立体几何文科解答题16个
立体几何训练文科((答案)
立体几何训练答案1．如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BK BH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝3 2.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.3．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝π2.(1)证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE.∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝ 2.S矩形CDEF＝DE·EF＝42，∴棱锥A－CDEF的体积为V＝13·S矩形CDEF·AH＝13×42×2＝83.4．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.5．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.6．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥D－BCE的体积．(1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.(2)证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解V D－BCE＝V E－BCD＝13S△BCD·|EM|＝13×22×42×2＝83.7．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝22BC，B1C1綉12BC.(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．(1)证明∵AB＝AC＝22BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ， ∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形，∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解 连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.8．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1， ∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF .同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .9．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0， 得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点． 10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|.由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.11．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； (2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解 如图，分别以直线BC 、BD 、BA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C (4,0，0)、D (0,4，0)，E (2,0,0)、F (0，2,2)．(1)∵AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)，∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∵AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0，∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1，)．∵F ∈平面ACD ，EF →＝(－2,2,2)，∴E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233. (3)EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF →〉|＝23×23＝13 12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P －BD －A 的大小．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎨⎧ y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.∴二面角P －BD －A 的大小为60°.13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC .(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．解 方法一：(1)证法一：取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE ， ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.又AB＝12DE＝ME，∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.∵AF⊂平面AFM，∴AF∥平面BCE.(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，则FH ＝CF sin45°＝22a ， BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a 2＝2a ，在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0. (1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )， ∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →.∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得 x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则 sin θ＝|BF →·n ||BF →|·|n |＝2a 2a ·22＝24.2 4.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为。
立体几何高考题解析(文科)
《立体几何》高考题解析（文科）一选择题1把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ C ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°（2四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是（ C ）A ．271B ．161C ．91D ．813已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．35在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ B ） A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. （04上海13）6不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ D ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ C ）A ．258B ．234C ．222D ．210柱的体积为 （ A ）A ．26B ．6C ．66D ． 3613 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体C ．3E 、F 、r, α∥β. ①和④π，则球的表面D ）π4是边长为1的正方形，，则该多面体的体积分别是侧棱AA 1、CC 1C ））13V （D ）12V这样的平面α共有（D ） ）6个 （D ）7个AB ，BC ，CA 的中点，⊥平面P A E （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC 24对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、图1β都平等于γ；③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ B ） A ．1个 B ．2个 C 3个 D ．4个25有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 （ C ）A ．4B ．5C ．6D ．727木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ C ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍28已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（05湖北8）30矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ C ）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π312531设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（D ）(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 二填空题1图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 2/3 时，其容积最大.4 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 163. 5已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）.6 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是34cm, 表面积是 192π cm 2. 7下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是②④ （写出所有正确结论的编号）. （ 8在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，（1）四边形E BFD '一定是平行四边形（2）四边形E BFD '有可能是正方形（3）四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 （4）四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 ①③④ （写出所有正确结论的编号）9有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。
立体几何(解答题)-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题06立体几何（解答题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO= 2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；π（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B−EB1C1F3的体积．3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体ABCD A 1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE ED1，BF 2FB1．证明：（1）当AB BC时，EF AC；（2）点C1在平面AEF内．4．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．5．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．7．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A E，AB=3，求四棱锥E BB1C1C的体积．18．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.9．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．10．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC 平面PCD，PA CD,CD 2, AD 3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（2）求证：PA 平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.11．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABC A1B1C1，平面A1ACC1 平面ABC，ABC 90，BAC 30,A1A A1C AC,E,F分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：EF BC；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.13．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形ABCM中，AB AC 3，∠ACM 90，以 AC 为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥ DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；BP DQ 2 DA ，求三棱锥Q ABP的体积．Q（2）为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 314．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点．（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC 2MB，求点C到平面POM的距离．15．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．16．【2018年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD.17．【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2 3，∠BAD=90°．（1）求证：AD⊥BC；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．18．【2018年高考江苏卷】在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB, AB1 B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1 平面A1BC．19．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．。
2022年近三年高考数学(文科)立体几何简答题汇编
2022年近三年高考数学（文科）立体几何简答题汇编一．解答题（共28小题）（1）求三棱锥体积V P-ABC；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．3．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积．4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF ⊥A1B1．（1）求三棱锥F-EBC的体积；（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．5．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积．6．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1．证明：（1）当AB=BC时，EF⊥AC；（2）点C1在平面AEF内．8．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心．若AO=AB=6，AO ∥平面EB 1C 1F ，且∠MPN=π3，求四棱锥B-EB 1C 1F 的体积． 9．已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ．（1）若PC=5，求四棱锥P-ABCD 的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长．10．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积．11．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．12．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积．13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．14．如图，在正三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝√3．（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求P-ABC的体积．15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．16．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．17．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB 所成的角的大小．18．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．20．如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=23DA ，求三棱锥Q-ABP 的体积． 21．如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=12AD ，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PCD 面积为2√7，求四棱锥P-ABCD 的体积．22．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．23．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．24．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P-ABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积．325．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．28．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．。
文科立体几何模拟试题答案
文科立体几何模拟试题答案一、选择题1. 若一个正方体的棱长为2cm，则其对角线的长度为？A. 2√2 cmB. 2√3 cmC. 4 cmD. √8 cm答案：B2. 一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，其侧面展开图的扇形的中心角为？A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°答案：D3. 一个球的表面积为4πR²，若该球的体积为16π，则其半径R为？A. 2B. 4C. 2√2D. √16答案：A4. 一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，其侧面积为？A. 60π cm²B. 36π cm²C. 90π cm²D. 180π cm²答案：A5. 一个锥体的底面半径为r，高为h，侧面展开图是一个等腰三角形，其底边长为？A. πrB. 2πrC. √(2h² + r²)D. √(h² + 4r²)答案：D二、填空题1. 一个正方体的体积为64cm³，其棱长为______。
答案：4cm2. 一个球的体积为64π，其表面积为______。
答案：64π cm²3. 一个圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，其体积为______。
答案：942π cm³4. 一个锥体的底面半径为3cm，高为6cm，其侧面展开图的扇形的中心角为______。
答案：120°5. 一个正四面体的边长为a，其表面积为______。
答案：√3a²三、解答题1. 一个正方体的棱长为3cm，求其内切球的体积。
解：正方体的内切球即为正方体的对角线所形成的球体，其半径r为正方体棱长的一半，即r = 3/2 cm。
根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入r值得到V = 4/3π(3/2)³ = 9π cm³。
2. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为5cm，求其侧面展开图的扇形的弧长。
专题6 立体几何(文科)解答题30题 教师版--高考数学专题训练
专题6立体几何（文科）解答题30题1．（贵州省贵阳市2023届高三上学期8月摸底考试数学（文）试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，M ，N 分别是11A B ，1A A 的中点．(1)求证：1BN C M ⊥；(2)求三棱锥1B BCN -的体积．2．（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）如图，多面体ABCDEF中，∠=︒，FA⊥平面ABCD，//ED FA，且22 ABCD是菱形，60ABC===.AB FA ED(1)求证：平面BDE⊥平面FAC；(2)求多面体ABCDEF的体积.））如图所示，取中点G ，连接3．（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考数学（文）试题）如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，EA ⊥平面ABCD ，//EA BF ，22AB AE BF ===.(1)证明：平面EAC ⊥平面EFC ；(2)求点B 到平面CEF 的距离.（2）设B 到平面CEF 的距离为因为EA ⊥平面ABCD ，AC 因为//EA BF ,EA ⊥平面ABCD 且BC ⊂平面ABCD ,所以BF 因为60ABC ∠=︒，2AB =4．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AD BC ∥，且2PA AD CD ===，3BC =，E 是PD 的中点，点F 在PC 上，且2PF FC =．(1)证明：DF ∥平面PAB ；(2)求三棱锥P AEF -的体积．（2）作FG PD ⊥交PD 于点G 因为PA ⊥面ABCD ，所以PA 又AD CD ⊥，PA 与AD 交于点所以CD ⊥面PAD ，CD PD ⊥又FG PD ⊥，所以//FG CD ，所以所以PF FG PC CD =，得43FG =，因为E 为PD 中点，所以P AEF D AEF F ADE V V V ---===5．（新疆阿克苏地区柯坪湖州国庆中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，M ，N 分别是AC ，AD 的中点，BC CD ⊥．(1)求证：//MN 平面BCD ；(2)求证：CD BM ⊥；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】1）根据中位线定理，可得//MN CD ，即可由线面平行的判定定理证明//MN 平面BCD ；（2）由已知推导出AB CD ⊥，再由CD BC ⊥，得CD ⊥平面ABC ，由此能证明CD BM ⊥；【详解】（1）M ，N 分别是AC ，AD 的中点，//MN CD ∴，MN ⊂/ 平面BCD ，且CD ⊂平面BCD ，//MN ∴平面BCD ；（2）AB ⊥Q 平面BCD ，M ，N 分别是AC ，AD 的中点，AB CD ∴⊥，BC CD ⊥ ，,AB BC B AB BC =⊂ ，平面ABC ，CD \^平面ABC ，BM ⊂ 平面ABC ，CD BM ∴⊥.6．（内蒙古乌兰浩特第一中学2022届高三全真模拟文科数学试题）如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ===，23ABC π∠=，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE 折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED ⊥平面BCDE ；(2)当2PC =时，求点D 到平面PEB 的距离.因为PE PD =，F 为ED 因为平面PED ⊥平面BCDE 因为21122PF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设D 到平面PEB 的距离为7．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA =(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积.8．（黑龙江省八校2021-2022学年高三上学期期末联合考试数学（文）试题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点．(1)求证：1BC ∥平面1C AD ；(2)若底面ABC 边长为2的正三角形，1BB =11B A DC -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE ，由三角形中位线定理，得1DE BC ∥，进而由线面平行的判定定理即可证得结论；（2）利用等体积转化1111B A DC C A B D V V --=，依题意，高为CD ，再求底面11A B D 的面积，进而求三棱锥的体积.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE∵四边形11AAC C 是矩形，∴E 为1AC 的中点，又∵D 是AB 的中点，∴1DE BC ∥，又∵DE ⊂平面1C AD ，1BC ⊄平面1C AD ，∴1BC ∥面1C AD ．（2）∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴AB CD ⊥，9．（青海省西宁市2022届高三二模数学（文）试题）如图，V是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点，2AB=，VA=．2(1)求圆锥的表面积；又D 是AC 的中点，所以OD AC ⊥，又VO OD O ⋂=，VO ⊂平面VOD ，OD ⊂平面VOD所以AC ⊥平面VOD ，又AC ⊂平面VAC ，所以平面VAC ⊥平面VOD ．10．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；(2)求四棱锥E ABCD -的体积；又点E 为棱PC 的中点，BE 由勾股定理得2AC AD =+∵△PAC 为直角三角形，E 111．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文）试题）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点.(1)证明：平面1AC D ⊥平面1ACE .(2)求点1C 到平面1ACE 的距离.（2）连接1EC .因为1AA 由正三棱柱的性质可知因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以故三棱锥11A CC E -的体积以15A E CE ==，1A E 则1ACE △的面积212S =12．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O ，且PB 与底面ABC 所成角为π3，点M 为线段PO 上一动点.(1)证明：BC AM ⊥；(2)若12PM MO =，求点M 到平面PAB 的距离.AO BC ∴⊥，点P 在底面ABC 上的投影为点PO ∴⊥平面ABC ， PO BC ∴⊥，13．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）如图，D ，O 是圆柱底面的圆心，ABC 是底面圆的内接正三角形，AE 为圆柱的一条母线，P 为DO 的中点，Q 为AE 的中点，(1)若90APC ∠=︒，证明：DQ ⊥平面PBC ；(2)设2DO =，圆柱的侧面积为8π，求点B 到平面PAC 的距离.∴//,AQ PD AQ PD =，∴四边形AQDP 为平行四边形，∴//DQ PA .又∵P 在DO 上，而OD ∴O 为P 在ABC 内的投影，且ABC 是圆内接正三角形∴三棱锥-P ABC 为正三棱锥∴PAB PAC PBC △≌△≌△∴APB APC BPC ∠=∠=∠即,PA PC PA PB ⊥⊥.∵PC PB P = ，,PB PC14．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB CD ，12AD CD BC PA PC AB =====，BC PA ⊥．(1)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若PB =D 到平面PBC 的距离．又BC PA ⊥，PA AC A = 所以BC ⊥平面PAC ，又BC （2）因为BC ⊥平面PAC ，由22PB =，BC PC =，得15．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1AA =E 在棱1DD 上，且1AE A D ⊥．(1)证明：1AE A C ⊥；(2)求三棱锥1E ACD -的体积．【答案】(1)证明见解析;）在平面11ADD A 中，由AE ⊥1AD DE AA AD =，所以12112A DE S DE AD =⋅= 16．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）如图1，在等腰梯形ABCD 中，M ，N ，F 分别是AD ，AE ，BE 的中点，4AE BE BC CD ====，将ADE V 沿着DE 折起，使得点A 与点P 重合，平面PDE ⊥平面BCDE ，如图2．(1)证明：PC∥平面MNF．(2)求点C到平面MNF的距离．17．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（文）试题）如图1，在直角梯形ABCD 中，,90,5,2,3AB DC BAD AB AD DC ∠==== ∥，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE V 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）.(1)求点B 到平面ADE 的距离；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使得CP 平面ADE ？若存在，求三棱锥-P ABC 的体积；若不存在，请说明理由..18．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥ 平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.19．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60PAB PAD BAD ∠=∠=∠= ．(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)若23AB PA ==，，求四棱锥P ABCD -的体积．解：如图，记AC 与BD 的交点为因为底面ABCD 为菱形，故又60PAB PAD BAD ∠=∠=∠=又PO AC O = ,故BD ⊥平面(2)解：因为2,3,AB PA ==∠20．（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，22PB CD AB AD ===，PD =，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.(1)证明：PD ⊥平面ABCD ；(2)若F 是棱AB 的中点，2AB =，求点C 到平面DEF 的距离.，AB AD=AB AD⊥，2BD∴=为棱PB中点，DE PBE∴⊥，又∴⊥平面PBC，又BC⊂平面DE在直角梯形ABCD中，取CD中点 ，DM AB=2CD AB∴=，又DM ∴四边形ABMD为正方形，BM∴∴===，又BC BM AD AB222BD DE⊂平面PBD ，,=BD DE D21．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）如图，在三棱锥-P ABC中，PAB 为等腰直角三角形，112PA PB AC ===，PC ，平面PAB ⊥平面ABC .(1)求证：PA BC ⊥；(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∴OP AB ⊥，22OP =，AB =又∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面∴OP ⊥平面ABC .22．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知三角形PAD 是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD 沿AD 折叠，所成二面角P AD B --的大小为120°，此时恰有PC AD ⊥.(1)求BD 的长；(2)求三棱锥-P ABC 的体积.∵PAD 是正三角形，∴PM AD ⊥，又∴,PC AD PC PM P⊥=I ∴AD ⊥平面PMC ，∴AD MC ⊥，故ACD 为等腰三角形23．（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，22AD CD PD ===，PA 二面角P AD C--为120︒，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上，且12AF =.(1)平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)求棱锥C DEF -的高.824．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面,,60,ABCD AB CD DAB PA PD ∠=⊥ ∥，且2,22PA PD AB CD ====.(1)证明：AD PB ⊥；(2)求点A 到平面PBC 的距离.（2）因为AB CD ，所以∠2222BC BD CD BD CD =+-⋅由222BD BC CD =+，得BC 25．（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面ABC ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，ABC 为等边三角形，160A AB ∠=︒，E 为BC 的中点，D 为1CC 的中点，P为线段AC上的动点．AB平面PDE，请确定点P在线段AC上的位置；(1)若1//-的体积．(2)若点P为AC的中点，求三棱锥C PDE（2）解：如图，取AB 的中点∵四边形11ABB A 为边长为2∴12A B =，1AA B 为等边三角形，26．（山西省运城市2022届高三上学期期末数学（文）试题）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，PB =，24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段BC 上的动点．(1)证明：CM⊥平面PAB；(2)若点N到平面PCM BNBC的值．27．（2020届河南省许昌济源平顶山高三第二次质量检测文科数学试题）如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.因为//AB CD ，33AB CD ==，所以四边形ABCD 为梯形，又M 、E 为AD 、BC 的中点，所以ME 为梯形的中位线，28．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，14AB AA ==,D 是棱AB 的中点.(1)证明：平面1ACD ⊥平面11ABB A .(2)求点1B 到平面1A CD 的距离.由题意可得11A B D △的面积因为ABC 是边长为4的等边三角形，且29．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC BC ⊥，PA PB =，APC BPC ∠=∠．(1)证明：PC AD ⊥；(2)若AB CD，PD AD ⊥，PC =，且点C 到平面PAB AD 的长．∵PA PB =，APC BPC ∠=∠∴90PCA PCB ∠=∠=︒，即∵PC BC ⊥，AC BC = ∴PC ⊥平面ABCD ，又∵PA PB =，E 为AB 中点∴PE AB ⊥，由（1）知AC BC =，E 为∵PE CE E = ，,PE CE 30．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，16BB BC ==，D ，E 分别是1AA 和1B C 的中点.(1)求证：平面BED ⊥平面11BCC B ；(2)求三棱锥E BCD -的体积.。
高三立体几何习题(文科含答案)
23正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图3立几习题21假设直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则以下命题正确的选项是〔A 〕12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒〔B 〕12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥〔C 〕233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面〔D 〕1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图〔主视图〕，侧视图〔左视图〕和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3 B ．4 C ．3 D ．24.某几何体的三视图如下图，则它的体积是〔 〕 A.283π- B.83π-D.23π5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD的中点 求证：〔1〕直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD5〔本小题总分值13分〕如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
OA=，21∥；〔Ⅰ〕证明直线BC EF-的体积.〔Ⅱ〕求棱锥F OBED6.〔本小题共14分〕如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.〔Ⅰ〕求证：DE∥平面BCP；〔Ⅱ〕求证：四边形DEFG为矩形；〔Ⅲ〕是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.7．〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
(完整)立体几何(文科)
立体几何（文科)1、如图1。
4所示四棱锥P。
ABCD中，底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝错误!，M为BC上一点，且BM＝错误!.(1）证明：BC⊥平面POM;(2）若MP⊥AP，求四棱锥P。
ABMO的体积．516图42、四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E,F，G，H。
图1。
4（1）求四面体ABCD的体积；错误!.(2）证明：四边形EFGH是矩形．3、如图1。
5，在三棱柱ABC .A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．图1。
5（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2）求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E。
ABC的体积．错误!.4、如图1.3，四棱锥P。
ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；(2）设AP＝1，AD＝错误!，三棱锥PABD的体积V＝错误!，求A到平面PBC的距离．错误!图13。
5、如图16所示,三棱锥A . BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD 。
（1）求证：CD ⊥平面ABD ；(2）若AB ＝BD ＝CD ＝1,M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积．错误!图1。
66、如图1。
4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°,E ，F ，G 分别为AC ，DC ,AD 的中点．（1）求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D 。
BCG 的体积．错误!。
7、如图， 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心， A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A（Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1； (Ⅱ） 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ，AB AD ⊥,5BC =,3DC =，4AD =，60PAD ∠=。
立体几何文科解答题
立体几何文科解答题01、已知三棱柱ABC AB1C1 中，CC, 底面ABC , AB=AC =AA i 2 , BAC 90°, D,E,F 分别为BAC1C, BC的中点.(I )求证：DE//平面ABC ；(II)求证：平面AEF 平面BCC1B,;(III) 求三棱锥A-BCB的体积.B 02、如图4,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , E、F分别是PC、PD的中点，求证:(I) EF //平面PAB; (H)平面PAD丄平面PDC .03、如图，三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱AA1 底面ABC , 在A1B上，且AB CP。
(1)证明：P为A1B中点；(2)若A1B AC1，求三棱锥P—A1AC的体积。
04.已知正六棱柱ABCDEF ABQ1D1E1F1的所有棱长均为2, G为AF的中点。
F,(1) 求证：F,G //平面BB.E.E ;(2) 求证：平面F-| AE丄平面DEE1D1;(3) 求四面体EGFF1的体积。
05、如图,(1) 已知求证:06、如图，已知ABCD为矩形，DQ 平面ABCD , AD DD1 1 , AB=2，点E是AB的中点.08、如图，矩形ABCD中，AD 平面ABE , AE BF 平面ACE . (I)求证：AE 平面BCE ;(H)求证；AE //平面BFD ；(川)求三棱锥C BGF的体积.EB BC 2，F为CE上的点，且E C B10、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ABGD i中，E、F分别为DD i、DB的中点.(1)求证：EF //平面ABC i D i ；(2)求证：EF BC ; (3)求三棱锥V B’EFC的体积. C i C11、在直四棱柱ABCD A i B i C i D i 中，AA i 2,底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B i B、DA 的中点.(I )直线BF //平面AD1E ；( n )求证：D1E 面AEC .JLE13、如图，在长方体 ABCD AB i C i D i 中，点E 在棱CC i 的延长线上，且 CC iC i EBC -AB 1 .2(I)求证：D 1E //平面 ACB 1 ; (n)求证：平面 D 1B 1E 平面DCB 1 ;(川)求四面体 D 1B1AC 的体积.丄AP ，垂足为 丘，将厶ADP沿AP 折起•使点D 位于D '位置，连D 'B 、D 'C 得四棱锥D '— ABCP .(I )求证D ' F 丄AP ;(II )若 PD=1并且平面 D ' AP 丄平面ABCP ，求四棱锥 D —ABCP 的体积12、如图6,正方形ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面 相交于CD , AE 平面CDE ，且AE 3, AB 6 •(1) 求证：AB 平面ADE ； (2) 求凸多面体 ABCDE 的体积.14、已知P 在矩形 ABCD 边DC 上，AB=2 , BC=1 , F 在AB 上且 DFAEAF FBi6、如图，在底面是正方形的四棱锥G为AC上一点.(I)求证：BD丄FG;平面PBD，并说明理由.(II)确定点17 已知直P—ABCD 中，PA丄面ABCD , BD 交AC于点E, F是PC中点, 棱柱ABC A i B i C iACB 90 , AC BC 2, AA i 4。
高中文科数学：立体几何专题1
高三文科数学: 立体几何专题一. 选择题:1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示, 若该几何体的表面积为16+20π, 则r=（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 82.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）183. 在一个几何体的三视图中, 正视图与俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为4.平面α截球O的球面所得圆的半径为1, 球心O到平面α的距离为, 则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π5. 若m, n是两条不同的直线, α, β是两个不同的平面, 则下列命题不正确的是()A. 若α∥β, m⊥α, 则m⊥βB. 若m∥n, m⊥α, 则n⊥αC．若m∥α, m⊥β, 则α⊥βD．若α∩β＝m, 且n与α, β所成的角相等, 则m⊥n二. 填空题:6.已知正四棱锥的体积为, 底面边长为, 则以为球心, 为半径的球的表面积为________。
7. 已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 若圆锥底面面积是这个球面面积的, 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________.8．已知平面α, β和直线m, 给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时, 有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题:9．如图, 四边形ABCD为菱形, G为AC与BD的交点, BE⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明: 平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°, AE⊥EC, 三棱锥E—ACD的体积为, 求该三棱锥的侧面积10. 如图,在四棱锥中,,,,⊥,E和F分别是CD和PC的中点,平面PAD⊥底面ABCD,PA ADBE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD 求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//11. 如图在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I) 证明:AD⊥C1E;(II)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三棱锥C1-A2B1E的体积.。
文科立体几何解答题类型总结及其答案
F E C A D A 1C 1B 1B C A D F E A B C M N A 1 B 1 C 1 B C B A 1C 1A D C 1D 1B 1A C D B E F A C B 11A 1D 《立体几何》解答题1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点.求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D⊥B 1C 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）平面A 1FD⊥平面BB 1C 1C.（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点.（Ⅰ）求证：BC∥平面MNB 1； （Ⅱ）求证：平面A 1CB⊥平面ACC 1A 1．4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC⊥BC, 点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M⊥平面CDB 1？5. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB 1E ； （Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积.6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点.求证：（Ⅰ）A 1C∥平面FBD ； （Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B.（第5题） （第6题） （第7题）7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB 1D 1； （Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1；（Ⅲ）如果AB ＝1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值并说明理由.8. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝2BB 1, 设B 1D BC 1＝F. （Ⅰ）求证：A 1C∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求证：BC 1⊥平面AB 1D. （第8题）C 1D 1B 1C D A 1M AB CD A 1 B 1C 1D 1 M A CE NF A 11A B C 1C E F D D C B PQ M A B C M P D D E B 1A 1C 1C AF M 9. 如图所示,在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1中, DB ＝BC, DB⊥AC, 点M 是棱BB 1上一点.(Ⅰ)求证：B 1D 1 ∥面A 1BD ； (Ⅱ)求证：MD⊥AC； (Ⅲ)试确定点M 的位置, 使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.10. 四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为8的菱形，∠BAD＝60°,若PA ＝PD ＝5，平面PAD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)求证：AD⊥PB；(Ⅲ)若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF⊥平面ABCD ，并证明你的结论？（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）11. 如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证：AE⊥B E ；(Ⅱ)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ．12. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，E 是AA 1上一点，且AE ＝2.(Ⅰ) 求证：B 1F⊥平面ADF ； （Ⅱ）求证：BE∥平面ADF.13. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，Q 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝t PC ，试确定实数t 的值，使得PA∥平面MQB.14. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8.（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD ；（Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA∥平面MBD ？（Ⅲ）求四棱锥P －ABCD 的体积．（第13题） （第14题）（第16题） 16. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.F G G A CD E C D E F D C P A B （第18题） E A PDC F AD P A D BC P E F A C E FD FE P 17. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ，使得面BDR⊥面DCB ，并说明理由.（第17题）18. 在四棱锥P － ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD ，平面PAD⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若平面PAB 平面PCD l ，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由. 19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：CF∥平面BAE. （第19题） 20. 如图, ABCD 为矩形，CF⊥平面ABCD ，DE⊥平面ABCD ，AB ＝4a ，BC ＝CF ＝2a ，P 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面P CF⊥平面PDE ； （Ⅱ）求四面体PCEF 的体积.（第20题） （第21题）21. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, ∠ACB＝90°, E , F , G 分别是AA 1 , AC , BB 1的中点，且CG⊥C 1G.(Ⅰ)求证：CG∥平面BEF ； (Ⅱ)求证：CG⊥平面A 1C 1G.22. 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB∥CD，CD⊥BC，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE ； （Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得FG∥平面PDE.A B C M N A 1 B 1 C 1 E B CB A 11A D F EC AD A 1C 1B1C A D F E23. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ， （第23题） ∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，λ==ADAF AC AE （10<<λ）. （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当为λ何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？《立体几何》解答题参考答案1. 证明：（Ⅰ）∵E、F 分别是AB 、BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线 ∴ EF∥AD又∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD, ∴直线EF∥面ACD（Ⅱ）∵AD⊥BD, E F∥AD, ∴EF⊥BD , ∵CB＝CD, F 是BD 的中点, ∴CF⊥BD又EF ⋂CF ＝F, ∴BD⊥面ECF, ∵BD ⊂面BCD, ∴面EFC⊥面BCD2. 证明：（Ⅰ）因为E, F 分别是A 1B, A 1C 的中点，所以EF∥BC，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF∥平面ABC ；（Ⅱ）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以BB 1 ⊥平面A 1B 1C 1，BB 1 ⊥A 1D ，又A 1D⊥B 1C.所以A 1D⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD⊥平面BB 1C 1C.（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 证明：（Ⅰ）因BC∥B 1C 1， 且B 1C 1⊂平面MNB 1， BC ⊄平面MNB 1，故BC∥平面MNB 1．（Ⅱ）因BC⊥AC，且ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，故BC⊥平面ACC 1A 1． 因BC ⊂平面A 1CB ， 故平面A 1CB⊥平面ACC 1A 1．4. 证明：（Ⅰ）∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A 1ABB 1, ∵AC＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD⊥AB, 面ABC ⋂面A 1ABB 1 ＝AB ∴CD⊥平面A 1ABB 1（Ⅱ）连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连结DE ．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE∥AC 1∵DE ⊂平面CDB 1 , AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1.（Ⅲ）存在点M 为B. 由（Ⅰ）知 CD⊥平面A 1ABB ，又 A 1B ⊂平面A 1ABB ，∴CD⊥A 1B ∵AC＝BC ＝CC 1，AC⊥BC，点D 是AB 的中点． ∴A 1A : AB ＝BD : BB 1＝1:2, ∴A 1B⊥B 1D, 又CD ⋂B 1D ＝D, ∴A 1B⊥平面CDB 1.5. 解：（Ⅰ）∵棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，且E 为BC 的中点， ∴平面ABC⊥平面BCC 1B 1，又AE⊥BC 且AE ⊂平面ABC, ∴AE⊥平面BCC 1B 1而D 为CC 1中点，且BD ⊂平面BCC 1B 1 ∴ AE⊥BD由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B 1BE,即111+=+90CBD B EB BB E B EB ∠∠∠∠=︒，故BD⊥B 1E, 又AE ⋂B 1E ＝E ， ∴BD⊥平面AB 1E（Ⅱ）由AE⊥平面BCC 1B 1知∠AB 1E 是直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成的角，设为θF F C 1A 1C BB 11∵正三棱柱ABC－A 1B1C 1的所有棱长都为2 , ∴在Rt △AEB 1中1sin 4AE AB θ===（Ⅲ）C ABD A CBD V V --= 11121332BCD S AE ∆=⋅=⨯⨯⨯= 6. 证明：（Ⅰ）连结AC, 设AC ⋂BD ＝O.∵F 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴FO∥A 1C∵A 1C ⊄平面BFD ，FO ⊂平面BFD ∴A 1C∥平面BFD（Ⅱ）设正方体棱长为1 . ∵23,26,22,2311====FC O C OC FO ∴21212FC OC FO =+ ∴ FO⊥OC 1又∵AA 1 ⊥平面ABCD ∴ AA 1⊥BD ∵ BD⊥AC ∴BD⊥平面A 1ACC 1∵ FO ⊂平面A 1ACC 1 ∴ BD⊥FO ∵ BD ⋂C 1O ＝O ∴ FO⊥平面BDC 1∵ FO ⊂平面BFD ∴ 平面BFD⊥平面C 1BD另证：∵122CC AO OC FA == ∴ Rt△FAO∽Rt△OCC 1 ∴∠FOA＝∠OC 1C ∴∠FOA＋∠COC 1 ＝∠OC 1C ＋∠COC 1＝90° ∴∠FOC 1＝90° ∴FO⊥OC 17. （Ⅰ）证明：连结BD. 在长方体AC 1中，对角线BD∥B 1D 1.又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴ EF∥BD . ∴ EF∥B 1D 1又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1， ∴ EF∥平面CB 1D 1.（Ⅱ）证明： 在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1. 又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又 B 1D 1⊂平面CB 1D 1， ∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（Ⅲ）解：最小值为23.如图，将正方体六个面展开，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的中点，所求的最小值为23.8. 证明：（Ⅰ）连结A 1B, 设A 1B 与AB 1交于E, 连结DE∵点D 是BC 的中点，点E 是A 1B 的中点 ∴ DE∥A 1C∵ A 1C ⊄平面AB 1D , DE ⊂平面AB 1D ∴ A 1C∥平面AB 1D（Ⅱ）∵△ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点 ∴ AD⊥BC∵平面ABC⊥平面B 1BCC 1 ，平面ABC ⋂平面B 1BCC 1＝BC ，AD ⊂平面ABC∴ AD⊥平面B 1BCC 1 ∵BC 1⊂平面B 1BCC 1 ∴ AD⊥BC 1 ∵ 点D 是BC 中点，BC ＝2BB 1 ∴ BD ＝22BB 1 ∵2211==BC CC BB BD ∴ Rt△B 1BD∽Rt△BCC 1 ∴ ∠BDB 1＝∠BC 1C, ∴ ∠FBD＋∠BDF＝∠C 1BC ＋∠BC 1C ＝90° ∴ BC 1 ⊥B 1D∵B 1D ⋂AD ＝D ∴ BC 1 ⊥平面AB 1D9. (Ⅰ)证明：由直四棱柱, 得BB 1∥DD 1 ,且BB 1＝DD 1. 所以BB 1D 1D 是平行四边形, 所以B 1D 1 ∥BD1C AM A B D C E PN F M A 11BC 1C FD M A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 N N 1 O 而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，所以B 1D 1 ∥平面A 1BD(Ⅱ)证明：因为BB 1 ⊥面ABCD,AC ⊂面ABCD ，所以BB 1 ⊥AC又因为BD⊥AC,且1BD BB B ⋂=，所以AC⊥面BB 1D而MD ⊂面BB 1D ，所以MD⊥AC(Ⅲ)当点M 为棱BB 1的中点时, 平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D取DC 的中点N, D 1C 1中点N 1, 连结NN 1交DC 1于O, 连结OM.因为N 是DC 中点, BD ＝BC, 所以BN⊥DC；又因为DC 是面ABCD 与面DCC 1D 1的交线,而面ABCD⊥面DCC 1D 1,所以 BN⊥面DCC 1D 1又可证得,O 是NN 1的中点,所以BM∥ON 且BM ＝ON, 即BMON 是平行四边形, 所以BN∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 11, 因为OM ⊂面DMC 1, ai 所以平面DMC 1 ⊥平面D D CC 11.10. 解：(Ⅰ) 过P 作PM ⊥AD 于M ， ∵面PAD ⊥面ABCD, ∴PM ⊥面ABCD ， 又PA ＝PD ＝5∴M 为AD 的中点且PM ＝34522=-, ∴3323238831=⨯⨯⨯⨯=-ABCD P V (Ⅱ)证明：连结BM ， ∵BD＝BA ＝8， AM ＝DM , ∴AD⊥BM又AD⊥PM , BM ⋂PM ＝M∴AD⊥面PMB 又PB ⊂面PMB ∴ AD⊥PB(Ⅲ) 能找到并且F 为棱PC 的中点证法一：∵F 为PC 的中点，∴EF ∥PB ， 又由(Ⅱ)可知AD ⊥面PMB ，∴AD ⊥DE ，AD ⊥EF∴AD ⊥面DEF ， 又AD ⊂面ABCD ， ∴面DEF ⊥面ABCD证法二：设CM ⋂DE ＝O, 连结FO ， ∴O 为MC 的中点在△PMC 中FO ∥PM ， ∵PM ⊥面ABCD ， ∴FO ⊥面ABCD又FO ⊂面DEF ， ∴面DEF ⊥面ABCD11. 证明：（Ⅰ）因为BC⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE⊥BF，又BF ⋂BC ＝B ，所以AE⊥平面BCE, 又BE ⊂平面BCE ，所以AE⊥BE．（Ⅱ）取DE 的中点P ，连接PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以PN∥DC，且DC PN 21=， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点， 所以AM∥DC，且DC AM 21=， 所以PN∥AM，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN∥AP 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN∥平面DAE.12. 证明：（Ⅰ） 因为 AB ＝AC ， D 为BC 的中点， 所以AD⊥BC又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC,所以AD⊥BB 1 , 又BC ⋂BB 1＝B, 所以AD⊥平面BCC 1B 1 ，又B 1F ⊂平面BCC 1B 1，所以AD⊥B 1F, 在矩形BCC 1B 1中， C 1F ＝CD ＝1, CF ＝C 1B 1＝2,所以Rt△DCF≌Rt△FC 1B 1 , 所以 ∠CFD＝∠C 1B 1F所以 ∠B 1FD ＝90°, 所以B 1F⊥FD, 又AD ⋂FD ＝D,所以B 1F⊥平面ADF. （Ⅱ）连结EF, EC, 设EC ⋂AF ＝M, 连结DM, 因为AE ＝CF ＝2, 又AE∥CF, AC⊥AE ,所以 四边形AEFC 是矩形，所以M 为EC 中点，又D 为BC 中点，所以 MD∥BE ，因为MD ⊂平面ADF, BE ⊄平面ADF ，所以BE∥平面ADF.AB13. 解：（Ⅰ）连结BD ，四边形ABCD 是菱形 ∵AD＝AB ，∠BAD＝60°∴△ABD 为正三角形，Q 为AD 的中点， ∴AD⊥BQPA ＝PD , Q 为AD 的中点，∴ AD⊥BQ 又BQ ⋂PQ ＝Q,∴ AD⊥平面PQB, 又AD ⊂平面PAD, ∴ 平面PQB⊥平面PAD（Ⅱ）当31=t 时，使得PA∥平面MQB ，连结AC 交BQ 于N ， 交BD 于O ，则O 为BD 的中点，又 BQ 为△ABD 边AD 上的中线，∴ N 为正△ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则a AN 33=，a AC 3=. ∵ PA∥平面MQB , PA ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面MQB ＝MN ， ∴ PA∥MN 31333===a a AC AN PC PM 即：PC PM 31=， ∴ 31=t . 14. 解：（Ⅰ）在△ABD 中，∵AD＝4, BD ＝34, AB ＝8，∴222AD BD AB +=． ∴ AD⊥BD又 ∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD⊥平面PAD ．又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD⊥平面PAD. （Ⅱ）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD.证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．∵AB∥DC，所以四边形ABCD 是梯形．∵AB ＝2CD ， ∴ CN : NA ＝1 : 2．又 ∵CM : MP ＝1 : 2，∴CN : NA ＝CM : MP ∴ PA∥MN. ∵ PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，∴ PA∥平面MBD.（Ⅲ）过P 作PO⊥AD 交AD 于O ， ∵平面PAD⊥平面ABCD ，∴PO⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P －ABCD 的高. 又 ∵△PAD 是边长为4的等边三角形，∴4PO=. 在Rt△ADB 中，斜边AB=ABCD 的高． ∴梯形ABCD 的面积482ABCD S +=⨯故1243P ABCD V -=⨯. 16. 证明：（Ⅰ）由直三棱柱可知CC 1⊥平面ABC, 所以CC 1⊥AC又因为AC⊥BE, CC 1⋂BE ＝E, AC⊥面BCE, 所以AC⊥BC又在直三棱柱中，CC 1⊥BC, AC ⋂CC 1＝C ，故BC⊥平面ACC 1A 1 , C 1D ⊂平面ACC 1A 1 , 所以BC⊥C 1D（Ⅱ）连结AE ，因为C 1E∥DA ，且C 1E ＝DA ，所以四边形ADC 1E 为平行四边形，所以C 1D∥EA，在△AEB 中，因为M, F 分别为BE, BA 的中点，所以MF∥EA，所以C 1D∥MF，又C 1D ⊄平面B 1FM ，MF ⊂平面B 1FM ，所以C 1D∥平面B 1FM17. 证明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE, DE⊥EC, AE ⋂EC ＝E, ∴DE⊥平面ABCE,∴DE⊥BC, 又BC⊥CE, DE ⋂EC ＝E , ∴BC⊥平面DCE（Ⅱ）取AB 中点H ，连接GH , FH. ∴GH∥BD, FH∥BC,∴GH∥平面BCD, FH∥平面BCD∴平面FHG∥平面BCD, ∴GF∥平面BCD （或证明CQ∥FG）（Ⅲ）当R 点满足3AR ＝RE 时，平面BDR⊥平面BDC. 证明：取BD 中点Q ，连结DR , BR , CQ , RQD计算得2,,222CD BD CR DR CQ =====, 在△BDR 中5,2BR DR BD === 延长BQ 到S 使SQ ＝RQ ，则在平行四边形BRDS 中, 对角线的平方和等于四边的平方和.由2222)2()(2RQ BD DR BR +=+可知2RQ =, ∴在△CRQ 中,222CQ RQ CR += , ∴ CQ⊥RQ 又在△CBD 中, CD ＝CB, Q 为BD 的中点，∴CQ⊥BD , BD ⋂RQ ＝Q ∴CQ⊥平面BDR , 又CQ ⊂平面BDC, ∴平面BDC⊥平面BDR18. 解：（Ⅰ）因为∠ABC ＝90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面ABCD ＝AB, 所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA. 由于AB 、AD ⊂平面ABCD ，且AB AD ＝C, 所以PA⊥平面（Ⅱ）（解法一）不平行.证明：假定直线l ∥平面ABCD,由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD 平面ABCD ＝CD, 所以l ∥CD. 同理可得l ∥AB, 所以AB∥CD.这与AB 和CD 是直角梯形ABCD 的两腰相矛盾, 故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行.（解法二）因为梯形ABCD 中AD∥BC, 所以直线AB 与直线CD 相交，设AB CD ＝由T ∈CD ，CD ⊂平面PCD 得T ∈平面PCD. 同理T ∈平面即T 为平面PCD 与平面PAB 的公共点，于是PT 为平面PCD 与平面PAB 的交线. 所以直线l 与平面ABCD 不平行.19. 证明：（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD ，所以PA⊥CD，又AC⊥CD，且AC ⋂PA ＝A ， 所以CD⊥平面PAC ， 又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC⊥平面PCD ．（Ⅱ）解法一：取AE 中点G ，连接FG ，B G ． 因为F 为ED 的中点，所以FG∥AD 且FG ＝12AD ． 在△ACD 中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD ． 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB＝60°，从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC．综上，FG∥BC，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF∥BG．又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF∥平面BAE ．解法二：延长DC 与AB 交于G 点，连接EG ．因为在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠CAB＝60°,所以∠CAB＝∠C AD ， 即AC 为∠DAG 的平分线．又AC⊥CD，所以AG ＝AD ，C 为DG 中点，又F 为ED 的中点．所以CF∥EG．根据EG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF∥平面BAE ．A B 1B A E GE B CAF P 20. 解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，AB ＝2BC, P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC ＝45°.同理可证∠APD＝45°. 所以∠DPC＝90°，即又DE⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC⊥DE. 因为DE ⋂PD ＝D ，所以PC ⊥PDE .又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF⊥平面PDE.（Ⅱ）因为CF⊥平面ABCD ，DE⊥平面ABCD ，所以DE∥CF . 又DC⊥CF，所以211424.22CEF S DC CF a a a ∆=⋅=⨯⨯= 在平面ABCD 内，过P 作PQ⊥CD 于Q ，则PQ ∥BC ，PQ ＝BC ＝2a .因为BC⊥CD，BC⊥CF， 所以BC⊥平面PCEF ，所以 PQ⊥平面DCEF ，亦即P 到平面DCEF 的距离为PQ ＝2a.2311842.333PCEF P CEF CEF V V PQ S a a a -∆==⋅=⋅⋅= （注：本题亦可利用31863P CEF B CEF E BCF D BCF V V V V DC BC CF a ----====⋅⋅=求得） 21. 证明：(Ⅰ)连结AG 交BE 于D, 连接DF , EG. ∵ E , G 分别是AA 1 , BB 1的中点，∴AE∥BG 且AE ＝BG,∴四边形AEGB 是平行四边形. ∴ D 是AG 的中点,又∵ F 是AC 的中点, ∴DF∥CG则由DF ⊂面BEF, CG ⊄面BEF, 得CG∥面BEF (注：也可证明平面A 1CG∥平面BEF)(Ⅱ) ∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C⊥底面A 1B 1C 1, ∴C 1C⊥A 1C 1 .又∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB＝90°, 即C 1B 1 ⊥A 1C 1, ∴ A 1C 1⊥面B 1C 1CB而CG ⊂面B 1C 1CB, ∴ A 1C 1⊥CG 又CG⊥C 1G, ∴CG⊥平面A 1C 1G22. 解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD, PA⊥AB, AB ⋂AD ＝A ，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）证明：因为BC ＝PB ＝2CD, A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，又E 为BC 边的中点，所以AE⊥ED.又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PA ⋂AE ＝A, 所以ED⊥平面PAE ，而ED ⊂平面PDE ，故平面PAE⊥平面PDE. （Ⅲ）过点F 作FH∥ED 交AD 于H ，再过H 作GH∥PD 交PA 于G, 连结FG.由FH∥ED, ED ⊂平面PED, 得FH∥平面PED ； 由GH∥PD，PD ⊂平面PED ，得GH∥平面PED ， 又FH ⋂GH ＝H ，所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE.再分别取AD 、PA 的中点M 、N ，连结BM 、MN ， 易知H 是AM 的中点，G 是AN 的中点，从而当点G 满足AG ＝41AP 时，有FG∥平面PDE.23. 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD ， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC 且AB ⋂BC ＝B ， ∴CD⊥平面ABC.又∵λ==AD AF AC AE （10<<λ）∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF, ∴不论λ为何值, 恒有平面BEF⊥平面ABC.B （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD ，∴BE⊥平面ACD ，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD ＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴,660tan 2,2===AB BD ∴722=+=BC AB AC 由AB 2＝AE·AC 得76=AE , ∴76==AC AE λ 故当76=λ时，平面BEF⊥平面ACD.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
立体几何大题练习(文科)(含详解)
立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥，ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线B 段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由.7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =，BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC 的值.9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .试题解析：（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1AC OD . 又1AC ⊄面1AB D ， OD ⊂面1AB D ， ∴1A C 面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形， D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =， AD ⊂面ABC .∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥， 1AD B D D ⋂=， AD ， 1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.【试题解析】（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得1DE AC ，因为DE ⊂平面1B CD ， 1AC ⊄平面1B CD ，所以1AC 平面1B CD .（2）当CD AB ⊥时平面11ABB A ⊥平面1CDB .证明：因为1AA ⊥平面ABC ， CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又CD AB ⊥， 1AA AB A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ，因为CD ⊂平面1CDB ，所以平面11ABB A ⊥平面1CDB ，故点D 满足CD AB ⊥.因为5AB =， 3AC =， 4BC =，所以222AC BC AB +=，故ABC ∆是以角C 为直角的三角形，又CD AB ⊥，所以95AD =.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.试题解析：（1）证明：连接BD ，由于//AB CD ，点E 为CD 的中点，DE AB =， AB AD ⊥，所以四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥，设BD 与AE 相交于点O ，又△PAB 与△PAD 均为等边三角形，可得PB PD =，在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAE ⊥平面ABCD ．（2）由2CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， PA =PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设点F 到平面BCE 的距离为h ，又2CF PF =，所以223h PO =⋅=，BEC S ∆= 12BE CE ⋅⋅= 192⨯=， F BEC V -= 13BCE S h ∆⋅⋅= 19263⨯⨯=， 所以，三棱锥F BEC -的体积为6． 4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥， ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.【试题解析】（Ⅰ）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，因F 为CD 的中点， 所以1//2MF ED ，又AB // 12ED , 所以//MF AB ，四边形ABMF 为平行四边形，所以MB//AF ,因为BM ⊂平面BCE ， AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面.BCE（Ⅱ）因为ACD ∆是正三角形，所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中， 1,2,AB AC BC ===所以222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，∴DE ⊥AC ，又DE ⊥AD ,AC∩AD=A∴DE ⊥平面ACD∴DE ⊥AF,又AF ⊥CD ，由（Ⅰ）得BM ∥AF∴DE ⊥BM, BM ⊥CD ，DE∩CD=D∴BM ⊥平面CDE ，BM ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE（Ⅲ）连接DM ，由于DE =DC∴DM ⊥CE由（Ⅱ）知，平面BCE ⊥平面CDE ，∴DM ⊥平面BCE所以DM 为D 到平面BCE 的距离，DM所以D 到平面BCE5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.试题解析：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，又CF ⊂平面CDEF ，则AD ⊥CF ．又因为AE ⊥CF ，AD ∩AE ＝A ，所以CF ⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，从而有CF ⊥DE ．（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ，所以FM ⊥平面ABCD ．因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ，所以FM ＝CM ＝1，所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝＋＝．6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由. 解析：(1)证明：因为CD ⊥平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥，又因为AE DE ⊥， CD DE D ⋂=， 所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE .(2)结论：在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF 平面BCE . 解：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ，所以CD AB .又因为3CD AB =，所以MF AB =， FM AB ，所以四边形ABMF 为平行四边形，则AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ， BM ⊂平面BCE ，所以AF 平面BCE .7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.试题解析：（1）2,4,3AD BD ADB π==∠=，由余弦定理得， 222AB BD AD AB =∴=+，故AB AD ⊥又点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ， PM ∴⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABDPM AB ∴⊥，又,,PM AD M PM AD ⋂=⊂平面PAD ， AB PAD ∴⊥（2）连接PM ⊥平面,ABD AD ⊂平面,ABD PM AD ∴⊥又M 为AD 的中点， 1MD AM ∴==设PM h =，则PD BM PB =====222PD PB PD PB BD ⊥∴+=，即2211316,1h h h +++=∴=//,AB CD AB AD CD AD ⊥∴⊥，又3ADB π∠=∴在等腰BCD ∆中， 1,,cos 2662BC DC CDB CD BD ππ=∠=∴==,3CD ∴=∴梯形ABCD 的面积为122⨯⨯=⎝113P ABCD V -∴==8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =， BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PM MC 的值. 试题解析：（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥， PA AB ⊥,所以PB =又由于PA∩AB ＝A ，故BC ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB,所以BC PB ⊥,所以ACB ∆， PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，12PCB S ∆==．（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ．由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ．又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ．因为ABN ∆与ACB ∆相似， 12AB AB AN AC ⋅==， 从而NC ＝AC －AN ＝．由MN ∥PA ，得＝＝．9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.试题解析：（1）取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ， EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =， 所以//EF AB ．又222AB CD DN EF ====， //AB CD ，所以//EF CD ， EF DN =.所以四边形EFND 为平行四边形.所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以//FN 平面BDE ，又FN MN N ⋂=，所以平面//MFN 平面BDE .又MF ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ，因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===，所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥，因为EH BH ==BE =所以12BDE S ∆==，设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为11422BDM BCD S S ∆∆===，所以由E BDM M BDE V V --=，得113232h =⨯⨯，解得5h =. 即F 到平面BDE 的距离为5． 10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离. 试题解析：（1)证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥,∵11,AB B C AB BC B ⊥⋂=,∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥．∵1AB AC =, O 是1BC 的中点，∴1AO B C ⊥，∵11B C BC O ⋂=，∴AO ⊥平面11BB C C .(2)设菱形11BB C C 的边长为x ，又160B BC ∠=︒，∴1BB C ∆是等边三角形，则1B C x =．由（1)知1AO B C ⊥，又O 是1B C 的中点， ∴1AB AC =，又160B AC ∠=︒，∴1AB C ∆是等边三角形，则11AC AB B C x ===， 在Rt ACO ∆中，AO x ==，∴1131111sin12013328A BCC BCC V S AO x x x x -∆=⋅=⨯⋅⋅⋅=⋅=， 解得2x =. 在Rt ABO ∆中，BO x ===， 在Rt BCO ∆中，AB x ===11122ABB S AB ∆=⨯==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由111111C ABB A BB C A BCC V V V ---===，得111133ABB S h h ∆⋅⋅==，解得h =， 即点1C 到平面1ABB.。
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证明：（1）直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ，由（1）同理可得 平面 .
（2平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，满足定理所需条件；
（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．
解：(1)如图所示，
4．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．
（2）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG⊄平面BEF，有EF⊂平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．
所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
同理可证 平面 .
又 ，
所以平面 平面 .
又 平面 ，
所以 平面 .
（3）取 中点 ，连接 .
在 中， 分别为中点，所以 ，
因为 底面 ，所以 底面 .
由 ，可得 .
点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，证明过程一定要严密，紧扣定理内容.
试题解析：（1）证：设 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，且 平面 平面 .
（2） .
7．（I）详见解析；（II）详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，连接 ,利用三角形的中位线的性质证得 ，再利用直线和平面平行的判定定理证得 平面 ；（Ⅱ）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 平面 ，再利用勾股定理得
同理可证 ，因此 ，
由于四边形 为正方形，所以 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，
故 平面 ，从而 ，
又 ，故 平面 ，所以 ..
(2)因为 ，
.
所以，三棱锥 的体积为 .
6．(1)见解析；(2) ．
【解析】试题分析：（1）设 ，连接 ，由中位线定理可得 ，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据等积变换及棱锥的体积公式可得， .
（3）求四棱锥 的体积.
11．如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， , .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积；
12．如图，在直三棱柱 中，点 分别在棱 上（均异于端点），且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 .
13．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点.
2．（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：（I）连接 交 于点 ，连接 ，通过证明 ，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．
（II）要求三棱锥 的体积，转化为 即可求解．
试题解析：
（1）连接 交 于点 ，连接 .
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形.
∴点 是 的中点.
∵点 为 的中点，
∴四棱锥 的体积 .
11．(1)见解析 (2)
【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取 中点 ，由于平面 为等边三角形，则 ，利用面面垂直的性质定理可推出 底面ABCD，设 ，表示相关的长度，利用 的面积为 ，求出四棱锥的体积.
试题解析：
（1） 在平面 内，因为 ,所以
（1）证明：连接 ，则 是 的中点， 为 的中点，故在 中， ，
且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
(2)取 的中点 ，连接 ，
∵ ，∴ ,∵ ,∴ 为直角三角形，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ .
点睛：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积．
9．（1）见解析（2）
试题解析：（1）证明：∵ 分别为 的中点，
则 ∥ .又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 .
.
试题解析：（1）证明：取 中点 ,连接 ，则
∵ 是 的中点，
∴ ；
∵ 是 的中点，
∴ ,
∴四边形 为平行四边形，
∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ；
（2）∵ ,
∴ ,
∴
15．（1）证明见解析（2）三棱锥 的体积
【解析】
试题分析：（1）由中位线定理可得 ∥ ∥平面 .再证得 ∥ ∥平面 平面 ∥平面 ；（2）由（1）知，平面 ∥平面 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 .
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
4．在三棱锥 中， 底面 为 的中点， 为 的中点，点 在 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 ，求三棱锥 的体积.
5．如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ， ， 为 中点，平面 平面 .
∴ ，
∴ ，∴ ．
又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 ．
8．(1)见解析,(2) .
【解析】试题分析：（I）连接AC，由条件证明EF为三角形CPA的中位线，可得EF∥PA．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，由侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= ，可得PO垂直平面ABCD，且PO=1．再根据三棱锥P﹣BCD的体积V，运算求得结果．
解：（1）在三棱柱中，因 ，则 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ；
（2）取 中点为 ，连 ，由于 且 ，所以四边形 是平行四边形，故 平面 ，所以 平面 ；（3）因为 ，所以 。
14．（1）证明见解析 （2）
【解析】试题分析：（1）做辅助线，先证 及 四边形 为平行四边形 平面 ； （2）利用勾股定理求得
1．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形．点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，且平面 平面 ，试证明 平面 .
2．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
3．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（3）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E-ABC的体积．
试题解析：
（1）因为 底面 ，且 底面 ，
所以 .
由 ，可得 .
又 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 .
因为 为 的中点，所以 为 中点.
在 中， 分别为 中点.
∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）∵ ， ，
∴ .
在三棱柱 中，
由 平面 ，得平面 平面 .
又平面 平面 .
∴ 平面 .
∴点 到平面 的距离为 ，且 .
∴
.
3．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由 即可求解.
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积.
6．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为菱形， ， 为 的中点
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
7．如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，且平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ．
8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 分别为 的中点，平面 底面 .
（1）求证: 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
9．如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ，求三棱锥 的体积．
10．如图所示，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为等腰三角形， ，平面 平面 ，且 ， ， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
又 平面 平面 故 平面
（2）取 的中点 ，连接
由 及
得四边形 为正方形，则 .
因为侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，平面 平面 ，
所以 底面
因为 底面 ，所以 ,
设 ，则 ，取 的中点去），
于是
所以四棱锥 的体积
12．(1)见解析过程;(2)见解析过程.
16．如图所示，矩形 中， 平面 ， ， 为 上的点，且 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；
（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
14．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.