考研高数 复习题
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
考研数学：高数讲义重点题型解答(二)
由 2m ≤ f ′′′(ξ1 ) + f ′′′(ξ2 ) ≤ 2M 得 m ≤ 3 ≤ M ，由介值定理，存在ξ ∈[ξ1,ξ2 ] ⊂ (−1,1) ，
使得 f ′′(ξ ) = 3 。
【例题 3】设 a1 < a2 < " < an 为 n 个不同的实数，函数 f (x) 在[a1, an ] 上有 n 阶导数，并
【例题 3】设 f (x) ∈ C[0,1] ，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0, f (1) = 1 ，证明：对任意的正数 a, b ，
存在ξ ,η ∈ (0,1) ，使得
a+ f ′(ξ )
b f ′(η)
=
a+b。
【解答】因为 f (0) < a < f (1) ，所以存在 c ∈ (0,1) ，使得 f (c) = a 。
【 例 题 2 】 设 f (x) 二 阶 连 续 可 导 ， 且 f ′′(x) ≠ 0 ， 又 f (x + h) = f (x) + f ′(x + θh)h
（ 0 < θ < 1 ）。
证明： limθ = 1 。
h→0
2
【解答】由泰勒公式得
f (x + h) =
f (x) +
f ′(x)h +
两边取极限再由二阶连续可导得
lim
h→0
θ
=
1 2
。
题型二：证明 f (n) (ξ ) = 0
常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒公式
【例题 1】设 f (x) ∈ C[0,3] ，在 (0,3) 内可导，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，证明：
考研高数极限试题及答案
考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。
8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。
9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。
三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。
考研高数--巩固测试题 第一章极限习题附答案(包含全书考点)
第一章函数与极限答案解析一、选择题（本题共 15小题，每小题３分，满分 45 分）1、函数 x x x y sin cos + = 是【 】(A)偶函数 (B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数【答案】B2、函数 21arccos 1 + + - = x x y 的定义域是【 】(A) ] 1 , (-¥ (B) ]1 , 3 [ - - (C) )1 , 3 (- (D) ]1 , 3 [- 【答案】Ｄ【解析】 0 1 ³ -x 且 1 211 £ + £- x ，解得 1 3 £ £ - x 3、设 îíì > £ = 10 11) ( x x x f 则 ( ) [ ]{ } x f f f 等于【 】（A ）0 （B ）1(C) îíì > £ 1 0 1 1 x x (D) îíì > £ 1 1 1 0 x x 【答案】B4、当 +®0 x 时，与 x 等价是无穷小量的是【 】（A ） xe - 1 （B ） xx- + 1 1 ln（C ） 11 - + x （D ） xcos 1- 【答案】B【解析】 +®0 x 时， 等价 与 x 1 - - x e ， 等价 与x x 2 1 1 1 - + ， 等价 与 x x 21cos 1- 1 1 1lim 11 1 lim 1 1 ln lim 0 0 0 = - + = - - + - + +++® ® ® x x x x xx x x x x x 等价代换 ，等价 与 x xx - + \ 1 1 ln 5、设 tx tx t ee x xf + + = ® 1 lim ) ( 0 ，则 0 = x 是 ) (x f 的【 】（A ）连续点 （B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点 （D ）不能判断连续性的点【答案】A【解析】 211 e lim 1 lim ) ( 0 00 0 + = + + = + + = ® ® x e x e e x x f t tx tx t 是R 上的连续函数， 0 = \x 是 ) (x f 的连续点 6、 n n x ¥® lim 存在是数列{ }n x 有界的【 】(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】B7、如果 ) ( lim 0x f x x + ® 与 ) ( lim 0x f x x -® 存在，则【 】（A） ) ( lim 0x f x x ® 存在且 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （B） ) ( lim 0x f x x ® 不存在（C） ) ( lim 0x f x x ® 存在但不一定有 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （D） ) ( lim 0x f x x ® 不一定存在【答案】D 8、设 xx x x x f 3 4 2 ) ( - + =，则 ) ( lim 0x f x ® 为【】（A ）12(B)1 3(C)1 4(D)不存在【答案】D9、如果 ) ( ), ( x g x f 都在 0 x 点处间断，那么【 】（A） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处间断 （B） ) ( ) ( x g x f - 在 0 x 点处间断 （C） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处连续 （D） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处可能连续【答案】D10、方程 0 1 4= - - x x 至少有一个根的区间是【 】（A） （0,1/2） （B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）【答案】D 11、设ï îïí ì = ¹ - + = 0 , 0 0 , 11 ) ( x x xx x f ，则 0 = x 是函数 ) (x f 的【 】 ‘（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点【答案】A 12、已知 0 )( lim0 = ® xx f x ，且 1 ) 0 ( = f ，那么【】（A） ) (x f 在 0 = x 处不连续 （B） ) (x f 在 0 = x 处连续 （C） ) ( lim 0x f x ® 不存在（D） 1) ( lim 0= ® x f x 【答案】A13、已知当 0 ® x 时， 1 ) 1 312 - +ax （ 与 1 cos - x 是等价无穷小，则常数a 为【 】（A ）32 (B) 32 -(C)23 (D) 23 -【答案】D【解析】 2 31 32 21 3 1 lim 1 1 cos 1 ) 1 ( lim 22 0 31 2 0 -= Þ = - = - Þ = - - + ® ® a a x axx ax x x14、设 () f x 和 () g x 在(,) -¥+¥ 内有定义, () f x 为连续函数,且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点, 则必有间断点的 函数是【】（Ａ） [()] g f x （Ｂ） 2 [()]g x （Ｃ） [()]f g x （Ｄ）()()g x f x 【答案】D【解析】 设 1 ) ( 2+ = x x f ， îí ì< - ³ = 0 , 1 0 x 1 ) ( x x g ， 则 ) (x f 为连续函数，且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点 0= x 则 2 )] ( [ = x g f ， 1 ) 1 ( )] ( [ 2 = + = x g x f g ， 1 )] [( 2= x g 均为连续函数，所以 A,B,C 选项错 下面证明D 选项是对的，用反证法 假设()()g x f x 是连续函数，由于 () f x 是连续函数且 0 ) ( ¹ x f ) (x g Þ 也为连续函数，与假设矛盾 15、设数列 n x 与 n y 满足 0 lim = ¥® n n n y x ，则下列断言正确的是【】（A）若 n x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界（C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 nx 1为无穷小，则 n y 必为无穷小 【答案】D 【解析】 设 îí ì= 为奇数 ， 为偶数 n n n x n 0 , ， îíì= 为偶数 ， 为奇数 n n n y n 0 , ，满足 0 lim = ¥® n n n y x ，但 n x 和 n y 均无界，所以（B）选项错； 设 2 1 n x n = ， n y n = ，满足 0 1lim 1 lim lim 2 = = × = ¥ ® ¥ ® ¥ ® nn n y x n n n n n ， n x 有界，但 n y 为无穷大，所以（C）选项 错；0 1 lim0 lim = Þ = ¥ ® ¥® nnn n n n x y y x 极限存在， 若 n x 1 为无穷小， 则 n y 必为无穷小， 否则极限是不存在的， 所以 （D） 选项正确；二、 计算题（满分 105分）1.求下列极限（本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24分） (1))1 ( lim 1- ¥® xx e x解： 等价 与 x1 1 , 0 ) 1 ( lim 1 1- \ = - ¥ ® xx x e e ， 1 1 lim 1 e lim 1= = - ¥ ® ¥ ® x x x x xx ） （ (2) )( lim x x x x x - - + +¥® 解： 11 1 1 1 2limx 2 lim= -+ + = - + + = +¥® +¥® xx xx x x x x 原式 (3) xxx x 2 sin sin tan lim3 0 - ® 解： 161 )2 ( 2 1 lim 2 sin sin tan lim3 30 3 0 = = - ® ® x xx x x x x (4) xx x 2 sin ln 5 sin ln lim 0+® 解： 1 5 sin 2 sin lim . 2 cos 2 5 cos 5 lim 2 cos 2 . 2 sin 1 5 cos 5 . 5 sin 1lim 2 sin ln 5 sin ln lim 0 0 0 0 = = = ++++® ® ® ® x x x x xxxx x x x x x x (5) xe x x x 1 ln 1 lim 0 - ® 解：方法一： 等价与 1 1 ) 1 1 1 ln( 1 ln - - - - + = - x e x e x e x x x Q 212 1 lim 1 . 1 lim ) 1 1 ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 0 0 0 = - = - - = - - = - ® ® ® ® x e x x e x x e x x e x x x x x x x x x 方法二：洛必达法则21 2 lim 1 lim 1 1 lim 1lnlim 1 ln 1 lim 0 2 0 2 0 0 0 = = + - = + - × - = - = - ® ® ® ® ® x xe x e xe x e xe e x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x (6) ) cos 1 ( cos 1 lim 0x x x x - - +® 解： 2 1cos 1 1 21 cos 1 lim cos 1 cos 12 1 . cos 1 lim )cos 1 ( cos 1 lim 2 0 0= + × - = + + × - = - - +++® ® ® x x x x x x x x x x x x x x 2.求下列极限（本题共 6 小题，每小题7 分，满分 42分）(1) () xx x 2 tan 4tan lim p®解：原式= )1 .(tan2 tan . 1tan 14)1 tan 1 ( lim - - ®- + x x x x x p1sin cos sin 2 lim cos 2 cos ) cos (sin 2 sin lim) 1 (tan 2 tan lim 444- = + - = - = - ®® ®x x xx x x x x x x x x x p p p1e- = \原式 (2) 21) 2 (cos lim xx x ® 解： 212 cos lim 12 cos .1 2 cos 1 012 0 22)1 2 cos 1 ( lim ) 2 (cos lim - - - - ® ® = = - + = ® eex x xx x x x x x x x (3) x x x 2tan 1)2 ( lim p- ® 解： xx x x x x x x x ex x 2tan ) 1 ( lim 2tan ) 1 ( 1 1 12tan 11 )1 1 ( lim )2 ( lim ppp- - - ® ® ® = - + = - p p p pp p p p p 2 2sin 2 2 cos ) 1 (2 2 sin lim2 cos 2 sin ) 1 ( lim 2 tan ) 1 ( lim 1 1 1 = - - + - = - = - ® ® ® xxx x x x x x x x x x p2e= \原式 (4) )33 ( lim 11 1 2+ ¥® - x x x x 解： 3ln 3 ln )1 ( 1lim ) 1 3( 3 lim ) 3 3 ( lim 2 111 1121112= + ×= - × = - ¥® + - + ¥® + ¥® x x x x x x x x x x x xx 其中 等价 与 )1 ( 11 3111 + - + - x x x x ， 13 lim 1 1= + ¥ ® x x (5) ) cos 1sin 1 (lim 2 2 2 0xx x x - ® 解： 42 22 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin cos lim cos sin sin cos lim ) cos 1 sin 1 ( lim x xx x x x x x x x x x x x x x - = - = - ® ® ® 32) 3 1 ( 2 3 sin lim 2 sin cos lim sin cos lim2 0 03 0 - = - × = - = + × - = ® ® ® x x x x x x x x x x x x x x (6) xx xx ) 1cos 2 (sin lim + ¥ ® 解：令 x t 1 = 则 ) cos 2 ln(sin 10 10 lim ) cos 2 (sin lim ) 1 cos 2 (sin lim t t t t t t x x et t xx + ® ® ¥ ® = + = +2 1 cos 2 sin lim ) cos 2 ln(sin lim0 0 = - + = + ® ® tt t t t t t t ， 2e= \原式 3. 2 2lim 2 2 2 = - - + + ® x x b ax x x ,求: b a , （本题满分 8 分） 解： b ax + + 2 x 和 2 x 2 - -x 均为多项式，它们都是连续函数且n 阶可导， 2 ® x 时 0 2 x 2 ® - - x 故一定符合洛必达法则的条件2 = \x 时 0 x 2 = + + b ax 即 02 4 = + + b a 2 234 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 = Þ = + = - + = - - + + \ ® ® a a x a x x x b ax x x x 8, 2 - = = \ b a 4.设 î íì > - £ = 1 , 1 1 , ) ( 2 x x x x x f ， ï îïí ì > + £ < - £ = 5 , 3 5 2 ), 1 ( 2 2 , ) ( x x x x x xx g , 考察 )] ( [ x g f 的连续性. （本题满分 11 分） 解： ï ï îïïíì > - - £ < - £ < - £ = îí ì > - £ = = 5 , 2 5 2 , 2 3 2 1 , 1 1 , 1 ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( )] ( [ ) ( 22 x x x x x x x x x g x g x g x g x g f x F 0 1 1 ) ( lim 1= - = + ® x F x ， 1 ) ( lim 1= - ® x F x ， ) (x F \ 在 1 = x 处不连续1 4 3 ) ( lim2 - = - = +® x F x ， 1 2 1 ) ( lim 2 - = - = -® x F x ， ) (x F \ 在 2 = x 处连续7 2 5 ) ( lim 5- = - - = + ® x F x ， 7 10 3 ) ( lim 5- = - = - ® x F x ， ) (x F \ 在 5 = x 处连续综上可得， )] ( [ x g f 在 ）， （ ） ， （ ¥ + È ¥ 1 1 上连续，在 1 = x 处间断， 1 = x 为其跳跃间断点。
2020考研高数(一)真题及答案解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（ ）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。
（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。
（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（ ） （A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ） 【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。
考研高数历年真题答案解析
考研高数历年真题答案解析高等数学是考研数学一科目中的核心内容，也是备考过程中最重要的一部分。
为了更好地帮助考生提升高数考试的能力，本文将针对考研高数历年真题中的几道典型题目进行答案解析和讲解。
1. 题目一：已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，则函数 $F(x) = \int_{-3}^{x} \frac{f(t)}{t^2+5} dt$ 的连续点个数为几个？解析：根据题目中的条件，函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，可以得出 $f(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上的任意一点都存在极限。
那么 $F(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上是连续的。
2. 题目二：设 $f(x)$ 为函数 $y = e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为？解析：题目中要求给出函数 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。
由题设可知，函数 $f(x)$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程为 $y = e^{x-1} + e$。
那么我们可以利用求导的方法得到函数$f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。
首先求导：$f'(x) = e^x$，然后代入 $x = 2$，得到切线的斜率为 $f'(2) = e^2$。
由于切线经过点 $(2, ?)$，我们可以利用点斜式方程计算出切线方程为 $y - e= e^2(x - 2)$。
因此，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为 $y = e^2(x - 2) + e$。
通过以上两道题目的解析和讲解，我们可以看到高等数学在考研数学中的重要性和应用性。
不仅需要熟练记忆和理解相关公式和定理，还需要通过大量的实战训练和真题练习来提高解题能力。
在备考过程中，考生需要注重对真题的解析和讲解，深入理解题目的考点和解题的思路，培养灵活运用数学知识的能力。
历年高数考研试题及答案
历年高数考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2+3D. x^3+3答案：A2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，求f'(x)。
A. cos(x)B. -sin(x)C. -cos(x)D. sin(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^2+3x+2，求f(-1)的值为____。
答案：16. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为____。
答案：17. 设数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，求a5的值为____。
答案：58. 求定积分∫(0,π) sin(x) dx的值为____。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的导数。
解：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-12x+11，然后将x=2代入，得到f'(2)=3*2^2-12*2+11=-1。
10. 求极限lim(x→∞) (1/x)。
解：由于x趋向于无穷大，1/x趋向于0，所以lim(x→∞)(1/x)=0。
11. 设数列{an}满足a1=2，an+1=an+3，求a10的值。
解：根据递推公式，可以依次计算出a2=5，a3=8，...，a10=29。
12. 求定积分∫(1,2) (x^2-4x+4) dx。
解：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/3*x^3-2x^2+4x，然后计算F(2)-F(1)=1/3*2^3-2*2^2+4*2-(1/3*1^3-2*1^2+4*1)=4/3-4+8-1/3+2-4=4。
高数考研真题及答案
高数考研真题及答案高数考研真题及答案高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。
为了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。
本文将介绍一些高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。
一、函数与极限1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)〖f(2x-1)〗。
解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)〖f(2x-1)〗=f(0)=1。
2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。
解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。
二、导数与微分1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。
解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。
2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。
解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。
代入t=2，可以得到v(2)=7。
三、定积分与不定积分1. 求∫(0 to π/2)〖sin^2(x) dx〗。
解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 toπ/2)〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。
根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。
2. 求∫(0 to 1)〖x^2e^x dx〗。
解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。
四、级数1. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(1/2)^n〗的和。
解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。
2. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(n^2)/(2^n)〗的和。
解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。
通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。
高数考研真题及答案
高数考研真题及答案考研是很多学子们为了继续深造而迈出的大步，而高数作为考研数学科目中的重点，是许多考生们的难点和挑战。
为了帮助考生更好地备战高数考试，本文将提供一些高数考研真题及答案，供考生们参考和复习。
一、选择题1. 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 4，求其在 x = 2 处的导数。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x² - 6x + 2，将 x = 2 代入f'(x)，得到 f'(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2，故选 C。
2. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 1/(2^n)，则该数列的收敛性为：A. 收敛B. 发散C. 无法判断答案：A解析：当 n 趋向于无穷大时，2^n 无穷大，所以 an = 1/(2^n) 趋向于0，故该数列收敛，选 A。
二、填空题1. 设 f(x) = 2x^2 - kx + 5，若 f(x) 恰有一个实根，则 k 的取值范围为______。
答案：[-5, 5]解析：对于 f(x) 恰有一个实根的情况，根据韦达定理可知Δ = k^2 -4ac = 0，即 k^2 - 4(2)(5) = 0，解得k = ±√40，故 k 的取值范围为 [-√40, √40]，约化后得到 [-5, 5]。
2. 设二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中 D 为x^2 + y^2 ≤ 4 的区域，求该二重积分的值为______。
答案：16π解析：将二重积分转换为极坐标形式，即∬D (x^2 + y^2) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0, 2] (r^2)rdrdθ，计算积分得 16π。
三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的驻点和拐点。
考研高数真题
高等数学(理工类)考研真题1-5经典考研真题一 1. 求lim x→ 0 10. 设 f ( x ) = lim om ( n 1) x nx 2 + 1 n→ ∞ , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 [ 2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/x ] 00数一考研题 11. 当x → 0 时 , α ( x ) = kx 2 与β ( x ) = 1 + x arcsin x 穷小 , 则 k = ________ . 12. 设函数 f ( x ) = cos x 是等价无 05数二考研题 x 2. 设函数 f ( x ) = 在( ∞ , + ∞ ) 内连续 , 且 lim f ( x ) = 0 , 则常数x→ ∞ a + e bx a , 满足 ( b ). ( B)a > 0 ,b > 0 ; (C) a ≤ 0 , b > 0 ; ). 0, 1, 00数二考研题 1 (A) a < 0 ,b < 0 ; 3. 设f ( x ) = (A) 0 ; 1, 0, ( D) a ≥ 0 , b < 0 . 01数二考研题(B) 1 ; (C) 1, x ≤ 1 ; 0, x > 1 (D) x ≤1 . x >1 aw 13. lim x →0 x ≤ 1, 则 f { f [ f ( x )]} 等于 ( x > 1, .c e x 1 1 x ln ( 1 + x ) 1 cos x = . 2 . x , 则( ). 05数二考研题 (A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f (x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f (x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 06数一,二考研题 3 x 1+ x 4. lim = __________. x→1 x 2+ x 2 . 01数二考研题 5. 设当x → 0 时 , ( 1 cos x ) ln ( 1 + x 2 ) 是比 x sin x n 高阶的无穷小 , 而 x sin x n 是比 ( e x 2 1 ) 高阶的无穷小 , 则正整数 n 等于 ( A) 1 ; ( B) 2 ; tan x (C ) 3 ; 1 e , x>0 x 6. 设函数 f ( x ) = arcsin 2 , 在 x = 0 处连续 , 则 a = ( ). 02数二考研题ae 2 x , x≤0 7. 设 0 < x 1 < 3 , x n + 1 = 在 , 并求此极限 . 8. 若x → 0 时, (1 1 ax 2 ) 4 x n ( 3 x n ) ( n = 1 , 2 , L ), 证明数列{ x n }的极限存 02数二考研题 1 与 x sin x 是等价无穷小 , 则 a = _____ . 9. 设 { a n }, { b n }, { c n } 均为非负数列 , 且lim a n = 0 , lim bn = 1, lim cn = ∞ , n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ 则必有( ). w n→ ∞ (A) a n < b n 对任意 n 成立; n→ ∞ (C) 极限 lim a n cn 不存在 ; w w .k hd ( D) 4 . 03数二考研题 03数一考研题 01数二考研题 (B) bn < c n 对任意 n 成立 ; (D) 极限 lim bn c n 不存在 . . 1 .(2) 问 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导 . 考研真题二 1. 填空 xy 设函数 y = y ( x ) 由方程 2 = x + y 所确定 , 则 dy x =0 =( 12. 设函数 f ( x ) = lim ). (A) 处处可导; om n n →∞ x 1+ | x | 3n , 则 f ( x ) 在( ∞ , +∞ ) 内 ( ). 05数一,二考研题 00数二考研题 (B) 恰有一个不可导点 ; (D) 至少有三个不可导点 . 05数二考研题 2. 求 f ( x) = x 2 ln ( 1 + x ) 在 x = 0 处的 n 阶导数 f (n) (0) ( n ≥ 3 ) . 00数二考研题 (C) 恰有两个不可导点 ; f ( 1+ sin x ) 3 f (1 sin x ) = 8 x + α ( x ) , 其中, α ( x) 是当x → 0 时比 x 高阶的无穷小 , 且 f ( x ) 在 x = 1 处可导 , 求曲线 y = f ( x ) 在点 (6 , f (6) ) 处的切线方程 . 4. 填空设函数 y = f ( x ) 由方程 e2x +y ). 00数二考研题 .c (A) 1 ln 2 + 3 ; 8 (B) 3. 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数 , 它在 x = 0 的某个邻域内满足关系式 13. 设 y = (1 + sin x ) , 则 dy | x = π = __________ . t2 x = + 2t 14. 设函数 y = y(x ) 由参数方程确定 , 则曲线 y = y ( x ) 在 y = ln(1 + t ) ). (C) 8 ln 2 + 3 ; 05数二考研题 x = 3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 ( 1 ln 2 + 3 ;8 aw ( ). (A) ln 3 1 ; . 4 . cos ( xy ) = e 1 所确定 , 则曲线 y = f (x ) 在点 ( 0 , 1) 处的法线方程为 ( (D) 8 ln 2 + 3. 06数二考研题 01数二考研题 01数一考研题 5. 设 f (0) = 0 , 则 f ( x) 在点 x = 0 可导的充要条件为: (A) lim h→ 0 15. 设函数 y = y (x ) 由方程 y = 1 xe y 确定 , 则dy dx x =0 1 f (1 cos h) 存在 ; h2 1 f ( h sin h ) 存在 ; h2 (B) lim (D) lim h →0 1 f (1 e h ) 存在 ; h 1 [ f ( 2h ) f ( h ) ] 存在 . h = . (C) lim 6. 填空 ( ). 16. 设函数 g (x ) 可微, h ( x ) = e 1+ g ( x ) , h ′ (1) = 1, g ′ (1) = 2 , 则 g (1) 等于 06数二考研题h→ 0 h →0 设函数y = y ( x ) 由方程 e y + 6 xy + x 2 1 = 0 所确定 , 则y ′′(0) = 02数一考研题 .k hd ). 02数二考研题 (B) ln 3 1 ; (C) ln 2 1; (D) ln 2 1.7. 设函数 f ( u ) 可导 , y = f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x = 1 处取得增量 x = 0.1 时, 相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1, 则 f ′ (1) = ( (A) 1 ; (B) 0.1 ; (C) 1 ; (D) 0.5 . 8. 已知曲线的极坐标方程是 r = 1 cos θ , 求该曲线上对应于θ= 切线与法线的直角坐标方程 . π处的 6 02数二考研题 9. 设函数 y = f ( x ) 由方程 xy + 2 ln x = 1) 处的切线方程是 ______________ . y4 所确定 , 则曲线 y = f ( x ) 在点 (1, 10. 曲线 y = ln x 与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 ________ . 04数一考研题 11. 设函数 f ( x) 在( ∞ , + ∞) 上有定义 , 在区间 [ 0 , 2 ] 上 , f ( x ) = x ( x 2 4 ), 若对任意的 x 都满足 f ( x ) = kf ( x + 2 ), 其中 k 为常数 . (1) 写出 f ( x ) 在[ 2 , 0 ) 上的表达式 ; 04数二考研题 w w 03数二考研题 . 3 . w 考研真题三 1. 填空 lim 2. 填空x→ 0 (B) 当lim f ′ ( x ) = 存在时 , 必有 limf ′( x ) = 0 ; x → +∞ x→ 0 x → +∞ arctan x x = _______ . ln( 1 +2 x3 ) (C) 当 lim f ( x ) = 0 时, 必有lim f ′ ( x ) = 0 ; + + x→ 0 00数二考研题x→0 x→ 0 (D) 当lim f ′ ( x ) 存在时 , 必有lim f ′ ( x ) = 0 . + + 曲线 y = ( 2 x 1 ) e 1 /x 的斜渐近线方程为 _______ . 00数二考研题则当 a < x < b 时有 ( ). (B) f ( x ) g ( a ) > f ( a ) g ( x ) ;(D) f ( x ) g ( x ) > f (a ) g ( a ) . (n ) 00数二考研题 .c a , b 的值 . 是比 h2 高阶的无穷小 . 数的图形如图所示 , 则 f ( x ) 有( ) 1 x→03. 设 f ( x ), g ( x) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ′( x ) g ( x ) f ( x )g ′( x ) < 0 , 10. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 的某个邻域内具有一阶连续导数且f ( 0 ) ≠ 0 , f ′( 0 ) ≠ 0 , 若 af ( h) + bf (2 h) f ( 0 ) 在 h → 0 时是比 h 高阶的无穷小 , 试确定 02数一考研题 02数二考研题 (A) f ( x ) g ( b ) > f ( b ) g ( x ); (C) f ( x ) g ( x ) > f ( b ) g (b ); 2a ln b ln a 1 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 < < . a + b2 ba ab 4. 求f ( x ) = x 2 ln(1 + x ) 在 x = 0 处的 n 阶导数 f 5. 曲线 y = ( x 1 ) 2 ( x 3 ) 2 的拐点个数为( (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; ( 0) ( n ≥ 3) . 00数二考研题 ). (D) 3. 01数二考研题 aw . 6 . 12. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内具有二阶连续导数 , 且 f ( 0 ) ≠ 0 , f ′( 0 ) ≠ 0 , f ′′( 0 ) ≠ 0 . 证明存在唯一的一组实数λ 1 , λ 2 , λ 3 , 使得当h → 0 时 , λ1 f ( h ) + λ 2 f ( 2 h ) + λ 3 f ( 3h ) f ( 0 ) 02数二考研题 6. 已知函数 f ( x ) 在区间 ( 1 δ , 1 + δ ) 内有二阶导数, f ′( x ) 严格单调减少 , 且 f ( 1 ) = f ′( 1 ) = 1 , 则 (A) 在 ( 1 δ , 1) 和 ( 1 ,1 + δ ) 内均有 f ( x ) < x ; (B) 在 ( 1 δ , 1 ) 和 ( 1 , 1 + δ ) 内均有 f ( x ) > x ; 01数二考研题 13 . 设函数 f ( x ) 在( ∞ , + ∞ ) 内连续 , 其导 .k hd (A) 一个极小值点和两个极大值点 ; (B) 两个极小值点和一个极大值点 ; (C) 两个极小值点和两个极大值点 ; (D) 三个极小值点和一个极大值点. 14. lim ( cos x ) ln ( 1 + x2 ) = ______ . om y O x→a x 03数一考研题 (C) 在 ( 1 δ , 1 ) 内, f ( x ) < x , 在 ( 1, 1 + δ ) 内 , f ( x ) > x ; (D) 在 ( 1 δ , 1 ) 内 , f ( x ) > x , 在 ( 1 , 1 + δ ) 内 , f ( x ) < x . 7. 设 y = f ( x ) 在 ( 1, 1) 内具二阶连续导数且 f ′′( x ) ≠ 0 , 试证 : (1) 对( 1 , 1 ) 内的任一x ≠ 0 , 存在唯一的θ ( x ) ∈ ( 0 , 1 ) , 使 f ( x ) = f ( 0 ) + x f ′ [θ ( x ) x ] 成立 ; (2) lim θ ( x ) = 1 / 2 . x→ 0 01数一考研题 03数一考研题 15. 讨论曲线 y = 4 ln x + k 与 y = 4 x + ln 4 x 的交点个数 . 03数二考研题 16. 设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 , 在开区间 ( a , b ) 内可导 , 且 f ' ( x ) > 0 . 若极限 lim + f (2 x a ) 存在 , 证明: x a b2 a 2 2ξ f (ξ ) 03数二考研题t→x w 8. 求极限 lim 出其类型 . ( ) sin t sin x x sin t sin x , 记此极限为 f ( x ) , 求该函数的间断点并指 01数二考研题 02数一考研题 ( 1) 在 ( a , b ) 内 f ( x ) > 0 ; ( 2) 在 ( a , b ) 内存在点ξ , 使 9. 设函数 y = f ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 内具界且可导 , 则 w (A) 当 lim f ( x ) = 0 时 , 必有lim f ′ ( x ) = 0 ; x → +∞ x → +∞ ∫a b = ; f ( x ) dx ( 3) 在 ( a , b ) 内存在与 ( 2 ) 中ξ相异的点η使 . 5 . w f ' ( η )( b 2 a 2 ) = 2ξξ a ∫a b f ( x ) dx . ). 04数一,二考研题 26. 设数列 { x n } 满足 0 < x 1 < π , x n + 1 = sin x n ( n = 1, 2 , K ) (1) 证明 lim x n +1 存在 , 并求极限; x x2 (2) 计算lim n + 1 n . n→ ∞ x n 27. 曲线 y = 1 17. 设函数 f ( x ) 连续 , 且 f ′( 0 ) > 0 , 则存在δ > 0 , 使得 ( (A) f ( x ) 在 ( 0 , δ ) 内单调增加 ; (B) f ( x ) 在 ( δ , 0 ) 内单调减少 ; (C) 对任意的x ∈ ( 0 , δ ) 有 f ( x ) > f ( 0 ); (D) 对任意的x ∈ ( δ , 0 ) 有 f ( x ) > f ( 0 ). 18. 设 e < a < b < e 2 , 证明 ln 2 b ln 2 a > 4 ( b a ). e2 om x + 4 sin x 的水平渐近线方程为 5 x 2 cos x b sin b + 2 cos b + π B > a sin a + 2 cos a + π a . 06数一,二考研题 .c 28. 证明 : 当 0 < a < b < π时 , . 8 . . 06数一,二考研题 04数一,二考研题 06二考研题凸的 x 取值范围为 _________ . 20. 设f ( x ) = | x ( 1 x ) |, 则 ( ). 04数二考研题 04数二考研题 (A) x = 0 是f ( x ) 的极值点 , 但 ( 0 , 0 ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点 ; (B) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点 , 但 ( 0 , 0 ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的极值点 , 且 ( 0 , 0 ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点 ; (D) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点 , ( 0 , 0 ) 也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.21. 求极限 lim 22. 曲线 y = x→ 0 1 x3 [ ( 2 + cos x ) 1] . 3 x x2 的斜渐近线方程为 _________. 2x +1 23. 已知函数 f (x ) 在 [0,1] 上连续 , 在 (0,1) 内可导 , 且 f (0) = 0 , f (1) = 1. 证明: (1) 存在ξ∈ (0 , 1), 使得 f (ξ ) = 1 ξ ; 05数一,二考研题 (2) 存在两个不同的点η , ζ ∈ ( 0 , 1), 使得 f ′ (η ) f ′ (ζ ) = 1. 24. 曲线 y = (1 + x ) 3 / 2 x 的斜渐近线方程为 __________. 25. 设函数 y = f (x ) 具有二阶导数 , 且f ′( x ) > 0, f ′′( x ) > 0, x 为自变量 x 在 x0 处的增量 , y 与 dy 分别为 f (x ) 在点 x0 处对应的增量与微分, 若 x > 0, 则 ( (A) 0 < dx < y ;(C) y < dy < 0 ; (B) 0 < y < dy ; ). w w w .k hd 04数二考研题 05数一考研题 05数二考研题 (D) dy < y < 0 . 06数一考研题 aw . 7 . x = t 3 + 3t + 1 19. 设函数 y ( x ) 由参数方程确定 , 则曲线 y = y ( x ) 向上 y = t 2 3t + 1 考研真题四 1. 计算不定积分 : 2. 计算不定积分 : 3. 设 f ( x 2 1 ) = ln 4. 计算不定积分 : 5. 计算不定积分 : 6. 计算不定积分 : 7. 计算不定积分 : 8. 计算不定积分 : 9. 设 f (ln x ) = x 3 e x dx . dx . sin 2 x + 2 sin x x2 x2 2 , 且 f [ ( x ) ] = ln x , 求 ( x ) dx . 2 求 f (x). 14. 计算不定积分 94数二考研题 om xe arctan x dx . (1 + x 2 ) 3/ 2 03数二考研题 15. 已知 f ′( e x ) = xe x , 且 f (1) = 0 , 则 f ( x ) = ________ . 04数一考研题 94数一考研题 95数二考研题 arctan x dx . x 2 (1 + x 2 ) 1 dx . 1 + sin x dx x (4 x) ln sin x dx . sin 2 x x +5 dx . x 2 6 x + 13 . 96数二考研题 96数二考研题 97数二考研题 98数二考研题 ln(1 + x ) , 计算 x arctan e x dx . e 2x . 10. 求不定积分 : 11. 求 dx (2 x + 1) x 2 + 1 2 12. 一个半球体状的雪堆 , 其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比 , 比例常数 K > 0 . 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 , 已知半径为 r0 的雪 13. 已知函数 f ( x ) 在( 0 , +∞ ) 内可导 , f ( x ) > 0 , lim f ( x ) = 1, 且满足x → +∞ 1 f ( x + hx ) x lim =e , h→ 0 f (x ) 1 h w 堆在开始融化的 3 小时内融化了其体积的 w .k hd 99数二考研题 f ( x ) dx . 00数二考研题 01数一考研题 01数二考研题 7 , 问雪堆全部融化需要多少小时 ?8 01数二考研题 02数二考研题 . 9 . w aw . 10 . .c 16. 求 arcsin ex ex dx. 06数二考研题 11. 设函数 f ( x) 连续 , 则下列函数中必为偶函数的是 ( om x ). 02数二考研题考研真题五 1. 填空 2. 填空 1 0 +∞ 2 (A) 2 x x 2 dx = ______. dx = ______. ( x + 7) x 2 π 0 π 0 00数一考研题 f ( t 2 ) dt ; x (B) f 2 ( t ) dt ; 0 0 x (C) 00数二考研题 0 t [ f ( t ) f ( t )] dt ;(D) x t [ f ( t ) + f ( t )] dt . 0 .c 12. 已知两曲线 y = f ( x ) 与 y = 13. 已知函数 f ( x ) = 的表达式 . 14. 设 a n = 3 2 n n +1 0 arctan x 3. 设函数 f ( x ) 在 [ 0 , π ] 上连续 , 且 f ( x ) dx = 0 , f ( x ) cos xdx = 0 , 0 e t dt 在点 ( 0 , 0 ) 处的切线相同 , 2 试证在 ( 0 , π ) 内至少存在两个不同的点ξ 1 , ξ 2 , 使 f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) = 0 . 00数一考研题 4. 设 xOy 平面上有正方形 D = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1} 及直线 2 写出此切线方程 , 并求极限lim nf n . n→ ∞ ( ) 02数一考研题 aw 15. 设 I 1 = (A) α , β , γ ; . 12 . 2 2 x + 3x / 2 , 1 ≤ x < 0 l : x + y = t ( t ≥ 0 ) . 若 S ( t ) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积 , 试求x 0 xe x / ( e x + 1 ) 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 求函数 F ( x ) = x 1 f ( t ) dt S ( t ) dt ( x ≥ 0 ) . 02数二考研题 00数二考研题 5. 设函数 S ( x ) = x x n 1 1 + x n d x , 则极限lim na n = ( n→ ∞ ). cos t dt , 0 00数二考研题 (2) 求 lim S ( x ) / x . x→ +∞ .k hd (1) 当 n 为正整数且 n π ≤ x < ( n + 1 ) π时, 证2n ≤ S ( x ) < 2 ( n + 1 ) ; ( A) ( 1 + e ) 3/ 2 + 1 ; ( C ) ( 1 + e 1 ) 3/ 2 + 1 ; π 4 0 ( B) ( 1 + e 1 ) 3/ 2 1 ; ( D) ( 1 + e ) 3/ 2 1 . π 4 0 6. 填空π 2 π 2 (x3 + sin 2 x ) cos 2 xdx = _______. 01数二考研题 tan x dx , I 2 = x x dx , 则 ( tan x (B) 1 > I 1 > I 2 ; (D) 1 > I 2 > I 1 . ). 03数二考研题 7. 设函数 f ( x ) 在[ 0 , + ∞ ) 上可导 , f ( 0 ) = 0 , 且其反函数为 g ( x ). 若 f ( x) 0 (A) I 1 > I 2 > 1; (C) I 2 > I 1 > 1; . g ( t ) dt = x 2 ex . 求 f ( x ) . 01数二考研题 8. 设 f ( x ) 在区间 [ a , a ] ( a > 0 ) 上有二阶连续导数 , f (0 ) = 0, (1) 写出 f ( x ) 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 ; 01数二考研题 x = 1 + 2t 2 , d 2y ( t >1) 所确定, 求 2 16. 设函数 y = y ( x) 由参数方程 1+ 2 ln t e u dx y = du u 1 17. 把x → 0 时的无穷小量α= x 0 + x=9 . 03数二考研题 w (2) 证明在 [ a , a ] 上至少存在一点η , 使 a 3 f ′′ (η ) = 3 9. 填空+∞ e a a f ( x ) dx . dx = _______. x ln 2 x 1 n 02数一考研题 cos t 2 dt , β = x2 0 tan t dt , γ = 0 x sin t 3 dt ). w 10. 填空lim n→ ∞ 1 + cos π + 1 + cos 2π + L + 1 + cos nπ = _______. n n n 02数二考研题排列起来 , 使排在后面的是前一个的高阶无穷小 , 则正确的排列次序是 ( (B) α , γ , β ; (C) β , α , γ ; (D) β , γ , α . 04数一,二考研题. 11 . w n 18. lim ln n→ ∞ 2 ( 1 1+ n )( π 2 2 2 1+ n 2 ) ( 2 n L 1+ n ) 2 等于 ( 2 ). 2 04数二考研题 (A) 1 ln 2 xdx ; (B) 2 1 x+ x ln xdx ; (C) 2 1 ln (1 + x ) dx ;(D) 1 ln 2 (1 + x ) dx. 19. 设 f ( x ) = | sin t | dt , 04数二考研题 ( Ι) 证明 f ( x ) 是以π为周期的周期函数 ; (ΙΙ) 求 f ( x ) 的值域. +∞ .c 26. 广义积分+∞ 0 13 25. 设函数 f ( x ) = x om x x→0 lim 0 ( x t ) f ( t ) dt x 0 . x f ( x t ) dt x 0 A sin t 2 dt , x ≠ 0 a, x=0 . 在 x = 0 处连续 , 则 a = . 06数二考研题 xdx = (1 + x 2 ) 2 06数二考研题 20. 1 dx x x 2 1 27. 设 f ( x ) 是奇函数 , 除 x = 0 外处处连续, x = 0 是其第一类间断点 , 则 ). 06数二考研题 21. 设 F (x ) 是连续函数 f ( x ) 的一个原函数 , " M N " 表示 " M 的充分 aw 0 = __________ . 04数二考研题 x f ( t ) dt 是 ( (A) 连续的奇函数 ; (B) 连续的偶函数 ; (D) 在 x = 0 间断的偶函数. t2 + 06数二考研题必要条件是 N " , 则必有 ( ). 05数一,二考研题 (C) 在 x = 0 间断的奇函数 ; (A) F ( x ) 是偶函数 f ( x ) 是奇函数 ; (B) F ( x ) 是奇函数 f ( x ) 是偶函数 ; (C) F ( x ) 是周期函数 f ( x ) 是周期函数; (D) F ( x ) 是单调函数 f ( x ) 是单调函数. 1 x= ( t ≥ 0 ), 28. 已知曲线 L 的方程为 y = 4t t 2 (1) 讨论 L 的凹凸性 ; .k hd 3 (2) 过点 ( 1, 1) 引 L 的切线 , 求切点 ( x 0 , y0 ), 并写出切线的方程 ; (3) 求此切线与 L ( 对应于x ≤ x 0 的部分 ) 及 x 轴所围成的平面图形的面积.22. 如图 , 曲线 C 的方程为 y = f (x ), 点 (3,2) 是它的一个拐点 , 直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线 , 其交点为 (2,4). 设函数 f (x) 具有三阶连续导数 , 计算积分 y 4 3 2 1 ( x 2 + x ) f ′′′( x ) dx . l2 05数一,二考研题 0 l1 y = f ( x) C 23. 1 0 w O 1 2 3 4 x xdx (2 x2) 1 x2 = _________ . 05数二考研题 w w 24. 设函数 f (x ) 连续 , 且 f (0) ≠ 0 , 求极限 05数二考研题 . 13 . . 14 .。
高数考研总复习四微分方程
则
提示: 将特解
0
1
2
13
代入方程 , 比较两端同
类项系数 .
选择题 ( 4 -5 )
4. 设 a , b , A , 均是待定常数 , 则方程
的一个特解具有形式 (
( A) a x cos x b sin x (C ) x cos ( A x )
B
)
( B) A x sin ( x ) ( D) x sin ( A x )
复习– 5
主要考点:
一阶特殊类型求解 二阶可降阶方程求解
微分方程
二阶常系数线性方程求解 微分方程与其它内容综合
实例分析
填空题 ( 题 1-3 )
1
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x)dx
形如
解法
(2)
g( y )dy f ( x )dx
(3)
y f ( y, y)
型
特点
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1)的两个解,那 末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（ C1 , C 2 是常数）
L
sin yd x
f ( x) cos y d y
与路径无关 , 则 f (x) = (
(A) (C)
x 1 (e 2 x 1 (e 2
A
)
(B)
1 x (e 2
e e
x x
) ) 1
e )
考研高数1试题及答案
考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \)，下列选项中，\( f(x) \) 的导数正确的是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案：A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \) 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案：B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。
答案：\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。
答案：\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
高数1考研试题及答案
高数1考研试题及答案模拟试题：高等数学一一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = f(x)的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 曲线y = x^3在点（1,1）处的切线斜率为（）。
A. 0B. 3C. 2D. 13. 设函数f(x)在点x=a处连续且可导，若lim (x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 3，则f'(a)的值为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/45. 设数列{an}满足a1 = 1，an+1 = √(an) + 1，若lim (n→∞) an = a，则a的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，若f(x)在x=c处取得最大值，则c（）。
A. 一定等于aB. 一定等于bC. 属于区间(a, b)D. 可能属于[a, b]，也可能属于(a, b]7. 二阶常系数线性微分方程y'' - 3y' + 2y = 0的特征方程为（）。
A. r^2 - 3r + 2 = 0B. r^2 - 3r = 0C. r^2 + 2r - 3 = 0D. r^2 - 2r - 3 = 08. 设函数f(x)在点x=x0处可导，且f'(x0) ≠ 0，则f(x)在点x=x0处（）。
A. 一定连续B. 一定不可导C. 一定是极值点D. 一定是拐点9. 利用分部积分法计算定积分∫[0,π] sin(x) dx，得到的结果为（）。
A. -cos(x)|0^πB. 2C. -2D. π10. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，要使∫[a, b] f(x) dx存在，则必须有（）。
A. f(x)在[a, b]上可导B. f(x)在[a, b]上单调递增C. f(x)在[a, b]上无间断点D. f(x)在[a, b]上的每一点都有定义答案：1. B2. B3. B4. A5. B6. D7. A8. A9. A10. D二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = x^2 - 4x，则f(x)的最小值是________。
考研高数二真题及答案97年到12年
考研数学二真题1997年
一、填空题 1
2、
3. 4、
5、
二、选择题 6、
7、
8.
9、
10、
三、解答题 11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题
2 2 2
dxபைடு நூலகம்
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得， 将 所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx
dx
dx
dx
d2y dx 2
2
2
3
e x sin xdx e x sin xdx ex sin xdx ，对 e x sin xdx 做变量代换 t x 得
2 2 2
2
2
3
3
2
2
2
3
e x sin xdx et sin t dt et sin tdt e x sin xdx ，
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题 1、
2、
3、
4、
5、
二、选择题 6、D 7、C
8、A
9、C
10、B
三、解答题 11、
考研高数第一章试题及答案
考研高数第一章试题及答案# 考研高数第一章试题及答案## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则L的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在x=2处的切线斜率是（）A. -4B. -3C. 0D. 54. 已知\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3 dx \)的值为（）A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是（）A. \( (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)## 二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( f(x) = 2x - 3 \)，则\( f'(2) = _______ \)。
7. 函数\( g(x) = \sqrt{x} \)的导数是\( g'(x) = _______ \)。
8. 极限\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)的值是 _______。
9. 函数\( h(x) = e^x \)的原函数是 _______。
10. 定积分\( \int_1^2 2x dx \)的值是 _______。
## 三、解答题（每题30分，共60分）11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的导数，并求在x=2时的导数值。
高数考研真题试卷基础
高数考研真题试卷基础一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞, -1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 无法确定2. 已知函数f(x)=sin(x)，求f'(x)：A. cos(x)B. -sin(x)C. 1D. -cos(x)3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. ∞D. 不存在4. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)：A. 3x^2-12x+11B. 3x^2-12x+10C. 3x^2-12x+12D. 3x^2-12x+95. 函数f(x)=x^3-3x^2+5在x=1处的导数是：A. -1C. 3D. 56. 已知函数y=x^2+2x-3，求其在x=-1处的切线斜率：A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数y=ln(x)的图像在第一象限是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求其第5项a5：A. 17B. 14C. 11D. 89. 函数y=e^x的图像在x=0处的切线方程是：A. y=1B. y=x+1C. y=xD. y=1+x10. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[0,2]上的最大值：A. 3B. 1D. 7二、填空题（每题2分，共20分）11. 若函数f(x)=x^3-2x^2+x-1，其导数f'(x)为________。
12. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。
13. 函数y=cos(x)的周期是________。
14. 若f(x)=x-1/x，求f'(x)=________。
15. 已知等差数列{an}的前n项和S_n=n^2，求其公差d=________。
16. 函数y=ln(x)的定义域是________。
17. 已知函数f(x)=2x^3-x^2+5x-3，求f''(x)=________。
电气考研高数试题及答案
电气考研高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则其导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3x + 1D. x^3 - 3答案：A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A3. 已知∫(0,1)x^2dx=1/3，那么∫(0,2)x^2dx的值为：A. 2/3B. 4/3C. 1D. 2答案：B4. 若函数f(x)=sin(x)，则f'(x)为：A. cos(x)B. -sin(x)C. -cos(x)D. sin(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-6x+8的极值点为______。
答案：x=22. 若函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围为______。
答案：c>0且c≠43. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。
答案：e^x+C4. 若曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线方程为y=kx+b，则k=______，b=______。
答案：k=4，b=1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-6x+8在区间[2,4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-6x+8的导数为f'(x)=2x-6，令f'(x)=0，解得x=3，此时f(3)=-1为最小值。
在区间[2,4]上，f(2)=4，f(4)=0，因此最大值为4。
2. 求定积分∫(0,3)(2x-1)dx。
答案：∫(0,3)(2x-1)dx=[x^2-x](0,3)=9-3=6。
3. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数值。
答案：f'(x)=3x^2-6x，代入x=1，得到f'(1)=3-6=-3。
4. 求函数y=x^2-4x+c的图像与x轴的交点坐标。
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1
、设1n u n = ,求lim n n u →∞ 2、
已知1
x =
2,0n x x a => ，证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞ 3、设数列{}n x 满足10x π<<，则1sin n n x x +=(1,2,)n =
1）证明：lim n n x →∞存在，并求该极限
2）计算11lim()n x n n n
x x +→∞ 4、求极限21
ln(1)lim(cos )x n x +→∞
5、函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定，求dx dy
6、20ln(1)t t x e y u du ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
⎰，求2
02t d y dx = 7、设()y y x =由2120arctan cos 01y u t x t u e du du u =⎧⎪⎨+=⎪+⎩
⎰⎰确定，求dx dy ，22d y dx 8、函数()f x 在2x =处连续，且12(3)3lim 11
x f x x →--=--，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程 9、已知()f x 是周期为5的连续函数它在0点的某邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x o x +--=+,()o x 是0x →时比x 的高阶无穷小,且()f x 在1x =处可导,求()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程
10、求函数22
21()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值 11、求函数2
0()(2)x u f x u e du -=-⎰的最大值与最小值 12
、求曲线1
,0,(30.
x e x y x x ⎧⎪<=⎨⎪-≥⎩的凹凸区间和拐点 13、证明：当0x >时，22(1)ln (1)x x x -≥- 14、设2e a b e <<<，证明：222
4()ln ln b a b a e --> 15、设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，
()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=
16
、求不定积分x
17、求不定积分arcsin x
x e dx e ⎰ 18
、求定积分210⎰ 19、求曲线ln y x =在(2,6)内的一条切线，使该切线与2x =，6x =及ln y x =所围面积最小
20、设()y f x =由参数方程2
2()
x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩，(1)t >-所确定，其中()t ψ具有二阶导数，且5(1),(1)6,2ψψ'==已知2234(1)d y dx t =+，求()t ψ。