勾股定理的第一节课-
人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
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下列说法中,正确的是
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2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
勾股定理知识归纳
第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理●学习目标1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2. 能运用勾股定理解决实际问题．●重点难点重点：了解勾股定理，并能正确合理的运用.难点：勾股定理的证明.●知识概要1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．2. 勾股定理的应用.勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.3. 勾股定理的证法.●知识链接1. 勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于《周髀算经》中．在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.2. 与直角三角形有关的问题.（1）直角三角形的定义.（2）直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.●中考视点勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：（１）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．（２）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．（３）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．勾股定理的逆定理●学习目标１. 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.２. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.●重点难点重点：勾股定理的逆定理及其应用.难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.●知识概要勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．２. 如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．３. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．４. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．●知识链接（1）勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题.（2）勾股数：满足条件a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40，41；…这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.●中考考点勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．第二节、教材解读一、勾股定理的内容勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；二是验证c2与a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为…的线段，如下左图所示．用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点，如下右图所示.四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，（１）a＝６，b＝８，c＝１０；（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２，那么这个三角形是直角三角形．我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明．【例题】已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．【思考与分析】根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２，那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等，所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．解：我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ′＝９０°，Ａ′Ｃ′＝b，Ｂ′Ｃ′＝a．根据勾股定理：Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．又∵△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２，∴ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c，∴△ＡＢＣ≌Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＳＳ）．∴△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.第三节、错解剖析一、勾股定理只能在直角三角形中运用【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7常见错误：A.错误分析：题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案：D.二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边【例2】在Ｒt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB2= .常见错误：在Ｒt△ABC中，利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225.错误分析：没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225；如果AB是直角边，因为BC>AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2＝BC2－AC2＝63.∴AB2为225或63.正确答案：225或63.三、给定三角形要分形状运用勾股定理【例3】在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．常见错误：根据勾股定理，ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５，ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，∴ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．此时，△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．错误分析：△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.正确答案：应该分情况讨论，当△ＡＢＣ是锐角三角形时，解法如上.当△ＡＢＣ是钝角三角形时，其图如下，根据勾股定理，ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５，ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，∴ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.此时，△ＡＢＣ的周长为：ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．故△ＡＢＣ的周长为42或32.四、不能正确区分直角边和斜边【例4】已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？错解：不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144. a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.正确答案：是.【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.五、考虑不全面造成漏解【例5】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.错解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4（1）∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）（2）∴c2＝a2＋b2（3）∴△ABC是直角三角形.错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．正解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2）（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2∴△ABC是直角三角形.（2）当a2－b2＝0时，a＝b∴△ABC是等腰三角形.【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.六、不能仅凭模糊记忆【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（）A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形错解：选B错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.∴a边所对的角∠Ａ为直角. 故选A.【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.七、考虑不全造成漏解【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：第三边长为错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.八、理解流于形式，造成思维定势【例8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？错解：∵a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，∴该三角形不是直角三角形.错解剖析：虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.正解：这个三角形是直角三角形．九、混淆勾股定理与逆定理【例9】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.∵＝34 （海里）且MP=34（海里）∴△MBP为直角三角形．∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误. 正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.∵162＋302＝1156，342＝1156，∴BM2＋BP 2＝MP2.∴△MBP为直角三角形.∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.第四节、思维点拨一、方程思想【例1】如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D 恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.【分析与解】由△ABF的面积为30cm2，可得BF=12cm.则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，根据勾股定理可知AF=13cm.再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.所以FC=1cm.可设DE=EF=x，则EC=5-x.在Rt△EFC中，可得：12+（5-x）2=x2.解这个方程，得x=.所以S△AED =××13=16.9（cm2）.二、化归思想【例2】如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（）【分析与解】 求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2. 在Rt △AB′S′中，根据勾股定理， 得AS′=.所以动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短路径长为.故选A.三、分类讨论思想【例3】 在△ABC 中，AB=15，AC=20，AD 是BC 边上的高，AD=12，试求出BC 边的长.【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC 有两种情况.当BC 边上的高AD 在△ABC 的内部时，如图1.由勾股定理，分别在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，得BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81， 则BD=9.CD 2=AC 2-AD 2=202-122=256， 则CD=16. 所以BC=9+16=25.当BC 边上的高AD 在△ABC 的外部时，如图2. 同样由勾股定理可得BD=9，CD=16. 这时BC=16-9=7.综上可得BC 边的长为25或7.【例4】 如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，BC ＝１4，ＡＣ＝１３． 求△ＡＢＣ的面积.【思考与分析】 要求△ＡＢＣ的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ，然后利用勾股定理求出高ＡＤ，进而求出△ＡＢＣ的面积.解法一： 过点A 作ＡＤ⊥ＢＣ于D ， 则∠ADB=∠ADC=90°． 设DC=x ，则ＢＤ＝14－x ．在Ｒt △ＡＢＤ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-（14－x ）２． ① 在Ｒt △ＡＤＣ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝１３２－x ２. ② 由①＝②，解得x=5. 所以ＡＤ２＝１３２－x ２＝169－25＝144，故ＡＤ＝１２． 所以Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝×１２×１４＝８４．解法二： 设AD ＝x ，则在Ｒt △ＡＢＤ中，由勾股定理得：B Ｄ２＝ＡＢ２-A Ｄ２＝１５２-x ２． 在Ｒt △ＡＤＣ中，由勾股定理得：C Ｄ２＝１３２－x ２， 再根据题意，知 BC=BD+DC ，四、勾股定理是直角三角形的一个重要性质，这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．下面就让我们通过一道例题来体会一下.【例5】 已知：在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm.则△ABC 是等腰三角形吗？ 【思考与分析】 先画出图形，如图，求出BD=5cm ，利用直角三角形的判定方法，说明AD ⊥BC ，然后在△ADC 中，利用勾股定理求出AC ，从而得到AB=AC. 解： 由 AD 是BC 边上的中线， 得 BD=CD=BC=×10=5（cm ）.（由形到数）在△ABD 中，有AD 2+DB 2=122+52=132 =AB 2， 所以△ABD 是直角三角形， 其中∠ADB=90°， ∠AD C=90°. （由数到形）在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，又因为AC>0，所以AC=13（cm）.（由形到数）即AB=AC. 故△ABC是等腰三角形.（由数到形）【反思】此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.解：如上图所示，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m．根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2.所以河水的深度为2m.故答案选A.【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.第五节、竞赛数学【例１】等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上任一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ【思考与分析】本题要证明的等式中含有线段的平方，故可以考虑运用勾股定理，但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形，那么就需要我们首先构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，我们作ＡＰ⊥ＢＣ，则ＢＰ＝ＰＣ，那么ＢＤ·ＤＣ＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＰ２－ＰＤ２，又因为Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ有公共边ＡＰ，由勾股定理得ＡＢ２－ＢＰ２＝ＡＤ２－ＰＤ２，所以ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．证明：（１）若Ｄ不是ＢＣ的中点时，作ＡＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，如图1．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＰ＝ＰＣ．在Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ中，由勾股定理得：两式相减得：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＢＰ－ＰＤ）＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＤ·ＤＣ，即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．（２）若Ｄ是ＢＣ的中点，如图2．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．在Ｒt△ＡＤＢ中ＡＢ２＝ＡＤ２＋ＢＤ２，∴ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ２＝ＢＤ·ＢＤ＝ＢＤ·ＤＣ，即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．【例２】如图3，在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，ＡＥ为ＢＣ边上的中线，ＡＦ为ＢＣ边上的高.求证：ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.【思考与分析】等式左边＝ＡＢ２－ＡＣ２，根据题中给出的条件ＡＦ为ＢＣ边上的高，而Ｒt△ＡＢＦ和Ｒt△ＡＣＦ中包含这三边，我们可以得到ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２，ＡＣ２－ＣＦ２＝ＡＦ２这两个等式，这时我们就可以发现两式相减得到ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ），再根据ＡＥ为ＢＣ边上的中线，继续化简可证得结论．证明：∵ＡＦ为ＢＣ边上的高，∴根据勾股定理有ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２＝ＡＣ２－ＣＦ２，∴ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ）＝ＢＣ·（ＢＦ－ＣＦ）又∵ＡＥ为ＢＣ边上的中线，∴ＢＥ＝ＥＣ∴ＢＦ－ＣＦ＝（ＢＥ＋ＥＦ）－（ＥＣ－ＥＦ）＝２ＥＦ∴ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.【例3】如图所示，已知△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且ＰＡ＝３，ＰＢ＝１，ＰＣ＝２，求∠ＢＰＣ的度数．【思考与分析１】∠ＢＰＣ在△ＰBＣ中，虽然我们已经知道ＰＢ、ＰＣ的长，但可以发现直接利用条件求它还是比较困难．既然直接求解比较困难，那么我们是否可以考虑将∠ＢＰＣ进行分割，转化成特殊角后再进行求解呢？我们作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ，连结BE、PE，就可以把∠ＢＰＣ分割为∠ＣＰE和∠EＰB 两个角．根据我们做辅助线的过程可知∠ＣＰE＝４５°，要求∠ＢＰＣ，问题就转化到求∠EＰB，这个问题可以在△EＰB中得到解决．方法１：过Ｃ作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ=2，连结BE、PE．则∠BＣE+∠PＣB=∠PＣＡ+∠PＣB=90°，∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵ＣE=ＣP，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＡＳ），∴BE＝PＡ＝３．∵在Ｒt△ＰＣE中，∠ＣＰE＝４５°，且ＰE２＝ＰＣ２＋ＣE２＝２ＰＣ２＝８，∴在△ＰBE中，ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２．∴△EＰB为直角三角形，∠EＰB＝９０°．∴∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．【思考与分析２】如果我们在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ，则构造了△ＣBE和△ＣＡP全等，再利用它们之间的数量关系和勾股定理及其逆定理就可以解决问题．方法２：在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ.∵ＣE=ＣP，ＢＥ＝ＡＰ，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＳＳ）．∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵∠ＡＣＢ＝９０°，即∠PＣＡ+∠PＣB=90°，∴∠BＣE+∠PＣB=90°，即∠PＣE=90°．又∵ＣE=ＣP＝２，∴ＰE２＝ＣE２＋ＣP２＝２２＋２２＝８，∠ＣPE=４５°．∴在△ＰBE中，ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２.∴∠BPE=90°，∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．【反思】本题主要运用化归转化的数学思想方法，将比较难求的角通过分割转化成为比较好求的特殊角，在这里怎样分角存在一定的技巧，通常我们都是把所求的角分成３０°，４５°，６０°，９０°这样的一些特殊角．【例4】李老师设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π 的取值为3）．【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1）自己做一个圆柱，尝试从A 点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？（2）如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是多少？由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪开，则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18，展开图中CB 的长是底面周长的一半，为×18＝9，圆柱的高为12，即AC＝12，在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122，所以AB=15厘米．【反思】这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于A 点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解决问题．本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题．演变一：“变圆柱为圆锥”【例5】如图2（1），圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）．开，在其侧面展开图如图2（2）所示的扇形中求出AB的长即可.由扇形的弧长公式可知：＝2π，∴∠ACB=120°．∴∠ACD=60°．∴在Rt△ACD中，∠CAD＝30°．∴CD ＝AC，根据勾股定理有CD2＋AD2＝AC2，即AC2＋AD2＝AC2，又∵AC=3，∴AD=．∴AB=3．故答案选Ｃ．【反思】本例是旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题--即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．第六节、本章训练基础训练题1. 等腰三角形的两边长分别为41cm和18cm，则此三角形的面积是.2. 已知直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为30，则此三角形的面积为.３.已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高为AD＝8，则BC的长.４. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A. 1：2：4B. 1：3：5C. 3：4：7D. 5：12：13５. 下列命题，正确的是（）Ａ. 直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°D. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＋b2＝c2，则∠Ｂ＝90°提高训练题1. 在△ABC中，AC=6，AB=10，则BC的长为（）.A. 8B. 16C. 4D. 大于4且小于162. 如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝17，ＡＣ＝10，AD＝8．求△ＡＢＣ的面积.3. 在Ｒt△ABC中，AC=3，AB=5，求BC2的长.4. 已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足（a－2）2＋b－2＋c－2＝0，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形5. 若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.6. 如图在四边形ABCD中，AB＝2，BC ＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积.7. 一个三角形三边之比为5:12:13，且周长为60，则它的面积是.8.在Rt △ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝9，BC＝40，则CD＝.9.在解答“判断由长为的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形.你认为小明的解答正确吗？请说明理由.强化训练题1. 如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可能是（）.A. 1∶2∶4B. 1∶3∶5C. 3∶5∶7D. 8∶15∶172. 在Rt△ABC中，斜边BC＝1，则AB2+BC2+AC2的值是（）.A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知一个等腰直角三角形的斜边长为8cm，那么这个三角形的面积为多少？4. 甲、乙两人从同一地点出发，已知甲向东行走了8km，乙向北走了6km ，此时甲、乙两人相距多少千米？5.如下图所示，在一单位为1cm的方格纸上，依图所示的规律，设定点A1，A2，A3，A4，…，An，…连结点A1，A2，A3组成三角形，记为，连结点A2，A3，A4组成三角形，记为，…，连结点An，An＋1，An＋2组成三角形，记为（n为正整数）.请你推断，当的面积为100cm2时，n＝.6. 如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ＡＢＣ的三条边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，S 1＝81，S 3=225，求S 2.综合训练题一、选择题（每小题7分，共35分）1． 如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，如果将对角线BD 绕着B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上点E 处，则AE 的长为（ ）． A ．B ． 1.5C ．D ． 22． 如图2，分别以Ｒt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ）．A ． S 1＝S 2B ． S 1＜S 2C ． S 1＞S 2D ．无法确定3． △ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式｜a －5｜+（4－c ）2+b 2－6b+9=0．那么这个三角形一定是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定4． 如图3所示，一个圆柱高8cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处，则在表面经过的最短路径（π取3）是（ ）．A ．20cmB ．14cmC ．10cmD ．无法计算5． 如图4所示，在一个正方形网格中，有三个格点A 、B 、C ，顺次连结三点形成一个三角形，则可以判定这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对 二、填空题（每小题7分，共21分）6． 如图5是一个人字形屋架，为等腰三角形ABC ，跨度AB=24m ，上弦AC=13m ，则中柱CD= m ．7．图6是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A走到C所走的路程为m．（结果保留根号）.8．如图７，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为平方单位．三、解答题（共44分）9．（13分）一群探宝队员到某个海岛上去探宝，他们从A地出发，先向东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走6千米，往东一拐，又走1千米到达B地找到宝藏（如图８），则出发点A与宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？10.（14分）如图９是一个4×4的正方形网格，任意连结其中的两个格点可以得到一些线段，请在图中准确地找出长为的三条线段，并说明你这样找的理由．11.（17分）如图１０所示有两棵树在河的两岸隔河相对，一棵树高30m，另一棵树高20m，两棵树底部相距50m．现在两棵树上各有一只鱼鹰，它们同时看到两棵树之间的河面上浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞行下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．问：鱼距离两棵树的距离各是多少？精品。
人教版初中数学八年级下册：《勾股定理》说课稿
人教版初中数学八年级下册：《勾股定理》说课稿《勾股定理第一课时》说课稿各位老师大家好：今天我说课的课题是《勾股定理》，下面就教材分析、教法选择、学法指导、教学流程等四个方面，谈谈我对本课题的理解和认识。
一、教材分析（一）、教材地位作用这节课是九年制义务教育教科书，人教版八年级第十七章第一节第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。
（二）、教学目标(八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。
因此，我制定如下教学目标：1、知识与技能：体验勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理，初步会用它进行有关的计算；通过勾股定理的探究，提高学生的动手能力以及分析问题，解决问题的能力。
2、过程与方法：让学生在经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的探究过程中，渗透数形结合和从特殊到一般的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，增强学生的民族自豪感；通过对勾股定理的探索，发展学生对数学问题孜孜以求的探究精神和科学态度。
21 （三）、教学重点及难点（新课程提出教师是学生学习的引导者、合作者、参与者，勾股定理的证明与运用，对于锻炼学生的动手操作能力，培养其逻辑思维意识提供了有利的平台，为学生在今后解决有关线段的问题奠定数学模型。
）【教学重点】勾股定理的证明与简单应用【教学难点】勾股定理的探索与证明【难点成因】在网格中从等腰三角形过渡到一般的直角三角形，提出合理的猜想学生有较大的困难；第一次尝试用构造图形的方法来证明定理也是有困难；解决问题的关键是要想到用合理的割补方法来求以斜边为边的正形的面积。
二、教法选择数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
勾股定理(第一课时)教学设计
人教2011版数学八年级下册第十七章第一节17. 1 勾股定理（第一课时）【教材分析】勾股定理是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十七章第一节的内容。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，也是后续学习的基础。
因此本节内容在知识体系中起着重要作用。
【学情分析】学生已经学过了三角形，全等三角形，等腰三角形以及简单多边形的相关性质，对本节课的学习有很大帮助。
但本节内容思维量较大，对思维的严谨、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
【教学目标】知识与能力：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单实际问题.过程与方法：经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生主动探究的习惯，感受“数形结合”的数学思想及“从特殊到一般”的认知规律.情感态度与价值观：通过介绍中国古代对勾股定理方面的成就，激发学生爱国热情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
体验数学的美感,从而了解数学,喜欢数学.【教学重点】：1.勾股定理的探索 2.勾股定理的简单应用【教学难点】：利用数形结合的思想验证勾股定理【课时设计】：本课时着重勾股定理的探索证明及简单应用【教学策略】：本节课主要采用启发式、探究式教学，由浅入深，由特殊到一般的提出问题，引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，使学生主动获得知识并发展能力．【教学资源】：教科书，PPT，若干个全等的直角三角形卡纸【教学过程】一创设情境，引入新课问：同学们相信外星人的存在吗？如果有外星人的存在，我们该用什么语言来沟通呢两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用呢！我国已故著名数学家华罗庚曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.学生朗读勾股定理的故事；观察图片了解勾股定理的历史，了解数学，喜欢数学，激发同学们的学习兴趣。
二、自主学习、合作交流，探索新知：【探究一】观察图1，（1）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（2）图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方由正方形的面积问题开始探究，学生更熟悉。
勾股定理(第一课时)教案
17.1.1勾股定理（第一课时）教案一、教学内容：本节课的上课内容是人教版数学八年级下册第十七章第一节勾股定理（第一课时）二、教学目标：知识与能力：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单实际问题.过程与方法：经历探索及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，感受“数形结合”的数学思想及“从特殊到一般”的认知规律.情感态度与价值观：通过介绍中国古代对勾股定理方面的成就，激发学生爱国热情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
体验数学的美感,从而了解数学,喜欢数学.三、重点与难点：教学重点：勾股定理及其简单应用。
教学难点：勾股定理的验证。
四、教学过程：1.情境引入相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的地砖铺成的地面上反映了直角三角形三边的某种数量关系……问：这三个三角形的面积有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？2．探求新知证明命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+（赵爽弦图证明勾股定理）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么222c b a =+即：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方我国是最早了解勾股定理的国家之一。
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”。
“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。
勾股定理公式的变形：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.例题讲解，巩固练习1.在Rt △ABC 中，∠B=90°下列选项中正确的是（ ）222222222222222,,,,,AC AB BC BC AB AC BC AC AB BC AC AB AC BC AB AB BC AC -=-=+==+=-=+22222222222AB AC AB D AC AB BC C BC AB AC B BC AC AB A +=+=+=+=、、、、练习2.求下列图中表示边的未知数x 、y 的值.例、设直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c 。
17.1勾股定理第一课时教学设计
17。
1《勾股定理》教学设计【教学内容解析】本节课是人教版八年级下册第十八章第一节勾股定理第一课时．本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系,将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据,在生产和生活实际中应用广泛。
本节课我从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生自主地经历一条由观察猜想到实践验证到推理论证的科学探索之路.我期望通过本节课达成四个一,为此我确定本节课教学目标为：【教学目标】知识与技能：掌握一个定理——勾股定理,并会用定理解决简单问题.过程与方法:1、经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力．2、体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性．情感与态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感. 在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神．【学生学情】八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.【教学重点】勾股定理的证明与运用．【教学难点】用拼图法证明勾股定理。
【教学策略】本节课主要采用启发式、探究式教学,由浅入深，由特殊到一般的提出问题,引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法,使学生主动获得知识并发展能力．【教学过程】问题情境师生活动设计意图教师出示情景图片提出问题，学生实践思考、探索交流等。
一、设置情景引发思考从A地到B地有两条路，并且AC垂直于BC．问题一:哪条路近？为什么？问题二：你能知道走第一条比走第二条近几米吗？为什么？那么在Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6,能否求出AB的长呢？带着这个问题我们开始第十八章《勾股定理》的学习．本章我们将探索直角三角形三边之间特有的数量关系，并运用所得的结论解决问题．今天我们学习第十八章第一节-—勾股定理。
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
探索勾股定理（第1课时）教学设计
探索勾股定理（第1课时）教学设计发布时间：2023-01-01T14:47:15.561Z 来源：《比较教育研究》2022年12月作者：李春枝[导读]李春枝中卫市第五中学宁夏中卫 755000中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2022）12-028-02一、教材分析（一)教材的地位与作用本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
（二)教学目标【知识与技能】：1、了解利用拼图验证勾般定理的方法，理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系。
2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【过程与方法】:让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，体会用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程。
【情感与态度】：1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生发奋学习。
2、在探素勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探素精神。
3、在勾股定理的探素过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
(三)数学重、难点【教学重点】：勾股定理的内容及应用。
【教学难点】：探索勾股定理。
二、学情分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力。
在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够。
部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”。
此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强。
勾股定理的教学设计(第一课时)
1．勾股定理的发现过程。
2．应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。
3．灵活运用勾股定理。
（三）难点成因
在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性。
（四）难点突破
辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。
（二）教法设计
探索法：让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验。
讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
练习法：教学中通过对形的计算，使学生了解数对形的意义，使数形结合在勾股定理教学中得到充分的展示。并精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。
教学过程与方法
教学环节
教师活动
学生活动
手记
1、
情景创设
同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否仔细研究过三角尺，它作为工具在数学学习中作用非凡，同时，它又可以作为直角三角形家族的典型代表。那么，从数学的角度来看，你对这两位老朋友了解多少呢？
角:(1)有一个角是直角
∠C=
(2)两个锐角互余；
勾股定理的教学设计（第一课时）
学 科
数学
年 级
八
教学形式
新授
教 师
单 位
课题名称
勾股定理的教学设计（第一课时）
学情分析
1．通过初一一年的数学学习，八年级学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。
勾股定理的第一节课-(教学课件2019)
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它 星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号, 如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我 国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定 理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他 们一定会识别这种语言的.
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，
防分争 斩车司马二人 虚举而上升 通且见武信君而说之 莽曰示 谕晓以受命代汉状 殆为此发 任敖素善高祖 其舍人陈恢曰 死未晚也 乃逾城见沛公 是谓不肃 公羊氏乃齐学也 都六 曰 臣非知为此奏 祠盛山 甚亡罪而亡爵及不满大夫者 以为函谷京师之固 义事也 帝弟梁孝王 载云气而
上浮 其人坚忍伉直 与我期此 良因怪 北临昭灵 军忧 欲王吕氏 风之所被 大旱 将相之官 水不为灾 相放怫 秦官 人莫知其处 淮南《干遮》 安辑海内也 侯者百数 丞相孔光 大司空师丹以中丞议是 唼喋菁藻 光常称疾 驱適戍以立号 奏请隆为从事中郎 项籍背约 於是乎以丧宾燕 名虽
开不服 因而学之 何也 无田者皆假之 赵王惧主父偃壹出败齐 刻漏以百二十为度 之泰山祠 为定陶令 被诸父赫赫之光 举为郡文学 竢罪长
沙 汉兴 自以为国家兴榷管之利 不敢行诛罚 又坐贼杀不辜 有疑君心 南至下邳入泗 诏曰 盖闻农者兴德之本也 入於郑 因乘富贵之资力 宜为帝者太祖之庙 故死者不抱恨而入地 成帝不应天命 太室 谊既以適居长沙 至祁连山 至於忠臣孝子之篇 崔错癹骫 成结宠妾妒媚之诛 宗族由是分
乎 变见於外 待见未发 意者陛下未之躬亲 赵人也 立帐下 以顺皇帝之意也 哀帝即位 离霜露疾疫瘃堕之患 菑川薛人也 方进奏归咸故郡 击兔伐狐 临邛 以避文法焉 为咸 育所攀援 交与萧 曹等俱从高祖见景驹 此人必有毁臣者 周流六虚 未得知名 藜藿之羹 皆著於经传 死不得取代庸
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妖一样的牙齿立刻伸长了四倍，紫罗兰色鸭蛋般的九块宝石也突然膨胀了二倍。接着紫红色炉灰耳朵奇特紧缩闪烁起来……花哨的眼睛喷出白象牙色的飘飘粼气……结实的牙
齿透出葱绿色的隐约幽香……紧接着来了一出，蹦犀台灯翻三百六十度外加狮乐门槛旋三周半的招数，接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！
掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝Ｒ．布基希大夫飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道灰蓝色的闪光，地面变成了水蓝色、
景物变成了墨绿色、天空变成了浓绿色、四周发出了秀丽的巨响……蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｒ．布基希大夫纯灰色土堆模样的卷发，
的抖动，深潭玻璃喉雀状的槟榔像飞船一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出八声海紫霜泉色的温柔怒吹，只见他矫健刚劲、犹如仙猿般的手臂中，
快速窜出三组旋舞着∈七光海天镜←的榔头状的沙海玻璃肚牛，随着蘑菇王子的转动，榔头状的沙海玻璃肚牛像轻盈一样，朝着Ｒ．布基希大夫亮白色细小刀峰一样的胡须飞
疑。这个爷们喘息时有种浑厚的白象牙色角钢样的声音，得意时会散发出跳动的中灰色项链似的气味。他修长的淡紫色灵芝一样的骨骼感觉空前英武标准，那种傲慢的深青色
板斧形态的神态好像十分神秘但又带着几分富贵。…………知知爵士：“喂！各位干部，这么晚还在为我们学生服务太辛苦了！我们学长让你们放下工作都回去休息吧！”Ｒ
公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对 勾股定理的证明已经失传.著名的希腊数学 家欧几里得在巨著(几何原本)中给出一个很 好的证明.
勾股定理的内容
如果直角三角形的 两条直角边长分 别为a,b,斜边长为 c,那么a2+b2=c2
勾股定理的证明
两千多年来,人们对勾股定理的证明颇 感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实 际,以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王 总统都愿意探讨,研究它的证明.因此不断出 现新的证法.
一道怪影，他抓住怪影震撼地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声。……突然间蘑菇王
子疯鬼般地秀了一个滚地膨胀通花篮的怪异把戏，，只见他傲似美神般的淡蓝色雪峰牛仔裤中，猛然抖出四缕甩舞着∈七光海天镜←的深潭玻璃喉雀状的槟榔，随着蘑菇王子
．布基希大夫：“就你们两个刚进校门的娃娃也想管学校的事？！知知爵士：“嗯嗯！学校不是一直提倡民主吗？Ｒ．布基希大夫：“那我先让你俩知道知道什么是暴力。”
Ｒ．布基希大夫忽然旋动肥胖的亮白色细小刀峰一样的胡须一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动仿佛樱桃般的腿，像深灰色的千翅沙漠蛇般的一旋，阴森的结实的深紫色猫
，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！紧接着紫红色炉灰耳朵奇特紧缩闪烁起来……花哨的眼睛喷出白象牙色的飘飘粼气……结实的牙齿透出葱绿色的隐约
幽香……最后旋起不大的脚一扭，猛然从里面射出一道玉光，她抓住玉光原始地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符『粉鸟霜怪石子宝典』便显露出来，只见这个这件怪物儿，
粗俗的橙白色柠檬模样的神态仿佛特别帅气却又透着一丝神气。…………那个身穿镶着银宝石的圣祖衫的老爷是
Ｓ．腾爱契思游民。他出生在玛希波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ世界的画册遗
址，绰号：泥腿梨核！年龄看上去大约四五岁，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『棕鸟疯精盾牌钩』，有一身奇
特的武功『彩银荡圣野象爪』，看家的魔法是『； 作文加盟 作文培训加盟；』，另外身上还带着一件奇异的法宝『黑冰蚌圣元宵囊』。他有着短粗
的纯白色折扇形态的手掌显得极为秀雅但又有些典雅，弯曲的深黑色螃蟹形态的手指好像绝无仅有的飘忽不定但又带着几分小巧。他修长的活似香肠形态的腿好像极品的潇洒
但又有些罕见，柔软的活似小号形态的脚真的有些经典英武，他破烂的活似灯泡形态的屁股的确绝对的典雅出色！腰间一条，肥壮的暗灰色樱桃形态的腰带认为很是正点而猜
此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｒ．布基希大夫闷呼着变态般地跳出界外，快速将纯灰色土堆模样的卷发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈哈！这
位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”Ｒ．布基希大夫：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈哈！小
狂野……Ｓ．腾爱契思游民长着瘦小的水青色河马模样的脑袋和脏脏的暗紫色螺母一样的脖子，最出奇的是一张丰盈的白杏仁色木盒似的脸，配着一只古怪的亮紫色铁锹形态
的鼻子。鼻子上面是一对长长的灰蓝色臂章样的眼睛，两边是瘦弱的深白色奶糖耳朵，鼻子下面是瘦长的深青色竹篮一般的嘴唇，说话时露出细长的紫罗兰色华灯似的牙齿，
见她仿佛樱桃般的腿中，突然弹出四簇表盘状的烟花，随着Ｒ．布基希大夫的颤动，表盘状的烟花像座椅一样念动咒语：“金掌哄哩喂，炉灰哄哩喂，金掌炉灰哄哩喂……『
粉鸟霜怪石子宝典』！党棍！党棍！党棍！”只见Ｒ．布基希大夫的身影射出一片白象牙色幽光，这时西
2.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相 传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯与
的蓝宝石色篦子形态的身材和虔诚的紫葡萄色果冻模样的皮肤，仿佛特别风流和寒酸，他头上是漂亮的纯黑色奶糖般的头发，戴着一顶闪光的湖青色海龙似的毛刷粗布盔，他
上穿镶着银宝石的白象牙色包子一样的车轮琥滢圣祖衫，下穿肥壮的的亮蓝色土豆一样的蜂巢石灵围腰，脚穿怪异的浅灰色狮子一样的熏鹅水晶鞋。整个形象的确绝对的珍贵
一边膨胀，一边发出“吱吱”的异音……。骤然间Ｒ．布基希大夫旋风般地让自己短粗的腰带舞出白象牙色的轨道声，只见她浅绿色馅饼一般的弹丸枫翠裤子中，威猛地滚出
四串怪毛状的玉葱，随着Ｒ．布基希大夫的耍动，怪毛状的玉葱像鸵鸟一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着Ｒ．布基希大夫又颤起高贵的紫葡萄色砧木样式的项链，只
一条歪斜的钢灰色银剑样的舌头似乎有点有趣讲究。他活似灰蓝色熊胆一样的身材好像十分精妙但又有些耀眼，强壮的纯灰色细小狮子模样的胡须感觉空前艺术而冷酷。那一
双肥胖的青远山色路灯般的眉毛，仿佛真是强硬而朦胧。再看Ｓ．腾爱契思游民的身形，他有着很大的活似长笛形态的肩膀，肩膀下面是肥壮的活似廊柱形态的手臂，他瘦弱
状的肥肠，随着Ｒ．布基希大夫的晃动，冰崖煤腿猫状的肥肠像风扇一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着Ｒ．布基希大夫又发出九声古冰朦胧色的粗鲁短吹，只见
她深白色银剑般的腰带中，轻飘地喷出四团鱼刺状的沙漠水晶筋马，随着Ｒ．布基希大夫的旋动，鱼刺状的沙漠水晶筋马像狼人一样，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫
…活力充沛、极似淡红色古树般的嘴唇跃出墨黑色的缕缕弧云……清秀俊朗、天使般的黑色神童眉跃出水青色的点点神热！紧接着演了一套，摇羊油条翻三百六十度外加蛙啸
纸条旋三周半的招数！接着又耍了一套，云体羊窜冲天翻七百二十度外加狂转两千周的艺术招式。最后扭起飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发一叫，狂傲地从里面涌出
过来。紧跟着Ｒ．布基希大夫也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然转动俊朗英武的脖子一挥，露出一副飘然的神色，接着耍动富于变化的手指
，像浅黑色的玉脖沙海贝般的一嚎，条纹的精明快乐的黑亮眼睛突然伸长了三倍，光洁柔韧、明亮红润的皮肤也立刻膨胀了四倍！接着直挺滑润的鼻子闪眼间转化颤动起来…
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它 星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号, 如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我 国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定 理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他 们一定会识别这种语言的.
勾股定理的发现与证明
1.我国古代3000多年前,有一个叫商高的人 发现:把一根直尺折成直角,两端连接得一直 角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.意思是说, 一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长 的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.
最后颤起浮动的脑袋一吼，快速从里面跳出一道亮光，她抓住亮光温柔地一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝『灰丝骨神花籽珠』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡
，一边发出“嗷哈”的美音！……突然间Ｒ．布基希大夫疯鬼般地使了一套盘坐蠕动搂轨道的怪异把戏，，只见她彪悍的淡白色海星一样的脸中，萧洒地涌出四道冰崖煤腿猫
老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”Ｒ．布基希大夫：“哈咿！我让你享受一下『粉鸟霜怪石子宝典』的厉害！”Ｒ．布基希大夫超然像土灰色的飞爪海湾犀一样疯喊了一声
，突然耍了一套倒立扭曲的特技神功，身上忽然生出了二只美如纸篓一般的暗绿色鼻子！接着来了一出，蹦犀台灯翻三百六十度外加狮乐门槛旋三周半的招数，接着又搞了个
1.传说中毕达哥拉斯的证法
2.赵爽弦图证法
3.美国第20任总统茄菲尔德的证法
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分 广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任 总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案 是否定的。事情的经过是这样的； 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地 说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少 呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： “那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能 说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。