高考数学二轮复习 专题11 空间几何体教学案 理
高中数学空间立体几何教案
高中数学空间立体几何教案
教学目标：
1. 理解空间几何的基本概念和性质；
2. 掌握空间几何基本的计算方法；
3. 能够分析和解决空间几何问题。
教学内容：
1. 空间中的点、线、面的性质；
2. 空间中的直线、射影、平面的位置关系；
3. 空间中的角、平行线和垂直线的性质；
4. 空间中的立体图形的基本概念和性质。
教学重点：
1. 点、线、面的性质；
2. 直线、射影、平面的位置关系；
3. 角、平行线和垂直线的性质。
教学难点：
1. 空间中的立体图形的性质；
2. 空间几何问题的解决方法。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：尺规，直尺，三角尺，平面图形模型等。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入空间几何的基本概念，让学生了解空间几何的重要性和应用。
二、讲解基础知识（15分钟）
1. 点、线、面的性质；
2. 直线、射影、平面的位置关系；
3. 角、平行线和垂直线的性质。
三、案例分析（20分钟）
1. 利用基础知识解决一些简单的空间几何问题；
2. 引导学生进行思考和讨论，提高他们的空间思维能力。
四、练习与作业（10分钟）
分发练习题，让学生独立完成，并布置相关作业。
五、总结与反思（5分钟）
对本节课的内容进行总结，并鼓励学生在家中进行深入的思考。
六、拓展延伸（5分钟）
提供一些挑战性的问题，激发学生的兴趣，准备好下节课的内容。
教学结束。
备注：本教案为参考范本，实际教学过程中可根据实际情况适当调整内容和方法。
空间几何体复习教案
空间几何体复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够识别和了解各种空间几何体的性质和特点；（2）能够运用空间几何体的知识和方法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，提高空间想象能力；（2）学会运用分类讨论、数形结合等方法解决空间几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养对数学学科的兴趣和自信心；（2）培养合作交流意识，提高解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）各种空间几何体的性质和特点；（2）空间几何体的计算方法和技巧。
2. 教学难点：（1）空间几何体的想象和建模能力；（2）运用空间几何体解决实际问题的方法。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的性质和特点；2. 利用多媒体技术，展示空间几何体的三维模型，增强学生的空间想象力；3. 采用小组合作交流的方式，培养学生的合作意识和问题解决能力。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的空间几何体（如球、正方体、圆柱等）；（2）提出问题，引导学生思考空间几何体的特点和性质。
2. 探究与展示：（1）分组讨论，每组选取一个空间几何体，探究其性质和特点；（2）各组展示探究结果，总结空间几何体的共同点和不同点。
3. 讲解与示范：（1）讲解空间几何体的计算方法和技巧；（2）示范解决实际问题，让学生跟随步骤进行练习。
4. 练习与反馈：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）及时给予反馈，纠正错误，巩固知识点。
五、课后作业1. 复习本节课所学的内容，总结空间几何体的性质和特点；2. 完成课后练习题，提高空间几何体的计算能力和解决实际问题的能力。
六、复习与巩固1. 通过课堂讲解和练习，学生能够复习和巩固已学过的空间几何体的性质和特点。
2. 学生能够运用空间几何体的知识和方法解决实际问题，提高解决问题的能力。
七、拓展与应用1. 通过小组合作交流，学生能够运用空间几何体的知识解决实际问题，培养合作意识和问题解决能力。
高中数学高考二轮复习立体几何教案
高中数学高考二轮复习立体几何教案高考点拨：立体几何专题是高考中的热点，主要考查三视图、空间几何体的体积和空间位置关系、空间角，以及空间位置关系的证明和空间角、距离的探求。
本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”、“空间中的平行与垂直关系”、“立体几何中的向量方法”三个角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能。
突破点1：空间几何体表面积或体积的求解要点1：对于规则几何体，可以直接利用公式计算。
要点2：对于不规则几何体，可以采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可以采用等体积转换法求解。
要点3：求解旋转体的表面积和体积时，需要注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形。
突破点2：球与几何体的外接与内切要点1：正四面体与球：设正四面体的棱长为a，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r=a/3，外接球的半径R=a/√6.要点2：正方体与球：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点。
正方体的内切球的半径为OJ=a/2，棱切球的半径为OG=a/√2，外接球的半径为OA1=√3a/2.回访1：几何体的表面积或体积题目：如图10-2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()解析：由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π，底面积为π×2²=4π；圆锥的底面直径为4，高为2/3，所以圆锥的母线长为√(4²+(2/3)²)=4/3，所以圆锥的侧面积为π×2×4/3=8π。
所以该几何体的表面积为S=16π+4π+8π=28π。
2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图10-3.求截去部分体积与剩余部分体积的比值。
最新必修二+空间几何体复习教案资料
B
侧面
顶点
注意：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
答：不一定是．如图所示，不是棱柱．
棱柱的性质
1.侧棱都相等，侧面都是平 行四边形；
2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形；
3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形；
棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类：
棱柱
【解题回顾】截取恰当的平面图形是解题的关键，与 三视图的本质思想是一致的。
本节小结：
对于棱柱、棱锥、棱台要理解其结构特征，严 格辨析所给几何体的类别；同时也要注意分析 棱柱、棱锥、棱台的诸元素如底面、侧棱、侧 面的特点，辨析所给命题的真假。
圆柱、圆锥、圆台、球都是以旋转的角度定义 的，处理旋转体的有关问题一般要过轴作出其 轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系，从而 把问题转化在平面图形中解决。
2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。
正棱锥性质2
棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
轴相交于O,且使 x 'o 'y ' 40或 5 10 3,它5 们确定的平
面表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观
图中分别画成平行于x'或轴 y' 轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
2、画水平放置的圆的直观图.
概念
高中数学空间几何体教案
高中数学空间几何体教案
一、教学目标：
1. 掌握空间几何体表面积和体积的计算方法。
2. 能够应用所学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学内容与重点：
1. 空间几何体的概念及分类。
2. 空间几何体的表面积和体积的计算公式。
3. 实际问题的应用。
三、教学过程：
1. 导入（5分钟）
展示几何体模型，引导学生讨论几何体的特点，并引出今天的学习内容。
2. 讲解（15分钟）
介绍空间几何体的概念、分类以及表面积和体积的计算方法，讲解相关公式及求解步骤。
3. 实例演练（20分钟）
选择几个简单的例题进行讲解和演练，让学生掌握计算方法和技巧。
4. 练习与拓展（20分钟）
让学生自行完成一些练习题目，并带领学生讨论解题方法和思路。
同时提供一些拓展题目，拓展学生的思维空间。
5. 总结与展示（10分钟）
对本节课的内容进行总结，并提出一些学生容易疏漏的地方进行讲解。
通过展示一些实际
问题，让学生了解数学在日常生活中的应用价值。
四、课后作业：
1. 完成教师布置的练习题目。
2. 总结今天所学知识，完成一道实际问题的解答。
五、评价与反思：
本节课主要通过知识的传授和实例的演示让学生掌握了空间几何体的表面积和体积计算方法，培养了学生的逻辑思维和空间想象能力。
教学过程中应注重引导学生学会灵活运用所学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
高中数学必修二 教案——空间几何体
高中数学必修二《空间几何体的三视图》教学案例内容分析：三视图是空间几何体的一种表示形式，是立体几何的基础之一。
学好三视图为学习直观图奠定基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣。
学情分析：(1)在义务教育阶段,学生已经初步接触了正方体，长方体的几何特征以及从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。
但是对于三视图的概念还不清晰(2)在初中，学生只接触了从空间几何体到三视图的单向转化,还无法准确的识别三视图的立体模型。
教学目标1．知识与技能（1）能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图；（2）能识别上述三视图表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2．过程与方法让学生经历“观察、探索、操作、想象、交流”等过程，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”自主转变成“主动会学”3．情感态度与价值观（1）提高学生的空间想象能力和空间思维能力；（2）体会立体图形和平面图形的转化关系，渗透应用数学的意识教学重点、难点重点：三视图的画法，及简单物体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板教学思路1、创设情景，引入课题猜测这个物体总共由多少个正方体组成？（设计说明：激发学生的好奇和学习热情，充分调动学生的学习积极性和参与性，使学生立刻进入学习和思考状态。
通过学生猜测正方体的个数、了解知道实际正方体的个数，让学生感知从不同的角度看同一物体视觉的效果会不同，要比较真实反映出物体，我们需要从多角度观看物体，引出课题———空间几何体的三视图。
介绍三视图在生活中，如汽车设计、坦克设计、零件设计等方面的运用，让学生体会到学习数学是有用的，现在我们正在学习有用的数学。
）请同学们精读P12（3分钟, 课前已让学生认真预习新课），在精读的过程中带着以下两个问题。
高考数学第二轮复习 立体几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。
考点扫描：1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。
2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。
3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。
4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。
考题先知：例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。
请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。
解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。
证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：PDF O PEFO PDE O DEF P V V V V ----++==r S r S r S PDF PEF PDE ⋅+⋅+⋅313131BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++==r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅3131313131，从而21表表S S V V ABC DEF DEF P =--。
例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6==AC AB ，13-=BC ，以∠BAC 为例。
(完整word版)高三数学二轮专题复习教案设计――立体几何
高三数学二轮专题复习教案――立体几何一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch=侧．若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积2() S ab bc ca=++表．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积2πS rl=侧，此时圆柱底面面积2πS r=底.所以圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为l，则侧面积πS rl=侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，则它的侧面积12S ch'=侧．（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c'，，斜高是h'，那么它的侧面积是12S ch'=侧．（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r'，，母线长为l，那么它的侧面积是π()S r r l'=+侧．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ() S S S S r r l r r r r r l rl''''=++=+++=+++侧上底下底．（7）球的表面积24πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍． 3、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh=柱体．其中底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2πV r h=圆柱．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh=锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21π3V r h=圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的13．（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h，那么它的体积是1()3V S S h=+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221π()3V r Rr R h=++圆台．（4）球的体积公式：334R V π=.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。
高中数学空间几何视图教案
高中数学空间几何视图教案
教学目标：
1. 理解空间中的平行、垂直、相交关系；
2. 掌握投影、射影和平面图形的关系；
3. 能够应用空间几何视图解决实际问题。
教学重点：
1. 空间几何图形的投影和射影；
2. 空间几何图形的关系；
3. 空间几何视图解决实际问题。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 多媒体教学设备；
3. 教学实验器材。
教学过程：
1.导入（10分钟）
教师通过引入一幅空间几何图形，让学生讨论图形中的平行、垂直和相交关系，引出空间几何视图的概念。
2.概念讲解（15分钟）
教师讲解空间几何图形的投影、射影与平面图形之间的关系，引导学生理解这三者之间的联系。
3.例题演练（20分钟）
教师以几个实际例题为例，让学生通过画出空间几何图形的投影、射影和平面图形，解决问题，加深对概念的理解。
4.实验操作（30分钟）
学生分组进行空间几何实验，尝试通过调整位置、角度等因素，观察图形的投影、射影变化，探究空间几何视图的规律。
5.课堂讨论（15分钟）
学生展示实验结果，互相学习交流，讨论空间几何视图的应用及解决问题的方法。
6.作业布置（5分钟）
布置相关练习作业，巩固空间几何视图的概念和应用能力。
教学反思：
本节课通过引入实际问题和实验操作，引导学生理解空间几何视图的概念，并通过实践探究其规律和应用。
学生在实验操作中能够积极探索，提高了对空间几何视图的理解和应用能力。
在以后的教学中，可以继续注重学生的实践操作，加深对空间几何视图的掌握和应用。
高中数学高考二轮复习空间几何体教案
专题四立体几何第一讲空间几何体(选择、填空题型)对应学生用书P048[必记公式]1.表面积公式表面积＝侧面积＋底面积，其中(1)多面体的表面积为各个面的面积之和．(2)圆柱的表面积公式：S＝2πr(r＋l)＝S侧＋S底(其中，r为底面半径，l为圆柱的高)．(3)圆锥的表面积公式：S＝πr(r＋l)＝S侧＋S底(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l)．(4)圆台的表面积公式：S＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)(其中圆台的上、下底面半径分别为r和r′，母线长为l)．(5)球的表面积公式：S＝4πr2(其中球的半径为r)．2.体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)V 球＝43πR 3(其中R 为球的半径)．[重要结论]1.画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．2.三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．[易错提醒]1.未注意三视图中实、虚线的区别在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．2.不能准确分析组合体的结构致误对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．对应学生用书P048热点一 空间几何体的三视图例1 (1)已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )的中点为F，连接AF，FC1，则容易得到平面1AEC1F即为截面，设AA1的中点为G，连接D1G，则C1E在平面ADD1A1上的投影是D1G，故剩余几何体的侧视图如选项C所示．[答案] C(2)[2015·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()C. 3 D．2[解析]由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底面ABCD，且底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝3，选C.[答案] C(1)熟记三视图的观察方向和长、宽、高的关系：长对正、高平齐、宽相等．(2)熟悉各种基本几何体的三视图，同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．1.[2015·山西质量监测]某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.2 2 B．2C.2 5D. 5答案 A解析由三视图知，该几何体是棱长为2的正方体截去两个角后得到的，几何体的直观图是多面体P ABCDEF，如图所示．易知其最长棱为正方体的一条面对角线，其长为22，故选A.2.[2015·大连双基测试]6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为()。
高考数学立体几何备考复习教案
高考数学立体几何备考复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握立体几何的解题方法，提高解题能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 立体几何的基本概念：点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 立体几何的性质：平行公理，空间向量的运算律。
3. 立体几何的定理：平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
4. 立体几何的计算：体积、表面积、角、距离的计算。
5. 立体几何的综合应用：空间几何体的结构特征，几何体的运动变化。
三、教学重点与难点1. 教学重点：立体几何的基本概念、性质和定理，立体几何的计算方法。
2. 教学难点：立体几何的综合应用，空间想象能力的培养。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论、探索相结合的方法，引导学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理。
2. 通过案例分析、几何画板演示等手段，培养学生的空间想象能力。
3. 组织学生进行合作学习，提高学生的解题能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习与作业：检查学生完成的练习和作业，评估学生的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行立体几何的测试，分析学生的成绩，了解学生的学习效果。
教案第一课时：立体几何的基本概念1. 教师讲解立体几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 学生通过案例分析，理解并掌握基本概念。
第二课时：立体几何的性质1. 教师讲解立体几何的性质，如平行公理，空间向量的运算律。
2. 学生通过几何画板演示，直观地理解立体几何的性质。
第三课时：立体几何的定理1. 教师讲解立体几何的定理，如平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
2. 学生通过案例分析，掌握立体几何的定理。
高考数学二轮复习 专题11 空间几何体教学案 理
专题11 空间几何体1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；1．柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥①有一个面是多边形(底面)；②其余各面是有公共顶点的三角形．棱台①底面互相平行；②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱①有两个互相平行的圆面(底面)；②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台①底面互相平行；②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球①有一个曲面是球面；②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积 表面积棱柱 V 棱柱＝Sh (S 为底面积，h 为高) S 棱柱＝2S 底面＋S 侧面 棱锥V 棱锥＝13Sh (S 为底面积，h 为高) S 棱锥＝S 底面＋S 侧面棱台 V 棱台＝13h (S ＋SS ′＋S ′) (S 、S ′为底面积，h 为高)S 棱台＝S 上底＋S 下底＋S 侧面圆柱V 圆柱＝πr 2h(r 为底面半径，h 为高)S 圆柱＝2πrl＋2πr 2(r 为底面半径，l 为母线长)圆锥V 圆锥＝13πr 2h(r 为底面半径，h 为高)S 圆锥＝πrl＋πr 2(r 为底面半径，l 为母线长) 圆台V 圆台＝13πh(r 2＋rr′＋r′2) (r 、r′为底面半径，h 为高)S 圆台＝π(r＋r′)l＋πr 2＋πr′2球V 球＝43πR 3(R 为球的半径)S 球＝4πR 2(R 为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图 (1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．考点一空间几何体的结构例1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.答案 C【变式探究】已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．考点二三视图、直观图例2．【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【变式探究】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5考点三几何体的表面积例3．【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428V R833ππ=⨯=,解得R2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784Sπππ⨯⨯⨯⨯故选A．【变式探究】(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4考点四 几何体的体积例4．【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积()22136272V ππ=⨯⨯⨯=，故该组合体的体积12362763V V V πππ=+=+=．故选B ．【变式探究】【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A）1233+π（B）123+π（C）123+π（D）21+π【答案】C【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B2.【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）B ． 90π B ．63πC ．42πD ．36π【答案】B3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）2（B）3（C）2（D）2 【答案】B，如图.【解析】几何体是四棱锥P ABCD最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度22222223l =++=，故选B.4.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+5.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______.【答案】415设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-， 令()0n x '=，即43403x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值. ∴max 154854415V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积。
高考数学讲义空间几何体.参考教案.教师版
空间几何体的几何特征【例1】 能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（ ）A ．底面是正多边形B ．各侧棱都相等C ．各侧棱与底面都是全等的正三角形D ．各侧面都是等腰三角形【难度】2 【解析】C ；C 选项使三棱锥的所有棱长都相等，符合正棱锥的定义【备注】正棱锥的特征【例2】 设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，B ，C ，D ，E 的关系是（ ） A ．A B C D E ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂ C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂【难度】4【解析】由定义知，正方体是特殊的四棱柱，正四棱柱也可以看作是特殊的长方体，长方体是特殊的直平行六面体，直平行六面体是平行六面体的特例．故选C平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形 直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体空间几何体的展开图【例3】 右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）空间几何体.教师版4DC BA68468468864【难度】2【解析】选Ａ，Ｂ中４与８必为相对的面；Ｃ与Ｄ中６与８都为相对的面．【例4】 圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积．【难度】4【解析】 ∵圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆面∴圆锥的母线长为a ，底面周长为πa ，故底面半径为π2π2a a =． 从而它的轴截面为正三角形，边长为a ， 故母线与轴的夹角为30︒2．【例5】 如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．【难度】4【解析】1OA''=，O B ''=xOy ，由斜二测画法知：,A B 两点分别在,x y 轴上，且1OA =，OB =，B C ''平行于x '轴，且1B C ''=，故有BC x ∥轴，且1BC =，从而知原图形如右图所示的平行四边形：有3AB ==，从而知此图形的周长为2(13)8⋅+=，面积为：1⋅=．【例6】 （08广东）将正三棱柱截去三个角（如图所示,,A B C 分别是CHI ∆三边的中点）得到几何体如图，则该几何体按图中所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）F EDCBAF E D IHG CBADCBABBB BEEEE【难度】4 【解析】A ．棱锥、棱台的中截面与轴截面【例7】正四棱锥的斜高为2，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【难度】4【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知2,SH SB ==，HOBAS故1122BH AB AB ==⇒=，112OH AB ==，高SO === 底面面积24S AB ==底面，2212141S S S ==⇒=中截面底面中截面∶∶∶．【备注】棱锥的中截面【例8】 如图所示的正四棱锥VABCD -，它的高VO⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．HO'ODCBAV【难度】4【解析】⑴由题意知VOVC =故2CO BC ==⇒=斜高VH 底面面积28S BC ==； ⑵ 由棱柱的截面性质知：214S VO S VO '⎛⎫== ⎪⎝⎭中截面底面1824S ⇒=⋅=中截面．【备注】四棱锥 中截面 轴截面圆锥、圆台的中截面与轴截面【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积． 【难度】4【解析】圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为１，故高为12011cos22︒⨯=，底边长为2sin60⋅︒1122=【备注】圆锥的轴截面【例10】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．CB AOO【难度】4【解析】如图，圆台轴截面为梯形11ABB A ，130BB C ∠=︒，12BB a =，∴BC a =且112OB O B =，∴1111BC OB O B O B =-=，∴11O B a =，2OB a =【备注】圆台的轴截面【例11】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【难度】6【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=， 由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤，故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12．【备注】圆锥的轴截面球的截面【例12】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径． 【难度】4【解析】 分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为R ，截面圆心分别记为12,O O ，如图，A∵22π49πO B ⋅=，∴27O B = 同理21π400πO A ⋅=，∴120O A = 设1OO x =，则29OO x =+． 在1Rt OO A ∆中，22220R x =+； 在2Rt OO B ∆中，222(9)7R x =++， ∴222207(9)x x +=++，解得15x =， ∴22222025R x =+=，∴25R =．【备选】球的截面【例13】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【难度】6【解析】 设两个截面半径分别为12,r r ，则12π12πr =，22π16πr =，解得16r =，28r =．从而球心到两个截面的距离分别为：18d =，26d ．（2）（1）O OFFEE D DC CB B AA若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为122d d -=，如图⑴； 若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为1214d d +=，如图⑵．【备注】球 平行截面【例14】 （2008四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【难度】6【解析】 答案：D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识．【备注】球的截面组合体的截面分析【例15】 （2007湖南理8）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） AB ．1 C．1 D【难度】6【解析】 答案： D ．已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，设EF 所在的大圆圆面截正方体EFGH ，圆心为OFEDCBAOA 1D 1B 1C 1由题意知面EFGH ∥面ABCD ∴四边形EFGH 为正方形， ∴球半径为R =又直线EF 被球O 截得线段长即为大圆O 截直线EF 的长．如图： ∴MN =【备注】正方体外接球【例16】 （2008年江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】6【解析】 答案：C⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知OM ON MN OM ON -<<+ 当且仅当AB 与CD 在同一个大圆面内且相互平行时取等号 ∴①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB 与CD 两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又∵CD AB >，∴只有CD 为直径，AB 为弦，∴只能是经过AB 的中点．多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例17】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【难度】6【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图．丙AA 1P DC 1D 1QC乙NPQD 1A 1B 1C 1DA甲QPAB C 1B 1A 1D 1ABCDB 1C 1D 1A 1由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ 的长即为两点间的最短距离，分别为：（前上）PQ（左上）PQ ==（左后）PQ =由于01λ≤≤，∴①式PQ =②式PQ ∴最短距离PQ =【备注】正方体的表面距离问题【例18】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【难度】6【解析】将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10．ODAFEDCBA【备注】棱柱的表面距离问题【例19】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【难度】6【解析】分析：将侧面展开→化归为平面几何问题．将正三棱锥侧面棱SA 剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接'AA ，设'AA 与SB 交于M ，交SB 于N 点，显然AMN ∆的周长''l AM MN NA AA =++≥，也就是说当AM ，MN ，(')NA NA 在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则'AA 的长就是截面AMN ∆的周长最小值．SMN ACBA '(A)SMN AB∵'1SA SA ==，'45ASB BSC CSA ∠=∠=∠=o ∴'135ASA ∠=o∴'AA ==∴AMN ∆【备注】棱锥的表面距离问题【例20】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【难度】6【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，M r'rF EPA'BO'OB'A绳子的最短距离即为AM 的长度．设PB x =，则18PA x =+，有2π2π418x x ⋅=+（圆心角相等）， 解得6x =，故侧面展开图中的2ππ'63APA ∠==，24,6915AP PM ==+=，由余弦定理得：222π241522415cos 4413AM =+-⋅⋅⋅=，故21AM =，即绳子的最短长度为21．⑵取绳上任意点'E ，连结'PE ，交圆台上底于点'F ，由于'6PF =，因此当'PE 取最小值时，''F E 取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P 作PE ⊥AM ，且与¼'BB交于点F ， 其中6PF =，则FE 为上底圆周上的点到绳子的最短距离． 在PAM ∆中，由面积公式有2415sin321PE π⋅⋅==故6FE =为所求的最短距离． 【备注】圆台的表面距离问题球面距离【例21】 （2008辽宁）在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C，则球心到平面ABC 的距离为 ． 【难度】4【解析】 32；34π3R R =⇒=记球心为O ，知π3AOC ∠=，于是AC R ==ABC∆为直角三角形，外接圆半径为，于是球心到平面ABC 的距离为32． 【备注】球面距离【例22】 （06四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【难度】4【解析】 球O 的半径是1R =，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是π4，则∠AOB ，∠AOC 都等于π4，AB AC =，,B C 两点的球面距离是π3，π3BOC ∠=，1BC =，过B 做BD AO ⊥，垂足为D ，连接CD ，则CD AD ⊥，则BDC ∠二面角B OA C --的平面角，BD CD ==，∴π2BDC ∠=，二面角B OA C --的大小是π2，选C ． 【备注】球面距离【例23】 （2008安徽）已知A B C D ，，，在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 ．【难度】6【解析】4π3；如图，取AD 中点O ，BD 的中点E ，连结OE ，则OE AB ∥，从而OE ⊥平面BCD ，又E 为Rt BCD ∆的外接圆圆心，故OB OC OD OA ===，从而O 为球心，球的半径为4，又4BC =，故π3BOC ∠=，B C ，两点间的球面距离为π44π33⨯=．E2136ODBA【备注】球面距离【例24】 从北京A （靠近北纬45o 、东经120o ，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B （南纬30o 、东经30o ），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A 沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C （北纬45o 、东经30o ），然后向南飞到目的地B ．乙航空线：从北京A 沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D （南纬30o 、东经120o ），然后向沿纬线向西飞到目的地B ．请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径R 的球）【难度】6【解析】 把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的A 、B 、C 、D 四点（如图），则甲航程为A 、C 两地间的纬线长»AC 与C 、B 两地间的球面距离»BC 之和，乙航程是A 、D 两地间的球面距离»AD 加上D 、B 两地间的纬度线长»BD． OO 2O 1DB CA设球心为O ，1O 、2O 分别是北纬45o 圆与南纬30o 圆的圆心，则121203090AO C DO B ∠=∠=-=o o o ，从而：»1ππcos4522AC O C R R =⋅==o ，»2ππcos3022BD O B R R =⋅==o ， »()π54530π18012CBR COB R R =⋅∠=+⋅=， »()π54530π18012AD R AOD R R =⋅∠=+⋅=． 故甲航程为1s =»»AC CB+5π12R R =+， 乙航程为2s =»»BD AD+5π12R R =+． 由12s s <，所以甲航空线较短．对甲航线，航线的两段要分别选择最短路线，则航线为A 、C 两地间的球面距离与C 、B 两地间的球面距离之和．C 、B 两地间的球面距离即为经线长»BC，下面求A 、C 两地间的球面距离： 圆1O的半径为cos 45R ︒=，11203090AO C ︒︒︒∠=-=，从而1AC A R ==，∴AC AO CO R ===，60AOC ︒∠=，从而A 、C 两地间的球面距离为π3R ．∴此时航线总长为π53ππ3124R R R +=． 【备注】球面距离 经纬度组合体【例25】 （2003京春）一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ． 【难度】4【解析】 水面高度升高r ，则圆柱体积增加2πR r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有324ππ3r R r =．故R r =【例26】 （2008福建15）的表面积是 ．ABCD【难度】4【解析】 9π；此三棱锥可以看成边长为的正方体的一个角，故它的外接球的直径为3，从而它的外接球的表面积为9π．【例27】 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：⑴内接正方体的棱长； ⑵内切球的表面积．【难度】6【解析】 ⑴过正方体底的一条面对角线作圆锥的一个轴截面，如图所示，C'A'V FE O'O CA设正方体的棱长为a ，则''O C ，'O O a =， 利用平行线性质，∴':'':VO VO O COF =，即(3):3:2a -=，∴24a = ⑵作圆锥的一个轴截面，如图所示，设内切球的半径为R ，DRO VBAVB ==∵BO 为ABV ∠的平分线，∴由角分线定理得比例关系，::VO ODVB BD =，即(3):2R R -=，解得22)3R =224164π4π2)(17π99S R ==⨯=-球【例28】如图所示，正四面体ABCD 的外接球的体积为，求四面体的体积．【难度】6【解析】 法一：如图，1O 为底面BCD ∆的中心，大圆圆心O 在1AO 上，设正四面体棱长为a ，由已知34π3R =，故RA∴AO DO R ===，1OO h R =-=-，1DO = ∴在1Rt OO D ∆中，22211OD OO OD =+，解得a =∴383V == 法二：在Rt AED ∆中应用射影定理．如图，1O 为底面BCD ∆的中心，在正四面体ABCD 中， 大圆圆心O 在1AO 上，AE 为球的大圆直径．由已知34π3R =，故R∵如图AE 为球的直径，故AE ⊥1O D ，AD ⊥DE ，设AD a =，则123O D=，故1AO=112O E R AO =-=由射影定理知，2111O D AO O E =⋅，解得a =故383V== 法三：将正四面体ABCD 置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，由V =球得R =∴体对角线长为，因此正方体边长为2， ∴正方体的面对角线即正四面体的棱长，为∴383V ==另法：由于已经知道正方体的棱长，因此也可用正方体的体积减去四个三棱锥的体积．综合问题与三视图、直观图综合【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A．B． C．24+D．24+左视图俯视图主视图232【难度】4【解析】 C ；由三视图知三棱柱的高为2，底面三角形的高为，故底面边长为4，表面24243224⨯+⨯⨯=． 【例29】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．⑴求该几何体的体积V ； ⑵求该几何体的侧面积S ．【难度】6【解析】 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V ABCD -；⑴()1864643V =⨯⨯⨯=；⑵该四棱锥有两个侧面VAD VBC ，是全等的等腰三角形，且BC 边上 的高为1h =VAB VCD ，也是全等的等腰三角形， AB边上的高为25h ==．因此112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+【例30】 （2009扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 243【难度】6 【解析】 29π；该三棱锥如右图所示，其中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，长度如图．DC B A 432可将之视为长方体的一角，长方体的棱长分别为234，，，体对角线长为=即为三棱锥外接球的直径，故它的外接球的表面积为29π．其他问题【例31】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 ．【难度】6 【解析】【例32】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（包括上下底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【难度】6【解析】C【例33】 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==【难度】6【解析】 由射影面积公式（S cos S α⋅射斜＝）可知：S 射与斜面和水平面所成角α有关，而与斜面内图形形状及图形放置无关．所以可以抓住“所成角都是α”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值0α=，就将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的面积全部相同，从而得解． 令0α=，即可知选D ．当然，除了上述常用方法外，数学解题中还存在其它的转化方法，如：在求空间距离问题时，可利用等积法（点线距离常用等面积法，点面距离常用等体积法）将它转化为解三角形的问题；在求空间角（异面直线所成的角或二面角的平面角）时，可通过平移变换、作辅助线等方法转化为同一个平面或三角形中；而求函数的值域（或最值），有时也可以根据反函数的性质，通过求该函数的反函数的定义域来得到……由于本文篇幅有限，这里就不一一举例．杂题【例34】 （2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满图12图其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．【难度】6 【解析】 B 、D易知所盛水的容积为容器容量的一半，即为四棱柱的体积减去四棱锥的体积，故A 错误，D 正确；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P ，故B 正确；C 的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P 将露出水面．【例35】 （2002年全国文最后一题）⑴给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．图3图2图1【难度】8【解析】 ⑴如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底． ⑵依上面剪拼方法，有V V >柱锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1．现在计算它们的高：记棱锥的高为1h ，体积为1V ，棱柱的高为2h ，体积为2V ，1h =21tan 302h =︒=．21211()03－V V h h -===>，所以21V V >．⑶如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．图3图2图1【例36】 （2006江苏）两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个【难度】8【解析】 由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D ．【例37】 （06江西卷）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）BA ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．1S ，2S 的大小关系不能确定 【难度】8【解析】 连OA 、OB 、OC 、OD ，则A BEFD O ABD O ABE O BEFD O ADF V V V V V -----=+++，A EFC O AFC O AEC O EFC V V V V ----=++，又A BEFD A EFC V V --=而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故ABD ABE BEFD ADF AFC AEC EFC S S S S S S S +++=++，又面AEF 公共，故选C【例38】 （2004福建，16）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）． 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大．【难度】8【解析】 23如图，设底面边长为x 时，容积最大． OxF x1x 2．∴)()()32999211224883V Sh x x x x x x ⎛⎫==-=-=⋅⋅- ⎪⎝⎭≤， 当且仅当22x x =-时，取“=”，即23x =时容积最大．【例39】 （2005全国Ⅱ，理12）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）AB ．2C ．4 D【难度】8【解析】 C四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高4O H ． O 3HO 1O 2O 4设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC -（如图），球心4O 在其高DE 上，且4411O E O H =+=． 下面求4O D ．设M 为球4O 与平面BCD 的切点，则M 在BCD ∆中线DF 上，41O M =，4DMO DEF ∆∆∽．F M EDC B AO 4∴4431O H DF O M EF ==．∴43O D =．∴444DE O D O E =+=+C ．。
人教A版高中数学必修二《空间几何体》习题课教学设计
《空间几何体》习题课教学设计授课内容：《空间几何体》习题课（展示课）使用教材：人教版普通高中课程标准实验教科书使用设备：慧学云智能教学平台一、教学任务分析：第一章“空间几何体”从分析常见立体图形的结构入手，建立空间概念。
学习描述简单几何体的结构，从而学习如何在平面上表示这些立体图形，然后求出他们的表面积和体积，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
二、三维目标：1.了解基本的空间几何体，认识基本图形的特征。
2.掌握三视图和直观图，能灵活运用三视图和直观图解决相关的数学问题。
3.掌握面积体积计算公式，能够计算简单的面积和体积。
三、教学方法：本节课以学生展示为主，通过对预习任务中题目完成情况的分析，让学生弄清楚自己对本章知识内容的掌握情况，结合我校学生成长合作组的教学模式，通过小组互助、教师讲解，并辅以慧学云智能教学平台等多种形式的教学方法，使学生对所学的知识和方法做到融会贯通。
充分体现以教师为主导，学生为主体，分层教学的教学原则。
四、重点和难点：重点：1.灵活运用三视图和直观图解决立体几何问题。
2.掌握基本的面积体积计算机运用。
难点：1.三视图和直观图的作用，及立体几何的归面思想。
2.立体的空间想象能力，能够具体的想象出实物图，然后根据公式灵活计算五、教具和学具：投影仪，慧学云智能教学平台六、教学过程分析：课前让学生完成“慧学云”智能教学平台中布置的预习任务（预习任务精选了6道“基本概念”层面的习题和6道“知识应用”层面的习题）。
课堂教学时，首先，利用“慧学云”智能教学平台，展示同学们预习任务中学生答题情况的数据分析，课堂上有针对性地、通过小组互助、教师点拨完成对预习题目讲解，掌握本章的重点内容和解题方法；然后，借助“慧学云”智能教学平台上发布的课中任务，教师对本章的典型例题做进一步的讲解，巩固、提升学生所学知识；最后布置“慧学云”智能教学平台上发布的复习任务，任务中包含3道“基本概念”层面的习题和4道“知识应用”层面的习题，让每一个学生都学会自己能力范围内的知识，并在自己原有的基础上有所提高。
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专题11 空间几何体1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；1．柱体、锥体、台体、球的结构特征2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．考点一空间几何体的结构例1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.答案 C【变式探究】已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．考点二三视图、直观图例2．【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C.【变式探究】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5考点三几何体的表面积例3．【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428V R833ππ=⨯=,解得R2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784Sπππ⨯⨯⨯⨯故选A．【变式探究】(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4考点四 几何体的体积例4．【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ． 90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积()22136272V ππ=⨯⨯⨯=，故该组合体的体积12362763V V V πππ=+=+=．故选B ．【变式探究】【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A）1233+π（B）133+π（C）136+π（D）16+π【答案】C【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B2.【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）B ． 90π B ．63πC ．42πD ．36π【答案】B3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ） （B ）（C ） （D ）2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥P ABCD ，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度l =B.4.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+5.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______.【答案】设()455n x x x =，x >0，则()3420n x x x '=-，令()0n x '=，即4340x =，得x =()n x 在x =.∴max 48V ==【考点】简单几何体的体积。
1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A）18+（B）54+（C）90 （D）81【答案】B5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）133+π（C）136+π（D）16+π【答案】C1．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案 B2．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π m 3.答案 83π3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π答案 C4．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.155．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3π D.12（2－1）3π解析 易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，则a ＝b .由截面图的相似关系知，c ＋a 2＋b 2＝2，即c ＋2a ＝2，∴V 长方体＝abc ＝a 2c ＝a 2(2－2a )，设g (a )＝2a 2－2a 3，则g ′(a )＝4a －32a ＝0，令g ′(a )＝0，解得a ＝432，所以令a ＝432时，V 长方体最大为1627，∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.答案 A1. 【2014高考安徽卷理第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.18 【答案】A【考点定位】多面体的三视图、表面积.2. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱【答案】A【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A. 【考点定位】三视图.3. 【2014高考广东卷理第7题】若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定【答案】DD 1C 1B 1A 1DCBA14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.【考点定位】空间中直线的位置关系4. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱。