高中数学第二册(下)同步练测(6)

合集下载

北师大版(2019)数学必修第二册第六章立体几何初步5垂直关系同步测验

北师大版（2019）数学必修第二册第六章立体几何初步5 垂直关系同步测验共 22 题一、单选题1、如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知三棱锥中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作面ABC,垂足为O，则点O是的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心3、如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44、在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A. 2B.C. 4D. 45、如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是( )A.∥B.∥平面C. D.平面6、下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7、已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（）A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADB8、如图所示，在正方形中，分别是的中点，现在沿把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为 .给出下列关系：①平面；②平面；③；④上平面 .其中关系成立的有（）A.①②B.①③C.②③D.③④9、如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A. B.C. D.10、如图，已知是顶角为的等腰三角形，且，点是的中点.将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.11、如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（）A. B.C. D.12、在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定二、填空题13、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围________14、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于________15、如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为________．16、在直三棱柱中， .有下列条件：①；②；③ .其中能成为的充要条件的是________．（填上序号）三、解答题17、如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面 .(1)求证：；(2)求二面角的大小.18、如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．19、如图，在多面体中，是平行四边形，，，两两垂直.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.20、如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.(1)求证： B 1D 1⊥A 1F ；(2)若直线 A1F ⊥ 平面，试确定点的位置，并证明你的结论；(3)设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）21、在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.(1)求证：；(2)若为的中点，求三棱锥的体积.22、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：BC⊥面CDE;(2)在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1、【答案】A【解析】【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA=S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；故选A．【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．2、【答案】D【解析】【解答】因为PA,PB,PC两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知：平面 ,而平面 ,因此 ,又因为面ABC, 平面 ,所以,又平面 ,所以平面 ,平面 ,所以 ,同理 ,故点O是的垂心.故答案为：D【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点O是垂心.3、【答案】C【解析】【解答】因为PA⊥☉O所在的平面，BC⊂☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正确；又因为AF⊂平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正确；而PB⊂平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB，故③正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，显然不成立，故④不正确;故选C.【分析】利用线面垂直的判定与性质分别进行判断，即可得出结论。

高中数学第二册下同步练测高二数学单元测试题[整理六]高二数学单元测试题[整理六]

创作；朱本晓高中数学第二册〔下〕同步练测〔20〕〔复习练习〕班级姓名学号一、选择题1．异面直线a 、b 分别在平面α、β内，βα⋂=c ，那么直线与a 、b 的关系是〔〕A ．同时与a 、b 都相交B ．至多与a 、b 中的一条相交C ．至少与a 、b 中的一条相交D ．只与a 、b 中的一条相交 2．一凸多面体的棱数为30，面数为12，那么它的各面多边形的内角总和为〔〕A ．54000B ．64800C ．72000D ．792003．假设P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，PA=PB=PC=,32△ABC 的边长为1，那么PC 和平面ABC 所成的角是〔〕 A ．300 B ．450 C ．600 D ．9004．AB 是⊙O 的直径，SA 垂直于⊙O 所在的平面M ，平面M 内有一动点，使得PB ⊥PS ，那么点P 的位置在〔〕 A ．⊙O 内 B ．⊙O 上 C ．⊙O 外 D ．不能确定5．假设三直线PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=3，那么点P 到平创作；朱本晓面ABC 的间隔为〔〕A ．2B ．3C ．5D ．76．对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是〔〕A ．m ⊥n ，m ∥α，n //β B ．m ⊥n ，α⋂β=m ，n ⊂α C ．m //n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m //n ，m ⊥α，n ⊥β 7．菱形ABCD 的边长为a ，锐角A 为600，将它沿对角线BD 折成600的二面角，那么AC 与BD 的间隔为〔〕A ．43a B ．43a C ．23a D ．46a8．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S 、2S 、3S ，那么三棱锥的体积是〔〕A ．321S S SB ．3321S S S C ．32321S S S D ．322321S S S9．圆柱的底面半径是6，高是10，平行于轴的截面在底面上截得的弦长等于底面的半径，那么圆柱被截成的两局部中较大局部的体积是〔〕A ．π300+390B ．π300315C ．31560-πD ．π300 10．在半径为6cm 的球的内部有一点，该点到球心的间隔为4cm ，过该点作球的截面，那么截面面积的最小值是〔〕创作；朱本晓 A ． 11π2cm B ．20π2cm C ．32π 2cm D ．27π 2cm 11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，假如注水量V 与水深h 的函数关系的图象如下图，那么水瓶的形状是〔〕A B C D12．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的长、宽、高依次为5、4、3，那么从顶点A 没长方体外表到对角顶点C 1的最短间隔是〔〕 A ．74 B ．55 C ．54 D ．103 二、填空题13．球O 的半径为R ，它的外表上有两点A 、B ，且∠AOB=6π，那么A 、B 两点间的球面间隔是14．给出以下条件〔其中l 和a 为直线，α为平面①l ⊥α内一凸五边形的两条边；②l ⊥α内三条不都平行的直线；③l ⊥α内的无数条直线；④l ⊥α内正六边形的三条边；⑤a ⊥α，l ⊥α，其中是l ⊥α的充分条件的所有序号是 15．在直二面角βα--l 中，,,βα∈∈B A AB 与α所成角为x ，ABhvH创作；朱本晓与β所成角为y ，AB 与l 所成的角为z ，那么=++z y x 222cos cos cos 16．一个斜三棱柱每相邻两个侧面所组成的三个二面角中，其中有两个分别是300和450，那么第三个二面角的大小是三、解答题17．△ABC 的∠C=900，PA 垂直于△ABC 所在的平面，M 、N 分别是边AC 、PB 的中点，求证：MN ⊥AC18．自二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的间隔分别为22和4，到棱a 的间隔为24，求这个二面角的大小；创作；朱本晓19．圆锥的底面半径为1cm ，母线长为2cm ，求它的内切球的面积？20．如下图，△ABC 中，AB=BC ，AB ⊥BC ，PA 垂直于△ABC 所在的平面，PA=AB ，在△PBC 中，BD ⊥PC ，D 为垂足，求线段BD 在面PAC 内的射影的长与线段BD 长的比。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量及其应用综合测试(附答案与解析)

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D 【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、 13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b .14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒. 在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===.在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒.在ABE △中，由余弦定理得22216312cos3025253323BE AB AE AB AE︒=+-=+-⨯⨯=，故BE ∴船速的大小为/h)3BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b .又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ，221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜，4sin 5B ∴=.由正弦定理得sin sin a bA B=， 42sin 25sin 45a B A b⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==，142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-， sin02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sincos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(42214c a b abab ⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，9cos AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin ADα=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）.∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F . （1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫⎪⎝⎭.222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112xπ=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2xπ=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)g gg g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理同步练习含解析第二册

课时素养评价六平面向量基本定理（15分钟30分)1。

设{e1,e2}是平面内一组基底,则下面四组向量中，能作为基底的是（) A。

e1-e2与e2—e1B。

2e1+3e2与—4e1—6e2C.e1+2e2与2e1—e2D.—e1+e2与e1-e2【解析】选C。

因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则() A.x=,y= B.x=,y=C。

x=，y=D。

x=，y=【解析】选A。

因为=2,所以+=2+2,即3=2+，所以=+,即x=,y=。

3.（2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= ()A.-B。

+C.—D.+【解析】选C。

=+=+=-。

【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点，F为CE的中点,则= （）A.+B.+C。

+ D.+【解析】选D.根据题意得：=（+),又=+,=,所以==+.4。

如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点）,则·=.【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1｜=|e2|=1，e1·e2=0，由题图可知，=3e1+2e2，=6e1-3e2，·=（3e1+2e2）·（6e1-3e2）答案:125.已知e1，e2不共线,且a=k e1-e2，b=e2—e1，若a,b不能作为基底,则实数k等于.【解析】因为a，b不能作为基底,所以a，b共线，可设a=λb,λ∈R，则k e 1—e2=λ,即k e1-e2=λe2-λe1，因为e1，e2不共线，所以所以k=1.答案:1【补偿训练】已知e1，e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b｝能作为平面内的一个基底,则实数λ的取值范围为。

人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题第6章平面向量及其应用向量的减法运算 (3)

6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算课后·训练提升基础巩固1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案:C解析:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故只有C 中结论错误. 2.在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a答案:B解析:如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-b-a.3.已知O,A,B,C 是4×4方格纸(小正方形的边长为1)上不同的4个格点,O,A 的位置如图所示.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,则满足条件的点B,C 共有( )组.A.9B.10C.11D.12答案:D4.(多选题)下列各式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:ABC解析:选项A 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项B 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项C 中,-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项D 中,-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.(多选题)若a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b|D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同答案:ABD解析:对于选项A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,但a 与b 的模不一定相等,结论错误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同,结论正确. 6.如图,在四边形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c 答案:A解析:由题意可知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选A. 7.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:0解析:因为D 是边BC 的中点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 8.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案:13解析:∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,∴a-b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. 9.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:2解析:以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 10.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:方法一:先作a-b,再作a-b-c 即可.如图①所示,以A 为起点分别作向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.连接CB,得向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,再以C 为起点作向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,连接DB,得向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的向量a-b-c.方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c; 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,连接OC,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b-c. 11.设O 是△ABC 内一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若以线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H.试用a,b,c 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BH⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:由题意可知四边形OADB 为平行四边形,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b, ∴BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OH ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 能力提升1.平面内有四边形ABCD 和点O,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案:B解析:因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB CD,故四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案:C解析:由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形答案:C解析:∵m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 与n 的长度相等, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平行四边形ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ | C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | D.|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BCD解析:如图,在菱形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选BCD.5.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则a= ,b= . 答案:10 5解析:因为a-b=||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{a +b =15,a -b =5,解得{a =10,b =5.6.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:a+c-b解析:由已知得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b. 7.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求证:b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明方法一:因为b+c=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以b+c=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a,即b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .方法二:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a.方法三:因为c-a=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -b, 所以b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又点M 是斜边AB 的中点,所以CM=AM=BM. (1)因为CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以a+(a-b)=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a+(a-b)|=|b|.。

(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步练习：6章末综合检测(六)

章末综合检测（六）（时间：120分钟，满分：150分）、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设向量a, b均为单位向量，且|a + b|= 1，则a与b的夹角B为（）2n C.-3 3 nD W解析：选 C.因为|a + b|= 1,所以|a|2+ 2a b+ |bf= 1,所以cos 0=- *•又张［0, n , 所以2n2.已知△ ABC 中，a = 2, b = .3, B = 60°,那么角A等于()A. 135° B . 90°C. 45° D . 30°解析：选c.由正弦定理聶=-nB? -^=鼎,则sin A=^3sin B=于.因为a<b,所以A<B，所以A= 45 °.设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若 a = 2, c= 2.3, cos A =宁且b<c,C. B. 2 2D. .3解析：选 C.由a2= b2+ c2- 2bccos A,得4= b2+ 12—6b，解得b= 2 或 4.又b<c,所以b =2.4.在△ ABC中，已知D是边AB上一点，若AD = 2D B, C D = 3CA+活B,贝V =（1 AT2 B.2C.1 3D.3解析：选B.由已知得C D = C A+AD = C A+2A B = C A+3~1 ~> 2 ~—CA) = §CA+ 3CB,因此故选B.6.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是 b , c ,若(a 2+ c 2 —b 2)tan B = , 3ac ,则 bsin A a 的值为（1 B.2 3D 2解析:选 D.由余弦定理 a 2+ c 2— b 2= 2accos B ，得 2ac sin B = 3ac ，得 sin B =于，由正弦定理ai A 冷，得皿=sin B =次故选D.sin A sin B' a2 '27.已知 a , b , c 分别为△ ABC 的内角 A , B , C 的对边，sin B = 2sin Asin C ,且 a>c , cosBEC . 3 解析：选A.因以由余弦定理，得 b 2= a 2+ c 2— 2ac X 4 = 2ac , 即卩2x a — 5x ：+ 2= 0，解得a = 2或乡（舍去）,故选A.8.若四边形ABCD 满足AB + CD = 0, （AB — AD ） AC = 0，则该四边形一定是（）A .正方形B .矩形C .菱形D .直角梯形解析：选C.由AB + CD = 0，即AB = DC,可得四边形 ABCD 为平行四边形, 由(AB — AD) AC=0,即DB AC = 0，可得DB 丄AC ,所以四边形一定是菱形，故选C.9.在△ ABC 中，BC 边上的中线 AD 的长为2, BC= 2 . 6,则AB • AC =() 5 .设点 A(— 1, 2), B(2, 3), C(3, - 1)，且 AD = 2AB — 3BC ,则点 D 的坐标为( )A . (2, 16)B . (— 2,— 16)C . (4, 16)D . (2, 0)解析：选 A.设 D(x , y),由题意可知 AD = (x + 1, y — 2), AB = (3, 1), BC = (1, — 4).所 T Tx +1 =3, x =2,以 2AB — 3BC = 2(3, 1) — 3(1 , — 4) = (3, 14)，所以解得故选 A.|y — 2= 14, y = 16.5A . 1 C .— 2—> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —> 2 ~> 2解析：选 C.AB A C = (AD + DB) (AD + DC)= (AD + DB) (AD — DB)= AD — DB = 4— 6 =—~》 — ~> -> -> AB BC |AC|= ,3, |AB + AC|= |BC|, U ^^ =()|BC|eg=.3,故/ B = 60°,£= 30°,|BC|= 2,AB BC |A B ||BC|COS 120 °1所以|BC|形的面积等于（）A . 16 C . 182 25 + 4 — 17 3 4、卄 csin A 5 25 ,,、，定理，得a = ——C = 3 = T.故选B.sin C 3 32.~2解析: 选B.由向量的平行四边形法则, 知当 |A B + AC|= |B C |时，/ A = 90°•又 |AB|= 1, |AC| 11•在平行四边形 ABCD 中，对角线AC = .65, BD = . 17,周长为18,则这个平行四边(a + b )= 18,解析：选 A.设 AB = CD = a, AD = BC = b,则 2 |65 + 17 = 2 (a 2+ b 2) ，解得 a =4, b = 5 a = 5, b = 4.12.设厶ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且3acos C = 4csin A ,已知△ ABC1的面积 S = ^bcsin A = 10, b = 4, 则a 的值为（） A 23 A .? r 25 BE 26 C.26 28D 亍 a 4c a解析：选B.由3acos C = 4csin A 得 =，又由正弦定理 sin A 3cos C sin A —sin C 得 sin C4c3cos Ctan C = 3 1 4 由 S = ^bcsin A = 10,3 3b =4?csin A =5, 由 tan C =4?sin C =5 又根据正弦10.在△ ABC 中，若 |AB|= 1,|BC| 2'35 32所以COS / BAD =云市S = 4X 5X 5 = 16. 5二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上.13. ______________________________________________________________ 设向量a , b 不平行，向量入a + b 与a + 2b 平行，则实数 X= ________________________________解析：因为扫+ b 与a + 2b 平行，所以?a + b = t(a + 2b ) = t a + 2t b ,又向量a , b 不平行, “ t,启 2，所以所以，j=2t ， [t =2. 答案：214. ______ 设厶ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若b + c = 2a , 3sin A = 5sin B ,则角 C= ________ .解析：由已知条件和正弦定理得：3a = 5b ，且b + c = 2a ，则a =譽，c = 2a — b =叟3 3a 2 +b 2— c2n又0<C< n,因此角C = -3. 答案:15. 在△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别是na ,b ,c ,已知 c = 2, C = §.若 sin B = 2sinA ,则厶ABC 的面积为 __________ .解析：因为sin B = 2sin A ,所以b = 2a.2222又因为 c = a + b — 2abcos C = (a + b) — 3ab = 4.所以a =于，b =于16. 某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°,仰角为45°,此人沿南偏东 40。

(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册同步练习

（2019新教材）人教A 版高中数学必修第二册全册同步练习6．1 平面向量的概念[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE 綊FD ，所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E . 因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|. 因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|，故|DB →|＝32.答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i ＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．6.2 向量的运算[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B.CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B.EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B. 3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 4．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 5．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝______，|a －b |＝________．解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线，所以|a －b |＝2.答案：0 27．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________．解析：①因为OD →＋OE →＝OM →，所以OD →＝OM →－OE →，正确；②因为OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④因为－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确．答案：①②③④9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)AD →－AB →；(4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . (5)BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d . 10．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直．[B 能力提升]11．给出下面四个结论：①若线段AC ＝AB ＋BC ，则向量AC →＝AB →＋BC →； ②若向量AC →＝AB →＋BC →，则线段AC ＝AB ＋BC ； ③若向量AB →与BC →共线，则线段AC ＝AB ＋BC ； ④若向量AB →与BC →反向共线，则|AB →－BC →|＝AB ＋BC . 其中正确的结论有________．解析：①由AC ＝AB ＋BC 得点B 在线段AC 上，则AC →＝AB →＋BC →，正确． ②三角形内AC →＝AB →＋BC →，但AC ≠AB ＋BC ，错误．③AB →，BC →反向共线时，|AC →|＝|AB →＋BC →|≠|AB →|＋|BC →|，也即AC ≠AB ＋BC ，错误． ④AB →，BC →反向共线时，|AB →－BC →|＝|AB →＋(－BC →)|＝AB ＋BC ，正确．答案：①④12．已知|OA →|＝a ，|OB →|＝b (a >b )，|AB →|的取值范围是[5，15]，则a ，b 的值分别为______．解析：因为a －b ＝||OA →|－|OB →||≤|OA →－OB →|＝|AB →|≤|OA →|＋|OB →|＝a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.答案：10 513．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－BC →|＝________．解析：如图，在△ABD 中， AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，AB →－BC →＝AB →＋CB → ＝AB →＋BD →＝AD →.易求得AD ＝3，即|AD →|＝ 3. 所以|AB →－BC →|＝ 3. 答案：314．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A .根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.[C 拓展探究]15．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|，所以|a －b |＝|a |. (2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →，因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.向量的数量积[A 基础达标]1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D.如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝150°.2．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A. 3 B.5 C ．3D ．5解析：选C.由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C.因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C.因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.6．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32.答案：－327．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________．解析：根据题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，因为(3a ＋λb )⊥a ，所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋λ＝0，所以λ＝－ 3.答案：－38．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，所以|b |＝22.设向量a ，b 的夹角为θ，因为a ·b ＝12，所以|a |·|b |cos θ＝12，所以cos θ＝22，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝12，所以|a －b |＝22. 10．已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为－e .(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？解：(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影向量为|a |cos θ e ＝－e ，所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直，所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝47.[B 能力提升]11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D.因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0，所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．12．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得a·b ＝0，由|a －b |＝2|a |可得3a 2＝b 2，所以|b |＝3|a |，设向量a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝－|b |22|a |·3|a |＝－3|a |223|a |2＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.13．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．解析：由DC →＝2BD →，所以BD →＝13BC →，BC →＝AC →－AB →，故AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎣⎡⎦⎤AB →＋13·（AC →－AB →）·(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝13AB →·AC →＋13AC →2－23AB →2 ＝13|AB →||AC →|cos 120°＋13|AC →|2－23|AB →|2＝13×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＋13×1－23×22＝－83. 答案：－8314．设向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，画出y ＝2t 2＋15t ＋7的图象，如图．若2t 2＋15t ＋7<0，则t ∈⎝⎛⎭⎫－7，－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142. 所以所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. [C 拓展探究]15．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0，由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 设AB →与AD →的夹角为θ，又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)，所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析：选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)，所以λOA →＋(1－λ)OB → ＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________．解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)，所以CD →＝(1，2)．答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1.所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫2，45 B.⎝⎛⎭⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝ab ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝⎛⎭⎫2，45. 12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－P A →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12.同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝(2λ1－32λ2，12λ2)，所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2，2)，故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.两向量共线的充要条件及应用[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )．因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)，所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →，所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． (2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. ②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC →＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)，由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝47，所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167，所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167. 答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标．解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →，所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →. 设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.平面向量数量积的坐标表示[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________．解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )，因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0，即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0，所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______．解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ）2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2 θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋39．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值．解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4. (2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)，因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0，解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cosθ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为________．解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，则A (3，0)，B (0，0)，C (0，4)．所以AB →＝(－3，0)，BC →＝(0，4)，CA →＝(3，－4)．所以AB →·BC →＝－3×0＋0×4＝0， BC →·CA →＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA →·AB →＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝0－16－9＝－25. 法三：(转化法)因为|AB →|＝3，|BC →|＝4，|AC →|＝5，所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →) ＝CA →·AC →＝－|AC →|2＝－25. 答案：－2514．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．[C 拓展探究]15．已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)． AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD .(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，所以AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)．又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.正弦定理[A 基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．23C ．2D ．3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2Bcos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

(新教材)2021版高中数学人教B版必修第二册同步练习：6.1.5 向量的线性运算 (含解析)

第六章 6.1 6.1.5请同学们认真完成 [练案27]A 级基础巩固一、选择题1．下列式子中，正确的有( C ) ①a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ； ②a ＋b －(a ＋b )＝0；③若a ＝m ＋n ，b ＝4m ＋4n ，则a 与b 方向相同 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ∵a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ，故①正确；a ＋b －(a ＋b )＝0，故②不正确；若a ＝m ＋n ，b ＝4m ＋4n ＝4(m ＋n )＝4a ，∴a 与b 方向相同，故③正确，故选C ．2．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →等于( C )A ．13CB →B ．－13CB →C ．－23CB →D ．23CB →[解析] DE →＝AE →－AD →＝23AC →－23AB →＝23BC →＝－23CB →．3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( D )A ．a ＋34bB ．34a ＋14bC ．14a ＋14bD ．14a ＋34b[解析] ∵BD →＝3DC →，∴BD →＝34BC →＝34(b －a )，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34B ．4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( A ) A ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0，22)C ．λ(AB →－BC →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈(0，22)[解析] 设P 是对角线AC 上的一点(不含A ，C )，过点P 分别作BC ，AB 的平行线，设AP →＝λAC →，则λ∈(0,1)，于是AP →＝λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1)．5．(多选题)下列说法错误的是( AD ) A ．实数λ与向量a ，则λ＋a 与λ－a 的和是向量 B ．对于非零向量a ，向量－3a 与向量a 方向相反 C ．λ(a －b )＝λa －λbD ．λa ＋μa 与(λ＋μ)a 的方向都与a 的方向相同[解析] λ＋a 与λ－a 均无意义，故A 错误．因为－3＜0，所以B 正确．C 显然正确，只有当λ＋μ是正数时，λa ＋μa 与(λ＋μ)a 的方向才都与a 的方向相同．故D 错误．二、填空题6．已知实数x 、y ，向量a 、b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝__12__，y ＝__12__．[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝12y ＝12．7．已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝__0__．[解析] 因为(x －a )－(b －x )＝2x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即x ＝0． 8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为__3__．[解析] ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3．三、解答题 9．化简下列各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )． [解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3B ．(2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b ＝－16A ．(3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝－11b ＋11C ．10．如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →、ON →、MN →．[解析] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16(a －b )＝16a ＋56b ，CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫16a ＋56b ＝12a －16B ． B 级素养提升一、选择题1．在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( A )A ．23B ．13C ．－13D ．－23[解析] 解法一：∵A 、D 、B 三点共线， ∴13＋λ＝1，∴λ＝23．解法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →， ∴λ＝23，故选A ．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OB 的中点，若AC →＝a ，BD →＝b ，则CE →等于( D )A ．－12a ＋14bB ．12a －14bC ．12a ＋14bD ．－12a －14b[解析] 如图∵E 是OB 的中点，∴OE →＝14DB →＝－14BD →＝－14b ，∴CE →＝CO →＋OE →＝－12AC →＋OE →＝－12a －14B ．3．若O 是平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于( B ) A ．AO → B ．BO → C ．CO →D ．DO →[解析] ∵AB →＝4e 1，BC →＝6e 2， ∴3e 2－2e 1＝12BC →－12AB →＝12(BC →＋BA →)＝12BD →＝BO →，故选B ．4．(多选题)如图所示，向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →.设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，则以下等式中不成立的是( BCD )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12qD ．r ＝－q ＋2p[解析] 因为OC →＝OB →＋BC →，AC →＝－3CB →＝3BC →，所以BC →＝13AC →，所以OC →＝OB →＋13AC →＝OB→＋13(OC →－OA →)．所以r ＝q ＋13(r －p )，所以r ＝－12p ＋32q ．二、填空题5．在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC →＝λAD →＋μAB →，则λ＋μ＝__32__，若E在线段AD 上，异于A ，D 两点，则λ＋μ的取值范围为__(1,2)__．[解析] (1)因为EC →＝ED →＋DC →＝12AD →＋AB →，所以λ＋μ＝12＋1＝32．(2)EC →＝ED →＋DC →＝λAD →＋AB →，λ∈(0,1)，所以λ＋μ∈(1,2)．6．已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是__3__．[解析] 记2AM →＝AN →，∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN ，又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，从而有λ＝3．三、解答题7．设x 、y 是未知向量，解下列方程或方程组． (1)5(x ＋a )＋3(x －2b )＝0；(2)⎩⎨⎧12x －y ＝a x －12y ＝b．[解析] (1)原方程可化为5x ＋5a ＋3x －6b ＝0，即 8x ＝－5a ＋6b ，解得x ＝－58a ＋34B ．(2)将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得 32y ＝－2a ＋b ，从而 y ＝－43a ＋23B ．①式①代入原方程组的第二个方程，得 x －12(－43a ＋23b )＝B ．移项并化简得x ＝－23a ＋43B ．8．已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0.求证：G 是△ABC 的重心． [解析] 如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－(GB →＋GC →)()以GB →、GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则 GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →，又∵在□BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →， ∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|， ∴G 为△ABC 的重心．。

人教版高一数学下学期必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元达标高分突破基础卷(含解析)

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．（2021·全国·高一课时练习）给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）设a 、b 是非零向量，则“a 、b 共线”是“a b a b +=+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2BD DC =．若AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2133a b+r r B ．2133a b-C ．1233a b+D ．1233a b-4．（2021·全国·高一课时练习）已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b-B ．bC ．14b-D ．14b5．（2021·全国·高一课时练习）设向量()1,2a →=-，(),1b m →=，如果向量2a b →→+与2a b →→-平行，那么a b →→⋅的值为（）A ．72-B ．12-C ．32D ．526．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若12,e e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（）A ．12(,)e e R λμλμ+∈不可以表示平面α内的所有向量；B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数,λμ有无数多对；C ．若1122,,,λμλμ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使11122122()e e e e λμλλμ+=+；D ．若存在实数,λμ使120e e λμ+=，则0λμ==.7．（2021·江苏宿迁·高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos sin b c A Ba c B A-=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积2222221[()]42c a b S c a +-=-．若2b =，sin 2sin a B b C =，则△ABC 面积的最大值为（）A ．13B ．23C ．43D ．63二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

高中数学第二册(下)同步练测答案

高二(下)同步练测答案练测（1）1—8 CDCA BCDA 9.无数个;无数个;1个或无数个;4个 10.④ 11.BD P ∈ 练测（2）1—5 DBDBC ， 6—10 BBCDC 11. (1)平行 (2)异面 (3)异面 (4)相交 (5)异面(6) 平行 12.(1) 900 (2)600 (3)00 (4)1cm 13.反证法 14.略 15.600 16 (1)∠B 1CD,600(2)∠NPQ,600(3) 90017. 60018.1030 练测（3）1—5 CBDDC 6—10 CDBAD 11.∈⊂∉⊃∈∈⊂,,,,,, 12. 4 13.6 145,3015.615,55 16. αsin 22 20. 32练测（4）1—8 CCCB CCDD 9 无数多 11.αα⊂b b 或// 12.一个 13. 4cm 或1cm 16.m:n 17.(1)略 (2)2a 18. (1) 22练测（5）1—5 DBDDC 6—10 CDDDA 11.垂直 12.22)(c b a -+ 13.222222221,,c a b c b a b a ++++ 16 .13 17. 233 练测（6）1—5 BDDAD 6—9 ABCA 10.7 11.外, 内;垂;中点;∠A 的平分线;外 12.32,3 13.(1)4个 (2)BC=AB 时垂直,BC ≠AB 时不垂直 14.(1)22(2)450 15.B 16.(1)450 （2）22（3）300练测（7）1—5 BBBBD 6—9 DACD 10. 6 11.22221c b a ++ 12.10cm,10cm 13.1925cm 15.32 17. 4,7练测（8）1—10 BCDDD CACDA 11.a 2112. 平行或异面 13.742 14.bb c a b c b a )()(-+或15. 10 18. 22 19. km 32 练测（9）1—6 CDACAB 7. 平行或异面 8.1个，无数个 9.相似 10.31011.相交,平行或异面 13.C 14. 4,6,7,8 15.12 练测（10）1—7 DDBA ABB 8. 7cm 9.43 10.3π11.a 23 12.ϕθtg a sin 13. 450 14. 700或1650 15. 900 16.正弦值为4617.(1)900 (2)正切值为2 练测（11）1—8 CDAC DCAD 9.××√× 10.450,33 11.a 7 13.2.5cm 15.B 16. 600练测（12）1．D 2．C 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10. A 11.33 12.1,1 13. 325 14.0120 15.5∶2 16.略 17.略 18.06019.略20.(1)略(2)53(3)75 练测（13）1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10. C11.若,,,,αα∈∈∈∈p m a p a m 则α⊂a 12.(0090,0) 13.垂直相交 14.2 15. 5或16.用判定定理 17.(1)030(2)22 18.090 19.略 20.(1)045(2) 090(3)-2 练测（14）1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D8．D9．C10.B 11.22222c b a ++ ,cm cm 6,3212.2222Q P h +13.2314.3,4ππ15.cm 916.333cm 或3233cm 17.A18.h 4319.(1)222a (2)a 2 练测（15）1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．D 10.C 11.66 12.3113.2 14.1∶26 15.(1)2415a (2)2433a - 16.a 3317.C 18.DC ∥AB 或ABCD 为平行四边形19.261hl 练测（16）1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B 9．A 10. B 11.B 12.C 13.1760元14.18015.3216.34217.Q 9818.略19.224020.高为1.2m 时,容器有最大容积为1.83m 21.(1)41(2)22练测（17）1． B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10.D 11.a 212.31-13.①②③14.)2,1(1214======AC AD BC BD CD AB 或)1,2(1211======DB CD BC AD AC AB 或AB=1其余棱均为2,得611=V 15.=表面积S n a 243 (20,8,4=n )16.三角形晶面有8个,八边形晶面有6个17.31arccos -π 18.E=30,F=20,V=12练测（18）1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D10.B 11.22312.16625arccos +R 13.)25(10-14.3 15.球V =π23,球S =π3 16.R r 226-=17.cm 35 18.8πθ=时,全S 最大,最大值为2R π(1+2) 练测（19）1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．C 10. B 11.C 12.C 13.18 14.32415a 15.414 16.285r 17.a 23 18.R 3π 19.338cm 20.(1)略(2)3arctan 21.(1)略(2)090(3)略(4)1练测（20）1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 9．A 10. B 11.B 12. A 13.R 6π14.②④ 15.2 16.010517.略18.750或1650 19.334cm π 20.3∶2 21.264553a 练测（21）1---5 DADAB 6----10 DDBCA 11-----12 AD 13.无数条 14R π3215.17：7 16.km 321 17.2:1 18.略 19．(1) 略 (2)3183a 20.300或600 21. S 33532336S 3+=+==，高，侧表练测（22）1----5 BBBDC 6----10 CDBBA 11----12 BB 13.相等或互补 14.3 15.6cm 2 16.10 17.(ab )12+ 18. 略 19.1:2:3 20.(1)41 (2)22 21.(1)554 (2)21 (3)26练测（23）1.C2.B3.C4.D5.D6.A7.C8.B9.63 10.27 11.60 12.32 25 13.8 14.(1)20 (2)14 15.12 16.20 17.A 18.B 19.n! 20.139 练测（24）1.C2.B3.D4.B5.B6.C7.B8.D9.8 15 10.A A m n mn 11.-- 11.60 120 120 12.720 13.171 14.2450 15.(1)1800 (2)2520 16.(1)59 (2)88 (3)31420 17.C 18.A 19.114 20.(1)5040 (2)2160 (3)240 (4)3720 (5)266 (6)720 (7)144 (8)1440 (9)840 (10)720 练测（25）1.D2.A3.B4.C5.C6.B7.A8.C9.(1)2,5 (2)30 (3)161700 (4)2 10.21 11.1680 12.60 13.24 14.25,115 15.(1)126 (2)36 (3)105 (4)1260 16.(1)24 (2)1 (3)144 (4)12 17.B 18.C 19.32.16 20.四种可能练测（26）1.A2.C3.C4.C5.D6.D7.B8.A9.B 10.A 11.D 12.C 13.28 14.42 15.168 16.28800 17.(1)60 (2)1 (3)150 18.(1)C C 48715 (2)C C C C C C 442671344485132+ 19.252 20.504 21.295 22.72练测（27）1.B2.D3.C4.B5.C6.B7.D8.A9.4 10.5 11.11 12.10,0.1 13.15 14.aC 551015.-51 16. 9,10,11或14,15,16 17.D 18.B19.[+∞,54] 20.m=5,n=6或m=6,n=5时系数最小25练测（28）1.A2.A3.C4.B5.B6.C7.A8.D9.baC T r rn r nr 111--+-=10.0.78 11.3 12.210 13.18 14.x 2和28x 15. 16.(1)5 (2)49958<<b 17.D 18.B 19.8-n8练测（29）1.B2.D3.D4.C5.D6.A7.B8.D9.B 10.A 11.D 12.A 13.335 14.179 15.120 16.120 17.(1)A 450 (2)C 75018. 1440 20.560x 2,x 28023 21.17 22.(1)36 (2)12 (3)24 (4)8 练测（30）1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.A8.A9.CC 101001090 10.41 11.151 12.AA A 101055482 13.0.1 14.CC C 452139313 15.(1)0.00001 (2)0.1 16.(1)165 (2)8117. C 18.D 19.125 20.(1)154 (2)1513练测（31）1.C2.B3.C4.C5.D6.C7.D8.B9.125 10.0.5 11.6112.0.5 13.31 14. 41,521 15. 0.1 16.(1) 15067 (2)902317.D 18.D 19.83 20.(1)1-9.030(2)1-10291 练测（32）1.B2.B3.B4.A5.C6.D7.A8.D9.0.985 10.12881 11.32112.10,0.610 13.2519 14.(1)641 (2) 647 (3)3221 15.)(NM N n- 16.5 17.D 18.A 19.0.25 20.x=9练测（33）1.C2.C3.A4.C5.C6.D7.D8.C9.B 10.B 11.C 12.B13.k n m k n -+- 14. 92 15.0.99 16.0.99 17.CC nnn n 242)(2 18.nA nk n n 11,1--19.(1)0.97 (2)0.03 20.9 21.0.488 22.(1)0.476 (2)0.407 (3)0.108 (4)0.009 练测（34）一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D9.A 10.C 11.B 12.C二、13.666,362929=-=A C 14.18 15.2116.4三、17.36046=A 18.(1)1225409 (2)122581619.2241413=AA 20.T 10=355ba 21.提示：k C C k n k n n k n k n k 11)!(!!--=-⋅=⋅ 22. (1)第5项 (2) 4958<<b a 练测（35）一、1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.D 11.B 12.C 二、13.24 14.(21010)A15.0.104 16.1+510三、17.(1) 1440 (2) 240 18.种61312=CC 19.提示：(x+1)n n nx x )1()1(2++=两边展出式中n 次方项系数相等 20.(1) -1 (2) -21421. (1)略 (2) 0.45 (3)300 22.302030)21(C练测（36）一、1.C 2.C 3.D 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A9.B 10.D 11.A 12.D 二、13.2 14.24cm 15. 90 16.若m ,,,α∈∈∈m a P a 则α⊂a 三、17.略 18.(1) 450 (2) 600 (3)23cm (4) 2cm 19---21 略22.(1) arcsin57 (2) arcsin 103 练测（37）一、1.A 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B9.C 10.D 11.B 12.C 二、13.2314.1:9 15.1cm 3 16.球的表面积三、17.3000()2-πcm 3 18.h 3225151 19.棱数为4条 20．S 表=88cm 2, V=48cm 3 21.(1) 略 (2)33 22.(1)—(2) 略 (3) 66练测（38）一、1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.B 10. A 11.B 12.A 二、13．6 14.1或-1 15.2)3(-n n 16.6500000 三、17．m =2 18. 略 19.288种 20.24种 21.20条直线 22.54种练测（39）一、1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二、13．10114.80% 15.0.56 16. 三、17．1.09.09910⨯C 18.1CC101001094-19.P 3(2)=441.0)7.01(7.023223=--C 20.(1)0.0729 (2) 0.40951 21.0.6 22.1-(1-P)m 练测（40）一、1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A9.B 10.A 11.C 12.B 二、13.179 14.125 15.2616.58 三、17.提示：,313n n ≥+ 且∴=∴-≥,6,172n n n 原式=C1819+C1718+ +C1213+C1112=124 18.(1)21(2)621 (3) arccos 8119.(1)n=4 (2)3=63x (3)44705b a = 20.635021.分别为1和2 22.(1)略（2）6练测（41）一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.A 12.C 二、13. –480 14.365115.arccos 33 16. 42三、17.686 18.85 19.2432cm 20.3351 21.873 22.(1) 450 (2) arctan 2 练测（42）一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.A 11.D 12.B 二、13.444365362A ⨯ 14.27015.74 16.1 三、17.(R )1632+ 18.P 4(3)=41)21()21(334=⋅C P 8(5)=327)21()21(3558=⋅C 19.(1)T 6+1=210x 3 (2) T 6=T 5+1=252x 122520.(1)略 (2)MN=138 21.(1)43 (2) 1615 22.(1) 略 (2)900 (3)600。

人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测(含答案)

第六章平面向量及其应用单元检测范围：必修二课本第六章全部内容（P1-P66)(本试卷共14道题，满分100分，考试时间45分钟）一、单选题（每题6分，共36分）1.下列命题中正确的是（）A.若→a 、→b 都是单位向量，则→a ＝→bB .若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C.若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c D.AB 与BA 是两平行向量2.已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若23OA OC OB +=的值为（）A．21B．31C．41D．613．设R y x ∈,，向量)1,(x a =，),1(y b =，)4,2(-=c ，且c b c a//,⊥＝()A.5B.10C ．25D ．104．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于()．A ．5B ．3C ．4D ．15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝A.π3B.2π3C.3π4 D.5π66.在ABC ∆中，060=A ，b=1，其面积为3，则三角形外接圆的直径等于（）A.33 B.3392 C.3326 D.229二、多选题（每题6分，共12分）7.在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值是()A．1B．-1C．3D．-68.下列命题中，正确的是（）A 在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >B.在锐角三角形ABC 中，不等式B A cos sin >恒成立C.在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D.在ABC ∆中，若060=B ，ac b =2，则ABC ∆必是等边三角形三、填空题（每题6分，共18分）9.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．10.在ABC ∆中，N 是AC 边上一点，且NC AN 21=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 92+=，则实数m 的值为________．11.在ABC ∆中，AB=3，AC=1，030=B ，则ABC ∆的面积等于________．四、解答题（共34分）12.（本小题10分）如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ；(2)求证：B 、E 、F 三点共线．13.（本小题12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若n m //，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若p m ⊥，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．14.（本小题12分）在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断△ABC 的形状。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用(含答案)

人教A版高中数学必修第二册第六章　平面向量及其应用全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案　5π6解析　因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案　16解析　因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案　1,解析　因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析　(1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析　(1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析　(1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。

人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题第6章平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 (3)

6.1 平面向量的概念课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列说法中,正确的是( ) A.若四边形ABCD 是平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 D.若a ∥b,则a 与b 的方向相同或相反答案:AC解析:当四边形ABCD 是平行四边形时,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,长度相等,因此有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 中说法正确;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;选项C 中说法显然正确;0与任一向量平行,但零向量的方向是任意的,故选项D 中说法错误. 2.在同一平面内,把所有单位向量的起点固定在同一点,则其终点形成的轨迹是( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线答案:A解析:平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.3.如图,在3×4的格点图(规定小方格的边长为1)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( )A.12个B.18个C.24个D.36个答案:C解析:由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.4.如图所示,在等边三角形ABC 中,点P,Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:B解析:向量相等要求模相等且方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.5.(多选题)下列条件中,能使a ∥b 成立的有( ) A.a=bB.|a|=|b|C.a 与b 方向相反D.|a|=0或|b|=0答案:ACD解析:若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a ∥b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此不一定有a ∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,故若a 与b 方向相反,则有a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a ∥b.6.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论正确的是( ) A.a 0=b 0B.a 0=-b 0C.|a 0|+|b 0|=2D.a 0∥b 0答案:C解析:因为a 0,b 0是单位向量,所以|a 0|=1,|b 0|=1. 所以|a 0|+|b 0|=2.故选C.7.如图,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是某人行走的路线,那么AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的几何意义是某人从A 点沿西偏南方向行走了 km.答案:60° 2解析:由已知图形可知,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的几何意义是从A 点沿西偏南60°方向,行走了2km.8.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:√3解析:在Rt △ABC 中,由勾股定理可知,BC=√AC 2-AB 2=√3,故|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. 9.将向量用具有同一起点M 的有向线段表示,当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,且|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:3或1解析:当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 同向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|EF ⃗⃗⃗⃗ |=3; 当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 反向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|EF ⃗⃗⃗⃗ |=1.10.如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,在图中的向量中:(1)分别找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否相等? 解:(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有BF ⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地,最后从C 地沿西南方向飞行1 000√2 km 到达D 地.作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向. 解:以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三角形,所以AC=km. 又∠ACD=45°, CD=1000√2km,所以△ADC 为等腰直角三角形, 所以AD=1000√2km,∠CAD=45°.故向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2km,方向为东南方向.能力提升1.(多选题)已知A={x|x 是与a 共线的向量},B={y|y 是与a 长度相等的向量},C={z|z 是与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,下列关系中正确的是( ) A.C ⊆A B.A∩B={a}C.C ⊆BD.(A∩B)⊇{a}答案:ACD解析:因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量,所以B 中的关系错误.2.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式中成立的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗C.PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗D.EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B 中的等式不成立;选项C 中,PE ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 不成立;选项D 中,EP ⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗ 成立. 3.已知点D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点,则|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A.12B.13C.1D.2答案:C解析:因为四边形ABPC 是平行四边形,且点D 为对角线BC 与AP 的交点,所以点D 为AP的中点,所以|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为1.4.若四边形ABCD 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案:矩形解析:∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ∥BC,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是平行四边形.又由|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD 是矩形. 5.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案:0解析:平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的三点,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量. 6.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |P,Q ∈M,且P,Q 不重合},则集合T 有个元素.答案:12解析:根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. 7.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6解析:(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6. 8.在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是CD,AB 的中点,如图所示.(1)写出与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)解:与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点,所以ED ∥BF,且ED=BF,所以四边形BFDE 是平行四边形,故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD⃗⃗⃗⃗⃗ .。

人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件第6章平面向量及其应用习题课一平面向量的综合应用

又因为a,b为两个不共线的单位向量,
所以(*)式可化为k-1=(1-k)a·b,
若1-k≠0,则a·b=-1,这与a,b不共线矛盾;
若1-k=0,则k-1=(1-k)a·b恒成立.
综上可知,k=1时符合题意.
规律总结
1.求向量的模的方法
(1)公式法:利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
建立平面直角坐标系,如图,

则 A( ,

),D( ,

).设 M(x,0),则 N(x+1,0),

则=(x- ,+
=x2-4x+
),=(x- ,-

)(x∈[0,5]),有 ·=(x- )(x- )

2
=(x-2) + .所以,当
; ·=
||=
答案:
-1
.
(2)方法一:如图,由题意及平面向量加法的平行四边形法则可知,

P 为 BC 的中点,在△PCD 中,||= ,cos∠DPB=-cos∠DPC=- ,

∴ ·=||·||cos∠DPB=1× ×(- )=-1.

方法二:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或
者其他向量的表达形式时,其解题思路是经过向量的运算,利
用三角函数在定义域内的有界性求解.
跟踪训练

4.已知向量 a=(sin θ, ),b=(1,cos θ),|θ|≤ ,则|a-b|的最大值为(

高中数学人教A版必修第二册精英同步试题测试：第六章章末检测Word版含答案

（含解析)高中数学必修第二册精英同步测试卷：第六章章末检测1、设P 是ABC ∆所在平面内一点,且2BP PC =u u u r u u u r ,则AP =u u u r ( )A. 1322AB AC +u u u r u u u rB. 3122AB AC +u u u r u u u rC. 1233AB AC +u u u r u u u rD. 2133AB AC +u u u r u u u r 2、有4个命题:①若p xa yb =+r r r ,则p r 与,a b r r 共面;②若p r 与,a b r r 共面,则p xa yb =+r r r ;③若MP=x MA yMB +u u u r u u u r u u u r,则,,,P M A B 共面; ④若,,,P M A B 共面,则MP=x MA yMB +u u u r u u u r u u u r .其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3?D. 4 3、已知向量,2a b a b ⊥==r r r r 则2a b -=r r ( )A. B. 2C.D. 4、已知向量()1,2a =r ,(,1)b x =-r 若a b ⊥r r ,则实数x 的值为( )A.2- B.2 C.1- D. 15、如图,空间四边形OABC 中, OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,OC c =u u u r r 点M 在OA 上,且2OM MA =,N 为BC 的中点,则MN u u u u r 等于( )A. 121232a b c -+r r rB. 211322a b c -++r r rC. 112223a b c +-r r rD. 221332a b c +-r r r6、如下图,已知空间四边形ABCD 中, ,,AB a BC b AD c ===u u u r u u u r u u u r ,则CD uuu r 等于( )A. a b c +-B. c a b --C. c a b +-D. c a b ++7、△ABC 中,点D 在边AB 上, CD 平分∠ACB ,若 ,,||1,||2,CB a CA b a b ====u u u r r u u u r r r r 则CD =u u u r ( )A. 1233a b +rrB. 2133a b +rrC. 3455a b +rrD. 4355a b +rr8、已知i j k r r r 、、为空间两两垂直的单位向量，且32,2a i j k b i j k =+-=-+r r r r r r r r ，则53a b ⋅=r r ( )A ．15-B ．5-C ．3-D ．1-9、如图，平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD A ==∠=︒，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅u u u u r u u u r 等于（）A. 3-B.3C. 1-D. 110、如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==.若点E为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r 的最小值为（）A.2116B.32C.2516D.3 11、已知ABC △中, 22232330a ab b c -+-=,则cos C =__________.12、在ABC ∆中，已知5a ＝，523b ＝，14A ＝，则2cos B ＝________． 13、在ABC △中，若2221()4ABC S a b c ∆=+-,那么角C ∠=______. 14、在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知3A π=3a =1b =,则c =__________.15、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2a =2b =,sin cos 2B B +=则角A 的大小为__________.16、已知平面向量(3),(3,1)a b =-=-r r ,则a r 与b r 的夹角为__________17、已知向量(2,3)a =-r ,(3,)b m =r ,且a b ⊥r r ,则m =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：D 解析：()13DM DB DA AB DA AB ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r224133DA DA AB AB =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r2242π1cos 333DA DA AB AB ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur241112121323⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故本题正确答案为D.10答案及解析：答案：A解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则1 0,2A⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C⎛⎫⎪⎝⎭，3,0D⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，点E在CD上，则()01DE DCλλ=≤≤u u u r u u u r，设(),E x y，则：3332x yλ⎛⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即3332xyλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，据此可得：3332Eλ⎫⎪⎪⎝⎭，且：333122AEλ⎫=-+⎪⎪⎝⎭u u u r，333,2BEλ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，由数量积的坐标运算法则可得：3333313222AE BEλλ⎛⎫⋅=-+⨯+⎪⎝⎭⎝⎭⎝u u u r u u u r，整理可得：()()23422014AE BEλλλ⋅=-+≤≤u u u r u u u r，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE⋅u u u r u u u r取得最小值2116.11答案及解析：答案：13解析：12答案及解析：答案：79解析：13答案及解析：答案：45︒解析：14答案及解析：答案：2 解析：由正弦定理可得sin 1sin 2b A B a ==,又因为b a <,所以6B π=,所以362C ππππ=--=,所以2224c a b =+=,故2c =.15答案及解析：答案：30°解析：由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=,即sin 21B =,因为0180B ︒<<︒,所以45B =︒.又因为a =2b =,所以在ABC ∆中,2sin 45=︒,解得1sin 2A =,又a b <,所以45A B <=︒,所以30A =︒.16答案及解析：答案：56π 解析：17答案及解析：答案：2解析：因为a b ⊥r r ,所以0a b ⋅=r r ,得630m -+=,所以2m =.。

人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题第6章平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理

6.3.1 平面向量基本定理课后·训练提升基础巩固1.设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1+(10-y)e 2=(4y-7)e 1+2xe 2,则实数x,y 的值分别为( ) A.0,0 B.1,1 C.3,0D.3,4答案:D解析:因为e 1与e 2不共线,所以{3x =4y -7,10-y =2x ,解方程组得x=3,y=4.2.(多选题)已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一个基底的是( ) A.{e 1-e 2,2e 2-2e 1} B.{e 1-e 2,e 1+e 2} C.{2e 2-e 1,-2e 2+e 1} D.{2e 1+e 2,4e 1+2e 2}答案:ACD解析:不共线的向量才能作为基底,选项A,C,D 中的向量均共线,故不可作为一组基底.3.在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可用基底{a,b}表示为( ) A.12(a+b)B.23a+13bC.13a+23bD.13(a+b)答案:C解析:因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+23b.4.在△ABC 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ∥BC,EF 交AC 于点F,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BF ⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.-a+15bB.a-15bC.23a-13bD.13a+23b答案:A解析:∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又EF ∥BC,∴EF ⃗⃗⃗⃗ =15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴BF ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =-45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+15b. 5.已知A,B,D 三点共线,且对任一点C,有CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ等于( ) A.23B.13C.-13D.-23答案:C解析:因为A,B,D 三点共线,所以存在实数t,使AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ). 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{1-t =43,t =λ,解得t=λ=-13. 6.设点D 为△ABC 中BC 边上的中点,O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,则( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:依题意,得BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选D.7.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案:12解析:如图,由题意知,D 为AB 的中点,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以λ1=-16,λ2=23, 所以λ1+λ2=-16+23=12.8.向量a 在基底{e 1,e 2}下可以表示为a=2e 1+3e 2,若a 在基底{e 1+e 2,e 1-e 2}下可表示为a=λ(e 1+e 2)+μ(e 1-e 2),则λ= ,μ= . 答案:52-12解析:由条件,可知{λ+μ=2,λ-μ=3,解得{λ=52,μ=-12.9.如图,在△OAB 中,延长BA 到点C,使AC=BA,在OB 上取一点D,使DB=13OB,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,用a,b 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC⃗⃗⃗⃗⃗ .解:OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b-23b=2a-53b. 10.如图,在△ABC 中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求CD 的长;(2)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 解:(1)因为DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =√19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =√19×4-23×2×3×12+9=√673, 即CD 的长为√673. (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =43+13×2×3×12=73.能力提升1.(多选题)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法正确的是( )A.λe 1+μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α中的任一向量a,使a=λe 1+μe 2的实数λ,μ有无数多对C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1+μ1e 2=λ(λ2e 1+μ2e 2)D.若存在实数λ,μ,使λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0 答案:AD解析:由平面向量基本定理,可知AD 说法正确,B 说法不正确.对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故C 说法不正确. 2.如图所示,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB=60°,OB⊥OC,设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.x=-2,y=-1B.x=-2,y=1C.x=2,y=-1D.x=2,y=1 答案:B解析:过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D,连接BC(图略). 由|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB=60°,OB⊥OC,知∠COD=30°. 在Rt △OCD 中,可得OD=2CD=2,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即x=-2,y=1. 3.若OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.11+λa+λ1+λb答案:D解析:∵P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即(1+λ)OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠-1), ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λa+λ1+λb.4.若点M 是△ABC 所在平面内一点,且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 .答案:1∶4解析:如图,由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,可知M,B,C 三点共线.令BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒λ=14. 设△ABM 与△ABC 的面积分别为S △ABM 和S △ABC ,则S △ABM S △ABC=14,即△ABM 与△ABC面积之比为1∶4.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,线段OD 上有点M 满足DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,线段CO 上有点N 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R,且λ>0),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa -16b(μ∈R),则λ= ,μ= .答案:3 12解析:依题意得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16(a-b)=16a-16b, AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12+12λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12+12λ)·(a+b), 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+(16a -16b)=16a+56b,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a+56b+(μa -16b)=(16+μ)a+23b,由平面向量基本定理,得{12+12λ=23,12+12λ=16+μ,解得{λ=3,μ=12. 6.如图所示,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BM=23BC,AN=14AB.(1)试用向量a,b 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值.解:(1)因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a,所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b.因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+23b.(2)因为A,O,M 三点共线,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a +23b)-b=λa+(23λ-1)b.因为D,O,N 三点共线,所以DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,存在实数μ,使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则λa+(23λ-1)b=μ(14a -b).由于向量a,b 不共线, 则{λ=14μ,23λ-1=-μ,解得{λ=314,μ=67.所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =314AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1114AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AO ∶OM=3∶11.7.设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a=e 1-2e 2,b=e 1+3e 2. (1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e 1-e 2的分解式; (3)若4e 1-3e 2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值. (1)证明若a,b 共线,则存在λ∈R,使a=λb, 则e 1-2e 2=λ(e 1+3e 2). ∴(1-λ)e 1-(3λ+2)e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{1-λ=0,3λ+2=0,该方程组无解,∴λ不存在,故a 与b 不共线,可以作为一组基底. (2)解设c=ma+nb(m,n ∈R),则3e 1-e 2=m(e 1-2e 2)+n(e 1+3e 2)=(m+n)e 1+(-2m+3n)e 2. ∴{m +n =3,-2m +3n =-1,解得{m =2,n =1. ∴c=2a+b.(3)解由4e 1-3e 2=λa+μb,得4e 1-3e 2=λ(e 1-2e 2)+μ(e 1+3e 2)=(λ+μ)e 1+(-2λ+3μ)e 2. ∴{λ+μ=4,-2λ+3μ=-3,解得{λ=3,μ=1.故所求λ,μ的值分别为3,1.拓展创新(多选题)如图,A,B 分别是射线OM,ON 上的两点,则下列向量的终点P 落在阴影区域内(包括边界)的有( )A.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB⃗⃗⃗⃗⃗ B.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ C.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:BD解析:如图,若点P 在阴影区域内(包括边界),过点P 作AB 的平行线与OA,OB 的交点分别为C,D,连接OP,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中α+β=1,α≥0,β≥0.若设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≥0,μ≥0),显然0≤λ≤α,0≤μ≤β,所以0≤λ+μ≤1且λ≥0,μ≥0.给出的4个向量中,只有BD 满足0≤λ+μ≤1且λ≥0,μ≥0,所以终点落在阴影区域内(包括边界)的有BD.。

人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题第6章平面向量及其应用第1课时向量数量积的概念

6.2.4 向量的数量积第1课时向量数量积的概念课后·训练提升1.已知a,b为单位向量,a与b的夹角为60°,则a·b=()A.12B.√32C.1D.-12答案：A解析：a·b=1×1×cos60°=12.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由条件可知,cosθ=a·b|a||b|=21×4=12,又θ∈[0,π],故θ=π3.3.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n=()A.12B.12√2C.-12√2D.-12答案：B解析：由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6×√22=12√2.4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则向量a 在向量b方向上的投影向量为( )A.-4eB.4eC.-2eD.2e答案：A解析：根据投影向量的定义,设a,b 的夹角为θ,可得向量a 在向量b 方向上的投影向量为|a|cosθe=a ·b |b |·e=-4e.故选A.5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(15b)=-36,则a 与b 的夹角为( )A.60°B.120°C.135°D.150°答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ. 由(3a)·(15b)=-36,得a·b=-60,即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得cosθ=-12,又0°≤θ≤180°,故夹角θ为120°.6.已知平面上三点A,B,C,满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A.-7 B.7 C.25 D.-25答案：D解析：由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×45-15×35=-16-9=-25.7.已知|b|=3,向量a 在向量b 方向上的投影向量为32e(其中e 是与b 方向相同的单位向量),则a·b 的值为( ) A.3 B.92C.2D.12答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a|cosθe=32e,即|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.8.在等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案：135°9.已知a,b 的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,若a ⊥b,则a·b= . 答案：010.已知在△ABC 中,AB=AC=4,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则△ABC 的形状是 . 答案：等边三角形解析：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC, 即8=4×4×cos∠BAC,于是cos ∠BAC=12.因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC 是等边三角形.11.已知a·b=-9,向量a 在向量b 上的投影向量为-3e 1(e 1是与b 方向相同的单位向量),向量b 在向量a 上的投影向量为-32e 2(e 2是与a 方向相同的单位向量),求a 与b 的夹角θ. 解：由题意可知{|a |cosθ=-3,|b |cosθ=-32,∴{a ·b |b |=-3,a ·b|a |=-32,即{-9|b |=-3,-9|a |=-32,∴{|a |=6,|b |=3.∴cosθ=a ·b|a ||b |=-96×3=-12.又θ∈[0,π],∴θ=2π3.12.如图,已知△ABC 是等边三角形.(1)求向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角; (2)若点E 为BC 的中点,求向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 解：(1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°.如图,延长AB 至点D,使AB=BD,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠DBC 为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 又∠DBC=120°,∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°. (2)∵点E 为BC 的中点, ∴AE ⊥BC,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学第二册（下）同步练测（6）
（§9．4 线面垂直和判定与性质（二））
班级学号姓名
[基础练习]
1．异面直线在同一平面上的射影不可能是（）
A 两条平行直线
B 同一条直线
C 两条相交直线
D 一个点与一条直线
2．若两条直线和一个平面相交成等到角，则这两条直线的位置关系是（）
A 平行
B 异面
C 相交
D 平行、异面或相交
3．菱形ABCD 在平面α内，PA ⊥α，那么PA 与对角线BD 的位置关系是（）
A 平行
B 斜交
C 垂直相交
D 异面垂直
4．如果直线 a 是平面α的斜线，那么在平面α内（）
A 不存在与a 平行的直线
B 不存在与a 垂直的直线
C 与a 垂直的直线只有一条
D 与a 平行的直线有无数条
5．一条直线a 若和直线l 在平面α上的射影垂直，则a 与l 的位置关系是（）
A 一定垂直
B 一定异面
C 垂直或异面
D 以上都不是
6．斜线l 与平面α所成的角θ的取值范围是（）
A 00<θ<900
B 00≤θ＜900
C 00≤θ≤900
D 00＜θ≤900
7．平面α内有一四边形ABCD ，P 为α外一点，P 点到四边形ABCD 各边的距离相等，则这个四边形（）
A 必有外接圆
B 必有内切圆
C 既有内切圆又有外接圆
D 必是正方形
8．平面外两条直线a. b 在平面α内的射影为a /，b /, 则下列命题中正确的是（）
A 若a ///b /，则a//b
B 若a /,b /重合，则a//b
C 若a /,b /相交，则a, b 不平行
D 若a., b 异面，则a /,b/必相交
9．已知斜线l 与平面α所成的角为θ，在平面α内，任意作l 的异面直线l /，则l /与l 成的角 ( )
A 有最小值θ，最大值2π
B 有最大值2
π，无最小值 C 有最小值θ，无最大值 D 既无最小值，又无最大值
10．已知正△ABC 的边长为2cm ，PA ⊥平面ABC ，A 为垂足，且PA=2cm,那么P 到BC 的距离为。

11. P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影，若P 点到△ABC 的三个顶点等距离，那么O 点是△ABC 的心；若P 点到△ABC 的三边等距离，且O 在△ABC 内部，那么O 点是△ABC 的心；若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，那么O 点是△ABC 的心；若PA=PB=PC ，，那么O 点是AB 的点；若PA=PB=PC ，AB=AC ，那么O 点在线上；若PA 、PB 、PC 与平面α所成的角相等，那么O 是△ABC 的心。

12. 线段AB 所在的直线和平面α成600的角，A 、B 与平面α的距离分别为9和6，则AB
在平面α内的射影长是，线段AB 的长是。

13. 如图，矩形ABCD 所在平面为α，且PA ⊥α，
(1)问图中有几个直角三角形？
(2)若BD 、AC 相交于O ，PO 是否垂直于BD ？为什么？
14．∠AOB 它在平面α内，点P 在α外，且PO=1，且P 到∠AOB 两边的距离都是，求
（1）点P 到α的距离；（2）PO 与平面α所成的角的度数。

[深化练习]
15．已知直线AB 和平面M 所成的角是α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影所成的角是β，且∠BAC=θ，那么α、β、θ三个角满足的关系式是（）
A ．cos α=cos θcos β B. cos θ=cos αcos β C.cos β=cos θcos α D.sin θ=sin αsin β
16．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）BC 1与底面ABCD 所成角为；（2）A 1C 与
底面ABCD 所成的角的正切值为；（3）BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角为。

17．若直角ABC 的一边BC 不在平面α内，另一边AB 和平面α斜交，
（1）若BC//α，则∠ABC 在平面α上的射影仍是直角；
（2）若∠ABC 在平面α上的射影仍是直角，则BC//α。

P B A C D C
B A α。