高考数学复习 拓展精练32【含答案】
高考数学专题7第32练.docx
第32练与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望] 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.常考题型精析题型一抛物线的定义及其应用例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于( )A.1B.2C.4D.8题型二抛物线的标准方程及几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 (2015·福建)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·长春模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高考题型精练1.(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.12B.23C.34D.432.(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )A.2± 3B.2＋ 3C.3±1D.3－14.(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.334B.938C.6332D.945.已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( ) A.3 B.2 C.4D.56.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A.－4 B.4 C.p 2D.－p 27.(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →，则p ＝________.9.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.10.已知抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，设过点N (2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线C 相交于点S ，T ，若S ，T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，则Q 点横坐标的取值范围为________.11.(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点.(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值.12.(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点.C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.答案精析第32练 与抛物线有关的热点问题常考题型精析例1 解 (1)由于A (－1,1)，F (1,0)，P 是抛物线上的任意一点，则|AP |＋|PF |≥|AF |＝22＋1＝5，从而知点P 到A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和的最小值为5，所以点P 到A (－1,1)的距离与P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值也为 5.(2)如图所示，自点B 作BQ 垂直于抛物线的准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时|P 1Q |＝|P 1F |，那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练1 A解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1. 例2 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0). 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2). ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.变式训练2 解 方法一 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)同方法一.(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 例3 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.变式训练3 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. 高考题型精练1.D [抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.]2.A [由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.] 3.A [依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.]4.D [由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.]5.A [如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2.d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号).而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.]6.A [①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2)， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.] 7.2＋1解析 ∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点， ∴C (a 2，－a )，F (a 2＋b ，b ). 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得b a ＝2＋1. 8.2 解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又A M →＝M B →，∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 9.56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p＝2， |AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |， ∴|AF |＝56，|BF |＝54. 10.(－∞，－6)解析 设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得直线ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y2＝－8x 联立，得ky 2＋8y ＋16k ＝0，y 1＋y 2＝－8k，y 1y 2＝16.因为直线l 与抛物线C 相交于S ，T 两点，所以Δ＝64－64k 2>0，再由y 1>0，y 2>0，则－8k>0，故－1<k <0.又线段ST 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋2，－4k ，所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 2－2.令y ＝0，得Q 点的横坐标为x Q ＝－2－4k 2<－6，故Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6). 11.(1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1) 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2， 故S 1S 2＝p 21p 22. 12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
2023年高考数学一轮复习精讲精练第32练 计数原理(解析版)
第32练 计数原理学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．1122CB ．1122C - C ．1222CD ．1222C -【答案】B 【详解】221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为1111112222C (1)C -=-. 故选：B.2．3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（ ） A ．72种 B ．64种 C ．48种 D ．36种【答案】D 【详解】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有22A 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有13A 种站法，剩下3个位置，站3名男生有33A 种站法，故不同的站法共有213233A A A 36=种.故选：D.3．已知()()()28280128111x x x a a x a x a x ++++++=++++，则2a 的值为（ ）A ．64B ．84C ．94D ．54【答案】B 【详解】()21x +展开式中2x 的系数为22C ，()31x +展开式中2x 的系数为23C ，……，()81x +展开式中2x 的系数为28C ，所以222222222345678C C C C C C C 1361015212884a =++++++=++++++=故选：B4．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种【答案】C 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有33A 32=，再将商、角插入4个空中，共有243A 36=种．故选：C ．5．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了6名教师支援新疆4个不同的地区，要求A ，B 两个地区各安排一人，剩下两个地区各安排两人，则不同的分派方法有（ ） A ．90种 B ．180种 C ．270种 D ．360种【答案】B 【详解】根据题意，分4步进行分析：①在6人中选出1人，安排在A 地区，有6种选法； ②在剩下5人中选出1人，安排在B 地区，有5种选法；③在剩下的4人中选出2人，安排在C 地区，有24C 6=（种）选法；④最后2人安排在D 地区，有1种选法； 则有6561180⨯⨯⨯=（种）安排方法． 故选：B6．在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（ ）A ．674-B ．675-C ．1080-D ．1485【答案】A 【详解】解：()5223x x --=55(3)(1)x x -+，则10x 的系数为1，2x 的系数为4443355255555(3)(3)(3)675C C C C C -+-+-=-，所以在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为6751674-+=-．故选：A ．7．在法国启蒙思想家狄德罗所著的《论盲人书简》一书中，向读者介绍了英国的盲人数学家桑德森发明的几何学研究盘，如下图所示，它是在刻着田字格的板上钉钉子，钉子钉在田字格的9个格点处，只要用手触摸钉子的位置和大小，就可以进行结构的研究．假设钉子有大、小两种，在田字格上至少有一个钉子、至多有两个钉子，且田字格的中心必须有一个钉子．如果钉子的不同排法代表不同的几何结构，那么按照这样的规则，共可以研究多少种不同的几何结构？（ ）A ．18B ．32C ．34D ．36【答案】C 【详解】第一类：若田字格上只有一个钉子，此钉子只能钉在田字格中心，可以有钉大、小两种，此类共有2种不同结构；第二类：若田字格上钉两个钉子，第一步：中心处必须钉钉子，有大、小两种可能，第二步：在其余8个位置选择一个位置钉钉子，此位置有大、小钉子两种选择，所以此类情况共有28232⨯⨯=种不同结构： 所以两类共有34种不同结构． 故选：C ．8．()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．25-B ．25C ．5-D ．5【答案】A 【详解】∵()2525551(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -+-----=+5(1)x -的展开式为()()55155C 11C ,0,1,2,...,5k kk k k kk T x x k --+=-=-=，令3k =，得()332251C 10x x -=-，则224(10)10x x x -=-，令2k =，得()223351C 10x x -=，则34(10)10x x x -=-， 令1k =，得()14451C 5x x -=-，∴()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为()()()1010525-+-+-=-.故选：A ．9．为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于2021年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙3所高校与5家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接1所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接1家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接1家用人单位，则不同的对接方案共有（ ） A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．80种【答案】C 【详解】若乙、丙高校各对接2家用人单位，则对接方案有125430C C ⋅=种；若乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位，则对接方案有131252C C C 40=种；综上所述：不同的对接方案共有304070+=种. 故选：C.10．2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）A ．25B ．13C ．16D ．14【答案】B 【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A 种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A 种 ,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A 1A 3= ， 故选：B 二、多选题11．身高各不相同的六位同学A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排照相，则说法正确的是（ ） A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B ．A 与C 同学不相邻，共有4245A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法 D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有654654A 2A A -+种站法 【答案】ABD 【详解】A ：6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，所以A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，故A 正确；B ：先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，所以共有44A 25A 种方法，故B 正确；C ：A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种， 将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，所以共有442A 48=种方法，故C 错误；D ：6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当C 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且C 在排尾时，有44A 种方法，所以A 在排头，C 在排尾的情况共有66A 552A -+-44A 种，故D 正确.故选：ABD12．已知()921f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的有（ ） A ．()f x 的展开式中的常数项为84 B ．()f x 的展开式中不含31x 的项 C ．()f x 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 D ．()f x 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 【答案】AC 【详解】因为921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式()921831991C C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以 当6796,C 84r T ===，A 正确；当7r =时，7739893C C =T x x-=，B 错误；()f x 的展开式中各项系数和为92，二项式系数之和为92，C 正确；根据二项式系数的性质可知，4599C =C 最大，所以，()f x 的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D 错误. 故选：AC. 三、解答题13．已知)n（n 为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.(1)求展开式中的第3项； (2)若1b a=，求展开式中的常数项. 【答案】(1)621512a b (2)2520 【解析】(1)依题意可得2256n =，解得8n =，则展开式的通项公式为：)()818C rrrr T -+=所以展开式中的第3项为)()622628C 1512a b =(2)由（1）及1b a=，则展开式的通项公式为：)(8882188C C rrrrrr rr T a---+⎛== ⎝⎭令820r -=，解得4r =则展开式中的常数项为)4448C 2520⎛= ⎝⎭14．某学习小组有4名男生和3名女生共7人．(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)576(2)432 【解析】(1)解：因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列， 再将4个男生全排列，然后由分步计数原理得：4444A A 576⋅=种不同的站法．(2)选出2名男生有24C 种选法，选出2名女生有23C 种选法，然后全排列有44A 种排法，再利用分步计数原理得：224434C C A 432⋅⋅=种不同的选派方法．15．今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中： (1)求摸出2个红球的概率；(2)设获得优惠券金额为X ，求X 的方差． 【答案】(1)310(2)261 【解析】(1)记事件A ：摸出2个红球.则()2325C 3C 10P A ==.(2)由题意可得：X 的可能取值为：0，20，50.则：()2225C 10C 10P X ===；()112325C C 620C 10P X ⋅===；()2325C 350C 10P X ===. 所以数学期望()1630205027101010E X =⨯+⨯+⨯=， 方差()()()()22216302720275027261101010D X =-⨯+-⨯+-⨯=.。
山东专用2021版高考数学一轮复习练案32高考大题规范解答系列二_三角函数含解析
[练案32］高考大题规范解答系列(二）——三角函数一、选择题1．（2020·南昌市模拟）函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)（0<ω<错误!,|φ｜〈错误!）的部分图象如图所示，A(0，错误!），C(2，0），并且AB∥x 轴．（1)求ω和φ的值；(2）求cos ∠ACB的值．[解析] （1)由已知得f（0）＝2sin φ＝错误!，又|φ|<错误!，所以φ＝错误!，所以f(x）＝2sin (ωx＋错误!）．因为f（2）＝0，即2sin (2ω＋错误!）＝0,所以2ω＋错误!＝kπ，k∈Z，解得ω＝错误!π－错误!，k∈Z，而0〈ω〈错误!，所以ω＝错误!.（2)由(1)知，f(x）＝2sin (错误!x＋错误!)，令f（x）＝错误!，得错误!x＋错误!＝2kπ＋错误!或错误!x＋错误!＝2kπ＋错误!，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z，由题图可知,B(1,3)．所以错误!＝（－2，错误!)，错误!＝(－1，错误!)，所以|错误!|＝错误!,｜错误!|＝2，所以cos ∠ACB＝错误!＝错误!＝错误!.2．（2020·内蒙古包头调考)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ）(A>0，ω>0，|φ|〈错误!)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为错误!，且图象上有一个最低点M(错误!，－3)．(1）求函数f（x)的解析式；（2)求函数f（x)在［0，π]上的单调递增区间．［解析］(1)由函数f（x)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为错误!，可知函数f（x）的最小正周期为T＝4×错误!＝π,所以ω＝错误!＝2。
又函数f（x)图象上有一个最低点M（错误!，－3)，｜φ｜<错误!，所以A＝3,2×错误!＋φ＝错误!＋2kπ（k∈Z)，即φ＝2kπ＋错误!(k∈Z）．由|φ｜<错误!，得φ＝错误!，所以f(x）＝3sin (2x＋错误!）．(2）由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z)，可得kπ－错误!≤x≤kπ＋π12(k∈Z）．又x∈［0，π］,所以函数f(x）在［0，π]上的单调递增区间为［0，错误!］，[错误!,π]．3．（2020·合肥市一检)已知函数f(x）＝cos 2x＋sin (2x－错误!）．(1)求函数f(x）的最小正周期；（2）若α∈(0，错误!）,f(α）＝错误!，求cos 2α。
2021高三数学(文)人教版一轮复习专练32 高考大题专练(三) 数列的综合运用 Word版含解析
专练32 高考大题专练(三) 数列的综合运用[基础强化]1．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln2，a 2＋a 3＝5ln2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .2．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{an }的通项公式；(2)求Sn ，并求Sn 的最小值．3．[2020·全国卷Ⅲ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m .4．[2020·河南信阳高三测试]设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n .(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＜16.5．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．专练32 高考大题专练(三) 数列的综合运用1．解析：(1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln2，所以2a 1＋3d ＝5ln2.又a 1＝ln2，所以d ＝ln2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln2.(2)因为e a 1＝e ln2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln2＝2， 所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n －1)． 2．解析：(1)设{an }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{an }的通项公式为an ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.。
高考数学冲刺复习 精练32 试题
智才艺州攀枝花市创界学校数学冲刺复习数学精练〔32〕1．点P 在曲线323+-=x x y 上挪动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是〔〕 A ．［0，2π］B ．［0，2π〕∪［43π,π)C ．［43π,π)D ．(2π,43π］2．{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，4515,55a S ==，那么过点34(3,),(4,)P a Q a 的直线的斜率是〔〕 A ．4B ．14C ．4-D ．14- 3．为等差数列，以表示的前n 项和，那么使得到达最大值的n 是()A.18B.19C.20D.21 4.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2012320102011+=S a ，2012320092010+=S a ，那么公比q 等于()A.3B.31 C.4 D.41 5设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，那么“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n∈N*都有a n+1＞a n 〞的〔〕〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分比要条件D ．既不充分又不必要条件6.设2a 是1b +和1b -的等比中项，那么64a b +的最大值为〔〕A ．10B ．7C ．5D ．107．设O 为坐标原点，(4,3),(12,5),OA OB OP OA OB λ=--=-=+，假设向量,OA OP 的夹角与,OP OB 的夹角相等，那么实数λ的值是 〔〕A ．135B ．53 C ．135±D ．53±8．如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其 中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对 的直角边重合．假设DB x DC y DA =⋅+⋅，那么x ，y 等于〔〕 A ．3,1x y ==B ．13,3x y =+=C ．2,3x y ==D ．3,13x y =+9．3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在()〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 10．假设△ABC 的内角A 满足322sin =A,那么sinA+cosA 等于 〔〕A ．315 B ．315-C ．35 D ．35-1B,2 A,3 C,4 C,5 A,6 C,7 A,8．B,9 C,10 A。
第32练 高考数学一轮复习模拟题 (解析版)
2021年高考数学一轮复习模拟题数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，∴集合A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：D．2．若复数z1对应复平面内的点（2，﹣3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．−513B．513C．−113D．113【解答】解：由题意，z1＝2﹣3i，又z1•z2＝1+i，∴z2=1+i2−3i =(1+i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=−113+513i，∴复数z2的虚部为513．故选：B ．3．在（2x +a ）5（其中a ≠0）的展开式中，x 2的系数与x 3的系数相同，则a 的值为（ ） A ．±12B ．12C ．﹣2D ．2【解答】解：在（2x +a ）5（其中a ≠0）的展开式中，通项T k +1=∁5k （2x ）5﹣ka k ，∵x 2的系数与x 3的系数相同，∴∁53•22•a 3=∁52•23a 2，又∵a ≠0， ∴a ＝2， 故选：D ．4．已知a →与b →均为单位向量，若b →⊥(2a →+b →)，则a →与b →的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【解答】解：设a →与b →的夹角为θ；因为a →与b →均为单位向量，∵b →⊥(2a →+b →)⇒b →•（2a →+b →）＝2a →•b →+b →2=0，∴2×1×1×cosθ+12＝0⇒cosθ=−12； 因为θ为向量的夹角，所以θ＝120°； 故选：D ．5．已知tan(α+π4)=−3，则sin2α＝（ ）A ．45B ．25 C ．−45D ．−4√55【解答】解：∵tan(α+π4)=−3，∴tanα+11−tanα=−3，解得tanα＝2，∴sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×222+1=45．故选：A．6．函数f(x)=cosx⋅ln(√x2+1−x)在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f(−x)=cos(−x)⋅ln(√x2+1+x)=−cosx⋅ln(√x2+1−x)=−f(x)，故函数f （x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又f(1)=cos1⋅ln(√2−1)＜0，故排除A．故选：B ．7．若直线xa +yb =1（a ＞0，b ＞0）过点（2，1），则2a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，2a+1b=1，则2a +b ＝（2a +b ）（2a +1b ）＝5+2b a+2a b≥5+4＝9，当且仅当2b a=2a b且2a+1b=1，即a ＝b ＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．8．已知A 1，A 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左，右顶点，F 为左焦点，以A 1A 2为直径的圆与双曲线C 的两条渐近线在x 轴上方，从左至右依次交于M ，N 两点，若FM ∥ON ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．2C ．2√33D ．√62【解答】解：A 1，A 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左，右顶点，F 为左焦点，以A 1A 2为直径的圆与双曲线C 的两条渐近线在x 轴上方，从左至右依次交于M ，N 两点， 若FM ∥ON ，可知三角形FMO 为等腰三角形，腰长为a ，底边为c ，底角为α，tanα=ba =√a 2−c24c2，即4a 2−c 2c 2=c 2−a 2a 2，解得e =ca=√2．故选：A ．二．多选题（共4小题）9．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著如图是2013﹣2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【解答】解：对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，这五年，出口总额比进口总额多，故B对；对于C ，2013﹣2014出口速率在增加，故C 错；对于D ，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D 对． 故选：ABD ．10．关于函数f （x ）＝3sin （2x −π3）+1（x ∈R ），下列命题正确的是（ ） A ．由f （x 1）＝f （x 2）＝1可得x 1﹣x 2 是π的整数倍 B ．y ＝f （x ） 的表达式可改写成f （x ）＝3cos （2x −5π6）+1C ．y ＝f （x ）的图象关于点（3π4，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π12对称【解答】解：A ．由f （x ）＝3sin （2x −π3）+1＝1得sin （2x −π3）＝0， 则函数的周期T ＝π，则x 1﹣x 2 是T2=π2的整数倍，故A 错误， B ．f （x ）＝3sin （2x −π3）+1＝3cos[π2−（2x −π3）]＝3cos （5π6−2x ）+1＝3cos （2x −5π6）+1，故B 正确， C ．当x =3π4时，sin （2×3π4−π3）＝sin （3π2−π3）＝sin 7π6=−12≠0，即函数关于（3π4，1）不对称，故C 错误，D ．当x =−π12时，sin[2×（−π12）−π3]＝sin （−π6−π3）＝sin （−π2）＝﹣1，是最小值，则y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π12对称，正确， 故正确的是BD ， 故选：BD ．11．设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为9√3，则（ ）A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x【解答】解：因为|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以FA ＝FB ，若∠ABD ＝90°可得FA ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p2，B 的横坐标为−p2，所以A 的横坐标为：3p2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |=√3p ， △ABF 的面积为9√3，即12（x A ﹣x B ）|y A |=12•（3p 2+p2）⋅√3p =9√3，解得：p ＝3，所以抛物线的方程为：y 2＝6x ，所以D 正确焦点坐标为：（32，0），所以焦点到准线的距离为：32×2＝3，所以C 正确； 此时A 的坐标：92，所以BF ＝AF ＝AB =92+32=6，所以A 不正确，故选：BCD ．12．已知三棱锥A ﹣BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD =√2，BC ＝1，CD =√3，则（ ） A ．三棱锥的外接球的体积为4π3B ．三棱锥的外接球的体积为8π3C ．三棱锥的体积的最大值为√36D ．三棱锥的体积的最大值为√3【解答】解：如图，∵BC ⊥CD ，BC ＝1，CD =√3， ∴BD ＝2， ∵AB ＝AD =√2， ∴AB ⊥AD ，∴BD 的中点O 为外接球球心， 故半径为1，体积为 4π3，当面ABD 与面CBD 相互垂直时，点A 到面BCD 的距离最大， 故此时三棱锥的体积最大，此时高为AO =12BD ＝1；其最大值为：13×1×12×BC ×CD =16×1×√3=√36． 故选：AC ．三．填空题（共4小题）13．设函数f （x ）={−x ，x ≤0x 2，x ＞0，若f （α）＝9，则α＝ ．【解答】解：由题意可得{α≤0−α=9或{α＞0α2=9∴α＝﹣9或α＝3 故答案为：﹣9或314．成都市某次高三统考，成绩X 经统计分析，近似服从正态分布X ～N （100，σ2），且P （86＜X ≤100）＝0.15，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为 ．【解答】解：根据正态分布X ～N （100，σ2），且P （86＜X ≤100）＝0.15，故P （100＜X ≤114）＝0.15，所以P （X ＞114）=12(1−0.30)=0.35．故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为8000×0.35＝2800．故答案为：2800．15．已知直线l ：y ＝kx 被圆C ：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4截得的弦长为2√3，则k ＝ ，圆C 上到直线l 的的距离为1的点有 个．【解答】解：由题得圆心C （1，﹣2），则圆心到直线l 的距离d ==√4−(√3)2，解得k =−34；因为d ＝1，r ＝2，则圆C 上到直线l 的距离为1的点应有3个，故答案为−34；3．16．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn 为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S20192019= ．【解答】解：依题意可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn=2n ．∴a 1+2a 2+⋯2n−1a n =n ⋅2n ．a 1+2a 2+⋯2n−1a n +2n a n+1=(n +1)⋅2n+1 ∴2n •a n +1＝（n +1）•2n +1﹣n •2n ∴a n ＝n +1，∴20192(2020+2)2019=1011，故答案为：1011． 四．解答题（共6小题）17．已知△ABC 满足 ，且b =√6，A =2π3，求sin C 的值及△ABC 的面积．从①B =π4，②a =√3，③a ＝3√2sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选①，由A +B +C ＝π可知，sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)=sin(2π3+π4)=sin2π3cos π4+cos2π3sin π4=√32×√22−12×√22=√6−√24； 由正弦定理有asinA =bsinB ，即asin2π3=√6sinπ4，解得a ＝3，∴S △ABC =12absinC =12×3×√6×√6−√24=9−3√34． 18．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 4＝26，且a 1，a 2，a 7成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =(−1)n+1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 511． 【解答】解：（1）设{a n }的公差为d ，d ≠0． 因为a 1，a 2，a 7 成等比数列， 所以a 22＝a 1a 7，即（a 1+d ）2＝a 1（a 1+6d ），整理得d 2﹣4da 1＝0． 又d ≠0，所以d ＝4a 1，① 又a 4＝a 1+3d ＝26，②联立①②，得{d =4a 1a 1+3d =26，解得{a 1=2d =8．所以a n ＝2+8（n ﹣1）＝8n ﹣6．（2）因为b n ＝（﹣1）n +1a n ＝（﹣1）n +1 （8n ﹣6）， T 511＝b 1+b 2+…+b 511＝2﹣10+18﹣26+…+4066﹣4074+4082＝（2﹣10）+（18﹣26）+…+（4066﹣4074）+4082 ＝（﹣8）×255+4082 ＝2042．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PE ＝3，求二面角D ﹣PE ﹣B 的余弦值．【解答】（I ）证明：由正方形ABCD 可得：AC ⊥BD ．由PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AC ． 又PO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面PBD ， AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）解：取AB 的中点O ，连接OM ，OE ．建立如图所示的空间直角坐标系．OP =√PE 2−OE 2=√5．O （0，0，0），B （2，2，0），E （0，2，0），D （﹣2，﹣2，0），P （0，0，√5）， DE →=（2，4，0），DP →=（2，2，√5），设平面DPE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•DE →=n →•DP →=0， ∴2x +4y ＝0，2x +2y +√5z ＝0， 取n →=（﹣2√5，√5，2）．同理可得平面PEB 的法向量m →=（0，√5，2）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√29⋅√9=3√2929．由图可知：二面角D ﹣PE ﹣B 的平面角为钝角．∴二面角D ﹣PE ﹣B 的余弦值为−3√2929．20．已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，点M （a ，0），N （0，b ），O （0，0），△OMN 的面积为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设A ，B 是x 轴上不同的两点，点A 在椭圆E 内（异于原点），点B 在椭圆E 外．若过点B 作斜率存在且不为0的直线与E 相交于不同的两点P ，Q ，且满足∠PAB +∠QAB ＝180°．求证：点A ，B 的横坐标之积为定值． 【解答】解：（1）由题得e =ca =√32，即c 2=34a 2，b 2=14a 2，S =12ab ＝4，解得a 2＝16，b 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为：x 216+y 24=1；（2）证明：设A （n ，0），B （m ，0），由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为：x ＝ty +m ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程：{x =ty +m x 2+4y 2−16=0，整理可得：（4+t 2）y 2+2tmy +m 2﹣16＝0，△＝4t 2m 2﹣4（4+t 2）（m 2﹣16）＞0，m 2＜4t 2+16， y 1+y 2=−2tm4+t 2，y 1y 2=m 2−164+t 2，x 1x 2＝t 2y 1y 2+tm （y 1+y 2）+m 2=t 2(m 2−16)−2t 2m 2+4m 2+t 2m 24+t 2=4m 2−16t 24+t 2；因为∠PAB +∠QAB ＝180°，所以k PA ＝﹣k QA ，即k PA +k QA ＝0， 而k PA +k QA =y 1x 1−n+y 2x 2−n=y 1ty 1+m−n+y 2ty 2+m−n=2ty 1y 2+(m−n)(y 1+y 2)(ty 1+m−n)(ty 2+m−n)=0，所以2t （m 2﹣16）+（m ﹣n ）（﹣2tm ）＝0，因为t ≠0， 所以m 2﹣16﹣m 2+mn ＝0， 所以可得mn ＝16，即证点A ，B 的横坐标之积为定值16．21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g(x)=f(x)+1e x ，若g(x)＞1x+1，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（I）当m＞0时，f′(x)=2x+2−mx+1=2(x+1)2−mx+1，x＞﹣1，令f′（x）＝0可得x=−√2m2−1（舍），或x=√2m2−1，当x∈(−1，√2m2−1)时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（√2m2−1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，（II）由题意可得，x2+2x−mln(x+1)＞1x+1−1e x在（0，+∞）上恒成立，（i）若m≤0，因为ln（x+1）＞0，则﹣mln（x+1）≥0，所以x2+2x−mln(x+1)−11+x +1e≥x2+2x−11+x+1e，令G（x）=x2+2x−11+x +1e x，x＞0，则G′（x）=2x+2+1(1+x)2−1e x，因为x＞0，所以0＜1e x ＜1，−1＜−1e x＜0，又因为2x+2+1(1+x)2＞2x+2＞2，∴G′（x）＞0在x＞0时恒成立，故G（x）在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）＞G（0）＝0，故当m≤0时，x2+2x−mln(x+1)−11+x +1e x≥x2+2x−11+x+1e x在（0，+∞）上恒成立，（ii）若m＞0，令H（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0，则H′（x）＝e x﹣1＞0，故H（x）（0，+∞）上单调递增，H（x）＞H（0）＝0，所以e x＞x+1＞0，所以11+x −1e＞0，由题意知，f（x）＞11+x −1e x（0，+∞）上恒成立，所以f（x）＞0（0，+∞）上恒成立，由（I）知f（x）min＝f（√2m2−1）且f（0）＝0，当√2m2−1＞0即m＞2时，f（x）在（0，√2m2−1）上单调递减，f（√2m2−1）＜f（0）＝0，不合题意，所以√2m2−1≤0即0＜m≤2，此时g（x）−11+x =x2+2x−mln(x+1)−11+x+1e x≥x2+2x−2ln(x+1)+1e x−11+x，令P（x）=x2+2x−2ln(x+1)+1e −11+x，x＞0，则P′（x）＝2x+2−2x+1−1e x+1(1+x)2＞2x+2−3x+1+1(1+x)2=2(x+1)3−3(x+1)+1(x+1)2＞2(x+1)2−3(x+1)+1(x+1)2=x(2x+1)(x+1)2＞0，∴P（x）在（0，+∞）上单调递增，P（x）＞P（0）＝0恒成立，综上可得，m的最大值为2．22．3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80）的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记X为来自B机器生产的产品数量，写出X 的分布列，并求X的数学期望；（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上合格合计附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2）≥k0）0.100.050.010.005k0 2.706 3.841 6.6357.879【解答】解：（1）从图中可知样本中优秀的产品有2件来自A生产线，3件来自B生产线，∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C22C52=0.1，P（X＝1）=C21C31C52=0.6，P（X＝2）=C32C52=0.3，∴X的分布列为：X012 P0.10.60.3∴E（X）＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．（2）由已知得2×2列联表为：A生产线的产品B生产线的产品合计良好以上61218合格14822合计202040∴K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(12×14−6×8)220×20×18×22=4011≈3.636＜3.841，∴不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用
学 习 资 料 专 题专题32 均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型. 1、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 4、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：n Q =5、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n=时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 【经典例题】例1.【2019届辽宁省辽南协作校高三一模】若lg lg 0a b +=且a b ≠，则21a b+的取值范围为（ ）A. )⎡+∞⎣B. ()+∞ C. )()3,⎡⋃+∞⎣D. )()3,⎡⋃+∞⎣【答案】A【解析】∵lg lg 0a b +=且a b ≠ ∴lg 0ab =，即1ab =.∴212ab b a a b ⎛⎫+⋅=+≥= ⎪⎝⎭2a b ==.∴21a b+的取值范围为)⎡+∞⎣ 故选A.例2.【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若直线平分圆，则的最小值为（ ）A.B. 2C.D.【答案】C则（当且仅当，即时取等号）.故选C ．例3.【2019届北京师范大学附中二模】已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（ ）A. 16B. 9C. 5D. 4 【答案】A【解析】∵，，成等差数列， ∴.∴，当且仅当且，即时等号成立.选A.例4.【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 例5.已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.【答案】【解析】分析：详解：因为，所以的最大值为.例6.【2019届广东省模拟（二）】已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值. 详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.例7．【2019届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：例8.【2019届北京市北京19中十月月考】已知正数,x y 满足22,x y +=则18y x+的最小值为_________. 【答案】9【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时，要合理配凑，如本题中将18y x+等价变形为182482x y x yy x y x+++=+，再利用基本不等式的条件（一正、二定、三相等）进行求解.例9.【2019届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】；【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面体为正四面体,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积法求得的一个等式,再利用基本不等式求得最小值.例10.【2019届湖南省株洲市统一检测二】已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.【精选精练】1．已知二次函数的值域为，则的最小值为( )A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】B故选：B．2．【2019届陕西省咸阳市三模】已知圆的半径为1，，，，为该圆上四个点，且，则面积的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．详解：如图所示，由知，ABDC为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，所以当AD是圆的直径时，面积的最大.∴当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值为.故答案为：A点睛：本题主要考查向量的平行四边形法则和基本不等式等基础知识.看到，联想到平行四边形法则，是解题的一个关键.平面向量里高考的高频考点有向量的加法法则、减法法则、平行四边形法则、基底法和坐标法等，要做到心中有数.3．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2019届河北省衡水金卷一模】已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（）A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】,又因为,,当且仅当x=y 时取等号,,即的最大值为,故选C.5．【2019届贵州省贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】∵∴由∴∴综上，可得.故选A ．6．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知（），则的最小值为（ ）A.B. 9C.D.【答案】B7．【2019届山东省天成大联考第二次】若，且，则的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.8．在ABC 中,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且2a c b +=,则角B 的取值范围是A. π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D点睛：本题考查了余弦定理和基本不等式的性质、三角函数的图象与性质等知识点的综合应用，解答中利用题设条件和余弦定理、基本不等式求得1cos 2B ≥，再利用三角函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．【2019届山西省一模】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∠APB=90°，∴由不等式可得∴故选：B10．【2019届安徽省宣城市第二次调研】已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．【答案】9+【解析】因为()()()2cos 0,2sin f x x f x x x f x =->-=-+=-'，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()()()211212,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b + ()14242999b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当b =时取等号. 11．已知直线恒过定点A ，则A 点的坐标为_______；若点A 在直线（，）上，则的最小值为_______.【答案】 （2,1）12.【2019年天津市十二校二模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.。
2020高考数学(理数)题海集训32 双曲线(30题含答案)
2020高考数学(理数)题海集训32 双曲线一、选择题1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212=1 B ．x 212－y 24=1 C.x 210－y 26=1 D ．x 26－y 210=12.若双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y=－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A ．x 22－y 28=1B ．x 24－y 2=1C ．x 24－y 216=1D ．x 2－y 24=14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 220=1 B.x 212－y 24=1 C.x 24－y 212=1 D.x 220－y 24=15.下列双曲线中，渐近线方程不是y=±34x 的是( )A.x 2144－y 281=1B.y 218－x 232=1C.y 29－x 216=1D.x 24－y 23=16.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A.一个点B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能7.过双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2=a 2的切线FM(切点为M)，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 58.已知椭圆方程13422=+y x ，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.39.已知F 是双曲线C ：x 2－y23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.3210.已知双曲线x 2a 2－y21－a2=1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( ) A.12 B.22 C.13 D.3311.若实数k 满足0<k<5，则曲线1161622=--k y x 与曲线151622=--y k x 的( ) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等12.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B ．12 C.23 D ．3213.已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ|=2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D ．5214.双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1=0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1等于( )A.32B.54C.55D.1415.设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A ．x±2y=0 B ．2x±y =0 C ．x±2y =0 D ．2x±y =016.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－4y 25=1 B.x 22－2y 25=1 C.x 24－y 25=1 D.x 216－y 220=117.已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2-6x ＋5=0相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.355 B.62 C.32 D.5518.双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)焦点分别为F 1，F 2，在双曲线C 右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 离心率为( )A. B. C.2 D.19.椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.2 D .320.若双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O 为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞二、填空题21.已知双曲线x 2m －y 23m =1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x2m=1的焦距等于4，则n=________．22.已知F 为双曲线C ：116922=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.23.双曲线x 2a 2－y 29=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=35x ，则a=________.24.已知F 1(-3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|-|PF 2|=2m-1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________.(填序号) ①2；②-1；③4；④-3.25.已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：191622=-y x 的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则PB A sin sin sin -的值等于________.26.已知双曲线1251622=-y x 的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2=16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN|-|MO|=________.27.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a)2＋y 2=c216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．28.已知F 为双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF →·NF →=0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．29.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p＞0)交于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．30.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，C 的左、右顶点分别为A 、B ，C 的右焦点为F ，记PAF α∠=，PBF β∠=，当co s ()5αβ+=-，且0PF A B ⋅=时，双曲线C 的离心率e= .答案解析1.答案为：A.解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c=4，a=2，b 2=12，即双曲线方程为x 24－y212=1，故选A.2.答案为：C ；解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±bax ，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x ，得ba =2，则b=2a ，则双曲线的离心率e=c a =a 2＋b 2a =a 2＋4a 2a =5aa= 5.故选C.3.答案为：D ；解析：因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA|=b ，|OA|=a ，所以ab=2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2=5，即b 2=4a 2，解得a 2=1，b 2=4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24=1，故选D.4.答案为：C ；解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±bax ，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得ba =3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2=16x 的准线x=－4上，可得c=4，即有a 2＋b 2=16，②由①②解得a=2，b=23，则双曲线的方程为x 24－y212=1.故选C.5.答案为：D ；6.C.解析：∵A 为⊙O 外一定点，P 为⊙O 上一动点线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则QA=QP ，则QA ﹣QO=QP ﹣QO=OP=R ，即动点Q 到两定点O 、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q 的轨迹是：以O ，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线,故选：C.7.答案为：A ；解析：连接OM.由题意知OM ⊥PF ，且|FM|=|PM|，∴|OP|=|OF|，∴∠OFP=45°，∴|OM|=|OF|·sin 45°，即a=c·22，∴e=ca= 2.故选A.8.答案为：C ；9.答案为：D ；解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ―→=(1,0)，PF ―→=(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→=0，所以AP ⊥PF ，所 10.答案为：B ；解析：∵c 2=a 2＋1－a 2=1，∴c=1，又c a =2，∴a=22，故选B.11.答案为：D ；12.答案为：D.解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x 轴，又PF⊥x 轴，所以AP⊥PF，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.故选D.13.答案为：A.解析：如图，连接PF 2，QF 2.由|PQ|=2|QF 1|，可设|QF 1|=m ，则|PQ|=2m ，|PF 1|=3m ；由|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=|PF 1|－2a=3m －2a ；由|QF 2|－|QF 1|=2a ，得|QF 2|=|QF 1|＋2a=m ＋2a. ∵点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2=|F 1F 2|2，|PQ|2＋|PF 2|2=|QF 2|2.由|PQ|2＋|PF 2|2=|QF 2|2，得(2m)2＋(3m －2a)2=(m ＋2a)2，解得m=43a ，∴|PF 1|=3m=4a ，|PF 2|=3m －2a=2a.∵|PF 1|2＋|PF 2|2=|F 1F 2|2，|F 1F 2|=2c ，∴(4a)2＋(2a)2=(2c)2，化简得c 2=5a 2，∴双曲线的离心率e=c2a2=5，故选A.14.答案为：C ；解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1=0垂直，所以b=2a.又|F 1A|=2|F 2A|，且|F 1A|－|F 2A|=2a ，所以|F 2A|=2a ，|F 1A|=4a ，而c 2=5a 2，得2c=25a ，所以cos ∠AF 2F 1=|F 1F 2|2＋|F 2A|2－|F 1A|22|F 1F 2||F 2A|=20a 2＋4a 2－16a 22×25a×2a =55，故选C.15.答案为：B ；解析：假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a.∵|F 1F 2|=2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2，∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2=16a 2＋4c 2－2×4a×2c×cos 30°，∴c 2－23ac ＋3a 2=0，∴e 2－23e ＋3=0，∴e=3，∴c a=3，∴c 2=3a 2，∴a 2＋b 2=3a 2，∴b 2=2a 2， ∴ba =2，∴双曲线的渐近线方程为2x±y =0，故选B.16.答案为：C ；解析：由题意可知e=c a =32，可得b a =52，取一条渐近线为y=ba x ，可得F 到渐近线y=b a x 的距离d=bca 2＋b2=b ， 在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM|=|OF|2－|MF|2=c 2－b 2=a ， 由题意可得12ab=5，联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y25=1.故选C.17.答案为：A ；18.C.19.解析：由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且a>0.∵4-a 2=a ＋2，∴a 2＋a-2=0，∴a=1或a=-2(舍去).故选A.答案为：A 20.答案为：C ；解析：由条件得|OP|2=2ab.又∵P 为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a 2，∴2b≥a.又∵c 2=a 2＋b 2≥a 2＋a 24=54a 2，∴e=c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.一、填空题21.答案为：5；解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x2－m=1，即a 2=－3m ，b 2=－m ，所以c 2=－3m －m=－4m=4，解得m=－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2=1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2=n －1=4或1－n=4，解得n=5或－3(舍去)．22.答案为：44；解析：由双曲线方程知，b=4，a=3，c=5，则虚轴长为8，则|PQ|=16.由左焦点F(-5，0)， 且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上. 由双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a ，|QF|-|QA|=2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|-(|PA|＋|QA|)=4a ，则|PF|＋|QF|=4a ＋|PQ|=4×3＋16=28， 故△PQF 的周长为28＋16=44. 23.答案为：5；解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29=1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±3a x.又双曲线的一条渐近线方程为y=35x ，∴a=5.24.答案为：①②；25.答案为：0.8;26.答案为：-1；27.答案为：2；解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=b a x ，由题意可知该切线方程为y=－ab(x －c)，即ax ＋by －ac=0.又圆(x －a)2＋y 2=c216的圆心为(a,0)，半径为c 4，则圆心到切线的距离d=|a 2－ac|a 2＋b 2=ac －a 2c =c 4，又e=c a ，则e 2－4e ＋4=0，解得e=2.28.答案为：2；解析：因为MF →·NF →=0，所以MF →⊥NF →.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN 为矩形，则有|MF|=|NF′|，|MN|=2c.不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF|=2a ，所以|MF|－|NF|=2a.因为S △MNF =12|MF|·|NF|=ab ，所以|MF|·|NF|=2ab.在Rt △MNF 中，|MF|2＋|NF|2=|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|=|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab =(2c)2，把c 2=a 2＋b 2代入，并整理，得b a =1，所以e=ca=1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2= 2.29.答案为：y=±22x ； 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|=y 1＋p 2，|BF|=y 2＋p 2，|OF|=p2，由|AF|＋|BF|=y 1＋p 2＋y 2＋p2=y 1＋y 2＋p=4|OF|=2p ，得y 1＋y 2=p.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2=0，所以y 1＋y 2=2pb 2a 2，所以2pb2a2=p ，即b 2a 2=12，故b a =22，所以双曲线的渐近线方程为y=±22x.30.答案为：e=2；。
新高考2023版高考数学一轮总复习练案33高考大题规范解答系列二__三角函数
高考大题规范解答系列(二)——三角函数A组基础巩固1．(2021·山东省实验中学第二次诊断，18)已知函数f(x)＝2·sincos＋sin 2x＋a的最大值为1.(1)求实数a的值；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．[解析] (1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，∴2＋a＝1，∴a＝－1.(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin－1＝2sin－1，∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即sin＝时，g(x)取最大值－1；当2x＋＝，即sin＝－1时，g(x)取最小值－3.2．(2020·浙江，18)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．[解析] 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．(1)由正弦定理得2sin B sin A＝sin A，故sin B＝，由题意得B＝.(2)由A＋B＋C＝π得C＝－A，由△ABC是锐角三角形得A∈.由cos C＝cos＝－cos A＋sin A得cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈.故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.3．(2020·全国Ⅱ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解析] 本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理．(1)解：由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，cos A＝.由于0<A<π，故A＝.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .即sin B－cos B＝，sin＝.由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．4．(2021·山东烟台一模，18)将函数f(x)＝sin x＋cos x图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sincos＝，c＝g，b＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin的图象，横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y＝2sin的图象，所以g(x)＝2sin.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)知，c＝g＝2.因为sincos＝cos2＝，所以cos＝±.又因为B∈(0，π)，所以B＋∈，当cos＝时，B＋＝，得B＝，此时由余弦定理可知，4＋a2－2×2a cos ＝12，所以a ＝＋，所以S△ABC＝×2×(＋)×sin ＝；当cos＝－时，B＋＝，得B＝，由勾股定理可得，a＝＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.综上，△ABC的面积为2或.5．(2021·山东泰安一模，18)已知函数f(x)＝sin x cos＋cos2x.(1)求f(x)在上的最值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sin B＋sin C的值．[解析] (1)f(x)＝sin x＋cos2x＝sin x cos x－sin2x＋cos2x＝sin 2x－＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.∵x∈，∴≤2x＋≤，∴≤sin≤1，∴当x∈时，f(x)min＝，f(x)max＝.(2)f＝sin＋＝1，则sin＝，∵A∈(0，π)，∴A＋∈，∴A＝.∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4.又a＝2，∴cos A＝＝＝＝，∴(b＋c)2＝24，∴b＋c＝2，又＝＝＝4，∴sin B＋sin C＝(b＋c)＝.6．(2021·湖北武汉3月质检，18)在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝.(1)若cos A cos C＝，求△ABC的面积；(2)试问＋＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明理由．[解析] (1)由B＝，得A＋C＝，则cos(A＋C)＝cos A cos C－sin A sin C，即＝cos A cos C－sin A sin C.又∵cos A cos C＝，∴sin A sin C＝，∵＝＝＝2，∴a＝2sin A，c＝2sin C，∴S△ABC＝ac sin B＝·2sin A·2sin C sin B＝4sin A sin B sin C＝4××＝.(2)假设＋＝1成立，∴a＋c＝ac，由余弦定理得6＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac，代入可得(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或－2(舍)，此时a＋c＝ac＝3，不满足a＋c≥2，∴＋＝1不成立．7．(2021·山东烟台一中期末，17)在条件：①(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，②a sin B＝b cos，③b sin ＝a sin B中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2， ，求△ABC 的面积．[解析] 若选①：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，又a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，a＝2，b＋c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝bc sin A＝×4×sin ＝.若选②：由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos.因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin A＝cos，化简得sin A＝cos A－sin A，即tan A＝，因为0<A<π，所以A＝.又因为a2＝b2＋c2－2bc cos ，所以bc＝＝，即bc＝24－12.所以S△ABC＝bc sin A＝×(24－12)×＝6－3.若选③：由正弦定理得sin B sin＝sin A sin B，因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin＝sin A，又因为B＋C＝π－A，所以cos ＝2sin cos，因为0<A<π，所以0<<，所以cos≠0，所以sin＝，即＝，所以A＝.则a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又a＝2，b＋c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝bc sin A＝×4×sin＝.8．(2021·广东韶关一模，17)在①cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，②cos 2B－3cos(A＋C)＝1，③b cos C＋c sin B＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1， ，求角B 的大小和b的最小值．[解析] 选择条件①：由cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，可得－cos(A＋B)＋cos A cos B－sin A cos B＝0，即－cos A cos B＋sin A sin B＋cos A cos B－sin A cos B＝0，即sin A sin B－sin A cos B＝0，因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac，因为ac≤2＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b2＝1－3ac≥1－＝，所以b≥，即b的最小值为.选择条件②：cos 2B－3cos(A＋C)＝1，可得2cos2B－1＋3cos B＝1，即2cos2B＋3cos B－2＝0，解得cos B＝或cos B＝－2(舍)，因为B∈(0，π)，所以B＝.下同①.选择条件③：b cos C＋c sin B＝a，由正弦定理可得sin B cos C＋sin C sin B＝sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，即sin C sin B＝cos B sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.下同①.。
高考数学复习 拓展精练30【含答案】
拓展精练 （30）1、①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“60B =︒”是“,,A B C 三个角成等差数列”的充要条件；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件. 以上说法中，判断错误．．的有___________. 2、三角形两条边长分别为3c m ，5c m ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x -6=0的根，则此三角形的面积是__________3、等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-=4、直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是5、(12分)给定两个命题，p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围． 6、(12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅=． (1)求ABC ∆的面积； (2)若6b c +=，求a 的值．7、(14分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.(1)引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？(参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，)8、(14分)已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程． 9、(14分)等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 且数列{}n a 各项均为正数. (1)求{}n a 的通项； (2)求{}n nS 的前n 项和n T .10、(14分)已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0(OA OB O +=为坐标原点)，0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于.22(1)求直线AB 的方程； (2)若2ABF ∆的面积等于24，求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，椭圆上是否存在点M 使得MAB ∆的面积等于38？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案1. _③④______2.____ 6cm 2_____ 3.____10_____ 4. (—32, 31) 5．（12分）解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或40<≤⇔a ； 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ； 因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假．所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”．p 真q 假，有44141,40<<∴><≤a a a 且； p 假q 真，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ． 6、（12分）解析：（I ）因为25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=7、（本题14分）解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，设纯收入与年数n 的关系为f(n),则f(n)=21n-[2n+(1)22n n -⨯]-25=20n-n 2-25 由f(n)>0得n 2-20n+25<0 解得1053n 1053-<<+又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 （2）年平均收入为n )n (f =20-25(n )202510n+≤-⨯= 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。
2022学年高三数学 拓展精练31
数学知识复习拓展精练 （31）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R A B ∩=A {}|11x x -≤≤B {}|11x x -≤<CD {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（为虚数单位）为非纯虚数，则实数不可能．．．为 A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线4y x x P =-上点处的切线平行于直线32y x =+，那么点()0,1-()1,0-sin 2cos2y x x=+cos 2sin 2y x x =+cos 2sin 2y x x=-sin 2cos 2y x x=-cos sin y x x=8CPA x=()y f x =8 为两条不同的直线，且，m ，有如下的两个命题：①若∥，则∥m；②若⊥m，则⊥．那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为，()()b B a A ,0,0,，当AB FB ⊥时，则该双曲线的离心率等于A215+ B C 51- D 51+ 10在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，则称函数为阶格点函数对下列4个函数：①()cos()2f x x π=--；②1()()3x f x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+其中是一阶格点函数的有 A ．①③ B ②③ C ③④ D ①④y y y yxxxxAPBOA ．B ．C ．D ．参考答案。
高考数学复习 拓展精练33【含答案】
拓展精练 （33）1.命题“022,2≤++∈∃x x R x ”的否定是：_______________ 2．若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为 ．3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块.4.过抛物线X 2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B 两点，A,B 在x 轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为212则p=______5.曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)与F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：（1）曲线C 过坐标原点；（2）曲线C 关于坐标原点对称；（3）若点p 在曲线C 上，则三角形F 1PF 2的面积不大于221a 。
其中所有正确结论的序号是______ 6．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．7（本题满分12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台.每批都购入x 台（x∈N *），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由.8. （本题满分12分） 命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：函数x a x f )23()(-=是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围；9．（本题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1， ∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .10．（本题满分13分）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式。
高考数学考前突击练32含详解A 试题
高三数学强化训练〔32〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1．假设100≤≤a ，那么满足a sin a 的个数是〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕 4 〔D 〕52．假设)(x f 是奇函数，且当x >0时，x x x f sin )(2+=，那么当x R ∈时，)(x f 为〔A 〕x x sin 2+ 〔B 〕x x sin 2- 〔C 〕|x |x x sin + 〔D 〕|x |x x sin - 3．函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，那么θ等于〔A 〕πk〔B 〕 6ππ+k〔C 〕3ππ+k〔D 〕3ππ-k4．假如圆222k y x =+至少覆盖函数kx x f πsin3)(=的一个最大值点和一个最小值点，那么k 的取值范围是〔A 〕3||≥k 〔B 〕2||≥k 〔C 〕1||≥k 〔D 〕2||1≤≤k 5．用][x 表示不超过实数x 的最大整数。
那么]2000[sin ]30[sin ]20[sin ]10[sin ︒++︒+︒+︒ = 。
6．设ααsin cos +=x ，且0cos sin 33>+αα，那么x 的取值范围是7．在锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 〔Ⅰ〕求证B A tan 2tan =； 〔Ⅱ〕设AB =3，求AB 边上的高.8．设函数)(x f = a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R.(1)假设31)(-=x f 且x ∈[－3π，3π]，求x ；〔2〕假设函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=)(x f 的图象，务实数m 、n 的值.参考答案C CD B -81 ]2,0(7.略解〔Ⅰ〕证明：.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =〔Ⅱ〕解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+=+B A B A 所以 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理后解得262tan ±=B ，舍去负值，∴ .62tan 2tan +==B A 设AB 边上的高为CD .由AB=AD+DB=622tan tan +=+CDB CD A CD 得CD=2+6. 8.略解：〔Ⅰ〕依题设，)(x f =2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由31)(-=x f ，得23)62sin(-=+πx ，∵33ππ≤≤-x ∴4π-=x .〔Ⅱ〕函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)平移后得到函数n m x y +-=)(2sin 2的图象，即函数y=)(x f 的图象. 由〔Ⅰ〕得 )(x f =2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=12π-，n=1.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021-2022年高考数学复习 拓展精练31
2021年高考数学复习拓展精练311．命题P：.则为 .2. 高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为 .3.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a＝。
若要从身高在[ 120 , 130），[130 ， 140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为。
4. 有以下四个命题:①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于2的点的轨迹为椭圆；④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．其中真命题是。
5、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中).如图,设点是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a= ,b=6.（12分）如下图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的的值，（I）请把该程序框图对应的程序补充完整；（Ⅱ）若视为自变量，为函数值，试写出函数的解析式；（Ⅲ）若要使输入的的值与输出的的值相等,求输入的值的集合。
Input x（1） thenY=x^2ElseIfx<=5 then（2）7. （12分）（1）已知椭圆以点(-1,0)， (1,0) 为焦点且短轴长为2，求椭圆的标准方程.（2）求与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32， 2)的双曲线方程．8.（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（I）求x,y ;（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练32(含解析)
2021年高考数学一轮复习 题组层级快练32（含解析）1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a ||b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a ||b |答案 B解析 |a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，故B 错误．2．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B. 2 C.22D.32答案 C解析 ∵a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.选C.3．(xx·山东文)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案 B解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意．4．(xx·重庆理)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3 D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.5．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·(a －b )＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×3×(－32)＝7.故选C. 6．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.7．已知向量a ＝(1,2)，a·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．25答案 C解析 由a ＝(1,2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20. ∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.8．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：( )p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3)； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π]； p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3)； p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]．其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析 |a ＋b |>1⇔(a ＋b )2>1，而(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，解得θ∈[0，2π3)，同理，由|a －b |>1⇔(a －b )2>1，可得θ∈(π3，π]．9．已知向量a ，b 是非零向量，且满足a ·b ＝－|b |，则“|a |＝1”是“向量a 与b 反向”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |， ∴|a |cos 〈a ，b 〉＝－1.若|a |＝1，则cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，∴a 与b 反向． 若a 与b 反向，则cos 〈a ，b 〉＝－1，∴|a |＝1.10．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.11．(xx·陕西文)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝________.答案 12解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b ＝0，所以sin2θ－cos 2θ＝0,2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.12．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案 2 5解析 方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|，知x 2＋y 2＝10.又OA →·OB →＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1，或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB →|＝2 5.13．(xx·济南模拟)已知在△ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为π6，|AC →|＝2，则|AB →|的取值范围是________．答案 (0,2)解析 由向量AB →与BC →的夹角为π6，可得B ＝5π6.在△ABC 中，由正弦定理，可知|AC |sin B ＝|AB |sin C ，所以|AB |＝|AC |sin C sin B ＝2sin C sin5π6＝4sin C .因为B ＝5π6，所以C ∈(0，π6)，所以sin C ∈(0，12)，因此|AB →|的取值范围为(0,2)．14．(xx·新课标全国Ⅰ理)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点．∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.15．(xx·江西理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b方向上的投影为________．答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝a·b |b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos〈a ，b 〉＝52.16．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．17．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 1,1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．设E (1，a )(0≤a ≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1,0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1.故DE →·DC →的最大值为1.18．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．答案 (－7，－142)∪(－142，－12) 解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得2t e 1＋7e 2·e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 化简即得2t 2＋15t ＋7<0， 解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 19．(xx·浙江余杭高中期中)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)若向量n 与向量q ＝(1,0)的夹角为π2，向量p ＝(2sin A,4cos 2A 2)，求|2n ＋p |的值． 答案 (1)n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1) (2)2解析 (1)设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.① ∵m·n ＝|m|·|n|cos 34π＝－1，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.即n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．(2)由n 与q 垂直，得n ＝(0，－1)．∴2n ＋p ＝(2sin A,4cos 2A2－2)＝(2sin A,2cos A )．∴|2n ＋p |＝4sin 2A ＋4cos 2A ＝2.1．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 由题意，得|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]．故填[π6，5π6]．2．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·CD →＝________. 答案152解析 如图所示，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.3．(xx·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC→|·|BD →|＝12×5×25＝5，选C.4．(xx·大纲全国理)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22答案 B解析 利用向量的运算列式求解．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ·a ＝0，2a ＋b·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，①2a·b ＋b 2＝0，②将①×2－②，得2a 2－b 2＝0.∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.5．(xx·海淀区期末)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a∥bD ．a －b 与b 垂直答案 D 35085 890D 褍23198 5A9E 媞27579 6BBB 殻29449 7309 猉^zlY39188 9914 餔40527 9E4F 鹏%25877 6515 攕 38741 9755 靕。
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拓展精练 （32）
1．“a =3”是“直线ax －2y －1=0”与“直线6x －4y +c =0平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．设实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则目标函数y x z +=
（ ）
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
3．双曲线22
1916
x y -=的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是 . 4. 已知椭圆5522=+ky x 的一个焦点为)2,0(,则实数k 的值为_______.
5．已知命题6:2≥-x x p ，Z x q ∈:，则使得“p 且q ”与“非q ”同时为假命题的所有x 组成的集合M ＝
6.将一个球置于圆柱内，球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，若球体积为1V ，圆柱体积为2V ，则1V ︰2V = 。
7.（本小题满分10分）已知命题1:
03
x P x +≥-，命题:|1|12x Q -<，若P 是真命题，Q 是假命题，求实数x 的取值范围。
8． （本题满分12分）已知椭圆x y 2
29
1+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。
求：弦AB 的长。
9．（本题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直
线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
10．（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4
，
AA 1＝4，AB=5，点D 是AB 的中点。
（1）求证：1BC AC ⊥；
（2）求证：1AC //平面1CDB ．
参考答案
BB
3． x y 202= 4． 1 5． {−1, 0, 1, 2} 6． 32 7由P 得31x >≤或－
，由Q 得0<x<4，P 真Q 假则有31x >≤或－和04x x ≤≥或同时成立，所以41x x x ≥≤-的取值范围是或
8. a b c ===3122,,
∴=
++-=++=+=-=∴=+-=
+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥==+=-直线的方程为代入得则··A B y x x
y x x x x x x A B k x x x x x M 3322990412
215032154
111332415422332
22212122212212().,||()()()() 9.解：（1）直线AB 的方程是,05x 4px 2y ),2(22222=+-=-=p px p x y 联立，从而有与 所以：4
521p x x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=
第一节 由p=4，05422=+-p px x ，
化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24)
设)24,4()22,1(),(3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ8
（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或
10.解：（1）111C B A ABC - 为直三棱柱，⊥∴C C 1平面ABC ，
⊂AC 平面ABC AC C C ⊥∴1
5,4,3===AB BC AC ，222BC AC AB +=∴，CB AC ⊥∴ 又C CB C C =⋂1，⊥∴AC 平面B CB C 11，⊂1BC 平面B CB C 11，1BC AC ⊥∴
（2）设E BC CB =⋂11，11CBB C 为平行四边形，E ∴为B C 1的中点
阶段又D 为AB 中点，1AC ∴∥DE
⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB。