《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理

1. 静电问题的唯一性定理
唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布 x ,
在边界S上给定
(i)电势 |S
或
(ii)电势的法向导数 n
,
S
则V内的电场唯一地确定. 也就是说,在V内存在唯一
的解,它在每个均匀区域内满足泊松方程,在两均匀区
域分界面上满足边值关系,并在V的边界S上满足给定
的或/n值.
唯一性定理的表述：
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
0 n s
对每一个区域以及外边界有
Si dS i Si ndS0
对区域V 用公式
2dV0
V'
d S ( ) d V 2 d V
S'
V'
V'
0
常量
由初始假设知, 和 至多只能相差一个常量.
但电势的附加常量对电场没有影响,这就证明了唯一 性定理.
例1 如图所示,两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部电容率
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
第二章 静电场
下面研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干 个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为εi .
设V内有给定的电荷分布 x . 电势 在均匀区
域Vi内满足泊松方程 2/i
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系
i j , ini jnj
除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V内 的边界S上的一些条件. 下面提出的唯一性定理具体 指出所需给定的边界条件.
0
常量
由初始假设知, 和 至多只能相差一个常量.
但电势的附加常量对电场没有影响,这就证明了唯一 性定理.
2. 有导体存在时的唯一性定理
导体的静电平衡Fra Baidu bibliotek件：
(1) 导体内部电场为零，导体是等势体 (2) 电荷以面电荷形式分布于表面
Sk
k
两类边界条件：
•第一类：给定导体表面上的 i/n 或 i
•第二类：给定每个导体上的电荷 Qi
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
空间区域 V 内静电场唯一确定的条件为：
(1)在区域 V 中每个均匀的子区域 Vi 内满足泊松方程：
2 (i1,2,) i
(2) 在区域 V 中每两个子区域边界上满足边值条件：
ij, i n i j n j (e n 由 i区域 j区 指 )域 向
(3) 已知区域 V 内的电荷密度 , ；
(4) 给定区域 V 表面上 或 /n 之值.
为1,右半部电容率为2. 设内球壳带总电荷Q,外球壳接地,求电
场和球壳上的电荷分布.
解：设两介质内 的 电势、电场强度和电位移
矢量分别为 1 ,E 1 ,D 1 和 2 ,E 2 ,D 2 .由于左右
两半是不同介质,因此电场一般不同于只有 一种均匀介质时的球对称解. 在找尝试解时, 我们先考虑两介质分界面上的边值关系
的积分
S D d S S 11 E 1 d S S 22 E 2 d S Q
由此得
EE2 12 1 22 ππ2 11QQA rr 22Q rr33 A (( 左 右2 半 半Q 部 1 部 ))2
此解满足唯一性定理的所有条件,因此是唯一正确的解.
虽然E仍保持球对称性,但是 D和导体面上的电荷面密度不具
证明: 设有 和 同时满足唯一性定理条件.
令 '''
(1) 在任一子区域内：
由 2于 ' ρi,/ε 2' ' ρi,/ε
故 20
(2) 在子区域 i,j 界面上：
i j
i ni j nj
(3) 区域表面上:
|S '|S ''|S 0 ' '' 0
n S n S n S
子区域 1
有球对称性. 试解释之.