《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理
chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
郭硕鸿《电动力学》第三版 课后解答详细解释
电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式： ( A B) B ( A) (B ) A A ( B) ( A )B
A (
A)
1 2
A2
(A )A
解：（1） ( A B) ( A Bc ) (B Ac )
Bc ( A) (Bc ) A Ac ( B) ( Ac )B
可见 r 'r
○2
1 r
d dr
1 r
r
1 r2
r
r r3
'
1 r
d dr
1 ' r r
1 r2
' r
r r3
可见 1/ r '1/ r
○3 (r / r 3 ) [(1/ r 3 )r] (1/ r 3 ) r (1/ r 3 ) r
d dr
1 r3
r r
第1页
电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1/ r) '(1/ r) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r) ， [E0 sin(k r)] 及 [E0 sin(k r)] ，其中 a 、 k 及 E0 均为常向量。
M
1 2r1
M dl 0
在 r r2 处，磁化面电流密度为
M
0 1 2r2
M
dl
( 0
1) (r22 r12 ) 2r22
电动力学概念整理
场：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。
梯度：函数在空间某点的方向导数有无穷多个，其中值为最大的那个定义为梯度。
唯一性定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。
第一章电磁现象的普遍规律静电场：它的方向沿试探电荷受力的方向，大小与试探点电荷无关。
给定Q，它仅是空间点函数，静电场是一个矢量场。
场的叠加原理：电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
电荷守恒定律：封闭系统内的总电荷严格保持不变。
对于开放系统，单位时间流出区域V 的电荷总量等于V内电量的减少率。
电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场。
有极分子：无外场时，正负电荷中心不重合，有分子电偶极矩。
但固有取向无规，不表现宏观电矩。
无极分子：无外场时，正负电荷中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。
分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。
无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。
介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩。
或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。
极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。
介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。
在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。
传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。
磁化电流：当介质被磁化后，由于分子电流的不均匀会出现宏观电流，称为磁化电流。
能量：物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。
主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
能量守恒与转化：能量在不同形式之间可以相互转化，但总量保持不变。
能流密度矢量（玻印亭矢量）：它表示单位时间、垂直通过单位面积的能量，用来描述能量的传播。
电动力学-第2.2节-38页文档资料
静电学的基本问题： 求满足边界条件（或给定边界条件）的泊松方程
（拉普拉斯方程）的解。 求解微分方程的一种重要方法：尝试解。 （试探解，拼凑解－连猜带蒙！）
尝试解是否唯一正确的解（物理问题的结果只有一 个）：唯一性定理来保证。
因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要 满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以 加以修改后再进行尝试，直到满足泊松方程（拉普拉 斯方程）和边界条件。
四、应用举例
[例1] 带电Q的导体球（半径为a ）产生的电势。 解题依据：电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。
但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介 质2，
导 体外表面电场均与表面垂直，因此在P点 E2与重合，所以介E1质n 分E 界2n面上0E1t E2t，而
必E然1
在介质分界面上：
Pn (E 2E 1)E 2nE 1n
0
0 P 0
所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介
质分界面上。
在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边 界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程（拉普 拉斯方程）的解。
本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪 一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。
静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。
(1)它告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样 在解决实际问题时就有所依据。
每一个( 区x ) 域,给x 定 电V 荷分布
设V i内所求电势为，它们
1 V1
V i
Vi
满足泊松方程
在 两2 区 域Vi i、V
电动力学2-2 唯一性定理
E1t = E2t A E1 = 3 r r
D2n = D n = 0 1
∫ D⋅ dS = ∫ ε E ⋅ dS + ∫
S1 1 1
S2
ε2 E2 ⋅ dS = Q
将电场值代入得 2π (ε1 +ε2 ) A= Q Q A= 解出 2π (ε1 +ε2 )
Qr 则 E1 = (左半部 左半部) 左半部 3 2π (ε1 + ε2 )r
2
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系 在两区域
∂ϕ ∂ϕ ϕi = ϕ j， εi = ε j ∂n i ∂n j
除此之外，要完全确定 内的电场 还必须给出V 内的电场， 除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出 内的边界S上的一些条件。 内的边界 上的一些条件。下面提出的唯一性定 上的一些条件 理具体指出所需给定的边界条件。 理具体指出所需给定的边界条件。
Qr E2 = 右半部) 右半部 3 (右半部 2π (ε1 + ε2 )r
此解满足唯一性定理的所有条件， 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正 确的解。 确的解。 虽然E仍保持球对称性，但是 和导体面上的电荷 虽然 仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷 仍保持球对称性 面密度σ不具有球对称性。设内导体半径为 ， 面密度 不具有球对称性。设内导体半径为a，则 不具有球对称性 球面上的电荷面密度为
§2.2 唯一性定理
一、唯一性定理的重要意义
1. 给出了确定静电场的条件，这是解决实际问题 给出了确定静电场的条件， 的依据。 的依据。 2. 在有解的情况下 ， 解是唯一的 。 因此 ， 在实 在有解的情况下， 解是唯一的。 因此， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 提出尝试解， 提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条 件，它就是唯一正确的解。 它就是唯一正确的解。
电动力学(第三版)
该书是作者在1997年所编《电动力学（第二版）》的基础上，根据电动力学学科的发展和教学实践的需要修 订而成的。该次修订，在保持原书整体结构精炼、严谨，叙述简明、流畅，便于教学的特色下，改写了部分内容， 新增了部分内容，除对个别地方作出修改与校订之外，主要的改动有：第三章改写了“超导体的电磁性质”一节， 增加了伦敦理论中超导电流与矢势的局域关系、指出伦敦局域理论所给出的磁场在超导体内的穿透深度与实验结 果的偏离，增加了皮帕德非局域修正，以及若干例题；第四章新增了“光子晶体”和“光学空间孤子”；第七章 新增了“原子光陷阱”。此外，为了减少篇幅，删减了第六章第1节“相对论的实验基础”中有关相对论效应实验 验证的部分简要陈述（因为在后面的第3节和第4节中分别提到了相关效应的重要实验验证）。中山大学佘卫龙教 授提供了建议。
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列）
教学资源
《电动力学（第三版）》有学习辅导书——《电动力学（第三版）学习辅导书》。 《电动力学（第三版）》配有数字化资源。
教材特色
该版教材，做到既重视基本理论，又扩展学生视野，引导学生学科前沿的发展动态，训练学生提出问题和解 决问题的能力，激励学生的创新精神。
2008年6月，《电动力学（第三版）》由高等教育出版社出版发行。
2012年11月21日，《电动力学（第三版）》入选中华人民共和国教育部第一批“十二五”普通高等教育本科 国家级规划教材书目。
内容简介
该书共7章，第一章讲解电荷和电场、电流和磁场、麦克斯韦方程组、介质的电磁性质、电磁场边值关系、电 磁场的能量和能流，第二章讲解静电场的标势及其微分方程、唯一性定理、拉普拉斯方程分离变量法、镜像法、 格林函数、电多极矩，第三章讲解矢势及其微分方程、磁标势、磁多极矩、阿哈罗诺夫玻姆效应、超导体的电磁 性质，第四章讲解平面电磁波、电磁波在介质界面上的反射和折射、有导体存在时电磁波的传播、谐振腔、波导 等，第五章讲解电磁场的矢势和标势、推迟势、电偶极辐射、磁偶极辐射和电四极辐射、天线辐射、电磁波的衍 射、电磁场的动量，第六章讲解相对论的实验基础、相对论的基本原理洛伦兹变换、相对论的时空理论、相对论 理论的四维形式、相对论力学等，第七章讲解运动带电粒子的势和辐射电磁场、切连科夫辐射、带电粒子的电磁 场对粒子本身的反作用、电磁波的散射和吸收介质的色散等，书后有矢量分析、轴对称情形下拉普拉斯方程的通 解、国际单位制和高斯单位制中主要公式对照表三个附录。
电动力学Chapter22(唯一性定理)
在未来研究中的应用和价值
唯一性定理在理论物理、应用物理、工程物理等领域具有 广泛的应用价值。随着科学技术的发展，新的问题和现象 不断涌现，唯一性定理的应用范围也将不断扩大。
在未来研究中，唯一性定理的价值不仅在于其解决具体问 题的实用性，更在于其对物理学理论发展的推动作用。通 过对唯一性定理的研究和应用，可以加深对物理学基本规 律和原理的理解，促进物理学理论的创新和发展。
通过应用唯一性定理，可以确定电磁波的传播方向、幅度和相位，以及在不同介质 中的反射和折射特性。
唯一性定理在雷达、通信和光学等领域有着广泛的应用，对于电磁波的传播特性和 应用具有重要意义。
在量子力学中的应用
在量子力学中，唯一性定理用于 描述微观粒子的行为和相互作用，
特别是在处理薛定谔方程时。
通过应用唯一性定理，可以确定 微观粒子的波函数和能量状态， 以及它们之间的相互作用和演化。
唯一性定理在量子计算、量子通 信和量子信息等领域有着广泛的 应用，对于理解微观世界的本质
和规律具有重要意义。
04 唯一性定理的推广和展望
推广到多维空间
在多维空间中，唯一性定理的应用更为广泛，可以解决更为 复杂的物理问题。例如，在电磁场理论中，可以将唯一性定 理应用于高维空间中的电荷分布和电流密度，以确定电磁场 的性质和行为。
在多维空间中，唯一性定理的证明过程需要更复杂的数学工 具和技巧，但其实质仍然是基于电荷守恒和麦克斯韦方程组 的性质。
与其他物理定理的联系
唯一性定理与能量守恒定理、动量守恒定理等基本物理定理密切相关。这些定理 在描述物理现象时具有普适性和基础性，而唯一性定理则是解决具体问题的有力 工具。
在某些情况下，唯一性定理的证明和应用需要借助其他物理定理，如能量动量张 量定理、哈密顿原理等。这些定理在理论物理中具有重要地位，相互联系、相互 支持，共同构建了物理学理论的完整体系。
电动力学第三版pdf
电动力学第三版pdf
《电动力学第三版》是由赫伯特·梅斯和罗伯特·塞波尔联合撰
写的一部指南，用于指导电动力学的研究。
书中首先介绍了电动力学
的基础知识，概述了主要的物理学定律，研究了电场、磁场和重力，
并展示了它们之间的相互作用。
接下来，介绍了磁力线和漫射理论，
讨论了电动机的性能结构以及适用集成电路和电源控制系统的设计等。
最后，作者们还讨论了用于把电动力学原理应用于日常生活中的应用，如飞行器推进和流体控制等。
《电动力学第三版》为学习、研究电动
力学提供了宝贵的参考资源。
电动力学第二章
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解： 设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能
1
写出通解 通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)静电场的基本方程可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{E}=0$，积分形式为$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\int_S(\nabla\cdot\mathbf{E})dS=\frac{1}{\epsilon}\int_V\rho(\m athbf{x'})dV'$。
这些方程反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性，物理图像是电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。
静磁场的基本方程也可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}$，积分形式为$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu I$。
这些方程反映了静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合的规律性。
它的激发源仍然是运动的电荷。
需要注意的是，静电场可以单独存在，而稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。
电荷守恒实验定律表明了电荷的守恒性质，即$\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=n(\mathbf{J}_s-\mathbf{J})$。
真空中的麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$，$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$，$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。
电动力学 第2章 2-2
∇ ϕ = −ρ ε
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系
ϕ =ϕ
i
j
⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ε ⎜ ⎟ =ε ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠ ⎝ ∂n ⎠
i j i
j
此外，要完全确定V内电场，还需给出V的边界S上的一些条件
在这种区域内静电场的唯一性定理表述如下：
唯一性定理：
设区域V内给定自由电荷分布 ρ ( x ) (i)电势 ϕ S (第一类边值条件) ∂ϕ （第二类边值条件） 或 (ii)电势的法向导数
例 如图所示，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率 为ε1，右半部电容率为ε2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地， 求电场和球壳上的电荷分布． 解： 设两介质内的电势、电场强度和电位移分 别为φl，El，Dl和φ2，E2，D2。 由于左右 两半是不同的介质，因此电场一般不同于 只有一种均匀介质时的球对称解． 在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系
(1) 每个导体上分布的电荷的总和等于所加置的电荷； (2) 导体内部不可能带电荷，所有电荷都以面电荷的形式 分布在导体的表面上； (3) 每个导体都是等势体，自然导体的表面就是等势面．
通常碰到的两种类型的静电问题：
（1）给定空间的电荷分布、导体上的电势值及区域边界上的电势 或电势梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布 （2）给定空间的电荷分布、导体上的总电荷及区域边界上的电势 或电势梯度值，求空间的电势分布和导体上的面电荷分布
第一类型静电问题:给定导体表面电势
由于导体是一等势体，导体表面是一等势面， 其电势值已给定，因此只要把导体表面作为 区域边界的一部分，其解是由所给定的条件 及泊松方程唯一地确定，已由上述普遍形式 的唯一性定理解决了。 当电势分布确定以后，导体上的面电荷密度σ则由边值关 系式确定
《电动力学第三版》电动力学总结
q'q,x'ak
4π 1
q
q
x2y2(za)2 x2y2(za)2
(2) 接地导体球外点电荷
b R02 a
Q' R0 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra0rQ'
(3) 接地导体球内点电荷
b R12 a
Q' R1 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra1rQ'
4 拉普拉斯方程的解 分离变量法
其中
Ex
A1 cos kx x sin k y yeikzz
Ey A2 sin kx x cos k y yeikzz
Ez A3 sin kx x sin k y yeikzz
kxA 1kyA 2ikzA 30
kx
m,
a
ky
n,
b
为求三角形波导的E, 只需从上述解中选出满足最后一个边
界条件的即可
面电荷 0 R|RR 00 R 0 l0n R 02E 0co s
第一项是均匀面电荷,它在柱体内激发的电场为零.第二项是非 均匀分布,它贡献的总电量是零,它在柱体内激发的电场正好与 均匀电场抵消.
例3 试用格林函数证明:在无电荷空间任—点的电势恒等于以该 点为球心的任一球面的电势的平均值.
E
B
H
t D
J
t
D
B 0
电荷守恒定律
J
t
罗伦兹力公式
FQ (EvB )
欧姆定律
JE
第二、三章：静电场和稳恒磁场
利用电磁场唯一性定理，通过求解拉普拉斯方程（或
者镜像法，格林函数）主要研究电偶极矩、电四极矩
和磁偶极矩产生的稳态场。
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
电动力学第二章 郭硕鸿第三版
第二章 静 电 场静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一．主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。
本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。
由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。
首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。
在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。
最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。
知 识 体 系：1.静电场的微分方程：0=⨯∇ED ρ∇⋅= 边值关系：()12=-⨯E E n()21n D D σ⋅-= 静电场的能量：12W E DdV ∞=⋅⎰ 12V W dV ρϕ=⎰2.静电边值问题的构成：21122121S S S S S S n n n ρϕεϕϕϕϕεεσϕϕ⎧∇=-⎪⎪=⎪⎪∂∂⎨-=-⎪∂∂⎪∂⎪⎪∂⎩或 3．静电边值问题的基本解法： （1）镜像法 （2）分离变量法条件：电势满足拉普拉斯方程：20ϕ∇= （3）电多极矩引入电势：E ϕ=-∇ 122121SSSSnnϕϕϕϕεεσ⎧=⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩——微分方程 ——边界条件(由唯一性定理给出)(4) 格林函数法二．内容提要：1．静电场的电势及其微分方程： （1）电势和电势梯度因为静电场为无旋场,即0=⨯∇E，所以可以引入标量函数ϕ，引入后ϕ-∇=E电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义选空间有限两点Q P →⎰⋅-=-QPP Q l d E ϕϕ参考点：（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点 )(0∞→=∞Q ϕ⎰∞⋅=PP l d E ϕ（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。
电荷分布在有限区域时的几种情况的电势 （1） 真空中点电荷300()44PQr QP dl r rϕπεπε∞'=⋅='⎰无限大均匀线性介质中点电荷 ： rQ πεϕ4=（2） 电荷组 ： ∑==ni ii r Q P 104)(πεϕ（3） 连续分布电荷：无穷远处为参考点⎰''=VrV d x P 04)()(περϕ（2）电势满足的微分方程和边值关系泊松方程：ερϕ-=∇2 ○1 其中ρ仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。
电动力学课件2-2-唯一性定理1
壳内中心放置一个点电荷 Q，
Q
求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 0 S
2 0 (R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为
1
Q
4 0 R
但它在边界上
1
Q
S 4 0a
不满足 0 S
要使边界上任何一点电势为0 ，
设 Q Q
4 0 R 4 0a
它满足 2 0 0 S
2. 实用价值:无论采用什么方法得到解，只要该解 满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯 一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题， 可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是 通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边 界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加 以修改。
四、应用举例
1. 半 径 为 a 的 导 体 球 壳 接 地
2 , , 2 0
i
i
在两均匀区界面上有
i j , i j , i j
i
i
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
在整个区域V的边界S上有
或者
S
S
0
0
S
S
S
0
n S n S n S
i ds = i ( )2 dV
Si
Vi
i ds i ( )2 dV
2i
i
两类边界条件：① 边界S上，
S 为已知，若为导体
S =常数。② 边界S上，
n S 为已知， 若是导体要给
定总电荷Q。它相当于 给定（ Q dS ）
n S
S n S
电动力学22唯一性定理共18页
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人Байду номын сангаас。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章 静电场
下面研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干 个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为εi .
设V内有给定的电荷分布 x . 电势 在均匀区
域Vi内满足泊松方程 2/i
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系
i j , ini jnj
除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V内 的边界S上的一些条件. 下面提出的唯一性定理具体 指出所需给定的边界条件.
证明: 设有 和 同时满足唯一性定理条件.
令 '''
(1) 在任一子区域内：
由 2于 ' ρi,/ε 2' ' ρi,/ε
故 20
(2) 在子区域 i,j 界面上：
i j
i ni j nj
(3) 区域表面上:
|S '|S ''|S 0 ' '' 0
n S n S n S
子区以及外边界有
Si dS i Si ndS0
对区域V 用公式
2dV0
V'
d S ( ) d V 2 d V
S'
V'
V'
0
常量
由初始假设知, 和 至多只能相差一个常量.
但电势的附加常量对电场没有影响,这就证明了唯一 性定理.
例1 如图所示,两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部电容率
1. 静电问题的唯一性定理
唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布 x ,
在边界S上给定
(i)电势 |S
或
(ii)电势的法向导数 n
,
S
则V内的电场唯一地确定. 也就是说,在V内存在唯一
的解,它在每个均匀区域内满足泊松方程,在两均匀区
域分界面上满足边值关系,并在V的边界S上满足给定
的或/n值.
唯一性定理的表述：
的积分
S D d S S 11 E 1 d S S 22 E 2 d S Q
由此得
EE2 12 1 22 ππ2 11QQA rr 22Q rr33 A (( 左 右2 半 半Q 部 1 部 ))2
此解满足唯一性定理的所有条件,因此是唯一正确的解.
虽然E仍保持球对称性,但是 D和导体面上的电荷面密度不具
0
常量
由初始假设知, 和 至多只能相差一个常量.
但电势的附加常量对电场没有影响,这就证明了唯一 性定理.
2. 有导体存在时的唯一性定理
导体的静电平衡条件：
(1) 导体内部电场为零，导体是等势体 (2) 电荷以面电荷形式分布于表面
Sk
k
两类边界条件：
•第一类：给定导体表面上的 i/n 或 i
•第二类：给定每个导体上的电荷 Qi
为1,右半部电容率为2. 设内球壳带总电荷Q,外球壳接地,求电
场和球壳上的电荷分布.
解：设两介质内 的 电势、电场强度和电位移
矢量分别为 1 ,E 1 ,D 1 和 2 ,E 2 ,D 2 .由于左右
两半是不同介质,因此电场一般不同于只有 一种均匀介质时的球对称解. 在找尝试解时, 我们先考虑两介质分界面上的边值关系
空间区域 V 内静电场唯一确定的条件为：
(1)在区域 V 中每个均匀的子区域 Vi 内满足泊松方程：
2 (i1,2,) i
(2) 在区域 V 中每两个子区域边界上满足边值条件：
ij, i n i j n j (e n 由 i区域 j区 指 )域 向
(3) 已知区域 V 内的电荷密度 , ；
(4) 给定区域 V 表面上 或 /n 之值.