立体几何文科解答题16个

4．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．
（2）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG⊄平面BEF，有EF⊂平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积.
6．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为菱形， ， 为 的中点
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
7．如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，且平面 平面 ， 为 的中点， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ．
8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 分别为 的中点，平面 底面 .
所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
同理可证 平面 .
又 ，
所以平面 平面 .
又 平面 ，
所以 平面 .
（3）取 中点 ，连接 .
在 中， 分别为中点，所以 ，
因为 底面 ，所以 底面 .
由 ，可得 .
点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，证明过程一定要严密，紧扣定理内容.
.
试题解析：（1）证明：取 中点 ,连接 ，则
∵ 是 的中点，
∴ ；
∵ 是 的中点，
∴ ,
∴四边形 为平行四边形，
∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ；
（2）∵ ,
∴ ,
∴
15．（1）证明见解析（2）三棱锥 的体积
【解析】
试题分析：（1）由中位线定理可得 ∥ ∥平面 .再证得 ∥ ∥平面 平面 ∥平面 ；（2）由（1）知，平面 ∥平面 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 .
解：（1）在三棱柱中，因 ，则 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ；
（2）取 中点为 ，连 ，由于 且 ，所以四边形 是平行四边形，故 平面 ，所以 平面 ；（3）因为 ，所以 。
14．（1）证明见解析 （2）
【解析】试题分析：（1）做辅助线，先证 及 四边形 为平行四边形 平面 ； （2）利用勾股定理求得
∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）∵ ， ，
∴ .
在三棱柱 中，
由 平面 ，得平面 平面 .
又平面 平面 .
∴ 平面 .
∴点 到平面 的距离为 ，且 .
∴
.
3．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由 即可求解.
∴ ，
∴ ，∴ ．
又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 ．
8．(1)见解析,(2) .
【解析】试题分析：（I）连接AC，由条件证明EF为三角形CPA的中位线，可得EF∥PA．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，由侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= ，可得PO垂直平面ABCD，且PO=1．再根据三棱锥P﹣BCD的体积V，运算求得结果．
解：
（1）∵底面 是正方形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，又∵ ， ， ， 四点共面，且平面 平面 ，∴ .
（2）在正方形 中， ，又∵平面 平面 ，且平面 平面 ，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，由（1）可知 ，
又∵ ，∴ ，由点 是棱 中点，∴点 是棱 中点，
在 中，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ 平面 .
【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，则由三角形中位线性质得 ，再根据线面平行判定定理得 （2）利用等体积法将所求体积转化为 ，再根据锥体体积公式求 ，代入即得
试题解析：解：（1）连接 交 于点 ，连接 . 在 中，
（2） .
10．（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF∥PA，EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，满足定理所需条件；
5．（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：
（1）先依据题设条件运用面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到 再运用线面垂直的判定定理证明 平面 ，最后借助线面垂直的性质证明 ；
（2）先等积转换法将 ，然后再求出 的值。
（1）证明：连接 ，因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为菱形，从而 ，
（1）证明：连接 ，则 是 的中点， 为 的中点，故在 中， ，
且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
(2)取 的中点 ，连接 ，
∵ ，∴ ,∵ ,∴ 为直角三角形，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ .
点睛：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积．
9．（1）见解析（2）
又由（1）知， 平面 ，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
13．（1）见解析过程；（2）见解析过程；（3） .
【解析】【试题分析】（1）先证线面垂直，再证面面垂直；（2）先取 中点为 ，构造面 内的线 ，再运用中位线定理证明四边形 是平行四边形；（3）由于顶点 到底面的距离就是三棱柱的高，故直接求出底面 面积，运用三棱锥的体积计算：.
（1）求证: 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
9．如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ，求三棱锥 的体积．
10．如图所示，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为等腰三角形， ，平面 平面 ，且 ， ， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
4．在三棱锥 中， 底面 为 的中点， 为 的中点，点 在 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 ，求三棱锥 的体积.
5．如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ， ， 为 中点，平面 平面 .
16．如图所示，矩形 中， 平面 ， ， 为 上的点，且 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；
（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；
试题解析：（1）证明：∵ 分别为 的中点，
则 ∥ .又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 .
连接 .∵四边形 为矩形，且 为 的中点,
∴ 也是 的中点. 又 是 的中点， ,
∵ 平面 ， 平面 . 平面
(2) 证明：∵平面 平面 ， ，平面 平面 ，
∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面 平面 .
(3)取 的中点 ，连接 .∵平面 平面 ， 为等腰三角形，
∴ 平面 ，即 为四棱锥 的高.∵ ，∴ . 又 ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
14．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， 分别是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
15．如图，在四棱锥 中， ， ， 平面 ， .设 分别为 的中点.
（1）求证：平面 ∥平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
∴四棱锥 的体积 .
11．(1)见解析 (2)
【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取 中点 ，由于平面 为等边三角形，则 ，利用面面垂直的性质定理可推出 底面ABCD，设 ，表示相关的长度，利用 的面积为 ，求出四棱锥的体积.
试题解析：
（1） 在平面 内，因为 ,所以
（2平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，满足定理所需条件；
（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．
解：(1)如图所示，
同理可证 ，因此 ，
由于四边形 为正方形，所以 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，
故 平面 ，从而 ，
又 ，故 平面 ，所以 ..
(2)因为 ，
.
所以，三棱锥 的体积为 .
6．(1)见解析；(2) ．
【解析】试题分析：（1）设 ，连接 ，由中位线定理可得 ，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据等积变换及棱锥的体积公式可得， .
2．（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：（I）连接 交 于点 ，连接 ，通过证明 ，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．
（II）要求三棱锥 的体积，转化为 即可求解．
试题解析：
（1）连接 交 于点 ，连接 .
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形.
∴点 是 的中点.
∵点 为 的中点，
试题解析：（1）证：设 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，且 平面 平面 .
（2） .
7．（I）详见解析；（II）详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，连接 ,利用三角形的中位线的性质证得 ，再利用直线和平面平行的判定定理证得 平面 ；（Ⅱ）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 平面 ，再利用勾股定理得
（3）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E-ABC的体积．
试题解析：
（1）因为 底面 ，且 底面 ，
所以 .
由 ，可得 .
又 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 .
因为 为 的中点，所以 为 中点.
在 中， 分别为 中点.
，再利用平面 和平面垂直的判定定理证得平面 平面 .
试题解析：
（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，连接 ，
∵底面 是平行四边形，∴ 为 中点，
又 为 中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（Ⅱ）∵ ， 为 中点，∴ ，
又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ．
在 中， ， ，
1．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形．点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，且平面 平面 ，试证明 平面 .
2．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
3．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
试题解析:（I）因为 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（II）因为 ， 为 中点，所以 ，
由（I）知， ，所以 平面 .
所以平面 平面 .
（III）因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
因为 为 的中点，所以 ， .
由（I）知， 平面 ，所以 平面 .
所以三棱锥 的体积 .
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.
【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明 平面 ，再借助面面垂直的判定定理进行推证；（2）先探寻求证面 外的线 与面内的线 平行，再运用线面平行的判定定理进行推证：
证明：（1）直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ，由பைடு நூலகம்1）同理可得 平面 .
又 平面 平面 故 平面
（2）取 的中点 ，连接
由 及
得四边形 为正方形，则 .
因为侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，平面 平面 ，
所以 底面
因为 底面 ，所以 ,
设 ，则 ，取 的中点 ，连接 ，则 ,所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
解得 （舍去），
于是
所以四棱锥 的体积
12．(1)见解析过程;(2)见解析过程.
（3）求四棱锥 的体积.
11．如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， , .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积；
12．如图，在直三棱柱 中，点 分别在棱 上（均异于端点），且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 .
13．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， 、 分别为 、 的中点.