9-3 数学分析全套课件
3-1 数学分析全套课件
例2 求证 lim a x 1 (a 1) . x 0
例3 证明：lim x2 1 . x1
例4
求证：lim x x0
sin
x
sin
x0;
sin x x tan x
0
x
π 2
.
| sin x || x | ( x R) .
y B
D
x
O CAx
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本次课内容
lim f (x) A lim f (x) A
§1 函数极限概念
已知生产 x 对汽车挡泥板成本为 c(x) 10 1 x2
每对售价为5元，求当产量很大时，多出售1对产品 利润增长额为多少，平均每对成本为多少
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一、x趋于时的函数极限 lim f (x)
x
1.概念
lim
n
xn
定义； 对于数列 { an } 若当 n 充分变大时, an
若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M ( b) 时 f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限, 记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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lim f (x) A
x
当 |x\充分大时, 函数f (x)无限地接近A
例4
求证 lim 1 0.
x 1 x
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定理 3.1 f ( x) 定义在 的一个邻域内，则
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
九年级第9单元第三课时课件
完成后先由小组内进行批改，然后全班级交流、反馈、订正。 总结提升
1.通过本节课的学习，你学会了什么？你还有哪些困惑的地 方？说出来大家一起解决。
2. 找一份存折或存单，看懂上面的每一栏，并从上面找到本金、 利率、时间，能计算到期后这份存折（存单）一共可取出多少元？
3．到银行存压岁钱。
玉门市官庄学校
班级：六年级 科目：数学
①需要知道哪些条件？
玉门市官庄学校
班级：六年级 科目：数学
②从银行取回的钱=（
姓名：
小组：
评价：
）○（
）
列式计算:
(5)我的发现： 本金=
利息=
时间=
探究点二：张叔叔把 20000 元人民币存入银行，整存整取 5 年，年 利率按 4.14％计算。张叔叔到期后可取回本金和利息共多少元？
时间：2012.9.20
编写：王忠明
审阅领导签字：
3．当堂检测： （1）.妈妈到银行存了 5000 元钱，存期一年，年利率为 2.25%， 到期应得本金和利息共多少元？
（2）.张明家有 5000 元计划存入银行三年，张明的妈妈想请我 们班的同学帮助算一算，是存定期三年合算？还是存定期一年，然 后连本带息再转存合算呢？
①说说自己的解题思路。 ②利用公式（
（3）. 什么叫本金、利息、利率？利息怎么计算？
使用说明及学法指导：
3．我的疑问：
请用 10 分钟左右的时间完成预习。阅读数学书 30 页的基础知识，
将预习过程中疑问标识出来，思考教材助读设置的问题，然后结合
课内探究
课本的基础知识，限时、独立完成预习自测，并把自己的疑惑填写
1．我思考，我收获
到后面“我的疑问”处。
班级：六年级 科目：数学
初三数学最新课件-九级数学三视图4 精品
宽相等”
3、基本几何体的三视图： （1）正方体的三视图都是正方形。
（2）圆柱的三视图中有两个是长方形，另 一个是圆。
（3）圆锥的三视图中有两个是三角形，另 一个是圆。
（4）棱锥的三视图中有两个是三角形，另 一个是正方形。 （5）球体的三视图都是圆形。
我相信你一定能 画出这个复杂几 何体的三视图！
练一练
1、画出下列立体图形的三视图。
2、指出左面三个平面图形是右面这个物体的三视图中 的哪个视图。
（ 正视图) （ 俯视图) （ 左视图)
正视图
练一练
左 视 图
俯视图
练一练
你能说出下面这个几何体的三视图吗？ 正视图
侧视图
俯视图
请画出如图所示的三视图
（A）
（1）
（2）
学到了什么？
实物图 立体图
试一试
你会画圆柱的三视图吗？试一试吧！
主视图
左视图
宽相 等
俯视图
宽相等:俯视图和左视 图共同反映了物体前 后方向的尺寸.
挑战自我
画出如图所示四棱锥的三视图。
正视图
左视图
俯视图
高平齐
长对正
主视图 俯视图
左视图
宽相等
理一理:
1、从正面看到的图形叫做主视图，从上 面看到的图形叫做俯视图，从左面看到的 图形叫做左视图。
动手设计
请画出下面立体图形的三视图。 俯视方向 注意：根据“长对正，高平齐，宽相等” 画 三视图必须遵循的法则作图。
画好后，请你自己参照课本65页的图3—21给自己画的 图打分，并把画得不够好的地方修改过来，加油！
辨一辨，说一说：
1、一个几何体的视图是唯一的，但从 视图反过来考虑几何体时，它有多种 可能性。请你举一些例子加以说明。
初三数学ppt课件
04 专题部分
运动问题
总结词：掌握运动问题的解题思路和数学模型，了解物理 运动和数学运动的概念和关系。
详细描述
1. 定义运动的概念和分类。
2. 分析匀速运动和变速运动的特征和公式。
一元二次方程
定义
一元二次方程是一个整式方程，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a≠0 。
解法
配方法、公式法、因式分解法
应用
解决实际问题，如计算面积、体积等
函数与图像
定义
函数是数学表达式的集合，它的 一般形式是y = f(x)，其中x是自 变量，y是因变量。图像是函数的
日常生活应用
初三数学中的许多概念和原理在日常生活中都有广泛的应用 。
初三数学的学习方法
01
制定学习计划
合理安排时间，设
定学习目标，保持
02
一定的学习节奏。
多做练习
通过大量的练习， 加深对知识点的理
解和记忆。
04
及时总结
定期对所学内容进
03
行总结和回顾，查
漏补缺。
积极思考
主动思考和解决问 题，不依赖他人，
不逃避困难。
初三数学的教学目标
掌握初中数学基础知识
确保学生掌握初中数学的基本概念、 原理和算法。
提高应用能力
为学生进入高中后的数学学习打下坚 实的基础。
培养数学思维
通过解决问题和分析案例，培养学生 的逻辑思维和分析能力。
为高中数学打下基础
管理学北师大版九年级数学下册通用课件第一章第一节锐角三角函数第二课时正弦余弦
A
A
B
C
C
DB
DB
中考链接
1.（2014•滨州）在 Rt△ ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA=
3 5
，则 BC
的长为（ A ）
A．6
B．7.5
C．8
D．12.5
2.（2014 广东汕尾）在 Rt△
ABC 中，∠C=90°，若
sinA=
3 5
，则 cosB
的值是（ B ）
A.45
B.35
6
在∠A+∠B=90°时，cosA=sinB 另外：cosA=sin(90°-A)
sinA=cos(90°-A)
随堂练习
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.
A
5 45
B
3
┌ 6D 3
C
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, sinA 4 .
练习
3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
( CD) ( AC) ( AD)
sinB=
.
( BC) (AB) (AC)
12 5
A 24
C
1 12 ┌
DB 6
4.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
cosA 2 5 5
练习
5、当∠A是锐角时，讨论tanA,sinA,cosA的取值范围分
C.34
D.43
中考链接
3.(2013 年深圳市)如图，已知 l1 // l2 // l3 ，相两条平行直线间的距离相
等，若等腰直角△ ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin
【实用】九年级数学3PPT文档
随堂练习P249
复习题A组
驶向胜利 的彼岸
想一想
?
3.在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知a=3,b=3,求∠A; (2)已知c=8,b=4,求a及∠A;; (3)已知c=8,∠A=450,求a及b .
把一根长为m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m时它 填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
举例说明三角函数在现实生活中的应用.
(2)sin14028′-tan42057′;
小1）结网离上在拓地线展付款面：在的我们高的网站度或 为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离.这样
∠α求就可以算出来了.请你算一算. (1)sin2305′+cos66055′;
离墙脚多远?
(2)如果竹竿上端顺墙下滑到高度处停止,那
么此时竹竿与地面所成锐角的大小是多少?
做一做P30 7
复习题A组
9. 如图,甲,乙两楼相距30m,甲楼高 40m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶,仰角为300 乙楼有多高?(结果精确到1m).
10. 如图,大楼高30m, 远处有一塔BC,某人在楼 底A处测得塔顶的仰角为 600,爬到楼顶D处测得塔 顶的仰角为300,求塔高BC 及大楼与塔之间的距离 AC(结果精确到0.01m).
小结 拓展
回味无穷
由锐角的三角函数值反求锐角
驶向胜利 的彼岸
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
9-3(2)素材文档
《计算机应用数学》教案有些线性方程组有无穷解，他们如何表示呢?重点讲解方法: 让学生理解什么是线性相关，什么是基础解系难点讲解方法: 基础解系的表示，通过向量的加减法来帮助学生会找基础解系授课对象课时安排章节题目 第9章9.3线性方程组（932）教学目标 向量组的线性相关；线性方程组的基础解系 教学重点 理解线性相关，基础解系 教学难点 基础解系的表示 教学方法 讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体占 八\、习题9.33.4.5教学过程:一、知识回顾线性方程组解的情况有哪些?二、新课导入三、新课内容1、线性相关定义9.19设叫叫川,％和O 都是n 维行（列）向量，若存在一组数/1"」2,川M m ，使得a =平1+32 +川W m %，则称向量《是向量组仆叫川,％的 线性组合或称a 可由向量组叫巴2,川,口皿线性表出.定义9.20设n 维向量％冬，川，若存在一组不全为零的实数 几1,几2川石，知识 小结 教后 札记 改进 措施1、向量组的线性相关;2、线性方程组的基础解系. f l 、已知务=丨0，I1°=|o 那么I I 1丿f 3 '=1 2能否用 IT 丿«1、a 2、a 3表示呢?AX = 0的解.性质2若©是方程组AX =0的一个解，则对任意常数AX = 0的解.3、线性方程组的通解定义9.22若齐次线性方程组AX =0的有限个解向量勺厂2(1) 勺,勺川，耳线性无关;使得［存勺+32 +川U m G m =0成立，则称向量组咎,〜,川,的线性相关•否则，称向量 组a 1,5,川,ct m 线性无关.由此可得，方程组(9.3.1 )有解的充要条件是P 可由向量组p 1,p 2,川P n 线性 表出.定义9.21在向量组a 1,^2, ill,%中，若有r 个向量(r<m)线性无关，而任意 1宀川, 添加一个向量(r 个向量之外还有的话)都是线性相关，则称这 r 个向量构成该向 量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组，数r 称为向量组的秩，记作：秩（8宀2,川，G m ） =r .例如，设向量组 ％ =(1,2,-1)，2 =(2,-3,1)，3 =(4,1,-1)，则容易看出｛80 102}，｛01,4｝，｛叫如是线性无关的，而｛01,02,5｝是线性相关的，也就是说｛%,02｝， 1宀2,G 2N 3｝都是极大无关组，由此说明：一个向量组的极大无关组可能不唯，但极大无关组所含向量个数是唯一的2、齐次线性方程组解的结构对于齐次线性方程组AX=O 的解，有以下两个性质: 性质1若耳和J 是方程组AX =0的任意两个解，则上1 +上2也是方程组k ，k ©也是方程组(2 )方程组AX =0的任意一个解X都能由J川弋线性表出,则称q,J川，4为齐次线性方程AX=0的一个基础解系.其中，t=n-r，r为方程组AX =0的系数矩阵的秩，n为方程组AX = 0的未知数个数.由定义9.22不难看出，齐次线性方程组的基础解系实质上就是该方程组的解向量组的一个极大无关组.定理9.12若齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A的秩R(A) = r v n，则方程组AX =0有非零解(无穷多个解)，这时它一定有基础解系，且基础解系含有n-r个解向量.由定理9.12可得：齐次线性方程组AX=0的全部解(通解)可由它的一个基础解系卸©,川，®』线性表出，即X = k J+ k^ 州1+ n k r・，其中，k i,k2,川,k n工为任意实数.注：方程组AX =0的基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数是相同的.如何求齐次线性方程组的通解，我们从定义9.22知道最重要的是求出AX=0 的基础解系，下面我们看个例子来说明如何求基础解系和通解【例题精讲】例1求证：任一n维向量a =(a1,a2^b n)是向量组含=（1,0,川,0），名2 =（0,1,川,0），…，名n =（0,0,川，1）的线性组合.证明：令= a1，卜乜=a，…，g = an，则有J =佝42,川an）勺育^2^2 +iH+a n g n =冷1 ”必+川+%£，即向量a是向量组茸容川严n的线性组合，或者说任意n维向量可由向量组耳严2,川，％线性2X 4 + X 2 + 3x 3 = 00，则有方程组 *3X 1+ 2X 2 + 2X 3 = 0M + X 2 - X 3 = 0例3讨论向量组的线性相关性.示方程组的通解.J 1 -2 3 -Pf-1 0 1 -3"『0 -1 3"0 1 -1 -1 「2^+3 ! 0 11 -1 -10 1 -1 -1 <0 -2 2 2> 10 0 0 0>0 0 0>2 3 4、1"1 23 4"2 3 4、0 2 0 r +2 ii >2走0 2 5 4 「2 ㈠「1 6 9 -3 0 1 -朽用T 0 169—»2541 4 0丿1 [0 -3 -2 —8丿〔-3 -2 —8丿C 2 3 4^1 「1 23 4"0 1 6913心)0 1 6 9 ，秩0 0 -7 -140 0 12(%, 503宀) =4,p 01619>1 〔00 0 —13丿解：以些,口2,«3,口4为行向量组的矩阵 A ，则1-1 -洛卡T-2 (2所以向量组 ％,(/2,口3,口4线性无关.t 34 -7 5"f-1 -23 -r0 1 -1 -11 3 Tu---- 、 0 1 -1 -1-1 -2 3T1 1 3 4 -7 5> 解：A ="1'例2 9.38讨论向量组a 1 ：= 3 ， Ct2 ：= 2 ，a3 = 2J 丿 1cb的系数行列式D = =0，即方程组有非零解，所以 a 1，-1O 1 =(123,4) , 5 =(-1,0,2,0)，a 3=(-2,3,0,1), «3 =(2,140)例4求齐次线性方程组3 +4x 2 -7x 3 +5x4 仪2 -X3 —X4 =0r1一片-2X 2 +3X 3 -x 4 =0=0的一个基础解系，并用该基础解系表的线性相关性. 解：设有一组数 x 1，x 2，x 3，使Xj q +)2+x 麥 =0」4>可得R （A ） =2 <4 = n ，则方程组有非零解，其同解方程组为'X, =X3 -3人X 2=X3+X 4 （其中X 3，X4为自由未知量）令X 3 =1,X 4 = 0,则有X i =1,X 2 =1,得到一个解向量 0 =【课堂练习】［为 一 2X 2 +X 3 +X 4 =0=0的一个基础解系，并用该基础解=0系表示方程组的通解.仁了-（其中 X 2，X3为自由未知量）.；又令 X 3 = 0, X 4 = 1，则有X i =-3,X 2 =1，又得到一个解向量f-31 0，从而得到所求的一个基础解系为所以，方程组的通解为 X +k 2©2 =k1例1求齐次线性方程组 徉-2X 2 +X 3 -X 4 * —2x 2 +x 3 +5^ 解：A = 彳-211 -2 1 1 -2 11 '-15丿-2 0 01 -2〔1 字亨）0 10-20 1 可得 R(A) =2 C4 = n ， 则方程组有非零解，其同解方程组为(其中 k 1,k^ R ).【问题思考】【知识小结］解方程组AX =0的步骤:(1)用初等行变换将系数矩阵 A 化成行简化阶梯形矩阵;(2) 将行简化阶梯形矩阵改写成方程组的形式，再写作矩阵方程的形式; (3) 直接写出基础解系和通解.【课后作业］习题9.34.5.6.四、板书设计令 X 2 =k i , X 3 =k 2，则有X i = 2 k i —k?X 2 =k i X 3 =k 2 X =0 % =2匕 +(-1)k 2 X 2 =伙 +0k 2 X 3 =0匕+你2 X4 = 0匕 + 0k 2所以，该方程组的通解为*—1、10 =k 1+ k 21 丿 0丿,0丿贝U 巴1，匸2就是我们所求的一个基础解系(其中 k i ,k^ R ).X iX 2X3令陰=课题课堂练习重点:难点:。
人教版九级数学下册全册优秀课件3
3. 、一次函数一般形式是y= kxb( k ≠0) ,
它的图象是一条 直线 .
反 比 例 函 数
一、新课引入
问题：下列问题中，变量间的对应关系可 用怎样的函数关系式表示？这些函数有什 么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463km，某次 列车平均速度v（单位:km/h）随此次 列车的全程运行时间t（单位:h）的变 化而变化：v 1463
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。 12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。失败。11、学会学习的人，是非常幸福的人。——米南德
变量 x 的取值范围是 x 0 .
2、反比例函数有时也写成ykx1 或 x y k
（k为常数，k≠0）的形式.
3、学习反思：
你有什么要 对同伴们说的？
四、强化训练
1(、A)下y列哪4x个等式中的y是x(B的) 反y 比 3例函数？ x
(C) y6x1
(D) xy123
2、反比例函数经过点（2，－3），则这个
t
7-3 数学分析全套课件
确界定理
6 柯西收敛准则
1 单调有界定理
5 聚点定理
2 区间套定理
4
3 有限覆盖定理
数集S 的一个聚点
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§2 上极限和下极限
一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质
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一、上(下)极限的基本概念
一、数列的聚点
1.定义 若数列 { xn } 满足: 在数 x0 的任何一个邻域
内均含有{ xn }中的无限多项, 则称 x0 是数列 { xn }
的一个聚点.
{ n}
{ (1)n }
n1
注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:
前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
限多个项”.
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2.结论
（1） x0 是数列 { xn}的聚点的一个充要条件是: 存在 { xn }的一个子列{ xnk }, 使 xnk x0, k .
例
求数列
{
sin
nπ 4
}
的聚点
（2） 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 聚点和最小聚点.
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二、数列的上、下极限
1.定义 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
求 lim (1)n n , lim (1)n n .
n
n 1 n
n1
求 lim sin n , lim sin n .
n 4 n 4
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2.性质 设{xn} {yn}为有界数列，则
《高等数学教学课件》9.2 9.3共30页文档
解： 2 z ( z ) 1, 2 z ( z ) 1
x y y x
y x x y
定理. 若 fx y(x),和 y fyx (x),都 y (在 x 0,y 0)连 点 , 续
则
fxy(x 0,y0)fyx(x 0,y0) (证明略)
例7. 设 zx3y23x3y x y1,
uv （3） z ln xy ；（ 4） z sin( xy ) cos 2 ( xy ); （5） z ln tan x ；（ 6） z ( 1 xy ) y ;
y
y
（7） z x z；（ 8） u arctan( x y )z
作业P69：1 (1)、(2)；2
第三节 全微分
第九章
z
z
xfx(x,y), yfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x,y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z x
)
2z x2
fxx(x,y);
z
2z
( )
y x x y
fxy(x,y)
z ()
x y
2z
yx
fy
x(
x,
y);
(
1,
(2x6)
2)
x 1
8
z
x1
13y
y2，
z y
( 1, 2 ) (32y) y2
7
例1: 求zx2sin2y的偏导. 数
z x
2xsin2y，
z y
2x2cos2y
例4. 求 r x2y2z2 的偏导数.
解:
r x 2
2x
x2 y2
初三数学最新课件-北师大九级数学第三章证明(三)第1课时 精品
A
E
D
O
B
C
——等腰三角形
6、已知:AD是△ABC的角平分线，CE∥AD 交BA的延长线于E，CF⊥AD交AB于F，交AD 于G. 求证：（1）△ACE是等腰三角形；
（2）AD是CF的垂直平分线.
——等腰三角形
有关的结论
300角所对的直角边等于斜边的一半
全等的判定定理HL
二、特殊线 1、线段的垂直平分线
性质定理 判定定理
三角形三边垂直平分线的 性质定理
性质定理 2、角的平分线 判定定理
三角形角平分线的性质定理
线段的垂直平分线 三、尺规作图（基本作图）
角的平分线
基本作图
作一条线段等于已知线段;
作一个角等于已知角; 作线段的垂直平分线; 作已知角的平分线; 已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形. 作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
NB P
O
A
M
——作图题
11.用尺规作一个450的角.
1 1高2的.已等知腰线三段角a形,求.这作个以等a为腰底三,角以形2有a 什为么
特征？
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 证明的规范性在于：条理清晰, 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
么PP’的长为多少？
A P'
P
B
C
——特殊线
9.如图,△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交 AB于E.
1 求证: BF FC
2
A E
九年级数学分析课件5篇
九年级数学分析课件5篇九年级数学的课件怎么写。
以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面小编给大家带来关于九年级数学分析课件，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
九年级数学分析课件（精选篇1）一、指导思想教材以数学课程标准为依据，吸收了教育学和心理学领域的最新研就成果，致力于改变聋生的数学学习方式，在课堂中推进素质教育，力求体现三个面向的指导思想。
目的是使学生体会数学与大自然及人类社会的密切联系；体会数学的价值，增强理解数学和运用数学的信心；初步学会应用数学的思维方式去观察，分析，解决日常生活中的问题；形成勇于探索，勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实和必要的应用技能。
二、教材分析教材内容包括以下部分:丰富的图形世界、有理数及其运算、字母表示数、平面图形及其位置关系、一元一次方程、生活众的数据、可能性等。
所有数学知识的学习，都力求从实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题入手，从而完成教学目标。
三、教学目标1.为学生构筑学习起点。
2.向学生提供现实、有趣、富有挑战的学习素材。
3.为学生提供探索、交流的时间和空间。
4.展现数学只是的形成与应用过程。
5.满足不同学生发展的需求。
四、学生情况分析本班共有46人，其中有一部分同学已形成了一定抽象思维能力、自学能力，接受新知识较快；通过自身努力，基本能掌握所学知识；成绩较差的，数学基本上还未入门，短时间很难赶上进度。
本学期针对本班学生状况，合理选择教法，科学指导学法，努力提高课堂教学效益，使全体学生各有所得，共同发展，完成教学任务，达到教学目标。
五、教学措施1.认真钻研教材，积极捕捉课改信息，尽力倡导自主、合作、探究学习，努力培养学生的学习兴趣和个性品质。
2.把握学生思想动态，及时与学生沟通，搞好师生关系。
3.充分利用课堂教学时间，帮助学生理解教学重难点，训练考点、热点，强化记忆，形成能力，提高成绩。
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称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
P74
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
n ,
1 x 1
n1
n
例2 判断下列函数在[0,1]的可积性
f( x)
0 , x 0,
sgn(sin
x
1 n
),
, 0
x
1
,
x
f( x) 1
n
1 sin 0,
,x x x
0 0,
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上次课内容
b a
f
( x)dx
F(x)
|ba
1 n i
1
lim f ( ) f ( x)dx
n n i1 n
0
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§3 可积条件
一、必要条件 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a ,b] 上可积，则 f 在[a ,b] 上必有界.
反之，不成立
狄若利克 雷 0函，数D(x0) ,在对任任何意区分间割[a, b] 上不可积.
本次课内容 一、可积的必要条件 可积 必有界.
二、可积的充要条件 0, 分割 T ,使
n
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、可积的充分条件 连续
有界且只有有限个间断点 [a, b] 上单凋
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例3 证明黎曼函数
R( x)
定理1（连续必可积）
x, xi
P21习题16
例若 f求在证[狄a,利b]克上雷连函续数，D则( x) f在在任何[a区, b间] 上[a,可b]积上.不可积.
定理2 f 在 [a, b]上有界，只有有限个间断点，
则 f 在 [a, b] 上 可积. 定理3 f 在 [a, b]上单凋，则 f 在 [a, b] 上 可积.