平面向量等和线及其应用
微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(解析版)
妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。
(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13 B.13,12C.[0,1]D.[1,2]【答案】C【解析】由题意，设AN =tAM，0≤t ≤1 ，当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0 ，所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μt AC ，因为M 、B 、C 三点共线，所以λt +μt=1，即λ+μ=t ∈0,1 .综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故选：C .2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.4【答案】A【解析】设BM =tBC ，将AN 用AB 、AC 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．设BM=tBC (0≤t ≤1)，AN =13NM ，所以AN =14AM =14(AB +BM )=14AB +14tBC =14AB+14t (AC -AB )=14-14t AB+14tAC ，又AN =λAB +μAC ，所以λ+μ=14-14t +14t =14．故选：A ．3(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23【答案】D【解析】由题意，AD =λAB +1-λ AC ，且0<λ<1，而AD =3AP =3AB +BP ，所以3AB +3BP =λAB +1-λ AC ，即BP =λ-33AB +1-λ3AC ，由已知，m =λ-33,n =1-λ3,则m +n =-23，选项D 正确.故选：D题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1【答案】B【解析】根据OA +OB +OC =0 可知O 为ΔABC 的重心；根据点M 在ΔOBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0所以O 为ΔABC 的重心M 在ΔOBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在ΔOBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 所以选B2(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]【答案】B【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令∠COB =θ，则θ∈0°,60° ，因为OA =1，则B 1,0 ，A 12,32,C cos θ,sin θ ，又OC =xOA +yOB ，则cos θ=x 2+y sin θ=32x ，则y =cos θ-13sin θx =23sin θ ，则x +3y =-233sin θ+4cos θ，又θ∈0°,60° ，易知f θ =-233sin θ+4cos θ为减函数，由单调性易得其值域为1,4 .故选：B .3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233【答案】D 【解析】设射线OB 上存在为B ，使OB =1λOB，AB 交OC 于C ，由于OC =xOA +yOB =xOA +λy 1λOB=xOA +λyOB ，设OC =tOC ，OC =x OA+λy OB ，由A ,B ,C 三点共线可知x +λy =1，所以u =x +λy =tx +t ∙λy =1，则μ=OC OC存在最大值1，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB平行的切线，所以λ∈32,233．故答案为32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是【答案】12,32【解析】如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(-∞,0)；当x =-12时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =32OB ，∴y 的取值范围是12，32 ．故答案为：12，322(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC ；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．【答案】①④【解析】设AP =λAB +μAC,λ,μ∈R ，由图可知：λ>0,μ>0,且λ+μ>1，∴①④正确，故答案为：①④3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.【答案】12,43【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得DG =-13DC，设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；GH ∥DE ，所以HE =13EC ，AH =23EC ，HG =43DE ，AH HC=12=AFFB ，所以FH ∥BC ；所以FH =13BC ，所以FH DG =KH KG，所以KG =35HK ，KG =38HG =12DE .所以实数x 的取值范围是12，43.故答案为：12，43 .题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为【答案】2【解析】因为点O 是BC 的三等分点，OC =2OB则AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13AC -13AB=23AB +13AC =2m 3AE +n 3AF ，又由点E ,O ,F 三点共线，所以AO =AE +EO =AE +λEF =AE +λAF -AE =1-λ AE +λAF，所以2m3=1-λn3=λ，可得2m 3+n3=1，所以1m +t n =2m 3+n 3 1m +t n =23+t 3 +2mt 3n +n 3m ≥23+t3 +22mt 3n ×n 3m=23+t 3 +22t 9，当且仅当2tm 2=n 2时，等号成立，即1m +t n 的最小值为23+t 3 +22t 9，则有23+t 3 +22t 9=83，即t +22t -6=0，所以t +32 t -2 =0，因为t >0，所以t =2，故答案为：2.2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.【答案】3-2【解析】∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC |=2|OB |，∴AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ，∵AB =mAE ，AC =nAF ，∴AO =23mAE +13nAF ，∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +13n =1，∴1m +t 2n =1m +t 2n 23m +13n =23+n 3m +2mt 23n +t 23≥22t 29+t 23+23=t 23+232t +23，当且仅当n 3m =2mt 23n ，即2m 2t 2=n 2时取等号，∴1m +t 2n 的最小值为t 23+232t +23，即t 23+232t +23=3，∵t >0，∴t =3-2．故答案为：3-2．3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.【答案】5+264【解析】依题意，作出图形如下，因为OC =3OB ，AB =mAE ，AC =nAF ，则BO =14BC ，所以AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB +14AC =3m 4AE +n 4AF ，因为E ,O ,F 三点共线，所以3m 4+n4=1，因为m >0，n >0，所以1m +2n =1m +2n 3m 4+n 4 =54+n 4m +6m 4n ≥54+2n 4m ⋅6m 4n =54+264，当且仅当n 4m =6m4n ，即n =6m =46-2 时取等号，所以1m +2n 的最小值为5+264.故答案为：5+264.题型五：yx问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数m ，使得AE =mAD0<m <1 .又AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34AC -AB =14AB+34AC ，所以AE =m 14AB +34AC =m 4AB +3m 4AC ，又∵AE =λAB +μAC ，且AB ,AC 不共线，故由平面向量的分解的唯一性得λ=m 4,μ=3m4.所以μλ=3.故答案为：3.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．【答案】233/233【解析】由BD =34BC ，得AD -AB =34(AC -AB )，即AD =14AB +34AC，因为点E 在射线AD (不含点A )上移动，所以AE =tAD =t 4AB+3t 4AC ，又因为AE =λAB +μAC ，所以λ=t 4,μ=3t4(t >0)，则λ+1μ=t 4+43t ≥213=233(当且仅当t 4=43t ，即t =433时取等号)，所以λ+1μ的最小值为233.故答案为：233．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，△ABC 中，BD =34BC，∴AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34(AC -AB )=14AB+34AC ，又点E 在线段AD (不含端点)上移动，设AE =kAD ，0<k <1，∴AE =k 4AB +3k 4AC ，又AE =λAB +μAC ，∴λ=k4μ=3k 4，∴λ+3μ=k 4+4k ．∵k 4+4k在(0，1)上单调递减，∴λ+3μ的取值范围为174，+∞ ，故选C ．题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．【答案】(1,+∞)【解析】因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE =kAD , 0<k ，又BD =34BC ，所以AE =k (AB +AD )=k AB +34(AC -AB ) =k 4AB+3k 4AC ，所以λ=k4μ=3k4 ，t =(λ+1)2+μ2=k 4+12+916k 2=58k +252+910>1，故(λ+1)2+μ2的取值范围1,+∞ .2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.【答案】 2-116【解析】因为在△ABC 中，BD =13BC，所以AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ,即AD =23AB +13AC .因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)，所以设AE =xAD(0<x <1).所以AE =2x 3AB +x 3AC ，对比AE =λAB +μAC 可得λ=2x 3,μ=x 3.代入λ=2x 3,μ=x 3，得λμ=2x3x 3=2；代入λ=2x 3,μ=x 3可得λ2-μ=2x 3 2-x 3=4x 29-x 3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =--132×49=38时，λ2-μ min =49×382-13×38=-116.故答案为：2;-1163(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.【答案】12【解析】BD =DC；∴D 为边BC 的中点，如图，则：AD =12(AB +AC )；∵E 在线段AD 上；∴设AE =kAD =k 2AB +k 2AC ，0≤k ≤1；又AE =λAB +μAC ；∴λ=k2μ=k2；即λ=μ，且0≤μ≤12；∴t =(μ-1)2+μ2=μ2-2μ+1+μ2=2μ-12 2+12；∴μ=12时，t 取最小值12．故答案为：12．4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【答案】18/0.125【解析】由M 为边BC 上任意一点，则BM =γBC,0≤γ≤1 ，AN =12AM =12AB +BM =12AB +γBC =12AB+γ2AC -AB =1-γ2AB +γ2AC ，可得λ=1-γ2μ=γ2，则λ+μ=12，即λ=12-μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈0,12 ，故λ2+μ2=12-μ2+μ2=2μ2-μ+14=2μ-14 2+18，当μ=14时，λ2+μ2取得最小值为18.故答案为：18.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】由题可设BM =tBC ，则AM =AB +BM =AB +tBC =AB +t AC -AB =1-t AB +tAC ，∵N 为AM 中点，∴AN =12AM =121-t AB +12tAC,又AN =λAB +μAC ，∴λ=121-t ,μ=12t ，∴λ+μ=12.故选：A .2(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-32【答案】B【解析】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD =tBC =t AC -AB，因为M 是线段AD 的中点，所以：BM =12BA +BD =12-AB +tAC -tAB =-12t +1 AB +12tAC ，又BM =λAB +μAC ，所以λ=-12t +1 ，μ=12t ，所以λ+μ=-12.故选：B .3(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB+OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,32【答案】A 【解析】如图：∵OA +OB +OC =0 ，∴点O 是ΔABC 的重心，点N 是BC 的中点，BO =BC +CO =BC +23CM =BC +23BM -BC =13BC+23BM ，BN =12BC ，BA =2BM当点P 在ΔAOC 内(不含边界)，BP =BO +OP =BO +λOQ =BO +λOA +AQ ，0<λ<1=BO +λ23NA +μAC =BO +λ23BA -BN +μBC -BA ，0<μ<1=BO +λ232BM -12BC +μBC -2BM =13BC+23BM +43λBM -13λBC +λμBC -2λμBM =13-13λ+λμ BC +23+43λ-2λμ BM∴x +y =13-13λ+λμ+23+43λ-2λμ=1+λ-λμ=1+λ1-μ ，∵0<λ<1，0<μ<1，∴0<1-μ<1，0<λ1-μ <1，∴1<1+λ1-μ <2.故选：A4(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.113【答案】B【解析】AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB+14AC =3m 4AE +n 4AF ，∵E 、O 、F 三点共线，∴3m 4+n4=1，∵m >0，n >0，t >0，∴1m +t n =1m +t n 3m 4+n 4 =34+n 4m +3mt 4n +t 4≥3+t 4+2n 4m ⋅3mt 4n =3+t 4+23t 4，当且仅当n 4m =3mt4n时取等号，∴3+t 4+23t 4=3⇒t +33 t -3 =0⇒t =3⇒t =3．故选：B ．5(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233【答案】C【解析】由题意知AO =AB +13BC =AB +13AC -AB =23AB+13AC =2m 3AM +n 3AN ，由于M 、O 、N 三点共线，可知2m 3+n3=1，由于m ,n 均为正数，所以1m +1n =1m +1n 2m 3+n 3 =1+n 3m +2m 3n ≥1+229=1+223，当且仅当n 3m =2m3n ，即m =3(2-2)2,n =3(2-1)时取得等号，故选：C 二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=35【答案】AC【解析】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12(BA+mBC )，又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB+m 2AC ，所以λ=-1+m2μ=m2，则λ∈-1,-12，μ∈0,12 且λ+μ=-12，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC7(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.157【答案】ABC【解析】因为O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 ，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC8(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则()A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为4【答案】BC【解析】∵BD =DC ，∴D 是BC 中点,则AD =12AB +AC,又点E 在线段AD 上,即A ,E ,D 三点共线,设AE =mAD 0<m ≤1 ,故AE =mAD =12m AB +AC ,λ=μ=12m .故B 对A 错.14λ+μ=14λ+λ≥214λ⋅λ=1,当且仅当14λ=λ时,即λ=12,故C 对.4λ+μ=4λ+λ在λ∈0,12上单调递减，当λ=12取最小值172，故D 错.故答案为：BC9(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52【答案】BD 【解析】由BD =DC 得AD =12AB +AC ，又点E 在线段AD 上移动，AE =kAD =12k AB +AC =12kAB+12kAC ,0≤k ≤1，∴λ=12k ,μ=12k ，故A 错误，B 正确；λ-2 2+μ2=12k -2 2+12k 2=12k 2-2k +4=12k -2 2+2，当k =1时，有最小值52，故C 错误，D 正确.故选：BD .三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为【答案】83【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，等边三角形边长为2，则外接圆半径为233，当点P 为切点时, AE =AF =83，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43 ，当点P 为切点时, k 有最大值43,AE =kAB ，AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC∴x =λk ，y =μk ，∴2x +2y =2λ+μ k =2k ≤83.即2x +2y 的最大值为83.故答案为：8311(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC=xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.【答案】1,4【解析】如图所示，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知B (1,0)，A 12，32，设C (cos θ,sin θ)，0°≤θ≤60°．由OC =xOA +yOB ，得cos θ=y +12x sin θ=32x ，∴x =23sin θy =cos θ-sin θ3，∴x +4y =4cos θ-233sin θ，点C 在弧AB 上由B →A 运动，θ在0，π3 上逐渐变大，cos θ变小，sin θ逐渐变大，∴当θ=0°时x +4y 取得最大值4，当θ=60°时x +4y 取得最小值1．∴x +4y 的取值范围是[1，4]．故答案为：1,4 ．12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．【答案】1,3【解析】以O 为原点，OA ,OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则OA =1,0 ,OB =12,32 .不妨设OC =cos θ,sin θ ,0≤θ≤π3.因为OC =xOA +yOB，所以cos θ=x +12y sin θ=32y ，解得：x =cos θ-33sin θy =233sin θ，所以3x +y =3cos θ-33sin θ.因为y =cos θ在θ∈0,π3 上单调递减，y =-sin θ在θ∈0,π3上单调递减，所以3x +y =3cos θ-33sin θ在θ∈0,π3 上单调递减.所以当θ=0时3x +y =3最大；当θ=π3时3x +y =3cos π3-33sin π3=32-33⋅32=1最小.所以3x +y 的取值范围是1,3 .故答案为：1,3 .13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.【答案】[1,3]【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B 12,32，设∠AOC =θ，则C (cos θ,sin θ)0≤θ≤π3 ，由OC =xOA +yOB 得cos θ=x +12y ,sin θ=32y , 从而x =cos θ-13sin θ,y =23sin θ, 则x +3y =cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)，易知0<φ<π6，故y =f (θ)=cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)在0,π3上单调递增，∴y min =f (0)=1，y max =f π3 =cos π3+533sin π3=12+52=3.故x +3y ∈[1,3].故答案为：[1,3]14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.【答案】1,21,2213【解析】(1)解法一：(等和线)设OC 与AB 相交于点D ，OD =λOC =λxOA +λyOB，λx +λy =1，x +y =1λ=OC OD ∈[1,2].解法二：(坐标法)C (cos α,sin α)，α∈0,2π3，cos α=x -12y ，sin α=32y ，x =cos α+33sin α，y =233sin α，x +y =cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].解法三：设∠AOC =α∈0,2π3，OC ⋅OA =xOA ⋅OA +yOB ⋅OA ,OC ⋅OB =xOA ⋅OB +yOB ⋅OB , ，即cos α=x -12y cos (1200-α)=-12x +y∴x +y =2[cos α+cos (1200-α)]=cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].(2)解法一：(等和线)解法二：2x +y =2cos α+433sin α=2213sin (α+θ)∈1,2213，其中sin (α+θ)先增后减.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC+λDE ，则实数λ的取值范围为【答案】12,43【解析】取BD 中点M ,过M 作MH ⎳DE 交DF ,AC 分别为G ,H ,如图：则由DP =-13DC+λDE =DM +λDE 可知,P 点在线段GH 上运动(不包括端点)当P 与G 重合时，根据DP =tDF =-89tDC +43tDE =-13DC +λDE ,可知λ=12，当P 与H 重合时,由P ,C ,E 共线可知-13+λ=1，即λ=43，结合图形可知λ∈12,43.16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．【答案】103,+∞【解析】由题可知，BD =13BC ，设AE =mAD0<m <1 ，则AE =m AB +13BC =m AB +13BA +AC，所以AE =23mAB +13mAC ，而AE =λAB +μAC ，可得：λ=23m ,μ=13m ，所以λ2+1μ=m 3+3m0<m <1 ，设f m =m 3+3m0<m <1 ，由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，则f x >f 1 =13+3=103，所以λ2+1μ的取值范围是103,+∞ .故答案为：103,+∞ .四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．【解析】(1)若x +y >1，则O ，P 在直线AB 异侧；若x +y <1，则O ，P 在直线AB 同侧．理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB ，得：OP =xOA +(t -x )OB =xOA +1-x OB +t -1 OB ，则在直线AB 上有一点Q ，使得OQ =xOA +1-x OB ，如下图所示：则OP =OQ +t -1 OB ，即QP =t -1 OB ，∴当t >1时，则OB =t -1 OB 与OB 同向，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 异侧；当t <1时，OB =t -1 OB 与OB 反向，如下图所示，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 同侧．(2)射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分为点P 的运动区域(不含边界)，由(1)可知，O ，P 在直线AB 同侧，由于OP =xOA +yOB ，则x +y <1．过点P 作PE ⎳OB 交射线OA 于E ，过点P 作PF ⎳OB 交射线BO 的延长线OB 于F ,由平行四边形法则可得OP =OE +OF ，又OE 与OA 方向相同，则OE =mOA ，且m >0，OF 与OB 方向相反，则OF =nOB ，且n <0，则OP =mOA +nOB =xOA +yOB ，故x =m >0,y =n <0，即实数x 的取值范围是(0,+∞)，当x =12时，此时E 为OA 中点，过E 作直线平行与OB 交AB 于M ，交射线OM 于M ，则点P 运动轨迹为线段EM (不含端点E ,M )，如下图：当点P 运动到E 时，OP =OE =12OA +0⋅OB ，此时y =0；当点P 运动到M 时，OP =OE +EM =12OA +M E =12OA +12BO =12OA -12OB ，此时y =-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y ∈-12,0 .18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．【解析】(1)如图，作PE ⎳BA 交OB 于E ，则OP =OE +EP =mOB +nAB =-nOA +(m +n )OB ．由P 点的位置容易知道0<m <1，n >0．因此，x =-n <0，即x 的取值范围是(-∞,0)．(2)当x =-12时，y =m +n =m +12，所以此时y 的取值范围是12,32．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB ，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)【解析】(1)若x +y >1，则O 、P 异侧，若x +y <1，则O 、P 同侧；理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB 得，OP =xOA +t -x OB =xOA -xOB +tOB =xBA +tOB ，当t >1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 异侧；当t <1时，tOB 与OB 反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 同侧；(2)由图及平面向量基本定理可知，x >0，即实数x 的取值范围是0,+∞ ，当x =12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y ∈-12,0 ；(3)Ⅰ：y <0x +y >0 ；Ⅱ：x >0y >0 ；Ⅲ：x <0x +y >0 ；Ⅳ：y >0x +y <0 ；Ⅴ：x <0y <0 ；Ⅵ：x >0x +y <0 ．。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等(文本版)
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等（文本版）感谢您选择使用我们的服务。
以下是关于平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线的文本版文档：平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等等和线等和线是指平面上满足两个向量之和为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其和为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$就是等和线上的一点。
等和线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}+\vec{b}$的形式。
等差线等差线是指平面上满足两个向量之差为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其差为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$就是等差线上的一点。
等差线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}$的形式。
等积线等积线是指平面上满足两个向量之积为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其积为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$就是等积线上的一点。
等积线上的所有点组成了一个线性子空间，可以表示为$\vec{r}=\vec{a}\cdot\vec{b}$的形式。
等商线等商线是指平面上满足两个向量之商为定向向量的一组点。
设向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是平面上的两个向量，其商为定向向量$\vec{c}$。
那么$\vec{r}$满足$\vec{r}=\frac{{\vec{a}}}{{\vec{b}}}$就是等商线上的一点。
等商线上的所有点组成了一个非线性子空间。
希望这份文档能够帮助您理解平面向量的等和线、等差线、等积线和等商线。
等和线 向量
等和线向量
等和线是指在平面直角坐标系中满足某一条件的点的集合，例如两点间距离相等的点构成的集合就是一个等和线。
在向量中，等和线也有着重要的应用。
对于一个平面向量 $vec{a}=(a_x,a_y)$，其等和线可以表示为${ vec{r}=(x,y) mid x+y=k }$，其中 $k$ 为常数。
也就是说，等和线上的所有点到原点的向量 $vec{r}$ 都满足
$vec{r}cdotvec{a}=kcdot|vec{a}|^2$，其中 $cdot$ 表示点积，$|vec{a}|$ 表示向量 $vec{a}$ 的模长。
换言之，等和线上的任意一点 $vec{r}$，其到原点的向量$vec{r}$ 与向量 $vec{a}$ 的夹角 $theta$ 满足
$costheta=dfrac{k}{|vec{r}|cdot|vec{a}|}$，其中
$|vec{r}|$ 表示向量 $vec{r}$ 的模长。
因此，等和线可以用来表示平面上与向量 $vec{a}$ 的夹角相等的所有点的集合。
等和线的概念在物理、工程、计算机图形学等领域都有着重要的应用。
例如在物理学中，等和线可以描述电场强度、磁场强度等物理量的分布。
在计算机图形学中，等和线可以用来绘制二次曲线和三次曲线，从而实现平滑的曲线和图形。
- 1 -。
平面向量等和线法 ,结合高考实例应用,快速秒杀
解析：
过点A作AF DE，设AF与BC的延长线交于点 H， 1 易知AF FH，即DF为BC的中位线，因此 1 2 2
思考：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操 作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都 可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数 和
3
，
解析：
课后巩固：
2009安徽 (文)14在平行四边形 ABCD中， E和F分别是边 CD和 1、
BC的中点，若 AC AE AF , 其中 , R.则 ______ . 2、 (苏州大学 2013 高考考前指导卷 (1)13)已知点 O是ABC的外心， 2 AB 2a, AC , BAC 120 , 若 AO AB AC, 则 最小值为 ____. a 3、 (2014 宁波一模 )已知点 O是ABC的外心，且 AB 3, AC 4, 若 存在非零实数 x, y，使得 AO x AB y AC, 且x 2 y 1, 则cosBAC _____.
本专题存在的意义：
1、等和线法巧妙的将代数问题转化为了图形的关系，将具体的代数 式运算转化为了距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常 直接的体现。 2、等和线法将复杂的不等式问题，范围问题，数量积问题转化为了 简单，直接，操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似即可迅 速解决，提高了做题效率与正确率，提升了学生的学习热情与兴趣。
思考：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线 呢？
思考这个问题，下节课一起探讨：
2011 苏州一模 13如图，在正方形 ABCD中， E为AB的中点，
平面向量基本定理以及“等和线”的应用
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
问题的提出
平面向量与代数、几何融合的题目综合性强， 难度大，考试要求高。近年，以“等和线”为背景 的试题层出不穷。考生在解决此类问题时，往往因 思路不清、运算繁琐而失分。
本专题将在平面向量基本定理的基础上推导得 出“等和线”解题的原理，并利用“等和线”原理 解决与向量系数有关的最值和范围有关的问题。
所以, 3 y, 3x 3x 3 y 3
当点P与A点重合时,显然有 : 0,所以,选C.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习：如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上,且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点,
uuur uuur uuur
（二）起点不同，平移改造基底型
F
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
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练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
（三）合理调节、变换基底型 例题：
1 2
uuur uuur PA, PB1
1 3
uuur PB
.
由
2x 2x 3y
3y 2x 3y
1
得点
A1 ,
B1,
D
共线,即点
D
在直线
A1 B1
上.
uuur uuur 再由 PC 5PD 知点 C 的轨迹就是直线 A2B2 ,其中 PA2 5PA1, PB2 5PB1 .如下图:
二轮复习小专题平面向量等和线法
OP OA OB,若点P在直线AB上或平行于 AB的 直线上，则 k(定值），反之亦成立。 我们把
直线AB或平行于 AB的直线叫做等和线
深入研究
若OC
OD，那么OC
xOA
yOB
x
OA
y
OB
OD
x y 1,即x y
过C点作直线l // AB,在l上任作一点C'，连接OC 'AB D'
BE
2 3
BC, 若DE
1
AB
2
AC1, 2
R，则1
2的
值为 ________.
解析：
过点A作AF DE，设AF与BC的延长线交于点H，
易知AF
FH，即DF为BC的中位线，因此1
2
1 2
：若所求的式子是系数的线性关系式 而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作， 那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过
的等和线，所以系数和k的取值范围是1,3
0<k<1 k=0
k>1
：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用 等和线呢？
如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A 为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，
设AC DE AP,则 的最小值为_____.
AN AM
,
AD AM
3,4
例2、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角
为 2 ，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若
3
OC xOA yOBx, y R,则x y的最大值是_____.
第8章平面向量的等和线定理及其应用
第8章平面向量的等和线定理及其应用平面向量的等和线定理是研究平面向量的一个重要定理，它描述了平面向量的和为常向量的所有点构成一条直线，这条直线称为等和线。
等和线定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
等和线定理的表述可以简单描述如下：对于平面上的任意两个平面向量a和b，如果它们的和为常向量c，并且a和b不平行，则a和b的和为常向量的所有点构成一条直线，这条直线称为等和线。
等和线定理的证明是基于向量的几何运算和向量的线性组合性质。
首先，我们可以将等和线上的一点表示为向量p。
由于等和线上的点满足向量相加等于常向量，所以有p = a + b = c，其中a、b、c均为平面向量。
然后，我们可以用点向法向量的形式表示等和线，即以p为起点，以c-a为方向向量的直线。
通过向量的线性组合性质，我们可以得到等和线上的任意一点都可以表示为p + tb，其中t为标量。
由此可见，等和线是平面上的一条直线。
等和线定理在几何学中有着广泛的应用。
首先，等和线可以帮助我们决定两个向量是否平行。
只需要将两个向量相加，如果它们的和为零向量，则说明它们平行。
其次，等和线可以帮助我们找到两个向量的和为常向量的点的集合。
这对于求解向量方程和向量方程组等问题有着重要的意义。
等和线定理在物理学中也有着重要的应用。
在力学中，平面向量可以代表力的大小和方向。
当多个力作用于一个物体时，根据等和线定理，这些力的和可以表示为一个常向量，并且构成一条等和线。
这可以帮助我们解决力的合成问题。
在电磁学中，平面向量可以代表电场和磁场的大小和方向。
当多个电场或磁场同时作用于一个点时，根据等和线定理，这些场的和可以表示为一个常向量，并且构成一条等和线。
这可以帮助我们解决电场和磁场的叠加问题。
总之，平面向量的等和线定理是研究平面向量的一个重要定理，它描述了平面向量的和为常向量的所有点构成一条直线。
等和线定理在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决平面向量的合成、力的合成以及场的叠加等问题。
高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]
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高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]平面向量基本定理系数“等和线”的应用一、问题的提出本文讨论平面向量的基本定理系数“等和线”的应用。
二、等和线定理平面向量共线定理：已知OA、OB为平面内一组基，若存在实数λ，μ使得OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则A。
B。
C三点共线；反之亦然。
等和线定理：平面内一组基底OA、OB以及直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”。
若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=1，反之也成立。
当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k 互为相反数；定值k的变化与等和线到O点的距离成正比。
三、定理运用一）基底起点相同例1：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为( )。
二）基底起点不同例2：设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若DE=λ1AB+λ2AC(λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为。
练1：在△ABC中，AB=6，BC=8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若AM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值是（）。
练2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，则m+n的取值范围是()。
P是圆Q上及内部的动点，设向量AP=mAB+nAF(m，n为实数）。
练3：在平行四边形ABCD中，M,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AD上的一点，连接CP、DP，交线段AB于点E、F，若PE=2PF，则.PQ=xAM+yBN，其中AB上的动点为Q，Q为三角形SMN内的一个点（包括边界）。
当基底中的x+y取值范围是（三）时，P为可变点。
例3.在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，向量AP=xDE+yAC。
平面向量等和线的应用举例
教学实践J I A O X U E S H I J I A N平面向量等和线的应用举例山东省寿光现代中学 刘 苓等和线定义:平面内一组基底ңO A ,ңO B及任一向量ңO P ,ңO P =λ1ңO A +λ2ңO B (λ1,λ2ɪR ),若点P 在直线A B 上或在平行于A B 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立㊂我们把直线A B 以及与A B 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图1㊂根据证明过程可知:图1(1)当等和线即为直线A B 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线A B 之间时,k ɪ(0,1);(3)当直线A B 在点O 与等和线之间时,k ɪ(1,+ɕ)㊂题型1 求参数和的范围例1 如图2,四边形O A B C 是边长为1的正方形,点D 在O A 的延长线上,且O D =2,点P 为әB C D 内(含边界)的动点,设ңO P =αңO C +βңOD (α,βɪR ),则α+β的最大值等于㊂图2解析 分别以边O A ,O C 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系,如图3所示,则ңO C =(0,1),ңO D =(2,0)㊂设P (x ,y ),ңO P =(x ,y ),故(x ,y )=α(0,1)+β(2,0)=(2β,α),x =2β,y =α{,α+β=12x +y ㊂设z =12x +y ,则y =-12x +z ,所以z 是直线y=图3-12x +z 在y 轴上的截距㊂由图3可以看出,当该直线经过点B (1,1)时,它在y 轴的截距z 最大,最大值为32,所以α+β的最大值是32㊂因为四边形O A B C 是边长为1的正方形,所以可考虑建立平面直角坐标系,然后再利用向量的坐标表示求解㊂选择以O 为原点,O A ,O C 所在直线分别为x轴㊁y 轴建立平面直角坐标系,这时可求出ңO C =(0,1),ңO D =(2,0),设P (x ,y ),根据已知条件可得(x ,y )=(2β,α),所以可用x ,y 表示α,β,并得到α+β=12x +y ,这样求12x +y 的最大值即可㊂而x ,y 的取值范围便是әB C D 上及其内部,所以可想着用线性规划的知识求解㊂所以设z =12x +y ,则y =-12x +z ,所以z 表示直线y =-12x +z 在y 轴上的截距,要求α+β的最大值,只需求截距z 的最大值即可,而通过图3可看出当该直线过B 点时截距最大,所以将B 点坐标代入直线方程,即可得到z 的最大值,即α+β的最大值㊂题型2 求最值例2 在әA B C 中,D 为B C 边的中点,H 为A D的中点,过点H 作一直线MN 分别交A B ,A C 于点M ,N ,如图4所示,若ңAM =ңxA B ,ңA N =y ңA C ,则x +4y 的最小值是( )㊂㊃13㊃新课程教学2019年第4期图4A.94B .2C .3 D.1解析 利用条件中的向量关系得ңAH =12ңA D且ңA D =12(ңA B +ңA C ),所以ңAH =14(ңA B +ңA C ),因为ңAM =ңxA B ,ңA N =y ңA C ,所以ңAH =ңm xA B +n y ңA C ,由平面向量基本定理可得m x =14,n y =14ìîíïïïï,⇒m =14x ,n =14yìîíïïïï,由m +n =1⇒14x +14y=1,所以x +4y =(x +4y )14x +14æèçöø÷y =141+4+4y x +x æèçöø÷y ,而4y x +x y ȡ24y x ㊃x y =4,所以x +4y ȡ94,故选A ㊂若要求出x +4y 的最值,则需从已知条件中得到x ,y 的关系㊂由M ,H ,N 共线可想到等和线定理,所以ңAH =ңmAM +ңnA N ,其中m +n =1,主要考虑将m ,n 的关系转化为x ,y 的关系,借助均值定理求得最值㊂题型3 模的求解问题例3 已知在әA B C 中,O 为әA B C 的外心,|A B |=16,|A C |=102,ңA O =ңxA B +y ңA C ,且32x +25y =25,则|ңA O |=㊂解析 通过观察条件发现很难利用几何知识直接求|ңA O |,从而考虑利用计算数量积ңA O 2,那么如何利用32x +25y =25这个条件呢?对于已知ңA O =ңxA B +y ңAC 可以考虑等式两边对同一向量作数量积,从而得到关于x ,y 的实数方程㊂由于O 是外心,进而O 在A B ,A C 上的投影为各边的中点,所以可用数量积的投影定义计算ңA B ㊃ңA O ,ңA C ㊃ңA O ㊂由ңA O =ңxA B +y ңA C ,可得ңA O ㊃ңA O =ңxA B ㊃ңA O +y ңA C ㊃ңA O ,(1)因为ңA O 在ңA B 上的投影向量为ңAM (M 为A B 中点),故ңA B ㊃ңA O =|ңAM ||ңA B |=12|ңA B |2=128㊂同理ңA O 在ңA C 上的投影向量为ңA N (N 为A C 中点),则ңA C ㊃ңA O =|ңA N ||ңA B |=12|ңA C |2=100㊂所以式(1)变形为ңA O 2=128x +100y =4(32x +25y )=100,所以|ңA O |=10㊂对于形如ңA O =ңxA B +y ңA C ,若想得到关于x ,y 的方程,可以考虑对同一向量作数量积即可㊂题型4 变量求值例4 已知O 是әA B C 外接圆的圆心,A ㊁B ㊁C 为әA B C 的内角,若c o s B s i n C ңA B +c o s C s i n BңA C =2m ㊃ңA O ,则m 的值为( )㊂A.1 B .s i n A C .c o s A D.t a n A 解析 由c o s B s i n C ңA B +c o s C s i n B ңA C =2m ㊃ңA O 可得c o s B s i n C ңA B ㊃ңA O +c o s C s i n B ңA C ㊃ңA O =2m ㊃ңA O 2(2)因为O 是外心,所以ңA B ㊃ңA O =12|A B |2,ңA O ㊃ңA C =12|A C |2㊂所以式(2)变形为12|ңA B |2c o s B s i n C +12|ңA C |2c o s Cs i n B=2m ㊃ңA O 2㊂在әA B C 中,设外接圆半径为R ,即R =|ңA O |,且|A B |=2R ㊃s i n C ,|A C |=2R ㊃s i n B ㊂ 所以式(2)变形为12(2R s i n C )2c o s B s i n C +12(2R s i n B )2c o s C s i n B=2m ㊃R 2,解得s i n C c o s B +s i n B c o s C =m ㊂所以m =s i n (B +C )=s i n (π-A )=s i n A ,故选B ㊂本题所求与等式中的系数m 相关,O 是外心,所以O 在A B ,A C 上的投影为两边中点,考虑等式两边同时乘ңA O ,再结合正弦定理变形等式即可㊂㊃23㊃。
平面向量的等和线(解析版)
专题七 平面向量的等和线根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →＝xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y ＝1，反之如果x ＋y ＝1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1．以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y ＝0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →＝kPF →(其中k ＝|PC ||PF |＝|PE ||P A |＝|PD ||PB |)，则PC →＝kPF →＝kλP A →＋kμPB →．又PC →＝xP A →＋yPB → (x ，y ∈R )，所以x ＋y ＝kλ＋kμ＝k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数． 考点一 根据等和线求基底系数和的值 【方法总结】根据等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA→＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．答案 ①③ 解析 由向量共线的充要条件可得，当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA →＋v OB →成立，且u ＋v ＝1，所以点P 位于阴影区域内的充要条件是“满足OP →＝uOA →＋v OB →，且u ＞0，v ＞0，u ＋v ＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P 位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝34OA →＋(OA →－OB →)＋23OB →＝74OA →－13OB →，而－13<0，故不符合条件．综上可知，只有①③正确．(2)设向量OA →，OB →不共线(O 为坐标原点)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且0≤λ≤μ≤1，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A 解析 当λ＝0时，OC →＝μOB →，故点C 所有可能的位置区域应该包括边界OB →或OB →的一部分，故排除B ，C ，D 项．故选A 项．(3)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．12B ．13C ．14 D ．1答案 A 解析 通法 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN ||AM |．由图易知，|AN ||AM |＝12，故选A ．(4)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 通法 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF→＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43． 等和线法 如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |＝43，故选B ． A(5)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为_______．答案 23解析 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k＝|AO ||AM |．由图易知，|AO ||AM |＝23． B(6)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )BA ．1B ．34C ．23D ．12答案 B 解析 通法 ∵为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．等和线法 如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B ．(7)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．54答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．等和线法 如图，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，则MT 为值是1的等和线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AB ||AT |．由图易知，|AB ||AT |＝45，故选C ．(8) (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为________．答案 12 解析 如图，过点A 作AF →＝DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，∴DF ＝12BH ，因此λ1＋λ2＝12．(9)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，且AF →＝λa ＋μb ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12答案 A 解析 等和线法 如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A ．C考点二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围) 【方法总结】根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．当点P 是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线l ，因点P 无论在l 何处，对应α＋β的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”(或“等值线”)，然后将“等和线”l 在动点P 的“可行域”内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法”．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．答案 [3，4] 解析 等和线法 直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[AN AM ，ADAM]＝[3，4]．(2)(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2 解析 通法 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．等和线法 令x ＋y ＝k ，所有与直线AB 角度，不难得到k ＝|DO ||OE |＝2．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 等和线法 如图，作CE ⊥BD 于E ，由△CDE ∽△DBA 知CE DA ＝CD BD ，即CE 1＝110，所以CE ＝1010，设与BD 平行且与圆C 相切的直线交AD 延长线于点F ，作DH 垂直该线于点H ，显然DH ＝2CE ＝105，由△DFH ∽△BDA 得DF BD ＝DH BA ，即DF10＝105 3，所以DF ＝23，过点P 作直线l ∥BD ，交AD 的延长线于点M ，设t ＝AMAD，则x ＋y ＝t ，由图形知“等值线”l 可从直线BD 的位置平移至直线FH 的位置(不包括BD 和FH )，由平面几何知识可得1＝AD AD <AM AD <AF AD ＝53，即1<t <53，故x ＋y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53.(5)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为CD 的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 上一动点，Q 为三角形SMN 内一点(含边界),若PQ →＝xAM →＋yBN →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 [34，1] 解析 如图，作PE →＝BN →，PF →＝AM →，过S 直线MN 的平行线，由等和线定理知，(x ＋y )max ＝1，(x ＋y )min ＝34．(6)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．A等和线法 BM →＝xBA →＋yBD →＝2x (12BA →)＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，作出值1为的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB ||PB |＝2．∴2x ＋y 取得最大值2．故选C ．(7) 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1，0) 解析 通法 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．等和线法 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．(8)已知点O 为△ABC 的边AB 的中点，D 为边BC 的三等分点，DC ＝2DB ，P 为△ADC 内(包括边界)任一点，若OP →＝xOB →＋yOD →，则x －2y 的取值范围为________．答案 [－8，－1] 解析 等和线法 如图，延长DO 至点E ，使DO ＝2OE ，则OE →＝－12OD →，则OP →＝xOB →＋yOD →＝xOB →＋(－2y ) OE →，令z ＝－2y ，则x －2y ＝x ＋z ，OP →＝xOB →＋zOE →，设过点A ，C ，P 与BE 平行的直线分别为为l 1，l 2，l ，设l ，l 2交线段OD 延长线于点M ，H ，l 1交线段OD 于点K ，令x ＋z ＝t ，由图形知，t ＝－OMOE ，“等和线”l 可从l 1的位置平移至l 2的位置，由平面几何知识可知△OBE ≌△OAK ，△DBE∽△DCH ，所以OE OK ＝OB OA ＝1，BD CD ＝DE DH ＝3OE DH ＝12，所以1＝OK OE ≤OM OE ≤OH OE ＝OD ＋DH OE ＝2OE ＋6OEOE ＝8，则－8≤t ≤－1，故x －2y 的取值范围为[－8，－1]．(9)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．答案 12 解析 通法 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1，1)，D (0，1)．设P (cos θ，sin θ)，∴AC →＝(1，1)，AP →＝(cos θ，sin θ)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，∵AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝⎛⎭⎫λ2＋μcos θ，－λ＋μsin θ＝(1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ．∴(λ＋μ)′＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2>0，故λ＋μ在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为3＋0－22＋0＝12．等和线法 由题意，作AK →＝DE →，设AD →＝λAC →，直线AC 与PK 直线相交于点D ，则有AD →＝λxAK →＋λyAP →，由等和线定理，λx ＋λy ＝1，从而x ＋y ＝1λ，当点P 与B 点重合时，如图，λmax ＝2，此时，(x ＋y ) max ＝12．(10) (2013·安徽)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．22B ．23C ．42D ．43答案 D 解析 等和线法 如图，分别作OC →＝－OA →，OD →＝－OB →．当λ≥0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域2；当λ<0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域4．综上所述可得，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S ＝2×23＝43．故选D ．【对点训练】1．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →， 则λ＋μ的取值范围为( )ABCDO 1342AA ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4] 1．答案 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝0，(λ＋μ)max ＝3．故选C ．2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．2．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 通法 由题意可求得AD ＝1，CD＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 等和线法 如图，(1＋μ)min ＝1，μmin ＝0．(1＋μ)max ＝32，μmax ＝12．3．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意 一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________．3．答案 [1，32] 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝1，(λ＋μ)max ＝32．4．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．24．答案 B 解析 通法 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2． 等和线法 确定值为1的等和线AB ，过动点C 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|CO ||PO |．由图易知，当等和线与圆相切时，k 取最大值，此时|MO ||NO |＝2，∴x ＋y 取得最大值2．故选B ．5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆 上及其内部的动点，设AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．5．答案 [2，5] 解析 等和线法 如图1时，m ＋n 的值最小且m ＋n ＝ANAB ＝2，如图2时，m ＋n 的值最大且m ＋n ＝AMAB＝5，6．如图，已知点P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为______．F6．答案 73 解析 等和线法 由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为|AP ||AM |＝43，x 2＋y 2的最小值为|AQ ||AM |＝13．故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|(2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)| ≤43＋13＝73．7．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．7．答案 [1，3] 解析 等和线法 依题意，OC →＝xOA →＋3y (OB →3)，如图，作OB ′→＝OB →3，重新调整基底为OA →，OB →′，设k ＝x ＋3y ，显然，当C 在A 点时，经过k ＝1的等和线，当C 在B 点时，经过k ＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．8．如图，G 为△ADE 的重心，P 为△GDE 内任一点(包括边界)，B ，C 均为AD ，AE 上的三等分点(靠近 点A )，AP →＝αAB →＋βAC →，则α＋12β的取值范围是________．P8．答案 ⎣⎡⎦⎤32，3 解析 等和线法 如图，在线段AE 上取点F ，使AC ＝CF ，则AP →＝αAB →＋12βAF →，设12β ＝γ，则AP →＝αAB →＋γAF →，连接BF ，延长EG 交AD 于点H ，因为G 为△ADE 的重心，所以H 为AD 的中点，又B ，C 均为AD ，AE 上靠近点A 的三等分点，所以AF FE ＝ABBH ＝2，所以BF ∥HE ，过点P 作直线l ∥HE 交AD 于点M ，设α＋γ＝t ，则t ＝AMAB ，由图形知，“等值线”l 可从直线HE 的位置平移到过点D 的位置，由平面几何知识可知32＝AH AB ≤AM AB ≤AD AB ＝3，故32≤t ≤3，即α＋γ∈⎣⎡⎦⎤32，3，故α＋12β的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3． 9．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC xOA yOB =+．其中x ，y ∈R ，则23x y +的最大值是( )AB ．3 CD ．5 9．答案 A 解析 通法点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，∴可以设圆的参数方程cos x θ=，sin y θ=，[0θ∈︒，90]︒，232cos 3sin )x y θθθϕ∴+=+=+，其中cos ϕ，sin ϕ=，3513x y∴+，当且仅当sin()1θϕ+=时取等号．x y ∴+当三角函数取到1时成立．故选A ．等和线法 OC →＝xOA →＋yOB →＝2x (12OA →)＋3y (13OB →)＝2xOE →＋3yOF →，2x ＋3y ＝k ，则k ＝|OD ||OM |＝13．10．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的最大值为________．10．答案 2 解析 通法 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋ 2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2． 等和线法 可转化为例2(2)．11．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， 则5λ＋3μ的最大值为______． 11．答案102解析 通法 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0， 3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．等和线法 AP →＝λAB →＋μAD →＝5λAB →)＋3μAD →)＝5λAM →＋3μAN →，5λ＋3μ＝k ，则k＝102．BAN12．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x －y 的取值范围是________．12．答案 [1-，1] 解析 通法 设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中1(2A；(1,0)B ；(cos ,sin )C θθ（其中(0)3BOC πθθ∠=，有若OC →＝xOA →＋yOB→＝(cos θ，1sin )(2xθ=(1y +，0)；整理得：1cos 2x y θ+=sinθ=，解得x =cos y θ=，则cos cos 2sin()6x y πθθθθ-=-+-=-，其中(0)3πθ；易知cos cos 2sin()6x y πθθθθ-==-=-，为增函数，由单调性易得其值域为[1-，1]，故答案为[1-，1]．等和线法13．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//AB DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+，其中x ，y ∈R ，则4x y -的最大值为( )A ．3B ．3C ．2D ．3+13．答案 B 解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(0,1)D ，(1,1)C ，(2,0)B ，直线BD 的方程为220x y +-=，C 到BD 的距离d =，∴圆弧以点C 为圆心的圆方程为221(1)(1)4x y -+-=，设(,)P m n 则(,)AP m n =，(0,1)AD =，(2,0)AB =，(1,1)BC =-，若AP xAB yBC =+，(m ∴，)(2n x y =-，)y ，2m x y ∴=-，n y =，P 在圆内或圆上，A221(21)(1)4x y y ∴--+-，设4x y t -=，则4y x t =-，代入上式整理得2280(4816)870x t x t -+++，设22()80(4816)870f x x t x t =-+++，1[2x ∈，3]2，则1()023()02f f ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得5232t+，故4x y -的最大值为3，故选B ．等和线法14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上，且与A ，B 不重合的一个动点，OC →＝xOA →＋yOB →，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )A ．1(, 1)2B ．(1, 3)C ．1(, 2)2D ．1(, 3)314．答案 C 解析 通法 以O 为原点，OB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(0)3COB πθθ∠=<<， 1OB =，则(cos ,sin )C θθ，(1,0)B ，1(2A ，由OC xOA yOB =+，得1cos 2sin y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴cos x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，cos (0)3u x y πλθλθθ∴=+=+<<，(0)u x y λλ=+>存在最大值，()u θ∴存在极值点，sin u θλθ'∴=-在(0,)3πθ∈上有零点．令0u '=，则tan θ=，(0,)3πθ∈，∴tan θ=，∴122λ<<，λ∴的取值范围为1(,2)2．故选C ．等和线法15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点A ，B 满足||||2OA OB ==，1OA OB =，则点集{}|, ||||2, , P OP OA OB λμλμλμ=++∈R 所表示的区域的面积是( )A． B． C． D．15．答案 D 解析2cos 1OA OB AOB =⨯∠=，1cos 2AOB ∴∠=，即60AOB ∠=︒．（1）若0λ>， 0μ>，设2OE OA =，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=+，||||2λμλμ+=+，故当2λμ+=时，E ，F，P 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin 602OEF S ∆=⨯︒=．(2)若0λ<，0μ>，设2OE OA =-，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=-+，||||2λμλμ+=-+，故当2λμ-+=时，P ，E，F 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin1202OEF S ∆=⨯︒=同理可得：当0λ>，0μ<时，P 点表示的区域面积为，当0λ<，0μ<时，P点表示的区域面积为综上，P 点表示的区域面积为4=．故选D ．等和线法。
向量压轴专题之等和线的应用(mathtype WORD精编版)
向量压轴专题之等和线的应用一. 等和线知识介绍如图所示，,OA OB 不共线，由平面向量基本定理，OP OA OB λμ=+，当点P 在直线AB 上时，1λμ+=；当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP xOM yON =+，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：,OM kOA ON kOB ==，其中OMk OA=则OP xOM yON kxOA kyOB =+=+，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k . 把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)如图所示的情况下，当MN 向右上角平移的过程中，k 值在逐渐变大二. 标准的等和线问题对于标准的等和线问题，题目中一般涉及到这样的条件和问题，OP OA OB λμ=+(三个向量共起点)，求λμ+(后面两个向量的系数和)的值或者范围.解题流程如下：(1)连接AB (后面两个共起点向量的终点)与OP 交于点Q ；(2)判断动点在什么位置时取最大或者最小值(利用等和线相关结论的第5个)(3)求出OPOQ的值(通常根据平行线构造“A ”字型或“8”字型相似求解)首先我们来看看标准的等和线求值问题：(2020 成都期末统考 15)在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =. 若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________.【答案】75【解析】法一：向量转化(非边长转边长)12AE AB BE AB AD =+=+，13AF AD DF AB AD =+=+ 故132AC AE AF AB AD μλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AC AB AD =+故13112μλλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩故75λμ+=法二：等和线如图所示，根据等和线解题流程首先连接EF 交AC 于点H ，则ACAHλμ+=接下来重点思考如何求出该比例，从利用平行线构造相似入手，我们发现利用//CF AB 可以构造一个“8”字型相似，故延长FE 交AB 于点GHFE DCBA利用CE EB =易得CF BG =，故25CF AG = 故75AC AH =，故75λμ+= 【点评】方法一利用传统的向量转化思想，一般是将非边长向量转成边长向量，然后建立方程求解；方法二是利用等和线进行求解，难点在于利用平行线构造相似求解比例接下来我们看看标准等和线的求范围问题：(2017 全国3卷 12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2 【答案】A【解析】 如图，由等和线定理可知， 当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3AB AB＝3，故选A ．【点评】本题是2017年全国卷3的第12题，如果用常规方法可以考虑建系，求出圆的方程，然后利用圆的参数方程设出P 的坐标，然后通过向量的坐标运算反解出λ和μ，最后将λμ+用三角函数表示出来，利用辅助角求出其最值，有一定的分析难度和计算量；如果用等和线可以快速判断出取得最值的位置，然后通过平行线截线段成比例求出最值，显得尤为简单如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+(m ，n 为实数)，则m ＋nGHAB CDEF的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]【答案】C【解析】随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2.此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．【点评】利用等和线性质5找到最大值和最小值的位置，然后利用平行线截线段成比例求出最值(2021 绵阳三诊 12)已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，()0,2C -，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，点P 为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则m n +的最小值为( ) A.13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】根据等和线的几何意义， 连接CP 与AB 交于点Q ，则CP m n CQ +=，需要判断CPCQ何时最小 可以过点P 作直线AB 的平行线， 过C 点作AB 的平行线， 根据平行线截线段成比例，当过P 点的平行线越往右下角移动时，比例越小，极端位置为相切 求导易得此时的切线方程为1y x =- 根据平行线截线段成比例易求出最小值为13三. 等和线的常见变形问题(三向量不共起点)如果所给的平面向量基本定理的三个向量不共起点，则需要将其中不共起点的向量平移至共起点，然后再用等和线去解答，我们来看一个例题：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则______.λμ+=【答案】85【解析】将向量BN 平移至AE ，则AC AM AE λμ=+ 根据等和线解题步骤，连接EM 与AC 交于点F ，则ACAFλμ+=考虑利用平行线截线段成比例，故延长EM 交AB 于点G ，则3BG EC ==GFEDC MBA故35CF EC FA AG ==，则85AC AF λμ+== (2018 成都高二期末零诊理 16)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P在曲线):0y x Γ=≥上，曲线Γ与x 轴的相交于点B ，与y 轴相交于点C ，点()2,1D 和点()1,0E 满足(),OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】将CE 平移到起点为O ，利用等和线直接判断当P 点与B 点重合时，λμ+最小，计算可得最小值为12在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的范围是_______.【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示AC xDE y AP xAF y AP =+=+ 由等和线的几何意义可知， 当P 与D 重合时，x y +最大，为51AC AG =(根据相似计算) 当P 与B 重合时，x y +最小，为21AE AB= (2019 成都期末统考 10)如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+，则m n +的值是( )A. 15- B. 15 C. 25- D. 25【答案】C【解析】在下侧补一个正方形，则BE mAB nAC mBG nBH =+=+EFD CBAFDA连接GH 与BE 交于点I ，则BE m n BI+=-根据相似可得35BG FH =，32BE EF =，给322535BE BI ⨯==，故25m n +=-四. 等和线的常见变形问题(系数不匹配)如果所给的平面向量基本定理的向量的系数与所求系数和不匹配，则需要将所给向量的系数按照所求系数进行转化，使之相等，然后再按照等和线进行求解，我们来看一个例题：如图，在扇形OAB 中，3AOB π∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y+的取值范围是 ．【答案】[]1,3【解析】33'3OBOC xOA y xOA y OB =+⋅=+⋅， 其中'B 点为OB 的三等分点，如图所示 显然，当C 在A 点时，3x y +有最小值为1； 当C 在B 点时，，3x y +有最大值为3 故取值范围为[]1,3在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB x AE y AF =+，则_____.x y -=【答案】2【解析】AB xAE y AF xAE y AH =+=-连接EH 交AB 于点G ，则ABx y AG-=延长HI 交EB 的延长线与J ，则13BG BE HJ EJ ==故12BG IJ =，故G 为AB 中点，故2AB x y AG -==五.小结从以上例题可以看出，等和线用于求值时，和常规方法难度差不了太多，熟悉等和线之后关键在于利用平行线截线段成比例去求值，如果初中平面几何学的不错的同学，用此方法还是要更快一些，但是等和线用于求范围问题，通常会显得很简单，而此类题目又往往出现在压轴位置，因此掌握好等和线还是非常有必要的。
向量等和线定理及其应用
向量等和线定理及其应用向量等和线定理是矢量计算中非常重要的一个定理，它可以大大简化向量计算的复杂度。
在本文中，我们将会介绍向量等和线定理的定义、特点以及其在实际应用中的一些常见例子。
定义：简单来说，向量等和线定理是指如果有多个向量之和等于零，则这些向量的起点在同一条直线上。
换句话说，如果有向量集合{u1, u2, u3, …, un}之和为零，则这些向量的起点可以通过同一条直线传递。
特点：向量等和线定理的特点是简单明了，既容易理解也方便计算。
此外，利用这个定理可以解决许多应用问题，如在物理学中获得力学平衡等。
应用：向量等和线定理有很多应用，其中一些常见的应用如下：1.平衡力的问题当一个物体处于平衡状态时，物理定律告诉我们该物体所受的所有力的和必须为零。
如果将力量分解成矢量之后，可以使用向量等和线定理来确定力的合力方向。
如图所示，有两个人在左右拉着一根绳子，其中一个人施加的力为F1 ，另一个人施加的力为F2。
这两个力的和必须为零，因为绳子没有运动。
因此，使用向量等和线定理，可以确定绳子的张力方向。
2.动力系统模拟向量等和线定理也用于模拟动力系统的问题，比如说，模拟空中飞行时要考虑大气阻力的影响。
在这种情况下，可以使用向量等和线定理来计算空气与机身之间的力平衡，这样可以更准确地理解飞行器的运动轨迹。
3.三角形重心绘图另一个例子是利用向量等和线定理计算三角形的重心位置。
重心是一个三角形内的一个点，它与三角形三个定点的距离成比例。
使用向量等和线定理和平移性质，可以很容易地计算出三角形的重心位置。
总结：向量等和线定理是向量计算非常重要的定理之一。
其在应用中起到了重要的作用，比如力学平衡的问题、动力系统的模拟等。
掌握向量等和线定理可以帮助我们更容易地理解并解决计算问题。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时・可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UlUβ.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底OZoS及任一向量亦.OP≈λδA^pδβ（λ,j u^R）.若 0 P 在直线朋上或在平行于肿的直线上，则2 + " = W足值）仮Z也成工•我们把直线*P以及与宜线.4B平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.⅛ = 1:⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.λ-∈（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜（h+□o）;（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称・则⅛aχ-互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA, OB及任一向量帀・δp = ^÷χ∕δ⅛μ√∕e/?）. C为线段的中点.若点P在直线OC上或在平行于CC的買线上.则八P = •反Z也成匕我们把fL线OC以及GI线OCV行的直线称为等差线•（!）当等荃线恰为直线OC时，A=O:（2）斗等差线过/4点时.A- = I:⑶ 当等差线在直线OC与点/之何时∙JtG（O,1）:（4）当等差线与阳延长线相交时・4∈0, + αθ）;（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足ffl⅛ Ii为相反数:(四) 等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・OP = λOA^μOB(λ.μ^R).若点P 在以苴线OAQR 为渐近线的女曲线上•则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线(1) 当双曲线有一支?i ： ^AOB 内时，k>0t(2) 当双曲线的两支都不在乙40B 内时.X <0：(3) 特别的・若OA^bU)B =点P 住双曲线(五) 等商线点P 在过O 点(不与0/1重合 > 的直线上，则虫=川定值)，反之也成立。
等和线的原理和应用
等和线的原理和应用1. 什么是等和线？等和线是指平面上满足一定条件的点的集合，连接这些点形成的曲线具有特殊的性质。
这条曲线上的任意一点到两个固定点的距离之和等于一个常数，这个常数称为等和线的和。
等和线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
2. 等和线的原理等和线的原理可以从几何和数学的角度解释。
假设有两个固定点A和B，并且它们之间的距离为d。
当平面上的一点P到点A的距离为x，到点B的距离为y 时，等和线上的任意一点P满足以下条件：x + y = d这个等式可以表示平面上满足等和线条件的所有点P的集合。
3. 等和线的应用3.1 数学中的应用在数学中，等和线经常用于解决几何问题和最优化问题。
例如，在三角学中，等和线可以用于解决已知三角形两边和夹角，求第三边的问题。
在最优化问题中，等和线可以用于确定一条曲线或曲面上具有相同值的点，从而找到函数的最大值或最小值。
3.2 物理中的应用等和线在物理学中也有广泛的应用。
在电力传输中，等和线可以用于描述电场的强度和方向分布情况。
在热传导中，等和线可以用于表示温度分布情况。
在流体力学中，等和线可以用于描述流体的速度和压力分布情况。
3.3 工程中的应用等和线在工程中也有重要的应用。
在电路设计中，等和线可以用于优化电路的布局，减少电磁干扰。
在管道设计中，等和线可以用于确定最佳的管道走向，减少能量损耗。
在无线通信中，等和线可以用于确定信号的覆盖范围和强度分布情况，优化网络的布置。
4. 总结等和线是一种具有特殊性质的曲线，满足任意一点到两个固定点的距离之和为常数。
等和线在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
在数学中，等和线用于解决几何问题和最优化问题。
在物理中，等和线用于描述电场、温度和流体的分布情况。
在工程中，等和线用于优化电路布局、管道设计和无线通信网络的布置。
对等和线的研究和应用有助于解决实际问题，提高效率和性能。