空间几何体的概念、表面积和体积复习课

解析：S 圆＝πr2＝π⇒r＝1，而截面圆圆心与球心的距离 d 4 3 8 2π 2 2 ＝1，∴球的半径为 R＝ r ＋d ＝ 2，∴V＝3πR ＝ 3 ，故 选 B. 答案：B O R
r
d
考点5.球的“内切”、“外接” 问题
例 5、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) 7 2 2 A．πa B. πa 3 11 2 C. πa D．5πa2 3
A’
母 线
O’
B’ 轴 侧 面
A
O B
底面
圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表 示,如:“圆柱OO'”
顶点
定义：以直角三角形的 一条直角边所在直线为 旋转轴,其余两边旋转 形成的曲面所围成的几 何体叫做圆锥。
S
母 线 轴 侧 面
Hale Waihona Puke AOB底面
圆锥的表示方法：用表示它的 轴的字母表示,如:“圆锥SO”
定义：用一个平行于 圆锥底面的平面去截 圆锥,底面与截面之 间的部分是圆台.
– 球心和截面圆心的连线垂直于截面 – 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则
r R d
2 2
2
R
ß
O
r
d
知识框架
二、空间几何体的表面积与体积 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 简单组合体 棱台 台体 圆台 球体
1.多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和 .
)
3 R 解析：圆锥的母线长为 R，底面半径为 2 ，高为 2 R，则 V 1 3 3 ＝3Sh＝ 24 πR . 答案：A
考点4.几何体的截面问题
例 4．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积 为 π，则球的体积为( ) 8π 8 2π 32π A. B. C．8 2π D. 3 3 3
A O
3）半圆的直径叫做球的直径。
半径
（2）球的表示： 用表示球心的字 球心 母表示，如球O
B
(3)大圆和小圆
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做 小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
(4)截面问题
• 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面 • 球的截面的性质：
（1）底面互相平行． （2）侧面都是平行四边形． （3）侧棱平行且相等．
E′
D′ B′ C′
F′
A′
侧 面 侧棱
F A B E D C
底面
顶点
棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、 四边形、五边形、 …… 我们把这样的棱柱 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
棱柱的表示 用底面各顶点的字母表示棱柱, 如图所示的六棱柱表示为： “棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”
D’ G
G’ F’ B’ H
C’
A’ F
D E C
H’
E’
A B
答：都是棱柱．
请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.
定义:有一个面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形,由这些面 所围成的几何体叫做棱锥。
棱锥的有关概念
顶点
棱锥中,这个多边形面 叫做棱锥的底面或底,有 公共顶点的各个三角形 面叫做棱锥的侧面,各侧 面的公共顶点叫做棱锥 的顶点,相邻侧面的公共 边叫做棱锥的侧棱。 棱锥的表示
想一想:圆台能否用旋转 的方法得到?若能,请指出 用什么图形?怎样旋转? 直角梯形
O’
O
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当 底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大 上底缩小
7、球的结构特征
（1）球的定义：以半圆的直径所在直线为旋 转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称球。 1）半圆的半径叫做球的半径。 2）半圆的圆心叫做球心。
体积 V直棱柱 Sh
V正棱锥台 1 ( S S S S )h 3
正棱锥
正棱台 球 圆柱 圆锥 圆台
V正棱锥 1 Sh 3
S圆柱侧 2 π rl S圆锥侧 π rl
S圆台侧 π( r r )l
V圆柱 π r 2 h
V圆锥 1π r 2 h 3 V圆台 1π(r 2 r r r 2 )h 3
A)
[解析]
(1)三棱锥 B1 ABC1 的体积
等于三棱锥 A B1BC1 的体积，三棱 锥AB1BC1 的高为 3 1 1 1 3 3 ，底面积为 ，故其体积为 × × ＝ . 2 2 3 2 2 12
例 3． （1） 有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形 铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈， 并使铁丝的两个端 点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
V球 4π R 3 3
公式记忆：
r O
l
O
r 'O’
r ’＝ r
上底扩大
l
r ’＝ 0
上底缩小
l
r
O
r
O
S侧 2rl
S侧 (r r )l
S侧 rl
v柱 s h
1 1 v台 （s ss s） h v锥 s h 3 3
例1．（1）正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹 角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)
空间几何体的概念、 表面积和体积
知识框架
一、空间几何体的概念 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球体
简单组合体
1.由若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体。围成多面体的各个多 边形叫做多面体的面,相邻两个面的 公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公 共点叫做多面体的顶点。 2.由一个平面图形绕它所在的平 面内的一条定直线旋转所形成 的封闭几何体,叫做旋转体,这条 定直线叫做旋转体的轴。
S 侧面 侧棱
D
C 底面
B
A
用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所 示的棱锥表示为：“棱锥S—ABCD”
棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、…… S A B
棱锥的性质：
D C
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 平方。
用一个平行于棱 锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间 的部分是棱台.
D’
D A’ B’
C’
棱台的有关概念：
A
C
B
棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截 得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台， 五棱台… 棱台的表示方法：“棱台ABCD— A'B'C'D'” 棱台的特点：两个底面是相似多边形, 侧面都是梯形;侧棱延长后交于一点。
下面我们来探究柱,锥,台,球的结构特征
请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.
定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面围成的几何体 叫做棱柱。
棱柱的有关概念 棱柱中,两个互相平行的面 叫棱柱的底面(简称底), 其余各面叫棱柱的侧面, 相邻侧面的公共边叫侧棱, 侧面与底面的公共顶点叫 棱柱的顶点。 性质：
E′
F′ A′ B′
D′ C′
E F
D C
A
B
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱． 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱． 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
探究:
长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？
D’ C’
A’
B’
D C
A
B
探究:
长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？
解析：三棱柱如图所示，由题意可知： 球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、O2 的 连线的中点 O 处，连接 O1B、O1O、OB，其 2 中 OB 即为球的半径 R，由题意知：O1B＝3 3a 3a 3a 2 a2 2 × 2 ＝ 3 ，所以半径 R ＝(2) ＋( 3 ) ＝ 2 2 7a 2 7πa ，所以球的表面积是 S ＝ 4π R ＝ ，故选 B. 12 3 答案：B
S表 r (r l )
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形
底面是圆形
S上底
2 r
S下底 r
2
S侧 (r r )l
2 2
S表 (r r r l rl )
3.球的表面积
S球面 4 R ( R为球的半径)
2
R球 半 径
棱、锥、台、球的体积
探究 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径2R＝ a ⑵正方体的外接球直径2R＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径2R＝
答案： 12π
例2 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，
∠ABC＝90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周所形
成的几何体的体积为________． 答案： 4π
[思考]
如图所示，已知三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均
为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1 ABC1 的体积为 ( 3 A. 12 3 B. 4 6 C. 12 6 D. 4
（1）柱 体
V柱体 Sh(S为底面面积，h为柱体的高)
h
h
h
（2）锥 体
V锥体
１ Sh( S为底面面积，h为锥体的高) ３
h
h
（4）球 体
V球
４ 3 R ( R为球的半径) ３
R
柱、锥、台和球的侧面积和体积
几何体 直棱柱
侧面积 S直棱柱侧 ch