2015-2016年上海市徐汇区位育中学高二上学期期中数学试卷及答案

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上海位育初级中学数学高二上期中知识点(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：12999]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-8．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．(0分)[ID ：12959]为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+10．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．11212．(0分)[ID ：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．413．(0分)[ID ：12933]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，814．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>15．(0分)[ID ：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13113]如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．19．(0分)[ID ：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 20．(0分)[ID ：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.21．(0分)[ID ：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．22．(0分)[ID：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．23．(0分)[ID：13070]课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．24．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。

位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷

原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14位育中学2015学年第一学期期中考试数学试卷2015-11-6_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b =，3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立．则m 的取值范围是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的（） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x )-4a x +1 (x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值；(2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=1422．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lg n na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14参考答案：一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π- 5．10 6．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n -11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2) 二、选择题 15．C16．D 17．C18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设x t a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]x a a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求．20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B =56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，∴函数f (x )的最小正周期T =2π；(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象，又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=，由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >，亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．14分注：也可直接如下证明○2 由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 1555k k ππππ+--+=->，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >，亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①，取2n =，得221222a a a =+ ②，又②-①，得 2212()a a a a -= ③ 若20a =，由①知10a =；若20a ≠，易知211a a -=，④ 由①④得：11a =，22a =11a =22a =(2) 当10a >时,由(1)知，11a =，22a =当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅，令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=14∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． 10分(3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ，当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 13分所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-． 16分23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((．即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾，因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==，即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立，当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ，当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ．(3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=．x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，原文：/bbs/thread-3659378-1-1.html?tg=141()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，…… 以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k ,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，15分201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时，综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，．18分(2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x a a x a x ba x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。

上海市位育中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题含答案精品

【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是．3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为．4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是．5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为．6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（）A ．B ． 4C ．D ．13、设,mn R∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（）A ． 1⎡-+⎣B ． (),113,⎡-∞++∞⎣C ． 22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣14、直线143x y+=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ．（1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥；（2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．【答案：1 】2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是．【答案：220x y +-= 】3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为．解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22(1)1x y -+=，圆心到直线的距离为11122-=，所以弦长为=】4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是．【答案：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭】 5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为．【答案：221205x y -= 解析：设双曲线2222:1x y C a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又∵C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在渐近线上，∴12ba=⋅，即2a b =．又222c a b =+，∴a b ==C 的方程为221205x y -=．】6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．【答案：2 】7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．【答案：32】 8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．【答案：6解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF MF AF MF ===，又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=．】9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案：[]3,6解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M有公共点，则d r ≤，即2d ≤36a ≤≤．】 10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案：22222a b a b+ 解析：设()cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①，222221sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得22221111a bOPOQ+=+，于是当OP OQ ==OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +．】二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案：B 】12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（）A ．B ． 4C ．D ．【答案：C解析：设抛物线方程为22y px =，焦点F ，则23,22pMF p =+=∴=，∴24y x =，OM ===】13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（） A ．1⎡⎣B ．(),113,⎡-∞++∞⎣C ．22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案：D圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1=，即212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，设m n z+=，即21104z z --≥，解得2z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y +=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案：B解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 15d θθ+-=，当02πθ≤≤时，121)5d ≤，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；当22πθπ<≤时，121)5d ≤，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫-+=+=++=++- ⎪+++⎝⎭∵4z R z +∈，∴2240y y x y-=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=，联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），当0y ≠时，11x z y =⎧⎪=±⎨=⎪⎩，综上所得1234,1,1z z z ===．】16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D，且CD =P 的方程．【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)，所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=．设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．又由直径CD =22(1)40PA a b =∴++= ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．【解：（1）由已知得2,1a b ==，∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标为(．（2）由题意知，1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B的坐标分别为,1,⎛⎛⎝⎭⎝⎭，此时AB当1m =-时，同理可得AB 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++，又由l 于圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB === 由于当1m =±时，AB =所以(][),11,AB m =∈-∞-+∞．因为2AB m m==≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ．（1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥；（2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x m y a M x y N x y=+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．由22x my a y px =+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2211222,2y px y px ==可得()()221221222244y y ap x x a p p -=== ③（1）如图1，当2p a =时，点,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-，此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由①可得212y y p =-．证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥．证法2：∵1112,AM AN y y k k p p =-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p==-=-，即11AM AN ⊥．（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有11111121111231112211(),221,211(),22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =⋅=+=⋅=-=⋅=+ ()222221212122213121212121244()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++，由①、②、③代入上式化简可得22134S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．】四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，所以有 2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=，则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++．要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥，又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥，即m ≥或3m ≤-．因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，222228,3813318m m r r m k ====-++，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线方程y kx m =+都满足3m ≥3m ≤-；而当切线斜率不存在时，切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为,33⎛± ⎝⎭或⎛ ⎝⎭满足OA OB ⊥．综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．AB ===①当0k≠时，AB = 因为221448k k ++≥，所以221101844kk <≤++AB <≤，当且仅当2k =±“=”；②当0k =或k 不存在时，3AB =；综上，AB 的取值范围是,3⎡⎢⎣．。

上海市位育中学2016届高三数学上学期期中试题

位育中学2015学年第一学期期中考试高三数学试卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b 3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立．则m 的取值范围是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（）A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的（）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x)-4a x +1(x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值； (2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期； (2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．22．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lgn na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．高三数学期中考试参考答案：一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π-5．10 6．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n-11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2)二、选择题 15．C 16．D 17．C 18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，∴，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设x t a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]t a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求． 12分20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B = 3分 56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； 6分 (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 9分由正弦定理：sin 13sin Bb c C== 12分 ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．14分21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，4分∴函数f (x )的最小正周期T =2π； 6分(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象，又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；9分○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=，由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >，亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分注：也可直接如下证明○2 由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 215553k k ππππππ+--+=->-⋅>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >，亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①，取2n =，得221222a a a =+ ②，又②-①，得 2212()a a a a -= ③ 若20a =，由①知10a =；2分若20a ≠，易知211a a -=，④由①④得：11a =，22a =11a =，22a = 4分(2) 当10a >时,由(1)知，11a，22a = 当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 7分令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． 10分(3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ，当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 13分所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-． 16分23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((．即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾，因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==，即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立，当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 8分当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ． 10分(3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=．x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，12分1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，……以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，15分201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时，综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，．18分(2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x a a x a x b a x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。

上海徐汇区高二上学期期中数学试卷含答案

徐汇区高二第一学期数学期中考试试卷一、二、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b ，则x =_______.【答案】9.2、行列式2-1-1-453-24k中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.【答案】6.3、增广矩阵为3 m -1n 10æèçöø÷的二元一次方程组的实数解是x =1y =2ìíïîï，则m +n =__________. 【答案】4-.4、已知矩阵A =1234æèçöø÷，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65，则AB =____________. 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3917.5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】23-y 3-2-=x .6、直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）. 【答案】10103arccos .7、若实数x ,y 满足x -y +1£0x +y -3³0y £4ìíïîï，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________. 【答案】10.8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________.【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.【答案】)(2π,6π. 10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A •=____________.【答案】10-.11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.【答案】2)1-(22=+y x .12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.【答案】54.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、关于向量，下列结论错误的是（）【A 】0a ∙=0；【B 】a mn a n m ∙=∙)()(),(R n m ∈；【C【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈•+•=•+ .【答案】A .14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（）【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上；【C 】不满足方程()0,=y x f 的点()x,y 不在曲线C 上;【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程.【答案】C .15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为（）【A 】6；【B 】4；【C 】3；【D 】2.【答案】B .16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA •的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）【A 】1；【B 】2；【C 】3；【D 】4.【答案】C .三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组⎩⎨⎧+=-+=+12)1(322m y m x y mx 的解得情况. 【答案】讨论：（1） 2-≠m 且3≠m 方程组有唯一解；（2） 3=m 方程组无解；（3） 2-=m 方程组有无穷多解.18、已知圆O ：522=+y x .（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程.【答案】解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或;（2）20)6-()3(22=++y x .19、已知1,2==b a ，b 与a 的夹角为45°.（1）求b 在a 方向上的投影；（2）求b a 2+的值;（3）若向量)b 3-a )-2(λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.【答案】解（1）1；（2）10；（3）)6,6()6,1(⋃.20、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点'A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当0≤+k时，求折痕长的最大值.-≤32【答案】21、定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（1）设圆,1:220=+y x C 求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比3=λ的直线方程；（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比2=λ，求此圆的C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆43-(3-(:1)1(:222221=+=++））与y x C y x C 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】。

上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．【解答】解：∵=（﹣1，）是直线l的一个法向量，∴可知直线l的一个方向向量为（，1），直线l的倾斜角为α得，tanα=∴α=故答案为：．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．【解答】解：=（3，4），可得=5，则的负向量的单位向量的坐标是：．故答案为：．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=，∴AB==．故答案为：．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．【解答】解：设P（x，y），A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，可得（x﹣1，y﹣2）=2（2﹣x，3﹣y），，解得x=，y=，P的坐标：．故答案为：．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．【解答】解法一：由直线l1：x﹣y+2=0，设斜率为k1，夹角为θ1那么：k1==tanθ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为k2，夹角为θ2那么：k2==tanθ2=1设两直线的夹角为θ由tanθ=tan（θ1﹣θ2）=2故θ=．解法二：解：由直线l1：x﹣y+2=0，设夹角为θ1那么：tanθ1=故：θ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为θ2，那么：故：θ2=所以：两条直线的夹角为：θ1﹣θ2==．故答案为：．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是（，﹣）．【解答】解：∵a+2b=1，∴a=1﹣2b，∴（1﹣2b）x+3y+b=0，即（1﹣2x）b+x+3y=0，依题意知，，解得：，故答案为：（，﹣）．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，∴∴a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，解得m=2．故答案为：2．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为4x+3y±10=0．【解答】解：设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标轴的交点，．∴++=10，解得m=±10．故答案为：4x+3y±10=0．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故故答案为：13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为﹣16．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴====2﹣18=﹣16．故答案为：﹣16．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①因为存在实数x满足关系式x2+2x+=，，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴，∴﹣==≥0，正确；②由①可知：②不正确；③由x2+2x+=，变形为，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，因此③正确；④由③可知：④不正确；⑤由③可知：，∴点B是线段AC的中点．正确．综上可知：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，即，符合题意，故选：D．16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条【解答】解：在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线有且只有一条：y=x．故选：B．18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．【解答】解：由线性方程组有无穷多组解，得：D=D x=D y=0由，得：λ=1或λ=2当λ=2时，D x≠0，D y≠0，不合题意当λ=1时，D=D x=D y=0，符合题意故：λ=1．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB的倾斜角α的取值范围为．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．【解答】解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x﹣4y+10=0得a﹣4b+10=0，①…（2分）又AB中点（）在过点C的中线上，6×（）+10×=59，②由①②可得a=10，b=5，∴B点坐标为（10，5）…（5分）则直线AB的斜率K AB==又∠B的内角平分线的斜率k=…（6分）所以得⇒=解得K BC=﹣…（10分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣（x﹣10）⇒2x+9y﹣65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为2x+9y﹣65=0…（12分）22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）∵，（t∈R），，∴，，∴=∴k=﹣3，t=．（6分）（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（﹣，）．设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x﹣y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）于是x+y=cosα+=2sin（α+），故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．【解答】解：（1）由题意，得：，且；∴；∴解得：﹣2≤x≤0；∴实数x的取值范围为[﹣2，0]；（2）由题意，得：，，即；即，同理，；三式相加并化简，得：；即，；∴．。

上海市位育中学2015届高三上学期期中考试数学试题

2014学年第一学期位育中学期中考试高三数学试题一、填空题（每题4分，共56分）1. 已知i 为虚数单位，复数12,2,z a i z i =+=-且12,z z =则实数a 的值为__________________.2. 方程2cos 21x =的在[)0,x π∈上解是__________________.3. 不等式11111x x+<-的解为_____________________.4. 已知函数2log ,0().2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1(),2f a a ==则_________________. 5. 已知复数122,2,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为___________________. 6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos ,c A a C -=则cos A =_______________.7. 若函数[]2()23,0,f x x x x m =-+∈的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为__________________. 8. 要使函数k y x x =+在[)2,x ∈+∞上有最小值2,2kk +则的取值范围是______________. 9. 非零向量a 、b 夹角为060,且1,a b -=则a b +的最大值为__________________. 10. 已知等差数列{}n a 的公差2,d = n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n s 是递增数列，则1a 的取值范围是_________.11. ()()()sin f x x x θθ=++-为偶函数，则θ的值为____________. 12. 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞n S =______.13.已知数列{}n b 的各项都是正整数，且135,,2n n n nn k b b b b b ++⎧⎪=⎨⎪⎩n+1为奇数为偶数，k 是使b 为奇数的正整数若存在*m N ∈，当n m >且b n 为奇数时，n b 恒为常数α，则α=_________.14. 对于定义在R 上的函数(),f x 有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点A （1,0）对称； ②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对,x R ∈有(1)(),f x f x -=-则2是()f x 的一个周期； ④函数(1)(1y f x y f x=-=-与的图像关于直线1x =对称。

上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

和平均值，则 lim H n =
。
xn
1 5 9 13 ... 117
5 10 15 20 ... 150
9 15 21 27 ... 183
14．给出 30 行 30 列的数表 A ：
，其特点是每行每列都构成等差数列，
13 20 27 34 ... 216
... ... ... ... ... ...
题类得分值
上海市行知中学第一学期期中考试
高二年级数学试卷
一
二
19
20
2l
22
23
总分
一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分 )
2
1．若 P1P
5 PP2 ，设 P1P2
PP1 ，则的值为
。
2．已知 { an } 是等比数列，则方程组
a1x a2 y a4 的解的个数是 a5x a6 y a8
7. 设 f (n) 1
1
n1 n 2
1 ， n N * ，若 k N * ，则 f (k 1) f ( k) 2n
8. 已知 | a | 1 ， | b | 1 ， a 、 b 的夹角是 60°，若向量 c 满足 | c a b | 1 ，则 | c | 的最小
值为
9. 设函数 y 2nx n 和 y
15．如果 lim(1 2x)n 存在，那么 x 的取值范围是 ( ) x
(A) 0≤x<1 (B) 0< x <1 (C) 0≤x≤ 1 (D) 0< x ≤１
16．已知 m ， n 是夹角为 60°的单位向量，则 a 2m n 和 b 3m 2n 的夹角为 ( )
(A)30 ° (B)60 ° (C)90 ° (D)120 °

2015-2016年上海市徐汇区位育中学高二上学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=．2．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．9．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：12．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣2=0．【解答】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB的长为．故答案为：．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α，则tanα=sinθ∈[﹣1，1]∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为：[0，]∪[，π）．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=2．【解答】解：由|z1+z2|=2，得，即2z1z2=4，∴，∴|z1﹣z2|=2．故答案为：2．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为69．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6] ．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，得：=+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|•|OQ|最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S max=6．∵S=×4×3=6为定值，△OAB的最大值为6﹣6．∴S△P1AB∵6﹣6＜3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选：B．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．【解答】解：设z=x+yi，x，y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z﹣2|=2，∴（x﹣2）2+y2=4，联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），当y≠0时，，z=1±，∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1﹣i．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k AB=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）由题意可知直线AB与CD垂直，故k AD•k AB=﹣1．所以k CD=﹣1．∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…（8分）又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4，∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）∴|PA|=2．∵P（a，b），A（﹣1，0）∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②…（10分）由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【解答】解：（1）由椭圆G：=1，可得a2=4，b2=1，∴=，∴椭圆的焦点坐标为，．（2）由题意可知：|m|≥1．当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（x﹣m）．∵直线L与圆x2+y2=1相切，∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴，化为k2m2=1+k2．（*）直线L的方程与椭圆的方程联立，化为（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，∵直线L与椭圆由两个不同的交点，∴△＞0，即64k4m2﹣16（1+4k2）（k2m2﹣1）＞0，化为1+4k2＞k2m2，把（*）代入上式可得，化为m2﹣1＞0．解得m＞1或m＜﹣1．当m=±1时，直接验证满足题意．综上可知：m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）当m=1时，切线L的方程为x=1，联立，解得，|AB|=．同理m=﹣1时，|AB|=．当m≠±1时，由（2）可得x1+x2=，．∴|AB|====≤2．由基本不等式可知当且仅当m=时取等号．综上可知：|AB|的最大值为2．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．则=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=p2+y1y2．（*）设直线MN的方程为my+=x，联立，化为y2﹣2pmx﹣p2=0．∴．代入（*）可得=p2﹣p2=0．∴AM1⊥AN1；（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，联立，化为y2﹣2pmy﹣2pa=0．∵△＞0成立，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣2pa．S1==，同理S3=，．∴S1S3====pa2（pm2+2a）．==a2（4p2m2+8pa）=4pa2（pm2+2a），∴4pa2（pm2+2a）=λpa2（pm2+2a），解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，∵，解得：，∴，椭圆E的方程为…（2分）（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，…．（4分），要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，…（7分）而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..（8分）∵，∴，=，…（10分）①当k≠0时∵，∴，∴，∴，当且仅当时取”=”…（11分）②当k=0时，…．（12分）③当AB 的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…（13分）综上，|AB |的取值范围为，即：…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan，故答案为：arctan．2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【考点】三阶矩阵．【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y ﹣5）2=17．【考点】圆的标准方程．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【考点】轨迹方程．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】交集及其运算．【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|，代入数值即可求得面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，∴S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，△ABC的面积为6．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【考点】曲线与方程．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．。

上海市位育中学2015-2016学年高二数学上学期零次(9月)考试试题

位育中学2015学年第一学期零次考试试卷高二数学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________ 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________5、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________6、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________ 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________ 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________ 10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________ 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________ 12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________二、选择题(每题3分，共12分) 13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的（）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是（） (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为（）(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n =三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域； (2)求)(x f 的单调区间19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界，已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围位育中学2015学年第一学期零次考试试卷高二数学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________125- 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________]3,1[ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________)25,2[4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________225、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________36、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________21>a 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________)4,1(-8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________38 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________2197π10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________215arcsin- 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________)49,(-∞12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________)4,22(二、选择题(每题3分，共12分)13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的（）C(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( )C (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是（）C (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为（）B(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n = 三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 解：(1)设数列}{n a 的公差为d ，由9123a a a =，得d d 81)21(2+=+得1=d ，所以，n a n =(2)204622210210=+++= S18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域；(2)求)(x f 的单调区间解： )62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f(1)周期π=T ，值域为]2,2[- (2)递增区间为]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈)，递减区间为]32,6[ππππ++k k (Z k ∈) 19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T解：(1)⎩⎨⎧≥-==2,2111,10n n n a n ；(2) ⎩⎨⎧≥+-≤++-=6,51105,11022n n n n n n T n20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆ 的面积解：(1)由面积公式和余弦定理得：2=a ，2=b(2)由题意得：A A B A B 2sin 2)sin()sin =-++（，即 A A A B cos sin 2cos sin =当0cos =A 时，2π=A ，6π=B ，334=a ，332=b 当0cos ≠A 时，A B sin 2sin =，即a b 2=，又abc b a C 2cos 222-+=，故332=a ，334=b ，所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S 21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界，已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围解：(1) 当1=a 时，)(x f 在)0,(-∞上的值域为），（∞+3 故不存在常数0>M ，使M x f ≤|)(|成立，所以)(x f 在)0,(-∞上不是有界函数(2)由题意得：3|)(|≤x f 在),0[+∞上恒成立，则3)(3≤≤-x f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+⋅+-≥+⋅+3)41()21(13)41()21(1x x x x a a变形得xxx xa )21(22)21(24-⋅≤≤-⋅-在),0[+∞上恒成立根据函数的单调性，由分离参数法得：实数a 的取值范围为]1,5[-。

2015-2016年上海市徐汇区位育中学高一(上)期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则∁U A∩B=．2．（3分）“m≤1”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的条件．3．（3分）不等式的解集为（4，b），则a=，b=．4．（3分）若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是．5．（3分）函数f（x）=的定义域是．6．（3分）设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=．7．（3分）不等式的解集是．8．（3分）不等式x2﹣3＞2|x|的解集是．9．（3分）已知x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x的最大值是．10．（3分）下面几个不等式的证明过程：①若a、b∈R，则+≥2=2；②x∈R且x≠0，则|x+|=|x|+≥2；③若a、b∈R，ab＜0，则+=﹣（﹣+）≤﹣2=﹣2．其中正确的序号是．11．（3分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．12．（3分）某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价m%，再提价n%；第二种：先提价%，再提价%；第三种：一次性提价（m+n）%．已知m＞n＞0，则提价最多的方案是第种．13．（3分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x﹣1|+2}（x∈R）的最大值为．14．（3分）对x∈R，y∈R，已知f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，则+++…++的值为．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）设x＞y＞0，则下列各式中正确的是（）A．x＞＞＞y B．y＞＞＞x C．x＞＞y＞D．y＞≥＞x16．（3分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（3分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=1，g（x）=x0C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=18．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3三、解答题19．（8分）解下列不等式组（1）（2）．20．（8分）（1）已知x＞﹣1，求y=的最小值；（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．21．（8分）已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式．22．（12分）已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=m，f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m．（m为已知实数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象与x轴的两个不同交点在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（3）当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点（，0）的两旁？请说明理由．23．（10分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则∁U A∩B={﹣2} ．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，∴∁U A={﹣2，2}，则∁U A∩B={﹣2}，故答案为：{﹣2}2．（3分）“m≤1”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分条件．【解答】解：若一元二次方程x2+x+m=0有实数解，则△=1﹣4m≥0，解得：m≤，故m≤1是m≤的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．3．（3分）不等式的解集为（4，b），则a=，b=36．【解答】解：根据题意，方程=ax+的根为x=4，x=b；将x=4代入可得，2=4a+，解可得a=；则=x+，解可得，x=4或36；则b=36；故答案为；36．4．（3分）若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是﹣1或﹣．【解答】解：∵A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，∴集合A中只有一个元素①当k+1=0时，k=﹣1，∴方程（k+1）x2+x﹣k=0化为x+1=0，∴x=﹣1，∴A={﹣1}满足题意②当k+1≠0时，对于方程（k+1）x2+x﹣k=0有两个相同的根，∴△=1﹣4（k+1）（﹣k）=0∴k=﹣，故k=﹣1或﹣5．（3分）函数f（x）=的定义域是（﹣，1] ．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，即，解得﹣＜x≤1；∴f（x）的定义域是（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．6．（3分）设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=﹣2或．【解答】解：①当a＞0时，f（a）=a2=2，∴a=±，又a＞0∴a=，②当a≤0时，f（a）=﹣a=2，∴a=﹣2，故答案为：﹣2或．7．（3分）不等式的解集是{x|﹣4＜x≤2} ．【解答】解：不等式即，用穿根法求得﹣4＜x≤2，故不等式的解集是{x|﹣4＜x≤2}，故答案为{x|﹣4＜x≤2}．8．（3分）不等式x2﹣3＞2|x|的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【解答】解：令t=|x|，将原不等式化为t2﹣2t﹣3＞0，将不等式t2﹣2t﹣3＞0化简，得（t+1）（t﹣3）＞0，∵t=|x|≥0，得到t+1＞0，∴t﹣3＞0，可得t＞3，即|x|＞3，解之得x＜﹣3或x＞3，得原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．9．（3分）已知x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x的最大值是2．【解答】解：x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x=x=≤=2，当且仅当x=，y=时取等号，故x的最大值是2，故答案为：210．（3分）下面几个不等式的证明过程：①若a、b∈R，则+≥2=2；②x∈R且x≠0，则|x+|=|x|+≥2；③若a、b∈R，ab＜0，则+=﹣（﹣+）≤﹣2=﹣2．其中正确的序号是②③．【解答】解：①a、b∈R，当ab异号时，＜0，＜0，+=﹣（+）≤﹣2=﹣2．不成立．a=0或b=0时，，无意义，故①不对．②x∈R且x≠0，x＞0时，|x+|=|x|+≥2；成立；x＞0时，|﹣（x+）|=|x+|=|x|+≥2；成立．故②对．③a、b∈R，ab＜0，ab异号，＜0，＜0，那么+=﹣（﹣+））≤﹣2=﹣2，成立．故③对．故答案为：②③11．（3分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．【解答】解：∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤∴x+y的最大值是故答案为：12．（3分）某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价m%，再提价n%；第二种：先提价%，再提价%；第三种：一次性提价（m+n）%．已知m＞n＞0，则提价最多的方案是第二种．【解答】解：m＞n＞0，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：（1+m%）（1+n%）=1+m%+n%+m%n%；第二种：（1+%）（1+%）=1+%+%+%×%=1+（m+n）%+%×%＞1+（m+n）%+×=1+（m+n）%+m%n%；第三种：1+（m+n）%．因此提价最多的方案是第二种．故答案为：二．13．（3分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x﹣1|+2}（x∈R）的最大值为1．【解答】解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：114．（3分）对x∈R，y∈R，已知f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，则+++…++的值为4030．【解答】解：令y=1，则f（x+1）=f（x）•f（1）=2f（x），即，则+++…++=2+2+…+2=2×2015=4030．故答案为：4030．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）设x＞y＞0，则下列各式中正确的是（）A．x＞＞＞y B．y＞＞＞x C．x＞＞y＞D．y＞≥＞x【解答】解：∵x＞y＞0，∴2x＞x+y，，，即．∴，故选：A．16．（3分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选：B．17．（3分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=1，g（x）=x0C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=【解答】解：函数f（x）==x﹣1的定义域为{x|x≠0}，g（x）=x﹣1的定义域为R，故不是相同的函数；函数f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，故不是相同的函数；函数f（u）=，g（v）=表示同一函数；函数f（x）=x，g（x）==|x|的解析式不同，故不是相同的函数；故选：C．18．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），S={x|f（x）=0，x∈R}，g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），T={x|g（x）=0，x∈R}．当a=0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=0；故A可能当a≠0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=1；故B可能当a=0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=1；当a≠0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=2；故C可能当a=0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=2；当a≠0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=3；综上，只有D不可能发生，故选：D．三、解答题19．（8分）解下列不等式组（1）（2）．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＞0，即为（x﹣2）（x﹣4）＞0，解的x＜2或x＞4，＞1即为＞0，解得x＞1，所以不等式的解集（1，2）∪（4，+∞），（2）由|x﹣1|＜1，解得0＜x＜2，由≥0，即为≤0，即为或，解得﹣1≤x＜3或4≤x＜5，故原不等式组等价于，解得0＜x＜2，故不等式得解集为（0，2）20．（8分）（1）已知x＞﹣1，求y=的最小值；（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．【解答】解：（1）方法一，分离常数法，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，那么：=（x+1）+．当且仅当．即x=1时，取等号成立．∴当x＞﹣1时，y=的最小值为9．方法二：判别式法．解：（1）由y=⇒y（x+1）=x2+7x+10⇒x2+（7﹣y）x+10﹣y=0方程有解：△≥0，即：（7﹣y）2﹣4（10﹣y）≥0解得：y≥9或y≤1又∵x＞﹣1，∴x+1＞0，x2+7x+10＞0所以y＞0故当x＞﹣1时，y=的最小值为9．此时x=1．（2）方法一：构造基本不等式∵3x+4y=12．要求xy的最大值，xy必须同号．∴．当且仅当3x=4y=6．即时等号成立．故：xy取最大值为3．此时．方法二：消元法∵3x+4y=12．那么：y=3﹣．则xy=x（3﹣）=令u=由二次函数的性质可得：当x=2时，u取得最大值，即最大值为3．∵y=3﹣，解得：y=故：xy取最大值为3．此时．21．（8分）已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式．【解答】解：已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x﹣3|=3﹣x．（1）若x2﹣4x+a＜0，则原不等式化为x2﹣3x+a+2≥0．此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2﹣4x+a＜0不成立．（2）若x2﹣4x+a≥0，则原不等式化为x2﹣5x+a﹣2≤0．因为x≤3，令x2﹣5x+a﹣2=（x﹣3）（x﹣m）=x2﹣（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．22．（12分）已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=m，f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m．（m为已知实数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象与x轴的两个不同交点在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（3）当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点（，0）的两旁？请说明理由．【解答】解：（1）由，可设，则f（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b+．由f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m，得4ax+2b=4x﹣2m．∴；（2）∵抛物线与x轴的两个交点在区间（0，4）内，∴由图象知m应满足，解得．∴m的取值范围为；（3）抛物线开口向上，又，∴由抛物线的图象可知，当y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点不可能落在点的两旁．23．（10分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．。

【精品】2015年上海市徐汇区位育中学高二上学期期中数学试卷带解析答案

2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．（3分）已知矩阵A=，B=，则A﹣2B=．2．（3分）下列关于算法的说法，正确的序号是．（1）一个问题的算法是唯一的；（2）算法的操作步骤是有限的；（3）算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；（4）算法执行后一定产生确定的结果．3．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．4．（3分）已知直线l的倾斜角为θ，则直线l的一个方向向量为．5．（3分）已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=．6．（3分）已知直线l的倾斜角是直线y=2x+3倾斜角的2倍，则直线l的斜率为．7．（3分）在数列{a n}中，a1=2且=0，若S n是{a n}的前n项和，则=．8．（3分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．9．（3分）△ABC的AB边中点为D，AC=1，BC=2，则•的值为．10．（3分）直线ax+by=ab（a＞0，b＜0）不经过第象限．11．（3分）点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则a2+b2的最小值为．12．（3分）已知向量，，x∈[0，π]，则的取值范围为．13．（3分）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=1，|，若（x，y∈R），则（x，y）=．14．（3分）设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：①方程不可能有两个不同的实数解；②方程有实数解的充要条件是；③方程有唯一的实数解；④方程没有实数解．其中真命题有．（写出所有真命题的序号）二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）15．（3分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC16．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若•=0，则=或=B．若∥，则•=（•）2C．若=•，则=D．若∥，则存在实数k，使=k17．（3分）若直线l1：mx+y﹣1=0，l2：4x+my+m﹣4=0，则“m=2”是“直线l1⊥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（3分）已知O是△ABC所在平面上的一点，若=（++）（其中P为平面上任意一点），则O点是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（8分）若根据如图的框图，产生数列{a n}．（1）当x 0=时，写出所产生数列的所有项；（2）若要产生一个无穷常数列，求x0的值．20．（8分）已知矩阵P=，Q=，M=，N=，若PQ=M+N．（1）写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；（2）用行列式解上述二元一次方程组．21．（10分）直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，3），点C坐标为（1，﹣3），且=t（t∈R）．（1）若CM⊥AB，求t的值；（2）当0≤t≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围．22．（10分）（1）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；（2）过点P（1，2）作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点，求使•取得最大值时，直线l的方程．23．（10分）已知向量=（x，y）与向量=（x﹣y，x+y）的对应关系用=f（）表示．（1）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）；（2）证明：对于任意向量，|f（）|=||；（3）证明：对于任意向量、，若⊥，则f（）⊥f（）．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．（3分）已知矩阵A=，B=，则A﹣2B=．【解答】解：∵A=，B=，∴2B=，∴A﹣2B=．故答案为：2．（3分）下列关于算法的说法，正确的序号是（2）、（3）、（4）．（1）一个问题的算法是唯一的；（2）算法的操作步骤是有限的；（3）算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；（4）算法执行后一定产生确定的结果．【解答】解：对于（1），解决某个问题的算法可能有多个，算法是不唯一的，故原命题错误；对于（2），算法是在有限个步骤内解决问题，命题正确；对于（3），算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊，命题正确．对于（4），算法执行后一定产生确定的结果，命题正确．综上，正确的命题是（2），（3），（4）．故答案为：（2）、（3）、（4）．3．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，∴﹣=10，∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，∴k=6．故答案为：6．4．（3分）已知直线l的倾斜角为θ，则直线l的一个方向向量为（cosθ，sinθ）．【解答】解：∵直线l的倾斜角为θ，∴直线l的斜率k=tanθ．因此直线l的一个方向向量为（cosθ，sinθ）．故答案为：（cosθ，sinθ）．5．（3分）已知O为平行四边形ABCD内一点，设=，=，=，则=．【解答】解：由题意作出平行四边形ABCD：∵，∴==，∴=，∴=+=，故答案为：．6．（3分）已知直线l的倾斜角是直线y=2x+3倾斜角的2倍，则直线l的斜率为．【解答】解：设直线y=2x+3倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，则直线l的斜率=tan2θ===，故答案为：．7．（3分）在数列{a n}中，a1=2且=0，若S n是{a n}的前n项和，则=3．【解答】解：∵=0，∴a n=3a n+1，∴=，∵a1=2，∴==3．故答案为：3．8．（3分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．【解答】解：与的夹角为钝角⇔且与不共线，可得：，解之故答案为：．9．（3分）△ABC的AB边中点为D，AC=1，BC=2，则•的值为．【解答】解：如图，∵AC=1，BC=2，∴•===．故答案为：．10．（3分）直线ax+by=ab（a＞0，b＜0）不经过第四象限．【解答】解：对于直线ax+by=ab，令x=0，得y=a；令y=0，得x=b，∴直线ax+by=ab交x轴于A（b，0），交y轴于点B（0，a），∵a＞0，b＜0，得点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，由此可得，直线ax+by=ab经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四．11．（3分）点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则a2+b2的最小值为．【解答】解：∵点（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，∴的最小值为原点到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为．故答案为：．12．（3分）已知向量，，x∈[0，π]，则的取值范围为[0，2] ．【解答】解：∵，，∴=（cos+cos，sin﹣sin），===，∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，∴﹣1≤cos2x≤1，即]0≤2+2cos2x≤4，∴的范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．13．（3分）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=1，|，若（x，y∈R），则（x，y）=（4，2）．【解答】解：如图所示，过点C作CD∥OB，交直线OA与点D．∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD中，||=||tan30°=2×=2．||==4，由=，可得||=x||，||=y||，即x=4，y=2．故答案：（4，2）．14．（3分）设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：①方程不可能有两个不同的实数解；②方程有实数解的充要条件是；③方程有唯一的实数解；④方程没有实数解．其中真命题有①④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①：对方程变形可得=﹣x2﹣x，由平面向量基本定理分析可得最多有一解，故①正确；对于②：方程是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，故②正确；对于③、④，方程中，△=42﹣4，又由、不平行，必有△＜0，则方程没有实数解，故③不正确而④正确故答案为：①④．二、选择题（本大题满分12分，每小题3分）15．（3分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC【解答】解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C．16．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若•=0，则=或=B．若∥，则•=（•）2C．若=•，则=D．若∥，则存在实数k，使=k【解答】解：若•=0，则=或=或，故A错误；若∥，则•=，（•）2===，∴则•=（•）2，故B正确；若，但，有=•，故C错误；当，时，∥，此时不存在实数k，使=k，故D错误．故选：B．17．（3分）若直线l1：mx+y﹣1=0，l2：4x+my+m﹣4=0，则“m=2”是“直线l1⊥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若m=0，则l1：y﹣1=0，l2：4x﹣4=0，垂直，若m=0，则l1的斜率是﹣m，l2的斜率是﹣，而﹣m•（﹣）=4≠﹣1，不垂直，故若l1⊥l2，只需m=0，故“m=2”是“直线l1⊥l2”的既不充分也不必要条件，故选：D．18．（3分）已知O是△ABC所在平面上的一点，若=（++）（其中P为平面上任意一点），则O点是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：由得，=；∴；即，取AB中点D，连接OD，如图所示，则：；∴D，O，C三点共线，且|OC|=2|OD|；∴O点为△ABC的重心．故选：C．三、解答题（本大题满分46分）19．（8分）若根据如图的框图，产生数列{a n}．（1）当x0=时，写出所产生数列的所有项；（2）若要产生一个无穷常数列，求x0的值．【解答】解：（1）根据程序中各变量、各语句的作用知：当x0=时，计算并输出a1==，a2==，a3==﹣1，结束程序；（3分）（2）根据程序中的计算公式，得a n+1=，=a n=x0，令a n+1则=x0，解得x0=1或x0=2，此时执行程序将产生一个无穷常数列．（8分）20．（8分）已知矩阵P=，Q=，M=，N=，若PQ=M+N．（1）写出PQ=M+N所表示的关于x、y的二元一次方程组；（2）用行列式解上述二元一次方程组．【解答】解：（1）由PQ=M+N，得，方程组为；（3分）（2），，（5分）1°当m≠0，且m≠﹣3时，D≠0，方程组有唯一解；2°当m=0时，D=0，但D x≠0，方程组无解；3°当m=﹣3时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解（t∈R）．（8分）21．（10分）直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，3），点C坐标为（1，﹣3），且=t（t∈R）．（1）若CM⊥AB，求t的值；（2）当0≤t≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围．【解答】解：（1）根据平面向量的坐标表示得，=（6，3），=t=（6t，3t），=（3，﹣3），=﹣=（6t﹣3，3t+3），∵⊥，∴•=45t﹣9=0，∴t=；（4分）（2）【解法一】点M在线段AB上，AC的斜率k1=﹣1，AB的斜率k2=2，∴直线CM的斜率满足k≤﹣1，或k≥2，（8分）∴倾斜角θ∈[arctan2，]；（10分）【解法二】当t=时，CM的斜率不存在；当t≠时，CM的斜率k==+在区间和单调递减，（7分）∴k∈（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]，倾斜角θ∈[arctan2，]．（10分）22．（10分）（1）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；（2）过点P（1，2）作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点，求使•取得最大值时，直线l的方程．【解答】解：（1）由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1，对任意的实数k，则，解得：x=3，y=1．∴定点坐标为（3，1）；（2）直线l的斜率存在，设l：y﹣2=k（x﹣1），则，B（2﹣k，0），由，得k＜0，，，，当且仅当，即k=﹣1时，，此时，直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．23．（10分）已知向量=（x，y）与向量=（x﹣y，x+y）的对应关系用=f（）表示．（1）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）；（2）证明：对于任意向量，|f（）|=||；（3）证明：对于任意向量、，若⊥，则f（）⊥f（）．【解答】证明：（1）设，，则，∵=（mx1﹣my1+nx2﹣ny2，mx1+my1+nx2+ny2），∴；（2）∵∴；（3）由，得，由（1），（2）结论可得：， ∴，．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二(下)期中数学试卷

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣3的平方根是．2．（3分）已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是．3．（3分）如果复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，那么实数a的值为．4．（3分）若，则|z|=．5．（3分）复数z=的共轭复数是．6．（3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为．7．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．8．（3分）已知复数x满足x+=﹣1，则x2013+=．9．（3分）已知球的半径为25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49π和400π，则这两个平行平面间的距离为．10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣|z|x+1=0（z∈C）有实数根，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．12．（3分）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体A﹣B1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列命题中真命题是（）A．若z 1+z2=0，则z1，z2共轭B．若z1+z2=0，则共轭C．若z 1﹣z2=0，则z1，z2共轭D．若z1﹣z2=0，则共轭14．（4分）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）有下列命题：（1）若z是复数，则|z|2=z2；（2）任意两个复数不能比较大小；（3）b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈C）有两个不等的实数根，其中所有错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）16．（4分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个三、解答题（共48分）17．（9分）已知虚数z满足，且|z﹣2|=2，求z．18．（9分）关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0（a∈R）至少有一个模为1的根，求实数a的值．19．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．20．（10分）如图，已知AB是圆柱OO1底面圆O的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C在底面圆O上，且直线A1C与下底面所成的角的大小为60°．（1）求点A到平面A1CB的距离；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD 于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）﹣3的平方根是．【解答】解：设（a+bi）2=﹣3，其中a，b∈R．化为a2﹣b2+2abi=﹣3，∴，解得a=0，b=．∴﹣3的平方根为：i．故答案为：．2．（3分）已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α．【解答】解：直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是：a∥α或a⊂α．如图：故答案为：a∥α或a⊂α．3．（3分）如果复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，那么实数a的值为﹣1．【解答】解：复数z=a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，则a2﹣a﹣2=0且a2﹣3a+2≠0 解得a=﹣1故答案为：﹣14．（3分）若，则|z|=8．【解答】解：∵（1+i）4=（2i）2=﹣4，（1﹣i）12=[（1﹣i）2]6=（﹣2i）6=﹣64．==﹣128×=﹣128=﹣64．∴z==﹣4﹣4i．∴|z|==8．故答案为：8．5．（3分）复数z=的共轭复数是﹣1﹣i．【解答】解：z====﹣1+i∴复数z=的共轭复数是﹣1﹣i故答案为：﹣1﹣i6．（3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为18．【解答】解：由题意作出图形如图：因为三棱锥P﹣ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，∵三角形PDF三边长PD=1，DF=，∴PF=2则这个棱锥的侧面积S=3××6×1=18．侧故答案为：18．7．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．8．（3分）已知复数x满足x+=﹣1，则x2013+=2．【解答】解：∵，∴x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1=0，∴x3=1，∵2013能够被3整除，∴x2013=1，∴x2013+=1+1=2，故答案为：29．（3分）已知球的半径为25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49π和400π，则这两个平行平面间的距离为9或39．【解答】解：设两个截面圆的半径别为r1，r2．球心到截面的距离分别为d1，d2．球的半径为R．由πr12=49π，得r1=7．由πr22=400π，得r2=20．如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d1﹣d2=．如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d 1+d2=．故答案为：9或39．10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣|z|x+1=0（z∈C）有实数根，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：由题意可得△=|z|2﹣4≥0，解得|z|≥2．再由|z﹣1+i|≥|z|﹣|﹣1+i|=2﹣，可得|z﹣1+i|的最小值为，故答案为．11．（3分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．12．（3分）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体A﹣B1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为．【解答】解：∵如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是四棱锥V﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B 1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1﹣ABC的体积是棱锥V﹣ABC体积的，棱锥D1﹣ACD的体积是棱锥V﹣ACD的体积的，∴棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；棱锥B1﹣VAD1的体积是棱锥B﹣VAD体积的，棱锥B1﹣VCD1的体积是棱锥B﹣VCD体积的，∴棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V=四棱锥P﹣ABCD的体积﹣个四棱锥P﹣ABCD的体积=个四棱锥P﹣ABCD的体积，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列命题中真命题是（）A．若z 1+z2=0，则z1，z2共轭B．若z1+z2=0，则共轭C．若z 1﹣z2=0，则z1，z2共轭D．若z1﹣z2=0，则共轭【解答】解：设z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，（x i，y i∈R）（i=1，2），对于z 1+z2=0，则x1+x2=0，y1+y2=0，则z1与z2，不一定是共轭复数．对于z 1﹣z2=0，则x1﹣x2=0，y1﹣y2=0，则与z2是共轭复数．故选：D．14．（4分）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”则由线面垂直的判定定理可得：“直线l与平面α垂直”若“直线l与平面α垂直”则由线面垂直的性质可得：“直线l与平面α内任意直线都垂直”故条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的充要条件故选：C．15．（4分）有下列命题：（1）若z是复数，则|z|2=z2；（2）任意两个复数不能比较大小；（3）b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈C）有两个不等的实数根，其中所有错误命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：对于（1）若z是复数，则|z|2是模的平方是非负数，z2是负数的平方，可能为虚数，故错；对于（2），当两个复数是实数时，能比较大小，故错；对于（3），判别式只适用于系数为实数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）的实数根判定，故错，故选：D．16．（4分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个【解答】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．三、解答题（共48分）17．（9分）已知虚数z满足，且|z﹣2|=2，求z．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R，b≠0），则，得：，即a2+b2=1 ①又由|z﹣2|=2，得（a﹣2）2+b2=4 ②解①②组成的方程组得：所以18．（9分）关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0（a∈R）至少有一个模为1的根，求实数a的值．【解答】解：①若两根为实根时，不妨设|x1|=1，则x1=±1，当x1=1时，∴a2+2a+2=0，由于△＜0可得a无解．当x1=﹣1时，∴a2﹣4a+2=0，求得a=2±．②若两根为虚根时，则x 1=x1•x2==1，即=1，求得a=2，或a=﹣1．再根据此时△＜0 可得a=﹣1．综上可得，a=2±，或a=﹣1．19．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【解答】解：（1）连接OM ，则OM ⊥AB设OM=r ，OB=﹣r ，在△BMO 中，sin ∠ABC==⇒r=∴S=4πr 2=π．（2）∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．∴V=V 圆锥﹣V 球=π×AC 2×BC ﹣πr 3=π×﹣π×=π．20．（10分）如图，已知AB 是圆柱OO 1底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C 在底面圆O 上，且直线A 1C 与下底面所成的角的大小为60°．（1）求点A 到平面A 1CB 的距离；（2）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）设AA 1=h ，因为底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，所以2π×12+2πh=8π，解得h=3．因为AA1⊥底面ACB，所以AC是A1C在底面ACB上的射影，所以∠A 1CA是直线A1C与下底面所成的角，即∠A1CA=60°在直角三角形A1CA中，A1A=3，∠A1CA=60°，所以AC=．AB是底面直径，所以∠CAB=．以A为坐标原点，以AB、AA1分别为y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0，0）、C（，，0）、A1（0，0，3）、B（0，2，0），于是=（，，0），=（0，2，3），=（﹣，，0）设平面A1CB的一个法向量为=（x，y，z），则，不妨令z=1，则=（，，1），所以A到平面A1CB的距离d==所以点A到平面A1CB的距离为．（2）平面A1AB的一个法向量为=（1，0，0）由（1）知平面A1CB的一个法向量=（，，1），二面角A﹣A1B﹣C的大小为θ，则|cosθ|=．由于二面角A﹣A1B﹣C为锐角，所以二面角A﹣A1B﹣C的大小为arccos．21．（10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD 于点N．（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．。

上海市位育中学高二数学上学期期中试题

位育中学2014学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．已知矩阵2591A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．2．下列关于算法的说法，正确的序号是_______________． (1) 一个问题的算法是唯一的； (2) 算法的操作步骤是有限的；(3) 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义； (4) 算法执行后一定产生确定的结果．3．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______________．4．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________．5．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则OD u u u r=_______________． 6．已知直线l 的倾斜角是直线y =2x +3倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_______________． 7．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =_______________．8．已知(2,1),(,1)a b λ=--=r r ，若a ρ与b r夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________．9．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为_______________．10．直线ax +by =ab (a >0,b <0)不经过第_______________象限．11．点(a ,b )在直线x +2y -1=0上，则a 2+b 2的最小值为_______________． 12．已知向量33(cos,sin )22x x a =r，(cos ,sin )22x x b =-r ，[0,]x π∈，则a b +r r的取值范围为_______________．13．如图，平面内有三个向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r ，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120︒，OA u u u r与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==u u u r u u u r ，||23OC =u u u r(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则(x ,y )=___________．14．设 a b c r r r，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题： ①方程20ax bx c ++=r rr r 不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=r r r r 有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥r r r；③方程22220a x a bx b +⋅+=r r r r 有唯一的实数解b x a=-rr ；④方程22220a x a bx b +⋅+=rr r r 没有实数解．其中真命题有_______________．(写出所有真命题的序号)CB A O二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（）A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB -AC 16．下列命题中，正确的是（） A ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rB ．若//a b r r，则222()a b a b ⋅=⋅r r r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若//a b r r ，则存在实数k ，使b ka =r r17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18．O 是∆ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中P 为平面上任意一点），则点O 是∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13mP m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．21．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．xy开始输入A ←x 0结束A =-1 打印A A ←(4A -2)/(A +1)Yes No直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,3)，且AM t AB =u u u u r u u u r（t∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．(1) 直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；(2) 过点P (1,2)作直线l 交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，求使PA PB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，直线l 的方程．23．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知向量(,)u x y =r 与向量(,)v x y x y =-+r 的对应关系用()v f u =r r表示．(1) 证明：对于任意向量a r 、b r及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r ；(2) 证明：对于任意向量a r ，|()|2||f a a =r r ； (3) 证明：对于任意向量a r 、b r ，若a b ⊥r r，则()()f a f b ⊥r r ．参考答案及评分标准2014-11-14一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．025131-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2．(2),(3),(4) 3．-14 4．(cos θ,sin θ)5．a c b +-r r r6．43-7．38．1(,2)(2,)2-⋃+∞9．3210．四 11．1512．[0,2] 13．(4,2)14．①, ④二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．C16．B17．D18．C三、解答题（本大题满分46分） 19．（本题满分8分）解：(1) 11119a =，215a =，31a =-． 3分 (2) 由1421n n n n a a a a +-==+,得x 0=1,或x 0=2． 8分20．（本题满分8分）解：(1) 由PQ =M +N ，得1323mx y mx my m +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，方程组为1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； 3分(2) 1(3)3m D m m m m==-+-，11(3)23x D m m m -==-++- ,12(3)323y m D m m m m -==++5分1︒当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；2︒当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；3︒当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R )．8分21．（本题满分10分）解：(1) (6,3)AB =u u u r ，(6,3)AM t AB t t ==u u u u r u u u r，(3,3)AC =-u u u r ，(63,33)CM AM AC t t =-=-+u u u u r u u u u r u u u r，∵CM AB ⊥u u u u r u u u r ，∴4590CM AB t ⋅=-=u u u u r u u u r ，∴15t =；4分(2) 点M 在线段AB 上，AC 的斜率k 1=-1，AB 的斜率k 2=2， ∴k ≤-1,或k ≥2，8分 3[arctan 2,]4πθ∈． 10分(2) 另解：当12t =时，CM 的斜率不存在；当12t ≠时，CM 的斜率311221221t k t t +==+--在区间1[0,)2和1(,1]2单调递减，7分 ∴k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈． 10分22．（本题满分10分）解：(1) 对任意的实数k ，(3,1)是直线方程y -1=k (x -3)的解，∴定点坐标为(3,1)； 4分(2) 直线l 的斜率存在，设l :y -2=k (x -1)，则2(1,0)A k-,B (2-k ,0)，由21020k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩，的k <0， 6分(1,)PA k =--u u u r ，2(,2)PB k=--u u u r ，2122()4PA PB k k k k⋅=+=--+≤--u u u r u u u r ，8分当且仅当1k k-=-,即k =-1时，max ()4PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，此时，直线l 的方程为y -2=-(x -1)，即x +y -3=0． 10分23．（本题满分11分）证：(1) 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++r r∵12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++r r11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+r r11221122(,)mx my nx ny mx my nx ny =-+-+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r；4分(2) ∵22222221111111111|()||(,)|()()2()2||f a x y x y x y x y x y a =-+=-++=+=r r∴|()||f a a =r r；7分(3) 由a b ⊥r r ，得0a b ⋅=r r，由(1),(2)结论可得222222222|()()||()|2||2(2)2||2|||()||()|f a f b f a b a b a a b b a b f a f b +=+=+=+⋅+=+=+r r r r r r r r r r r r r r∴()()0f a f b ⋅=r r ，()()f a f b ⊥r r．10分。

上海徐汇中学高二数学理测试题含解析

上海徐汇中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形参考答案：D2. 点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，∴，|PF|=，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）A．8 B．8C．16 D．16参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用k1=k2，可得y1+y2=（y3+y4）设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，求出y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，进而可得y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，k2=，∵k1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故选：B4. 抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6）B．（6，9）C．（±6，9）D．（9，±6）参考答案：D【考点】抛物线的定义．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．5. 某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量x（单位：千瓦时）与当天平均气温y（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量回归方程为，则a的值为（）A．42 B．40 C．38 D．36参考答案：A6. 已知数列的通项公式为，则当取最小值时，项数n为( )A．1 B．17 C．18 D．19参考答案：C略7. 已知命题：，，则（）(A) (B)(C) (D)参考答案：C8. 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样参考答案：A9. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y 2+2x ﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D．﹣3参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：待定系数法．分析：把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选 B．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．10. 等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212D．215参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式恒成立，则的最小值为；参考答案：略12. 某市2016年中的每个月平均气温（摄氏度）数据用如图的茎叶图表示，则这组数据的中位是．参考答案：2013. 已知直线平面，，直线，，直线，，则直线、的关系是_________________．参考答案：14. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，若=，则（）A.122B.123C.124D.125参考答案：B15. 如图，长方体中，，，，于相交于点．分别写出，，的坐标．参考答案：，，各点的坐标分别是，，16. 若椭圆的离心率为，则m的值等于▲ 。

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