2.1.1曲线与方程

（2）y1=±k 即|x1|·|y1|=k，|x1|，|y1|正是点
M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条 直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.
由（1）（2）可知x y =±k是与两条坐标 的距离的积为常数k（k>0）的点的轨迹方程.
些在曲线c上，有些不在曲线c上 C. 一定有不在曲线c上的点，其坐标满足
方程f (x, y)＝0
2. m=－2是直线 (2－m )x＋my+3=0和
直线 x－my－3=0互相垂直的
_充__分__而__不__必__要__的__条__件_ .
（A） y2=x与y=x （B）y=x与 y / x=1 （C）｜y｜=｜x｜与y2=x2 （D）y=lgx2与y=2lgx
2. 如果命题“坐标满足方程f (x, y)＝ 0的点都在曲线c上”是不正确的，那 么下列命题正确的是（ C ）. A. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点都
不在曲线c上 B. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点有
距离的积是常数k（k>0） 的点的轨迹方程是xy=±k 的解.
RM OQ
图2.1-3
证明：
（1）如图2.1-3，设M（x0，y0）
是轨迹上的任一点. 因为点M与x轴的距离为|y0|，
RM
与y轴的距离为|x0|，所以
OQ
|x0| ·|y0|=k，即（x0，y0）是
方程 x y=±k的解.
如图2.1-3
导入新课
观察与分析
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面 的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥 曲线的夹角，会得到什么呢？
抛物线
双曲线
椭圆
观察与分析
如图：以上三个不垂直于圆锥轴的 平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不 同时，可以得到不同的截口曲线，他们 分别是抛物线，双曲线，和椭圆.
果点 M（x0，y0）是这条直线上的任一点，那 么，点 M（ x0，y0 ）
是方程 x - y=0的解.
M(x0，y0)
1）曲线上的点的坐标都是 这个方程的解;
反过来，如果（ x0，y0 ） 是方程x - y=0的解，即x0=y0，
那么以这个解为坐标的点到
M(x0，y0)
坐标轴的距离相等.
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲
因此我们通常把抛物线，双曲线和 椭圆统称为圆锥曲线.
圆锥曲线与科研、生活、以及 人类生活有着密切的关系.
早在16，17世纪之交，开普勒就 发现行星绕太阳运行是一个椭圆.
喷泉喷出 美丽的抛物线
发电厂冷却塔 的外形是双曲线
我们知道，在直角坐标系中，平分第一、 三象限的直线的方程是x - y=0，这就是说，如
线 上的点.
一般的，在直角坐标系中，如果 某曲线 C上的点与一个一元二次方程 : f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解; （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点. 那么，这个方程叫做曲线方程；这条 曲线叫做方程的曲线.
例1：
证明：与两条坐标轴的
课堂小结
“曲线方程”的概念 ：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点 那么，这个方程叫做曲线方程；
“方程的曲线”的概念 ：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点 那么，这条曲线叫做方程的曲线.
课堂练习
1.下面各对方程中表示的曲线相同的 一对是（ C ）.