2017-2018学年九年级数学上册教案(打包24份) 北师大版14(免费推荐下载)
[初中数学]2017-2018学年九年级数学上册教案(24份) 北师大版22
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6.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象能画出反比例函数的图象，进一步掌握画函数图象的步骤．(重点)阅读教材P152～153，完成下列内容： (一)知识探究1．反比例函数的表达式是：________________.2．类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：________、________、________.3．反比例函数图象是________．4．在反比例函数y ＝kx (k ≠0，k 为常数)中，当k>0时，两支曲线位于________象限内；当k ＜0时，两支曲线位于________象限内． (二)自学反馈你能画出反比例函数y ＝2x 的图象吗？它是什么形状？有什么特点？y ＝－2x 呢？活动1 小组讨论例1 画出反比例函数y ＝4x 的图象．(3)连线：如图2所示．在列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应地就得到绝对值相等而符号相反的对应的函数值，这样既可以简化计算，又便于在坐标系中描点．在用光滑的曲线连接各点时，注意曲线是无限延伸的，且不和坐标轴相交． 例2 在如图的平面直角坐标系内画出反比例函数y ＝－4x 的函数图象．解：列表→描点→连线，如图所示．y ＝4x 和y ＝－4x的图象分别是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，且图象具有对称性．活动2 跟踪训练1．已知点(1，1)在反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是( )2．当x ＞0时，函数y ＝－5x 的图象在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．对于反比例函数y ＝3x 图象的对称性，下列叙述错误的是( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称4．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式________．5．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限，则常数m 的取值范围是________．6．按要求填空，并作图．(1)请用描点法在直角坐标系上画出y ＝6x的函数图象．(2)点(12，12)在y ＝6x 的函数图象上吗？为什么？活动3 课堂小结1．反比例函数y ＝kx的图象是由两支曲线组成的．①当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内． ②当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．2．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y ＝x 和y ＝－x.对称中心是原点．【预习导学】 (一)知识探究1．y ＝kx (k ≠0，k 为常数) 2.列表 描点 连线 3.双曲线 4.第一、三 第二、四(二)自学反馈 答案略． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.A 3.D 4.答案不唯一，如：y ＝－1x 5.m>16．(1)列表如下：(2)∵12×12＝6，∴点(12，12)在y ＝6x的函数图象上．第2课时 反比例函数的性质1．通过比较，探索并掌握反比例函数的增减性．(重点) 2．理解并掌握反比例函数k 的几何意义．(难点)阅读教材P154～155，完成下列内容： (一)知识探究y随x 的增 大而________每个象限内y 随的增大而________(二)自学反馈下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝12x ；④y ＝－7x 中，(1)图象位于第二、四象限的有________；(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．活动1 小组讨论例1 观察反比例函数y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，你能发现它们的共同特征吗？(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 解：(1)第一、三象限．(2)在每个象限内y 的值随着x 值的增大而减小．例2 考察当k ＝－2，－4，－6时，反比例函数y ＝kx的图象，它们有哪些共同特征？提示：前面已经对k>0时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出k ＜0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨． 解：函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大．反比例函数y ＝kx的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大．例3 在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？为什么？解：如图所示，S 1＝x 1y 1＝k ，S 2＝x 2y 2＝k ，所以S 1＝S 2.矩形面积总等于||k .活动2 跟踪训练1．对于反比例函数y ＝2x ，下列说法不正确的是( )A ．点(－2，－1)在它的图象上B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．当x>0时，y 随x 的增大而增大D ．它的图象在第一、三象限2．函数y ＝－1x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若0＜x 1＜x 2，则( )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定3．函数y ＝－2x的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．4．已知反比例函数y ＝1－2mx 的图象上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是________．5．如图，点P 是反比例函数图象上的一点，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，若阴影部分面积为3，则这个反比例函数的关系式是________．设函数为y ＝kx，而点P 在函数图象上，所以k ＝mn ，又阴影部分面积是|mn|＝3，函数图象在第二象限，所以k ＜0，即k ＝－3，所以函数关系式为y ＝－3x .活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 (一)知识探究直线 双曲线 一、三 一、三 增大 减小 二、四 二、四 减小 增大 (二)自学反馈(1)②④ (2)②④ (3)①③ 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.A 3.增大 4.m ＜12 5.y ＝－3x。
2017年九年级数学上册(北师大版)全册教案及反思
第一章 特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。
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第课时 相似三角形的周长和面积之比.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）一、情景导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△的面积为平方米，长为，长为.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的周长比已知△∽△′′′，是△的中线，′′是△′′′的中线，若＝，且△′′′的周长为，求△的周长.解：因为△∽△′′′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比＝＝，＝.已知△′′′的周长为，所以＝.所以△的周长为.易错提醒：在相似表达式△∽△′′′及对应中线比＝中，都是△在前，△′′′在后，而在出现问题时，△′′′在前，△在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.探究点二：相似三角形的面积比如图，在△中，＞，点在上，且＝，∠的平分线交于点，点是的中点，连接.若四边形的面积为，求△的面积.解：∵平分∠，＝， ∴是△的中线，即是的中点. ∵点是的中点，∴∥，且＝.∴∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝（）＝.∵△＝△－四边形＝△－， ∴＝. ∴△＝，即△的面积为. 易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由：＝：得△：△＝：，或△：四边形＝：之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.。
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第一章特殊的平行四边形本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形.通过平行四边形角、边的特殊化, 研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形, 认识这些概念之间的联系与区别, 明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理, 进一步明确命题及其逆命题的关系, 不断发展学生的合情推理和演绎推理能力.本章研究特殊的平行四边形, 图形比较多, 而且图形的性质定理和判定定理也比较多.教科书呈现这些内容时, 注意突出图形性质和判定的探索与发现过程, 由观察度量、实验操作、图形变换等方式, 通过合情推理发现结论, 形成猜想, 运用演绎推理证明猜想.通过平行四边形的变形——角的变化, 一个角为直角, 探究并发现矩形的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性, 探究并发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质.学生通过观察度量、实验操作、图形变换等, 运用合情推理, 探究并发现结论, 形成猜想, 进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明, 得出图形的性质.把合情推理和演绎推理有机结合起来.菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们的性质定理和判定定理的研究方法, 与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承.§1.1 菱形的性质与判定（第一课时）教学目标:1.经历菱形的概念、性质的发现过程2.掌握菱形的概念3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”5.探索菱形的对称性教学重点、难点重点:菱形的性质．难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．教学过程一. 引入: 用多媒体显示下面的图形观察以下由火柴棒摆成的图形议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗?(2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.定理1:菱形的四条边都相等这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O.求证:AC ⊥ BD ,AC平分∠BAD 和∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC分析:由菱形的定义得△ABD是什么三角形？ BO与OD有什么关系？根据什么？由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）∴AC⊥BD , AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）同理, AC平分∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC∴对角线AC和BD分别平分一组对角由定理2可以得出菱形是轴对称图形, 它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.另外, 还可以从折叠来说明轴对称性.同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质.菱形还具有平行四边形的所有共性, 比如:菱形是中心对称图形, 对称中心为两条对角线的交点. 三．应用例1．在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交与点O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC的长.分析:本题是菱形的性质定理2的应用, 由∠BAC= 30°,得出△ABD为等边三角形, 就抓住了问题解决的关键.解:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）又∵∠BAC= 30°∴∠BAD= 60°∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=6又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2∴AO= AC=2AO=四．巩固:教科书第141页课那练习1、2ODCBAODCBA五．小结:1、通过本节课的学习, 你有什么收获？还有哪些困惑？2、本节课的主要内容是:一个定义（菱形的定义）, 二条定理（菱形的性质定理）, 二个结论（菱形是轴对称图形, 又是中心对称图形）. 六．作业:教学反思:§1.1 菱形的性质与判定（第二课时）教学目标1．经历菱形的判定定理的发现过程.2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”.3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.4．通过运用菱形知识解决具体问题, 提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系, 向学生渗透集合思想．教学重点、难点重点:菱形的判定定理．难点:菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力, 又要有较强的逻辑思维能力．教学过程(一)、复习引入1、提问菱形的定义和性质.定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形.性质:除具备一般平行四边形的性质外, 还具备四条边相等,对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？定义, 此外还有两种判定方法, 今天我们就要学习菱形的判定.（板书课题）(二)、创设情境, 引入新课1、合作学习:学生拿出准备好的长方形纸片, 按大屏幕展示的方法对折两次, 并沿（3）中的斜线剪开, 展开剪下的部分, 猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？剪出的图形四条边都相等, 根据这个条件首先证它是平行四边形, 再证一组邻边相等, 依定义即知为菱形．结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形（板书）(三)、交流互动, 探求新知1、已知:如图, 在ABCD中, BD⊥AC, O为垂足.求证:ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）.∵BD⊥AC,∴AD＝CD∴ABCD是菱形（菱形的定义）.结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等.结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.(四)、应用新知, 巩固练习1、课本“课内练习”2、思考题:如图, △ABC中, ∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D, AH、DF 都垂直于BC, H、F为垂足, 求证:四边形AEFD为菱形.AB CDEFH(五)、课堂小结, 布置作业1、本节的主要内容是:菱形常用的判定方法1）．一组邻边相等的平行四边形．2）．四条边相等的四边形．3）.对角线互相垂直的平行四边形． 4）.对角线互相垂直平分的四边形2、作业:教学反思补充练习:一、选择题.1、已知菱形两个邻角的比是1:5, 高是8cm, 则菱形的周长是（）.A. 16cmB. 32cmC. 64cmD. 128cm2、已知菱形的周长为40 cm, 两对角线长的比是3:4, 则两对角线的长分别是（）.A. 6cm、8cmB. 3cm、4cmC. 12cm、16cmD. 24cm、32cm3、如图:在菱形ABCD中, AE⊥BC, AF⊥CD, 且E、F分别为BC、CD的中点,那么∠EAF等于（）.A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°4、棱形的周长为8.4cm, 相邻两角之比为5:1, 那么菱形一组对边之间的距离为（）A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 下列条件中, 不能判定ABCD是菱形的是（）.A. AB=ADB. AC⊥BDC. ∠A=∠DD.CA平分∠BCD7、下列命题中, 真命题是（）.A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形.B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形.C. 对角线互相垂直的矩形是菱形.D. 菱形的对角线相等.8、菱形是轴对称图形, 对称轴有（）.A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为______.10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________.11、一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.GA12、已知:如图, 在菱形ABCD中, E、F分别是BC、CD上的点, 且CE=CF.过点C作CG∥EA交AF于H, 交AD于G, 若∠BAE=25°, ∠BCD=130°, 求∠AHC的度数.13、如图所示, 已知菱形ABCD中E在BC上, 且AB=AE, ∠BAE=21∠EAD, AE 交BD于M, 试说明BE=AM.14、如图, 在△ABC中, AB=BC, D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点, （1）求证四边形BDEF是菱形.（2）若AB=12cm, 求菱形BDEF的周长？15、已知:如图, △ABC中, ∠BAC的平分线交BC于点D, E是AB上一点, 且AE=AC, EF∥BC交AD于点F, 求证:四边形CDEF是菱形.16. 如图, 平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O, 求证:四边形AFCE是菱形.17、已知:如图, C是线段BD上一点, △ABC和△ECD都是等边三角形, R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点, 求证:四边形RFGH是菱形.18、如图, 已知在△ABC中, AB=AC, ∠B, ∠C的平分线BD、CE相交于点M, DF∥CE, EG∥BD, DF与EG交于N, 求证:四边形MDNE是菱形.19.已知:如图, 四边形ABCD是菱形, E是BD延长线上一点, F是DB延长线上一点, 且DE=BF．请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成RHGFEDCBA一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接AF ；（2）猜想: AF = AE ；（3）证明:（说明:写出证明过程的重要依据）分析:观察图形应该是连接AF, 可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．20．如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A、B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？21、如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD、BF⊥CD, 垂足分别为E、F．（1）求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．22.如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解, 需要熟练掌握．23、如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证:DE=BE点评:此题考查了菱形的性质, 直角三角形的性质等知识．此题难度不大, 注意数形结合思想的应用．24、在矩形ABCD中, O是对角线AC的中点, EF是线段AC的中垂线, 交AD、BC于E、F.求证:四边形AECF是菱形25、四边形ABCD是矩形, 四边形AECF是菱形, 若AB=2cm, BC=4cm, 求四边形AECF 的面积.§1.2 矩形的性质与判定(第一课时)一、教学目标1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．二、教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 三、概念:1．矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）.2．矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质. （1）角:四个角都是直角. （2）对角线:互相平分且相等. 3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形. （2）对角线相等的平行四边形. （3）有三个角是直角的四边形.4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形, 对称轴有2条, 是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线.5.矩形的周长和面积:矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽）★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等.（2）矩形是轴对称图形, 两组对边的中垂线是它的对称轴.四边形平行四边形矩形菱形为一角90°一组邻边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等四、讲课过程:【经典例题:】例1:已知:O是矩形ABCD对角线的交点, E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点, AE=BF=CG=DH, 求证:四边形EFGH为矩形.分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明例2:判断（1）两条对角线相等四边形是矩形（）（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）（3）有一个角是直角的四边形是矩形（）（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（）分析及解答:（1）如图四边形ABCD中, AC=BD, 但ABCD不为矩形, ∴×（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形, ∴对角线相等的平行四边形为矩形∴√（3）如图,四边形ABCD中, ∠B=90°, 但ABCD不为矩形∴×（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等∴×,如图,【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形, 下列条件正确的是（）A．对角线相等 B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等.2．矩形的两边长分别为10cm和15cm, 其中一个内角平分线分长边为两部分, 这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm 和8cm3.在下列图形性质中, 矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点, AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12, 则斜边上的中线等于 .7.矩形的两条对角线的夹角是60°, 一条对角线与矩形短边的和为15, 那么矩形对角线的长为 , 短边长为 .8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝, 则其对角线为 ㎝, 矩形面积为 cm 2.9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°, 则两条对角线相交所成的锐角是 .10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°, 矩形的短边长为5 cm, 则对角线之长为 cm.11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点, ∠AOB=2∠BOC, 若对角线AC 的长为18 cm, 则AD= cm.12、已知:如图所示, 矩形ABCD 中, E 是BC 上的一点, 且AE=BC,︒=∠15EDC ．求证:AD=2AB ．教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第二课时)教学目标知识与技能:通过探索与交流, 逐渐得出矩形的判定定理, 使学生亲身经历知识的发生过程, 并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题, 尝试从不同角度寻求解决问题的方法.过程与方法: 通过动手实践、合作探索、小组交流, 培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力.情感态度与价值观:在良好的师生关系下, 创设轻松的学习氛围, 使学生在数学活动中获得成功的体验, 增强自信心, 在合作学习中增强集体责任感. 教学重点与难点重点:探索矩形判定定理的过程及应用 难点:矩形判定定理的应用ABECD教学过程环节一:创设情境、导入新课通过上节课对矩形的学习, 谁能回答以下问题1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形, （2）再看它有无直角.2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾, 引出判定矩形除了定义外, 还有哪些方法, 导入新课.）环节二:尝试发现, 探索新知活动一:1、先请同学仅用手中量角器量一下图形(甲)(乙)中的四边形的角（有几个直角）.甲乙2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形, 并说明理由.（此问题的解决以动手实践, 合作交流的形式进行, 学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义, 得出矩形的判定定理一.教师以合作者的身份深入学生中, 了解学生的探究进程并适当给予点拨.）最后教师进行适当板书进行推证、讲解.在此过程中, 全体同学可互相补充、互相评价, 培养学生的语言表达能力、推理能力.活动二:教师提问:矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下, 让学生下例步骤进行探索.1、画任意两条长度相等的相交线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？3、画两条长度相等并且互相平分的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形, 并说明理由.最后通过教师演示动画, 师生进行适当交流、归纳、讲解, 得出矩形的判定定理二.（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行, 通过此种互动过程, 让全体学生参与其中, 获得不同程度的收获, 体验成功的喜悦）活动三:矩形的判定定理二的证明.已知:在平行四边形ABCD中, AC＝BD,求证:平行四边形ABCD是矩形.对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流.(1)条件与结论各是什么？(引出条件与结论的关系)(2)使一个平行四边形是矩形, 已学过什么方法？(引出矩形的定义证明)(3)要证明一个角是直角, 根据平行四边形相邻两个角互补, 只需证明什么？(引出证明两个三角形全等)(4)如何选择要证明两个三角形全等, 它们的条件是否满足？最后由学生说出整个证明的过程, 教师进行适当的点评与板书.当判定定理一、定理二得出后, 让学生总结矩形的三种判定方法(定义, 定理一与定理二), 并对题设进行比较、区分, 使学生进一步明确定理应用的条件.环节三:应用辨析, 巩固定理为了帮助学生巩固定理, 应用如下:应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形, 你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？(这一题是由引入判定定理二改编而成的, 主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题.)应用二、例题讲解一张四边形纸板ABCD形状如图, 它的对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形, 并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上, 可怎么剪？对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验, 使学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线, 然然后运用中位线定理, 这样就解决了这个问题.应用三、练习一、判断题:1、内角都相等的四边形是矩形.2、对角线相等的四边形是矩形.3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形.4、一组邻角相等的平行四边形是矩形.5、对角互补的平行四边形是矩形.练习二:如图AC, BD是矩形ABCD的两条结角线,AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形.教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第三课时)教学目标1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.教学重点、难点重点:本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用．难点:定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教DOCB AH EGFC OBA D多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点． 教学过程】 一. 复习旧知:1. 矩形的定义.2. 矩形的两个性质定理.3. 矩形的两个判定定理.4. 师生一起回答:有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.5. 师生共同回忆:”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 二. 新课讲授:1. 下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.启发引导如下:1.帮助学生根据题意,画出图形. 2. 根据图形,写出已知和求证.(上游生回答).3. 回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题. (上游生回答).4. 如何在图中画出2倍的CD. (中游生回答).5. 延长CD 到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等. (中游生回答).6. 现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法. (上游生回答). 已知:如图,在RT ⊿ABC 中,∠ACB=RT ∠,CD 是斜边AB 上的中线,求证:CD=21AB 证明:延长CD 到E,使DE=CD,连接AE,BE.CD 是斜边AB 上的中线.∴ AD=DB又 CD=DE∴四边形AEBC 是平行四边形.∠ACB=RT ∠, ∴四边形AEBC 是矩形(矩形的定义). ∴CE=AB(矩形的对角线相等), ∴ CD=21AB 三 .巩固练习1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）.A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分 2.如图, 在矩形ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5, AC=13, 则矩形ABCD 的面积__.B D E A ABCDEMFPH DCBA 3．已知, 矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直, 且该矩形的周长为24 cm, 则矩形的面积为 cm 2.4．如图所示, 在矩形ABCD 中, AB=2BC, 在CD 上取一点E, 使AE=AB, 则∠EBC= .5．如图, 已知△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点, DE ⊥AB, DF ⊥AC, BM 为高, 求证:DE+DF=BM.6.如图, ABCD 是矩形纸片, 翻折∠B 、∠D , 使BC 、AD 恰好落在AC 上.设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点, E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点.（1）求证:四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm , BC ＝3cm , 求线段EF 的长.7、已知:如图, 在△ABC 中, AB=AC, AD ⊥BC, 垂足为点D, AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线, CE ⊥AN, 垂足为点E, 求证:四边形ADCE 为矩形.8、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.9、如图, 矩形ABCD 中, E 为AD 上一点, EF ⊥CE 交AB 于F, 若DE=2, 矩形ABCD 的周长为16, 且CE=EF, 求AE 的长．10、已知:如图, 平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E, F, G, H, 求证:四边形EFGH 是矩形.11、已知:如图, 四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的, M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证:四边形BMDN 是矩形．BAC D N M12、如图, 已知在四边形ABCD中, AC DB交于O, E、F、G、H分别是四边的中点,求证:四边形EFGH是矩形．四.小结:1.通过这节课的学习,你有什么收获?(请各个层次的同学回答).2.还有什么困惑需要我们共同解决?教学反思:§1.3 正方形的性质与判定教学目标1、掌握正方形的概念2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程, 了解正方形与矩形、菱形的关系3、掌握正方形的性质4、掌握正方形的判定5、进一步加深对特殊与一般的认识教学重点、难点重点:正方形的性质与判定．难点:正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．教学过程一、情景引入出示一块方巾, 它是什么几何图形？(正方形)中国人对正方形有特殊的感情, 如“坦荡方正”, “天圆地方”等词语, 还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示）, 今天我们就来研究正方形二、探索新知这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？与一般的平行四边形相比, 它有何特殊性？与一般的矩形相比, 它有何特殊性？与一般的菱形相比, 它又有何特殊性？三、梳理新知结合学生的发现, 师生共同归纳出以下几点:有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形既是特殊的矩形, 又是特殊的菱形, 故正方形具有矩形、菱形的性质性质:四个角都是直角, 四条边相等对角线相等, 并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角判定:一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形四、巩固新知1、例题例1:如图:△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.HGOFEDCBA解∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）∴∠ DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）,又∵ DE=DF（已证）∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．例2:已知:如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点, 并且AA'=BB'=CC'=DD'求证:四边形A'B'C'D'是正方形分析:法一:①先证明四边形A′B′C′D′是菱形②再证明四边形A′B′C′D′有一个角是直角法二:①先证明四边形A′B′C′D′是矩形②再证明四边形A′B′C′D′有一组邻边相等.证明:∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`AD`=AB`=BC`=CD`∴四边形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`, ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90 °∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四边形A`B`C`D`是正方形例3:如图:EG 、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH,求证四边形EFGH 为正方形解答: ∵正方形ABCD EG⊥FH∴∠OAH＝∠OBE＝45º, DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE,∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE.同理OE＝OF＝OG ＝ OH,∴四边形EFGH是平行四边形∴ FH=EG∵EG⊥FH ∴四边形EFGH为正方形.2、巩固练习１、如图, 分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO, 使AO=OC, BO=OD求证:四边形ABCD是正方形。
2017-2018学年九年级数学上册教案(打包24份) 北师大版1(免费推荐下载)
矩形的性质与判定第课时矩形的性质．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系．．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点)．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点)阅读教材～，完成下列问题：(一)知识探究．有的平行四边形叫做矩形．．生活中你见到过的矩形有、.．矩形是的平行四边形，具有平行四边形的性质．．矩形的都是直角．．矩形的对角线．．直角三角形斜边上的中线等于斜边的．(二)自学反馈．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：()矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )()平行四边形是矩形．( )()平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( )．已知△是直角三角形，∠＝°，是斜边上的中线．若＝，则＝.活动小组讨论例如图，在矩形中，两条对角线相交于点，∠＝°，＝，求矩形对角线的长．证明：∵四边形是矩形，∴＝(矩形的对角线相等)，＝＝，＝＝.∴＝.∵∠＝°，∴∠＝∠＝×(°－°)＝°.又∵∠＝°(矩形的四个角都是直角)，∴＝＝×＝.利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．活动跟踪训练．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )．对边相互平行．对角线相等．对角线相互平分．对角相等．如果矩形的两条对角线所成的钝角是°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( ) ．∶．∶．∶．∶．如图，在矩形中，＜，，相交于点，则图中等腰三角形的个数是( )．．．．．如图，在△中，∠＝°，、为、的中点．则下列结论中错误的是( )．＝．∠＝∠．∠＝°．＝．在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，则斜边上的中线长为．．矩形的一条对角线长，且两条对角线的一个夹角为°，则矩形的宽为.．如图，在矩形中，点是上一点，＝，⊥，垂足为.求证：＝.活动课堂小结．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【预习导学】(一)知识探究．一个角是直角.五星红旗毛巾.特殊一切.四个角.相等.一半(二)自学反馈．是轴对称图形，有两条对称轴．.()√()×()√【合作探究】活动跟踪训练．．证明：连接.∵＝，∴∠＝∠.∵四边形是矩形，∴∥，∠＝°.∴∠＝∠.∴∠＝∠.又∵⊥，∴∠＝∠＝°.∵＝，∴△≌△.∴＝.第课时矩形的判定能运用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．(重难点)阅读教材～，完成下列问题：(一)知识探究．对角线的平行四边形是矩形．．有三个角是的四边形是矩形．(二)自学反馈．能够判断一个四边形是矩形的条件是( )．对角线相等．对角线垂直．对角线互相平分且相等．对角线垂直且相等．矩形的一组邻边分别长和，则它的对角线长.．如图，直线∥，交、于、两点，、、、分别是∠、∠、∠、∠的平分线．()判断和、和的位置关系？()∠、∠、∠、∠各等于多少度？()四边形是( )．菱形．平行四边形．矩形．不能确定()和有怎样的大小关系？为什么？活动小组讨论例如图，在▱中，对角线和相交于点，△是等边三角形，＝.求▱的面积．解：∵四边形是平行四边形，∴＝，＝.∵△是等边三角形，∴＝＝＝，∠＝°.∴＝＝＝＝.∴＝＝＝.∴四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．∴∠＝°(矩形的四个角都是直角)．∴由勾股定理得：＝＝.∴▱的面积是×＝×＝.先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求．活动跟踪训练．下列说法错误的是( )．有一个内角是直角的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等．对角线相等的平行四边形是矩形．有两个角是直角的四边形是矩形．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) ．＝．＝．＝．＝．如图，在四边形中，已知∥，＝.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是．(填上你认为正确的一个答案即可)．如图，直角∠内的任意一点到这个角的两边的距离之和为，则图中四边形的周长为．．如图，在▱中，⊥，⊥，垂足分别为，.求证：()△≌△；()四边形为矩形．活动课堂小结矩形的判定方法：．有一个角是直角的平行四边形是矩形．．对角线相等的平行四边形是矩形．．有三个角是直角的四边形是矩形．【预习导学】(一)知识探究．相等.直角(二)自学反馈．.()∥，∥.()°.() ()相等．因为矩形的对角线相等．【合作探究】活动跟踪训练．.答案不唯一，如：∠＝°．证明：()∵⊥，⊥，∴∠＝∠＝°.∵四边形为平行四边形，∴＝，∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()．()∵四边形为平行四边形，∴∥.∴∠＋∠＝°.∵∠＝°，∴∠＝°.∴∠＝∠＝∠＝°.∴四边形为矩形．第课时矩形的性质与判定的运用能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．(重难点)阅读教材～，完成下列问题：自学反馈．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知∠＝°，＝，则∠＝，＝，矩形＝.．如图，四边形是平行四边形，添加一个条件，可使它成为矩形．活动小组讨论例如图，在矩形中，＝，对角线与交于点，⊥，垂足为，＝.求的长．解：∵四边形是矩形，∴＝＝＝(矩形的对角线相等且互相平分)，∠＝°(矩形的四个角都是直角)．∵＝，∴＝.又∵⊥，∴＝.∴＝＝，即△是等边三角形．∴∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.在△中，∵∠＝°，∴＝＝×＝.例如图，在△中，＝，为∠的平分线，为△外角∠的平分线，⊥，垂足为.求证：四边形是矩形．证明：∵平分∠，平分∠，∴∠＝∠，∠＝∠.∴∠＝∠＋∠＝(∠＋∠)＝×°＝°.在△中，∵＝，为∠的平分线，∴⊥.∴∠＝°.又∵⊥，∴∠＝°.∴四边形为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．活动跟踪训练．如图，在矩形中，对角线、交于点，以下说法错误的是( )．∠＝°．＝．＝．＝．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为°，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为( )．．．．．如图，四边形为平行四边形，延长到，使＝，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是( )．＝．⊥．∠＝°．⊥．在矩形中，对角线、相交于点，若∠＝°，＝，则＝.．在四边形中，∥，∠＝°，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是．(写出一种情况即可)．如图，▱中，点是与的交点，过点的直线与、的延长线分别交于点、.()求证：△≌△；()请连接、，则与满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．活动课堂小结．说说你的收获．．说说你的困惑．．说说你的方法．【预习导学】自学反馈．°.答案不唯一，如：＝【合作探究】活动跟踪训练．.答案不唯一，如：＝.．()证明：∵四边形是平行四边形，∴＝，∥.∴∠＝∠.又∠＝∠.∴△≌△.()连接、，则与满足＝时，四边形是矩形，理由：由()可知△≌△，∴＝.∵＝，∴四边形是平行四边形．∵＝，∴四边形是矩形.。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版56(免费推荐下载)
利用相似三角形测高.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为，旗杆在地面上的影长为，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用表示人的身高，表示人的影长，表示旗杆的高度，表示旗杆的影长.由题意知＝，＝，＝. ∵太阳光∥， ∴∠＝∠. 又∵∠＝∠＝°，∴△∽△. ∴＝，即＝. 解得＝（）. 故旗杆的高度是.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】 影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，的竹竿垂直地面放置，影子长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子高为，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长，与地面交于点，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以＝＝.因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝＋＝（）.所以＝，＝（）. 故这棵树的高是.方法二：过点作的垂线，交于点，如图③.由题意可知＝，而＝＝，＝－＝（－），＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是.方法三：过点作的平行线交于点，如图④.由题意可知＝，而＝－＝（－），＝，＝，＝，所以＝，解得＝（）. 故这棵树的高是. 方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树的高度，他在距树处立了一根高为的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点作∥交于，交于，则可得△∽△.解：过点作∥交于，交于，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠＝∠＝∠＝°， 所以∥∥，所以∠＝∠. 因为∠＝∠，所以△∽△，所以＝. 因为＝，＝，＝，＝， 所以＝，所以＝（）， 所以＝＋＝（）. 故树的高度为. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树底部的处放下镜子；②该同学站在距离镜子的处，目高为；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠＝∠， ∠＝∠＝°， ∴△∽△. ∴＝，即＝， 解得＝（）.因此，树高约为. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.。
北师大版数学九年级上册全部教案
北师大版数学九年级上册全部教案1. 你能证明它们吗（一）本章总体设计介绍本章是八年级下册第六章《证明（一）》的继续，教科书首先给出四条公理，这四条公理与《证明（一）》中给出的两条公理一起作为这一章继续对命题进行证明的逻辑基础。
在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。
本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
1. 你能证明它们吗（一）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章《证明（一）》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2017秋九年级数学上册全一册教案(82份) 北师大版20(免费推荐下载)
．用公式法求解一元二次方程第课时用公式法求解一元二次方程．理解一元二次方程求根公式的推导过程；．会用公式法解一元二次方程；(重点)．会用根的判别式－判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式＋＋＝(≠)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知＋＋＝(≠)，且－≥，试推导它的两个根＝，＝.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程－＝化为一般形式是，其中＝，＝，＝，方程的根为．解析：将方程移项可化为－－＝.其中＝，＝－，＝－，因为－＝(－)－××(－)＝＞，代入求根公式可得＝.故答案分别为－－＝，，－，－，.方法总结：一元二次方程＋＋＝(≠)的根是由方程的系数，，确定的，只要确定了系数，，的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：()－－＋＝; ()＋＋＝；()－＋＝.解析：先确定，，及－的值，再代入公式求解即可．解：()－－＋＝，＋－＝.∵＝，＝，＝－，∴－＝－××(－)＝＞，∴＝＝，∴＝，＝－；()∵＝，＝，＝，∴－＝－××＝－＝－＜，∴原方程没有实数根；()∵＝，＝－，＝，∴－＝(－)－××＝，∴＝＝，∴＝＝.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中，，的值，再求出－的值与“”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点二：一元二次方程根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程＋＝，下列判断正确的是( )．该方程有两个相等的实数根．该方程有两个不相等的实数根．该方程无实数根．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为＋－＝.∵－＝－××(－)＝＞，∴该方程有两个不相等的实数根，故选.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式＋＋＝(≠)．当－＞时，方程有两个不相等的实数根；当－＝时，方程有两个相等的实数根；当－＜时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于的一元二次方程－－＝，有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )．>－．>－且≠．< ．<且≠解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则－>，同时要求二次项系数不为，即解得>－且≠，故选.易错提醒：利用－判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于这一条件，本题中容易误选.【类型三】根的判别式与三角形的综合应用已知，，分别是△的三边长，当>时，关于的一元二次方程(＋)＋(－)－＝有两个相等的实数根，请判断△的形状．解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定，，之间的关系，即可判定△的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(＋)－＋(－)＝.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－ )－(＋)(－)＝，即(＋－)＝.又∵≠，∴＋－＝，即＋＝.根据勾股定理的逆定理可知△为直角三角形．方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.。
北师大版数学九年级上册全册教案
四、讲课过程：
1、例题、
例1.（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
6、以“两头”带“中间”的战略。
7、注重教学中的自主学习、合作学习、探索学习等学习方法的引导。
8、 开展课内、课外活动，激发学生的学习兴趣。
五、课程安排
进度安排
教学内容
课时
1.1菱形的性质与判定
3课时
1.2矩形的性质与判定
3课时
1.3正方形的性质与判定
2课时
第一章回顾与思考
3课时
2.1认识一元二次方程
3、过程与方法：
经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象、会用归纳、演绎、类比进行简单的推理，围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，适时地进行分层教学，面向全体学生、培养学生、发展全体学生。
北师大版数学九年级上册教学计划
教师_______日期_______
八年级数学期末考试成绩一般，两极分化严重，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，，对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育。在面临毕业、中考的条件下，为了尽可能地提高学生的数学成绩，我们制定了一下计划，以配合学校的安排。
一、教学目标：
北师大版初三数学上册教案全册教案
北师大版九年级数学上全册精品教案第一章证明（二） （课时安排）1．你能证明它们吗？ 3课时2．直角三角形 2课时3．线段的垂直平分线 2课时4．角平分线 1课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于 60 延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理 :1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS ）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°B CF E（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
九年级数学上册全一册教学案(打包34套)北师大版
九年级数学上册全一册教学案（打包34套）北师大版.doc菱形的性质与判定（一）学习目标：1.通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质；2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征.学习过程：一、自主学习：自学课本例题以上的内容，完成下列问题：1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？？菱形平行四边形的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 .2.按探究步骤剪下一个四边形.①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？有对称轴.图中相等的线段有：图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明.性质：证明：二、课堂检测：1.菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于，面积等于。
2.菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 .3.已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。
4.已知：菱形的周长是52 cm，一条对角线长是24 cm，则它的面积是。
5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个6.在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积.7.已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质与判定（二）学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算. 学习过程： 一、自主学习： 阅读教材，完成以下问题 课前预习菱形的定义和性质1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD 是菱形. 证明：我发现, 的四边形是菱形.2.如下图,在□ABCD 中,若AC ⊥BD,则□ABCD 是什么图形? 证明：我发现, 的平行四边形四边形是菱形. 菱形的判定方法:1. 的四边形是菱形符号语言ABCDOA CDoBCD2. 的平行四边形是菱形符号语言 二、课堂检测：1.下列判别错误的是( )A.对角线互相垂直,平分的四边形是菱形. B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. D.邻边相等的平行四边形是菱形. 2.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ） A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分3.如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD,且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形.4.如图，四边形ABCD 是菱形，点M,N 分别在AB,AD 上，且BM=DN,MG ∥AD,NF ∥AB,点F,G 分别在BC,CD 上，MG 与NF 相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG 都是菱形.OBAEDEC BADMGNF矩形的性质与判定（一）学习目标：1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算.2. 在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力.学习过程：一、自主学习：矩形的定义： .由此可见，矩形是特殊的，它具有的所有性质.探究矩形的性质：交流讨论：如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？为什么？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、课堂检测：1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角 ，对角线 .2.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若100AOB ∠=，则OAB ∠= .3.已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是__________.4.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB= 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条5.下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 6.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长.7.将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形.若∠CED ′=56°,则∠AED 的大小是_______.矩形的性质与判定（二）学习目标：1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达.2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.学习过程：一、自主学习：旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边角对角线2、矩形对称性：合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑.）你能证明所写出的判定命题吗？四、课堂检测：1．下列说法正确的是（ ）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形 2. 矩形各角平分线围成的四边形是（ ）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 3. 下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形 （ ） （2）四个角都是直角的四边形是矩形 （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形 （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形 （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 （ ） （6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形 （ ）4. 在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 5．已知：如图，在ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直角．•求证：•四边形ABCD 是矩形．1.3.1正方形的性质【教学目标】 知识与技能1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．2、掌握正方形的有关性质和判定方法．3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题． 过程与方法1、通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展学生的合情推理能力，进一步提高学BACEDO生逻辑思维能力．2、通过四边形从属关系的教学，渗透集合思想．情感、态度与价值观1、经历探索正方形有关性质和四边形成为正方形的条件过程，培养学生动手操作的能力、主动探究的习惯和合作交流的意识．2、通过理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点【教学重难点】教学重点：正方形的定义和性质教学难点：四边形成为正方形的条件【导学过程】【创设情景，引入新课】我们已学习了矩形、菱形，它们都是特殊的平行四边形．让学生根据所准备的模型分别叙述矩形、菱形的定义及其性质．【自主探究】平行四边形，矩形，菱形的内在联系．根据小学学过的正方形的知识，你能说出正方形的意义吗？四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．【课堂探究】正方形与矩形、菱形、平行四边形间的关系如图．正方形的性质[交流]根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形、又是特殊的菱形，更是的特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？[点拨]从边、角、对角线等方面考虑．边：对边平行、四条边都相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角[归纳]性质1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．性质2：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．[问题]正方形是中心对称图形吗？如是，对称中心在哪里？正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？对称性：正方形是中心对称图形；同时还是轴对称图形，它有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线．），对称轴通过对称中心．如图正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．【当堂训练】如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．（4）AB: AO: AC=________．1、正方形具有而菱形没有的性质是（）A、对角线互相平分B、每条对角线平分一组对角C、对角线相等D、对边相等3、正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）A、 1条B、 2条C、 4条D、无数条4、如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝（）A、10°B、15°C、20°D、12.5°5、如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（）A、45°B、60°C、70°D、75°6、正方形的对称轴有条，它的对称中心是 .7、正方形的边长为4cm，则周长为，面积为 .8、正方形的对角线与一边的夹角为 .9、一个正方形的对角线长3cm，则它的面积为 .10、若正方形的面积为42cm，则它的边长为，对角线长为 .11、如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝ .12、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可作个.1.3.2正方形的判定【教学目标】知识与技能1．能进一步理解掌握正方形的判定定理．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．过程与方法1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．情感、态度与价值观1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．2．体会数学与生活的联系．【教学重难点】教学重点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．教学难点特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．ABC DEEBDA【导学过程】【创设情景，引入新课】回顾正方形有哪些性质【自主探究】：自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．Ⅱ．解决问题：下面大家来猜一猜，想一想依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
2017-2018学年北师大版九年级数学上册教案1.3正方形的性质与判定
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正方形性质的推导：学生需要通过观察、推理、证明等过程理解正方形性质，这是难点之一。
-正方形判定方法的灵活应用：学生在判定四边形是否为正方形时，难点在于如何根据不同条件选择合适的判定方法。
-逻辑推理能力的培养：在证明正方形性质的过程中，学生需要运用逻辑推理，这对于部分学生来说可能存在困难。
举例解释：
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如如何判断一个四边形是否为正方形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的边长和角度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是一种四边相等、四角相等的四边形。它是特殊的矩形和菱形，具有丰富的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析正方形在生活中的应用，如桌面、窗户等，了解正方形的性质如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线性质的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2017-2018学年北师大版九年级数学上册教案4.4探索三角形相似的条件
3.提升学生问题解决能力：让学生在实际问题中运用相似三角形的判定定理，培养其分析问题、解决问题的能力。
4.培养学生数学建模能力：通过将现实问题抽象为数学模型，让学生学会运用相似三角形知识解决实际问题，提高数学建模能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对相似三角形的判定方法掌握程度不一。在讲解过程中，我尽量通过生动的案例和详细的解释来帮助学生理解。但针对部分学生仍然存在的困惑，我考虑在后续的教学中增加一些针对性的练习，以巩固他们对判定方法的理解。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深对相似三角形的认识。但在指导学生讨论时，我发现自己在引导启发方面还有待提高。今后，我将更加关注学生的思考过程，适时提出更具启发性的问题，激发他们的思维。
2.教学难点
-对应角与对应边的理解：学生需要区分对应角和对应边，理解它们在相似三角形判定中的作用。
-判定方法的灵活运用：学生在面对具体问题时，可能难以判断应该使用哪种相似判定方法。
-证明过程的逻辑性：学生在证明相似三角形的过程中，可能会出现逻辑跳跃或不严密的情况。
举例：
-难点1：在讲解对应角与对应边时，可以设计一些练习题，让学生画出相似三角形，并标出对应角和对应边，加深理解。
九年级数学上册全册教案(北师大版)
九年级数学上册全册教案（北师大版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第一章证明（二）（课时安排）．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线课时.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF求证：△ABc≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠c=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠c=180°-∠F=180°-又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠c=∠F又∵Bc=EF（已知）∴△ABc≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
[初中数学]九年级上册数学教案(21份) 北师大版14
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4．7相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质【知识与技能】1．经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质．2．利用相似三角形的性质解决一些实际问题．【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度．【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．【教学重点】掌握相似三角形中对应线段比值与相似比的关系，理解相似三角形的性质．【教学难点】利用相似三角形的性质解决一些实际问题．一、创设情境，导入新课在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．二、合作交流，探究新知内容：探究活动一：(投影片)在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．(1)试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系．(2)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．(3)如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？生：解：(1)ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝12.∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′.(2)△ACD∽△A′C′D′.∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′， ∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′＝90°. ∵∠A ＝∠A ′，∴△ACD ∽△A ′C ′D ′(两个角分别相等的两个三角形相似)． ∴AC A ′C ′＝AD A ′D ′＝CD C ′D ′＝12. (3)∵CD C ′D ′＝12，CD ＝1.5 cm ， ∴C ′D ′＝3 cm.(4)相似三角形对应高的比等于相似比．【教学说明】通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究．使学生明确相似比与对应高的比的关系．探究活动二：(投影片) 如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A ′D ′平分∠B ′A ′C ′；E 、E ′分别为BC 、B ′C ′的中点．试探究AD 与 A ′D ′的比值关系，AE 与A ′E ′呢？要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论． 生1：解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∠B ＝∠B ′，ABA ′B ′＝k .∵AD 平分∠BAC ，A ′D ′平分∠B ′A ′C ′， ∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.∴△BAD ∽△B ′A ′D ′(两个角分别相等的两个三角形相似)． ∴AB A ′B ′＝BD B ′D ′＝ADA ′D ′＝k . 生2：解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴∠B ＝∠B ′，AB A ′B ′＝BCB ′C ′＝k . ∵E 、E ′分别为BC 、B ′C ′的中点，∴BE ＝12BC ，B ′E ′＝12B ′C ′.∴BE B ′E ′＝BC B ′C ′.∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝k ，∴AB A ′B ′＝BE B ′E ′＝k . ∵∠B ＝∠B ′，∴△BAE ∽△B ′A ′E ′(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)． ∴AB A ′B ′＝BE B ′E ′＝AEA ′E ′＝k . 小结：由此可知相似三角形还有以下性质．相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比．【教学说明】通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力与归纳总结能力．探究活动三：(投影片)如图，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .(1)若∠BAD ＝13∠BAC ，∠B ′A ′D ′＝13∠B ′A ′C ′，则ADA ′D ′等于多少？(2)若BE ＝13BC ，B ′E ′＝13B ′C ′，则AEA ′E ′等于多少？(3)你能得到哪些结论？生1：(1)解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，∠B ＝∠B ′，ABA ′B ′＝k . ∵∠BAD ＝13∠BAC ，∠B ′A ′D ′＝13∠B ′A ′C ′，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.∴△BAD ∽△B ′A ′D ′(两个角分别相等的两个三角形相似)． ∴AB A ′B ′＝BD B ′D ′＝ADA ′D ′＝k . 生2：(2)解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′. ∴ ∠B ＝∠B ′，AB A ′B ′＝BCB ′C ′＝k . ∵BE ＝13BC ，B ′E ′＝13B ′C ′，∴BE B ′E ′＝BC B ′C ′.∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝k ，∴AB A ′B ′＝BE B ′E ′＝k ， ∵∠B ＝∠B ′，∴△BAE ∽△B ′A ′E ′(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)． ∴AB A ′B ′＝BE B ′E ′＝AEA ′E ′＝k . 生3：(3)相似三角形对应角的n 等分线的比和对应边的n 等分线的比等于相似比． 【教学说明】有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质．三、运用新知，深化理解1．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO等于DA.2 53 B.13C.23D.12分析：由题意可知△DAO ∽△DEA ，∴AO DO ＝AE AD ＝12.所以选D. 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且AC A ′C ′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长为__6__．3．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，且AD ＝8 cm, A ′D ′＝3 cm.则△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比为__83__．4．如图，AD 是△ABC 的高，点P 、Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，BC ＝60 cm ，AD ＝40 cm ，四边形PQRS 是正方形．(1)△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS 的边长． 解：(1)△ASR ∽△ABC .理由是： ∵四边形PQRS 是正方形， ∴SR ∥BC .∴∠ASR ＝∠B ，∠ARS ＝∠C .∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似)． (2)由(1)可知△ASR ∽△ABC .∴AE AD ＝SR BC(相似三角形对应高的比等于相似比)． 设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE ＝(40－x ) cm. ∴40－x 40＝x60，解得x ＝24. ∴正方形PQRS 的边长为24 cm. 四、课堂练习，巩固提高请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分． 五、反思小结，梳理新知本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比．六、布置作业1．教材习题4.11第1、2题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．第2课时 相似三角形的性质及应用【知识与技能】1．相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系． 2．相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用．3．利用相似多边形的性质解决实际问题，训练学生的运用能力． 【过程与方法】 对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度．【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．【教学重点】理解并初步掌握相识三角形的周长比、面积比与相似比的关系． 【教学难点】会运用相似三角形的性质解决简单实际问题．一、创设情境，导入新课内容：让学生们拿出事先准备好的青岛市地图，根据老师给出的问题进行分组讨论： 1．地图的比例尺是多少？2．根据地图所给的数据，你能否计算出火车站离你家大致有多远？ 3．你能否估算出青岛市儿童公园的面积？【教学说明】在前面我们学习了相似多边形的性质，知道了相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应中线、对应角平分线、对于高的比等于相似比．显然要解决上面的几个问题，我们将继续研究相似多边形的其他性质．二、合作交流，探究新知问题1：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′＝2. ∴△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长＝AB ＋BC ＋ACA ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝2A ′B ′＋2B ′C ′＋2A ′C ′A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝2（A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′）A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝2.∵S △ABC ＝12AB ·CD ，S △ABC ＝12AB ′·C ′D ′.∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝12AB ·CD 12A ′B ′·C ′D ′＝AB A ′B ′·CDC ′D ′＝22＝4.【教学说明】使学生建立从特殊到一般的思想．问题2：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？教师引导小结：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 进一步提出问题：相似多边形是否也具有类似的性质呢？ 议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比与面积比怎样呢？两个相似的n 边形呢？无论是三角形、四边形，还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．三、运用新知，深化理解出示课本P110例题2，讲解分析． 【教学说明】本环节是在掌握相似多边形性质之后的提高，运用平移的知识得到图中相似的三角形，并运用本节学习的相似三角形的面积比等于相似比的平方的新知，再把面积比转化为对应边比的平方，考察了学生综合运用知识的能力．练习：判断正误：1．(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；√(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍．×2．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12倍，那么边长应缩小到原来的22倍． 分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22，所以边长应缩小到原来的22倍． 3. 已知△ABC 的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的面积S .解：设△ABC 的三边依次为：BC ＝5，AC ＝12，AB ＝13，则∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴∠C ＝90°.又∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠C ′＝∠C ＝90°.BC B ′C ′＝AC A ′C ′＝AB A ′B ′＝1326＝12，∴B ′C ′＝10，A ′C ′＝24.∴S ＝12A ′C ′×B ′C ′＝12×24×10＝120.【教学说明】要求学生能用相似多边形的对应周长和对应面积比的性质来解决生活中的实际问题．四、课堂练习，巩固提高请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分． 五、反思小结，梳理新知师生共同回忆、交流相似多边形的性质：对应线段(高、中线、角平分线)的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方．六、布置作业1．教材习题4.12第1～3题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．。
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探索三角形相似的条件
第课时两角分别相等的判定方法
．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
．掌握两角分别相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)
阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：
(一)知识探究
．三角分别、三边的两个三角形叫做相似三角形．
．两角分别的两个三角形相似．
(二)自学反馈
下列是两位同学运用相似三角形的定义判定下图中两个三角形是否相似的过程，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．
甲同学：虽然这两个三角形的三个内角分别相等，但是它们的边的比不相等，≠≠，所以他们不相似．
乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．
这两个三角形相似，理由：∵∠＝∠，∠＝∠，
∠＝∠，又∵＝＝，
∴△∽△.
注意对应关系，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．
活动小组讨论
例如图，，分别是△的边，上的点，∥，＝，＝，＝，求的长．
解：∵∥，
∴∠＝∠，∠＝∠.
∴△∽△(两角分别相等的两个三角形相似)．
∴＝.
∴＝＝＝.
先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义可计算边的长．
活动跟踪训练
．下面能够相似的一组三角形为( )
．两个等腰三角形．两个直角三角形
．两个等边三角形．以上都不对
．如图，∥∥，则图中相似三角形有( )
．对．对
．对．对
．如图，∠＝∠，则一定可得( )
．∶＝∶．∶＝∶
．∶＝∶．∶＝∶
．如图，∠＝∠＝°，＝，＝，＝，则＝.
．如图，锐角三角形的边，上的高线，相交于点，请写出图中的两对相似三角形(用相似符号连接)．
．如图，已知∠＝∠，那么△与△相似吗？·＝·成立吗？为什么？
活动课堂小结
．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．
【预习导学】
(一)知识探究
．相等成比例.相等
【合作探究】
活动跟踪训练
．.△∽△，△∽△
．相似．成立．∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∴＝.∴·＝·.
第课时两边成比例且夹角相等的判定方法
．掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
．会运用本课的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．(难点)
阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：
(一)知识探究
两边且相等的两个三角形相似．
(二)自学反馈
根据下列条件，判断△和△′′′是否相似，并说明理由．
如图，已知∠＝°，＝，＝，∠′＝°，′′＝，′′＝.
活动小组讨论
例如图，，分别是△的边，上的点，＝，＝，＝，且＝，求的长．
解：∵＝，＝，
∴＝.
∵＝，
∴＝.
又∵∠＝∠，
∴△∽△(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
∴＝＝.
∵＝，
∴＝＝×＝.
判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下，夹这个角的两边的比相等有两种情形，不要只考虑其中一种情形，而忽视了另一种．
易错提示：.只有两边成比例的两个三角形不一定相似，如：两个等腰三角形就未必相似；．两边成比例，且其中一边所对的角相等，这样的两个三角形不一定相似．
活动跟踪训练
．如图，不等长的两条对角线、相交于点，且将四边形分为甲、乙、丙、丁四个三角形，若∶＝∶＝∶，则下列关于此四个三角形的关系中说法正确的是( )
．甲、丙相似，乙、丁相似．甲、丙相似，乙、丁不相似
．甲、丙不相似，乙、丁相似．甲、丙不相似，乙、丁不相似
．如图，若∶＝∶，则△∽△，∠＝∠.
．如图所示，与相交于点，∶＝∶，＝，＝，＝，则＝.
．在△和△′′′中，若∠＝∠′，＝，＝，′′＝，则当′′＝时，△∽△′′′. ．如图，在钝角△中，＝，＝，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，如果两点同时移动，经过秒时，△与△相似．
活动课堂小结
相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【预习导学】
(一)知识探究
成比例夹角
(二)自学反馈
△和△′′′相似．理由：∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠＝∠′，∴△∽△′′′.
【合作探究】
活动跟踪训练
．或
第课时三边成比例的判定方法
．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．(重点)
．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．(难点)
阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：
(一)知识探究
．三边成比例的两个三角形．
．两角分别的两个三角形相似．
．两边且相等的两个三角形相似．
(二)自学反馈
若△的各边都分别扩大为原来的倍，得到△′′′，则下列结论正确的是( )
．△与△′′′的对应角不相等
．△与△′′′不一定相似
．△与△′′′的相似比为∶
．△与△′′′的相似比为∶
活动小组讨论
例如图，在△和△中，＝＝，∠＝°，求∠的度数．
解：∵＝＝，
∴△∽△(三边成比例的两个三角形相似)．
∴∠＝∠.
∴∠－∠＝∠－∠，
即∠＝∠.
∵∠＝°，
∴∠＝°.
本例是对刚得到的相似三角形的判定定理的一个应用，先由本课所学定理结合已知条件可判断两三角形相似，再通过观察图形，寻找∠和∠的关系．
例如图，△与△′′′相似吗？你有哪些判断方法？
△∽△′′′.
判断方法有：
()三边成比例的两个三角形相似；
()两角分别相等的两个三角形相似；
()两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
()定义法．
以方格纸为背景呈现两个三角形，意在运用不同判定方法进行判断．
活动跟踪训练
．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是( )
．在△和△′′′中，＝，＝，＝，′′＝，′′＝，′′＝，则△和△′′′(填“相似”
或“不相似”)．
．如图所示，要使△∽△，则＝.
．如图，点是△外的一点，分别在射线，，上取一点′，′，′，使得＝＝＝，连接′′，′′，′′，所得△′′′与△是否相似？说明理由．
．已知：如图，∠＝∠＝°，＝，＝，当与，之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
活动课堂小结
．相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似．
．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．
．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．
【预习导学】
(一)知识探究
．相似.相等.成比例夹角
(二)自学反馈
【合作探究】
活动跟踪训练
．.相似
．相似．∵＝＝，∠＝∠′′，∴△∽△′′.∴＝＝.同理可得＝，＝，∴＝＝.∴△′′′∽△. .∵∠＝∠＝°，()当＝时，△∽△，此时＝＝，即＝.∴＝.即当＝时，△∽△；()当＝时，△∽△，此时＝＝，即＝，＝.∴当＝时，△∽△.综上所述，当＝或＝时，这两个三角形相似．
第课时黄金分割
知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
阅读教材～，自学“例”，完成下列内容：
(一)知识探究
一般地，点把线段分成两条线段和(如图)，如果＝，那么称线段被点，点叫做线段的，与的比叫做．其中＝≈.
(二)自学反馈
已知点是线段的黄金分割点(＞)，则∶＝( )
活动小组讨论
例古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中的用虚线表示的矩形画成图中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以惊奇地发现，＝.点是的黄金分割点吗？矩形的宽与长的比是黄金比吗？
解：∵四边形为正方形，
∴＝.
∵四边形为矩形，
∴＝.
∴＝.
∵＝，∴＝.
∴点是的黄金分割点，
＝.∴＝.
∴矩形的宽与长的比是黄金比．
活动跟踪训练
．已知点是线段的黄金分割点(＞)，若＝，则的长为( )
．(－) ．(－)
．(－) ．(－)
．把长为的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( )
．已知点是线段的黄金分割点，若＝，则＝，＝.
．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为，则α＝度．
．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少处．(结果精确到)
．已知线段＝，点是它的黄金分割点，求的长．
活动课堂小结
．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
．一条线段有几个黄金分割点？
．如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？
．如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？
【预习导学】
(一)知识探究
黄金分割黄金分割点黄金比
(二)自学反馈
【合作探究】
活动跟踪训练
． 5.7.6
．分两种情况讨论：当点靠近点时，＝×＝(－)；当点靠近点时，＝×＝(－).。