2013届人教A版文科数学课时试题及解析(61)数系的扩充与复数的引入
2013届高考文科数学一轮复习考案11.5 数系的扩充与负数的引入
【答案】(1)C
(2)A
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选
题型3复数中的基本运算
例3 (1)设z=2- 3 i,则z3-4z2+5z-2的值为 (
3 (A)-6+2 i. 3 (C)6+2 i.
)
(B)-6-2 3 i.
3 (D)6-2 i.
a c, b d. a 0, b 0.
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
OZ (2)点Z(a,b)、向量 =(a,b)是复数z=a+bi(a,b∈R)的另外两种表示形
式,它们都是复数z的几何表示.这三者之间构成了一一对应的关系:
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离|OZ|
实数(b 0), 纯虚数(a 0), 复数a+bi(a,b∈R) 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0).
复数集、实数集、虚数集之间的包含关系的韦恩图形式:
3.复数相等
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选
两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,即a+bi=c+ di⇔ 特别地,a+bi=0⇔ (a,b,c,d∈R) 4.复数的几何意义 (1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫 做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴. 根据实轴、虚轴的规定,可以发现: ①a+bi(a,b∈R)为实数⇔对应点Z在x轴上; ②a+bi(a,b∈R)为纯虚数⇔对应点Z在去掉原点外的y轴上.
数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选修1211
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
数系的扩充与复数的引入
知识精要
复 数 ： 我 们 把 集 合 C = { a + b i a , b ∈ R }中 的 数 ， 即 形 如 a + b i（ a , b ∈ R ） 的 数 叫 做 复 数 ， 其 中 i叫 做 虚 数 单 位 ， 全 体 复 数 的 集 合 C叫 做 复 数 集 合 。 (1)i2 = −1, 复数集C和实数集R 之间有 (2)i可以与实数一起进行四则运算， (2)i可以与实数一起进行四则运算， 什么关系？ 并且加乘运算律不变。 答：R ⊆ C，即R是C的真子集。
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例 3 如果（x + y ) + ( y − 1)i = (2 x + 3 y ) + (2 y + 1)i， 求实数x, y的值.
解：由复数相等的定义（条件），得 x + y = 2x + 3 y, x = 4, 解得 y −1 = 2 y +1, y = −2.
练习： 练习：P52，1，2. ， ， P55，1，2. ， ，
三、本章知识结构框图
数系扩充 复数引入 复数的概念
复数代数形式的 四则运算
四、课时安排
3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时 3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时
§3.1 数系的扩充与复数的概念 本节要点
数系的扩充 复数的概念 复数的代数表示及复数相等的定义 复数的几何意义
教学情境设计
方程
x 2 + 1 = 0 在实数集中有解么？
答 ：无解
你能设想 一种方法， 使这个方 程有解么？
联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们可以考虑将实数系扩大。
数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。简要讲述数系扩 充的历史，人们为了计数，创造了自然数，1，2，3，…我们看到的自然 界中事物的个数都是自然数，如一支钢笔，三本书，后来人们为了方便将 0归入自然数。为了公平分配物质，引入了分数，如一个苹果平均分给三 个人，每个人得到多少苹果？为了表示各种具有相反意义的量以及满足记 数法的需要，人类引进了负数．如今天最低温度为零下3度，最高温度为8 度，就用到了负数。边长为1的正方形对角线之长不是分数，5开方开不尽， 不能用分数来表示，于是无理数出现了。数系扩充发展到了实数集了，这 是我们以前学到的非常熟悉的数集。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 含解析
03第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1有下列四个命题:①方程2x-5=0在自然数集N中无解;②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4∉N,故①正确;方程的解为x=52∈Q,x2=-5∈Z⊆Q,故②正确;②方程的解为x1=12③由i2=-1,知x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,故③正确;④x4=1在复数集C中的解的个数为4,故④不正确.i,8+5i,(1−√3)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为()2在2+√7,27A.0B.1C.2D.3i为纯虚数,8+5i为虚数,(1−√3)i为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2 2+√7为实数,27个.3若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A .12B.2C.0D.1,{x +y =0,x -1=0,解得{x =1,y =-1,则x+y=0. 故2x+y =20=1.4若z=(m 2-1)+(m-1)i(m ∈R )是纯虚数,则有( )A .m=±1B .m=-1C .m=1D .m ≠1z 是纯虚数,∴{m 2-1=0,m -1≠0,解得{m =±1,m ≠1.∴m=-1.故选B .5已知(3x+y )+(2x-y )i =(7x-5y )+3i,其中x ,y ∈R ,则x= ,y= .x ,y ∈R ,∴根据两个复数相等的充要条件,可得{3x +y =7x -5y ,2x -y =3,解得{x =94,y =32.6若4-3a-a 2i =a 2+4a i,则实数a= .,得{4-3a =a 2,-a 2=4a ,解得a=-4.47设z=(m 2-5m-6)+(m 2-2m-3)i(m ∈R ),当m= 时,z 为实数;当m= 时,z 为纯虚数.z 为实数时,由m 2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z 为纯虚数时,由{m 2-5m -6=0,m 2-2m -3≠0,得m=6.或-1 68已知x 2-y 2+2xy i =2i,则有序实数对(x ,y )= .,得{x 2-y 2=0,xy =1,解得{x=1,y =1或{x =-1,y =-1. 或(-1,-1)9若不等式m 2-(m 2-3m )i <(m 2-4m+3)i +10成立,求实数m 的值.,故它们都是实数,由此可列出关于m 的式子,求出m 的值.,得{m 2-3m =0,m 2-4m +3=0,m 2<10,即{m =0或m =3,m =3或m =1,|m |<√10.故m=3,即实数m 的值为3.10是否存在实数m 使复数z=(m 2-m-6)+(m 2+2m -15m 2-4)i 为纯虚数?若存在,求出m 的值;否则,请说明理由.m 使复数z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.m 使z 为纯虚数,则{m 2-m -6=0,m 2+2m -15m 2-4≠0.①② 由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立.故不存在实数m 使z 为纯虚数.能力提升1设C ={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C ,则下列结论正确的是( )A .A ∪B=CB .∁U A=BC .A ∩(∁U B )=⌀D .B ∪(∁U B )=C D 正确. 2若复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+√3isin m ,m 1=m 2,则m 等于( )A .k π(k ∈Z )B .2k π+π3(m ∈Z )C .2k π±π3(m ∈Z )D .2k π+π6(m ∈Z ) ,可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cos θ=√3,sin m =1.∴m =π+2m π,m ∈Z ,故选D .3若复数z =(sinθ-35)+(cosθ-45)i(m ∈R )是纯虚数,则ta n (θ-π4)的值为( ) A .-7 B .−17C.7D.−7或−17z 是纯虚数,所以满足实部为零,且虚部不为零,即{sinθ=35,cosθ≠45.因为sin θ=35,且cos θ≠45, 所以cos θ=−45,所以tan θ=−34,所以ta n (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-34-11-34=−7.4已知复数z=(a 2-1)+(a-2)i(a ∈R ),则“a=1”是“z 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a=1,则z=-i 为纯虚数;若z 为纯虚数,则a=±1.所以“a=1”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件.5设复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m )(m ∈R ),若z 是纯虚数,则m= .z 为纯虚数,∴{log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0,3-m >0.∴{m =4或m =-1,m <3,且m ≠2.∴m =−1.16已知复数z 1=m+(4+m )i(m ∈R ),z 2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R ),若z 1=z 2,则λ的取值范围是 .z 1=z 2,∴{m =2cosθ,4+m =λ+3cosθ.∴m =4−cos θ. 又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].7已知实数a ,x ,y 满足a 2+2a+2xy+(a+x-y )i =0,则点(x ,y )的轨迹方程是 .,{a 2+2a +2xy =0,a +x -y =0,消去a ,得x 2+y 2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.x-1)2+(y+1)2=2★8定义运算|a b c d |=mm −mm ,如果(m +m )+(m +3)i =|3x +2y i -y 1|,求实数m ,m 的值.|a b c d |=mm −mm ,得|3x +2y i -y 1|=3m +2m +m i,故有(x+y )+(x+3)i =3x+2y+y i . 因为x ,y 为实数,所以有{x +y =3x +2y ,x +3=y ,得{x =-1,y =2.★9已知关于x ,y 的方程组{(2x -1)+i =y -(3-y )i ,①(2x +ay )-(4x -y +b )i =9-8i ②有实数解,求实数a ,b 的值..①,得{2x -1=y ,1=-(3-y ),解得{x =52,y =4.代入②,得(5+4a )-(10-4+b )i =9-8i,则{5+4a =9,6+b =8.故{a =1,b =2.。
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
高中数学(人教A版)选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题(含详解)
A．0
B．2
C．－ 2i
D．2i
解析
32＋－23ii－
3－2i 2＋3i
i 2－3i i 2＋3i ＝ 2－3i ＋ 2＋3i
＝ i＋i＝2i.
答案 D
ab
1 －1
10．定义运算 c d ＝ad－ bc，则符合条件 z zi ＝ 4＋2i 的
复数 z 为( )
A ．3－i
B．1＋3i
C． 3＋i
D．1－3i
1 －1
解析 依题意知，
＝ zi ＋ z＝ 4＋ 2i，
z zi
∴ z(1＋i) ＝4＋ 2i.
4＋2i ∴ z＝ 1＋i ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A 11．复数 z＝a＋bi( a，b∈R)是方程 z2＝－ 3＋4i 的一个根，则 z
等于 ( )
A ．1±2i
B．－ 1±2i
C．1＋2i，或－ 1－2i
B．z2＝ x2＋y2
C．|z－ z |≥2x
D．|z|≤ |x|＋ |y|
解析 ∵z＝x＋yi ，(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi，∴ z－ z ＝2yi，
∴ |z－ z |＝|2y|≥2y，故 A、C 错． 又 z2＝ x2－ y2＋2xyi ≠x2＋y2，故 B 错．因此，正确答案为 D. 答案 D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填 在题中的横线上 )
D．2＋i ，或－ 2－i
解析 若按复数相等的充要条件去解方程组， 计算量很大， 本题 可采用验证的方法．∵ (1＋ 2i)2＝1＋4i＋(2i) 2＝－ 3＋4i，∴ z＝1＋2i
或－ 1－2i.
答案 C
12．对任意复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，i 为虚数单位，则下列结论
高中数学人教a版选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念【练习】().docx
数系的扩充和复数的概念1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定．[解析] 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0，且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 [答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D. 3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4 [答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.4．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A ．{π，2π3，4π3} B ．{π3，5π3} C ．{π，π6，11π6} D ．{π3，π，5π3} [答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0，∴cos α＝－1或12， ∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2[答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤0 [答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.7．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z ) D ．2k π＋π6(k ∈Z ) [答案] D[解析] 由复数相等的定义可知， ⎩⎨⎧ sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 8．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在 [答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4.9．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i [答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.10．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2 [答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25； 若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15； 若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2，∴p 2＝35； 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15. ∴p 3＝p 4<p 1<p 2.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10 ,?2z i i i+=-的复数 z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-4．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=5．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4B ．1C ．2D ．37．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --8．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( ) A ． 42i ＋ B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+9．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -10．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1BCD二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．15．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.16．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.17．已知i 为虚数单位，复数131iz i+=-，则复数z 的共轭复数是_______． 18．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________． 19．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．20．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．三、解答题21．已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z23．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 24．已知复数21(56)z m m m i =++++ （1）当实数m 为何值时，z 为实数； （2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.25．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数. （1）求复数z ； （2）求复数z 的模||z .26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．B解析：B 【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i+=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 3．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．C解析：C 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y 可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y=-⎧⎨=⎩ ┄②将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.7．B解析：B 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.8．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.9．C解析：C 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.10．D解析：D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可 解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b=-⎧⎨+=⎩ 实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<. 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.15．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值. 【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3. 【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.16．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1 【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=--- ∵2z 的实部是1- ∴2z 的虚部是1 故答案为1.17．【解析】由题意可得：则复数的共轭复数是故答案为 解析：12i --【解析】由题意可得：()()()()13113133241211122i i i i i iz i i i i +++++--+=====-+--+，则复数z 的共轭复数是12z i =--，故答案为12i --.18．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；19．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题解析：±3i 【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．20．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．(1)1279z z i =--;(2)121131010z i z =+. 【解析】【分析】由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【详解】(Ⅰ)因为()221552iz i -==+155(155)(34)3425i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010i +. 【点睛】复数代数形式的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.122222(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 23．（1）1z i =+（2）1.【解析】分析：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，由3z i +-和1z i+均为实数可得1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a b ==，从而可得结果；（2）由（1）知1z i =+，可得1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ，利用三角形面积公式可得结果.详解：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，则()33z i a b i i +-=++-，()112a b b a i z a bi i i ++-+==++， ∵3z i +-和1z i+均为实数， ∴1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1a b ==， 则所求复数1z i =+.（2）由（1）知1z i =+， 所以1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ， 所以12112ABC S ∆=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为1. 点睛：本题主要考查的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义，属于中档题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）3m =-或2m =-；（2）1m =-.【分析】（1）当复数的虚部为0时，z 为实数，求出m 的值即可；（2）当复数的实部为0，虚部不为0时，z 为纯虚数，求出m 的值即可.【详解】（1）若z 为实数，则2560m m ++=，解得3m =-或2m =-；（2）若z 为纯虚数，则210560m m m +=⎧⎨++≠⎩，解得1m =-. 【点睛】方法点睛：该题考查的时有关复数的分类，解题方法如下：（1）要明确复数为实数时满足虚部为0，列式求解；（2）要明确复数为纯虚数时满足实部为0虚部不为0，列式求解.25．（1）3i z =+（2【分析】（1）根据复数的类型确定b 的值，即可得出复数z ；（2）由模长公式求解即可.【详解】（1）33(1)z i bi i b i -=+-=+-z i -为实数10b ∴-=，则1b =3z i ∴=+（2）由（1）可知3i z =+，则||z ==【点睛】本题主要考查了根据复数的类型求参数以及求复数的模，属于中档题.26．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解； （2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.。
高中数学人教A版选修2-2：《数系的扩充与复数的引入》单元测试题 含解析
质量检测《数系的扩充与复数的引入》(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i是虚数单位，复数7－i3＋i＝()A．2＋i B．2－iC．－2＋i D．－2－i2．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，则a＝() A．－1 B．0C．1 D．23．若复数z满足z1－i＝i，其中i是虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i4．设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知(1－i)2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i6．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则2－zz等于()A．－1－2i B．－2＋i C．－1＋2i D．1＋2i7．已知复数z＝－12＋32i，则z＋|z|＝()A．－12－32i B．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i8．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A.12B．－12C.12i D．－12i9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是() A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数11．设z的共轭复数为z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()A．1 B．－iC．±1 D．±i12．已知复数z＝(x－2)＋y i(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是()A.32 B.33C.12 D. 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．15．设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝________.16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？(1)z是实数.(2)z是纯虚数．(3)z对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及z z .19．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．(1)若ω＝z2＋3z－4，求|ω|；(2)若z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求a，b的值．20．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．22．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.质量检测《数系的扩充与复数的引入》(参考答案)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋iD ．－2－i解析：选B 7－i3＋i＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i.2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝ ( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选Az ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A.4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 2i1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－z z等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i 解析：选C 由题意可得2－z z＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( ) A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32iD.12－32i解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12 C.12iD ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz 等于( ) A ．1 B ．－i C ．±1D ．±i解析：选D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z ＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以 为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx ≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i.∴(1＋2i) (a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i. 由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i.19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
2013年全国高考数学试题分类汇编数系的扩充与复数的引入
第十四章数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念1.(2013湖南,1,5分)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B2.(2013福建,1,5分)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C3.(2013江西,1,5分)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D4.(2013山东,1,5分)复数z＝(i为虚数单位),则|z|＝( )A.25B.C.5D.答案 C5.(2013四川,3,5分)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D答案 B6.(2013北京,4,5分)在复平面内,复数i(2－i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A7.(2013湖北,11,5分)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1＝2－3i,则z2＝.答案－2＋3i考点二复数的运算8.(2013课标全国Ⅰ,2,5分)＝( )A.－1－iB.－1＋iC.1＋iD.1－i答案 B9.(2013课标全国Ⅱ,2,5分)＝( )A.2B.2C.D.1答案C10.(2013陕西,6,5分)设z是复数,则下列命题中的假．命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0答案 C11.(2013安徽,1,5分)设i是虚数单位,若复数a－(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )A.－3B.－1C.1D.3答案 D12.(2013广东,3,5分)若i(x＋yi)＝3＋4i,x,y∈R,则复数x＋yi的模是( )A.2B.3C.4D.5答案 D13.(2013辽宁,2,5分)复数z＝的模为( )A. B. C. D.2答案 B14.(2013浙江,2,5分)已知i是虚数单位,则(2＋i)(3＋i)＝( )A.5－5iB.7－5iC.5＋5iD.7＋5i答案C15.(2013重庆,11,5分)设复数z＝1＋2i(i是虚数单位),则|z|＝.答案16.(2013天津,9,5分)i是虚数单位,复数(3＋i)(1－2i)＝.答案5－5i。
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(61)数系的扩充与复数的引入
课时作业 ( 六十一 )[第 61讲 数系的扩大与复数的引入[时间： 45 分钟分值： 100 分 ]基础热身1＋ i 3等于 (1． i 是虚数单位， ) A ． i B ．－ iC ．1＋ iD ．1－ i2． 已知复数 z 1＝ 2＋i ， z 2＝ 1－i ，则 z ＝ z 1·z 2 在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． i 是虚数单位，复数1－ 3i ＝ ()1－i]( )A ． 2－ iB ．2＋ iC ．－ 1－ 2iD ．－ 1＋2i2i ，则 | z |＝()4．若复数 z ＝ 1－i12A. 2B. 2C ． 1 D. 2能力提高1 1 115． i 为虚数单位， i ＋ i 3 ＋i 5 ＋ i 7＝ ( )A ． 0B ． 2iC ．－ 2iD ．4i6． 若 (x －i)i ＝ y ＋ 2i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi ＝ ( )A ．－ 2＋ iB ． 2＋ iC ． 1－ 2iD ． 1＋ 2ia － bi7．已知1－ i ＝ i(a ， b ∈R )，此中 i 为虚数单位，则 a －b ＝ ()A ．1B ．2C ．－ 2D ． 0 1 8．已知复数 z ＝ 1－ 2i ，那么 ＝ ()z5＋255－ 2 5A. 5 5 iB. 55 iC.1＋ 2i D. 1－ 2i5 5 5 59．若 i 为虚数单位，图 K61－ 1 中复平面内点Z 表示复数 z ，则表示复数z的点是 ()1 ＋ i图 K61－1 A ．E B ．F C ．G D ．H110． 复数 z 的共轭复数是 (i － 1)i ，则 z 2＝ ________.11． 设复数 z 知足 i(z ＋ 1)＝－ 3＋ 2i(i 为虚数单位 )，则 z 的实部是 ________．3－ i 2 ＝ ________.12．复数 1＋ i13．已知复数 z 知足 (z －2)i ＝1＋ i(i 是虚数单位 )，则复数 z 的模为 ________．14．(10 分 )若复数 z 1 与 z 2 在复平面上所对应的点对于 y 轴对称，且 z 1(3－ i) ＝ z 2(1 ＋3i) ，|z 1|＝ 2，求 z 1.15． (13 分)已知 m∈R，复数 z＝m m－2＋ (m2＋ 2m－ 3)i，当 m 为什么值时，m－ 1(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x＋ y＋3＝ 0 上．难点打破16．(12 分 )若虚数 z 同时知足以下两个条件：①5是实数；② z＋ 3 的实部与虚部互为z＋z相反数．这样的虚数能否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明原因．课时作业 (六十一 )【基础热身】1． D [ 分析 ] 由 1＋ i 3＝1＋ i 2·i ＝ 1－ i ，应选 D .2． D [ 分析 ] z ＝ z 1·z 2＝ (2＋ i)(1 －i )＝ 3－ i ，所以 z 对应的点在第四象限，应选D.1－ 3i ＝ 1－ 3i1＋ i ＝ 4－ 2i ＝ 2－i .3． A [ 分析 ] 1－i 1－ i 1＋ i 22i ＝2i 1＋ i ＝ |－ 1＋i |＝ 2，应选 D . 4． D [ 分析 ] 方法一： | z |＝ |z|＝ 1－ i 1－ i 1 ＋ i方法二： | z |＝ |z|＝ 2i |2i| ＝ 2 ＝ 2，应选 D .＝1 － i |1－ i| 2【能力提高】 5．A [分析 ] 6．B [分析 ] 7．B [分析 ]8．D [分析 ]1 1 1 1i＋ i 3＋ i 5＋ i 7＝－ i ＋i － i ＋ i ＝ 0，应选 A. 由题设得 xi ＋ 1＝ y ＋ 2i ，∴ x ＝ 2，y ＝ 1，即 x ＋ yi ＝ 2＋i .应选 B.由 a － bi ＝i 得 a － bi ＝ 1＋ i ，所以 a ＝ 1， b ＝－ 1，所以 a － b ＝ 2.应选B. 1－ i1 ＝ 1＝ 1－ 2i 1－ 2i 1 2 z 1＋2i ＝ 2＝ － i .1＋ 2i 1－ 2i 1＋ 2 5 5 9．D [ 分析 ] 由图中复平面内的点z ＝ 3＋ i 1－ i ＝ 2Z ，可知复数 z ＝ 3＋ i ，则复数 1＋ i 1＋ i 1－ i－i ，即对应的点应为 H ，应选 D .i211 i10.2[ 分析 ] 因为 (i － 1)i ＝－ 1－ i ，所以 z ＝－ 1＋ i ， z ＝－ 2i ，所以 z 2＝ － 2i ＝ 2.－ 3＋ 2i － 3i ＋ 2i 211． 1 [分析 ] 因为 z ＋ 1＝ i ＝i 2 ＝ 2＋ 3i ，所以 z ＝ 1＋ 3i ，故实部为 1.12．－ 3－ 4i [分析 ]3－ i 2＝ 3－ i 1－ i 2＝(1 －2i)2＝－ 3－ 4i .1＋i213. 10 [分析 ] 设 z ＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R )，由 (z － 2)i ＝ 1＋ i 得 ai － b － 2i ＝ 1 ＋ i ，所以 － b ＝ 1， a ＝ 3，a 2＋b 2＝ 9＋1＝ 10.解得 所以复数 z 的模为 |a ＋ bi|＝ a － 2＝ 1， b ＝－ 1，14． [解答 ] 设 z 1 ＝a ＋ bi(a ， b ∈ R )，则 z 2＝－ a ＋ bi ，∵ z 1(3－ i) ＝ z 2(1＋ 3i) ，且 |z 1|＝ 2，a ＋ bi 3－ i ＝ －a ＋ bi 1＋ 3i ， ∴a 2＋b 2＝2， a ＝ 1， a ＝－ 1，解得 或b ＝－ 1， b ＝ 1，则 z 1＝ 1－ i 或 z 1＝－ 1＋ i.15． [解答 ] (1)当 z 为实数时，则有 m 2＋ 2m － 3＝ 0 且 m － 1≠ 0，解得 m ＝－ 3，故当 m ＝－ 3 时， z ∈R .m m － 2 ＝ 0，(2)当 z 为纯虚数时，则有m － 1m 2＋2m － 3≠ 0，解得 m ＝ 0 或 m ＝2.∴当 m ＝ 0 或 m ＝2 时， z 为纯虚数．(3)当 z 对应的点位于复平面第二象限时，m m － 2则有 m － 1<0，m 2＋2m － 3>0 ，解得 m<－ 3 或 1<m<2，故当 m<－ 3 或 1<m<2 时， z 对应的点位于复平面的第二象限．(4)当 z 对应的点在直线x ＋ y ＋ 3＝ 0 上时，m m －22则有 ＋ (m ＋ 2m － 3)＋ 3＝0，2m m ＋ 2m － 4即＝ 0，解得 m ＝ 0 或 m ＝－ 1± 5，∴当 m ＝ 0 或 m ＝－ 1± 5时， z 对应的点在直线 x ＋y ＋ 3＝ 0 上． 【难点打破】16． [解答 ] 设 z ＝ a ＋ bi(a 、 b ∈R 且 b ≠ 0)，则 z ＋ 5＝( a ＋bi) ＋ 5za ＋ bi 5 2 ＋b 1－ 52 i ∈ R .＝ a 1＋ 22 ＋ba ＋b a又 z ＋ 3＝a ＋ 3＋ bi ，5依题意，有b 1－a 2＋b 2＝ 0，a ＋ 3＝－ b.a 2＋b 2＝ 5，又因为 b ≠ 0，所以b ＝－ a － 3.a ＝－ 1，a ＝－ 2，解之得或b ＝－ 2 b ＝－ 1.∴ z ＝－ 1－ 2i 或－ 2－ i.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>2．已知i 是虚数单位，则21ii=-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i --3．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --4．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -5．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是 （4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（ ） A ．5 B ．3C ．-5D ．-3 7．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D8．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16-B ．16C ．4-D ．49．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i - C ．3 D ．3i 10．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则yx的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________． 14．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 15．2320111i i i i ++++⋯+=_______________.16．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________. 17．已知复数z 和满足，且，则复数______．18．复数3ii 2z -=+在复平面内对应的点位于第__________象限． 19．已知虚数z 满足等式，则z=________20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.22．已知复数z 满足z =261ii-+-﹣4． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围． 23．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0． （1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值． 24．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位） （1）求z ； （2）若2a iz+为纯虚数，求实数a 的值． 25．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）． （1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部； （2）求复数5z z+的模． 26．已知复数()()21312i i z i-++=-.（1）求z 的共轭复数z ；（2）若1az b i +=-，求实数a ，b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．A解析：A【解析】因22(1)112i i iii+==-+-，故应选答案A．3．A解析：A【详解】因为13i(1+3)(1)4221i(1)(1)2i i iii i+-+===+++-，故选：A．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．4．C解析：C【分析】化简得到1322z i=+，故1322z i=-，得到答案.【详解】()12z i i⋅-=+，则()()()()2121313111222i ii iz ii i i++++====+--+，故1322z i=-，虚部为32-.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5．B解析：B【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．6．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值． 【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．7．D解析：D 【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可． 【详解】()()()2122211112i i i iz i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．8．C解析：C 【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-． 故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．9．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.10．C解析：C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．C解析：C 【分析】转化|2|3z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于22|2||2|=(2)=3z x yi x y -=-+-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴=联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++= 所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4 【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题 解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bc b d=-和复数的性质进行求解．【详解】∵1z iz i i i=+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+， 故答案为1i +． 【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题.15．0【分析】先利用等比数列的求和公式化简然后利用虚数单位的性质求解即可【详解】故答案为0【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质属于中档题解析：0 【分析】先利用等比数列的求和公式化简，然后利用虚数单位的性质求解即可. 【详解】()50342012232011111110111i ii i i i iii---++++⋯+====---, 故答案为0. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质，属于中档题.16．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4） 【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确； 对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确． ∴正确的命题是（2）（4）． 故答案为（2），（4）． 【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．17．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】 【分析】 本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。
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课时作业(六十一) [第61讲 数系的扩充与复数的引入]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1． i 是虚数单位，1＋i 3等于( )
A ．i
B ．－i
C ．1＋i
D ．1－i
2． 已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3． i 是虚数单位，复数1－3i 1－i
＝( ) A ．2－i B ．2＋i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i
4．若复数z ＝2i 1－i
，则|z |＝( ) A.12 B.22
C ．1 D. 2 能力提升 5． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i
7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i
6． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i
7． 已知a －b i 1－i
＝i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( ) A ．1 B ．2
C ．－2
D ．0
8．已知复数z ＝1－2i ，那么1z
＝( ) A.
55＋255i B.55－255
i C.15＋25i D.15－25i 9．若i 为虚数单位，图K61－1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H 10． 复数z 的共轭复数是(i －1)i ，则1z
2＝________. 11． 设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．
12．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－i 1＋i 2＝________. 13．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z 的模为________．
14．(10分)若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，
|z 1|＝2，求z 1.
15．(13分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 对应的点位于复平面第二象限；
(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
难点突破 16．(12分)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z
是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．
课时作业(六十一)
【基础热身】
1．D [解析] 由1＋i 3＝1＋i 2·i ＝1－i ，故选D .
2．D [解析] z ＝z 1·z 2＝(2＋i )(1－i )＝3－i ，所以z 对应的点在第四象限，故选D .
3．A [解析] 1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝4－2i 2＝2－i . 4．D [解析] 方法一：|z |＝|z|＝⎪⎪⎪⎪2i 1－i ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝|－1＋i |＝2，故选D . 方法二：|z |＝|z|＝⎪⎪⎪⎪2i 1－i ＝|2i ||1－i |＝22
＝2，故选D . 【能力提升】
5．A [解析] 1i ＋1i 3＋1i 5＋1i
7＝－i ＋i －i ＋i ＝0，故选A . 6．B [解析] 由题设得x i ＋1＝y ＋2i ，∴x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i .故选B .
7．B [解析] 由a －b i 1－i
＝i 得a －b i ＝1＋i ，所以a ＝1，b ＝－1，所以a －b ＝2.故选B . 8．D [解析] 1z ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝1－2i 1＋22＝15－25
i . 9．D [解析] 由图中复平面内的点Z ，可知复数z ＝3＋i ，则复数z 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝2－i ，即对应的点应为H ，故选D .
10.i 2 [解析] 因为(i －1)i ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ，z 2＝－2i ，所以1z 2＝1－2i ＝i 2
. 11．1 [解析] 因为z ＋1＝－3＋2i i ＝－3i ＋2i 2
i 2
＝2＋3i ，所以z ＝1＋3i ，故实部为1. 12．－3－4i [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣
⎡⎦⎤(3－i )(1－i )22＝(1－2i )2＝－3－4i . 13.10 [解析] 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由(z －2)i ＝1＋i 得a i －b －2i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a －2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－1，所以复数z 的模为|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝9＋1＝10. 14．[解答] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝－a ＋b i ，
∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1， 则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.
15．[解答] (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，解得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R . (2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧
m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，
解得m ＝0或m ＝2.
∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．
(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1<0，m 2＋2m －3>0，
解得m <－3或1<m <2，
故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．
(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，
则有m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)＋3＝0， 即m (m 2＋2m －4)m －1
＝0，解得m ＝0或m ＝－1±5， ∴当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
【难点突破】
16．[解答] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R 且b ≠0)，
则z ＋5z ＝(a ＋b i)＋5a ＋b i
＝a ⎝⎛⎭⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2i ∈R .
又z ＋3＝a ＋3＋b i ，
依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧
b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b . 又由于b ≠0，因此⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，b ＝－a －3. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1. ∴z ＝－1－2i 或－2－i.。