甘肃省平凉市静宁县第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，命题q：，，则A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：当时，成立，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，故A错误；命题是假命题，故B错误；命题￢是真命题，故C正确；命题￢是真命题，故D错误；故选：C．举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.在中，，，，则边c等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，则，即得，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．3.若实数x，y满足，则的最小值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：，，a，b的等差中项是，又当且仅当时，等号成立，取得最小值5故选：C．先由等差中项求得，又，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，所以，即异面直线PB与AC所成的角为，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为A. 或B. 或C.D.【答案】C【解析】解：不等式对一切实数x都成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则A. B. 1 C. 3 D. 4【答案】C【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，与抛物线方程联立，得，消去y可得：，，，解得：．故选：C．写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积取得最大值时，DE的最小值为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：的面积．当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，当时，取得最小值，故DE的最小值为，故选：B．易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，，故DE的最小值为，本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.已知不等式的解集为，则______．【答案】3【解析】解：不等式的解集为，和b为的解，将代入方程得：，即，方程化为，将代入方程得：，解得：不合题意，舍去或，则．故答案为：3由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a 与b的值，即可求出的值．此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b 是解本题的关键．11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45【解析】解：，，所以，则．故答案为：45由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．【答案】5【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，由正弦定理可得：，即，解得，，海里．故答案为：5．利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13.如图，双曲线C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足，，则双曲线的离心率e的值为______．【答案】【解析】解：，可得，在中，，，在直角三角形ABF中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由得得，由得，若为真命题时，则p，q同时为真命题即，得，即实数x的取值范围是Ⅱ由，得，若p是q的必要不充分条件，则，则，即，即实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，q同时为真命题进行求解即可Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ若的面积为，求a，b的值；Ⅱ若，求的面积．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ，，由余弦定理，可得：，的面积为，解得：，由可得：，分Ⅱ，，又由余弦定理，可得：，解得：，，，分【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解a，b的值．Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设是公比为正数的等比数列，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求证：数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，，，可得，解得，则，；Ⅱ证明：，则，可得前n项和，由，可得．【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，当时，，，则，当且仅当，解得时，取等号．当时，则，此时．，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，、，，．Ⅰ求证：平面ABF；Ⅱ求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，，平面ADEF，，四边形ADEF为梯形，、，，平面ABF．解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．平面ABF的法向量1，，，，0，，0，，，0，，，设平面BDF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值．【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．Ⅰ求的方程；Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，又，，，故椭圆的方程为；易知直线l的斜率k存在，设其方程为．设，则由消去y得：，由，得．则，．则又原点到直线l的距离为，且，所以设，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以面积取得最大值．【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。
2020-2021学年甘肃省平凉市静宁一中高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省平凉市静宁一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 一元二次不等式2x 2+x −6≥0的解集为( )A. (−∞,−2]∪[32,+∞) B. [−2,32] C. (−∞,−32]∪[2,+∞)D. [−32,2]2. 设，则“a >1”是“a 2>1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 等比数列{a n }中a 1=3，a 4=24，则a 3+a 4+a 5=( )A. 33B. 72C. 84D. 1894. 若a 、b 、c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. a 2>b 2C. a c 2+1>bc 2+1D. a|c|>b|c|5. 设变量x 、y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6，则目标函数z =2x +y 的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 96. 已知向量a ⃗ =(0,1，1)，b ⃗ =(1,0，0)，若向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 互相垂直，k 的值是( ) A. −12B. −1C. 12D. 17. 若关于x 的不等式ax 2+2ax +1>0对一切的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (0,1)D. [0,1)8. 如图：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ +c ⃗ C. −12a⃗ −12b ⃗ +c ⃗D. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗9. 若抛物线y 2=2px 上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=10x10. 函数f(x)=3sinx +4cosx 的图象在点T(0,f(0))处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积等于( )A. 43B. 53C. 73D. 8311. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =CC 1=4，BC =3，则直线BC 1和平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( )A. 112B. 1225C. √34 D. √101012. 已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则( )A. 4f(1)<f(2)B. 4f(1)>f(2)C. f(1)<4f(2)D. f(1)<2f′(2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线C 的方程为x 28−y 24=1，则C 的渐近线方程为______ ．14. 命题：p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则命题p 的否定￢p 是______ ． 15. 当x >3时，函数y =x +4x−3的最小值是______ ． 16. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点是F 1(−c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则离心率e 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 命题p ：不等式x 2−(a +1)x +1>0的解集是R.命题q ：函数f(x)=(a +1)x 在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．18.已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设{a n}的前n项和为S n，求S20的值．19.若函数f(x)=ax3−bx2+2，当x=2时，函数f(x)有极值−2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值；(3)若关于x的方程f(x)−k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．PD．20.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=12 (Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q−BP−C的余弦值．21. 已知函数f(x)=lnx −mx(m ∈R)，e 是自然对数的底数．(1)当m =1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)在区间[1,e]上的最大值．22. 过点C(0,1)的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，椭圆与x 轴交于两点A(a,0)、B(−a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． (1)求椭圆的方程；(2)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (3)当点P 异于点B 时，求证：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：不等式2x2+x−6≥0可化为(x+2)(2x−3)≥0，，解得x≤−2或x≥32,+∞)．所以该不等式的解集为(−∞−2]∪[32故选：A．把不等式化为(x+2)(2x−3)≥0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．解不等式a2>1得a>1或a<−1，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2>1得a>1或a<−1，∴由“a>1”能推出“a>1或a<−1”，但“a>1或a<−1”推不出“a>1”，即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n−1，∴a 4=a 1q 3=3q 3=24， 解得q =2，∴a 3+a 4+a 5=3q 2+3q 3+3q 4=84， 故选C ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a ，b 的值，可一一验证A ，B ，D 不成立，而由不等式的基本性质知C 成立，从而解决问题． 【解答】解：对于A ，取a =1，b =−1，即知不成立，故错； 对于B ，取a =1，b =−1，即知不成立，故错； 对于D ，取c =0，即知不成立，故错；对于C ，由于c 2+1>0，由不等式基本性质即知成立，故对； 故选：C ．5.【答案】B【解析】解：设变量x 、y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)， 则目标函数z =2x +y 的最小值为3， 故选：B ．本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z =2x +y 的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“交点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个交点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．6.【答案】C【解析】解：∵a ⃗ =(0,1，1)，b ⃗ =(1,0，0)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =(1,k ，k)，a ⃗ −b ⃗ =(−1,1，1)， 若向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 互相垂直，则(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−1+2k =0，解得k =12， 故选：C ．根据题意，求出向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由空间向量数量积计算公式可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−1+2k =0，求出k 的值，即可得答案．本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量数量积的计算公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：原不等式等价于a(x 2+2x)+1>0对一切的实数x 恒成立， ①当a =0时，原不等式等价于1>0对一切的实数x 恒成立， ②当a ≠0时，{a >0△=4a 2−4a <0，解得0<a <1． 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1)． 故选：D ．对a 的值分a =0和a ≠0两种情况进行讨论，当a ≠0时，则a >0且△<0，求解即可得到答案．本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是注意对a =0的讨论，要掌握常见的求解不等式恒成立的方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．8.【答案】A【解析】 【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决． 【解答】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c ⃗ +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ 故选：A ．9.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了抛物线的标准方程和抛物线的定义，属于基础题．由已知条件，利用抛物线的定义得到p2+2=4，求出p 的值，由此求出抛物线的标准方程． 【解答】解：∵抛物线y 2=2px 上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4， ∴p2+2=4，解得p =4， ∴抛物线的标准方程为y 2=8x ． 故答案选：C ．10.【答案】D【解析】解：由f(x)=3sinx +4cosx ，得f′(x)=3cosx −4sinx ， ∴f′(0)=3，又f(0)=4， ∴切线l 的方程为3x −y +4=0，取x =0，解得切线l 在y 轴上的截距b =4， 取y =0，解得切线l 在x 轴上的截距a =−43， ∴直线l 与坐标轴围成的三角形面积S =12|a||b|=83．故选：D．先求出函数f(x)在点T(0,f(0))处的切线方程，然后求出切线l在坐标轴上的截距，再求出切线l与坐标轴围成的三角形面积．本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，属基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，过B作BO⊥AC于O，连接OC1，∵AA1⊥面ADCB，BO⊂面ADCB，∴BO⊥AA1，又AC∩AA1=A，∴BO⊥面面ACC1A1，∴∠BC1O就是直线BC1和平面ACC1A1所成的角，在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，∴AC=5，由AB⋅BC=AC⋅BO得BO=125，又BC1=√BB12+BC2=5，∴sin∠BC1O=BOBC1=1225，则直线BC1和平面ACC1A1所成角的正弦值为1225，故选：B．过B作BO⊥AC于O，连接OC1，则∠BC1O就是直线BC1和平面ACC1A1所成角，解三角形BOC1即可．本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g(x)是解题的关键，本题是一道中档题．令g(x)=f(x)x2，(x>0)，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g(1)>g(2)，从而求出答案．【解答】解：令g(x)=f(x)x2，(x>0)，则g′(x)=xf′(x)−2f(x)x3，∵不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，∴xf′(x)−2f(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)递减，故g(1)>g(2)，故4f(1)>f(2)，故选：B．13.【答案】y=±√22x【解析】解：双曲线C的方程为x28−y24=1，可得a=2√2，b=2，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．故答案为：y=±√22x．利用双曲线方程求解a，b，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．14.【答案】∃x∈R，sinx>1【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题知：命题p的否定￢p是：∃x∈R，sinx>1．故答案为：∃x∈R，sinx>1．命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题来解决．本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．15.【答案】7【解析】解：∵x>3，∴x−3>0，∴y=x+4x−3=(x−3)+4x−3+3≥2√(x−3)⋅4x−3+3=7，当且仅当x−3=4x−3即x =5时等号成立， ∴y =x +4x−3的最小值是7．故答案为：7．可得出x −3>0，从而可根据基本不等式得出y =(x −3)+4x−3+3≥7，这样即可得出y 的最小值．本题考查了基本不等式求函数最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】[√22,1)【解析】解：设点M 的坐标为(x,y)，则F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +c,y)，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −c,y)． 由F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得x 2−c 2+y 2=0.①又由点M 在椭圆上，得 y 2=b −b 2x 2a 2，代入①，解得 x 2=a 2−a 2b 2c 2．∵0≤x 2≤a 2， ∴0≤a 2−a 2b 2c 2≤a 2，即0≤2c 2−a 2c 2≤1，0≤2−1e 2≤1．∵e >0， 解得√22≤e ≤1．又∵e <1， ∴√22≤e <1．故答案为：[√22,1)先设点M 的坐标，进而表示出F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得x 和y 的关系式，同时把点M 代入椭圆方程，表示出x ，进而根据0≤x 2≤a 2，求得a 和c 的不等式，进而求得离心率e 的范围．本题主要考查了椭圆的简单性质和不等式的运用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．属中档题．17.【答案】解：∵命题p ：不等式x 2−(a +1)x +1>0的解集是R ，∴△=(a +1)2−4<0， 解得−3<a <1，∵命题q ：函数f(x)=(a +1)x 在定义域内是增函数． ∴a +1>1， 解得a >0，由p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，可知p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，由{−3<a <1a ≤0，得−3<a ≤0，当p 假q 真时，由{a ≤−3或a ≥1a >0，得a ≥1，综上可知a 的取值范围为：{a|−3<a ≤0，或a ≥1}．【解析】本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．由题意可得p ，q 真时，a 的范围，分别由p 真q 假，p 假q 真由集合的运算可得．18.【答案】解：(Ⅰ)因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 32=a 1a 4．即(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d)， 又{a n }的公差为2，所以(a 1+4)2=a 1(a 1+6)， 解得a 1=−8．故{a n }的通项公式为a n =2n −10． (Ⅱ)S 20=202(a 1+a 20)=10×(a 1+a 1+19d) =10×(−16+19×2)=220．故S 20的值为220．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得a 32=a 1a 4.可得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d)，进而得出．(Ⅱ)利用求和公式即可得出．19.【答案】解：函数f(x)=ax 3−bx 2+2，∴f′(x)=3ax 2−2bx ，(1)由题意知，当x =2时，函数f(x)有极值−2，∴{f′(2)=0f(2)=−2即{12a −4b =08a −4b +2=−2，解得{a =1b =3故所求函数的解析式为f(x)=x 3−3x 2+2；(2)由(1)得f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，得x =0或x =2， 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x(−∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 − 0+ f(x)单调递增2单调递减−2单调递增因此，当x =0时，f(x)有极大值2，当x =2时，f(x)有极小值−2； (3)若关于x 的方程f(x)−k =0有三个不同的实数解， 则f(x)=k 有三个实数根， 即y =f(x)与y =k 有三个交点， 由(2)可得函数f(x)的图象：所以实数k 的取值范围为：−2<k <2．【解析】(1)由题意知，当x =2时，函数f(x)有极值−2，{f′(2)=0f(2)=−2，即{12a −4b =08a −4b +2=−2，解得a ，b ，进而得出f(x)的解析式． (2)由(1)得f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，列表格，分析当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况，进而求出极值．(3)若关于x 的方程f(x)−k =0有三个不同的实数解，⇒f(x)=k 有三个实数根，⇒y =f(x)与y =k 有三个交点，由(2)可得函数f(x)得图象，即可得出答案． 本题考查利用导数分析函数的单调性，极值，属于中档题．20.【答案】解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；(Ⅰ)依题意有Q(1,1，0)，C(0,0，1)，P(0,2，0)； 则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ， 故PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ； (Ⅱ)依题意，有B(1,0，1)， CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，−1)； 设n⃗ =(x,y ，z)是平面的PBC 法向量， 则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =0−x +2y −z =0，因此可取n⃗ =(0,−1,−2)； 设m⃗⃗⃗ 是平面PBQ 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可取m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=−√155，故二面角角Q −BP −C 的余弦值为−√155．【解析】首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；(Ⅰ)根据坐标系，求出DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量积的运算易得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的判定方法，可得证明；(Ⅱ)依题意结合坐标系，可得B 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量n ⃗ 与平面PBQ 法向量m ⃗⃗⃗ ，进而求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．21.【答案】解：(1)当m =1时，f(x)=lnx −x ，∴f′(x)=1x −1=1−x x，∴f′(x)>0,得0<x <1f′(x)<0,得x >1，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减； (2)由f(x)，得f′(x)=1x −m =1−mx x，令f′(x)=0，得1−mx =0，当m ≠0时，x =1m ， ①当m <0时，由x ∈[1,e]，知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ； ②当m =0时，易知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ；③当1m ≥e ，即0<m ≤1e 时，由x ∈[1,e]，知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ； ④当1<1m <e ，即1e <m <1时，f(x)在[1,1m )上单调递增，在(1m ,e]上单调递减， 从而[f(x)]max =f(1m )=−lnm −1； ⑤当0<1m ≤1，即m ≥1时，由x ∈[1,e]， 知f′(x)<0，则f(x)在[1,e]上单调递减，从而[f(x)]max =f(1)=−m ；综上，当m ≤1e 时，[f(x)]max =1−me ； 当1e <m <1时，[f(x)]max =−lnm −1； 当m ≥1时，[f(x)]max =−m ．【解析】(1)代入m 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得b =1,c a =√32，由a 2=c 2+b 2=c 2+1 解得a =2， 故椭圆方程为x 24+y 2=1.…(3分)(2)椭圆的右焦点为(√3,0)，此时直线l 的方程为 y =−√33x +1，代入椭圆方整理可得，7x 2−8√3x =0，解得x 1=0,x 2=8√37，代入直线l 的方程得 y 1=1,y 2=−17，所以D(8√37,−17)，故|CD|=√(8√37−0)2+(−17−1)2=167.…(6分)(3)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．…(7分)设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0且k ≠12).代入椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kx =0． 解得x 1=0,x 2=−8k4k 2+1，代入直线l 的方程得y 1=1,y 2=1−4k 24k 2+1，所以D 点的坐标为(−8k4k 2+1,1−4k 24k 2+1).…(10分) 又直线AC 的方程为x2+y =1，又直线BD 的方程为y =1+2k2−4k (x +2)，联立得{x =−4ky =2k +1.因此Q(−4k,2k +1)，又P(−1k ,0)． 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1k,0)(−4k,2k +1)=4．故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．…(14分)【解析】(1)由已知得b =1,ca =√32，由a 2=c 2+b 2可求a ，b ，进而可求椭圆方程(2)由椭圆的右焦点为(√3,0)，可得直线l 的方程为 y =−√33x +1，联立椭圆方程可求D ，根据弦长公式可求CD(3)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，故设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0且k ≠12).代入椭圆方程可求D 点的坐标，联立直线AC ，直线BD 的方程可求Q ，结合已知P 可求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量的数量积的坐标表示代入可证 本题主要考察了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与曲线相交的弦长公式的应用及向量的数量积的坐标表示的应用，属于圆锥曲线问题的综合应用。
2019-2020学年甘肃省高二上学期期末考试数学（理试题
天水市一中2019——2020学年度第一学期期末考试试卷数学（理）一、选择题（每小题3分，共36分）1．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．32．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则)(x f '＞0的解集为（ ）A ．(0，＋∞)B ．()∞+∞，），（21--C ．(－1，0)D ．(2，＋∞) 3．若命题:0,,tan 14p x x π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦，则命题p 的否定为（ ） A ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≤⎢⎥⎣⎦ B ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦C ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≥⎢⎥⎣⎦ D ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈>⎢⎥⎣⎦4．如果方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）.A ．45m <<B ．92m >C ．942m <<D ．952m << 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱C 1D 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D 6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 7．已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ab cd >B ．若11a b>，则a b < C ．若a b >，则22a b > D ．若||a b <，则0a b +>8．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-9．已知m 是直线，α，β是两个不同平面，且m ∥α，则m ⊥β是α⊥β的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．33D ．3211．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]12．函数1()e axf x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,eD ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每小题3分，共12分）13．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为_______.14．设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是____．15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613aa a ==，，则S 5=____________． 16．已知y kxb =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______.三、解答题（前两题每题各8分，后三题每题各12分，共52分）17．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，12AB AD CD ==，AB AD ⊥，AB CD ∥，点M 是PC 的中点．（1）求证：平面PAD ；（2）求二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值．数，导函数为 ，已知()2 0f '=. 19．已知函(1)求a 的值;//BM )(x f '，)(131)(3R a ax x x f ∈+-=(2)求函数()f x 在区间[33]-，上的最值.20．己知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0，直线y x m =+交椭圆于不同的两点,A B .（1）求椭圆M 的方程；（2）设点()1,1C ，当ABC ∆的面积为1时，求实数m 的值．21．已知函数()ln (1)f x x a x =--，R a ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，ln ()1xf x x ≤+恒成立，求实数a 的取范围.理科参考答案1．C2．C3．D4．D5．C6．D7．D8．A9．A10．C11．C12．B取212ln (0)11()e0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴= 设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x-=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减max 2()()g x g e e==画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．6- 14． 15．1213. 16．2ln2+ 16.根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m =+1， 则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y ＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1， 则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m ++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2； 故答案为ln 2+2． 17.（1）21n a n =+；（2）69nn + （1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a nn +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）证明见解析；（2）155. 证明：（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ． 因为M 为PC 中点，所以HM CD ∥，12HM CD =． 因为AB CD ∥，12AB CD =．所以AB HM 且AB HM =．所以四边形ABMH 为平行四边形，所以BM AH ．因为BM ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ， 所以BM ∥平面PAD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ． 因为PA PD =，所以PO AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取BC 中点K ，连结OK ，则OK AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设2AB =，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,4,0C -，()1,0,0D -，()3,P ，()2,2,0BC =-，(1,2,3PB =-．平面BCD 的法向量(3OP =，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩．令1x =，则(1,1,3n =，15cos ,OP n OP n OP n⋅==． 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --的余弦值为5． 19（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为193，最小值为133-. 解: (I) ()3(1)1 3f x x ax x R =-+∈， ()2 f x x a '∴=- ()2 40f a '=-=,4a ∴=(II) 由(I)可得:()()32141,43f x x x f x x '=-+=-， 令()240f x x '=-=，解得2x =+，列出表格如下:又()()1913 34,3233f f -=<=->- 所以函数()f x 在[33]-，区间上的最大值为193，最小值为133- 20．（Ⅰ）：2x 4+y 2＝1；（Ⅱ）m =（Ⅰ）由题意知：2a =，c a =c = 2221b a c ∴=-= ∴椭圆M 的方程为：2214x y += （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y联立2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x mx m ++-= ()226420440m m ∴∆=-->，解得：m <<1285m x x ∴+=-，212445m x x -=5AB ∴==又点C 到直线AB的距离为：d =111225ABC S AB d ∆∴=⋅=⨯=，解得：(2m =±∈2m ∴=±21．(1) 若0a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，()f x 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减;(2) 1[,)2+∞试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1axf x x='-， 若0a ≤，则()0f x '>恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增； 若0a >，则由()10f x x a=⇒='， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上可知：若0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递增； 若0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++， 令()()2ln 1g x x x a x =--，()1x ≥，()ln 12g x x ax +'=-，令()()ln 12h x g x x ax ==+-'，()12axh x x-'=①若0a ≤，()0h x '>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，()()1120g x g a ≥=-'>'，∴()g x 在[)1,+∞上单调递增,()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01xf x x -≥+不符合题意． ②若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，∴()g x '在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 从而()()1120g x g a ≥=-'>'，∴()g x 在[)1,+∞上单调递增,()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01xf x x -≥+不符合题意．……………………10分 ③若12a ≥，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立， ∴()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减,()()10g x g ∴≤=，()ln 01xf x x -≤+综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理含解析 (2)
高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知a b >，则下列不等式：①22a b >；②11<a b；③11>ab a .其中不成立的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质，可举一正一负的例子对三个不等式进行判断. 【详解】由题意可令a ＝1，b ＝﹣1，此时①不对，②不对， ③ab ＝﹣1，此时有11ab a＜，故③不对． 故选：D ．【点睛】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是找到合适的反例说明问题不成立，如果成立则需证明.2.若“x y >，则22x y >”的逆否命题是（ ） A. 若x y ≤，则22x y ≤ B. 若x y >，则22x y < C. 若22x y ≤，则x y ≤D. 若x y <，则22x y <【答案】C 【解析】 【分析】互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题【详解】由题意，原命题的结论的否定：若x 2≤y 2，原命题的条件的否定为x ≤y ， 所以逆否命题是若x 2≤y 2，则x ≤y ， 故选：C ．【点睛】本题考查四种命题的关系判断，考查基本知识的应用． 3.“x a >”是“x a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 4.不等式102xx-≥+的解集为（ ） A. []2,1- B. (]2,1-C. ()(),21+∞∞--，D.(](),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集．【详解】由102xx -≥+得()()12020x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，即()()12020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤，所以不等式的解集是(]2,1-，故选B ．【点睛】本题主要考查分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于基础题．5.已知命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. []0,4B. ()0,4C. ()(),04,-∞⋃+∞D. (][),04,-∞⋃+∞【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否定为命题p ⌝：，∵命题为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为A.考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题与命题p ⌝真假相反、考查二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否定为全称命题，将变为，结论否定写出命题的否定；利用命题与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于求出即可． 6.已知,a b ∈+R 且1a b +=，则ab 的最大值等于 A. 1 B.14C.12D.22【答案】B 【解析】∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．选B. 7.椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题． 8.已知双曲线的离心率为2，焦点是()4,0-，()4,0，则双曲线方程为（ ）A. 221412x y -=B. 221124x y -=C. 221106x y -=D. 221610x y -=【答案】A 【解析】由题意e=2，c=4， 由e=ca，可解得a=2， 又b 2=c 2﹣a 2，解得b 2=12所以双曲线的方程为22x y 1412-=．故答案为 22x y 1412-=．故答案选A. 9.正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [3,)+∞B. (,3]-∞C. (,6]-∞D. [6,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先用基本不等式求+a b 最小值，再根据配方法求二次函数的最大值. 【详解】190,0,1a b a b>>+=，1999()1010216b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则241816x x m -++-≤，即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤6m ∴≥实数m 的取值范围是[6,)+∞. 故选D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.10.不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于A.32B.23C.43D.34【答案】C 【解析】 【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线1:34l x y +=与直线2:34l x y +=的交点后可求面积. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得到()1,1A ，两条直线的纵截距分别为43和4，故不等式组对应的可行域的面积为14414233⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算． 11.在R 上定义运算：2ab ab a b =++，则满足()20xx -<的实数x 的取值范围为（ ） A {}02x x << B. {}21x x -<< C. {|2x x <-或}1x > D. {}12x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】按照定义，先写出常规不等式形式，再解一元二次不等式即可求出． 【详解】∵()()2222220xx x x x x x x -=-++-=+-<，∴()()210x x +-<，∴21x -<<. 故选B ．【点睛】本题主要考查新定义应用以及一元二次不等式的解法．12.设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 2 3 C.312D.512【答案】D 【解析】 【分析】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为bc-,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x y a b a b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b b k c c-==--， ∵直线FB 与直线b y x a =互相垂直，1b bc a∴-⨯=-, 2b ac ∴=,22222b c a c a ac =-∴-=，,210e e ∴--=,15e ±∴=, 双曲线的离心率e ＞1， 51+,故选D.考点：双曲线的简单性质第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.命题“[)30,0x x x ，∀∈+∞+≥”的否定是______.【答案】[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.14.若不等式240x ax ++<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【解析】分析：不等式240x ax ＜++的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可． 详解：∵240x ax ＜++的解集不是空集，240x ax ∴++= 有两个不同的实数根， 则需2160a =-＞，4a ∴-＜或4a ＞. 即答案为(4)(4)∞⋃∞－，－，＋.点睛：本题是考查二次函数，二次不等式，二次方程间的相互转化和相互应用，这是函数中综合性较强的问题，需熟练掌握15.已知x ，y 满足条件220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤，则目标函数34z x y =+的最大值为 .【答案】18 【解析】【详解】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为344zy x =-+，当z 取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线34y x =-向上平移到过点C 时，目标函数取到最大值，240{330x y x y -+=--=，得(2,3)C ，故max 324318z =⨯+⨯=．考点：线性规划．16.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．【答案】x＋y－1＝0【解析】设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－1k(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－1k，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋1k)，设AB的中点为M(x，y)，则有，两式相加消去k得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．三、解答题（本题共6小题，共70分.）17.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【答案】顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F1(130)，F2130)；实轴长6，虚轴长是4，离心率13e=，渐近线方程：23y x=±.【解析】【分析】将双曲线229436y x -=-，化为标准方程22194x y -=，求得3,2,13a b c ===，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，将双曲线229436y x -=-，化为标准方程22194x y -=，可得3,2a b ==，则2213c a b =+=， 所以双曲线的顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点坐标为F 1(130)，F 2130)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率133c e a ==，渐近线方程：23b y x x a =±=±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 18.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为1(3,)F 0－，且右顶点为0(2)D ，．设点A 的坐标是11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）2214x y ＋＝ （2）()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a c 的值，结合222a b c =+求得b 的值，由此求得椭圆方程. （2）设出,P M 的坐标，根据中点坐标公式表示M 点坐标，由此用M 的坐标表示P 点坐标，将此坐标代入椭圆方程，由此求得M 点的轨迹方程.【详解】(1)因为2,3a c ==所以221b a c -=所以椭圆标准方程为2214xy ＋＝.(2)设00()()P x y M x y ，，，，由中点坐标公式，得()00112,,22y x x y ⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以0021122x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩.又因为22001x y +=，所以()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即为中点M 的轨迹方程． 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查相关点法求轨迹方程，属于中档题.19.若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， (1) 求a 的值；(2) 求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2a =-（2）{x|132x -<<} 【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到252ax x +-=0的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）直接利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：（1）依题意可得：252ax x +-=0的两个实数根为12和2， 由韦达定理得：1522a+=-，解得：2a =-；. （2） 则不等式22510ax x a -+->，可化为22530x x --+>，解得 {x|132x -<<}， 故不等式22510ax x a -+->的解集{x|132x -<<}．. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及一元二次不等式的解法与韦达定理的应用，属于简单题.20.设有两个命题：2:22p x x m -+≥的解集为R ；q ：函数()(73)xf x m =--是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.【答案】12m <<【解析】【分析】分别求得p 真q 真时，实数m 的取值范围，依题意，知p 真q 假，或p 假q 真，分别解之，取并即可．【详解】命题：p ：x 2﹣2x +2≥m 的解集为R ⇔m ≤[（x ﹣1）2+1]min ＝1恒成立，即m ≤1； 命题q ：函数f （x ）＝﹣（7﹣3m ）x 是减函数⇔7﹣3m ＞1，解得：m ＜2；若这两个命题中有且只有一个是真命题，则p 真q 假，或p 假q 真．若p 真q 假，则12m m ≤⎧⎨≥⎩，解得：m ∈∅； 若p 假q 真，则12m m ⎧⎨⎩＞＜，解得：1＜m ＜2； 综上所述，实数m 的取值范围为（1，2）．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断与恒成立问题，考查分类讨论思想与方程思想，属于中档题．21.已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x (x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 （1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x+=x+1x -4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2. 所以当x=1时,y=()f x x 的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1,所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.不妨设g(x)=x 2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可. 所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩解得a≥34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22.设直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两个不同的点. （1）求实数b 的取值范围；（2）当1b =时，求AB【答案】（1） (3,3-（2）423AB =【解析】【分析】（1）将直线y ＝x +b 与椭圆联立，利用△＞0，即可求；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当b ＝1 时，可求A ，B 的坐标，利用两点间距离公式可求结果. 【详解】（1）将y ＝x +b 代入2212x y +=，消去y ，整理得3x 2+4bx +2b 2﹣2＝0．① 因为直线y ＝x +b 与椭圆2212x y += 相交于A ，B 两个不同的点， ∴△＝16b 2﹣12（2b 2﹣2）＝24﹣8b 2＞03b 3∴-<<（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当b ＝1 时，方程①为3x 2+4x ＝0．解得1240,3x x ==-,此时121y 1,y 3==- ()()22121242||3AB x x y y =-+-=【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查直线与椭圆相交所得弦长问题，考查计算能力，属于基础题.。
甘肃省平凉市静宁县第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分） 1.已知2()f x x =，则(3)f '等于（ ） A. 0 B. 2xC. 6D. 9【答案】C 【解析】 【分析】先求()f x '，再求()3f '. 【详解】2()()2f x x f x x '==，，(3)6f '∴=.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数导数的求法，属于简单题型.2. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ） A. 0.35 B. 0.65C. 0.1D. 0.6【答案】D 【解析】试题分析：从袋中摸1个球，摸到是红球，是白球，是黑球这三个事件是互斥的，因此摸出的球是白球或黑球的概率为1－0.4＝0.6．故选D ． 考点：互斥事件的概率．3.向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分内的概率为A.14B.2526C.25144D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】观察这个图可知：阴影三角形的面积为s 12=⨯（213-）×525636=，图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分内的概率为2525364144= 故选C.【点睛】本题考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，是基础题.4.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）A. ˆ 1.234yx =+ B. ˆ 1.235y x =+ C. 1.2308ˆ.0yx =+ D.ˆ0.08 1.23yx =+ 【答案】C 【解析】 【分析】设回归直线方程为ˆˆ1.23yx a =+，根据回归直线必过样本中心()4,5，求ˆa . 【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，设回归直线方程为ˆˆ1.23yx a =+，代入()4,5 ， ˆ5 1.234a=⨯+ ，解得：ˆ0.08a = ， ∴回归直线方程是 1.2308ˆ.0yx =+. 故选：C【点睛】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型.5.命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；命题q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是() A. (0，－3) B. (1,2)C. (1，－1)D. (－1,1) 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，联立直线与曲线方程，解点坐标即可【详解】联立223y x y x ⎧⎨⎩＝－＝－，可得39x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=-⎩答案选C【点睛】本题考查求解直线与曲线交点的一般方法，联立求解即可 6.抛物线212x y =的准线方程为（ ） A. 12x =-B. 18x =-C. 12y =-D.18y =-【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据抛物线的方程，求得其开口方向，以及14p =，即可其准线方程. 【详解】由题意，抛物线212x y =，可知14p =，且开口向上，所以其准线方程为18y =-，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程的形式和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.已知函数()f x 的导函数2()f x ax bx c '=++的图象如下图，则()f x 的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象判断原函数的单调性与极值点，利用排除法即可.【详解】由2()f x ax bx c '=++的图象可得2()f x ax bx c '=++的符号先负再正、再负， 所以()f x 的单调性是先减再增、再减，可排除A 、B ；由2()f x ax bx c '=++的图象过原点可得()f x 的一个极值点为0，排除C ，故选：D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与均值，考查了数形结合思想，属于基础题.8.设R x ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或12x >， 所以“12x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件， 故选A ．考点：充分不必要条件的判定． 【此处有视频，请去附件查看】9.如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（ ）A.54B.45C.65D.56【答案】D 【解析】试题分析：当5N =时，该程序框图所表示的算法功能为：11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯，故选D. 考点：程序框图.【此处有视频，请去附件查看】10.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）A. 221169x y +=B. 22143x y +=C. 2211612x y +=D. 22134x y +=【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意可得：|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|=2a,∴2a=4，2c=2，由a 2=b 2+c 2，∴b 2=3∴椭圆的方程为22143x y +=，选B.考点：本试题主要考查了椭圆方程的求解．点评：解决该试题的关键是根据已知的等差中项的性质得到a,,bc,关系式，结合a 2=b 2+c 2,求解得到其方程．11.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( )B. 2【答案】A 【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为ay x b =±，则渐近线a y x b=-过点()2,4-，即2a b =，c =，所以c e a ===故选A. 12.已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x 轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c ⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ,32⎫⎪⎪⎣⎭B. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3⎫⎪⎣⎭D.0,2⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】 【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【详解】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①. 由212PF PF c ⋅=u u u r u u u u r ，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角， 由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③，-③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-，Q 12F PF ∠是锐角，2220123c a c<<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭. 故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13.命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为 ． 【答案】若x≤1，则x 2≤1 【解析】试题分析：根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案． 解：命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x≤1，则x 2≤1”， 故答案为“若x≤1，则x 2≤1” 考点：四种命题．14.曲线1xy e =+在0x =处的切线方程为______． 【答案】2y x =+ 【解析】 【分析】求得1xy e =+的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．【详解】解：1xy e =+的导数为'xy e =，可得曲线1xy e =+在0x =处的切线斜率为1k =，切点为()0,2，即有切线方程为2y x =+． 故答案为2y x =+．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．15.过点(0,2)P 作直线l 与双曲线22149x y -=有且仅有一个公共点，这样的直线l 有________条． 【答案】4 【解析】 【分析】设直线2y kx =+，与双曲线方程联立，根据交点只有一个求参数的取值，判断直线的个数. 【详解】设直线2y kx =+与双曲线方程联立222149y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 即()229416520kxkx ---= ，当2940k -=时，即32k =±时，此时方程只有一解，满足条件； 当2940k -≠时，()()22256452940k k ∆=-⨯-⨯-=解得：k = 当k 不存在时，不满足条件； 综上可知，满足条件的有32k =±或k =4条直线. 故答案为：4【点睛】本题考查已知直线与双曲线的交点个数，判断满足条件的直线条数，意在考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题型.16.直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线交于,A B 两点，若5AF FB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为__________．【答案】2± 【解析】依题意，抛物线24y x =的焦点()10F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222220k x k k -++=，设()11A x y ，，()22B x y ，12242x x k∴+=+，121x x ⋅= 5AFFB→=→Q12155x x ∴-=-即21560x x +-= 121x x Q =，221560x x ∴+-=， 解得21x =或215x =11x ∴=或15x =又122422x x k+=+>，将15x =代入 解得52k =±点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，根据题中所给条件，设出直线方程为()1y k x =-，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率 【答案】（1），（2）【解析】【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个． 因此所求事件的概率为.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其中一切可能的结果（m ，n ）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个， 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝.【此处有视频，请去附件查看】18.已知函数2()(4)(),f x x x a a R =--∈且(1)0f '-=.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值.【答案】（1）12；（2）最大值为92，最小值为5027-． 【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x ）=2x （x ﹣a ）+x 2﹣4=3x 2﹣2ax ﹣4．再利用f′（﹣1）=0，即可解得a ．（2）由（1）可得：f （x ）=x 3﹣21422x x -+．x∈[﹣2，2]．令f′（x ）=0，解得x=﹣1，43．利用导数研究函数的单调性比较极值与区间端点处的函数值，即可得出最值． 【详解】（1）由题可得()2'324f x x ax =--，()'10f -=，解得12a =．（2）由（1）知，12a =．当12a =时，()()2142f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．求导，得()2'34f x x x =--．令()'0f x =，得1x =-，或4.3x = 所以()f x 在][4,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减． 所以()f x 的极大值为()912f -=，极小值为450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()()220f f -==，所以()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性单调性，极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.【答案】（Ⅰ）73；（Ⅱ）选出的两人为“帮扶组”的概率为815p .【解析】本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用．（1）由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05，然后利用平均值公式，可知这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)（2）中利用90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；得到总参赛人数为40，然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人，第五组中有2人，这样可以得到基本事件空间为15种，然后利用其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种，得到概率值解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05；……………2分∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；∴参加测试的总人数为20.05=40人，……………………………………5分∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人，…………………………6分设第一组50~60分数段的同学为A 1，A 2，A 3，A 4；第五组90~100分数段的同学为B 1，B 2 则从中选出两人的选法有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2）共8种 …………………………11分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为815P =20.已知抛物线C ：24y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点． （1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标． 【答案】（1）35（2）()9,6或()4,4- 【解析】试题分析：（1）由224,{4,y x y x =-=⇒⇒>0∆，125x x +=，124x x =⇒||AB =5251635⋅-=⇒弦AB 的长度为35；（2）设点200(,)4y P y ⇒P 到AB 的距离d = 200425y y --⇒200421351225PABy y S ∆--=⨯⨯=⇒06y =或04y =-⇒P 点为(9,6)或(4,4)-．试题解析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由224,{4,y x y x =-=得，>0∆，由韦达定理有125x x +=，124x x =，∴22121212()45251635AB x x x x =++-=-=， ∴弦AB 的长度为35（2）设点200(,)4y P y ，设点P 到AB 的距离为d，则d =∴1122PAB S ∆=⨯=，即200482y y --=， ∴200482y y --=±，解得06y =或04y =-，∴P 点为(9,6)或(4,4)-．考点：1、直线与抛物线；2、弦长；3、三角形面积. 21.已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的极值点．（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,]e 上的最小值． 【答案】（1）1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析 【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数()()()1g x f x a x =--，求导得()ln 1g x x a '=+-，再根据零点1e a - 与区间[]1,e 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法.详解：解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()ln 1f x x ='+， ∴令()ln 10f x x +'=>，得1e x >，令()0f x '<，得10e x <<， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， ∴1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在． （2）由题意得()()()()1ln 1g x f x a x x x a x =--=--， ∴()ln 1g x x a '=+-， 令()0g x '=得1e a x -=．①当1e 1a -<时，即1a <时，()g x 在[]1,e 上单调递增， ∴()g x 在[]1,e 上的最小值为()10g =； ②当11e e a -≤≤，即12a ≤≤时，()g x 在11,e a -⎡⎤⎣⎦上单调递减，在1,e a e -⎡⎤⎣⎦上单调递增，∴()g x 在[]1,e 上的最小值为()11111lne e e a a a a a g eea a a -----=-+=-；③当1e e a ->，即2a >时，()g x 在区间[]1,e 上单调递减， ∴()g x 在[]1,e 上的最小值为()()1g e e a e e ae a =--=-+， 综上所述，当1a <时，()g x 的最小值为0；当12a ≤≤时，()g x 的最小值为1e a a --；当2a >时，()g x 的最小值为e e a a -+．点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点是(0,1)，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD 的四条边都与椭圆C 相切，设直线AB 方程为y kx m =+，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时S 有最大值10；当k=0时，S 有最小值8.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可，由题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点是(0,1)，所以1b =，又，椭圆C 的方程是；（Ⅱ）注意斜率的讨论，当时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8. 当时， AB所在直线方程为y kx m=+，所以，直线BC和AD的斜率均为.联立直线AB与椭圆方程可得，令得到，直线AB与直线DC之间的距离为，同理可求BC与AD距离为，所以矩形ABCD 的面积为，再利用基本不等式即可解决.试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1)，所以1b=又，离心率为32，即，222a b c=+解得，故椭圆C的方程是（Ⅱ）当时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8.当时，椭圆的外切矩形ABCD的边AB所在直线方程为y kx m=+，所以，直线BC和AD的斜率均为.由，消去y得，化简得：所以，直线AB方程为直线DC方程为直线AB与直线DC之间的距离为同理，可求BC与AD距离为则矩形ABCD的面积为由均值定理仅当，即时S有最大值10.因此，当时S有最大值10；当K=0时，S有最小值8. 考点：圆锥曲线及其在最值中的应用。
甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题
甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题
20. 已知椭圆
的一个顶点是 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知矩形
的四条边都与椭圆 相切，设直线AB方程为
，求矩形
面积的最小值与最大值.
D．
4. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球
的概率是（）
A．0.35
B．0.65
C．0.1
D．0.6
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5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条．20
8. 设圆
的圆心为 ，点
的轨迹方程为（ ）
是圆内一定点，点 为圆周上任一点，线段 的垂直平分线与 的连线交于点 ，则点
甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题
A．
B．
C．
D．
9. 双曲线虚轴的一个端点为 ，焦点为 、 ，
的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若
，求：
19. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝ BB1，C1F＝ CC1.
（1）求异面直线AE与A1F所成角的大小； （2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.
，则直线 的斜率为________.
三、解答题
16. 已知向量
，
，
.
（1）若
2019-2020年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）A．3 B．9 C．27 D．817．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）A．B．C．D．||10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.615．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是．19．计算log28+log2的值是．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算直接求出M∩N．【解答】解：因为集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，所以M∩N={1，3}，故选：C．3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A是偶函数，对于B是奇函数，对于C、D是非奇非偶函数，故选：B．4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：y=cos（x∈R）∴函数f（x）的最小正周期T=；故选D．6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件a＞30，跳出循环，计算输出a的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=3×1=3；第二次循环a=3×3=9；第三次循环a=3×9=27；第四次循环a=3×27=81，满足条件a＞30，跳出循环，输出a=81．故选：D．7．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于A，c≤0时，不成立，对于B，﹣a＜﹣b，对于C，根据不等式的性质，成立，对于D，a，b是负数时，不成立，故选：C．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴+=．故选；A．10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由条件根据这两条直线的斜率互为负倒数，可得这两条直线垂直．【解答】解：两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的斜率分别为﹣、2，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故选：B．11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据题意得直线的斜率k=﹣，从而得到倾斜角α满足tanα=﹣，结合倾斜角的取值范围，可得α．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣，∵α∈[0，π），∴α=，故选C．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c 的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2=﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P=4，∴=2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，进而计算可得c的值，结合椭圆的几何性质可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25x2+9y2=225，变形可得+=1，则其中a==5，b==3，则有c==4；故椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==0.8；故选：B．15．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设等轴双曲线的方程为：﹣=1，从而可求得其离心率．【解答】解：设等轴双曲线的方程为：﹣=1，则c=a，∴其离心率e==．故选B．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵集合A=（2，+∞）⊊B=[1，+∞），∴“a＞2”是“a≥1”的充分不必要条件，故选：A．17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是∀x∈R，使x2+2x+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使x2+2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0故答案为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0．19．计算log28+log2的值是2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为==3﹣1=2．故答案为：2．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y即可得出．【解答】解：由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y=．∴直线在y轴上的截距是．故答案为：21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】分析函数y=2x在[0，1]上单调性，进而可得答案．【解答】解：函数y=2x在[0，1]上为增函数，故当x=0时，函数取最小值1，故答案为：122．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=27．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由数列性质得a5=S5﹣S4=3，由等差数列的通项公式及前n项和公式得S9==9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案为：27．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【分析】（1）由条件利用二倍角的正弦公式可得y=1+sin2x，再根据正弦函数的周期性性和最大值得出结论．（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间．【解答】解：（1）∵y=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，∴函数的最1=2．小正周期为，y最大值=1+（2）由，k∈z，可得要求的递增区间是，k∈z．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由lg，得＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．（2）证明f（﹣x）+f（x）=0，进而证明f（x）=﹣f（﹣x）得出答案【解答】（1）解：∵由lg，得出＞0，且1+x≠0∴有（1﹣x）＞0且（1+x）＞0或者（1﹣x）＜0且（1+x）＜0∵解得第一个不等式有﹣1＜x＜1，第二个不等式不存在∴函数的定义域{x|﹣1＜x＜1}（2）证明∵f（﹣x）+f（x）=lg+lg=lg1=0∴f（x）=﹣f（﹣x）∴函数f（x）为奇函数26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）由准线的方程为x=﹣1可求p的值；（2）直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，利用抛物线过焦点的弦长公式|AB|=x1+x2+2=8．可求【解答】解：（1）由准线的方程为x=﹣1，可知：，即p=2（2）易得直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，消去x得y2﹣4y﹣4=0，y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴x1+x2=y1+y2+2=6，所以：弦长|AB|=8．2017年2月18日。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_14
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.在中，若则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.4.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】举出反例即可判断A、B、C选项；由可得，再根据函数的单调性即可判断D选项，即可得解.【详解】当，时，，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由可得，再根据函数的单调性可得即，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式和不等关系，属于基础题.5.已知等差数列公差为d,前n项和为,则“d>0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．6.若x,y满足约束条件的取值范围是A. [06]B. [0,4]C. [6,D. [4,【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．7.等比数列的前n项和为，已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】设公比为q,则，选A.8.如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算法则可得，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体性质可得.故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.9.在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【详解】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.11.已知：数列满足，，则的最小值为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或当时，则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则，因此，即，则当时，则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，则综上所述，椭圆的离心率取值范围是故选D点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，，，且的面积为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长.【详解】在中，，，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到.故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14.若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.【答案】且【解析】【分析】由题意得且与不共线，即可得，即可得解.【详解】由与的夹角为钝角可得且与不共线，则即且.故答案为：且.【点睛】本题考查了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于基础题.15.已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.若钝角三角形的三边长，8，成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得，再根据三角形三边关系可得，即可得解.【详解】由题意得且，三角形为钝角三角形，即，即，，又由三角形三边关系可得，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题p：函数f（x）=lg（ax2-x+16a）的定义域为R；命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题,求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】(1)命题p是真命题,有a＞0，△＜0,即求解即可．(2)命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x,令t=3x＞0,则y=t-t2,t＞0,通过函数的最值求解a的范围,利用复合命题的真假关系求解即可．【详解】解：(1)命题p是真命题,则ax2-x+16a＞0恒成立,得到a＞0,△=1-64a2＜0,即a＞,或a（舍去）,所以a取值范围为．（2）命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x，令t=3x＞0，则y=t-t2,t＞0，当时,,所以．命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则p,q一真一假．即有或,综上，实数a的取值范围．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是基本知识的考查．18.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为时，解集为或；（2）由题意得：恒成立恒成立试题解析：（1）时，不等式的解集为或时，不等式的解集为时，不等式的解集为或（2）由题意得：恒成立，恒成立.易知，的取值范围为：20.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.21.如图，在长方体中，，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；（3）等于何值时，二面角为.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标后，利用即可得证；（2）由为的中点可得，表示出两直线的方向向量后利用即可得解；（3）表示出平面和平面的法向量后，利用解方程即可得解.【详解】是长方体，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，（1），,，.（2）当为的中点时，，，，，设直线与所成角为，则.（3）平面为平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则令得.由题意，解得或（舍去）.当时，二面角为.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了运算能力，属于中档题.22.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得．设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标．试题解析：（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，令，解得，故，又，∴，∴，解得．∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，则，，假设x轴上的定点为，则.要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.在中，若则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选D.答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.4.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】举出反例即可判断A、B、C选项；由可得，再根据函数的单调性即可判断D选项，即可得解.【详解】当，时，，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由可得，再根据函数的单调性可得即，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式和不等关系，属于基础题.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．6.若x,y满足约束条件的取值范围是A. [06]B. [0,4]C. [6,D. [4,【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．7.等比数列的前n项和为，已知，则【答案】A【解析】设公比为q,则，选A.8.如图在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算法则可得，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体性质可得.故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.9.在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.11.已知：数列满足，，则的最小值为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或当时，则有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则，因此，即，则当时，则有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，则综上所述，椭圆的离心率取值范围是故选D点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，，，且的面积为，则__________．【答案】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长.【详解】在中，，，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到.故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14.若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.【答案】且【解析】【分析】由题意得且与不共线，即可得，即可得解.【详解】由与的夹角为钝角可得且与不共线，则即且.故答案为：且.【点睛】本题考查了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于基础题.15.已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.若钝角三角形的三边长，8，成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得，再根据三角形三边关系可得，即可得解.【详解】由题意得且，三角形为钝角三角形，即，即，，又由三角形三边关系可得，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题p：函数f（x）=lg（ax2-x+16a）的定义域为R；命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题,求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围．【解析】【分析】(1)命题p是真命题,有a＞0，△＜0,即求解即可．(2)命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x,令t=3x＞0,则y=t-t2,t＞0,通过函数的最值求解a的范围,利用复合命题的真假关系求解即可．【详解】解：(1)命题p是真命题,则ax2-x+16a＞0恒成立,得到a＞0,△=1-64a2＜0,即a＞,或a（舍去）,所以a取值范围为．（2）命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x，令t=3x＞0，则y=t-t2,t＞0，当时,,所以．命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则p,q一真一假．即有或,综上，实数a的取值范围．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是基本知识的考查．18.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用分类讨论思想分和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为时，解集为或；（2）由题意得：恒成立恒成立试题解析：（1）时，不等式的解集为或时，不等式的解集为时，不等式的解集为或（2）由题意得：恒成立，恒成立.易知，的取值范围为：20.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.21.如图，在长方体中，，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；（3）等于何值时，二面角为.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标后，利用即可得证；（2）由为的中点可得，表示出两直线的方向向量后利用即可得解；（3）表示出平面和平面的法向量后，利用解方程即可得解.【详解】是长方体，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，（1），,，.（2）当为的中点时，，，，，设直线与所成角为，则.（3）平面为平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，则令得.由题意，解得或（舍去）.当时，二面角为.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了运算能力，属于中档题.22.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得．设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标．试题解析：（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，令，解得，故，又，∴，∴，解得．∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，则，，假设x轴上的定点为，则.要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．。
2020-2021学年甘肃省平凉市静宁一中高二(上)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省平凉市静宁一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 一元二次不等式2x 2+x −6≥0的解集为( )A. (−∞,−2]∪[32,+∞) B. [−2,32] C. (−∞,−32]∪[2,+∞)D. [−32,2]2. 设，则“a >1”是“a 2>1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 等比数列{a n }中a 1=3，a 4=24，则a 3+a 4+a 5=( )A. 33B. 72C. 84D. 1894. 若a 、b 、c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. a 2>b 2C. a c 2+1>bc 2+1D. a|c|>b|c|5. 设变量x 、y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6，则目标函数z =2x +y 的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 96. 已知向量a ⃗ =(0,1，1)，b ⃗ =(1,0，0)，若向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 互相垂直，k 的值是( ) A. −12B. −1C. 12D. 17. 若关于x 的不等式ax 2+2ax +1>0对一切的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (0,1)D. [0,1)8. 如图：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ +c ⃗ C. −12a⃗ −12b ⃗ +c ⃗D. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗9. 若抛物线y 2=2px 上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=10x10. 函数f(x)=3sinx +4cosx 的图象在点T(0,f(0))处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积等于( )A. 43B. 53C. 73D. 8311. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =CC 1=4，BC =3，则直线BC 1和平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( )A. 112B. 1225C. √34 D. √101012. 已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则( )A. 4f(1)<f(2)B. 4f(1)>f(2)C. f(1)<4f(2)D. f(1)<2f′(2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线C 的方程为x 28−y 24=1，则C 的渐近线方程为______ ．14. 命题：p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则命题p 的否定￢p 是______ ． 15. 当x >3时，函数y =x +4x−3的最小值是______ ． 16. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点是F 1(−c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则离心率e 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 命题p ：不等式x 2−(a +1)x +1>0的解集是R.命题q ：函数f(x)=(a +1)x 在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．18.已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设{a n}的前n项和为S n，求S20的值．19.若函数f(x)=ax3−bx2+2，当x=2时，函数f(x)有极值−2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值；(3)若关于x的方程f(x)−k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．PD．20.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=12 (Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q−BP−C的余弦值．21. 已知函数f(x)=lnx −mx(m ∈R)，e 是自然对数的底数．(1)当m =1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)在区间[1,e]上的最大值．22. 过点C(0,1)的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，椭圆与x 轴交于两点A(a,0)、B(−a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． (1)求椭圆的方程；(2)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (3)当点P 异于点B 时，求证：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：不等式2x2+x−6≥0可化为(x+2)(2x−3)≥0，，解得x≤−2或x≥32,+∞)．所以该不等式的解集为(−∞−2]∪[32故选：A．把不等式化为(x+2)(2x−3)≥0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．解不等式a2>1得a>1或a<−1，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2>1得a>1或a<−1，∴由“a>1”能推出“a>1或a<−1”，但“a>1或a<−1”推不出“a>1”，即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n−1，∴a 4=a 1q 3=3q 3=24， 解得q =2，∴a 3+a 4+a 5=3q 2+3q 3+3q 4=84， 故选C ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a ，b 的值，可一一验证A ，B ，D 不成立，而由不等式的基本性质知C 成立，从而解决问题． 【解答】解：对于A ，取a =1，b =−1，即知不成立，故错； 对于B ，取a =1，b =−1，即知不成立，故错； 对于D ，取c =0，即知不成立，故错；对于C ，由于c 2+1>0，由不等式基本性质即知成立，故对； 故选：C ．5.【答案】B【解析】解：设变量x 、y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)， 则目标函数z =2x +y 的最小值为3， 故选：B ．本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件{y ≤xx +y ≥2y ≥3x −6的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z =2x +y 的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“交点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个交点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．6.【答案】C【解析】解：∵a ⃗ =(0,1，1)，b ⃗ =(1,0，0)， ∴k a ⃗ +b ⃗ =(1,k ，k)，a ⃗ −b ⃗ =(−1,1，1)， 若向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 互相垂直，则(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−1+2k =0，解得k =12， 故选：C ．根据题意，求出向量k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由空间向量数量积计算公式可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−1+2k =0，求出k 的值，即可得答案．本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量数量积的计算公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：原不等式等价于a(x 2+2x)+1>0对一切的实数x 恒成立， ①当a =0时，原不等式等价于1>0对一切的实数x 恒成立， ②当a ≠0时，{a >0△=4a 2−4a <0，解得0<a <1． 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1)． 故选：D ．对a 的值分a =0和a ≠0两种情况进行讨论，当a ≠0时，则a >0且△<0，求解即可得到答案．本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是注意对a =0的讨论，要掌握常见的求解不等式恒成立的方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．8.【答案】A【解析】 【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决． 【解答】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c ⃗ +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ 故选：A ．9.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了抛物线的标准方程和抛物线的定义，属于基础题．由已知条件，利用抛物线的定义得到p2+2=4，求出p 的值，由此求出抛物线的标准方程． 【解答】解：∵抛物线y 2=2px 上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4， ∴p2+2=4，解得p =4， ∴抛物线的标准方程为y 2=8x ． 故答案选：C ．10.【答案】D【解析】解：由f(x)=3sinx +4cosx ，得f′(x)=3cosx −4sinx ， ∴f′(0)=3，又f(0)=4， ∴切线l 的方程为3x −y +4=0，取x =0，解得切线l 在y 轴上的截距b =4， 取y =0，解得切线l 在x 轴上的截距a =−43， ∴直线l 与坐标轴围成的三角形面积S =12|a||b|=83．故选：D．先求出函数f(x)在点T(0,f(0))处的切线方程，然后求出切线l在坐标轴上的截距，再求出切线l与坐标轴围成的三角形面积．本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，属基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，过B作BO⊥AC于O，连接OC1，∵AA1⊥面ADCB，BO⊂面ADCB，∴BO⊥AA1，又AC∩AA1=A，∴BO⊥面面ACC1A1，∴∠BC1O就是直线BC1和平面ACC1A1所成的角，在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，∴AC=5，由AB⋅BC=AC⋅BO得BO=125，又BC1=√BB12+BC2=5，∴sin∠BC1O=BOBC1=1225，则直线BC1和平面ACC1A1所成角的正弦值为1225，故选：B．过B作BO⊥AC于O，连接OC1，则∠BC1O就是直线BC1和平面ACC1A1所成角，解三角形BOC1即可．本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g(x)是解题的关键，本题是一道中档题．令g(x)=f(x)x2，(x>0)，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g(1)>g(2)，从而求出答案．【解答】解：令g(x)=f(x)x2，(x>0)，则g′(x)=xf′(x)−2f(x)x3，∵不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，∴xf′(x)−2f(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)递减，故g(1)>g(2)，故4f(1)>f(2)，故选：B．13.【答案】y=±√22x【解析】解：双曲线C的方程为x28−y24=1，可得a=2√2，b=2，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．故答案为：y=±√22x．利用双曲线方程求解a，b，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．14.【答案】∃x∈R，sinx>1【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题知：命题p的否定￢p是：∃x∈R，sinx>1．故答案为：∃x∈R，sinx>1．命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题来解决．本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．15.【答案】7【解析】解：∵x>3，∴x−3>0，∴y=x+4x−3=(x−3)+4x−3+3≥2√(x−3)⋅4x−3+3=7，当且仅当x−3=4x−3即x =5时等号成立， ∴y =x +4x−3的最小值是7．故答案为：7．可得出x −3>0，从而可根据基本不等式得出y =(x −3)+4x−3+3≥7，这样即可得出y 的最小值．本题考查了基本不等式求函数最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】[√22,1)【解析】解：设点M 的坐标为(x,y)，则F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +c,y)，F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −c,y)． 由F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得x 2−c 2+y 2=0.①又由点M 在椭圆上，得 y 2=b −b 2x 2a 2，代入①，解得 x 2=a 2−a 2b 2c 2．∵0≤x 2≤a 2， ∴0≤a 2−a 2b 2c 2≤a 2，即0≤2c 2−a 2c 2≤1，0≤2−1e 2≤1．∵e >0， 解得√22≤e ≤1．又∵e <1， ∴√22≤e <1．故答案为：[√22,1)先设点M 的坐标，进而表示出F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得x 和y 的关系式，同时把点M 代入椭圆方程，表示出x ，进而根据0≤x 2≤a 2，求得a 和c 的不等式，进而求得离心率e 的范围．本题主要考查了椭圆的简单性质和不等式的运用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．属中档题．17.【答案】解：∵命题p ：不等式x 2−(a +1)x +1>0的解集是R ，∴△=(a +1)2−4<0， 解得−3<a <1，∵命题q ：函数f(x)=(a +1)x 在定义域内是增函数． ∴a +1>1， 解得a >0，由p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，可知p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，由{−3<a <1a ≤0，得−3<a ≤0，当p 假q 真时，由{a ≤−3或a ≥1a >0，得a ≥1，综上可知a 的取值范围为：{a|−3<a ≤0，或a ≥1}．【解析】本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．由题意可得p ，q 真时，a 的范围，分别由p 真q 假，p 假q 真由集合的运算可得．18.【答案】解：(Ⅰ)因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以a 32=a 1a 4．即(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d)， 又{a n }的公差为2，所以(a 1+4)2=a 1(a 1+6)， 解得a 1=−8．故{a n }的通项公式为a n =2n −10． (Ⅱ)S 20=202(a 1+a 20)=10×(a 1+a 1+19d) =10×(−16+19×2)=220．故S 20的值为220．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得a 32=a 1a 4.可得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d)，进而得出．(Ⅱ)利用求和公式即可得出．19.【答案】解：函数f(x)=ax 3−bx 2+2，∴f′(x)=3ax 2−2bx ，(1)由题意知，当x =2时，函数f(x)有极值−2，∴{f′(2)=0f(2)=−2即{12a −4b =08a −4b +2=−2，解得{a =1b =3故所求函数的解析式为f(x)=x 3−3x 2+2；(2)由(1)得f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，得x =0或x =2， 当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x(−∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 − 0+ f(x)单调递增2单调递减−2单调递增因此，当x =0时，f(x)有极大值2，当x =2时，f(x)有极小值−2； (3)若关于x 的方程f(x)−k =0有三个不同的实数解， 则f(x)=k 有三个实数根， 即y =f(x)与y =k 有三个交点， 由(2)可得函数f(x)的图象：所以实数k 的取值范围为：−2<k <2．【解析】(1)由题意知，当x =2时，函数f(x)有极值−2，{f′(2)=0f(2)=−2，即{12a −4b =08a −4b +2=−2，解得a ，b ，进而得出f(x)的解析式． (2)由(1)得f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，列表格，分析当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况，进而求出极值．(3)若关于x 的方程f(x)−k =0有三个不同的实数解，⇒f(x)=k 有三个实数根，⇒y =f(x)与y =k 有三个交点，由(2)可得函数f(x)得图象，即可得出答案． 本题考查利用导数分析函数的单调性，极值，属于中档题．20.【答案】解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；(Ⅰ)依题意有Q(1,1，0)，C(0,0，1)，P(0,2，0)； 则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ， 故PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ； (Ⅱ)依题意，有B(1,0，1)， CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，−1)； 设n⃗ =(x,y ，z)是平面的PBC 法向量， 则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =0−x +2y −z =0，因此可取n⃗ =(0,−1,−2)； 设m⃗⃗⃗ 是平面PBQ 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可取m⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=−√155，故二面角角Q −BP −C 的余弦值为−√155．【解析】首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；(Ⅰ)根据坐标系，求出DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量积的运算易得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的判定方法，可得证明；(Ⅱ)依题意结合坐标系，可得B 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量n ⃗ 与平面PBQ 法向量m ⃗⃗⃗ ，进而求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．21.【答案】解：(1)当m =1时，f(x)=lnx −x ，∴f′(x)=1x −1=1−x x，∴f′(x)>0,得0<x <1f′(x)<0,得x >1，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减； (2)由f(x)，得f′(x)=1x −m =1−mx x，令f′(x)=0，得1−mx =0，当m ≠0时，x =1m ， ①当m <0时，由x ∈[1,e]，知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ； ②当m =0时，易知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ；③当1m ≥e ，即0<m ≤1e 时，由x ∈[1,e]，知f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]上单调递增， 从而[f(x)]max =f(e)=1−me ； ④当1<1m <e ，即1e <m <1时，f(x)在[1,1m )上单调递增，在(1m ,e]上单调递减， 从而[f(x)]max =f(1m )=−lnm −1； ⑤当0<1m ≤1，即m ≥1时，由x ∈[1,e]， 知f′(x)<0，则f(x)在[1,e]上单调递减，从而[f(x)]max =f(1)=−m ；综上，当m ≤1e 时，[f(x)]max =1−me ； 当1e <m <1时，[f(x)]max =−lnm −1； 当m ≥1时，[f(x)]max =−m ．【解析】(1)代入m 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得b =1,c a =√32，由a 2=c 2+b 2=c 2+1 解得a =2， 故椭圆方程为x 24+y 2=1.…(3分)(2)椭圆的右焦点为(√3,0)，此时直线l 的方程为 y =−√33x +1，代入椭圆方整理可得，7x 2−8√3x =0，解得x 1=0,x 2=8√37，代入直线l 的方程得 y 1=1,y 2=−17，所以D(8√37,−17)，故|CD|=√(8√37−0)2+(−17−1)2=167.…(6分)(3)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．…(7分)设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0且k ≠12).代入椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kx =0． 解得x 1=0,x 2=−8k4k 2+1，代入直线l 的方程得y 1=1,y 2=1−4k 24k 2+1，所以D 点的坐标为(−8k4k 2+1,1−4k 24k 2+1).…(10分) 又直线AC 的方程为x2+y =1，又直线BD 的方程为y =1+2k2−4k (x +2)，联立得{x =−4ky =2k +1.因此Q(−4k,2k +1)，又P(−1k ,0)． 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1k,0)(−4k,2k +1)=4．故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．…(14分)【解析】(1)由已知得b =1,ca =√32，由a 2=c 2+b 2可求a ，b ，进而可求椭圆方程(2)由椭圆的右焦点为(√3,0)，可得直线l 的方程为 y =−√33x +1，联立椭圆方程可求D ，根据弦长公式可求CD(3)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，故设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0且k ≠12).代入椭圆方程可求D 点的坐标，联立直线AC ，直线BD 的方程可求Q ，结合已知P 可求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量的数量积的坐标表示代入可证 本题主要考察了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与曲线相交的弦长公式的应用及向量的数量积的坐标表示的应用，属于圆锥曲线问题的综合应用。
甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次考试数学试题(理)(解析版)
高中数学月考/段考试题甘肃省静宁县第一中学 2019-2020 学年 高二上学期第二次考试（理）时间:150 分钟 满分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分)1、命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2、容量为 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在内的频数为( )A. 12B. 483、下列说法中正确的是（ ）C. 60A. “”是“”成立的充分不必要条件D. 80B. 命题，则C. 为了了解 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 40 的样本，则分组的组距为 .D. 已知回归直线的斜率的估计值为 ，样本点的中心为，则回归直线方程为.4、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 抽到一等品 ，事件 抽到二等品 ，事件 抽到三等品 ，且,，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A. 0.7B. 0.65C. 0.355、程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )D. 0.3A. 2 B. 3 C. 4D. 5 6、已知线段的长度为 ，在线段上随机取一点 ，则 到点 、 的距离都大于 的概率为（ ）1高中数学月考/段考试题A.B.7、已知命题 :直线与直线C.D.垂直， : 原点到直线的距离为 ，则（ ）A.为假 B.为真C.为真D.为真8、已知 、 分别为椭圆的左、右焦点,倾斜角为 的直线 过点 ,且与椭圆交于 , 两点,则A.B.的周长为( ) C.9、与双曲线共焦点，且过点D. 的双曲线方程为（ ）A.B.10、若命题 “A.B.11、已知 是椭圆上一点, 圆离心率为( )B. A.C.D.”是真命题,则实数 的取值范围是( )C.D.是椭圆两个焦点,若,C. D.,则椭12、椭圆的左右焦点分别为 , ,点 是椭圆上的一点,已知,则的面积为( )A.B.C.D.二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分)13、以为渐近线且经过点的双曲线方程为__________.14、如果椭圆的弦被平分,则这条弦所在的直线方程是__________.15、已知.若 是 的充分条件，则实数 的取值范围__________.16、下列结论:①“直线 与平面 平行”是“直线 在平面 外”的充分不必要条件;2高中数学月考/段考试题②若,,则,;③命题:“设 ,,若,则或 ”为真命题;④“”是“函数在上单调递增”的充要条件.其中所有正确结论的序号为__________.三、解答题(共 6 小题,共 70 分)17、（10 分）某市准备引进优秀企业进行城市建设.城市的甲地、乙地分别对 个企业(共 个 企业)进行综合评估,得分情况如茎叶图所示.(1)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差; (2)规定得分在 分以上为优秀企业,若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过 分的概率.(参考公式:样本数据的方差:,其中 为样本平均数)18、（12 分）已知命题 :,,命题 :.(1)若命题 是真命题,求实数 的取值范围;(2)若是真命题,是假命题,求实数 的取值范围.19、（12 分）为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).3的相关人员 中,抽高中数学月考/段考试题（1）求 ; （2）若从高校抽取的人中选 人做专题发言,求这 人都来自高校 的概率.20、（12 分）过原点 O 作圆的弦 OA.(1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程；(2)延长 OA 到 N，使，求 N 点的轨迹方程.21、（12 分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相 应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据（1）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程;（2）已知该厂技改前 同归方程,预测生产吨甲产品的生产能耗为 吨标准煤.试根据（1）求出的线性 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(附:,,其中 为样本平均值)4高中数学月考/段考试题22、（12 分）已知椭圆的右焦点为 , 为短轴的一个端点且(其中 为坐标原点).(1)求椭圆的方程; (2)若 、 分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足点 ,试问 轴上是否存在异于点 的定点 ,使得以,连接 ,交椭圆于 为直径的圆恒过直线 、的交点,若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.5高中数学月考/段考试题——★ 参*考*答*案 ★——第 1 题答案 C 第 1 题解析命题“若 ，则”的逆否命题是“若，则”.故选 C.第 2 题答案 B 第 2 题解析. 第 3 题答案 D 第 3 题解析对于 A，取，时，不能推出，故错误；对于 B，命题的否定为，故错误；对于 C，为了了解 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，则分组的组距为 ，故错误；对于 D，因为回归直线的斜率的估计值为 ，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.第 4 题答案 C第 4 题解析因为“抽到的不是一等品”与“抽到的是一等品”是对立事件，所以，故选 C.第 5 题答案 C第 5 题解析由程序框图可知: ,;,;,;,.第 6 题答案 B第 6 题解析由几何概型可知 到点 、 的距离都大于 的概率为 ............第 7 题答案 B第 7 题解析因为直线的斜率为 ，直线直线垂直，故 为真命题，的斜率为 ，由于，所以两6高中数学月考/段考试题因为原点到直线故选 B. 第 8 题答案 D 第 8 题解析椭圆,可得,由椭圆的定义的距离，所以 为真命题，所以,的周长为,所以的周长为,,所以的周长为为真. .第 9 题答案 D 第 9 题解析由题意知：，设双曲线方程为，则，且，解得第 10 题答 B 第 10 题解析 命题 “. 第 11 题答案 B 第 11 题解析在中,,理,，，所以双曲线方程为.”是真命题,则需满足,解得或,,根据余弦定,所以,,根据椭圆定义,则离心率.第 12 题答案 C 第 12 题解析∵椭圆,∴,,,由题意知①,7高中数学月考/段考试题∵,∴① ②,可得∴,∴第 13 题答案②, , .故选 C.第 13 题解析以为渐近线的双曲线为等轴双曲线,方程可设为得,∴,∴.第 14 题答案 第 14 题解析 设弦的端点为①,,,代入椭圆方程,得②;① ②得由中点坐标,,代入上式,得,代入点; ,∴直线斜率为,所求弦的直线方程为:,即.第 15 题答案第 15 题解析，即，所以 :或，即，：或；而 是 的充分条件，所以解得，故答案为.第 16 题答案①③ 第 16 题解析 ①“直线 与平面 平行”可推得“直线 在平面 外”,反之,不成立,直线 可能与平面 相 交,故“直线 与平面 平行”是“直线 在平面 外”的充分不必要条件,故①正确;②若,,则,,故②错误;③命题“设 ,,8高中数学月考/段考试题若,则或 ”的逆否命题为“设 ,,若且 ,则”,即为真命题,故③正确;④函数在上单调递增,可得在恒成立,即有,可得,“”是“函数在 第 17 题答案见解析 第 17 题解析上单调递增”的充分不必要条件,故④错误.(1)乙地对企业评估得分的平均值是,方差是.(2)从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取 个,有 差的绝对值不超过 分”为事件 ,则事件 包含有,共 组, 设“得分的,共 组,所以,所以得分的差的绝对值不超过 分的概率是 .第 18 题答案略 第 18 题解析 (1)命题 是真命题时,在 范围内恒成立,∴①当时,有恒成立; ②当时,有,解得:;∴ 的取值范围为:.(2)∵是真命题,是假命题,∴ , 一真一假.由 为真时得:真 假时,有得:;② 假 真时,有,故有:①得:; ∴ 的取值范围为:.第 19 题答案见解析. 第 19 题解析（1）.由题意可得,所以.（2）.记从高校 抽取的 人为 ,从高校 抽取的 人为,则从高校 抽取的9高中数学月考/段考试题人中选 人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共 种.设选中的 人都来自高校 的事件为 ,则 包含的基本事件有，，共三种.因此,故选中的 人都来自高校 的概率为 .第 20 题答案(1)； (2)第 20 题解析（1）设 M 点坐标为，那么 A 点坐标是，A 点坐标满足圆的方程，所以，化简得 M 点轨迹方程为．（2）设 N 点坐标为，那么 A 点坐标是（ ），A 点坐标满足圆的方程，得到：，N 点轨迹方程为：.第 21 题答案见解析. 第 21 题解析（1）计算得:,所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为:,因此,所求的线性回归方程为.（2）由（1）的回归方程及技改前生产 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为:(吨标准煤).10高中数学月考/段考试题11 第22题答案略第22题解析(1)由已知:,∴,故所求椭圆方程为 (2)由(1)知,,.由题意可设,,则, 由整理得, 方程显然有两个解,由韦达定理:,得,, 所以,设,若存在满足题设的点,则,由,整理,可得恒成立,所以.故存在定点满足题设要求.。
甘肃省静宁县第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
甘肃省静宁县第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、对于空间向量,,若,则实数（）A. B. C. D.2、已知函数,则（）A.B.1C.-1D.3、如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率是（）A. B. C. D.4、从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是,摸出的球是黑球的概率是,那么摸出的球是白球或黑球的概率是（）A. B. C. D.5、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若的中点横坐标为3，则线段的长为（）A.5B.6C.7D.86、某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:广告费用X（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A.万元B.万元C.万元D.万元7、设，则是的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、执行如图所示的程序框图,输出的（）A. B. C. D.9、设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（）A. B. C. D.10、双曲线虚轴上的一个端点为，两个焦点为，，，则双曲线的离心率为（）D.A. B. C.11、已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的不等式对任意的恒成立.若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12、已知，为椭圆的两个焦点，（不在轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、写出命题“”的否定：__________．14、若从甲、乙、丙、丁位同学中选出位同学参加某个活动,则甲被选中的概率为_____.15、已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为________.b a ,16、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则直线的斜率为__________.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分) 17、已知向量,,.(1)若,求的值;(2)若,,,四点共面,求的值.18、已知曲线在点处的切线方程是.(1)求 的值； (2)如果曲线的某一切线与直线：垂直,求切点坐标与切线的方程.19、省《体育高考方案》于年月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若分数段的人数为人.(Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数；(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.20、设点为坐标原点,抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点,若,求:(1)抛物线的标准方程;(2)的面积.21、如图,在直三棱柱中,,,,点、分别在棱、上,且,.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)求平面与平面所成角的余弦值.22、已知椭圆的一个顶点是，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第三次试题（卷）数学（理）答案解析第1题答案D第1题解析因为,所以,即,所以.第2题答案A第2题解析∵,∴,∴.第3题答案B第3题解析设圆的半径为，则圆的面积为.设正方形的边长为，则，∴，故正方形的面积为.∵豆子落在圆内的每一个地方是均等的，∴豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率.故选B.第4题答案D第4题解析从袋中摸一个球,摸到的是红球,是白球,是黑球这三个事件是互斥的,因此摸出的球是白球或黑球的概率为.第5题答案D第5题解析设抛物线的焦点为，准线为，是的中点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，由抛物线的定义，得.故选D.第6题答案B第6题解析∵,,∵数据的样本中心在线性回归直线上,回归方程中的为,∴,∴.∴线性回归方程是,∴广告费用为6万元时销售额为. 第7题答案A第7题解析，则，∴，条件充分，反之不真，如.第8题答案C第8题解析按照程序框图依次执行为,,;,,;,,,退出循环,输出.故应选C.第9题答案B第9题解析解答：由题意，，所以，所以点轨迹是椭圆，且，即，，轨迹方程为，故选B．第10题答案A第10题解析因为，所以，所以，又由，可知，故选A.第11题答案C第11题解析当命题为真时，∵函数图象的对称轴为直线，∴；当命题为真时，当时，原不等式为，该不等式的解集不为，则这种情况不存在；当时，则有解得.又∵为真，为假，∴与一真一假，若真假，则，解得；若假真，则解得.综上所述，的取值范围是或.故选C.第12题答案C第12题解析由椭圆的定义，得，平方得①.由，∴②，由余弦定理，得③，由①②③，得，∴，.，∴，即，∴.则椭圆离心率的取值范围是.故选C.第13题答案第13题解析因为命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为.第14题答案第14题解析从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出名代表参加学校会议,共有甲乙、甲丁、甲丙、乙丙、乙丁、丙丁种方法,甲被选中,共有甲乙、甲丁、甲丙种方法,∴甲被选中的概率是.第15题答案第15题解析对求导,,,所以曲线在处的切线斜率为,切线方程为,切线与坐标轴的交点为和,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.第16题答案第16题解析依题意,抛物线的焦点,设直线的方程为由,得,设,.∴,,∵,∴即,∵,∴,解得或,∴或,又,将代入解得.第17题答案(1);(2).第17题解析(1)由,得,∴,∴.∴,解得.(2)由,,,四点共面,得,,使得,,∴.∴,解得.第18题答案(1)；(2),或.第18题解析(1)∵的导数,由题意可得, ,解得, .(2)∵切线与直线垂直,∴切线的斜率.设切点的坐标为,则,∴.由,可得,或.则切线方程为或.即或.第19题答案(Ⅰ)；(Ⅱ).第19题解析（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分的频率为，分的频率为，分的频率为，分的频率为，分的频率为；∴这组数据的平均数（分）. （Ⅱ）∵分数段的人数为人，频率为；∴参加测试的总人数为人，∴分数段的人数为人，设第一组分数段的同学为，，，；第五组分数段的同学为，.则从中选出两人的选法有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；其中两人成绩差大于的选法有：，，，，，，，共种，则选出的两人为“帮扶组”的概率为.第20题答案(1);(2).第20题解析(1)由题可知,则直线的方程为,代入,化简可得.设,,则有.∵,∴有,解得,∴抛物线的方程为:.(2)可得直线的方程为:.则点到直线的距离,∴的面积.第21题答案见解析第21题解析(1)建立如图所示的直角坐标系,则,,,,从而,记与的夹角为,则有:. 由异面直线与所成角的范围为,得异面直线与所成角为.(2)记平面和平面的法向量分别为和,则由题设可令,且有平面的法向量为, ,.由,取,得记平面与平面所成的角为,则.∴平面与平面所成角的余弦值为第22题答案(1)；(2)当时有最大值10；当时，有最小值8.第22题解析(1)由题意，椭圆的一个顶点是，所以,又离心率为，即，解得，故椭圆C的方程是；(2)当时，椭圆的外切矩形面积为8.当时，椭圆的外切矩形的边所在直线方程为，所以，直线BC和AD的斜率均为.由，消去y得，，化简得：，所以，直线AB方程为，直线DC方程为，直线AB与直线DC之间的距离为，同理，可求BC与AD距离为，则矩形ABCD的面积为由均值定理，仅当，即时有最大值10.因此，当时有最大值10；当时，有最小值8.。
甘肃省平凉市2019版高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
甘肃省平凉市2019版高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高二下·济南期末) 抛物线y=﹣ x2的准线方程是（）A .B . y=2C .D . y=﹣22. （2分）若点P（1，1）为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A . 2x+y-3=0B . x-2y+1=0C . x+2y-3=0D . 2x-y-1=03. （2分）考察下列命题：①命题“若lgx=0则x=1”的否命题为“若则；”②若“”为假命题，则p,q均为假命题；③命题，使得sinx>1；则，均有；④“使f(x)=(m-1)xm2-4m+3是幂函数，且在上递减”则真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2017·成都模拟) 命题p：“∀x＞e，a﹣lnx＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A . a≤1B . a＜1C . a≥1D . a＞15. （2分）在直三棱柱中，若，，，则（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·泉州模拟) 已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形，则C的离心率等于（）A .B .C .D .7. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C-ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）B .C .D .8. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）A .B .C . 2D . 210. （2分） (2016高一下·卢龙期中) 已知 =（2，3）， =（﹣4，7），则在上的投影为（）A .B .C .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2020高二上·无锡期末) 命题“ ，都有”的否定：________.12. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 若，，，则________13. （1分） (2017高一上·石嘴山期末) 已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为________．14. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________．15. （1分）设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为________16. （1分） (2017高二上·平顶山期末) 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：①曲线C的方程为x2=4y；②曲线C关于y轴对称③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分）在平面直角坐标系中，已知圆O1：（x+a）2+y2=4，圆O2：（x﹣a）2+y2=4，其中常数a＞2，点P是圆O1 ， O2外一点．（1）若a=3，P（﹣1，4），过点P作斜率为k的直线l与圆O1相交，求实数k的取值范围；（2）过点P作O1，O2的切线，切点分别为M1，M2，记△PO1M1，△PO2M2的面积分别为S1，S2，若S1=•S2，求点P的轨迹方程．18. （10分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=2 ，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面BDC1；（2）求三棱锥D1﹣C1BD的体积．19. （5分）(2017·平谷模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．20. （10分） (2017高三上·西湖开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．21. （5分）如图所示，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N 两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B（1，﹣1）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过定点．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。
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甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题时间:120分钟满分:150分一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.对于空间向量()1,2,3a =r，(),4,6b λ=r ，若//a b r r，则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据//a b r r，知它们的坐标对应成比例，求出实数λ的值.【详解】因为//a b r r，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题. 2.已知函数()21222f x x x lnx =+-，则()2f '=（ ） A. 1 B. 1-C. 3D. 3?-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数()21222f x x x lnx =+-的导函数()f x '，将2代入即可得最后结果. 【详解】∵()21222f x x x lnx =+-，∴()22f x x x=+-'，∴()22213f =+-='，故选C.【点睛】本题考查了导数的运算法则，准确求出函数的导函数是解题的关键，属于基础题. 3.如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率是（ ）A.3πB.2πC.4πD.5π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别算出圆和正方形的面积，再利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率. 【详解】设圆的半径为a ，则圆的面积为2a π.设正方形的边长为b ，则()2222b a =，2b a ∴=，故正方形的面积为22a ， Q 豆子落在圆内的每一个地方是均等的，∴豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率2222a P a ππ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是几何概型，考查学生对几何概型的理解和应用，是基础题. 4. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ） A. 0.35 B. 0.65C. 0.1D. 0.6【答案】D 【解析】试题分析：从袋中摸1个球，摸到的是红球，是白球，是黑球这三个事件是互斥的，因此摸出的球是白球或黑球的概率为1－0.4＝0.6．故选D ． 考点：互斥事件的概率．5.直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，且与抛物线交于A,B 两点，若AB 的中点横坐标为3，则线段AB 的长为（ ） A. B.C. 7D. 8【答案】D 【解析】试题分析：设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为0l ，C 是AB 的中点，分别过点,A B 作直线0l 的垂线，垂足分别为,M N ，由抛物线定义，得AB AF BF AM BN =+=+=22A B p px x +++A B x x p =++． 28C x p =+=．考点：抛物线的弦长．6.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程【此处有视频，请去附件查看】7.“a>1”是“<1”的 ( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.8.执行如图所示的程序框图，输出的S (= )A. 25B. 9C. 17D. 20【答案】C 【解析】 分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当41620T S =+=>，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；S 9=，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故应选C ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中垂线的性质可得，MA MQ =，又 5MQ MC +=，故有5MC MA AC +=>，根据椭圆的定义断判轨迹为椭圆，求出,a b 值，即得椭圆的标准方程.【详解】由圆的方程可知，圆心()1,0C -，半径等于5，设点M 的坐标为(),x y ，AQ Q 的垂直平分线交CQ 于M ，MA MQ ∴=，又 5MQ MC +=，5MC MA AC ∴+=>，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以,A C 为焦点，且2125,1,a c b ==∴=，故椭圆方程为221252144x y +=，即224412521x y +=，故选D.【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.10.双曲线虚轴的一个端点为M ，焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=o，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B.62C.6 D.3 【答案】B 【解析】由题意知22221160,tan 3,3,2,cF MO F MO c b a c b b b∠=∴∠===∴=-=o3622c b e a b∴===. 11.已知命题:p 函数2()24f x x mx =-+在[2)+∞，上单调递增；命题:q 关于x 的不等式22(2)10mx m x +-+>对任意x R ∈恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为A. (14)，B. [24]-，C. D.(1)(24)-∞⋃，，【答案】C 【解析】试题分析：若命题p 为真，∵函数f （x ）的对称轴为x=m ，∴m≤2；若命题q 为真，当m=0时原不等式为-4x+1＞0，该不等式的解集不为R ，即这种情况不存在； 当m≠0时，则有()2{4240m m m >∆=--<，解得1＜m ＜4；又∵P∨q 为真，P∧q 为假，∴P 与q 一真一假；若P 真q 假，则2{14m m m ≤≤≥或，解得m≤1； 若P 假q 真，则2{14m m ><<，解得2＜m ＜4；综上所述，m 的取值范围是m≤1或2＜m ＜4考点：1.复合命题的真假；2.二次函数图象和性质；3；一元二次不等式的解法12.已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x 轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ,32⎫⎪⎪⎣⎭B. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3⎫⎪⎣⎭D.0,2⎛ ⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【详解】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①. 由212PF PF c⋅=u u u r u u u u r ，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角， 由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③，-③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-， Q 12F PF ∠是锐角，2220123c a c<<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，3e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭. 故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13.写出命题“,20xx R ∀∈>”的否定：______．【答案】,20xx R ∃∈≤【解析】因为命题“p x ∀，”的否定为“p x ∃⌝，”，所以命题“,20xx R ∀∈>”的否定为,20x x R ∃∈≤14.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ． 【答案】12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率15.已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______. 【答案】12【解析】 【分析】对函数()f x 求导，由()'0f 可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积．【详解】对()2xf x e x =+求导，()'2xf x e x =+，()0'001f e =+=，而()0001f e =+=，所以曲线在()()0,0f 处的切线斜率为1，切线方程为1y x =+， 切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0）， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为111122S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．16.直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B 两点，若5AF FB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为________.【答案】± 【解析】 【分析】根据题意设出直线方程和,A B 两点坐标，将直线与抛物线联立，利用韦达定理得出12,x x 的关系，再根据5AF FB =u u u r u u u r，即可解出1x ，从而解出k .【详解】依题意，抛物线24y x =的焦点()1,0F ，设直线l 的方程为()1y k x =-由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222220k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y . 12242x x k∴+=+，121x x ⋅=，5AF FB =u u u r u u u r Q ，12155x x ∴-=-即21560x x +-=， 121x x =Q ，221560x x ∴+-=，解得21x =或215x =， 11x ∴=或15=x ，又122422x x k+=+>， 将15=x代入解得2k =±.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质的应用，考查学生的审题能力，计算能力，是中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17.已知向量()1,1,1AB =u u u r ，()1,2,1AC =-u u u r ，()3,,1AD y =u u u r.（1）若AD AC ⊥，求y 的值；（2）若A 、B 、C 、D 四点共面，求y 的值. 【答案】（1）1y =-；（2）4y =【解析】 【分析】（1）根据AD AC ⊥，利用向量垂直时，数量积为0，即可得y 的值；（2）根据A 、B 、C 、D 四点共面，得λ∃，R μ∈，使得AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，利用坐标运算，即可得y 的值.【详解】（1）AD AC ⊥，得AD AC ⊥u u u r u u u r ，0AD AC ∴⋅=u u u r u u u r，()()3,,11,2,10y ∴⋅-=，3210y ∴+-=，解得1y =-；（2）由A 、B 、C 、D 四点共面，得λ∃，R μ∈，使得，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=，321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩，解得4y =.【点睛】本题主要考查的是空间向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，点共面的向量运算，考查学生的理解能力，计算能力，是基础题.18.已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.【答案】（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18，---,418y x =-或414y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题解析：（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+，由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-， 解得1a =，16b =-.（2）∵切线与直线134y x =-+垂直， ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ，则()200'314f x x =+=，∴01x =±.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-.19. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人. （Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M ；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.【答案】（Ⅰ）73；（Ⅱ）选出的两人为“帮扶组”的概率为815p =. 【解析】本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用．（1）由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05，然后利用平均值公式，可知这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分) （2）中利用90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；得到总参赛人数为40，然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人，第五组中有2人，这样可以得到基本事件空间为15种，然后利用其中两人成绩差大于20的选法有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2）共8种，得到概率值解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05； ……………2分 ∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分 (Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05； ∴参加测试的总人数为20.05=40人，……………………………………5分 ∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人， …………………………6分设第一组50~60分数段的同学为A 1，A 2，A 3，A 4；第五组90~100分数段的同学为B 1，B 2 则从中选出两人的选法有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2）共8种 …………………………11分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为815P =20.设点O 为坐标原点，抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，求：()1抛物线C 的标准方程； ()2AOB V 的面积．【答案】（1）24y x =（2）【解析】 【分析】()1由题可知直线AB 的方程为：2p y x =-，代入22y px =化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、8AB =求得p 的值，可得抛物线的方程；()2联立直线与抛物线方程，利用面积公式即可求解． 【详解】() 1由题可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则该直线AB 的方程为：2p y x =-，代入22y px =，化简可得22304p x px -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则有123x x p +=．8AB =Q ，∴有128x x p ++=，解得2p =，∴抛物线的方程为：24y x =．()2可得直线AB 的方程为：1y x =-．联立124y x y x =-⎧=⎨⎩可得2440y y --=，124y y +=，124y y =-．AOB ∴V 的面积2121211()4222S y y y y =⨯⨯+-=．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.（1）求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； （2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】（1）60º（2）6cos β= 【解析】 【分析】试题分析：本题的关键是建立适当的空间直角 坐标系，建立坐标系如图，写出相关向量坐标，利用向量夹角公式即可； 由（1）求出平面和平面的法向量n 和m ，利用cos n mn mβ⋅=⋅即可，注意在本题中 平面与平面所成的角为锐角，所以cos 0β> 试题解析： （1）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，从而(2,0,2)AE =u u u r,1(0,2,2)A F =-u u u u r .记与的夹角为，则有1141cos 288AE A F AE A Fθ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 又由异面直线与所成角的范围为，可得异面直线与所成的角为60o（2）记平面和平面的法向量分别为n 和m ，则由题设可令(1,,)n y z =，且有平面的法向量为1(0,0,6)m AA ==u u u r,,.由0n AF ⋅=u u u r，得；由0n AE ⋅=u u u r，得. 所以，即(1,2,1)=-n .记平面与平面所成角为，有6cos 666n m n m β⋅===-⋅⋅. 由题意可知为锐角，所以6cos β=考点：利用空间直角坐标系，求两条异面直线所成的角，平面与平面所成角的余弦值【详解】请在此输入详解！22.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1)，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知矩形ABCD的四条边都与椭圆C相切，设直线AB方程为y kx m=+，求矩形ABCD面积的最小值与最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时S有最大值10；当k=0时，S有最小值8. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可，由题意，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1)，所以1b=，又，椭圆C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的讨论，当时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8. 当时， AB所在直线方程为y kx m=+，所以，直线BC和AD的斜率均为.联立直线AB与椭圆方程可得，令得到，直线AB与直线DC之间的距离为，同理可求BC与AD距离为，所以矩形ABCD 的面积为，再利用基本不等式即可解决.试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1)，所以1b=又，离心率为3，即，222a b c=+解得，故椭圆C的方程是（Ⅱ）当时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8. 当时，椭圆的外切矩形ABCD的边AB所在直线方程为y kx m=+，所以，直线BC和AD的斜率均为. 由，消去y得，化简得：所以，直线AB 方程为直线DC方程为直线AB与直线DC之间的距离为同理，可求BC与AD 距离为则矩形ABCD 的面积为由均值定理仅当，即时S有最大值10.因此，当时S有最大值10；当K=0时，S有最小值8.考点：圆锥曲线及其在最值中的应用。