2015年高考数学必备解三角形
2015年高考数学复习学案：三角与向量的综合问题
一、复习要点1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变换，会运用正、余弦定理解三角形；2.理解平面向量的代数和几何意义，会解决平面向量与解三角形、三角函数交汇的综合问题. 二、考点展示1．（13·四川）设),2(,sin 2sin ππααα∈-=，则=α2tan .2．（13·山东）将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 .3. (13·福建)如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，322sin =∠BAC ，23=AB ，3=AD ，则BD 的长为 .4. (13·浙江) 设21,e e 为单位向量，非零向量21e y e x +=， R y x ∈,.若21,e e 的夹角为6π的最大值等于 .三、典型例题例1. (1) (12·江苏) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2) (13·湖南) 已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1， 则|c |的取值范围是 .变式1 (1) (13·济南模拟)已知A B C ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3+4+5=0，则⋅的值为 .(2) 已知a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(c －a )·(c －b )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为 .例2．已知向量)23sin ,23(cosx x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且]2,0[π∈x .⑴ 求⋅+⑵ 若x f -⋅=2)(23-，求λ的值.变式 2 已知二次函数)(x f 对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+成立. 设向量)2,(sin x =，)21,sin 2(x =，)1,2(cos x =，)2,1(=.当],0[π∈x 时，解不等式)()(f f ⋅>⋅.四、课堂总结五、巩固练习1.（13·安徽）若非零向量，b +==，则与b 夹角的余弦值为 .2．（13·全国Ⅱ）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为 .3. 若向量a ，b ，c ， d 满足：|a |＝1，|b |＝2，b 在a 方向上的投影为12，(a －c )·(b －c )＝0，|d －c |＝1，则|d |的最大值为________．4.（13·重庆）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→. 若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是 .5. 如图所示，向量i ， j ，e 1， e 2均为单位向量，且i ⊥j ，e 1⊥e 2 . ⑴ 用i ， j 表示e 1， e 2；⑵若→OP=x i +y j ,且xy=1； →OP=x 1 e 1+y 1 e 2 .当θ= π4时，求关于x 1 、y 1的表达式，并说明方程表达的曲线形状.6. 设平面向量→a = (3，－1) ，→b = (12 ，32)，若存在实数m （m ≠0）和角θ（θ∈(－2π,2π)），使向量→c =→a ＋(tan 2θ－3)→b ，→d =－m →a ＋(tan θ)→b ，且→c ⊥→d . ⑴ 试求函数m =f (θ)的关系式；⑵ 令t = tan θ，求出函数m = g (t )的极值.1 e i。
2015年高考数学(文)一轮课件：5-5简单的三角恒等变换
通关训练3 π)，求2α－β的值．
1 1 已知tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，且α，β∈(0， 2 7
tanα－tanβ 1 1 解析：由tan(α－β)＝2知， ＝ . 1＋tanαtanβ 2 1 1 将tanβ＝－ 代入上式解得tanα＝ . 7 3 1 2× 3 2tanα 3 ∴tan2α＝ ＝ 1 ＝4， 1－tan2α 1－ 3 2 3 1 ＋ tan2α－tanβ 4 7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. 3 1 1＋tan2αtanβ 1＋4×－7
通关训练1
cos2α－sin2α (1) π π ＝__________. 2tan4－αcos24－α
1 1＋cos20° ＝__________. －tan5° (2) 2sin20° －sin10° tan5°
(3)tan25° ＋tan35° ＋ 3tan25° tan35° ＝__________.
2 2 7 2 2 sin α＋ 2 cosα＝－ 10 .
7 2 答案：－ 10
π 2 5．若tanα＋4＝ ，则tanα＝__________. 5
π tanα＋1 2 解析：tanα＋4＝ ＝ ， 1－tanα 5
即5tanα＋5＝2－2tanα. 3 则7tanα＝－3，故tanα＝－7.
π . 2sinα± 4
4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值 唯一确定．
答案：
●一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范 围是防止增解的有效措施． ●两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β α＋β α－β α－β β α ＝ 2 － 2 ， 2 ＝α＋2－2＋β. (2)化简技巧：切化弦，“1”的代换等．
2015年高考数学复习学案：解三角形
【考点概述】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题． 【重点难点】三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题．【命题趋势】1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察，故三角形中三角问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变形的技能及三角函数的应用意识．2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现（2010年江苏卷第13题，2010年上海理科卷第18题，2010年全国理科卷第16题、2010年天津理科卷第15题、2010年北京理科卷第10题、2010年广东理科卷第11题、2010年山东理科卷第15题等），但近几年来以解答题形式出现的频率较高（2010年江苏卷第17题、2010年陕西理科卷第17题、2010年福建理科卷第19题、2009年海南理理科卷第17题、2009年天津理科卷第17题、2009年辽宁理科卷第17题、2009年安徽理科卷第16题、2009年浙江理科卷第18题等），因为与实际问题的联系密切，今后这部分仍然是高考命题的一个热点．【知识要点】：1、 正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A BC a b c =利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理：=2a A bc cb cos 222-+； cos A ＝bca cb 2222-+=2b B ac c a cos 222-+； cos B ＝acb c a 2222-+=2c C ab b a cos 222-+； cos C ＝abc b a 2222-+利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21=∆＝A bc B ac sin 21sin 21=．4、射影定理： a ＝c cos B ＋b cos C ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A ，【基础训练】1、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-，求sin B ＝ ． 2、在ABC ∆中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝5︰7︰8，则B ＝ ．3、在ABC ∆中，B A sin sin >是A ＞B 的 条件（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”）．4、在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos ABb a =则ABC ∆的形状是 ．【典例分析】：例1、（1）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝32，A ＝30°，则B ＝ ．变式1：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，则边c ＝ ．变式2：在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝33，b ＝32，A ＝30°，则B 有几解？例2：在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2sin2)2cos(12CB A +=++π． (Ⅰ)求角A 的大小；（Ⅱ）当a ＝6时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．例3：如图：在ABC ∆中，若4,7b c ==，BC 的中点为D ，且72AD =，求cos A ．【巩固练习】1、（2010年北京理10）在△ABC 中，若b ＝ 1，c23C π∠=，则a ＝ ． 2、( 2010年上海理18) 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人根据上述条件，下列说法正确的是 ．（1）不能作出这样的三角形 （2）可作出一个锐角三角形 （3）可作出一个直角三角形 （4）可作出一个钝角三角形3、(2009年广东理6) 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ． 4、(2010年广东理11)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，bA ＋C ＝2B ，则sinC ＝ .5、 (2010年全国理16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC的面积为3∠BAC ＝______ _ ．【课外作业】1、（2010年山东理15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．2、(2007年山东理11)在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的序号是 ．（1）2AC AC AB =⋅ （2） 2BC BA BC =⋅ （3）2AB AC CD =⋅ （4） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=3、(2008年海南理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．4、（08江苏高考13）满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．5、（2010年天津理7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -=， sin C ＝B ，则A ＝ ．6、（2010年天津理15）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，1==BC ，则AC AD ⋅＝7、（2010年江苏高考17）（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，，请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大E【反思感悟】1、 解三角形常用方法：“化边为角”， “化角为边”．2、 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的个数问题．3、 正、余弦两个定理的的灵活运用及内涵（余弦定理的向量本质）．4、 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝兀，2222π=++C B A 中互补和互余的关系，结合诱导公式可以减少角的种数． 5、三角形中的动态最值问题的解法．课外探究：已知a ，b 及一边对角A ，则三角形解的情况．。
高考数学必考考点专项突破：解三角形
解三角形三角函数、解三角形、平面向量与数列考向预测正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题．知识与技巧的梳理正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．(1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc．(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ．热点题型热点一利用正(余)弦定理进行边角计算【例1】(2017·武汉二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积．解(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，∴B ＝π3．(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316．探究提高1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【训练1】(2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2．(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b ．解(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517．(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ．又S △ABC ＝2，则ac ＝172．由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×4．所以b ＝2．热点二应用正、余弦定理解决实际问题【例2】(2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为()A ．210(6＋2)米B ．1406米C ．2102米D ．20(6－2)米解析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10000－100x ，解得x ＝420米．在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC．可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米)．答案B探究提高1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．解析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°．又AB ＝600m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝3002(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．答案1006热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】(2017·长沙质检)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R ．(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；解(1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2＝x 2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4．(2)因为f (C )＝C 2＝0，所以C 1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3．因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2．探究提高1．解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．2．求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解．【训练3】(2017·泰安调研)已知函数f (x )＝4cos x m (m ∈R )，当x ∈0，π2时，f (x )的最小值为－1．(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f (C )＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BD ＝BC ，且AD ＝5，求△ACD 的面积．解(1)∵f (x )＝4cos x m＝4cos x cos π6＋cos x m＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m＝x m ＋1．∵x ∈0，π2，2x ＋π6∈π6，7π6，得x min＝－1，∴f (x )min ＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1．(2)由(1)知f (x )＝x f (C )＝1，∴C 1，∵C ∈(0，π)，得2C ＋π6∈∴2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3．如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ，在△ACB 中，由余弦定理，得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x ，解得x ＝32．∴cos A＝1314，得sin A ＝1－cos 2A ＝3314．∴S △ACD ＝12AC ·AD sin A ＝12×5×4×3314＝1537．（45分钟）经典常规题1．(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝()A ．34πB ．π3C ．π4D ．π62．(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝()A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2．点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．4．(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝()A ．31010B ．1010C ．－1010D ．－31010高频易错题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是()A ．3B ．932C ．332D ．332．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是()A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A3．(2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．4．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35．(1)求b 和sin A 的值；(2)求sinA 精准预测题1．(2017·南昌模拟)已知＝13，则x sin ()A ．－19B ．19C ．53D ．－532．(2017·郑州二模)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ，则角B ＝________．3．设f(x)＝sin x cos x－cos(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f0，a＝1，求△ABC面积的最大值．4．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sin A－b sin B＋(a＋b －c)sin C＝0．(1)求角A；(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状．参考答案经典常规题1．【解题思路】由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc结合已知条件代入消元即可．【答案】因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2，则cos A ＝sin A ．在△ABC 中，A ＝π4．故选C ．2．【解题思路】由B A C =π--消去角B ，再化简即可得到A ，再利用正弦定理求C ．【答案】由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C 0，因为sin C ≠0，所以0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4．由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，得C ＝π6．故选B ．3．【解题思路】ABC △中已知三边，可求∠ABC 的余弦，进而由互补关系得到∠DBC 的余弦．【答案】依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC ．由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14．所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152．因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10．故分别填152，104．4．【解题思路】AD 把△ABC 分为两个直角三角形，由长度关系即可得到相应的三角函数值．【答案】设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD＝2，tan ∠BAC ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos ∠BAC ＝－1010．故选C ．高频易错题1．【解题思路】由余弦定理结合c 2＝(a －b )2＋6可得ab 的值．【答案】c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①．∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332．故选C ．2．【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及++=A B C 朝能约的方向进行化简．【答案】等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ．等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0．所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b ．故选A ．3．【解题思路】边化角再利用和差角公式即可．【答案】由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．∴2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，∴cos B ＝12，故B ＝π3．故填π3．4．【解题思路】(1)由余弦定理求出b ，再由正弦定理求出sin A ．(2)利用和差角公式和二倍角公式即可．【答案】解(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45．由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313．所以，b 的值为13，sin A 的值为31313．所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513．故A sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226．精准预测题1．【解题思路】注意角度关系：52233x x ππ⎛⎫-=-+π ⎪⎝⎭．【答案】x sin＝－x －23πsin＝1－2cos 1－cos＝2－3cos ＝53．故选C ．2．【解题思路】角化边即可得．【答案】由c －b 2c －a＝sin Asin B ＋sin C及正弦定理，得c －b2c －a ＝a b ＋c，则a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，从而B ＝π4．故填π4．3．【解题思路】(1)利用二倍角公式进行化简．(2)利用余弦定理结合均值不等式求解．【答案】解(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12．由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z,可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ．所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；11(2)由f sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34．所以△ABC 面积的最大值为2＋34．4．【解题思路】(1)角化边．(2)由B ＋C ＝23π，消元留一个未知量，再化()sin y A x ωϕ=+形式，进而根据角度范围确定其值域．【答案】解(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R．代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得：b 2＋c 2－a 2＝bc ，则b 2＋c 2－a 22bc＝12，所以cos A ＝12．又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3．(2)由(1)得B ＋C ＝23π，所以sinB ＋sinC ＝sin B ＋－＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin 因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π，所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π2，sin B ＋sin C 取得最大值3，因此C ＝π－(A ＋B )＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。
2015年高考数学(文)一轮课件：5-1任意角、弧度制及任意角的三角函数
解析：(1)所有与角α有相同终边的角可表示为 β＝45° ＋k×360° (k∈Z)， 则令－720° ≤45° ＋k×360° ≤0° ， 得－765° ≤k×360° ≤－45° ， 765 45 解得－360≤k≤－360，从而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675° 或β＝－315° .
π 解析：(1)终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋ ，k 3 ∈Z}． 6 6 (2)所有与 7 π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝ 7 π＋2kπ，k∈ Z}， θ θ 2 2 ∴所有与3角终边相同的角可表示为3＝7π＋3kπ，k∈Z. θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π， π， π. 3 7 21 21
3 4 3 或sinα＝ ，cosα＝－ ，tanα＝－ . 5 5 4
考点三
三角函数线、三角函数值的符号
sincosθ 【例3】 (1)若θ是第二象限角，试判断 的符号； cossin2θ 1 (2)已知cosα≤－ ，求角α的集合． 2 思维启迪：由θ所在象限，可以确定sinθ、cosθ的符号；解三角 不等式，可以利用三角函数线．
y －3t 3 当t<0时，r＝－5t，sinα＝r ＝ ＝5， －5t x 4t 4 y －3t 3 cosα＝ r ＝ ＝－5，tanα＝x＝ 4t ＝－4. －5t 3 4 3 综上可知，sinα＝－5，cosα＝5，tanα＝－4 3 4 3 或sinα＝ ，cosα＝－ ，tanα＝－ . 5 5 4 3 4 3 答案：sinα＝－ ，cosα＝ ，tanα＝－ 5 5 4
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45° ，k∈Z}表示的是终边落在四 个象限的平分线上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45° ，k∈Z}表示终边落在坐标轴或 四个象限平分线上的角的集合，从而M N.
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题2 第2讲 三角变换与解三角形
而 b2＋c2≥2b c ，∴b c ＋4≥2b c ，∴b c ≤4 (当 且 仅 当 等 号 成 立 )， 1 3 3 所 以 S△ABC＝2b cs n i A＝ 4 b c ≤ 4 ×4＝ 3， 当△ABC 的 面 积 取 最 大 值 时 ， b＝c.
b＝c 时
π 又 A＝3， 故 此 时 △ABC 为 等 边 三 角 形 ．
3．三角变换的基本策略： (1)1的变换；(2)切化弦；(3)升 降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．
专题二 第二讲
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三角形形状的判定
(文)已知向量
1 m＝sinA，2与
n＝(3，sinA＋ 3
cosA)共线，其中 A 是△ABC 的内角． (1)求角 A 的大小； (2)若 BC＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得 最大值时△ABC 的形状．
专题二 第二讲
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2． 倍 角 公 式 ( 1 ) s n i2 ( 2 ) c o s 2 ( 3 a ) tn 2 α＝2 s n i αc o s α； α＝c o s 2α－s n i 2α＝2 c o s 2 a tn α α＝ . 1－a tn 2α
1－c o s α s n i α α ＝ s 2＝1＋c n i α . o s α
专题二 第二讲ห้องสมุดไป่ตู้
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4．正 弦 定 理 接 圆 的 直 径 s n i A＝s n i B＝s n i C＝2R(2R 为△ABC 外 5．余 弦 定 理 a2＝b2＋c2－2b cc o s A， b2＝a2＋c2－2a cc o s B， c2＝a2＋b2－2a bc o s C. a b c )．
高考数学大题专练—解三角形(周长问题)
cos (2)cos a B c b A=-解三角形（周长问题）1、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．3、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cA bB aC =+)cos cos (cos 2（1）求C（2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长4、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC ∆的周长最大时，求它的面积．5、在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1BC -=，求ABC C ∆．6、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin(664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．7、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，且20S AC +⋅=．（1）求A 的大小；（2）若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求ABD ∆的周长．(3sin )sin (1cos cos )b c A C c A C -=-8、已知函数2()sin(sin()2cos 662x f x x x ππ=++--，x R ∈．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =且f （A ）0=，ABC ∆3ABC ∆的周长．9、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①934ABC S ∆=，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC ∆的周长．10、如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =7cos 14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD ∆周长的最大值．参考答案1、（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin 2A =，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-=①由正弦定理得sin sin a bB A =⋅，sin sin a cC A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅=②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32、解：（Ⅰ）∵cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,得sin cos (2sin sin )cos A B c B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，又∵A B C π+=-，sin 2sin cos C C A∴=∵(0,)C π∈，∴1cos ,23A A π==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3A π=432sin 3a R A ==，22sin 2sin 2(sin sin )32(sin()sin )33a b cR A R BB C C C ππ++=++=++=+--+24sin()6C π=++250,3666C C ππππ<<∴<+< ∴当,623C C πππ+==时，ABC ∆周长最大最大值为2+4=6，即ABC ∆周长最大值是63、（1）由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴（2）由余弦定理得：∴∴∴周长为4、解：（1）因为222sin sin sin sin sin B A C A C --=，所以222b a c ac --=，可得222a c b ac +-=-，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为(0,)B π∈，所以23B π=．（2）因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，2222222392cos ()()()()24a c b a c ac B a c ac a c a c +==+-=+-+-=+，当且仅当3a c ==所以23a c +ABC ∆的周长最大值为323+3ac =，所以ABC ∆的面积11333sin 322S ac B ==⨯⨯5、解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21393sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，2122cos 1()33C ∴=-=．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，229482c c c ∴=+-，得：23290c c -+=，解得：425c ±=当4253c +=时，82253b +=325ABC C ∆∴=+当4253c =时，82253b -=，3ABC C ∆∴=+．6、解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111(cos )()22224A A A A --+=-，即22311cos sin cos 444A A A A --=-，3112(1cos 2)cos 2)884A A A ---+=-112cos 244A A +=，所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=．（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以232321sin )1[sin sin(?)]12sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++=++．因为ABC ∆为锐角三角形，所以得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<．所以12sin((16B π++∈+，3]；即ABC ∆周长的取值范围是(1+3]．7、解：（1）20S AC ⋅= ，∴12sin cos 02b c A c A ⨯⋅⋅+⋅⋅=，又0b c ⋅>，∴sin 0A A +=，即tan A =，又(0,)A π∈，∴23A π=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，又a =、1b =，23A π=，260c c ∴+-=，又0c >，2c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理得21sin 14B =，又a b >，B ∴为锐角，∴cos 14B =，在Rt ABD ∆中，cos AB B BD =，∴BD 21sin 14AD BD B =⋅==ABD ∴∆的周长为235710234725145+++=．8、解：（1）23131()sin cos 2cos 22222x f x x x x x =++--cos 12sin(16x x x π=--=--，∴当2sin()16x π-=-时，()f x 取得最小值3-，当2sin()16x π-=时，()f x 取得最大值1，即函数()f x 的值域是[3-，1]．（2）由f （A ）2sin()106A π=--=得1sin()62A π-=，0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，则66A ππ-=，得3A π=，ABC ∆ ，2a =，∴1sin 23bc π==4bc =，又22222cos()23a b c bc b c bc bc π=+-=+--，即24()12b c =+-，得2()16b c +=，即4b c +=，则周长426a b c ++=+=．9、解：（Ⅰ）因为sin )sin (1cos cos )c A C c A C -=-，sin cos()0C c A C c ++-=，即sin cos )sin C B B C -=，因为(0,)C π∈，sin 0C ≠，cos 2sin()16B B B π-=-=，即1sin(62B π-=，因为0B π<<，5666B πππ-<-<，所以66B ππ-=，可得3B π=．（Ⅱ）若选择条件①，因为1sin 23ABC S ac π∆=，所以9ac =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以2218a c +=，可得2()36a c +=，又0a c +>，解得6a c +=，因此ABC ∆的周长为9a b c ++=．若选择条件②4A π=，在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin sin sin 3a b c A B C π====所以4a π==，sin()34c ππ=+=所以ABC ∆的周长为32632366322a b c ++=+=．若选择条件③2a c =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以222492c c c +-=，即23c =，解得c =，a =，因此ABC ∆的周长为3a b c ++=+．10、解：（1）在BCD ∆中，cos CBD ∠=，所以321sin 14CBD ∠===，利用正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠==，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在ABD ∆中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅，即2216x y xy +-=，整理得2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得223()()1634x y x y xy ++-=，即2()64x y +，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以ABD ∆周长的最大值为12．。
高考数学-解三角形知识点
高考数学-解三角形1、（1）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为三角形外接圆半径） （2）正弦定理变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++ （3）正弦定理主要用来解决两类问题：A 、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
B 、已知两角和一边，求其余的量。
2、三角形的面积：22221111sin sin sin 2sin sin sin 22224sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a abc S a h ab C bc A ac B R A B C Ra B Cb A Cc A B pr A B C =⋅==========V (其中)(21c b a p ++=，r 为三角形内切圆半径) 3、（1）余弦定理：2222cos a b c bc A =+- bca cb A 2cos 222-+= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= （2）余弦定理主要解决的问题：A 、已知两边和夹角，求其余的量。
B 、已知三边求角。
4、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C <o ； ③若222a b c +<，则90C >o 。
5、附：三角形的五个“心”：（旁心：旁切圆的圆心）重心：三角形三条中线交点； 垂心：三角形三边上的高相交于一点。
2015届高考数学总复习第三章 第八节解三角形的应用精讲课件 文
变式探究
3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(
里的 C 处的缉私船奉命以每小时 10
－1)海
里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75°方向，距离A处 2 海 海里的速度追截走私
船．此时，走私船正以每小时 10 海里的速度从 B 处向北偏东
30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
变式探究
1. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示 意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α， ∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β的值，算出了tan α＝ 1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
距离问题 【例2】 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建
第三章
第八节 解三角形的应用
高度问题 【例 1】 如下图，用同样高度的两个测角仪 AB 和CD同
时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角
是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球
的高度．
思路点拨： 在Rt△EGA中求解EG，只有角 α一个条件，需 要再有一边长被确定，而△ EAC 中有较多已知条件，故可在 △ EAC 中考虑 EA 边长的求解，而在△ EAC 中有角 β ， ∠ EAC ＝
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，
∴∠BCD ＝ 30°，即缉私船沿东偏北 30°方向能最快追 上走私船．
180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA. 自主解答：
，
，
点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基 本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角 形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选 取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，
高考数学 解三角形应用举例
第23讲 解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！ 上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！ 下方 ###的角叫俯角(如图①).2．方位角从指北方向！！！顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α，即由指北方向！！！ 顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！ 逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！！！ 二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C 适用于任意三角形.( √ )(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为⎣⎡⎭⎫0，π2. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( B )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( A ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D ．2522m解析 由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝502(m).4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C .解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°， 由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222×32＝ 6. 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！ 8 ###海里.解析 如图，由题意知在△ABC 中， ∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8(海里).一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点C ，点D ，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则点A ，B ###km.解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km). 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为 5 km.二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】 要测量电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为！！！ 40 ###m.解析 设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝( B )A ．217B ．2114 C ．32114D ．2128解析 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里).由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos (∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 第1题图第2题图2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ解析 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ）， 即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1． 4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.易错点 不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙距离最短.(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.课时达标 第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( B )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin 10°千米C．2cos 10°千米D．cos 20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(A)A．2315B．516C．23116D．115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋153) m解析设建筑物高度为h，则htan 30°－htan 45°＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是！！！32###n mile/h.解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA ＝60°，他从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为！！！ 16米 ###.解析 如图，设DN ＝x 米，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0.∴x ＝16. ∴N 与D 之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝！！！ 150 ###m.解析 在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在△MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.三、解答题10．已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇，岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得 sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离.解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米).(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3. 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， 所以AB ＝2－3＝6－22(百米). 12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值. 解析(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310 km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km).故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α·sin α＝ 9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2). ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第三章+三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三
4
2
2
关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,
若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .
正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,
由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5
2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角 、 负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合
α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合
3
3
3
1 10π
1
π
2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例
2015届高考数学一轮总复习4-7解三角形应用举例基础巩固强化一、选择题1．(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a B.3aC.2a D．2a[答案] B[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B.(理)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()A.3B．2 3C．23或 3 D．3[答案] C[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或2 3.2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102n mile B．103n mileC．202n mile D．203n mile[答案] A[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°，∴BC＝102，故选A.3．海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )A ．103n mile B.1063n mileC ．52n mileD ．56n mile[答案] D[解析] 在△ABC 中由正弦定理得10sin45°＝BC sin60°，∴BC ＝5 6.4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10° C ．2cos10° D ．cos20° [答案] C[解析] 如图，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°，在△ABD 中，由正弦定理得1sin10°＝ADsin160°， ∴AD ＝2cos10°. 5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD＝50(6－2)·sin45°50＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.6．如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5n mileB ．23n mile C.13n mileD ．32n mile[答案] C[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A [解析]解法1：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.解法2：在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ， ∴BC ＝AB －100.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴ABAB －100＝3，∴AB ＝150＋503≈237.二、填空题8．(2014·镇江月考)一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OP sin ∠ORP ，在△ORQ 中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.三、解答题10．港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20n mile 后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？[解析] 在△BDC 中，由余弦定理知， cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝－17，∴sin ∠CDB ＝437.∴sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －π3)＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝5314.在△ACD 中，由正弦定理知AD sin ∠ACD ＝CDsin A⇒AD ＝5314×21÷32＝15(n mile)．∴此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升一、选择题11．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．2030mD ．30m[答案] A[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝103，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝300，∴BC ＝10 3.12．(2012·湖南文，8)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394 [答案] B[解析] 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2AB ×12，AB 2－2AB－3＝0，∴AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，则BC 边上的高AD ＝AB sin B ＝3×sin60°＝332. 二、填空题13．(2012·重庆理，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.[答案]145[解析] 由已知sin A ＝45，sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理csin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14.(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212m ，树上另一点B 离地面112m ，某人在离地面32m 的C 处看此树，则该人离此树________m 时，看A ，B 的视角最大． [答案] 6[解析] 过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－112＝5(m)，BF＝112－32＝4(m)，AF ＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4FC ，∴tan α＝[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝9FC －4FC 1＋36FC 2＝5FC ＋36FC ≤52FC ·36FC＝512.当且仅当FC ＝36FC，即FC ＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．三、解答题15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m 到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ＝60°，求山高h (单位：m)．[解析] 在三角形ABP 中， ∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β) ＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理得 AP sin ∠ABP ＝ABsin ∠APB ，∴AP sin (180°－γ＋β)＝10sin (γ－α)，∴AP ＝10sin (γ－β)sin (γ－α).又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，∴山高为h ＝AP sin α＝10sin αsin (γ－β)sin (γ－α)＝52(m)．16．在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离． [解析] (1)设船速为x km/h ，则BC ＝x6km.在Rt △P AB 中，∠PBA 与俯角相等为30°， ∴AB ＝1tan30°＝ 3.同理，Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得 BC ＝(3)2＋(33)2－2×3×33cos60°＝213， ∴x ＝6×213＝221km/h ， ∴船的航行速度为221km/h. (2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，∴当航行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小． 此时，AD ＝AB ·AC ·sin60°BC＝3×33×32213＝3714. ∴PD ＝1＋(3714)2＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km.考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 补充说明1．解斜三角形应用题常见题型测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．根据实际问题构造三角形是应用的关键[例1] 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A (3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析] 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ， 在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6， ∴BC ＝6，∵cos ∠CBA ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝6＋(3－1)2－426·(3－1)＝22，∴∠CBA ＝45°，即B 在C 正东． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．[点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．备选习题1．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，AB 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为( )A.19km B ．(6－1)km C ．(6＋1)km D.7km[答案] B[解析] 由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km ，则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos120°，∵x >0，∴x ＝6－1. 2.(2012·西安五校二模)如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B处营救渔船．(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝21 7)[解析](1)由题意，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠CAB，∴CB2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，∴BC＝107，所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为107n mile.(2)△ABC中，AB＝20，BC＝107，∠CAB＝120°，由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠CAB，即20sin∠ACB＝107sin120°，∴sin∠ACB＝217.∵cos49°＝sin41°＝217，∴∠ACB＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．3.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan 12)的方向做匀速直线航行，速度为105n mile/h.(1)求出发后3h 两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．[解析] 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t ，由θ＝arctan 12可得，cos θ＝255，sin θ＝55， 故x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，(1)令t ＝3，则P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.即两船出发后3h ，相距534n mile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4h ，相距最近，距离为202n mile. (3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为202n mile ，故两船不可能相遇．。
2015年四川高考数学精练第21练 解三角形问题
第21练 解三角形问题题型一 活用正、余弦定理求解三角形问题例1 (1)(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为________．破题切入点 (1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B 的值，再结合a >b 的条件即可判断得出结果．(2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可．答案 (1)A (2)等腰三角形或直角三角形 解析 (1)由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.(2)方法一 因为a cos A ＝b cos B ，所以由余弦定理，得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以(a 2＋b 2－c 2)(a 2－b 2)＝0. 所以a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 方法二 因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B . 又A ，B 为△ABC 的内角， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．题型二 正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧例2 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 破题切入点 (1)在△ABC 中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB 的长；(2)设出在乙出发t min 后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在△ABC 中，利用正弦定理求得BC 的长，再分别计算出甲、乙到达C 点的时间，然后由甲、乙在C 处相互等待不超过3 min 为条件列出不等式计算即可求得． 解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．题型三 解三角形中相关交汇性问题例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．破题切入点 (1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin A ＋sin C 化为sin(A ＋π3)，并求出sin(A ＋π3)的取值范围，再根据正弦定理，求出a ＋c 的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出a ＋c 的范围．解 (1)因为m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， 所以m ·n ＝2sin B .又|m |＝sin 2B ＋(1－cos B )2 ＝sin 2B ＋cos 2B －2cos B ＋1 ＝2(1－cos B ) ＝4sin 2B 2＝2|sin B2|，因为0<B <π，0<B 2<π2，所以sin B 2>0，因为|m |＝2sin B2.而|n |＝2， 所以cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sin B4sinB2＝4sin B 2cosB 24sinB 2＝cos B2，即cos B 2＝12.由0<B <π，得B 2＝π3，所以B ＝2π3.(2)方法一 由B ＝2π3，得A ＋C ＝π3.所以sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(π3－A )＝sin A ＋(sin π3cos A －cos π3sin A )＝12sin A ＋32cos A ＝sin(A ＋π3)．又0<A <π3，所以π3<A ＋π3<2π3.所以32<sin(A ＋π3)≤1. 所以sin A ＋sin C ∈(32，1]． 由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝3sin2π3＝2， 所以a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2(sin A ＋sin C )． 所以a ＋c ∈(3，2]．方法二 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3＝(a ＋c )2－2ac ＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－(a ＋c 2)2＝3(a ＋c )24，当且仅当a ＝c 时，取等号． 所以(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2. 又a ＋c >b ＝3，所以3<a ＋c ≤2， 即a ＋c ∈(3，2]．总结提高 (1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．1．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定2．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．13．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.332D ．3 34．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.555．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－43 C ．1 D.236．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.5727．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，C ＝π3，c ＝3，则a ＋23cos A sin B 的值为________．8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A－C )＝sin B ，则△ABC 的面积为________．9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围为________．10．(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)12．在△ABC 中，角A 为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)求m ·n 的值及角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S .1．答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．2．答案 B解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5. 3．答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．答案 C解析 设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322，∴AD ＝322－2＝22，AC ＝92＋12＝5， ∴sin ∠BAC ＝sin(π－∠BAC )＝3225＝31010.5．答案 A解析 ∵a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴4－2ab 2ab ＝12，∴ab ＝43.6．答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7．答案 4解析 由正弦定理，得a sin A ＝csin C ⇒a ＝2sin A .所以a ＋23cos A sin B ＝2sin A ＋23cos A sin B＝4sin (A ＋π3)sin B ＝4.8．答案3解析 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝sin(A ＋C )－sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝2cos A sin C .∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ≠0， ∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.9．答案 (3,6]解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C ) ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝4－2cos 2B －2cos 2(2π3－B )＝4＋3sin 2B －cos 2B ＝4＋2sin(2B －π6)．又0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6.所以－1<2sin(2B －π6)≤2.所以3<b 2＋c 2≤6. 10．答案3解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.11.解 如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)海里． 因为中国海监船以每小时30海里的速度航行， 某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间 t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．12．解 (1)因为|m |＝cos 2A ＋sin 2A ＝1， |n |＝cos 2A ＋(－sin A )2＝1， 所以m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12.因为m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ， 所以cos 2A ＝12.因为0<A <π2，0<2A <π，11 所以2A ＝π3，A ＝π6.(2)因为a ＝7，c ＝3，A ＝π6，及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以7＝b 2＋3－3b ， 即b 2－3b －4＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4. 所以S ＝12bc sin A ＝12×4×3×sin π6＝ 3.。
2015高考总复习数学(文)课件：7.2解三角形应用举例
图 7-2-4 解：在ABD 中，设 BD＝x， 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos∠BDA， 即 142＝x2＋102－2· 10x· cos60°， 整理，得 x2－10x－96＝0，
解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理，得
BC BD ＝ ， sin∠CDB sin∠BCD
5．如图 7-2-3，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗 从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后 向右转 105°，行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它
10 6 3 向右转 135°后继续前行回到出发点，那么 x＝_______.
图 7-2-3
考点1
16 ∴BC＝ · sin30°＝8 2 ≈11.3(km)． sin135° 答：两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km.
【方法与技巧】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中 在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦 定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.
【互动探究】 1．在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若∠CAB＝
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
2．如图 7-2-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸 边选取两点 A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA ＝45°，且 AB＝200 米．则 A，C 两点的距离为( A )
图 7-2-2
200 6 A. 3 米 100 6 C. 3 米 B．100 D．200 6米 2米
在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3 AB＝30 3 (m)．
在△BCD 中，BC＝30 m，BD＝30 3 m，∠CBD＝30°， 由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD· cos∠CBD
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第6节
[课堂练通考点]1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.2．化简：若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.3.(创新题)设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x＝________. 解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x＝sin 2x －6sin 2x 9sin 2x ＝－59. 答案：－594．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π35．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值． 解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)∵f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x ＝1＋cos 2x －sin 2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43得sin α＝－43cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45，∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝145.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α的值为()A．4 3 B.65 4C．4 D.23 3解析：选B 1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α＝2cos2α＋8sin2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子分母都除以cos2α得1＋cos 2α＋8sin2αsin 2α＝2＋8tan2α2tan α＝654.2．计算tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α的值为()A．－2 B．2 C．－1 D．1解析：选D tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 3．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析：选C sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.4．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3. 5．若sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________.解析：由sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2， 所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 答案：436．(2014·湖南师大附中月考)计算： tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：原式＝sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.8．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.2．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且其图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．解：(1)依题意函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 所以f (x )＝3cos(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，所以3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，则2×5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π－π3，k ∈Z . 由－π2<φ<0得φ＝－π3. 故f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)依题意有g (x )＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－π3＝3cos x ， 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13， 同理g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24. 而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝144，所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×24＋223×144＝2＋474.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m .又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。
高考数学复习：解三角形 课件
sin C C－－ 23sin
C
＝
2
cos sin
CC＋
. 3
由△ABC 为锐角三角形，得 0<C<π2，0<B＝56π－C<π2，所以π3<C<π2，从而 tan C> 3，
(2020·枣庄二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a－b
cos C＝ 3c sinB. (1) 求角 B 的大小； (2) 若 a＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积 S 的取值范围．
【解答】 (1) 由题设条件及正弦定理，得 sin A－sin B cos C＝ 3sin Csin B.
第四章 三角函数与解三角形 第25讲 解三角形
链教材 ·夯基固本
激活思维
1. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2bcos B＝acos C
＋ccos A，则 B 的大小为( B )
π
π
A. 2
B. 3
π
π
C. 4
D. 6
【解析】 因为 2bcos B＝acos C＋ccos A，所以 2sin Bcos B＝sin B，解得 cos B＝12.
【解析】 由 b2＋c2－a2＝8，得 2bc cos A＝8，可知 A 为锐角，且 bc cos A＝4.由已 知及正弦定理得 sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，因为 sin B≠0，sin C≠0， 所以 sin A＝12，所以 A＝30°，所以 bc cos 30°＝4，即 bc＝833，故△ABC 的面积 S＝12bc sin A＝12×833×12＝233.
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析2019(含答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.5C.33D.255【解析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，55B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。
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第七节 解三角形应用举例1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题．[例1] (1)(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．(2)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ ③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答] (1)如图，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6 千米．(2)①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040 m.所以索道AB 的长为1 040 m.②假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 m.乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．[答案](1) 6测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°，∴AB ＝AC ，∴河宽为12AC ＝60 m.答案：60 m 2.如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21 km ，这时此车距离A 城多少千米？解：在△BCD 中，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，CD ＝21 km ，由余弦定理得cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以cos ∠ADC ＝17，sin ∠ADC ＝437，在△ACD 中，由条件知CD ＝21 km ，A ＝60°，所以sin ∠ACD ＝s in(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理ADsin ∠ACD ＝CD sin A ，所以AD ＝2132×5314＝15 km ，[例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答] 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40 m ，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) m.在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3) m.故塔高为103(3－3)米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为 6 km/h ，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了x m 时到达测得仰角最大的地方，则x tan 30°＝(40－x )tan 15°，即x 40－x ＝tan 15°tan 30°＝3tan 15°＝3tan(45°－30°)＝23－ 3. 解得x ＝10(3－3)．又v ＝6 km/h ＝100 m/min ，故所用时间t ＝－3100＝3－310min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了3－310分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α＝60°，在塔底C 处测得A 处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC 部分的高为24 3 m ，则山高CD ＝________m.解：由已知条件可得tan ∠BAD ＝BD AD ，tan ∠CAD ＝CD AD，则tan ∠BAC ＝tan(60°－45°)＝BD AD －CD AD 1＋BD AD ×CD AD＝BC ·AD AD 2＋BD ·CD ＝243·CD CD 2＋3＋CD CD ＝123123＋CD＝2－3，解得CD ＝(36＋123) m.答案：36＋12 3[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[自主解答] (1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t －＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3 海里/小时，即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇，如图所示．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10，又AC ＝30 t ，OC ＝vt ，故t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3 海里/小时．即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，即v 2＝900－600t ＋400t2.∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin30°＝21 14.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个步骤——解三角形应用题的一般步骤种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．个注意点——解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．。