹣9或m＞﹣1，所以m∈（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，+∞）；（Ⅰ）因为m＞0，所以对称轴，当，即m∈（0，1]时，函数在[0，2]上单调递减，故当x＝2时，取最小值2m﹣7；当，即m∈（1，+∞）时，函数在[0，2]上先减后增，故当时，取最小值．【点评】本题考查二次函数与方程的综合运用，涉及二次函数最值、增减性、零点等知识点，需要用到分类讨论思想，属于中档题．22．（2019春•海淀区校级期末）设A是一个由0和1构成的m行n列的数表，且A中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为S（m，n）．记R i（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），∁j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）K（A）为R1（A），R2（A），……，R m（A），C1（A），C2（A），……∁n（A）中的最大值．（1）对如下数表A，求K（A）的值11000011（2）设数表A∈S（4，4），求K（A）的最小值；（3）已知t为正整数，对于所有的A∈S（6，t），若R i（A）＝5（1≤i≤6），且A的任意两行中最多有2列各数之和为2．求t的值．【分析】（1）计算出R1（A）＝R2（A）＝2，C1（A）＝C2（A）＝C3（A）＝C4（A）＝1，根据定义求得K（A）＝2；（2）由题意可得，A中所有数字之和不小于，即至少有8个1，而要使K（A）最小，则A中只有8个1；（3）先计算出A中所有数字之和为5×6＝30，则，解得6≤t≤10，然后分别就t＝6，7，8，9，10时就A的任意两行中数字之和为2的列数进行分析，可得出t的值．【解答】解：（1）由题意可得R1（A）＝R2（A）＝2，C1（A）＝C2（A）＝C3（A）＝C4（A）＝1，∴K（A）＝2；（2）由题意可得，A中所有数字之和不小于，即至少有8个1，而要使K（A）最小，则A中只有8个1，此时如表排列K（A）min＝2，1001011001101001下面说明K（A）min＝2，①当某行某列全都是0时，则其他3行（或3列）1的个数分别为：（0，4，4），（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），此时K（A）min＝3；②当某行某列只有1个1时，则其他3行（或3列）1的个数分别为：（0，3，4），（1，2，4），（1，3，3），（2，2，3），此时K（A）min＝3；③当某行某列只有2个1时，则其他3行（或3列）1的个数分别为：（0，2，4），（0，3，3），（1，2，3），（2，2，2），此时K（A）min＝3；故K（A）min＝2；（3）R i（A）＝5（1≤i≤6），故A中所有数字之和为5×6＝30，由题意可得，，解得6≤t≤10，①当t＝6时，每行中仅有1列为0，任意两行中至多有5列和为2，舍去；②当t＝7时，每行中仅有2列为0，任意两行中至多有3列和为2，舍去；③当t＝8时，如下表所示，每行中仅有3列为0，任意两行中至多有2列和为2，符合题意；0001111111100011④当t＝9或t＝10时，不成立；综上所述，t＝8．【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及对新定义的理解，同时考查了分析问题的能力，推理能力与分类讨论的数学思想，属于难题．23．（2019春•海淀区校级期末）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[1]＝1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）＝f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）＝x2﹣x，g（x）＝sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅰ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅰ）若函数f（x）＝x+是Ω函数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）＝x2﹣x，g（x）＝sinπx是否是Ω函数；（Ⅰ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅰ）根据Ω函数的定义，分别讨论a＝0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣x是Ω函数，g（x）＝sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅰ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）＝f（0）．假设T＜1，则[T]＝0，所以f（[T]）＝f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）＝x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅰ）当函数f（x）＝x+是Ω函数时，若a＝0，则f（x）＝x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）若a＜0，则f′（x）＝1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得f（m）＝f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）＝f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）＝x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a＞0时，设f（m）＝f（[m]），所以m+＝[m]+[]，所以有a＝m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）记k＝[m]，综上，我们可以得到“a＞0且∀x∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。
2020北京高中合格考数学(第二次)(教师版)
8. 2019年某博物馆接待参观者61.3万人次．据统计，18岁以下（不含18岁）的参观人数占总参观人数的11%； 岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上（不含24岁）的参观人数占总参观人数的27%．为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议现采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取 岁的人数为（）
同角三角函数的基本关系式
正切函数在区间 上的性质
两角差的余弦公式
函数 的实际意义
两角差的正弦、正切公式
两角和的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
参数 对函数 图象变化 影响
34.阅读下面题目及其解答过程，并补全解答过程．
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数 在 上是减函数．
底面 ， ，即高为2，
所以该四棱锥的体积是 .
故选：C.
19.计算 的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数和对数运算法则直接计算可得结果.
【详解】 .
故选：B.
20.如图，四边形 是平行四边形，那么 等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量减法三角形法则可直接得到结果.
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．
所以当 时，函数 的最小值是 ．
所以当 时，函数 的最小值是 ．
写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识．（写出5个即可）
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度 互化
函数 的图象
2019-2021北京高中期末数学汇编：函数的定义域(教师版)
2019-2021北京高中期末数学汇编：函数的定义域一．选择题（共5小题）1．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）2．（2019秋•西城区校级期末）已知函数，则f（x）的定义域是（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，+∞）D．[﹣1，2）∪（2，+∞）3．（2019秋•西城区期末）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（2019秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）5．（2019秋•石景山区期末）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）二．填空题（共15小题）6．（2021春•丰台区期末）函数f（x）＝的定义域为．7．（2020秋•朝阳区期末）函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为．8．（2020秋•顺义区期末）函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是．9．（2020秋•房山区期末）函数y＝ln（2x+1）+2的定义域为．10．（2020秋•石景山区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域为．11．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域是．12．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝的定义域为．13．（2019秋•海淀区期末）已知f（x）＝lgx，则f（x）的定义域为，不等式f（x﹣1）＜0的解集为．14．（2019秋•东城区期末）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．15．（2019秋•海淀区校级期末）函数的定义域为．16．（2020秋•丰台区期末）函数f（x）＝log0.5（3x﹣2）的定义域为．17．（2021•怀柔区一模）函数的定义域为18．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是．19．（2021春•昌平区期末）函数f（x）＝的定义域为．20．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为．三．解答题（共1小题）21．（2019秋•通州区期末）已知函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x）（a＞0，a≠1），（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅰ）若f（0.5）≈0.42，求f（﹣0.5）的值（精确到0.01）．2019-2021北京高中期末数学汇编：函数的定义域参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．2．（2019秋•西城区校级期末）已知函数，则f（x）的定义域是（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，+∞）C．（2，+∞）D．[﹣1，2）∪（2，+∞）【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣1且x≠2，故函数的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．（2019秋•西城区期末）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．4．（2019秋•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．5．（2019秋•石景山区期末）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数中，令，解得x≥﹣1且x≠1；所以f（x）的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．二．填空题（共15小题）6．（2021春•丰台区期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x＞0}．【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足x＞0，然后写出f（x）的定义域即可．【解答】解：要使f（x）有意义，则x＞0，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．7．（2020秋•朝阳区期末）函数f（x）＝+lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意，得，解得x＞1，故函数f（x）的定义域是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是基础题．8．（2020秋•顺义区期末）函数f（x）＝ln（x﹣1）+的定义域是（1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数f（x）的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1且x≠2，故函数f（x）的定义域是（1，2）∪（2，+∞），故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．9．（2020秋•房山区期末）函数y＝ln（2x+1）+2的定义域为．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：2x+1＞0，解得：x＞﹣，故函数的定义域是（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．10．（2020秋•石景山区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域为（0，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞0，故函数f（x）的定义域是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．11．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝+lnx的定义域是[1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故函数的定义域是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．12．（2020秋•东城区期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x＜0或0＜x≤2}．【分析】通过函数的分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可．【解答】解：要使函数有意义，必有：，可得x≤2且x≠0．所以函数的定义域为：{x|x＜0或0＜x≤2}故答案为：{x|x＜0或0＜x≤2}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．13．（2019秋•海淀区期末）已知f（x）＝lgx，则f（x）的定义域为（0，+∞），不等式f（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．【分析】由对数式的真数大于0求得函数定义域，求解对数不等式可得不等式f（x﹣1）＜0的解集．【解答】解：函数f（x）＝lgx的定义域为（0，+∞）；由f（x﹣1）＜0，得lg（x﹣1）＜0＝lg1，得0＜x﹣1＜1，即1＜x＜2．∴不等式f（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．故答案为：（0，+∞）；（1，2）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．14．（2019秋•东城区期末）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．15．（2019秋•海淀区校级期末）函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．16．（2020秋•丰台区期末）函数f（x）＝log0.5（3x﹣2）的定义域为（，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：3x﹣2＞0，解得：x＞，故函数的定义域是（，+∞），故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．17．（2021•怀柔区一模）函数的定义域为[0，1）【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．18．（2019春•海淀区校级期末）函数y＝的定义域是[2，+∞）．【分析】根据二次根式和对数函数的定义与性质，列出不等式求得解集即可．【解答】解：由题意，令log4（x﹣1）≥0，得x﹣1≥1，解得x≥2，所以函数y＝的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题．19．（2021春•昌平区期末）函数f（x）＝的定义域为（，1）．【分析】由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围．【解答】解：对于函数f（x）＝，应有2x﹣1＞0，1﹣x＞0，求得＜x＜1，可得函数的定义域为（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．20．（2020春•海淀区校级期末）函数f（x）＝的定义域为{x|x≥1}．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解得答案．【解答】解：由，得：x≥1，∴函数f（x）＝的定义域为：{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．三．解答题（共1小题）21．（2019秋•通州区期末）已知函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x）（a＞0，a≠1），（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅰ）若f（0.5）≈0.42，求f（﹣0.5）的值（精确到0.01）．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可；（Ⅰ）判断f（﹣x）＝f（x），从而求出f（﹣0.5）的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x），得解得﹣1＜x＜1；所以函数f（x）的定义域是（﹣1，1）；（Ⅰ）因为f（﹣x）＝log a[1+（﹣x）]+log a[1﹣（﹣x）]＝log a（1﹣x）+log a（1+x）＝f（x），所以f（﹣0.5）＝f（0.5）≈0.42．【点评】本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题，是基础题．。
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（1）当 a＝1，f（x）为偶函数时，b＝
；
（2）如果 f（x）为 R 上的单调函数，请写出一组符合条件的 a，b 值；
（3）如果 f（x）的最小值为 2，求 a+b 的最小值．
40．（2014•北京学业考试）已知函数 f（x）＝|x2﹣ax|﹣2，且函数 f（x+2）是偶函数．
（1）求实数 a 的值；
A．y＝cosx
B．y＝
C．y＝ex
D．y＝lgx
19．（2012•北京学业考试）函数 y＝log2（x+1）的定义域是（ ）
A．（0，+∞）
B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞）D．[﹣Fra bibliotek，+∞）
20．（2012•北京学业考试）在函数 y＝x3，y＝2x，y＝log2x，y＝ 中，奇函数的是（ ）
A．y＝x3
A．0
B．1
C．2
D．3
13．（2016•北京学业考试）如果函数 f（x）＝log3x，那么 f（ ）等于（ ）
A．﹣1
B．
C．
D．1
14．（2015•北京学业考试）已知函数 f（x）＝|ax﹣1|与 g（x）＝（a﹣1）x 的图象没有交点，那么实数 a 的取值范 围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．
C．
22．（2011•北京学业考试）已知四个函数 y＝3x，y＝x2，y＝3x，y＝log3x，其中奇函数是（ ）
A．y＝3x
B．y＝x2
C．y＝3x
D．y＝log3x
23．（2011•北京学业考试）已知 a，b∈R，且 2a＝3b，那么下列结论中不可能成立的是（ ）
A．a＞b＞0
B．a＝b
C．b＜a＜0
A．1
B．2
C．3
D．4
32．（2010•东城区学业考试）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 与 y＝
B．y＝ 与 y＝
C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2
D．y＝lg x﹣2 与 y＝lg
33．（2010•北京学业考试）已知函数 f（x）是 R 上的奇函数，且 f（1）＝1，那么 f（﹣1）等于（ ）
D．a＜b＜0
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24．（2011•北京学业考试）上海世博会期间，某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所示，那么在 13 时～ 14 时，14 时～15 时，…，20 时～21 时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）
A．13 时～14 时 B．16 时～17 时
C．18 时～19 时 D．19 时～20 时
C．从 2017 年每月的同比增长率看，2017 年每月居民消费价格与 2016 年同期比较有涨有跌
D．从 2017 年每月的同比增长率看，2017 年每月居民消费价格与 2016 年同期比较 1 月涨幅最大
4．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数：
①y＝﹣x2+1； ②
； ③y＝log2x； ④y＝3x．
其中在区间（0，+∞）上是减函数的为（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．（2018•北京学业考试）已知函数 f（x）＝|x2﹣2x﹣a|+a 在区间[﹣1，3]上的最大值是 3，那么实数 a 的取值范围 是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．（﹣∞，1]
C．[0，+∞）
D．
6．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数① （）
（2）设函数 y＝g（x），集合 M＝{x|g（x）﹣x＝0}，N＝{x|g（g（x））﹣x＝0}．
①证明：M⊆N；
②如果 g（x）＝f（|x|），集合 P＝{x|g（x）﹣x＝0，且|x|≤2}，那么集合 P 中的元素个数为
．
41．（2013•北京学业考试）已知函数 f（x）＝ax2+bx+c 满足：
其中偶函数的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
3．（2018•北京学业考试）在 2018 年 3 月 5 日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表 国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来， 国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，年均增长 7.1%，占世界经济比重从 11.4%提高到 15%左右，对世 界经济增长贡献率超过 30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨 1.9%，保持较低水平．
A．R
B．{x|x＞1}
C．{x|x≠1}
D．{x|x≠0}
17．（2015•北京学业考试）函数 ，y＝x2，y＝3x，y＝log2x 中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．
B．y＝x2
C．y＝3x
D．y＝log2x
18．（2013•北京学业考试）在函数 y＝cosx，y＝ ，y＝ex，y＝lgx 中，偶函数是（ ）
（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意 n∈N*都有 f[f（n）]＝3n． （I）试证明：f（x）为 N*上的单调增函数；
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（II）求 f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令 an＝f（3n），n∈N*，试证明：.
．
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历年北京高中数学合格性考试汇编：函数
参考答案与试题解析
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
9．（2018•北京学业考试）已知函数
，关于 f（x）的性质，有以下四个推断：
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①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）； ②f（x）的值域是
；
③f（x）是奇函数；
④f（x）是区间（0，2）上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
C．48.0 元
D．64.8 元
35．（2010•北京学业考试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y＝ex
B．y＝sinx
C．y＝﹣x3
D．
36．（2010•北京学业考试）已知两个函数 f（x）和 g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则 方程 g（f（x））＝x 的解集为（ ） x 123 f（x） 2 3 1
x 123
g（x） 3 2 1
A．{1}
B．{2}
二．填空题（共 2 小题）
C．{3}
D．∅
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37．（2010•怀柔区学业考试）已知函数
＝f（x）+x 的零点个数为
．
38．（2010•东城区学业考试）函数
，若 f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则函数 g（x）
的定义域是
．
三．解答题（共 4 小题）
25．（2011•北京学业考试）四个函数 y＝x﹣1，
，y＝x2，y＝x3 中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）
A．y＝x﹣1
B．
C．y＝x2
D．y＝x3
26．（2011•北京学业考试）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝x（x+1），那么 f（﹣1） 等于（ ）
D．[1，+∞）
15．（2015•北京学业考试）已知函数 f（x）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）的图象如 图所示，那么 f（x）的值域是（ ）
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A．（﹣4，4）
B．[﹣6，6]
C．（﹣4，4）∪（4，6]
D．[﹣6，﹣4）∪（4，6]
16．（2015•北京学业考试）已知函数 f（x）＝lg（x﹣1），那么 f（x）的定义域是（ ）
①f（x）的一个零点为 2；②f（x）的最大值为 1；③对任意实数 x 都有 f（x+1）＝f（1﹣x）．
（Ⅰ）求 a，b，c 的值；
（Ⅱ）设函数
是定义域为（0，1）的单调增函数，且 0＜x0＜x′＜1．当 x0∈B 时，证
明：x′∈B． 42．（2011•北京学业考试）已知函数 y＝f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意 a，b∈N*，a≠b，都有 af（a）+bf
C．f（0）＜f（3）＜f（2）
D．f（2）＜f（0）＜f（3）
29．（2011•北京学业考试）下列四个函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（ ）
A．y＝log3x
B．y＝3x
C．
D．
30．（2011•北京学业考试）若函数
A．9
B．8
，则 f（x）的最大值为（ ）
C．7
D．6
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31．（2010•北京学业考试）当 x∈[﹣3，0]时，函数 y＝x2+2x+3 的最小值是（ ）
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环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2017 年 12 月与 2017 年 11 月相比较；环比增长率＝（本期 数一上期数）÷上期数×100%．
根据上述信息，下列结论中错误的是（ ）
A．从 2017 年每月的环比增长率看，2017 年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌
B．从 2017 年每月的环比增长率看，2017 年每月居民消费价格逐月比较 1 月涨幅最大
39．（2018•北京学业考试）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野 上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实 上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面 我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为 f（x）＝aex+be﹣x（其中 a，b 是非零常数，无理数 e ＝2.71828…）．