2020版高中数学第三章3.4.1第1课时函数的零点学业分层测评苏教版必修33
苏教版高中数学必修三版第1章学业分层测评6.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列伪代码的条件语句中，判断的条件是________．Read xIf x>0Theny←2×xElsey←1－xEnd IfPrint y【解析】由伪代码知判断的条件为“x>0”，故填x>0.【答案】x>02．根据如下所示的伪代码，当输入a，b分别为ln2016，ln2017时，最后输出的m值为________．Read a，bIf a>b Thenm←bElsem←aEnd IfPrint m【解析】此题伪代码的含义是输出两数中的较小者，因为ln2016<ln2017，所以m＝ln2016.【答案】ln20163．为了在执行下面的伪代码之后输出y ＝25，输入的x 应该是________． Read x If x <0 Then y ←(x ＋1)2Else y ←(x －1)2End If Print y【解析】 伪代码对应的函数是y ＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0.由⎩⎨⎧ x <0，(x ＋1)2＝25或⎩⎨⎧x ≥0，(x －1)2＝25. 得x ＝－6或x ＝6. 【答案】 －6或64．下列伪代码，若输入2,3，则伪代码执行结果为________． Read a ，b If a <b Then t ←a a ←b b ←t End If Print b ，a【解析】 由于2<3，故由程序知t ←2，a ←3，b ←2.故输出的b ，a 分别为2,3.【答案】 2,3 5．给出下面伪代码： Read x 1，x 2If x 1＝x 2 Then y ←x 1－x 2Elsey ←x 1＋x 2End If Print y如果输入x 1＝3，x 2＝5，那么执行此伪代码后的输出结果是________． 【解析】 x 1＝3，x 2＝5，不满足条件x 1＝x 2，因此不执行语句y ←x 1－x 2，而直接执行y ←x 1＋x 2，所以y ＝8，最后输出8.【答案】 86．下面伪代码的输出结果为________.【导学号：11032018】x ←5y ←－20If x <0 Then x ←y －3Else y ←y ＋3End Ifa ←x －y Print a【解析】 由于5>0，故程序执行“Else ”后面的语句，从而y ＝－20＋3 ＝－17，所以a ＝5－(－17)＝22，故输出a 的值为22.【答案】 22 7．给出一个算法： Read xIf x ≤0 Then f (x )←4x Else f (x )←2xEnd If Print f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________.【解析】 本算法给出的是分段函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0的求值问题，故f (－1)＋f (2)＝4×(－1)＋22＝0.【答案】 08．读伪代码，完成下题． Read xIf x ≥1 Then y ←x ＋1Else y ←2x ＋1End If Print y(1)若执行伪代码时，没有执行语句y ←x ＋1，则输入的x 的范围是________． (2)若执行结果y 的值是3，则执行的赋值语句是________，输入的x 值是________．【解析】 (1)未执行语句y ←x ＋1， 说明x ≥1不成立，∴x ＜1. (2)∵x ＜1时，y ＝2x ＋1＜3，∴当y ＝3时，只能是x ≥1时，y ＝x ＋1＝3，∴x ＝2， 所以应填y ←x ＋1,2.【答案】 (1)(－∞，1) (2)y ←x ＋1 2 二、解答题9．用算法语句表示下列过程，输入一个学生的成绩S ，根据该成绩的不同值作以下输出：若S <60，则输出“不及格”；若60≤S ≤90，则输出“及格”；若S >90，则输出“优秀”．【解】 伪代码如下： Read SIf S <60 ThenPrint “不及格”ElseIf S ≤90 ThenPrint “及格” ElsePrint “优秀” End If End If10．某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定：购物额在100元及以内不予优惠；在100～300元之间(含300元)优惠货款的5%；超过300元之后，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效．用伪代码写出根据输入购物额能输出应付货款的算法，并画出流程图．【解】 设购物额为x 元时，实付金额为y 元，由题意得y ＝⎩⎨⎧x ， x ≤100，0.95x ， 100<x ≤300，285＋(x －300)×0.92， x >300.伪代码如下：Read xIf x≤100 Then y ←x ElseIf x ≤300 Theny ←0.95xElsey ←285＋(x －300)×0.92 End If End If Print y流程图如下图所示．[能力提升]1．下面是一个求函数的函数值的伪代码： Read xIf x ≤0 Then y ←－x ElseIf x ≤1 Theny ←0Elsey ←x －1 End If End If Print y若执行此语句的结果为3，则输入的x 值为________．【解析】此语句是求函数y ＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，0，0<x ≤1，x －1，x >1的值．若输出的结果为3，则有可能x －1＝3即x ＝4，或－x ＝3即x ＝－3.【答案】 －3或4 2．阅读下列伪代码 Read xIf x ≥0 Then y ←x Else y ←－x End If Print y用一个函数式表示y 与x 的关系为________．【解析】 这个分段函数为y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，也可写成含绝对值形式y ＝|x |.【答案】 y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0或y ＝|x |3．执行下面的伪代码：若输出的y 恒大于0，则p 的取值范围是________． Read p ，x If x ＞p Then y ←p ＋xElsey ←2p －x End If Print y【解析】 伪代码表示的函数为y ＝⎩⎨⎧p ＋x ，x ＞p ，2p －x ，x ≤p ，当x ＞p 时，y ＝p ＋x ＞2p ，故使输出的y 恒大于0时，有2p ≥0，可得p ≥0；当x ≤p 时，y ＝2p －x ≥p ，故使输出的y 恒大于0时，有p ≥0.综上，若要y ≥0恒成立，需p ≥0.【答案】 [0，＋∞)4．设计用语句描述算法，判断直线ax ＋by ＋c ＝0与圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的位置关系，输出相关信息，画出流程图．【解】 语句描述算法如下：Read a ，b ，c ，x 0，y 0，rd ←|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2If d <r ThenPrint “相交”ElseIf d ＝r ThenPrint “相切” ElsePrint “相离” End If End If流程图如图所示．。
苏教版高中数学必修三版第1章学业分层测评7
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列问题可以设计成循环语句计算的有________．(填序号)①求1＋3＋32＋…＋39的和；②比较a，b两个数的大小；③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；④求平方值小于100的最大整数．【解析】①和④用到循环语句；②③用不到．故填①④.【答案】①④2．将下面计算1＋2＋3＋…＋20的算法的For语句补全．S←0For i FromS←S＋iEnd ForPrint S【解析】由于步长为1，故“Step 1”可省略，因此可以填“1 To 20”．【答案】 1 To 203．根据以下伪代码，可知输出的结果b为________．a←1b←1While b<5c←a＋ba←bb←cEnd WhilePrint b【解析】第一步：c＝2，a＝1，b＝2；第二步：c＝3，a＝2，b＝3；第三步：c＝5，a＝3，b＝5.输出b.【答案】 54．下列程序：A←2B←1DoB←A×BA←A＋1Until A>5End DoPrint B该程序的功能是________．【解析】第一次循环：B＝1×2，A＝3；第二次循环：B＝1×2×3，A＝4；第三次循环：B＝1×2×3×4，A＝5；第四次循环：B＝1×2×3×4×5，A＝6.此时退出循环．故输出结果为1×2×3×4×5.【答案】计算1×2×3×4×5的值5．根据下列伪代码，可知输出的结果I为________．S←1I←1While S<5S←S×I＋1 II←I＋1 End While Print I【解析】第一次循环：S＝1×21＝2，I＝2；第二次循环：S＝2×32＝3；I＝3；第三次循环：S＝3×43＝4，I＝4；第四次循环：S＝4×54＝5，I＝5，此时不满足条件“S<5”，故退出循环，输出5.【答案】 56．观察下列程序，该循环变量I共循环________次. 【导学号：11032021】S←0I←1While S<60S←S＋II←I＋1End While【解析】由题意知该程序的作用是计算S＝1＋2＋3＋…＋n≥60的最小整数n.∵1＋2＋3＋…＋10＝55<60，1＋2＋3＋…＋11＝66>60.故可知该程序循环了11次．【答案】117．阅读下列程序：Read S←1For I From 1 To 5 Step 2S←S＋IPrint SEnd ForEnd输出的结果是________．【解析】第一次循环：S＝1＋1＝2，输出2；第二次循环：S＝2＋3＝5，输出5；第三次循环：S＝5＋5＝10，输出10.【答案】2,5,108．下面的伪代码执行后第3次输出的数是________．x←1DoPrint xi←i＋1x←x＋1/2Until i>5End Do【解析】该伪代码中关键是循环语句，第一次输出的数是1，第二次输出的数是x←1＋12＝32，第三次输出的数是x←1＋12＋12＝2.【答案】 2 二、解答题9．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算第30个数的大小．现在已给出了该问题算法的流程图．(1)请在图1-3-4中判断框①处和执行框②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据流程图写出伪代码．图1-3-4【解】(1)①中填“i≤30”；②中应填“P←i”．(2)伪代码如下：S ←0i ←1While i ≤30S ←S＋P P ←ii ←i ＋1End WhilePrint S10．将下列问题的算法用伪代码中的“For”语句表示(写在下面的框中)，并画出“For”语句的流程图(画在右边)．【解】 伪代码如下 ： 流程图如图：S←For i From 1 To 10S←S＋iEnd ForPrint S[能力提升]1．下面的伪代码执行后输出的s的值是________．i←1While i<6i←i＋2s←2×i＋1EndWhilePrint s【解析】当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，此时仍满足条件“i<6”，因此再循环一次，即i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以执行“Print s”，即s ＝15.【答案】152．下面的伪代码执行的结果是________．x←100i←1Dox←x＋10i←i＋1Until x＝200End DoPrint x，i【解析】第一次循环：x＝100＋10＝110，i＝2；第二次循环：x＝110＋10＝120，i＝3；第三次循环：x＝120＋10＝130，i＝4；第四次循环：x＝130＋10＝140，i＝5；第五次循环：x＝140＋10＝150，i＝6；第六次循环：x＝150＋10＝160，i＝7；第七次循环：x＝160＋10＝170，i＝8；第八次循环：x＝170＋10＝180，i＝9；第九次循环：x＝180＋10＝190，i＝10；第十次循环：x＝190＋10＝200，i＝11.满足条件，退出循环．故输出200,11.【答案】200,113．某程序的伪代码如下S←0For I From 2 To 10 Step 2S←S＋IEnd ForPrint S则程序运行后输出的结果是________．【解析】由伪代码可知S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.【答案】304．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)用伪代码表示计算10年以后该城市人口总数的算法；(3)用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法．【解】(1)y＝100×1.012x.(2)伪代码如下：S←100I←1＋0.012For x From 1 To 10S←S×IEnd ForPrint S(3)。
2019-2020学年高中数学(苏教版必修一)教师用书：第3章 3.4.1 第1课时 函数的零点 Word版含解析
3.4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[基础·初探]教材整理1零点的概念阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根．(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2 (－1,0)，(－2,0)教材整理2零点存在性定理阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.( )【解析】(1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．【解析】由f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得f (x)至多有一个零点．又因为f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x)恰有一个零点．【答案】 1[小组合作型]求下列函数的零点．(1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．【精彩点拨】根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．【自主解答】(1)∵f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f (x)＝0，得x＝0,1，－1，故f (x)的零点为x＝－1,0,1.(2)令f (x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f (x)的零点为x＝3.(3)令f (x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f (x)的零点为x＝4.(4)当a＝0时，函数为f (x)＝－x＋2，令f (x)＝0，得x＝2.∴f (x)的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2. 当a ≠0且a ≠12时， 令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2. ∴f (x )的零点为1a ，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[再练一题]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点1和4，则函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点为________． 【解析】 由韦达定理得⎩⎨⎧a ＝1＋4＝5，b ＝1×4＝4，∴g (x )＝4x 2－5x ＋1＝(4x －1)(x －1)，令g (x )＝0，则x ＝14或1，即g (x )的零点为14或1. 【答案】14或1在下列区间中，函数f(x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 【精彩点拨】 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．【自主解答】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．【答案】 ③1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．[再练一题]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋3)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)①(－【解析】 设f (x )＝e x －(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0.37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2.72－4<0，f (2)＝7.40－5>0，f (3)＝20.12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x －(x ＋3)＝0的根在(1,2)内． 【答案】 ③ [探究共研型]探究1 【提示】 (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 探究2 求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ 【提示】 解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x －3x .图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．(1)函数f (x )＝e x －3的零点个数为________．(2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________．(3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数． 【精彩点拨】 (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．【自主解答】 (1)令f (x )＝0，∴e x －3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2) 在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.【答案】 (1)1 (2)2(3)法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a . 令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a .作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为错误!＝错误!，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根； ②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根． 法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0. Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13.①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根； ②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[再练一题]3．若把(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题． 【解】 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134，f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3. 故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示：由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一解； ②当3＜a ＜134时，方程有两解；③当a≤1或a＞134时，方程无解.1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)【解析】②③④的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．【答案】①2．函数f (x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．【解析】∵f (x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，由f (x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.【答案】 33．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f (x)对应值表：【解析】∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．【答案】 44．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是________．【解析】设f (x)＝0.9x－221x，则f (x)为减函数，值域为R，故有1个．【答案】 15．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.【解】令f (x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得错误!或错误!即⎩⎨⎧ m>0，26m ＋38<0或⎩⎨⎧m<0，26m ＋38>0， 解得－1913<m <0.。
苏教版高中数学必修三版第1章学业分层测评1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列四个有关算法的说法中：①算法的某些步骤可以不明确或有歧义，以便使算法能解决更多问题； ②正确的算法执行后一定得到确定的结果；③解决某类问题的算法不一定是唯一的；④正确的算法一定能在有限步之内结束．其中正确的是________．(填序号)【解析】 结合算法的特征可以知道②③④正确，①错误，故填②③④.【答案】 ②③④2．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a ；第二步 ________________________________________________________； 第三步 输出a ＝18.【解析】 从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．【答案】 若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步3．在求1＋2＋3＋…＋100的值时，可以运用公式1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2直接计算．下面给出了一个算法.【导学号：11032002】第一步____①____；第二步____②____；第三步输出计算结果．则①处应填________；②处应填________．【解析】由算法可知只需确定n的值代入公式计算即可，故①处可填“取n＝100”，②处可填“计算n(n＋1)2”．【答案】取n＝100计算n(n＋1)24．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线AB的斜率的一个算法如下：第一步输入x1，y1，x2，y2的值；第二步计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；第三步若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)，k＝____①____；第四步输出斜率k.则①处应填________．【答案】Δy Δx5．完成解不等式2x＋2＜4x－1的算法．第一步移项、合并同类项，得________；第二步在不等式的两边同时除以x的系数，得________．【解析】由2x＋2＜4x－1移项、合并同类项得－2x＜－3；两边同时除以－2得x＞3 2.【答案】－2x＜－3x＞3 26．对于算法：第一步输入n；第二步判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步；第三步依次从2到(n－1)检验能不能被n整除，若不能被n整除，则执行第四步；若能整除n，则结束算法；第四步输出n.满足条件的n是________．【解析】 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n －1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．【答案】 质数7．已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点到直线距离的一个算法有如下几步：①输入点的坐标x 0，y 0；②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ；③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A ，B 和常数C ；⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________．(填序号)【解析】 利用点到直线的距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【答案】 ①④②③⑤⑥8．如下算法：第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立，则y ＝2x ，否则执行第三步；第三步 y ＝log 2(－x )；第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________．【解析】 算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值． 由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4.∴x ＝2或－16.【答案】 2或－16二、解答题9．写出求a ，b ，c 中最小值的算法．【解】 算法如下：第一步 比较a ，b 的大小，当a >b 时，令m ＝b ，否则令m ＝a ； 第二步 比较m 与c 的大小，当m >c 时，令m ＝c ，否则m 值不变； 第三步 输出m 值．10．下面给出一个问题的算法：第一步 输入a ；第二步 若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步 输出2a －1；第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？(2)当输入a 等于多少时，输出的值最小？【解】 (1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值问题． (2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2.∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时，输出的值最小．[能力提升]1．关于一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是________．(填序号)①只能设计一种算法；②可以设计至少两种算法；③不能设计算法；④不能根据解题过程设计算法．【解析】 算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法．【答案】 ②2．给出下列问题：①解方程x 2－2x －3＝0；②解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0； ③求半径为3的圆的面积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计算法求解的是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】 根据算法的特征知，只有④不能设计算法求解．故填①②③.【答案】 ①②③3．下面给出了解决问题的算法：第一步 输入x ；第二步 若x ≤1，则y ＝2x －1，否则y ＝x 2＋3；第三步 输出y .(1)这个算法解决的问题是________；(2)当输入的x 值为________时，输入值与输出值相等．【解析】 (1)根据算法的功能可以知道，该算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧ 2x －1，x ≤1，x 2＋3，x >1的值．(2)当x ≤1时，由2x －1＝x ，得x ＝1；当x >1时，由x 2＋3＝x 知不成立．故x ＝1.【答案】 (1)求分段函数y ＝⎩⎨⎧2x －1(x ≤1)，x 2＋3(x >1)的函数值 (2)14．写出求1×2×3×4×5×6的一个算法．【解】 法一 按照逐一相乘的方法计算．第一步 计算1×2，得到2；第二步 将第一步的运算结果2乘3，得到6；第三步 将第二步的运算结果6乘4，得到24；第四步 将第三步的运算结果24乘5，得到120；第五步 将第四步的运算结果120乘6，得到720；第六步 输出运算结果．法二 利用循环计算．第一步 使S ＝1，I ＝2；第二步 如果I ≤6，那么转第三步，否则转第五步；第三步使S＝S×I；第四步使I＝I＋1，转第二步；第五步输出S.。
高中数学苏教版必修1 3.4.1第一课时 函数的零点 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22， 故f (x )的零点是1－22，1＋22. 答案：1±222.若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；②若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；③若f (a )·f (b )＞0, 不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；④若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f (x )＝0的根；(2)求a ，b ，c 的值．解：(1)方程f (x )＝0的根是x 1＝－3，x 2＝－1.(2)设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a (0＋3)(0＋1)，∴a ＝－1，∴f (x )＝－(x ＋3)(x ＋1)＝－x 2－4x －3.所求a ＝－1，b ＝－4，c ＝－3.4.(1)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，∴f (1)＜0，即m ＜－214. (2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275，∴－275＜m ＜－214.。
高中数学苏教版高一必修一学案 3.4.1 第1课时 函数的零点
3．4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点)；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P91－93，完成下面问题：知识点一函数的零点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．【预习评价】思考函数的零点是点吗？提示函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点三函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．【预习评价】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确．①若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()②若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()③若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()④若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.()提示①×可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＞0，但其存在两个解{－1,1}”，故①不正确；②×对于②可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)＜0，但其存在三个解{－1,0,1}”故②不正确；③√；④×由零点存在性定理可知④不正确．题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－x－6；(2)f(x)＝x3－x；(3)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．解(1)方法一令f(x)＝0，即x2－x－6＝0.∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，∴方程x2－x－6＝0有两个不相等的实数根x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点是x1＝－2，x2＝3.方法二由f(x)＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，得x1＝－2，x2＝3.∴函数f(x)＝x2－x－6的零点为x1＝－2，x2＝3.(2)∵x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，∴令f(x)＝0得x(x－1)(x＋1)＝0.∴f(x)的零点为x1＝0，x2＝1，x3＝－1.(3)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝12时，f(x)＝(12x－1)(x－2)＝12(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2. ∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠12时，令f(x)＝0得x1＝1a，x2＝2.∴f(x)的零点为1a，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝12时，函数有零点2；当a≠0且a≠12时，f(x)的零点为1a，2.规律方法根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法；②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数y＝x－1的零点是________．解析令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.答案 1题型二函数零点存在性定理及应用【例2】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)∵f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(－1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0.∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．规律方法由函数给定的区间[a，b]分别求出f(a)和f(b)，判断f(a)f(b)＜0是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果f(a)f(b)＞0，并不说明函数在[a，b]上没有零点．【训练2】已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x 12345 6f(x)1510－76－4－5则函数f(x)解析根据函数零点存在性定理可判断至少有3个零点．答案 3题型三判断函数零点的个数【例3】判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．解函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．规律方法判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．【训练3】函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数的图象有两个交点，即f(x)有两个零点．答案 2互动题型四零点的应用探究【探究1(0,1)与(1,2)内，试求k的取值范围．解由题意可知，方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，也就是说函数y＝7x2－(k＋13)x－k＋2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1,1与2之间，作出草图．根据图象得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋2＞0，7－(k ＋13)－k ＋2＜0，28－2k －26－k ＋2＞0.解之得－2＜k ＜43.故k 的取值范围是(－2，43)．【探究2】 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析 如图所示，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点，则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根， 因此a ＝1. 答案 1【探究3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围是________．解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符合题意；当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＞0，得a ＜1， 又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点， f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a ，当－1a ＞0，即a ＜0时，图象开口向下，与x 轴正半轴有一交点，满足题意；当－1a ＜0，即a ＞0时，图象开口向上，与x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，a 的取值范围是(－∞，0)．答案 (－∞，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)求解探究2这类问题可先将原式变形为f (x )＝g (x )，则方程f (x )＝g (x )的不同解的个数等于函数f (x )与g (x )图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课堂达标1．函数f (x )＝1－x 21＋x 的零点是________．解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1.答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，又f (x )单调递增， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．答案 ③3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，并且α，β(α＜β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________． 解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a ＜α＜β＜b . 答案 a ＜α＜β＜b4．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是________．解析 二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )＜0，由图象知f (m ＋1)＞0，∴f (m )·f (m ＋1)＜0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点． 答案 15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两零点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13. ∴a 的取值范围为(－∞，－13)．课堂小结1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
高中数学苏教版必修一《第3章3.4.1第1课时》课件
由图象知 g(x)＝lg (x＋1)的图象和 h(x)＝2－2x 的图象有且只有一个交点， 即 f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2 有且只有一个零点．
反思与感悟 判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确 定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点 的个数判定函数零点的个数．
8
9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
由上表和图象可知 f(2)<0，f(3)>0，即 f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零 点．由于函数 f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
2．方程、函数、图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔函数 y＝f(x)的图象 与x轴有交点 ⇔ 函数 y＝f(x) 有零点 ．
3．函数零点的存在性定理 一般地，若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)·f(b)<0， 则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
例 4 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数． 解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定 存在零点．又显然 f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2 在(0，＋∞)上为增函数． 故 f(x)有且只有一个零点． 方法二 在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x 和 g(x)＝lg (x＋1)的草图．
Δ＝0
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个不相等的 有两个相等的
的根
高中数学第三章3.4.1第1课时函数的零点学业分层测评苏教版必修33
3.4.1 第1课时 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是________． 【解析】 由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.【答案】 0和－122．方程2x＋x ＝0在下列哪个区间内有实数根________．(填序号) ①(－2，－1)；②(0,1)；③(1,2)；④(－1,0)． 【解析】 令f (x )＝2x＋x ，则f (－2)＝－74＜0，f (－1)＝－12＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝3＞0，f (2)＝6＞0.∵f (－1)·f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＜0， ∴f (x )＝2x＋x 的零点在区间(－1,0)内， 故2x＋x ＝0在区间(－1,0)内有实数根． 【答案】 ④3．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 在同一坐标系中画出y ＝2x和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .【答案】 b >c >a4．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f(x 1)的值为________．①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．【解析】 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0. 【答案】 ①5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤0，2x >0，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x的方程f (x )＝x 的解的个数是________.【解析】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4x ≤0，2x >0.作图象(略)得函数有2个零点． 【答案】 26．关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由 f (x )＝3x 2－5x ＋a 满足条件的大致图象(略)可知⎩⎪⎨⎪⎧f－2＞0，f 0＜0，f 1＜0，f3＞0，解得－12＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－12,0)．【答案】 (－12,0)7．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若f (x )有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．【解析】 设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0， 即－x 0也为方程一根，又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 015个实数解之和为0. 【答案】 08．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．【解析】 依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点． 【答案】 2 二、解答题9．求函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数．【解】 函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点即2x|log 0.5 x |－1＝0的解，即|log 0.5 x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5 x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1有2个零点．10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，零点的个数为________．【解析】 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)， ∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0.∵f (1)·f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点． 【答案】 22．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 【答案】 03．若方程x 2－2|x |－a ＝0恰有3个实根，则a 的取值范围是________．【解析】 本题可化为y ＝x 2－2|x |与y ＝a 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．【答案】 a ＝04．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围.【解】 当0＜x ≤1时，方程化为1＋kx ＝0， 可知两解在(0,1]范围内不可能． 当1＜x ＜2时，方程化为2x 2＋kx －1＝0，若两解在(1,2)范围内，则x 1·x 2＞1，这与x 1·x 2＝－12矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜1－k≤1，f 1 f 2＜0，解得－72＜k ＜－1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1.。
2019-2020学年高中数学必修一苏教版检测：第3章3.4-3.4.1第1课时函数的零点 Word版含解析
第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时 函数的零点A 级 基础巩固1．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( )A ．方程f (x )＝0一定有实数解B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解．答案：D2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋2x －3，x≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：x ≤0时由x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3；x >0时由－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2. 答案：C3．方程2x －x 2＝0的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系画出函数y ＝2x ，及y ＝x 2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.答案：C4．根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是( )A.(－1，0) B．解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．答案：C5．(2014·北京卷)f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1) B. (1，2)C. (2，4) D．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．答案：C6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：{－5，1，2}7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于____ ____．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：08．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案：(－∞，1)9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3，所以x＝3是方程ax－b＝0的根．所以b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－110．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2.答案：211．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，函数的图象有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．12．函数f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x ＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2.所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．B级能力提升13．函数y＝lg x－9x的零点所在的大致区间是( ) A．(6，7) B．(7，8)C．(8，9) D．(9，10)解析：因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0.所以y＝lg x－9x在区间(9，10)上有零点．答案：D14．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为________．解析：依题意可得，方程2a＝|x－a|－1只有一解，则方程|x－a|＝2a＋1只有一解．所以2a ＋1＝0.所以a ＝－12. 答案：－1215．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点．解：函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3. 再由根与系数的关系得a ＝5，b ＝－6，所以g (x )＝－6x 2－5x －1，易求得函数g (x )的零点为－12，－13.16．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a 的取值范围．解：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a>0，a<0，3－5＋a<0，27－15＋a>0，解得－12<a <0.所以a 的取值范围是{a |－12＜a ＜0}．17．求证：函数f (x )＝2x －2－xx ＋1在(0，1)内有且只有一个零点．证明：f (x )＝2x －2－x x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1(x ≠1)．设－1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－3x1＋1－2x 2＋3x2＋1＝2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为－1＜x 1＜x 2，所以2x 1－2x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.所以2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．又f (0)＝20－2＝－1<0，f (1)＝21－12＝32>0，即f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．18.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4]．(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解：(1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4，5]．(2)因为函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．所以方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，所以0≤m ＜4.所以当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点， 故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．。
苏教版高中数学必修三版第1章学业分层测评6.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列伪代码的条件语句中，判断的条件是________．Read xIf x>0Theny←2×xElsey←1－xEnd IfPrint y【解析】由伪代码知判断的条件为“x>0”，故填x>0.【答案】x>02．根据如下所示的伪代码，当输入a，b分别为ln2016，ln2017时，最后输出的m值为________．Read a，bIf a>b Thenm←bElsem←aEnd IfPrint m【解析】此题伪代码的含义是输出两数中的较小者，因为ln2016<ln2017，所以m＝ln2016.【答案】 ln20163．为了在执行下面的伪代码之后输出y ＝25，输入的x 应该是________． Read xIf x <0 Theny ←(x ＋1)2Else y ←(x －1)2End IfPrint y【解析】 伪代码对应的函数是y ＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0. 由⎩⎨⎧ x <0，(x ＋1)2＝25或⎩⎨⎧x ≥0，(x －1)2＝25. 得x ＝－6或x ＝6.【答案】 －6或64．下列伪代码，若输入2,3，则伪代码执行结果为________． Read a ，bIf a <b Thent ←aa ←b b ←tEnd IfPrint b ，a【解析】 由于2<3，故由程序知t ←2，a ←3，b ←2.故输出的b ，a 分别为2,3.【答案】 2,35．给出下面伪代码： Read x 1，x 2If x 1＝x 2 Theny ←x 1－x 2Elsey ←x 1＋x 2End IfPrint y如果输入x 1＝3，x 2＝5，那么执行此伪代码后的输出结果是________．【解析】 x 1＝3，x 2＝5，不满足条件x 1＝x 2，因此不执行语句y ←x 1－x 2，而直接执行y ←x 1＋x 2，所以y ＝8，最后输出8.【答案】 86．下面伪代码的输出结果为________.【导学号：11032018】 x ←5y ←－20If x <0 Thenx ←y －3Else y ←y ＋3End Ifa ←x －yPrint a【解析】 由于5>0，故程序执行“Else ”后面的语句，从而y ＝－20＋3 ＝－17，所以a ＝5－(－17)＝22，故输出a 的值为22.【答案】 227．给出一个算法：Read xIf x ≤0 Thenf (x )←4xElse f (x )←2x End IfPrint f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________.【解析】 本算法给出的是分段函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0的求值问题，故f (－1)＋f (2)＝4×(－1)＋22＝0.【答案】 08．读伪代码，完成下题．Read xIf x≥1Theny←x＋1Elsey←2x＋1End IfPrint y(1)若执行伪代码时，没有执行语句y←x＋1，则输入的x的范围是________．(2)若执行结果y的值是3，则执行的赋值语句是________，输入的x值是________．【解析】(1)未执行语句y←x＋1，说明x≥1不成立，∴x＜1.(2)∵x＜1时，y＝2x＋1＜3，∴当y＝3时，只能是x≥1时，y＝x＋1＝3，∴x＝2，所以应填y←x＋1,2.【答案】(1)(－∞，1)(2)y←x＋1 2二、解答题9．用算法语句表示下列过程，输入一个学生的成绩S，根据该成绩的不同值作以下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S≤90，则输出“及格”；若S>90，则输出“优秀”．【解】伪代码如下：Read SIf S<60 ThenPrint“不及格”ElseIf S≤90 ThenPrint“及格”ElsePrint“优秀”End IfEnd If10．某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定：购物额在100元及以内不予优惠；在100～300元之间(含300元)优惠货款的5%；超过300元之后，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效．用伪代码写出根据输入购物额能输出应付货款的算法，并画出流程图．【解】 设购物额为x 元时，实付金额为y 元，由题意得y ＝⎩⎨⎧ x ， x ≤100，0.95x ， 100<x ≤300，285＋(x －300)×0.92， x >300.伪代码如下： Read xIfx ≤100 Theny ←xElseIf x ≤300 Theny ←0.95xElsey ←285＋(x －300)×0.92End IfEnd IfPrint y流程图如下图所示．[能力提升]1．下面是一个求函数的函数值的伪代码：Read xIf x ≤0 Theny ←－xElseIf x ≤1 Theny ←0Elsey ←x －1End IfEnd IfPrint y若执行此语句的结果为3，则输入的x 值为________．【解析】 此语句是求函数y ＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，0，0<x ≤1，x －1，x >1的值．若输出的结果为3，则有可能x －1＝3即x ＝4，或－x ＝3即x ＝－3.【答案】 －3或42．阅读下列伪代码 Read xIf x ≥0 Theny ←xElse y ←－xEnd IfPrint y用一个函数式表示y 与x 的关系为________．【解析】 这个分段函数为y ＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，也可写成含绝对值形式y ＝|x |. 【答案】 y ＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0或y ＝|x | 3．执行下面的伪代码：若输出的y 恒大于0，则p 的取值范围是________． Read p ，xIf x ＞p Theny ←p ＋xElsey ←2p －xEnd IfPrint y【解析】 伪代码表示的函数为y ＝⎩⎨⎧p ＋x ，x ＞p ，2p －x ，x ≤p ，当x ＞p 时，y ＝p ＋x ＞2p ，故使输出的y 恒大于0时，有2p ≥0，可得p ≥0；当x ≤p 时，y ＝2p －x ≥p ，故使输出的y 恒大于0时，有p ≥0.综上，若要y ≥0恒成立，需p ≥0.【答案】 [0，＋∞)4．设计用语句描述算法，判断直线ax ＋by ＋c ＝0与圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的位置关系，输出相关信息，画出流程图．【解】 语句描述算法如下： Read a ，b ，c ，x 0，y 0，rd ←|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2If d <r ThenPrint “相交”Else If d ＝r ThenPrint “相切”ElsePrint “相离”End IfEnd If流程图如图所示．。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 第1课时 函数的零点学业分层测评 苏教版必
2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1 第1课时函数的零点学业分层测评苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1 第1课时函数的零点学业分层测评苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1 第1课时函数的零点学业分层测评苏教版必修1的全部内容。
3。
4。
1 第1课时函数的零点（建议用时：45分钟)［学业达标]一、填空题1．若函数f (x）＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x）＝nx2－mx的零点是________．【解析】由条件知，f (2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m。
∴g(x）＝nx2－mx＝－2mx错误!，由g（x)＝0,得x＝0或x＝－错误!。
∴g(x)的零点是0和－错误!。
【答案】0和－错误!2．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根________．（填序号)①（－2，－1)；②（0，1）；③（1,2);④（－1,0）．【解析】令f (x)＝2x＋x，则f （－2)＝－错误!＜0,f (－1)＝－错误!＜0,f (0）＝1＞0，f （1）＝3＞0，f (2）＝6＞0.∵f （－1）·f (0)＝错误!×1＜0,∴f （x)＝2x＋x的零点在区间(－1，0）内，故2x＋x＝0在区间（－1,0）内有实数根．【答案】④3．已知函数f （x）＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a,b，c，则a，b，c的大小关系为________．【解析】在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a〈0,同样的方法可得b〉0,c＝0，∴b〉c〉a.【答案】b〉c>a4．已知函数f (x）＝log2x－错误!x，若实数x0是方程f (x）＝0的解,且0＜x1＜x0，则f （x1)的值为________．①恒为负;②等于零;③恒为正；④不小于零．【解析】因为x0是方程f (x)＝0的解，所以f （x0）＝0，又因为函数f （x）＝log2x －错误!x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f (x1）＜f (x0)＝0。
苏教版高中数学必修1- 3.4.1第一课时 函数的零点 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22，故f(x)的零点是1－22，1＋22.答案：1±2 22.若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f(a)·f(b)＜0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；②若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；③若f(a)·f(b)＞0, 不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0；④若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f(x)＝x(x－1)·(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)·f(2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)·f(2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f(x)＝0的根；(2)求a，b，c的值．解：(1)方程f(x)＝0的根是x1＝－3，x2＝－1.(2)设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a(0＋3)(0＋1)，∴a＝－1，∴f(x)＝－(x＋3)(x＋1)＝－x2－4x－3.所求a＝－1，b＝－4，c＝－3.4.(1)关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；(2)关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m的取值范围．解：(1)令f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，1 ∴f (1)＜0，即m ＜－214.(2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由图知，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275，∴－275＜m ＜－214.。
高中数学(苏教版必修一)第3章 3.3 学业分层测评20
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的是________．(填序号)【解析】 幂函数y ＝x n ，只有当n >0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y ＝x n ，当n ＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y ＝x n ，当n ＝0时，则其图象是y ＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的．【★答案★】 ⑤⑥ 2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有________ 个．【解析】 使函数y ＝x α的定义域为R 的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3. 【★答案★】 23．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图3-3-1所示)，那么幂函数y ＝x 的图象经过的“部分”是________．图3-3-1【解析】 对于幂函数y ＝x ，当0<x <1时，x >x ；当x >1时，x >x .【★答案★】 ①⑤ 4．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】 因为函数f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，由题设9α3α＝2⇒3α＝2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α2＝14.【★答案★】 145．如图3-3-2中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．图3-3-2【解析】 函数y ＝x －2，y ＝x 2，中令x ＝4得到的函数值依次为116，16，12，2，函数值由大到小对应的解析式为y ＝x 2，y＝x －2，因此相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【★答案★】 2，12，－12，－2 6．若幂函数的图象不过原点，则m 的取值是________ .【解析】 由幂函数的定义，可得⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2<0⇒m ＝1.【★答案★】 m ＝17．设函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ≤0，x ，x >0，若使 f (x )>1成立的取值范围是________．【解析】 由f (x )>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>1或⎩⎨⎧x >0，x >1，解得x <－1或x >1. 【★答案★】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________.【解析】 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意． 【★答案★】 1 二、解答题9．比较下列各组数的大小．【解】 (1)构造函数f (x )此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，(2)构造f (x )＝x －1，此函数在(0，＋∞)上是减函数， ∵8<9，∴8－1>9－1， ∴－8－1<－9－1.10．已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称．求m 的值，并画出它的图象．【解】 ∵图象与x ，y 轴都无交点， ∴m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，∴m ＝0,1,2.∵幂函数图象关于y 轴对称，∴m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图(1)；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图(2)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0的图象大致为________．(填序号)【解析】 x <0时，f (x )＝x 3＋1单调递增，且过(0,1)点，x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数，过(0,1)点，故①是f (x )的图象．【★答案★】 ①2．不论a 取何值，函数y ＝(x －1)a ＋2的图象恒过点A ，则点A 的坐标为________．【解析】 ∵幂函数y ＝x a 的图象恒过点(1,1)， ∴y ＝(x －1)a 的图象恒过点(2,1)， ∴y ＝(x －1)a ＋2的图象恒过点(2,3)． 【★答案★】 (2,3) 3．若则a 的取值范围是________．【解析】所以⎩⎨⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【★答案★】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，324．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18，(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间； (3)试解关于x 的不等式f (3x ＋2)＋f (2x －4)>0. 【解】 (1)设f (x )＝x α，由题意， 得f (2)＝2α＝18⇒α＝－3， 故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)由(2)得f (3x ＋2)>－f (2x －4)＝f (4－2x )．即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x >0⇒x <2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2<0⇒x <－23，4－2x <0⇒x >2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x <0⇒x >2.解得－23<x <25或x >2， 故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－23<x <25或x >2.。
高中数学第三章3.3幂函数学业分层测评苏教版必修34
学 习 资 料 专 题3.3 幂函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n ＝0时，函数y ＝x n的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n，当n >0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的是________．(填序号)【解析】 幂函数y ＝x n，只有当n >0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y ＝x n，当n ＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y ＝x n，当n ＝0时，则其图象是y ＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的．【答案】 ⑤⑥2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有________ 个．【解析】 使函数y ＝x α的定义域为R 的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3. 【答案】 23．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图331所示)，那么幂函数y ＝x 的图象经过的“部分”是________．图331【解析】 对于幂函数y ＝x ，当0<x <1时，x >x ；当x >1时，x >x . 【答案】 ①⑤4．若f (x )是幂函数，且满足f f＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________. 【解析】 因为函数f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，由题设9α3α＝2⇒3α＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α2＝14.【答案】 145．如图332中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．图332【解析】 函数y ＝x －2，y ＝x 2，中令x ＝4得到的函数值依次为116，16，12，2，函数值由大到小对应的解析式为y ＝x 2，y ＝x －2，因此相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 2，12，－12，－26．若幂函数的图象不过原点，则m 的取值是________ .【解析】 由幂函数的定义，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2<0⇒m ＝1.【答案】 m ＝17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，x ，x >0，若使f (x )>1成立的取值范围是________．【解析】 由f (x )>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1>1或⎩⎨⎧x >0，x >1，解得x <－1或x >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________.【解析】 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意． 【答案】 1 二、解答题9．比较下列各组数的大小．【解】 (1)构造函数f (x )此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，(2)构造f (x )＝x －1，此函数在(0，＋∞)上是减函数， ∵8<9，∴8－1>9－1， ∴－8－1<－9－1.10．已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称．求m 的值，并画出它的图象．【解】 ∵图象与x ，y 轴都无交点， ∴m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，∴m ＝0,1,2.∵幂函数图象关于y 轴对称，∴m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图(1)； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图(2)．[能力提升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0的图象大致为________．(填序号)【解析】 x <0时，f (x )＝x 3＋1单调递增，且过(0,1)点，x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，过(0,1)点，故①是f (x )的图象．【答案】 ①2．不论a 取何值，函数y ＝(x －1)a＋2的图象恒过点A ，则点A 的坐标为________． 【解析】 ∵幂函数y ＝x a的图象恒过点(1,1)， ∴y ＝(x －1)a的图象恒过点(2,1)， ∴y ＝(x －1)a ＋2的图象恒过点(2,3)． 【答案】 (2,3)3．若则a 的取值范围是________．【解析】所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 4．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18， (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间； (3)试解关于x 的不等式f (3x ＋2)＋f (2x －4)>0. 【解】 (1)设f (x )＝x α，由题意， 得f (2)＝2α＝18⇒α＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)由(2)得f (3x ＋2)>－f (2x －4)＝f (4－2x )．即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x >0⇒x <2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2<0⇒x <－23，4－2x <0⇒x >2，3x ＋2<4－2x ⇒x <25，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0⇒x >－23，4－2x <0⇒x >2.解得－23<x <25或x >2，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <25或x >2.。
南京市高中数学苏教版必修1 3.4.1第一课时 函数的零点 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22， 故f (x )的零点是1－22，1＋22. 答案：1±222.若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；②若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；③若f (a )·f (b )＞0, 不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；④若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f (x )＝0的根；(2)求a ，b ，c 的值．解：(1)方程f (x )＝0的根是x 1＝－3，x 2＝－1.(2)设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a (0＋3)(0＋1)，∴a ＝－1，∴f (x )＝－(x ＋3)(x ＋1)＝－x 2－4x －3. 所求a ＝－1，b ＝－4，c ＝－3.4.(1)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，∴f (1)＜0，即m ＜－214. (2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由图知，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275， ∴－275＜m ＜－214.。
2019-2020年数学·必修1(苏教版)习题：第3章3.4-3.4.1第1课时函数的零点 Word版含解析
第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时 函数的零点A 级 基础巩固1．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( )A ．方程f (x )＝0一定有实数解B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解．答案：D2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋2x －3，x≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：x ≤0时由x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3；x >0时由－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2. 答案：C3．方程2x －x 2＝0的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系画出函数y ＝2x ，及y ＝x 2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.答案：C4．根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是( )A.(－1，0) B．解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．答案：C5．(2014·北京卷)f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1) B. (1，2)C. (2，4) D．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．答案：C6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：{－5，1，2}7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于____ ____．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：08．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案：(－∞，1)9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3，所以x＝3是方程ax－b＝0的根．所以b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－110．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2.答案：211．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，函数的图象有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．12．函数f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x ＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2.所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．B级能力提升13．函数y＝lg x－9x的零点所在的大致区间是( ) A．(6，7) B．(7，8)C．(8，9) D．(9，10)解析：因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0.所以y＝lg x－9x在区间(9，10)上有零点．答案：D14．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为________．解析：依题意可得，方程2a＝|x－a|－1只有一解，则方程|x－a|＝2a＋1只有一解．所以2a ＋1＝0.所以a ＝－12. 答案：－1215．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点．解：函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3. 再由根与系数的关系得a ＝5，b ＝－6，所以g (x )＝－6x 2－5x －1，易求得函数g (x )的零点为－12，－13.16．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a 的取值范围．解：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a>0，a<0，3－5＋a<0，27－15＋a>0，解得－12<a <0.所以a 的取值范围是{a |－12＜a ＜0}．17．求证：函数f (x )＝2x －2－xx ＋1在(0，1)内有且只有一个零点．证明：f (x )＝2x －2－x x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1(x ≠1)．设－1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－3x1＋1－2x 2＋3x2＋1＝2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为－1＜x 1＜x 2，所以2x 1－2x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.所以2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．又f (0)＝20－2＝－1<0，f (1)＝21－12＝32>0，即f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．18.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4]．(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解：(1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4，5]．(2)因为函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．所以方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，所以0≤m ＜4.所以当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点， 故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.4.1 第1课时 函数的零点
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，则函数g (x )＝nx 2
－mx 的零点是________． 【解析】 由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .
∴g (x )＝nx 2
－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12.
∴g (x )的零点是0和－1
2.
【答案】 0和－1
2
2．方程2x
＋x ＝0在下列哪个区间内有实数根________．(填序号) ①(－2，－1)；②(0,1)；③(1,2)；④(－1,0)． 【解析】 令f (x )＝2x
＋x ，则f (－2)＝－74
＜0，
f (－1)＝－12
＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝3＞0，f (2)＝6＞0.
∵f (－1)·f (0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12×1＜0， ∴f (x )＝2x
＋x 的零点在区间(－1,0)内， 故2x
＋x ＝0在区间(－1,0)内有实数根． 【答案】 ④
3．已知函数f (x )＝2x
＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3
＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则
a ，
b ，
c 的大小关系为________．
【解析】 在同一坐标系中画出y ＝2x
和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得
b >0，
c ＝0，∴b >c >a .
【答案】 b >c >a
4．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f
(x 1)的值为________．
①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．
【解析】 因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0. 【答案】 ①
5．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋bx ＋c x ≤0
，
2x >0，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x
的方程f (x )＝x 的解的个数是________.
【解析】 由已知，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝5，
c ＝4.
∴f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋5x ＋4
x ≤0，
2x >0.
作图象(略)得函数有2个零点． 【答案】 2
6．关于x 的方程3x 2
－5x ＋a ＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由 f (x )＝3x 2
－5x ＋a 满足条件的大致图象(略)可知
⎩⎪⎨⎪⎧
f
－2＞0， f 0＜0， f 1＜0， f
3＞0，
解得－12＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－12,0)．
【答案】 (－12,0)
7．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．若f (x )有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．
【解析】 设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，
因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0， 即－x 0也为方程一根，
又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1
＝0，
所以这2 015个实数解之和为0. 【答案】 0
8．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．
【解析】 依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：
可知f (x )有两个零点． 【答案】 2 二、解答题
9．求函数f (x )＝2x
|log 0.5 x |－1的零点个数．
【解】 函数f (x )＝2x
|log 0.5 x |－1的零点即2x
|log 0.5 x |－1＝0的解，即|log 0.5 x |
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5 x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象，
由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f (x )＝2x
|log 0.5 x |－1有2个零点．
10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2
－2(－x )]＝－x 2
－2x ，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，－x 2
－2x ，x <0.
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x ＝(x －1)2
－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2
－2x ＝1－(x ＋1)2
，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．
[能力提升]
1．函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0，
－2＋ln x ，x ＞0，零点的个数为________．
【解析】 x ≤0时，令x 2
＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)， ∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；
x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0.
∵f (1)·f (e 3
)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点． 【答案】 2
2．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【解析】 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 【答案】 0
3．若方程x 2
－2|x |－a ＝0恰有3个实根，则a 的取值范围是________．
【解析】 本题可化为y ＝x 2
－2|x |与y ＝a 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．
【答案】 a ＝0
4．已知f (x )＝|x 2
－1|＋x 2
＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，
x 2，求k 的取值范围.
【解】 当0＜x ≤1时，方程化为1＋kx ＝0， 可知两解在(0,1]范围内不可能． 当1＜x ＜2时，方程化为2x 2
＋kx －1＝0，
若两解在(1,2)范围内，则x 1·x 2＞1，这与x 1·x 2＝－1
2矛盾．故两解在(1,2)范围内不
可能．
若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧
0＜1－k
≤1，
f 1 f 2＜0，
解得－
7
2
＜k ＜－1.
故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72，－1.。