专题04 因式分解与分式-2017-2018学年下学期期末复习备考八年级数学之热点难点突破练(北
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
八年级数学下册数学17,18章复习
第17章分式1. 定义：形如A/B（A，B是整式，且B中含字母）2. 分式有意义：分母不为0分式无意义：分母为0分式为0：分母不为0，分子为03.分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变即：约分（最简分式），通分4.分式的运算（1）分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2) 分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减5.分式方程及其解法：先化为整式方程，再解整式方程，最后检验6.整数指数幂的加减乘除法任何不为0的数的零指数幂为1负整指数幂：a-n=1/a n（一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；3、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
江苏省盐城市大丰区2017-2018学年八年级数学下册期末知识点总结(分式)
分式知识重点 1 ．分式的相关观点设 A 、 B 表示两个整式．假如B 中含有字母，式子A就叫做分式．注意分母B 的值不可以为零，B不然分式没存心义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．假如分子分母有公因式，要进行约分化简2、分式的基天性质A A M , A AM（ M 为不等于零的整式） BB M BB M3．分式的运算 ( 分式的运算法例与分数的运算法例近似 ) ．a cad bc( 异分母相加，先通分b dbd4．零指数 a 01(a 0) 5 ．负整数指数a m a n a m n , 注意正整数幂的运算性质a m a na m n (a(a m ) n a mn ,(ab) na nb nac ac;n) ； b d bd( a) n a .a c a d adb bnbd bc bc;1a pp (a 0, p 为正整数 ).0),能够推行到整数指数幂，也就是上述等式中的 m 、 n 能够是 O 或负整数．6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整 式方程． . 验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果能否是零，若结果不是 0，说明此 根是原 方程的根；若结果是 0，说明此根是原方程的增根，一定舍去．7、列分式方程解应用题的一般步骤：（ 1）审清题意；（2）设未知数（要有单位） ；（3）依据题目中的数目关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解能否切合题意；（ 5）写出答案（要有单位） 。
1. (-5)=_____ ； 2. 3-2=________ ； 3. 当 x_________ 时，分式1 存心义；x+1（）1 4. 写出等式中未知的式子：c 2+7c= c+7；10a 2b5. 约分： 4ab 2 =______________ ；6. 1 1______； 分式： x-1、x-2 的最简公分母为： 7. x =2 + a x=______ ；若方程 x-4 x-4 有增根，则增根为3x-a18.当 x=______ 时，分式2x-1的值为 1 ；9.若 x=2 是方程x+1= 3的解，则 a=______；10.某种感冒病毒的直径是0.00 000034 米，用科学记数法表示为_______________ 米；11111.已知公式：R =R1+R2，若 R1=10 ， R2=15，则 R=___________；26537110-212.察看以下各式：2-4 +6-4=2，5-4 +3-4=2 ，7-4 +1-4=2 ，10-4 +-2-4 =2 ，依据以上各20（）式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式20-4+ （）-4=2建立13.以下对于 x 的方程中，是分式方程的是（）11x+23+xA. 3x=2B.x =2C.5=4D.3x-2y=114.以下各式中，建立的是（）a+1y m63a2x a22a+1A.=xyB. m2 = mC. bx=bD.a-1=a-1 23115.要把分式方程：2（ x-2 ）=x化为整数方程，方程两边需同时乘以（）A. 2（ x-2 ）B.xC. 2x-4D. 2x（ x-2 ）16.-(-2)0 的运算结果为（）A. -1B. 1C. 0D. 217.a2 - b 2）化简a+ ab的结果为（2a-b a-b a+b a-b A.a+ab B.a C.a D.a+b18.如有 m人 a 天可达成某项工程，且每一个人的工作效率是同样的，则这样的（ m+n）人达成这项工程所需的天数为（）A. a + mB.amC.aD.m+nm+n m+n am19.x+1x+1;20.x2+9x+x2-9x计算：x2 -2x+1÷x-1计算：x2 +3x x2 +6x+98060271-3x21．解方程：=; 2. 解方程：+2 =x+3x -3x +2x+2x x4x23. 先化简，再求值：（x -2 +x+2）÷x -2，此中 x=2007.221 x -2x+1x -x24.已知 y =x2 -1÷x+1-x+1 ，试说明在等号右侧代数式存心义的条件下无论x 为什么值，y的值不变。
因式分解、分式和分式方程(易错必刷44题18种题型)—八年级数学下学期期末(北师大版)(解析版)
因式分解和分式方程（易错必刷44题18种题型专项训练）➢因式分解的意义 ➢因式分解-运用公式法 ➢提公因式法与公式法的综合运用 ➢因式分解-十字相乘法等 ➢分式有意义的条件 ➢分式有意义的条件 ➢分式的值➢因式分解-提公因式法➢因式分解-运用公式法➢因式分解-分组分解法➢因式分解的应用➢分式的值为零的条件➢分式的值为零的条件➢ 分式的基本性质 ➢分式的加减法 ➢分式的化简求值➢分式方程的解 ➢解分式方程➢分式方程的增根 ➢分式方程的应用一．因式分解的意义（共5小题）1．若多项式x 2﹣ax ﹣1可分解为（x ﹣2）（x +b ），则a +b 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣1【答案】A【解答】解：∵（x ﹣2）（x +b ）＝x 2+bx ﹣2x ﹣2b ＝x 2+（b ﹣2）x ﹣2b ＝x 2﹣ax ﹣1，∴b ﹣2＝﹣a ，﹣2b ＝﹣1，∴b ＝0.5，a ＝1.5，∴a+b＝2．故选：A．2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x＝2x2（1+）C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）【答案】D【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选：D．3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】C【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．4．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝，n＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m解得m＝﹣20，n＝2；故应填﹣20，2．5．仔细阅读下面的例题，并解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．问题：仿照以上一种方法解答下面问题．（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝．（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，∴，解得a＝2，p＝1．故答案为：1．（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴，解得n＝﹣1，k＝5，∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．二．公因式（共1小题）6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2B．﹣5mx3C．mx D．﹣5mx【答案】D【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．三．因式分解-提公因式法（共2小题）7．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．40【答案】C【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．8．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．四．因式分解-运用公式法（共2小题）9．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．10．分解因式：（4a+b）2﹣4（a+b）2．【答案】3（2a+b）（2a﹣b）．【解答】解：（4a+b）2﹣4（a+b）2＝（4a+b）2﹣（2a+2b）2＝（4a+b+2a+2b）（4a+b﹣2a﹣2b）＝（6a+3b）（2a﹣b）＝3（2a+b）（2a﹣b）．五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）11．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【答案】C【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．12．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn（2）m2（m+1）﹣（m+1）（3）4x2y+12xy+9y（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）；（2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）；（3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1）＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．13．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝A2+6A+9＝（A+3）2再将“A”还原，得：原式＝（x﹣y+3）2故答案为：（x﹣y+3）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．将“a+b”看成整体，令a+b＝A，则原式＝A（A﹣8）+16＝A2﹣8A+16＝（A﹣4）2再将“A”还原，得：原式＝（a+b﹣4）2；（3）证明：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n+1）（n+4）•（n+3）（n+2）+1＝（n2+5n+4）（n2+5n+6）+1令n2+5n＝A，则原式＝（A+4）（A+6）+1＝A2+10A+25＝（A+5）2＝（n2+5n+5）2∵n为正整数，∴n2+5n+5是整数，∴式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值是某一个整数的平方．六．因式分解-分组分解法（共1小题）14．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3B．1C．2或3D．﹣2【答案】A【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都为整数，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故选：A．七．因式分解-十字相乘法等（共2小题）15．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【答案】A【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．16．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7【答案】A【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴k＝﹣4，b＝3，则k+b＝﹣4+3＝﹣1．故选：A．八．因式分解的应用（共8小题）17．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（）A．0B．﹣1C．2D．1【答案】A【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2＝1﹣2x，x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，故选：A．18．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，则a2﹣b2＝（）A．1B．3C．5D．不能确定【答案】B【解答】解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2＝7ab﹣8，⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）＝7ab﹣8，⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8＝0，⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）＝0，⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2＝0，∵a、b均为正数，∴ab＞0，∴a﹣b﹣1＝0，ab﹣2＝0，即a﹣b＝1，ab＝2，解方程，解得a＝2、b＝1，a＝﹣1、b＝﹣2（不合题意，舍去），∴a2﹣b2＝4﹣1＝3．故选：B．19．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【答案】B【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．20．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】A【解答】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．21．已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（）A．0B．1C．﹣1D．2【答案】B【解答】解：原式＝（x2019+x2018+x2017）+（x2016+x2015+x2014）+•+（x3+x2+x）+1＝x2017（x2+x+1）+x2014（x2+x+1）+•+x（x2+x+1）+1＝0+0+0+•+0+1＝1．故选：B．22．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b，＝（a+b）（a﹣b）+4b，＝2（a﹣b）+4b，＝2a+2b，＝2（a+b），＝2×2，＝4．故答案为：4．23．a，b，c是△ABC的三边，若（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b）∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，①当a﹣b＝0时，解得：a＝b，此时△ABC是等腰三角形；②直角三角形，理由如下，如图所示：在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，四个全等直角三角拼接成边长为c的大正方形，边长为a﹣b的小正方形，由面积的和差得：S正方形ABMN＝S正方形CDEF+4•S△ABC，∴＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2∴a2+b2﹣c2＝0即△ABC是直角三角形；故答案为等腰或直角．24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2．（1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝，b＝．（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得：（a+3）2+（b﹣1）2＝0，∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b＝1．故答案为：﹣3；1．（2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得：（x﹣y）2+（y+4）2＝0∴x﹣y＝0，y+4＝0，∴x＝y＝﹣4∴xy＝16．答：xy的值为16．（3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得：2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，∴a＝1，b＝4；已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4，∴△ABC的周长为9．九．分式有意义的条件（共1小题）25．当x＝时，分式无意义．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案为：0或1．十．分式的值为零的条件（共1小题）26．如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得：|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．十一．分式的值（共1小题）27．若1＜x＜2，则的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．1【答案】D【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故选：D．十二．分式的基本性质（共3小题）28．若＝2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．29．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（）A．变为原来的3倍B．变为原来的C．变为原来的D．不变【答案】B【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，则分式的值变为原来的．故选：B．30．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．十三．分式的加减法（共2小题）31．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】B【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．32．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）若分式的值为整数，求x的整数值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．十四．分式的化简求值（共1小题）33．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．【答案】，﹣．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，∵x≠3，0，2，∴当x＝1时，原式＝＝﹣．十五．分式方程的解（共4小题）34．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）（2m+1）x＝﹣6x＝﹣，当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣．x＝3时，m＝﹣，x＝0时，m无解．故答案为：﹣或﹣．35．若方程的根为正数，则k的取值范围是（）A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且k≠﹣3【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），3x+3k＝2x+6，3x﹣2x＝6﹣3k，x＝6﹣3k，∵方程的根为正数，∴6﹣3k＞0，解得：k＜2，∵分式方程的解为正数，x+3≠0，x+k≠0，x≠﹣3，k≠3，即k的范围是k＜2，故选：A．36．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，由题意得，m﹣2≥0，解得，m≥2，x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，所以m的取值范围是m≥2且m≠3．故答案为：m≥2且m≠3．37．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．十六．解分式方程（共2小题）38．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）无解；（2）x＝﹣2．【解答】解：（1），原分式方程可化为：+2＝，﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，﹣3+2x﹣8＝1﹣x，2x+x＝1+8+3，3x＝12，x＝4，检验：把x＝4代入（x﹣4）＝0，∴原分式方程无解；（2），原分式方程可化为：﹣1＝，1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，1+4x﹣x+2＝﹣3，4x﹣x＝﹣3﹣1﹣2，3x＝﹣6，x＝﹣2，检验：把x＝﹣2代入（x﹣2）≠0，∴原分式方程解为x＝﹣2．39．代数式的值比代数式的值大4，则x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：﹣＝4，x+2＝4（2x﹣3），解得：x＝2，检验：当x＝2时，2x﹣3≠0，∴x＝2是原方程的根，故答案为：2．十七．分式方程的增根（共1小题）40．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣1【答案】B【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选：B．十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）41．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程．【答案】见试题解答内容【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，故答案为：．十九．分式方程的应用（共3小题）42．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意得：＝+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x解得x＝40∴1.5x＝60经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了a天，乙加工了b天，则由题意得，由①得b＝75﹣1.5a③将③代入②得150a+120（75﹣1.5a）≤7800解得a≥40，当a＝40时，y＝15，符合问题的实际意义．答：甲至少加工了40天．43．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：＝解得x＝90经检验，x＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案．44．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．根据题意，得：（10+30）+×30＝1，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的根．∴1.5x＝60×1.5＝90．答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，（+）y＝1，解得：y＝36，36×（2.5+2）＝162（万元），∵162＞160，∴不够，需追加162﹣160＝2（万元），答：不够用，需追加预算2万元；②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，根据题意得：，由①得：2b＝180﹣3a③，把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，a≥40，∴甲工程队至少需要施工40天．。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解
专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
初二课次18因式分解与分式方程
八年级数学下学期讲学案课 题 因式分解与分式方程课次第18 次授课教师 上课日期和时段教学形式手机号码学生签名因式分解一、本章的知识结构图：二、基本知识点： 1．因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
2．提公因式法：定义 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法： )(b a m mb ma +=+ 3．公式法：平方差公式： ))((22b a b a b a -+=-完全平方公式： 222)(2b a b ab a ±=+±4．十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。
基本式子：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2))(()(2q bx p ax pq x bp aq abx ++=+++5. 分组分解法：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
例如()()()()()()n m b a n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++小结：分解因式的一般步骤为：6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等三、随堂练习：1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、()()9332-=-+a a aB 、()5152-+=-+x x x xC 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 112 D 、()22244+=++x x x 2．若的表达式为，则M M x x x x ⋅+=+-+)1()1()1(3 （ ）A 、x 2＋1B 、x 2－x ＋1C 、x 2－3x ＋1D 、x 2＋x ＋13．把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）A 、(a -2)(m 2+m )B 、(a -2)(m 2-m )C 、m (a -2)(m -1)D 、m (a -2)(m+1)4．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A 、-a 2+b 2B 、-x 2-y 2C 、49x 2y 2-z 2D 、16m 4-25n 2p 25．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、412m m ++B 、222y xy x -+- C 、224914b ab a ++- D 、13292+-n n6．若代数式x 2+kxy+9y 2是完全平方式，则k 的值是（ ） A 、3； B 、±3； C 、6； D 、±67．下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)2-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）A 、①②B 、②④C 、①④D 、②③9．若ax 2+24x +b =(mx -3)2，则a = ，b = ，m = 。
最新北师大版-八年级下-因式分解、分式与分式方程知识点(上传版)
因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面． 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++． 若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解．五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母； ②分式的分母的值不为0；③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 三、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a amb bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．五、分式的乘除分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅． 六、分式的乘方分式的乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)． 整数指数幂运算性质：①m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)； ②()m n mn a a =(m 、n 为整数)； ③()n n n ab a b =(n 为整数)；④m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)．负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数． 七、八、分式的加减运算法则同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，a b a bccc+±=．异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商． 九、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在． 十、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程； ②解整式方程，得到=x 具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立． 十一、十二、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．。
专题05 分式方程-2017-2018学年下学期期末复习备考八年级数学之热点难点突破练(北师大版)(解析版)
2017-2018学年下学期期末复习备考之热点难点突破练(八年级数学北师大版)专题05分式方程【知识梳理】1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法. 4. 应用题的常见类型及基本公式（1）行程问题：基本公式为“路程＝速度×时间”，而行程问题中又分相遇问题和追及问题. （2）工程问题：基本公式为“工作量＝工作时间×工作效率”. （3）顺水逆水问题：v v v水静水顺水+=，v v v 水静水逆水-=.【例题精讲】考点一、判断方程为分式方程【例1】下列各式中，是分式方程的是（ ） A ．x+y=5 B ．22253x y +-=C ．165x =+ D ．1x【答案】C ．D 、不是方程，是分式．故选C ．考点：分式方程的定义．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 变式训练1. 下列各式中为分式方程的是（ ） A ．x+1x B ．11123x x =+- C ．253x += D ．10x π+=【答案】B ． 【解析】考点：分式方程的定义． 考点二、解分式方程 【例2】解方程：231133x x x -=--． 【答案】x=﹣1 【解析】试题分析：两边乘x （x ﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题． 试题解析：两边乘x （x ﹣3）得到3﹣x=x 2﹣3x ， ∴x 2﹣2x ﹣3=0， ∴（x ﹣3）（x+1）=0， ∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根， ∴原方程的解为x=﹣1．考点：解分式方程【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 变式训练2.用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ）A ．y=y 1﹣3=0B ．y ﹣y 4﹣3=0C ．y ﹣y 1+3=0D ．y ﹣y4+3=0【答案】B ． 【解析】试题分析：∵设xx 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ．考点：换元法解分式方程．考点三、分式方程的解、无解、增根问题 【例3】方程221111x x -=--的解为x =.【答案】﹣2．考点：分式方程【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 变式训练3.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为( ) A. －32 B. 1 C. 32或2 Ｄ－12或－32【答案】D又因为当210m +=时，整式方程()216m x +=-无解， 即12m =-综上所述，当3122m =--或时，此分式方程无解. 故选D.考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式考点四、分式方程的应用【例4】某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划每天生产多少个零件？【答案】75.考点：分式方程的应用.【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．变式训练5. 甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？【答案】（1）甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）甲工程队至少修路8天．【解析】试题分析：（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a 天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．考点：1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．【达标测试】2017—2018学年第二学期期末复习备考《专题05分式方程》单元测试满分120分；考试时间：45分钟一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1．分式方程123x -＝l 的解为 ( ) A. x ＝2 B. x ＝l C. x ＝-l D. x ＝-2 【答案】A【解析】方程两边同乘（2x-3），得 1=2x-3， 解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解， 故选A. 2．方程2223671x x x x x+=--+的根的情况，说法正确的是（ ） A. 0是它的增根 B. －1是它的增根 C. 原分式方程无解 D. 1是它的根 【答案】C3．某煤矿原计划x 天生存120t 煤，由于采用新的技术，每天增加生存3t ，因此提前2天完成，列出的方程为（ ）A. 12012032x x =--B. 12012032x x =-+ C. 12012032x x =-+ D. 12012032x x =--【答案】D【解析】因为原计划x 天生产120吨煤,所以原计划每天生产120x吨,因为采取新的技术,提前2天 ,所以现在每天生产1202x -吨,因为现在每天比原计划每天增加3吨,所以可列方程是12012032x x-=-,故选D.4．若分式方程()6511x x x x +=-- 有增根，则增根是( ) A. x=1 B. x=1或x=0 C. x=0 D. 不确定 【答案】A【解析】方程两边同乘x(x-1)，得 6x=x+5， 解得：x=1，检验：当x=1时，x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根，原方程无解， 故选A.5．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A.xxππ=B.1056x x =- C. 2341x x =+ D. x n xm nπ-=【答案】D【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟记分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键. 6．若关于x 的方程11322x m x x+-=+--无解，则m 的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -4 【答案】A【解析】试题解析：分式方程无解，2,x ∴=把原方程去分母得： ()()1321,x x m +=--- 把2x =代入方程，得 2.m =- 故选A.7．某煤厂原计划天生产100吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产2吨，因此提前3天完成任务，列出方程为（ ）A. 10010023x x =--B. 10010023x x =-+ C. 10010023x x =-+ D. 10010023x x =--【答案】D【解析】试题解析：实际每天的产值为100,3x -原来每天的产值为100x，列方程为： 1001002.3x x =-- 故选D.8．九年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm/h ，则所列方程正确的是（ ） A. =﹣ B. =﹣20 C. =+ D. =+20【答案】C点睛：此题主要考查了分式方程的应用，根据题目中的等量关系列方程是解题关键.9．若数a使关于x的不等式组2{32x ax a->-<-无解，且使关于x的分式方程5355axx x-=---有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）A. 28 B. ﹣4 C. 4 D. ﹣2 【答案】B【解析】解：不等式组整理得：2{32x ax a>+<-，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=103a+，即a+3=1，2，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选B．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（）元．A．508 B．520 C．528 D．560【答案】B【解析】试题分析：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据每个进价比上次优惠1元，求出购进计算器的个数，再根据总售价﹣成本=利润，即可得出答案．解：设第一次购进计算器x个，则第二次购进计算器3x个，根据题意得：=+1，解得：x=20，经检验x=20是原方程的解，则这笔生意该店共盈利：[50×（20+60﹣4）+4×50×90%]﹣（880+2580）=520（元）； 故选B ．考点：分式方程的应用．二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 11．分式方程2111111x x x -=-+-去分母时，两边都乘以________. 【答案】(x+1)(x-1)) 【解析】∵分式方程2111111x x x -=-+- 可化为： ()()1111111x x x x -=-++-， ∴去分母时，方程两边应都乘以： ()()11x x +-. 12．如果11x -与11x +互为相反数，则x ＝______． 【答案】013．方程4044033x x-=的解是______． 【答案】x=20【解析】方程两边同时乘3x ，得 120-4x=40， 解得：x=20，检验：当x=20时，3x=60≠0， 所以x=20是原方程的根， 故答案为：x=20. 14．若分式方程()()2215x a a x -=--的解为x=3，则a 的值为_______．【答案】5【解析】由题意得：()()232315a a -=-⨯-，解得：a=5，经检验a=5符合原方程， 故答案为：5. 15．若362y y =+，则4y y-=_______. 【答案】-316．当a ＝_______时，方程11x a-＝2的解为4． 【答案】47-【解析】由题意得： 11=24a-， 解得：a=47-， 经检验a=47-符合原方程，故答案为： 47-.17．分式方程2111224x x x -=-+-去分母时，两边都乘以________________． 【答案】x 2-4【解析】试题解析：方程两边都乘(x +2)(x −2). 故答案为： ()()22.x x +- 18．若分式方程4522x mx x-=--无解，那么m 的值应为___________． 【答案】－819．要使关于x 的方程()()12121x x ax x x x +-=+-+-的解是正数， a 的取值范围是___．. 【答案】1a <-且a≠-3.【解析】分析：解分式方程，用含a 的式子表示x ，由x ＞0，求出a 的范围，排除使分母为0的a 的值. 详解：()()12121x x ax x x x ---＋＝＋＋， 去分母得，(x ＋1)(x －1)－x (x ＋2)＝a ， 去括号得，x 2－1－x 2－2x ＝a ， 移项合并同类项得，－2x ＝a ＋1，系数化为1得，x ＝12a --. 根据题意得， 12a --＞0，解得a ＜－1.当x ＝1时，－2×1＝a ＋1，解得a ＝－3； 当x ＝－2时，－2×(－2)＝a ＋1，解得a ＝3. 所以a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－3. 故答案为a ＜－1且a ≠－3.点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.20．李明同学从家到学校的平均速度是每小时a 千米，沿原路从学校返回家的速度是每小时b 千米，则李明同学来回的平均速度是__________千米/小时（用含a 、b 的式子表示） 【答案】2aba b+点睛：本题考查了列代数式，解题关键是利用速度、路程、时间之间的关系：路程=时间•速度，通过变形进行应用即可．三、解答题（本题共7小题，满分60分）21．解下列分式方程．(1) 231x x=+； (2)752121x x=+-；(3)2373226x x+=++； (4)51144xx x-+=--．【答案】(1) x=2．(2) x=3．(3) x＝-2． (4)无解．【解析】试题分析：每个方程确定最简公分母后，方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解后再进行检验即可得.试题解析：（1）方程两边同乘x(x+1)，得2（x+1）=3x，解得：x=2，检验：当x=2时，x(x+1)≠0，所以原方程的解为x=2；（2）方程两边同乘（2x-1）(2x+1)，得7（2x-1）=5（2x+1），解得：x=3，检验：当x=3时，（2x-1）(2x+1)≠0，所以原方程的解为x=3；（3）方程两边同乘2(x+3)，得4+3（x+3）=7，解得：x=-2，检验：当x=-2时，2(x+3)≠0，所以原方程的解为x=-2；（4）方程两边同乘 (x-4)，得5-x-1=x-4，解得：x=4，检验：当x=4时，x-4=0，x=4是增根，所以原方程无解.22．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的台数比原计划多50％，结果提前两天完成任务．求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．【答案】15台．23．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20％，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度.【答案】75千米／时．【解析】试题分析：设这列火车原来的速度为每小时x千米，则提速后速度为每小时（1+20%）x千米，根据题意可得等量关系：按原速度行驶（450-x）千米所用时间=提速后行驶（450-x）千米所用时间+12，列出方程，求解即可．试题解析：设这列火车原来的速度为x千米／时，根据题意，得450312xx-=+()4503120%xx-+，解得x＝75，经检验x＝75是原方程的解，所以，这列火车原来的速度为75千米／时．【点睛】本题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．24．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：（1）求A，B两种蔬菜每吨的进价；（2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．【答案】（1）每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；（2）W=；（3）有三种购买方案．试题解析：解：（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为（x+0.5）万元，依题意得：，解得x=1.5，经检验：x=1.5是原方程的解，∴x+0.5=2．答：每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；（2）根据题意得，W=（2﹣1.5）×+（3﹣2）×=，∴所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：W=；（3）当≥时，a≥6，∵在一次函数W=中，W随着a的增大而减小，∴当a=6时，W有最大值，W的最大值为﹣1+7=6（万元）．设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则2100a+2700b=60000，∵a和b均为整数，∴或或，∴有三种购买方案．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是抓住题中的等量关系列出分式方程，以及所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式，解题时注意：在一次函数y=kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．25．某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完．（1）商厦第一批和第二批各购进休闲衫多少件？（2）请问在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【答案】（1）第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件（2）在这两笔生意中，商厦共盈利90260元（2）设这笔生意盈利y元，可列方程为：y+80000+176000=58（2000+4000﹣150）+80%×58×150，解得y=90260．答：在这两笔生意中，商厦共盈利90260元．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．注意：求出的结果必须检验且还要看是否符合题意．26．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款 1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省详解：设规定期限x天完成，则有：，解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：规定期限20天。
专题04 因式分解与分式方程(考点串讲)-八年级数学下学期期末考点大串讲(北师大版)
【典例 3】若把分式 中的 x 和 y 都变为原来的 3 倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的 3 倍
B．变为原来的
C．变为原来的
D．不变
【解答】解：用 3x 和 3y 代替式子中的 x 和 y 得：
，
则分式的值变为原来的 ．故选：B．
易错混淆
【典例 4】解方程：
（1）
；
（2）
．
【解答】解：（1）
解得 x＝90 经检验，x＝90 符合题意 ∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元． ②设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进（55﹣y）件 由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050 解得 5≤y≤10 ∴共有 6 种选购方案．
，
原分式方程可化为： +2＝ ，﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
2x+x＝1+8+3，3x＝12，x＝4，
检验：把 x＝4 代入（x﹣4）＝0，∴原分式方程无解；
（2）
，
原分式方程可化为：
﹣1＝ ，1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，1+4x﹣x+2＝﹣3，
4x＝﹣2 代入（x﹣2）≠0，∴原分式方程解为 x＝﹣2．
题型剖析
【典例 5】（2023 春•句容市期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智
能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的 20 倍，经过测试，由 5 台机器分拣 6000 件快件的
时间，比 20 个人工分拣同样数量的快件节省 4 小时．
押题预测
3．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，
北师大版八年级数学下册第四章因式分解回顾与思考
考点六 分组分解法分解因式
1. 把下列多项式分解因式.
1 x3 x2 x 1
x2 x1x 1
x 1x2 1
2 ax bx ay by
axbxay by xab yab a bx y
6．分解下列因式：
(2)－ a2＋2a－2＝ － (a－2)2 .
7．把下列各式因式分解： (2)(a＋2b)2＋2(a＋2b－1)＋3.
解：原式＝(a＋2b＋1)2.
11．下列因式分解中，正确的是( D ) • A．x2y2－z2＝x2(y＋z)(y－z) • B．－x2y＋4xy＝－xy(x＋4) • C．9－12a＋4a2＝－(3－2a)2 • D．(x＋2)2－9＝(x＋5)(x－1)
C．x2－y2和x－y
D．a＋b和a2－2ab＋b2
4．下列各因式分解的结果正确的是( C )
A．a3－a＝a(a2－1) B．b2＋ab＋b＝b(b＋a) C．1－2x＋x2＝(1－x)2 D．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
考点二 运用提公因式法分解因式
8．因式分解： (1)3x2y－18xy2＋27y3；
• (2)(x+4y)(x-y)-3xy
5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值．
2
2
1
1
1
解：2 a3b＋a2b2＋2 ab3＝ 2 ab(a2＋2ab＋b2)
＝ 1 ab(a＋b)2. 2
当a＋b＝5，ab＝10时，
原式＝1×10×52＝125. 2
2、简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
八年级因式分解专题(内部资料)
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例1：分解因式：（1） 【答案】解：（1）
（2） （2）
例2：分解因式： x2 x2 8 x2 x 12
C．－m2－n2
D．4m2－ 1 n2
9
例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
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例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
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知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
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2017-2018学年下学期期末复习备考之热点难点突破练(八年级数学北师大版)专题04因式分解与分式【知识梳理】一、因式分解1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：（1） 提公因式法：=++mc mb ma m(a+b+c).（2）公式法: ⑴ =-22b a (a+b)(a-b) ⑵ =++222b ab a (a+b)2，⑶=+-222b ab a (a-b)2. （3）十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 (x+p)(x+q)． 3．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．二、分式1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称 A B为分式．若B ≠0，则 A B 有意义；若B=0，则 A B 无意义；若A=0且B ≠0，则 A B＝0.2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C CB C A B A C C B C A B A .3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5．分式的运算⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减 .② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 .⑵ 乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.⑶ 除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.【例题精讲】考点一、因式分解的有关定义例1下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A. ()()2339x x x -+=- B. ()()()()1331y y y y +-=--+ C. ()24222yz y z z y z yz z -+=-+ D. ()22882221x x x -+-=-- 【答案】D【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：【点评】要正确理解因式分解的定义.【方法技巧】因式分解的判断：①被分解的代数式是多项式，②分解后的因式是整式，③结果是积的形式，只有这三方面同时满足时，才是分解因式.考点二、利用提公因式法分解因式例2因式分解：a 2﹣3ab=__．【答案】a （a ﹣3b ）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式a 即可.【解析】a 2﹣3ab=a （a ﹣3b ），故答案是： a （a ﹣3b ）．【点评】要确定好公因式，还要看是否分解到不能再分为止.【方法技巧】利用提公因式法分解因式时，应先看多项式中的各项是否有公因式，确定好公因式，然后提取公因式，提取后如果还能分解，可利用其他方法分解，一直到各因式不能分解为止考点三、利用公式法分解因式例3分解因式：221x x -++= ．【答案】（x-1）2.【解析】2222121(1)x x x x x -++=-+=-【方法技巧】在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．【达标测试】2017—2018学年第二学期期末复习备考《专题04因式分解与分式》单元测试满分120分；考试时间：90分钟一、单选题（本题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列各式从左到右的变形，正确的是（ ）A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a+b=﹣（a+b ）C ．（y ﹣x ）2=（x ﹣y ）2D ．（a ﹣b ）3=（b ﹣a ）3【答案】CC 、∵（y ﹣x ）2=y 2﹣2xy+x 2=（x ﹣y ）2，故此选项正确；D 、∵（a ﹣b ）3=a 3﹣3a 2b+3ab 2﹣b 3，（b ﹣a ）3=b 3﹣3ab 2+3a 2b ﹣a 3，∴（a ﹣b ）3≠（b ﹣a ）3，故此选项错误．故选C ．点评：本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2．括号前是“﹣”号，括到括号里各项都变号，括号前是“+”号，括到括号里各项不变号．2．下列因式分解正确的是（ ）A ．a 4b-6a 3b+9a 2b=a 2b （a 2-6a+9）B ．x 2-x+14=（x-12）2C ．x 2-2x+4=（x-2）2D ．4x 2-y 2=（4x+y ）（4x-y ）【答案】B.【解析】试题解析：A 、原式=a 2b （a 2-6a+9）=a 2b （a-3）2，错误； B 、原式=（x-12）2，正确；C 、原式不能分解，错误；D 、原式=（2x+y ）（2x-y ），错误，故选B考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．3．多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x+1的公因式是（ ）A. 1x -B. 1x +C. 21x -D. ()21x -【答案】A4．计算11x x y--的结果是（ ） A. ﹣()y x x y - B. ()2x y x x y +- C. ()2x y x x y -- D. ()y x x y - 【答案】A【解析】()()()()111.x y x x y x x x y x x y x x y x x y x x y ----=-==------故选A 5．分式的计算结果是（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】本题考查了分式的加减运算。
解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式。
故选C6．下列计算正确的是（ ） A. ()111888x y x y +=+ B. 2y y y x z xz+= C.11222x x y y y ++= D. 110x y y x +=-- 【答案】D7．已知两个分式： 244A x =-， 1122B x x=++-，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D. A 大于B【答案】C 【解析】试题解析：∵B=1122x x ++-=1122x x ++-=()()()()2222x x x x --++-=2-44x -，又∵A=244x -， ∴A+B=244x -+2-44x -=0， ∴A 与B 的关系是互为相反数；故选C.8．已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式24x x x --的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 13 D. 12 【答案】D【解析】x 2－3x －4=0，(x －4)(x +1)=0，解得x 1=4，x 2=－1，∴当x =4时，24x x x --=12；当x =－1时， 24x x x --=12. 故选D.点睛：本题在解出x 代入分式的时候一定要考虑分式有意义的条件即分母不为0. 9．如果a+b=2，那么代数（a ﹣2b a ）a a b-的值是（ ） A. 2 B. ﹣2 C.12 D. ﹣12【答案】A 【解析】（a －2b a ）·a a b -=22a b a -·a a b -=a b a b a +-（）（）·a a b-=a +b =2. 故选A.10．当x=6，y=3时，代数式（2x y x y x y +++）32xy x y+的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】C点睛：掌握分式的加减乘除运算法则.二、填空题（本题共10小题，每题3分，满分30分）11．（1）﹣xy 2（x+y ）3+x （x+y ）2的公因式是__；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）2的公因式是__．【答案】 x （x+y ）2 4（m ﹣n ）【解析】（1）﹣xy 2（x+y ）3+x （x+y ）2的公因式是 x （x+y ）2；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）2的公因式是4（m ﹣n ）．12．若a －b ＝3，ab ＝2，则a 2b －ab 2＝ ．【答案】6【解析】试题分析：直接将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．试题解析：∵a -b=3，ab=2，∴a 2b-ab 2=ab （a-b ）=2×3=6．考点：因式分解-提公因式法．13．已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可因式分解为(3x+a )(x+b ),其中a ,b 均为整数,则a+3b=_____.【答案】-31点睛：本题主要考查了用提取公因式进行因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用公式，注意一个多项式因式分解后的结果是唯一的.14．计算： 22536c b ab a c⋅=__． 【答案】352c a【解析】22536c b ab a c ⋅=352c a. 故答案为352c a . 15．若117m n m n +=+，则n m m n +的值为___________． 【答案】5【解析】∵117m n m n mn m n ++==+， ∴()22227m n m mn n mn +=++=，∴225m n mn +=， ∴2255n m m n mn m n mn mn++===. 16．一项工程，甲单独做需要x 小时完成，乙单独做需要y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要_______小时. 【答案】xy x y+ 【解析】设该工程总量为1．二人合作完成该工程所需天数=1÷（=． 17．a 、b 为实数，且ab=1，设，，则P_______Q （选填“＞”、“＜”或“=”）．【答案】=考点：分式的加减法．18．设433x y x -=，则x y=_____. 【答案】3 【解析】试题解析：∵433x y x -=， ∴x=3y, ∴x y =33y y=.故答案为：3.19．分式24,35a a bc c的最简公分母是_________． 【答案】15bc 2 【解析】试题分析：分式43a bc 与25a c 的最简公分母是15bc 2． 故答案为：15bc 2．点睛：本题考查了最简公分母的找法，若分母是单项式，一般找最简公分母分三步进行：①找系数，系数取所有分母系数的最小公倍数；②取字母，字母取分母中出现的所有字母；③取指数，指数取同一字母指数的最大值．20．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算()2012111n n n =+∑=__． 【答案】20122013考点：分式的加减法．三、解答题（本题共6小题，满分60分）21．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）(1) 22201199- （2）21.99 1.990.01+⨯【答案】(1)800;(2)3.98.【解析】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）=400×2=800；（2）原式=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98．22．把下列各式分解因式：（1）22425x y - （2） 2x y y -（3）()224x y z -- （4）()()2216a b a b --+（5）33327xy x y -+ (6) 2222416a x a y -(7) ()2(80+6a a a +- (8) 4481x y - (9) ()()224233p q p q +-- (10) ()()22169196a b a b --+【答案】(1)(2x+5y)(2x-5y); (2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z); (4)(5a-3b)(3a-5b); (5)-3xy(y+3x)(y-3x); (6)4a 2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4); (8) ()()229)33x y x y x y ++-（; (9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.试题解析：（1）原式=（2x+5y ）（2x-5y ）；（2）原式=y （x 2-1）=y （x+1）（x-1）；（3）原式=（2x+y-z ）（2x-y+z ）；（4）原式=（5a-3b ）（3a-5b ）；（5）原式=-3xy （y 2-9）=-3xy （y+3x ）（y-3x ）；（6）原式=4a 2（x 2-4y 2 ）=4a 2（x+2y ）（x-2y ）；（7）原式=a 2-16+6a-6a=（a+4）（a-4）；（8）原式=（9x 2+y 2）（3x+y ）（3x-y ）；（9）原式=（7p+5q ）（p+7q ）；（10）原式=-（27a+b ）（a+27b ）．23．化简： (1) 222442242x x x x x x-+-++-+ ． (2)（1+11a -）÷221a a a -+． 【答案】(1) ()23322x x x x +-+ (2)a-1 【解析】试题分析：（1）首先将各项分子分母因式分解，能约分的约分，然后再通分，得出最终结果即可；（2）对括号里面的式子通分，并对除号后面的分式的分母因式分解，然后将除法变为乘法，约分计算出最终结果即可.（2）（1+11a -）÷221a a a -+ =111a a -+-÷21a a -（） =1a a -×21a a -（） =a －1.点睛：熟练掌握因式分解的方法是分式化简的关键.24．计算. (1) 312242x x x x x --÷----; (2) 11n n m m ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 222412•4421x x x x x x x ----+-+（）; (4) 2211111a a a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) ()22121x x x +---. (2) m n m n +- (3)x . (4) 2a a +.试题解析：（1）原式=()32·2221x x x x x ------ =()3221x x x ---- =()()()321221x x x x ---+- =()22121x x x +---； （2）原式=·m n m m m n +-=m n m n+-； （3）原式=()()()()22221·212x x x x x x x ⎡⎤+---⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦=()21·21x x x x x -+-+ =x ；（4）原式=()()()12111a a a a a a ⎡⎤+-÷⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦ =()()()()211·11a a a a a a+-++- =2a a+. 25．已知22106340a b a b +--+=，求2222222a b a b a ab b a b ab a ab --++⎛⎫÷⋅ ⎪+-⎝⎭的值． 【答案】38试题解析：∵a 2+b 2-10a-6b+34=（a-5）2+（b-3）2=0，∴a=5，b=3，则原式=()()()()()() 222••a b a baba b a b a a b a b-++--+=ba b +，当a=5，b=3时，原式=33=5+38．26．计算：（1）222299369x x xx x x x+-++++；（2）23111xxx x-⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭.【答案】(1)2，⑵12x-+；【解析】试题分析：（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果；（2）原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．点睛：分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．。