数学 选修4-1第二讲 直线与圆位置关系 三 圆的切线性质及判定
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理课堂探究新人教A版选修4-1
三圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。
人教版高中数学选修4-1 4-1几何证明 第二章直线与圆的位置关系 第三节 圆的切线的性质及判定定理
旧知回顾直线和圆的位置关系？相交：直线与圆有两个公共点；相切：直线与圆只有一个公共点；相离：直线与圆没有公共点.课题导入L A .O 如图，直线L 与圆O 相切，此时有什么性质呢？观察直线L 与OA 垂直？探究观察上图，OA 、OM 、OB 与直线L 得关系？ L A .OM 假如直线L 是圆O 的切线，A 为切点，连接OA ，判断OA与直线L 的关系？教学目标知识与能力理解和掌握圆的切线的性质定理及推论和切线的判定定理，并能够用性质定理和判定定理解决有关的几何问题.过程与方法学习并领会圆的切线性质定理的证明推导过程，应用圆的切线性质解决几何问题过程，使学生体会和掌握“归纳”数学思想在几何证明中的作用，培养学生的发散思维和严谨的逻辑思维.情感态度与价值观提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的逻辑严谨的特征.教学重难点重点难点掌握圆的切线性质定理、判定定理及两个推论，并在几何中应用.圆的切线性质及其判定的几何应用.已知直线L与圆O相切，A为切点，求证：OA⊥L.L A.OB M证明:假设L与OA不垂直，则过O点作OM⊥L，垂足为M,根据“垂线段最短”的性质，得：OA>OM.∴圆心到直线L的距离小于圆的半径，于是得L与圆O相交，这与L是圆O的切线相矛盾，因此：L与OA一定垂直.知识要点切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 .推导性质：经过一点只有一条直线与已知直线垂直.所以：经过圆心垂直于切线的直线一定过切点，反之，过切点且垂直于切线的直线也一定经过圆心.L A.O知识要点推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 .知识要点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.小练习如图, 直线l 是圆O 的切线, 切点为A , ∠OBA =40°, 求∠AOB . · OAB 40° 解: 由于线段OA 是过切点的半径,因此 OA ⊥l ,从而∠OAB =90°,于是∠AOB =90－40°= 50°讨论圆的切线垂直于经过切点的半径.讨论：如果经过圆半径的外端并且垂直于这条半径做一条直线，那么是否可以推出这条直线就是圆的切线呢？思考圆的切线的判定定理？已知点A是圆O与直线L的公共点且L⊥OA求证：L是经过点A的圆的切线.分析: 在直线L上任取异于点A的点B，有OB>OA，因为△OBA是直角三角形，而OB是直角三角形的斜边；所以：点B在圆外，由点B的任意性，得圆与直线只有一个公共点，所以L是圆的切线.BL A.O知识要点圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.小练习如图, AB 是圆O 的直径，圆O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC,求证：DE 是圆O 的切线. 连接OD ，∵BD=CD,OA=OB,∴OD 是△ABC 的中位线∴OD//AC.又∵∠DEC=900, ∴ ∠ODE=900.又∵D 在圆周上，∴DE 是圆O 的切线. 证明: · .O AB C D E课堂小结1、圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.2、圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、圆的切线性质定理的推论推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.1、如图，AB 与⊙O 切于C 点，OA=OB ．若⊙O 的直径为6cm ，AB=8cm ，则OA 的长 （ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7B 连接OC ，所以OC ⊥AB ， 又∵OA=OB, ∴C 是AB 的中点.在直角三角形OAC 中，OC=3,AC=4, ∴OA=5. 课堂练习解析 B · OA C因此l 1 ∥ l 2. (垂直同一条直线的两条直线平行) · Ol 1 l 2 B A 2.已知:如图,AB 是圆O 的直径, l 1 分别是经过点A ,B 的切线.求证: l 1∥l 2. ∵OA 是圆O 的半径,l 是过点A 的切线,∴l 1 ⊥OA . (切线判定定理 ）同理l 2 ⊥ OB. 从而l 1 ⊥ AB, 且l 2 ⊥ AB.证明:3、如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O ,大圆的弦AB 所在直线是小圆的切线,切点为C , 证明: 求证:C 是线段AB 的中点. ·A B O C ∴C 为AB 的中点两个同心圆.连接OA ,OB∴△OAB 为等腰三角形 OA =OBC 为切点,OC ⊥AB即OC 为△ABO 的高,∴OC 为△ABO 的中线直线l 就是所求作的切线,如图 ·O ·A l4.求作：过圆O 上一点A 画圆O 的切线. 过圆O 上一点A 的切线l 与半径OA 有什么关系? 据切线的性质定理, l ⊥OA , 由此受到启发,过点A 作一条直线l 与OA 垂直, 据切线的判定定理, L 就是圆O 的切线. 作法: ⑴连结OA ; ⑵过点A 作直线l 与OA 垂直.分析:教材习题答案习题2.3（第32页）1.如图，连接OD、AO，过O作AC的垂线与AC相交于E.∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.∵△ABC是等腰三角形，∴∠BAO=∠CAO.∴Rt△ADO≌Rt△AEO.∴OD=OE.∴点E在圆上.∴AC与⊙O相切.AD EB O Co o 2.如图，连接OQ ，则OQ 是⊙O 的半径，且OQ ⊥RQ.∴∠B =∠OQB,∵∠QPR =∠BPO =90-∠B,∠PQR =90-QRB,∴∠QRB =∠PQR.∴RP =RQ P B O Q RAo o 3.如图，连接OD.∵AD ∥OC,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又∵OA =OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4.又∵OC =OC,OD =OB,∴△CDO ≌△CBO.∴∠CDO =∠CBO.∵BC 是⊙O 的切线，∴∠CBO =90,∠CDO =90∴DC 是⊙O 的切线.O A B D C 1 2 3 4。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理课件新人教A版选修4-1
类型 1 性质定理的应用 [典例 1] 如图所示，已知 AB 是⊙O 的 直径，ED 切⊙O 于 D，EM⊥AB 于 M， 交 AD 于 C，交⊙O 于 F.求证：EC＝ED. 证明：法一：连接 BD(如图①所示)， 因为 AB 是⊙O 的直径，
所以∠BCD＋∠ADC＝180°，
(2)解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E(如图)， 则四边形 ABED 是矩形， DE 等于⊙O 的直径， 在 Rt△DEC 中，∠DEC＝90°， ∠ECD＝60°，CD＝4 cm，
[变式训练] 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边 形，以对角线 BD 为直径作⊙O，分别与 BC，AD 相交于 点 E，F.
第二讲 直线与圆的位置关系
[知识提炼·梳理]
1．直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交；直线与圆 只有一个公共点，称直线与圆相切；直线与圆没有公共点， 称直线与圆相离．
2.如图所示，直线 l 与⊙O 相切，P 是 l 上任一点， 当 OP⊥l 时，则( )
A．P 不在⊙O 上 B．P 在⊙O 上 C．P 不可能是切点 D．OP 大于⊙O 的半径
解析：连接 OM，ON(如图)． 因为∠MON＝2∠MBN＝2×70°＝140°.
又因为 AM，AN 分别是圆 O 的切线， 所以∠AMO＝∠ANO＝90°. 因此∠A＝360°－140°－90°－90°＝40°. 答案：40°
5.如图所示，圆 O 的直径 AB＝6， P 是 AB 的延长线上一点，过点 P 作圆 O 的切线，切点为 C，连接 AC，若∠CPA＝30°，则 PC ＝________．
3.如图所示，CD 切⊙O 于 B，CO 的延长线交⊙O 于 A.若∠C＝36°，则∠ABD 等于( )
人教版高中数学选修4-1《2.3圆的切线的性质及判定定理》
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学 选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系
第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角F考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D 在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．[证明](1)由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)连接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)由于AC︵＝BD︵，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于AC︵所对的圆周角，∠ACB等于AB︵所对的圆周角，所以∠ECB等于CAB︵所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考点二__圆内接四边形的判定及性质____________(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.由于P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A 、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝12BF·CE＝12CB·BE，∴BFBE＝CBCE，∴BF＝55a.2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5.3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝P APC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴ABAC＝P APC.(2)∵P A为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225， 又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12， ∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径． 解：(1)证明：由于AB 为圆O 的一条直径， 所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上． 所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ， 即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)由于PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°， 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又由于∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12， 设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ， 又OE ＝OB ，OD ＝OD ， 所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．由于DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ， 所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长． 解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝POPC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DEtan ∠DCE ＝2，∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A 、B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D .(1)求证：C 、P 、B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，P A ，PB ，BO 2，∵AC 是圆O 1的直径，∴∠APC ＝90°.连接O 1O 2必过点P ，∵AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，∴∠BAP ＝∠ACP ＝α，∴∠AO 1P ＝2α.由于O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ，∴∠BO 2P ＝π－2α，∴∠O 2BP ＝α. 又∠ABP ＋∠O 2BP ＝90°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∴C 、P 、B 三点共线． (2)∵CD 切圆O 2于点D ，∴CD 2＝CP ·CB . 在△ABC 中，∠CAB ＝90°， 又∵AP ⊥BC ，∴CA 2＝CP ·CB ， 故CD ＝CA .4. 如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF ＝EF ；(2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明：(1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， 又∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG .∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BAE 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。
高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.1关系知识点总结含同步练习题及答案
P A = P D + DC =
1 C△PDE ＝6． 2
如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠C = 72∘ ，⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ，与 AC 交于点 D ，连接 BD ．若 BC = √5 − 1 ，则 AC = ______．
解：2 ． 因为 AB = AC，∠C = 72∘ ，所以 ∠ABC = 72∘ ，∠A = 36∘ ，因为 BC 切 ⊙O 于点 B ， 所以 ∠DBC = ∠A = 36∘ ，所以 ∠ABD = 36∘，∠BDC = 72∘ ，故 AD = BD = BC = √5 − 1，可证 △ABC ∽ △BDC，所以 BC 2 = CD ⋅ AC = (AC − AD) ⋅ AC = AC 2 − AD ⋅ AC，设 AC = x 则有 (√5 − 1)2 = x2 − (√5 − 1)x，解得 x1 = 2，x2 = √5 − 3 （不合题意，舍去），所以 AC = 2． 如图所示，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ，AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点
解：C． 如图所示， CD 切 ⊙O 于B ，CO 的延长线交 ⊙O 与 A ，若 ∠C = 36∘ ，则 ∠ABD 的度 数是（ ） A．72∘ B．63∘ C．54∘ D．36∘
解：B． 连接 OB ，因为 CD 为 ⊙O 的切线，所以 ∠OBC = 90∘ ，因为 ∠C = 36∘ ，所以 ∠BOC = 54∘ ． 又因为 ∠BOC = 2∠A，所以 ∠A = 27∘ ，故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63∘．
高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
务 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 二、知识清单
人教版数学高二A版选修4-1 第二讲三圆的切线的性质及判定定
主动成长夯基达标1.若直线与圆的公共点的个数不少于1个,则直线与圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对思路解析:依据直线和圆三种位置关系的定义,结合条件“直线与圆的公共点的个数不少于1个”,应该确定直线与圆的位置关系是相交或相切. 答案:D2.⊙O 内最长的弦长为m ,直线l 与⊙O 相离且与O 的距离为d ,则d 与m 的关系是( ) A.d =mB.d >mC. 2m>dD. 2m <d 思路解析:因为圆的最长弦为直径,所以此圆的半径为2m.又因为直线l 与⊙O 相离,所以2m>d . 答案:C3.已知直线AB 经过⊙O 上的一点C ,并且OA =OB,CA =CB .求证:直线AB 是⊙O 的切线.图2-3-6思路分析:由于直线AB 经过⊙O 上一点C ,所以连结OC ,只要证明OC ⊥AB 即可.证明:如上图,连结OC ,∵OA =OB ,CA =CB ,∴OC 是等腰△OAB 底边AB 上的中线.∴AB ⊥OC.又∵点C 在⊙O 上, ∴AB 是⊙O 的切线.4.已知l 1、l 2分别切⊙O 于点A 、B,且l 1∥l 2,连结AB ,如图2-3-7所示. 求证:AB 是⊙O 的直径.图2-3-7思路分析:过A 、O 作直线OA ,再证OA 过点B.不能先连结AB,因为没有相关的定理可运用.证明:过O 、A 两点作直线OA .∵l 1切⊙O 于点A ,∴OA ⊥l 1.∵l 1∥l 2,∴OA ⊥l 2. ∵l 2切⊙O 于点B ,∴OA 过切点B （经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）. ∴AB 为⊙O 的直径.5.如图2-3-8所示,D 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D =30°.求证:PA =PD .图2-3-8思路分析:欲证PA =PD ,只要证∠A =∠D =30°即可.证明:连结OP ,∵PD 是⊙O 的切线,P 为切点,∴PO ⊥PD.又∵∠D =30°,∴∠POD =60°. ∴∠A =30°.∴∠A =∠D .∴PA =PD .6.如图2-3-9,已知直角梯形ABCD 中,∠A =∠B =90°,AD ∥BC ,E 为AB 上一点,DE 平分∠ADC ,CE 平分∠BCD .求证:以AB 为直径的圆与DC 相切.图2-3-9思路分析:要证以AB 为直径的圆与直线DC 相切,只要证AB 中点(圆心)到直线DC 距离等于半径(AB 的一半),先证E 为AB 中点,再证E 到DC 距离等于21AB .证明:过E 作EF ⊥DC ,垂足为F .∵ED 平分∠ADC ,DA ⊥EA ,EF ⊥DF ,∴EA =EF .同理,EB =EF ,∴EB =EA, 即E 为AB 中点. 又EF =EA =EB =AB 21, ∴以AB 为直径的圆与DC 相切.7.如图2-3-10,在△OAB 中,若OA =OB =2a,⊙O 的半径r =a.问:AB 与⊙O 相切、相交、相离时,∠AOB 的取值范围如何?图2-3-10思路分析:先作出O 到AB 的距离OC ,根据AB 与⊙O 的不同位置关系确定OC 的取值范围,从而再确定∠AOB 的取值范围. 解:过O 作OC ⊥AB ,垂足为C ,(1)当AB 与⊙O 相切时,OC =r =a,此时cos ∠AOC =OA OC =21, ∴∠AOC=60°.又∵OA =OB ,∴OC 平分∠AOB . ∴∠AOB =120°.(2)当AB 与⊙O 相交时,OC <r =a ,此时cos ∠AOC <21, ∴60°<∠AOC <90°. ∴120°<∠AOB <180°.(3)当AB 与⊙O 相离时,OC >r ,此时cos ∠AOC >21, ∴0°<∠AOC <60°.∴0°<∠AOB<120°.8.如图2-3-11,△ABC 中,AD 为BC 边上的高,且AD =21BC ,E 、F 分别是AB 、AC 的中点,以EF 为直径作⊙O .求证:⊙O 与BC 相切.图2-3-11思路分析:此题属于“作垂直证半径”类型,只要证明EF 的中点到BC 的距离等于EF 的一半即可.证明:取EF 中点O ,作OG ⊥BC 于G ,设AD 与EF 交于H , ∵E 、F 为AB 、AC 中点,∴EF ∥BC 21.又BC AD 21=,∴EF =AD . ∵OG ⊥BC ,AD ⊥BC ,且EF ∥BC ,∴四边形OGDH 为矩形. ∴OG =HD =AD 21,即EF OG 21=. ∴⊙O 与BC 相切.走近高考9.如图2-3-12,已知菱形ABCD 中,∠BAD =60°,对角线AC 与BD 交于O ,边长AB =16,以O 为圆心,半径为多少时,所作的圆才能与菱形的四边都相切?图2-3-12思路分析:本题实际上是求菱形内切圆的半径,根据条件容易确定答案. 解:在菱形ABCD 中,∵∠BAD =60°,∴△ABD 为正三角形.又∵AB =B D =16,AC ⊥BD ,且平分∠DAB , ∴OD =8, 38=AO .过O 作OE ⊥AD,垂足为E ,由AD ·EO =OA ·OD ,∴34=OE ,即以O 为圆心,34为半径所作的圆与菱形各边都相切.10.如图2-3-13,AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠POC =∠PCE .图2-3-13(1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)若OE ∶EA =1∶2,PA =6,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,求sin ∠PCA 的值.思路分析:(1)要证切线PC ,仍是先证PC ⊥OC .(2)要求半径,可以求OA ,先求OE ,这可以在Rt △PCO 中,利用∠POC =∠PCE ,列出有关方程求解.(3)求sin ∠PCA,先求sin ∠ACE =ACAE. (1)证明:在△OCP 和△CEP 中,∵∠POC =∠PCE ,∠OPC =∠CPE , ∴△COP ∽△ECP .∴∠OCP =∠CEP . ∵CD ⊥AB ,∴∠CEP =90°. ∴∠OCP =90°.∴PC 为⊙O 的切线. (2)解:设OE =x ,则EA =2x ,OA =OC =3x.∵∠COP =∠PCE ,∴sin ∠OPC =sin ∠OCE , 即633+x x =xx3,解得x =1.∴OA =3. (3)解:∵∠OCP =90°,∴∠P CA +∠ACO =90°.∴sin ∠PCA =cos ∠ACO .又OA =OC ,∴∠ACO =∠CAO . ∴sin ∠PCA =cos ∠CAO . 而AE =2,OE =1,OC =3, ∴22EA CE AC += =32. 而cos ∠CAO =AC AE=322 =33,即sin ∠PCA =33. 11.如图2-3-14,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC =120°,⊙O 的半径为1.图2-3-14(1)求弦AC 、AB 的长;(2)若P 为CB 延长线上的一点,试确定P 点的位置,使得PA 与⊙O 相切,并证明你的结论. 思路分析:(1)要求AC ,可在△AOC 中求解,求AB ,可在△AOB 中求解.(2)要确定P 的位置,只需求PB ,可在△APB 中求解,过P 作PE ⊥AB ,则将斜三角形分解为直角三角形.解:(1)过O 作OD ⊥AC 于D,∵∠AB C=120°,则∠AOC =120°. 又OA =OC ,∴∠OAD =∠OCD =30°. 在Rt △AOD 中,cos ∠OAD =OAAD,又OA =1, ∴AD =OA ·cos30°=23.∴AC =2AD =3. 在△AOB 中,OA =OB =1,∠AOB =2∠ACB =90°,∴2=AB .(2)过P 作PE ⊥AB 于E,设BE =a , ∵∠ABP =180°-∠ABC =60°, ∴∠BPE =30°.∴BP =2BE =2a.在Rt △BPE 中,PE =22BE BP - =a 3.∵PA 切⊙O 于A ,∴∠OAP =90°. ∵∠OAB =45°,∴∠PAE =45°. 在Rt △PAE 中,AE =PE =a 3, 又∵AE +EB =AB =2,∴23=+a a ,解得226-=a . ∴PB =2a =6-2.。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学案 新人教A版选修41
第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学三点剖析一、切线的性质【例1】 如图2-3-1,两圆为以O 为圆心的同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是AB 的中点.图2-3-1证明：连结OA 、OC 、OB,∵OA=OB,∴△OAB 是等腰三角形.又∵AC 是小圆切线,C 是切点,∴OC⊥AB,即OC 是等腰三角形底边上的高.∴OC 是AB 边上的中线.∴C 是AB 的中点.温馨提示连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例2】 如图2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC 是⊙O 的切线.图2-3-4证明：连结OC 、BC,∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形.∵BD=OB,∴BD=BC.∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD, ∴∠BCD＝21∠OBC=30°. ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC 是⊙O 的切线.三、切线的性质与判定的综合运用【例3】 如图2-3-6,直角梯形ABCD 中,以CD 为直径的圆恰好与腰AB 相切.求证:以AB 为直径的圆也与腰CD 相切.图2-3-6思路分析：取CD 、AB 中点O 1、O 2,则O 1、O 2分别是两圆圆心,只需证O 2到CD 距离等于O 2A 或O 2B 即可.证明:连结O 1O 2,作O 2E⊥O 1D 于E,DF⊥O 1O 2于F.∵O 1C=O 1D,O 2B=O 2A,∴O 1O 2∥AD∥BC.∴AB⊥O 1O 2.∴DF=AO 2.∵AB 与⊙O 1相切,∴O 1O 2=O 1D.∴△O 1O 2E≌△O 1DF.∴O 2E=DF.∴O 2E=O 2A.∴⊙O 2与CD 相切于E 点.各个击破类题演练1如图2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB 和AC 分别和小圆相切于点D 和E.求证:DE 21BC.图2-3-2证明:连结OD 、OE,∵AB 切小圆于D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE 21BC. 变式提升1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图2-3-3答案:已知:如图l 1、l 2分别切⊙O 于A 、B,l 1∥l 2,求证:O 在AB 上.证明:连结OA,并延长交l 2于B′,∵l 1切⊙O 于点A ,∴OA⊥l 1.又∵l 1∥l 2,∴OA⊥l 2,即OB′⊥l 2.∴B为l2与⊙O的切点.∴OB⊥l2.但过O只有一条直线与l2垂直.∴B′与B重合.即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.类题演练2如图2-3-5,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径,作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE.求证:DE是⊙O的切线.图2-3-5证明:连结OD、BD.∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E是BC中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵O B=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°.∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O的切线.类题演练3如图2-3-7,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.求证:OB与⊙D相切.图2-3-7证明:连结DE,过D作DF⊥OB,垂足为F.OB与⊙D相切于点F.。
人教版高中选修4-1三圆的切线的性质及判定定理课程设计
人教版高中选修4-1三圆的切线的性质及判定定理课程设计一、课程设计目的本课程设计针对高中数学选修4-1课程中的三圆的切线的性质及判定定理，旨在通过理论讲解和实例演练帮助学生掌握以下内容：1.三圆的切线的概念及性质。
2.如何判断两个圆之间是否存在切线，并求出切线的位置和数量。
3.利用三圆切线问题解决实际问题。
二、教学重难点1. 教学重点1.三圆的切线的定义、性质和判定定理的掌握。
2.利用判定定理解决切线问题。
2. 教学难点1.如何判断两个圆之间是否存在切线。
2.如何求出两个圆之间的切线的位置和数量。
3.如何利用三圆切线问题解决实际问题。
三、教学过程设计1. 教学内容（1）三圆的切线1.三圆的切线的定义及性质（交点、夹角、切点）。
2.切线的判定定理：两个圆之间存在切线的充要条件。
（2）求两圆之间的切线1.求切线的步骤及方法（向心角、勾股定理）。
2.求两个圆之间切线的位置和数量。
（3）三圆切线问题1.利用三圆切线问题解决实际问题（如：切线长度、距离、角度）。
2.特别应用：两点之间的最短路径问题。
2. 教学方法1.给学生讲解三圆切线的定义、性质、判定定理，注重知识点的讲解和概念的理解。
2.通过实例演示和小组讨论的形式，引导学生自己思考、发现问题，激发他们的学习兴趣。
3.鼓励学生在课后进行实际运用，并在下节课上分享他们的成果，提高学生的自学能力。
3. 教学工具1.教学PPT。
2.黑板、彩色粉笔。
3.教材配套的习题册。
四、教学评价1. 评价方式1.课堂笔记和作业的完成情况。
2.小组讨论和演示的成果，以及个人表现。
3.定期进行测试和考试。
2. 评价标准1.课堂表现：听讲认真、积极参与讨论等。
2.作业完成情况：按时、准确完成，有思路和过程。
3.小组讨论和演示：清晰、完整地陈述问题和解决方案。
4.能否独立思考和解决实际问题。
五、教学反思本课程设计注重理论的讲解和实例演示，让学生明确概念和解决问题的过程，同时注重培养学生的自学能力，达到既授之于渔又授之以渔的目的。
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B
如图. 的直径,C为 上一点,AD和 例2 如图 AB为⊙O的直径 为⊙O上一点 为 的直径 上一点 和 点的切线互相垂直,垂足为 过C点的切线互相垂直 垂足为 点的切线互相垂直 垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 平分∠ 求证 平分 证明:连接 的切线, 证明 连接OC, ∵CD是⊙O的切线 连接 是 的切线 ∴OC⊥CD. ⊥ 又∵AD⊥CD, ⊥ ∴OC//AD.由此得 由此得 ∠ACO=∠CAD. ∠ ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∠ ∴ ∠CAD=∠CAO. ∠ 平分∠ 故AC平分∠DAB. 平分
A M
l
O
圆心且垂直于切线的直线必经 推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经 推论 经过圆心 切点. 过切点 切点且垂直于切线的直线必经 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经 推论 经过切点 圆心. 过圆心 思考: 切线的性质定理逆命题是否成立? 思考 切线的性质定理逆命题是否成立 逆命题是否成立 经过半径的外端并 且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 的直线是圆的切线
O
R
3.AB是⊙O的直径 是 的直径,BC是⊙O的切 的直径 是 的切 切点为B,OC平行于弦 平行于弦AD. 线,切点为 切点为 平行于弦 求证:DC是⊙O的切线 是 的切线. 求证 的切线
C
D A
3 1 42
O
B
D C A O B
习题2.3 习题 1.如图 △ABC为等腰三角形 是底边 的中点 如图,△ 为等腰三角形,O是底边 的中点, 如图 为等腰三角形 是底边BC的中点 与腰AB相切于点 ⊙O与腰 相切于点 与腰 相切于点D. 求证:AC与⊙O相切 与 相切. 求证 相切 A D E
B
O
C
2.已知 已知:OA和OB是⊙O的半径 并且 的半径,并且 ⊥ 已知 和 是 的半径 并且OA⊥OB,P是OA 是 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 的延长线交⊙ 于 过 作 上任意一点 的延长线交 的切 线交OA的延长线于 的延长线于R,. 线交 的延长线于 求证:RP=RQ 求证 B PA Q
O
切线的判定定理: 切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线. 的直线是圆的切线
在直线上任取异于A的点 在直线上任取异于 的点B. 的点 连OB. l 则在Rt△ 则在 △ABO中 中 OB>OA=r 故B在圆外 在圆外
A B
O
直线与圆只有一个公共点,是切线 直线与圆只有一个公共点 是切线. 是切线
如图,AB是⊙O的直径 ⊙O过BC的 的直径, 例1 如图 是 的直径 过 的 中点D,DE⊥AC.求证 求证:DE是⊙O是切线 是切线. 中点 ⊥ 求证 是 是切线 证明:连接 证明 连接OD. ∵BD=CD,OA=OB, 连接 的中位线, ∴OD是△ABC的中位线 是 的中位线 C ∴OD//AC. E 又∵ DE⊥AC ⊥ D ∴∠DEC=90º ∴∠ ∴∠ODE=90º ∴∠ O 在圆周上, 又∵D在圆周上 在圆周上 A 是切线. ∴DE是⊙O是切线 是 是切线
2.3 圆的切线的性质 及判定定理
圆与直线的位置关系: 圆与直线的位置关系
相交-----有两个公共点 有两个公共点 相交 相切-----只有一个公共点 相切 只有一个公共点 相离-----没有公共点 相离 没有公共点
切线的性质定理: 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 反证法
假设不垂直, 假设不垂直 作OM⊥ l ⊥ 因“垂线段最短”, 垂线段最短” 故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 即圆心到直线距离小于半径 这与线圆相切矛盾. 这与线圆相切矛盾