浙江省高考数学理科测试卷
2022浙江高考理数试卷及答案
2022浙江高考理数试卷及答案【一】:2022年高考浙江卷理数试题及答案2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合P=，Q=，则P=，则A。
[2,3]B。
(-2,3]C。
[1,2)D。
2、已知互相垂直的平面A。
B。
C。
交于直线l，若直线m,n满足D。
3、在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则，AB，=A。
B。
4C。
D。
6使得”的否定形式是B。
D。
则的最小正周期使得使得4、命题“A。
C。
5、设函数使得使得A。
与b有关，且与c有关B。
与b有关，但与c无关C。
与b无关，且与c无关D。
与b无关，但与c有关6。
如图，点列分别在锐角的两边上，且，（若A。
表示点P与Q不重合），为的面积，则是等差数列，。
是等差数列B。
C。
是等差数列D。
是等差数列7。
已知椭圆与双曲线的焦点重合，则A。
C。
且且B。
D。
则则则则且且分别为的离心率，8。
已知实数A。
若B。
若C。
若D。
若二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9。
若抛物线10。
已知上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是。
，则A=，b=。
11、几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm，体积是cm。
12、已知，若，则a=，b=。
13、设数列的前n项和为，若，则=，=。
14、如图，在中，AB=BC=2，。
若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是。
15、已知向量a，b，a，=1，b，=2，若对任意单位向量e，均有，a·e，+，b·e，的最大值是。
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16。
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷(附答案和解释)
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷（附答案和解释）浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgyC．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=A．43B．34C．?34D．?43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tanα=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。
年高考浙江卷理科数学试题及详细解答
普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 满分150分，考试时间120钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共 50 分）注意事项：1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2. 每小题选出正确答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑.叁考正式：如果事件 A ， B 互斥，那么P （ A+ B ） = P( A)+ P( B) S=24R πP( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概念是p 球的体积公式V=234R π 那么n 次独立重复试验中恰好发生 其中R 表示球的半径 k 次的概率：k n kn n p p C k P +-=)1()(4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（１） 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ （２） 已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A) (B)4(C) (D)2（5）双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则m=（ ） (A)21 (B)23 (C)81 (D)89（6）函数y=21sin2x+sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ (7)“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件（8）若多项式=+-+++++=+911102910012a ,)1(a )1(a )1(则x x x a a x x(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4π (B)3π (C)2π(D)42π（10）函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2024年浙江省高考数学试卷(新高考Ⅰ)
2024年浙江省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．(★)(5分)全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，2，3，4}2．(★)(5分)复数的值是()A．1B．-1C．i D．-i3．(★)(5分)已知向量=(1，2)，=(x,4)，若向量⊥，则x=()A．2B．-2C．8D．-84．(★)(5分)设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A．B．C．D．5．(★)(5分)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2B．4C．8D．166．(★)(5分)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为()A．20B．25C．30D．357．(★)(5分)函数f(x)=-()x的零点个数为()A．0B．1C．2D．38．(★)(5分)“lgx,lgy,lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(★)(5分)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于() A．B．C．D．10．(★)(5分)规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2(a,b为正实数)，若1⊗k=3，则k=()A．-2B．1C．-2或1D．2二、填空（本大题11-14题为必做题，15题为选做从（A）（B）（C）中任选一题作答，若多做按所做的第一题评分，满分20分）11．(★★)(5分)21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为2n×1×3×…(2n-1)=(n+1)•…(2n-1)•2n．12．(★★★)(5分)对于任意实数x,不等式ax2-2x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是(-，0]．13．(★★)(5分)已知命题P：不等式＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真其中正确结论的序号是①③．(请把正确结论的序号都填上)14．(★★★)(5分)已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时，λ=．选做题15．(★★)(5分)(选修4-4：坐标系与参数方程)直线l的极坐标方程为C：ρcos(θ-)=3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离值为d,则d的最大值为3+1．16．(★★)(选做题)(几何证明选讲选做题)如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD=2，则∠C的大小为30°．17．(★★)不等式|2x-1|＜3的解集为{x|-1＜x＜2}．三、解答题（本大题共6小题，满分共65分）18．(★★★)(12分)设三角形ABC的内角A，B，C，的对边分别为a,b,c,，sinA=4sinB．(1)求b边的长；(2)求角C的大小．19．(★★★)(12分)甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表(单位：环)(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(2)现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．20．(★★★)(12分)在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．(Ⅰ)求a n和b n；(Ⅱ)已知c n=a n+b n求c n的前n项之和T n．21．(★★★★)(12分)如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．22．(★★★★)(13分)如图，在△ABC中，，以B、C 为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E：(x-1)2+y2=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．23．(★★★★)(14分)已知函数f(x)=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．。
高考理科数学(浙江卷)试题及答案
高考理科数学浙江卷试题及答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．limn →∞2123nn ++++L ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)02．点(1, －1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩, 则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内, 复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中, 含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面, l 、m 为两条不同的直线, 且l ⊂α, m ⊂β, 有如下的两个命题：①若α∥β, 则l ∥m ；②若l ⊥m , 则α⊥β．那么 (A) ①是真命题, ②是假命题 (B) ①是假命题, ②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长, 则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4, 则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N ), P ＝{1, 2, 3, 4, 5}, Q ＝{3, 4, 5, 6, 7}, 记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }, Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }, 则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( )(A) {0, 3} (B){1, 2} (C) (3, 4, 5} (D){1, 2, 6, 7}10．已知向量a r ≠e r , |e r |＝1, 对任意t ∈R , 恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|, 则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在答题卡的相应位置11．函数y ＝2xx +(x ∈R , 且x ≠－2)的反函数是_________． , 此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B , 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．13．过双曲线22221x y a b -=(a ＞0, b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点, 以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 则双曲线的离心率等于_________． 14．从集合{O , P , Q , R , S }与{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O , Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题, 每小题14分, 共84分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0, π), f (2α)＝41－2, 求sin α的值．16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称, 且f (x )＝x 2＝2x ．N(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．17．如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点12,F F 在x 轴上, 长轴12A A 的长为4, 左准线l 与x 轴的交点为M , |MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1), P 为1l 上的动点使12F PF 最大的点P 记为Q , 求点Q 的坐标(用m 表示)．18．如图, 在三棱锥P －ABC 中, AB ⊥BC , AB ＝BC ＝kPA , 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点, OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时, 求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅱ) 当k 取何值时, O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31, 从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12, 将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是25, 求p 的值．20．设点n A (n x , 0), 1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *), 其中a n ＝－2－4n －112n -, n x 由以下方法得到： x 1＝1, 点P 2(x 2, 2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上, 点A 1(x 1, 0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离, …, 点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上,点n A (n x , 0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2005浙江卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分, 满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分, 满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）8424 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：（1）25125sin,cos 6262ππ==Q ,225252525sin cos 6666f ππππ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭（2）()1cos 2sin 2222f x x x =-+11sin 222242f ααα⎛⎫∴=+-=-⎪⎝⎭ 216sin 4sin 110αα--=,解得sin α=()0,,sin 0απα∈∴>Q故sin α=（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识, 以及运算和推理能力满分14分解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y , 则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时, 2210x x -+≤, 此时不等式无解当1x <时, 2210x x +-≤, 解得12x -≤≤ 因此, 原不等式的解集为11,2⎡-⎢⎣（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角, 点的坐标等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>, 半焦距为c , 则2111,a MA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== 221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >, 当00y >时, 120F PF ∠=；当00y ≠时, 22102F PF PF M π<∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+, 直线2PF 的斜率021y k m =-,021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时, 12F PF ∠最大,(,,||1Q m m ∴>（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识, 同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点, OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面, OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，， OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥Q 又 平面, .PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面 OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥,∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠,sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，PBC ∴ PA 与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知, OF PBC ⊥平面, ∴F 是O 在平面PBC 内的射影∵D 是PC 的中点,若点F 是PBC ∆的重心, 则B, F, D 三点共线, ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD,,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q , 即k =反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心A方法二：OP ABC ⊥Q 平面, ,OA OC AB BC ==,,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点, 射线OP 为非负z 轴, 建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,0,,0,,0,0222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 设OP h =, 则()0,0,P h (Ⅰ)Q D 为PC 的中点,1,0,2OD h ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,又1,0,,,//2PA h OD PA OD PA ⎫=-∴=-∴⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r u uu r u u u r ,OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =Q ,即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭u u u r , 可求得平面PBC的法向量1,1,n ⎛=- ⎝r ,cos ,30||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅u u u r ru u u r r u uu r r , 设PA 与平面PBC 所成的角为θ, 则sin |cos ,|PA n θ=〈〉=u u u r r, （Ⅲ）PBC ∆的重心1,3G h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,,663OG a a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u rQ 平面,又22110,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,PA a ∴==, 即1k =,反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识, 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分解：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+, 设点(),P x y 是1C 上任意一点, 则1||A P ==令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=, 即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上,222127x x b ∴=-+ 解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点,则||n A P ==令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n n n n n x a x b ++=++Q ,()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥,即()()111220*n n n n n x x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-, ①当1n =时, 11x =, 等式成立；②假设当n k =时, 等式成立, 即21k x k =-,则当1n k =+时, 由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=,又11242k k a k -=---, 1122112k k k k k x a x k ++-∴==++, 即1n k =+时, 等式成立由①②知, 等式对*n N ∈成立, 故{}n x 是等差数列（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查学生的逻辑思维能力14分解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0, 1, 2, 3, ； 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-, 得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)设袋子A中有m个球, 则袋子B中有2m个球由122335m mpm+=, 得1330p=。
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普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·（B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： k n k k n n p p C k P --=)1()(球的表面积公式 S=42R π其中R 表示球的半径求的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知a 是实数，iia +-1是春虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则（A ()()=A C B B C A u u （A ）∅ （B ）{}0|≤χχ（C ）{}1|->χχ （D ）{}10|-≤>χχχ或 （3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n--21） （7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22（10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（A ）圆 （B ）椭圆（C ）一条直线 （D ）两条平行直线普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江高考数学参考卷(理科)含答案
浙江高考数学参考卷(理科)含答案20XX年最新样卷,变化较大!数学(理科)参考试卷一、选择题1．已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若函数f(x) (x∈R)是奇函数，则A．函数f (x2)是奇函数B．函数[f (x) ]2是奇函数C．函数f (x) x2是奇函数D．函数f (x)＋x2是奇函数3．若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是A．35π cm34．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC BD＝A．b2－a2 B．a2－b2 俯视图22C．a＋b D．ab5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是A．10≤x≤18 B．10≤x≤30C．18≤x≤30 D．15≤x≤30106π cm3 3C．70π cm3212π cm3 D．3B．正视图侧视图x y 0,6．若整数x，y满足不等式组2x y 10 0,则2x＋y的最大值是y 0,A．11 B．23 C．26 D．30 22xy7．如图，F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)ab的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝2 : 3 : 4，则双曲线的离心率为A．4 B C．2 D8．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，(第4题图)(第8题图)20XX年最新样卷,变化较大!二、填空题9．设全集U x Nx 2 ，集合A x Nx 10 ，B x Nx2 5，则fn+1 (x)＝f [fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为AC．AA∩B，A∪B．10．设等差数列{an}的公差为6，且a4为a2和a3的等比中项．则a1数列{an}的前n项和Sn．U2 x x,x＜0,11．设函数f x 2 则f(f (1) ) ；方程f(f (x) ) = 1的解x≥0. x,是．12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD AC，，AB=AD=3，则BD的长为，△ABC的面积为．sin∠BACB（第12题图）C13．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R．若e1，e2的夹角为的最大值等于．xπ，则6bx2y214．设直线x－3y＋m＝0 (m≠0)与双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交ab于点A，B.若点P(m，0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是．15．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)20XX年最新样卷,变化较大!(第15题图)三、解答题16．已知函数f (x)＝3 sin2 axax cos ax＋2 cos2 ax的周期为π，其中a＞0．(Ⅰ) 求a的值；(Ⅱ) 求f (x)的值域．17．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；1(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，3求CF的长．(第17题图)x2y2 1的左、右焦点，18．如图，F1，F2是椭圆C：2A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M1在直线l：x＝－上．2(Ⅰ) 若B点坐标为(0，1)，求点M的坐标；(Ⅱ) 求F2A F2B 的取值范围．(第18题图)20XX年最新样卷,变化较大!19．设数列a1,a2, ,a20XX年满足性质P：a1 a2 a3 a20XX年0，a1 a2 a3a20XX年1．(Ⅰ) () 若a1,a2, ,a20XX年是等差数列，求an；() 是否存在具有性质P的等比数列a1,a2, ,a20XX年？***-*****(Ⅱ) 求证：a1 a2 a3 ．a20XX年2320XX年20XX年20．已知二次函数f (x) = ax2+bx+c (a0)，方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0x1x2（Ⅰ）当x (0, x1)时，证明x f (x) x1；1．a20XX年最新样卷,变化较大!（Ⅱ）设函数f (x) 的图象关于直线x = x0对称，证明x0x1．2数学参考试卷(理科)答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．D 二、填空题9．x Nx 10，3,4,5,6,7,8,9 ，x Nx 2 10．-14，3n2-17n 11．01213．2 14三、解答题16．(Ⅰ) 由题意得f (x)＝153(1－cos 2ax)ax＋(1＋cos 2ax)15ax－cos 2ax＋225π＝sin (2ax－)＋．26a＝1．因为f (x)的周期为π，a＞0，所以(Ⅱ) 由(Ⅰ)得f (x)＝sin (2x－所以f (x)的值域为[5π)＋，2637，]．2217．(Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．因为ABCD是矩形，所以(第17题图)20XX年最新样卷,变化较大!BC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG在直角△BAF中，由ABGH＝sin∠AFB＝，得BFFGGH，xGH所以．，得在直角△DGH中，DGGHDH＝20XX年最新样卷,变化较大!因为cos∠DHG＝所以GH1＝，x，DH3AB．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=方法二：设CD＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E 0，0)，D(－10)，B(－2，0，x)，所以4．5DF＝(10)，BF＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n1＝(0，1，0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则2x1 z1x 0,x11 0,所以，可取n2＝1．(第17题图)nn1因为cosn1，n2＝12＝，得|n1| |n2|3x即CD．4. 518．(Ⅰ) 因为点M 是AB的中点，所以可设点A( 1,m).又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=(第18题图)20XX年最新样卷,变化较大!22x2y2 1，得m 代入椭圆方程或m ，222则A点坐标为( 1,22)或( 1,)，所以M点坐标为2212 212 2( ,)或( ,)．2424(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1，此时2F2A F2B＝11．81，m) (m≠0)，A(x1，y1)，2当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－B(x2，y2)．x12y12 1,由22 得x2 y2 1,2 2(x1＋x2)＋2(y1＋y2)则－1＋4mk＝0，故k＝此时，直线AB的方程为y－m＝即y1 y2＝0，x1 x21．4m11(x＋)，4m28m2 11y＝x＋．8m4m20XX年最新样卷,变化较大! x2y2 1,联立2 消去y，整理得2y 1x 8m 1, 4m8m(8m2 1)2 64m2x＋x＋＝0，4(1 8m2)2(8m2 1)2 64m2故Δ＝1－＞0，即1 8m20＜m2＜所以7，8(8m2 1)2 64m2x1＋x2＝－1，x1x2＝．24(1 8m)于是F2A F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝x1x2＋y1y2＋28m2 118m2 11＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＋28m8m4m4m3(8m2 1)2 8＝．8(1 8m2)令t＝1＋8m2，则1＜t＜8，于是3t2 8F2A F2B＝8t18＝(3t＋)．8t25所以，F2A F2B的取值范围为）．819．(Ⅰ) （。
2021年高考浙江卷理科数学试题及解答
3 yO x yO x yO x yO x普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第 I 卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“ x > 1”是“ x 2> x ”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数 f (x ) = 2 s in(ωx +ϕ) ，x ∈ R （其中ω> 0 ，ϕ < π）的最小正周期是π ，且 f (0) =，2则（）A ．ω= 1 ，ϕ= π26πC ．ω= 2，ϕ=6 B ．ω= 1 ，ϕ= π23 πD ．ω= 2，ϕ=3 （3）直线 x - 2 y +1 = 0 关于直线 x = 1对称的直线方程是（）Ａ． x + 2 y -1 = 0 Ｃ． 2x + y - 3 = 0 Ｂ． 2x + y -1 = 0 Ｄ． x + 2 y - 3 = 0（4）要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个 草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ． 3 Ｂ． 4 Ｃ． 5 Ｄ． 6（5）已知随机变量ξ服从正态分布 N (2，σ2) ， P (ξ≤ 4) = 0.84 ，则 P (ξ≤ 0) = （）A ． 0.16B ． 0.32C ． 0.68D ， 0.84（6）若 P 两条异面直线l ，m 外的任意一点，则（）Ａ．过点 P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 Ｂ．过点 P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 Ｃ．过点 P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交 Ｄ．过点 P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面（7）若非零向量a ，b 满足 a + b = b ，则（）Ａ． 2a > 2a + b Ｂ． 2a < 2a + b Ｃ． 2b > a + 2bＤ． 2b < a + 2b（8）设 f '(x ) 是函数 f (x ) 的导函数，将 y = f (x ) 和 y = f '(x ) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）21 x2 y 2（9）已知双曲线 - a 2 b 2= 1(a > 0，b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2， P 是准线上一点，且PF 1 ⊥ PF 2 ， PF 1 PF 2 = 4ab ，则双曲线的离心率是（ ）Ａ． Ｂ． ⎧⎪x 2，x ≥1 Ｃ． 2 Ｄ． 3（10）设 f (x ) = ⎨ ⎪⎩x ，x < 1， g (x ) 是二次函数，若 f (g (x )) 的值域是[0，+ ∞)，则 g (x ) 的值域是（）A ． (-∞，-1] [1，+ ∞) C ． [0，+ ∞) B ． (-∞，-1] [0，+ ∞) D ． [1，+ ∞)第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分． （11）已知复数 z 1 = 1- i ， z 1 z 2 = 1+ i ，则复数 z 2 = ．（12）已知sin θ+ cos θ= ，且π ≤θ≤ 3π，则cos 2θ的值是 ．52 4（13）不等式 2x -1 - x < 1的解集是．（14）某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种，小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．（15）随机变量ξ的分布列如下：其中 a ，b ，c 成等差数列，若 E ξ= 1 ，则 D ξ的值是．3（16）已知点O 在二面角α- AB - β的棱上，点 P 在α内，且∠POB = 45．若对于β内异于O 的 任意一点Q ，都有∠POQ ≥ 45，则二面角α- AB - β的大小是．⎧ ⎧x - 2 y + 5 ≥ 0⎫ ⎪ ⎪⎪ 22（17）设 m 为实数，若 ⎨(x ，y ) ⎨3 - x ≥0 ⎪ ⎪mx + y ≥ 0 ⎬ ⊆ {(x ，y ) x + y ⎪ ≤25}，则 m 的取值范围⎩⎩ ⎭是 ．三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题 14 分）已知△ABC 的周长为 （I ）求边 AB 的长；+1，且sin A + sin B = 2 sin C ． （II ）若△ABC 的面积为 1sin C ，求角C 的度数．6ξ-1 0 1 Pabc3 2sin n M（19）（本题 14 分）在如图所示的几何体中， EA ⊥ 平面 ABC ， DB ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥ BC ，且 AC = BC = BD = 2 AE ， M 是 AB 的中点． D （I ）求证： CM ⊥ EM ； E（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．ACx 2 2（第 19 题）B（20）（本题 14 分）如图，直线 y = kx + b 与椭圆 + y 4A ，B 两点，记△AOB 的面积为 S ．= 1交于（I ）求在 k = 0 ， 0 < b < 1的条件下， S 的最大值； （II ）当 AB = 2 ， S = 1时，求直线 AB 的方程．（第 20 题）（21）（本题 15 分）已知数列{a n }中的相邻两项 a 的两个根，且 a 2k -1 ≤ a 2k (k = 1，2，3， ) ． （I ）求 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 7 ； （II ）求数列{a n }的前 2n 项和 S 2n ；1 ⎛ ⎫2k -1，a 2k 是关于 x 的方程 x 2 - (3k + 2k )x + 3k 2k = 0（Ⅲ）记 f (n ) =2 ⎝ sin n + 3⎪ ， ⎭ T n = (-1) f (2) a a + (-1) f (3) a a + (-1) f (4) a a + …+ (-1) f (n +1) ，a a 1 23 4 5 6 2 n -1 2 n15求证： ≤ T ≤(n ∈ N * ) ． 6n24x 32 2（22）（本题 15 分）设 f (x ) = ，对任意实数t ，记 g t (x ) = t 3x - t ．3 3（I ）求函数 y = f (x ) - g t (x ) 的单调区间； （II ）求证：（ⅰ）当 x > 0 时， f (x )g f (x ) ≥ g t (x ) 对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数 x 0 ，使得 g x (x 0 ) ≥ g t (x 0 ) 对任意正实数t 成立．yA OxB2007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分． （1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 28 分． 7 （11）1 （12） -（13） {x 0 < x < 2}25（14） 2665（15）9三、解答题（16） 90（17） 0 ≤ m ≤ 43（18）解：（I ）由题意及正弦定理，得 AB + BC + AC =2 + 1，BC + AC = 2AB ，两式相减，得 AB = 1．（II ）由△ABC 的面积 1 BC AC sin C = 1 sin C ，得 BC AC = 1，由余弦定理，得cos C =2 6 3AC 2 + BC 2 - AB 22 AC BC= ( AC + BC )2 - 2 AC BC - AB 2 = 1 所以C = 60．2 A C BC 2（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推 理运算能力．满分 14 分． 方法一：（I ）证明：因为 AC = BC ， M 是 AB 的中点， 所以CM ⊥ AB ． 又 EA ⊥ 平面 ABC ， 所以CM ⊥ EM ．（II ）解：过点 M 作 MH ⊥ 平面CDE ，垂足是 H ，连结CH 交延长交 ED 于点 F ，连结 MF ，MD ． ∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角． D 因为 MH ⊥ 平面CDE ， E所以 MH ⊥ ED ， E 又因为CM ⊥ 平面 EDM ，H所以CM ⊥ ED ，则 ED ⊥ 平面CMF ，因此 ED ⊥ MF ． 设 EA = a ， BD = BC = AC = 2a ， A C在直角梯形 ABDE 中，MAB = 2 2a ， M 是 AB 的中点， B所以 DE = 3a ， EM = 3a ， MD = 6a ，得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD = 90，EM MD所以 MF = DE= 2a ．，21- b 2MF = 2 在 Rt △CMF 中， tan ∠FCM = =1 ， MC所以∠FCM = 45，故CM 与平面CDE 所成的角是45 ． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为 x 轴和 y 轴，过点C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴， 建立直角坐标系C - xyz ，设 EA = a ，则 A (2a ，0，0) ， B (0，2a ，0) ， E (2a ，0，a ) ． D (0，2a ，2a ) ， M (a ，a ，0) ．（I ）证明：因为 EM = (-a ，a ，- a ) ， CM = (a ，a ，0) ，所以 EM CM = 0 ， 故 EM ⊥ CM ．（II ）解：设向量 n = (1，y 0，z 0 ) 与平面CDE 垂直，则 n ⊥ CE ， n ⊥ CD ， 即 n CE = 0 ， n CD = 0 ．z因为CE = (2a ，0，a ) ， CD = (0，2a ，2a ) ， D所以 y 0 = 2 ， x 0 = -2 ， E即 n = (1，2，- 2) ，cos n ，CM， CM n 2xC直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM 夹角的余角，AM所以θ= 45，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是 45． y B（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力．满分 14 分．（Ⅰ）解：设点 A 的坐标为(x 1，b ) ，点 B 的坐标为(x 2，b ) ，x 2 2由+ b 4= 1，解得 x 1，2 = ±2 ， 1所以 S = 2 b x 1 - x 2= 2b ≤ b 2 +1- b 2 = 1．当且仅当b = 时，S 取到最大值1．2⎧ y = kx + b ， ⎪（Ⅱ）解：由 ⎨ x 2⎪⎩ 4y 2 = 1 得⎛ k 2 + 1 ⎫ x 2 + 2kbx + b 2 - 1 = 0 ， 4 ⎪ ⎝ ⎭∆ = 4k 2 - b 2 + 1，1- b 2+ =2S = 1 2| AB |= | x 1 - x 1 | = 1 + k 2 4= 2 ． ②设O 到 AB 的距离为 d ，则 d = = 1，| AB || b |又因为 d ，1+ k 2所以b 2 = k 2+ 1，代入②式并整理，得k 4 - k 2 + 1= 0 ，4 解得 k 2 = 1 ， b 2 = 3 ，代入①式检验， ∆ > 0， 2 2故直线 AB 的方程是y = 2 x + 6 或 y = 2 x - 6 或 y = - 2 x + 6 ，或 y = - 2 x - 6 ．2 2 2 2 2 2 2 221．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分 15 分． （I ）解：方程 x 2- (3k + 2k)x + 3k 2k= 0 的两个根为 x = 3k ， x = 2k， 当 k = 1时， x 1 = 3，x 2 = 2 ， 所以 a 1 = 2 ；当 k = 2 时， x 1 = 6 ， x 2 = 4， 所以 a 3 = 4 ；当 k = 3时， x 1 = 9 ， x 2 = 8 ， 所以 a 5 = 8时；当 k = 4 时， x 1 = 12 ， x 2 = 16 ， 所以 a 7 = 12 ．（II ）解： S 2n = a 1 + a 2 + + a 2n= (3 + 6 + + 3n ) + (2 + 2 2 + + 2 n ) = 3n 2 + 3n + 22n +1 - 2 ．1 1 1 ( -1) f (n +1)（III ）证明： T n = a a + - a a a a + + ，a a所以T 1 =1 a 1a2 1 23 45 62 n -1 2 n= 1 ，6 1 1 5 T 2 = a a + a a = 24 ．1 23 4当 n ≥ 3时，1 1 1 ( -1) f (n +1) T n = + - + + ，6 a 3a 4 a 5a 6a 2 n -1a 2 n 1 + k 21+ k 24k 2 - b 2 +1≥1+1 -⎛ 1+ +1 ⎫6 a aa a a a⎪3 4 ⎝ 5 6 2 n-1 2 n ⎭≥1+1 -1 ⎛1+ +1 ⎫6 6 22 6 23 2 n ⎪=1+1⎝⎭>1，6 6 2n 65 1 1 ( -1) f (n+1)同时，Tn=--+ +≤ 5 -241+⎛a5a61a7a8+ +1a2 n-1a2 n⎫24 a aa a a a⎪5 6 ⎝ 1 2 2 n-1 2 n ⎭≤5-1+1 ⎛1+ +1 ⎫24 9 23 9 21 2 n ⎪=5-1⎝⎭<5．24 9 2n 24综上，当n ∈N *时，1≤T ≤5．6 n 2422．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15 分．x3 16（I）解：y =- 4x +．3 3由y'=x2 - 4 = 0 ，得x =±2．因为当x∈(-∞，-2)时，y'>0，当x∈(-2，2)时，y'<0，当x∈(2，+∞)时，y'>0，故所求函数的单调递增区间是(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间是(-2，2)．（II）证明：（i）方法一：x3 2 2令h(x) =f (x) -gt(x) =-t 3 x +3 3t(x > 0) ，则2h'(x) =x2 -t 3 ，1当t > 0时，由h'(x) = 0 ，得x =t 3 ，1当x∈(x3，+∞)时，h'(x)>0，1所以h(x)在(0，+∞)内的最小值是h(t3)=0．故当x > 0 时，f (x) ≥gt(x) 对任意正实数t 成立．方法二：2对任意固定的x > 0 ，令h(t) =gt(x) =t 3 x -2t(t > 0) ，则3h '(t ) = 2 - 1 1t 3(x - t 3 ) ，3由 h '(t ) = 0 ，得t = x 3．当0 < t < x 3时， h '(t ) >0 ． 当t > x 3 时， h '(t ) < 0 ，所以当t = x 3 时， h (t ) 取得最大值 h (x 3) = 1x 3．3因此当 x > 0 时， f (x ) ≥ g (x ) 对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：f (2) = 8= g (2) ．3t由（i ）得， g t (2) ≥ g t (2) 对任意正实数t 成立．即存在正实数 x 0 = 2 ，使得 g x (2) ≥ g t (2) 对任意正实数t 成立． 下面证明 x 0 的唯一性：当 x 0 ≠ 2， x 0 > 0 ， t = 8 时，x 3f (x ) = 0 ，g (x ) = 4x - 16 ， 03x 0 03x3由（i ）得，0 > 4x - 16 ，3 03x 3 再取t = x 3 ，得 g (x ) = 0 ，0 x 03 0 316 x 3所以 g x (x 0 ) = 4x 0 - < 0= g 3 3x 03 (x 0 ) ，即 x 0 ≠ 2时，不满足 g x (x 0 ) ≥ g t (x 0 ) 对任意t > 0都成立． 故有且仅有一个正实数 x 0 = 2 ，使得 g x (x 0 )0 ≥ g t (x 0 ) 对任意正实数t 成立．方法二：对任意 x 0 > 0 ， g x (x 0 ) = 4x 0 - 16 ，3因为 g (x ) 关于t 的最大值是 1 x 3，所以要使 g (x ) ≥ g (x ) 对任意正实数成立的充分必要条件是：t 03 0x 0 t 0 4x - 16 ≥ 1x 3 ， 03 3 0即(x 0 - 2)2(x 0 + 4) ≤0 ， ①又因为 x 0 > 0 ，不等式①成立的充分必要条件是 x 0 = 2 ， 所以有且仅有一个正实数 x 0 = 2 ，使得 g x (x 0 ) ≥ g t (x 0 ) 对任意正实数t 成立．。
【最新资料】浙江省考试院高考测试(理科)数学试卷及答案
高考数学最新资料 浙江省考试院20xx 年高考测试理科数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x ) g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n a n +3＝a n +1a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．309．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B C ．2 D (第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 xy OA BF 1F 2(第9题图)10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
(word版)浙江高考理科数学试题及解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数 学〔理科〕选择题局部〔共 50分〕1.(2021年浙江)集合P={x|-1＜x ＜1}，Q={0＜x ＜2}，那么P ∪Q=〔〕A ．〔1，2〕B ．〔0，1〕C ．〔-1，0〕D ．〔1，2〕【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q=〔-1，2〕.x 2 y 22.(2021年浙江)椭圆 9+4=1的离心率是〔〕13525 A ． 3B ． 3C ． 3D ．99-4 5【解析】e=3=3.应选B ．3.(2021年浙江)某几何体的三视图如下图〔单位： cm 〕，那么该几何体的体积〔单位： cm 3〕是〔 〕〔第3题图〕A ．1B ．3C ．31D ．33222 2A 【解析】根据所给三视图可复原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所21 π×11π以，几何体的体积为 V=×3×〔2+×2×1 〕=+1. 应选A.3 2 2≥0，4.(2021年浙江)假设x ，y 满足约束条件 x+y-3≥0，那么z=x+2y 的取值范围是〔 〕x-2y ≤0，A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞〕D．[4，+∞〕4.D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D．5.(2021年浙江)假设函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，那么M–m〔〕A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关aa2B【解析】因为最值f〔0〕=b，f〔1〕=1+a+b，f〔-2〕=b-4中取，所以最值之差一定与b无关.应选B.6.(2021年浙江)等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，那么“d>0〞是“S4+S6>2S5〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.C【解析】由S+S-2S=10a+21d-2〔5a+10d〕=d，可知当d＞0时，有S+S-2S＞0，46511465即S4+S6>2S5，反之，假设S4+S6>2S5，那么d＞0，所以“d>0〞是“S4+S6>2S5〞的充要条件，选C．7.(2021年浙江)函数y=f(x)的导函数y=f〔′x〕的图象如下图，那么函数y=f(x)的图象可能是〔〕〔第7题图〕7.D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且 x=0位于增区间内.应选D.8.(2021年浙江)随机变量ξ满足P 〔ξ=1〕=p ，P 〔ξ=0〕=1–p ，i=1，2．假设0<p<p< 2iiiii12 1，那么〔 〕A ．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B ．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C ．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D ．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)A 【解析】∵E(ξ1)=p 1，E(ξ2)=p 2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p 1(1-p 1)，D(ξ2)=p 2(1-p 2)，∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p 1-p 2)(1-p 1-p 2)＜0.应选A ．9.(2021年浙江)如图，正四面体 D –ABC 〔所有棱长均相等的三棱锥〕， P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，BQ =CR=2，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –PQCRA的平面角为 α，β，γ，那么〔 〕〔第9题图〕A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α9.B【解析】设O 为三角形AB C中心，那么 O 到PQ 距离最小，O 到 PR距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此α<γ<β.应选B.10.(2021年浙江)如图，平面四边形 ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=→ →→ →→→〕·，I 2=·，I 3=·，那么〔OAOB OBOC OCOD〔第10题图〕A．I＜I＜I3B．I＜I＜I21213 C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I310.C【解析】因为∠AOB=∠COD＞90°，OA＜OC，OB＜OD，所以→→＞0＞→→··OBOC OAOB＞→→.应选C.·OCOD非选择题局部〔共100分〕11.(2021年浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术〞可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并开展了“割圆术〞，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术〞的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=．33133．11.2【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，那么S6=6×〔2×1×1×sin60〕°=212.(2021年浙江)a，b∈R，〔a+bi〕2=3+4i〔i是虚数单位〕那么a2+b2=___________，ab=___________.a2-b2=3，a2=4，2【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i，那么ab=2，解得b2=1，那么a2+b2=5，ab=2.13.(2021年浙江)多项式〔x+1〕3〔x+2〕2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，，那么a4=________，a=________．513.164【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr3x r Cm2·22-m=Cr3Cm·2·22-m·x r+m，分别取r=0，m=1和r=1，m=0可得a4=4+12=16，取r=m，可得a5=1×22=4．14.(2021年浙江)△ABC ，AB=AC=4，BC=2．点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，那么△BDC 的面积是___________，cos ∠BDC=___________.1510BE 114.24【解析】取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC ，△ABE 中，cos ∠ABE=AB =4，1 1 15 1∴cos ∠DBC=- 4 ，sin ∠DBC= 1-16= 4， ∴S △BCD = 215 .∵∠ABC=2∠BDC ，∴cos ∠ABC=cos2∠BDC=2cos 2∠BDC-1= 1×BD ×BC ×sin ∠DBC= 24，10 10 15 解得cos ∠BDC=4 或cos ∠BDC=-4〔舍去〕.综上可得，△BCD面积为2，10cos ∠BDC=4.15.(2021年浙江)向量 a ，b 满足|a|=1,|b|=2,那么|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是_______．15. 4，2 5【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由余弦定理有|a-b|=12+22-2×1×2×cos θ= 5-4cos ，θ|a+b|=12+22-2×1×2×cos(π-θ)=5+4cos θ，那么|a+b|+|a-b|=5+4cos+θ5-4cos θ，令y=5+4cos θ+5-4cos θ，那么y 2=10+225-16cos 2θ∈[16,20]，据此可得(|a+b|+|a-b|)max =20=2 5,(|a+b|+|a-b|)min =16=4，即|a+b|+|a-b|的最小值是 4，最大值是25．16.(2021年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长 1人，普通队员 2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有 1名女生，共有______种不同的选法．〔用数字作答〕 16.660【解析】由题意可得， “从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员 2人组成4人效劳队〞中的选择方法为C48×C14×C13〔种〕方法，其中“效劳队中没有女生〞的选法有C46×C14×C13〔种〕方法，那么满足题意的选法有 C48×C14×C13-C46×C1 4×C13=660〔种〕.417.(2021年浙江)a R，函数f〔x〕=|x+x-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，那么a的取值范围是___________．9444 17.〔-∞，]【解析】x∈[1,4],x+∈[4,5]，分类讨论：①当a≥5时，f〔x〕=a-x-+a=2a-x-，2x x x函数的最大值9，舍去；②当a≤4时，f〔x〕=x+44≤5，此时命题成立；2a-4=5，∴a=-a+a=x+x2x③当4＜a＜5时，[f(x)]max=max{|4-a|+a,|5-a|+a}，那么|4-a|+a≥-a|+a|5，或|4-a|+a＜|5-a|+a，解|4-a|+a=5|4-a|+a=5999得a=或a＜.综上可得，实数a的取值范围是〔-∞，]．22218.(2021年浙江)函数f〔x〕=sin2x–cos2x–23sinxcosx〔x∈R〕．2π〔1〕求f〔3〕的值．〔2〕求f〔x〕的最小正周期及单调递增区间．18.解：〔1〕由sin 2π32π1，3=2，cos=-32f〔2π312-231〕=〔〕2-〔-〕3××〔-〕．32222得f〔2π．〕=232〕由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx，得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin(2x+π)．6所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得ππ≤π3ππ，k∈Z，+2k2x+≤+2k262π3π解得6+kπ≤x2≤+2kπ，k∈Z，所以，f〔x〕的单调递增区间是[π3π6+kπ，2+2kπ]，k∈Z．(2021年浙江)如图，四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．PEA DB C〔第19题图〕1〕证明：CE∥平面PAB；2〕求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．19.解：〔1〕如图，设PA中点为F，连接EF，FB．因为E，F分别为PD，PA中点，1所以EF∥AD且EF=2AD，1又因为BC∥AD，BC=2AD，所以EF∥BC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．〔2〕分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC//AD 得BC ⊥平面PBN ， 那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为 H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠ QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD=1．在△PCD 中，由PC=2，CD=1，PD= 2得CE= 2，在△PBN 中，由PN=BN=1，PB=3得QH=1，4在Rt △MQH 中，QH=1，MQ=2，4所以sin ∠QMH=2 ，8所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2．8-x120.(2021年浙江)函数f(x)=〔x –2x-1〕e 〔x ≥〕．21〕求f(x)的导函数；2〕求f(x)在区间[12，+∞)上的取值范围．1，〔e -x 〕′=-e -x，20.解：〔1〕因为〔x –2x-1〕′=1-2x-1所以f 〔x 〕=〔1-1 〕e -x-〔x –2x-1 (1-x)(2x-1-2)e-x1 2x-1〕e-x=(x ＞).2x-12（2〕由f(′x)=(1-x)(2x-1-2)e -x =02x-15解得x=1或x=．因为x 1〔 1，1〕1 〔1，5〕5 〔 5，+∞〕22 22 2f(x)′–+0 –1 - 11 - 5f 〔x 〕2e2↘ 0↗2e2↘又f 〔x 〕= 1〔2x-1-1〕2e -x ≥0，2所以f 〔x 〕在区间1 1 1[，+∞)上的取值范围是[0，e -]．22221.(2021年浙江)如图，抛物线x 2=y ，点A 〔-1，1〕，B 〔3，9〕，抛物线上的点 p(x,y)(-1242 42＜x ＜3)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．2〔第19题图〕1〕求直线AP 斜率的取值范围；2〕求|PA|·|PQ|的最大值．21.解：〔1〕设直线 AP 的斜率为k ，21x-41，k=1=x-2x+213因为-2＜x ＜2，所以直线AP 斜率的取值范围是〔 -1，1〕．1 1〔2〕联立直线AP 与BQ 的方程kx-y+2k+4=0，9 3x+ky-4k-2=0，解得点Q 的横坐标是 x Q = -k 2+4k+3 ．2(k 2+1)因为|PA|= 11+k 2(k+1)，1+k 2(x+)=2|PQ|= (k-1)(k+1) 21+k 2(x Q -x)=-k 2+1 ，所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3．令f(k)=-(k-1)(k+1)3，因为f ′(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以f(k)在区间(-1,1 1)上单调递增，(,1)上单调递减，22因此当k=1时，|PA|·|PQ|取得最大值27．216(2021年浙江)数列{x n }满足x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)〔n ∈N *〕．证明：当n ∈N *时，1〕0＜x n+1＜x n ；〔2〕2x n+1nx n x n+1；-x ≤2〔3〕1n-1 ≤x n ≤1n-2．2 222.解：〔1〕用数学归纳法证明 n＞0．x当n=1时，x 1=1>0．假设n=k 时，x k >0，那么n=k+1时，假设x k+1≤0，那么0＜x k =x k+1+ln 〔1+x k+1〕≤0，矛盾，故 x k+1＞0．因此x n ＞0〔n ∈N *〕．所以x n =x n+1+ln 〔1+x n+1〕＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n 〔n ∈N *〕． 2〕由x n =x n+1+ln 〔1+x n+1〕，得x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+〔x n+1+2〕ln 〔1+x n+1〕.记函数f 〔x 〕=x2-2x+〔x+2〕ln 〔1+x 〕〔x ≥0〕，2x 2+xf 〔′x 〕=x+1+ln 〔1+x 〕＞0〔x ＞0〕，函数f 〔x 〕在[0，+∞]上单调递增，所以 f 〔x 〕≥f 〔0〕=0，因此x n+12-2x n+1+〔x n+1+2〕ln 〔1+x n+1〕=f 〔x n+1〕≥0， 故2x n+1 -x nx n x n+1〔n ∈N *〕．≤ 23〕因为x n =x n+1+ln 〔1+x n+1〕≤x n+1+x n+1=2x n+1，1所以x n ≥2n-1，由x n x n+1≥2x n+1-x n ，2得1-1≥2〔1-1〕＞0，x n+12x n 2所以 1 - 1≥2〔 1 - 1〕≥≥2n-1〔 1 - 1〕=2n-2，x n 2 x n-12 x 1 21故x n ≤2n-2．(word版)浙江高考理科数学试题及解析综上，1n-1≤x n≤1n-2〔n∈N*〕．2211 / 1111。
浙江高考理科数学试题含答案(Word版)
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(浙江卷,含答
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )(A. ]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞3、已知y x ,为正实数，则A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.y x y x lg lg )lg(222•=+C.y x y x lg lg lg lg 222+=•D.y x xy lg lg )lg(222•=4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P 00•≥•。
则A. 090=∠ABCB. 090=∠BAC C. AC AB = D.BC AC =8、已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值9、如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
高考理科数学试卷(浙江卷)
X与Y
解析：考察三角函数求值， 6、
和差化积公式的运用。在这里先将
拆成 (
)- (
)，
2
4
42
再利用不等式的性质求出 (
) 、(
) 角的范围进而求出 sin(
) 、sin(
) 的值，
4
42
4
42
最后余弦的和差化积公式计算出结果 C。属中档题。
7、 解析：考察充分必要性， 由 0＜ ab＜1知 a、b 同号且均不为 0， 同正可得 a＜ 1 ， 同负可得 b＞ 1 ，
（B） a2 13
（ C） b2 1 2
（ D） b2 2
其中语文书 2 本， 数学书 2 本， 物理书 1 本。若将其随机地并排摆放到书
架的同一层上， 则同一科目的书都不相邻的概率是
（A） 1 5
（B） 2 5
（ 10 ） 设 a, b, c 为 实 数 ，
（ C） 3 5
（ D） 4 5
f ( x) ( x a)( x2 bx c), g( x) ( ax 1)(cx2 bx 1) 。 记 集 合
（Ⅰ）证明： AP⊥ BC； （Ⅱ）在线段 AP 上是否存在点 M ， 使得二面角 A - MC - B 为直二面角？若存在， 求出 AM 的长；若不存在， 请说明理由。
（ 21）（本题满分 15 分）已知抛物线 C1 : x2 ＝ y ， 圆 C2 : x2 ( y 4)2 1 的圆心为点 M 。 （Ⅰ）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点） ， 过点 P 作
2.每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑， 干净后， 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
2021年高考真题——理科数学(浙江卷)word版部分试题解析
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。
浙江省考试院高考数学测试卷(理)
综合卷检测试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．已知会合A＝{y|y＝2x，x∈R}，则RA＝A．B．(－∞，0]C．(0，＋∞)D．R2．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则A．函数f[g(x)]是奇函数B．函数g[f(x)]是奇函数C．函数f(x)g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数4．设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则精品文档采集整理汇总A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2精选文档采集整理汇总5．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2DC．a2＋b2D．ab C6．设数列{an}．A B(第6题图)A．若a n2＝4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若an an+2＝a n21，n∈N*，则{an}为等比数列C．若am a n＝2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若anan+3＝an+1an+2，n∈N*，则{an}为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是33331/131212正视侧视图正视图侧视图正视图侧视图正视侧视图图图2121俯视图俯视图俯视图俯视图A．B．C．D．精选文档采集整理汇总x y0,8．若整数x，y知足不等式组2x y100,则3x y530, 2x＋y的最大值是A．11B．23C．26 D．30精选文档采集整理汇总9．如图，F1，F2是双曲线C：x2y21＞，＞0)F1a2b2(a0b的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝3:4:5，则双曲线的离心率为精选文档采集整理汇总A．13B．15C．2D．3精选文档采集整理汇总10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1(x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为y y11A．－11－11 O xB．O x －1－1y y11－11－11C．O x D．O x －1－1yBAO F2x(第9题图)y1B－11xA－1C(第10题图)2/13非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色笔迹的署名笔或钢笔将答案写在答题纸上，不可以答在试题卷上。
2022浙江高考数学理科
2022浙江高考数学理科【一】:2022年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一。
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集U{N，2}，集合A{N，25}，则CUA（）A。
B。
{2}C。
{5}D。
{2,5}2、已知i是虚数单位，a,b R,则“a b1”是“(a bi)22i”的（）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件3、几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是()A。
90cmB。
129cmC。
132cmD。
138cm4、为了得到函数y in3co3图像，可以将函数2222y图像（）A。
向右平移个单位B。
向左平移个单位44C。
向右平移个单位D。
向左平移个单位121264mn5、在(1)(1y)的展开式中,记y项的系数f(m,n)，则f(3,0f)(2f,1)f(=1（）A。
45B。
60C。
120D。
2106。
已知函数f()3a2b c，且0f(1)f(2)f(3)3（）A。
c3B。
3c6C。
6c9D。
c97。
在同一直角坐标系中，函数f()(0)，g()loga图像可能是（）a8。
记ma{,y},y y,y，min{,y}，设a,b为平面向量，则（）y,y,yA．min{，a b，,，a b，}min{，a，,，b，}B。
min{，a b，,，a b，}min{，a，,，b，}C。
ma{，a b，2,，a b，2}，a，2，b，2D。
ma{，a b，2,，a b，2}，a，2，b，29。
已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球(m3,n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中。
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)。
2021年理科数学浙江省高考真题含答案
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选取题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定。
（1）设集合A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则A ∩B=（A ）．[0，2]（B ）．[1，2]（C ）．[0，4]（D ）．[1，4](2)已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni=（A ）1+2i（B ）1－2i（C ）2+i（D ）2－I（3）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（A ）1＜n ＜m（B ）1＜m ＜n（C ）m ＜n ＜1（D ）n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，表达平面区域面积是（A ）24（B ）4（C ）22（D ）2(5) 双曲线122=-y m x 上点到左准线距离是到左焦点距离31，则m=（A ）21 （B ）23 （C ）81 （D ）89 （6）函数R x x x y ∈+=,sin 2sin 212值域是 （A ）]23,21[- （B ）]21,23[-（C ）[]2122,2122++-（D ）]2122,2122[---（7）“a ＞b ＞0”是“222b a ab +<”（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）若多项式,)1()1(...)1(10109910102+++++++=+x a x a x a a x x 则a 9=（A ）9 （B ）10 （C ）－9 （D ）－10（9）如图，O 是半径为球球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与 AC 中点，则点E 、F 在该球面上球面距离是（A ）4π（B ）3π （C ）2π（D ）42π（10）函数f ：|1，2，3|→|1，2，3|满足f （f （x ）=f （x ），则这样函数个数共有（A ）1个（B ）4个（C ）8个（D ）10个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
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2011年浙江省高考数学理科测试卷球的表面积公式 S = 4πR 2 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =31Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体的体积公式 V = Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B ) = P (A ) + P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知函数f (x )＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝(A) 9 (B)7110(C) 3 (D)1110(2) “cos x ＝1”是“sin x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (3) 在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12(4) 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为(A)3(B)2(C)3 (D)13(5) 设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 (A)2(C)2(6) 下列函数中，在(0，2π)上有零点的函数是 (A) f (x )＝sin x －x (B) f (x )＝sin x －2πx (C) f (x )＝sin 2x －x (D) f (x )＝sin 2x －2πx(7) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为(A) 1 (B) 12(C)14(D)18(8) 设2010(12)(1)xx++＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋2912910(1)b b x b x b xx+++++，则a9＝(A)0 (B) 410 (C) 10⋅410(D) 90⋅410(9) 设,2,,2,x y x yzy x y-≥=<⎧⎨⎩若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为(A)－4 (B)－2 (C)－1 (D) 0(10) 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z ＝(A) (X∪Y)Z(B) (X∩Y)ZXY )∩Z X Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
(11) 已知i为虚数单位，复数2i1iz+=-，则| z | ＝＿＿＿＿．(12) 已知直线x－2ay－3＝0为圆x2＋y2－2x＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数a＝_______．(13) 若某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是＿＿＿＿＿cm3．(14)已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为__________．(15) 已知等比数列{a n}，首项为2，公比为3，则12322222nnaa a a a+⋅⋅⋅⋅＝_________ (n∈N*)．(16) 设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作⊙M1；以M2为圆心，| M2M3| 为半径作圆交x轴于点M4(不同于M3)，记作⊙M2；……；以M n为圆心，| M n M n+1 | 为半径作圆交x轴于点M n+2 (不同于M n+1)，记作⊙M n；……(第13题)正视图俯视图侧视图(第7题)当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ． 考察下列论断：当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2； 当n ＝2时，| A 2B 2 |当n ＝3时，| A 3B 3 |；当n ＝4时，| A 4B 4 |；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ．(17) 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BCABE ＝20°，∠CDF ＝30°．将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 成角的最大值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(18) (本题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin2C ＝4．(Ⅰ) 求cos C 的值； (Ⅱ) 若△ABC 4，且sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2 C ，求a ，b 及c 的值．(19) (本题满分14分) 甲、乙两队各有n 个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 (同队的队员之间不握手)，从这n 2次的握手中任意取两次．记 事件A ：两次握手中恰有4个队员参与； 事件B ：两次握手中恰有3个队员参与．(Ⅰ) 当n ＝4时，求事件A 发生的概率P (A )；(Ⅱ) 若事件B 发生的概率P (B )＜110，求n 的最小值．(第17题)(20) (本题满分15分) 如图，已知△AOB ，∠AOB ＝2π， ∠BAO ＝6π，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B －AO －C 的大小为θ．(Ⅰ) 当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； (Ⅱ) 当θ∈[2π,23π]时，求二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围．(21) (本题满分15分) 已知中心在原点O ，焦点在x2的椭圆过点2)．(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(22) (本题满分14分) 已知实数a 满足0＜a ≤2，a ≠1，设函数f (x )＝13x 3－12a +x 2＋ax ．(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值；(Ⅱ) 若函数g (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋4)x ＋ln x (b ∈R )的极小值点与f (x )的极小值点相同．求证：g (x )的极大值小于等于54．AOBCD(第20题)(第21题)说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分(第11题除外)。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
(1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) D (7) D (8) C (9) B (10) B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
(11) 20 (12) 1 (13) 2123 (14) 13(15) 78 (16) 32 (17) 12三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(18) 本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，同时考查三角运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解：因为cos B ＋cos (A －C )C ，所以－cos (A ＋C )＋cos (A －C )sin C ，得2sin A sin C C ，故sin A ＝2．因为△ABC 为锐角三角形，所以A =60°．………………………………………7分 (Ⅱ) 解：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意知 a ＝2，由余弦定理得4＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，所以△ABC 面积＝12bc sin60° 且当△ABC 为等边三角形时取等号，所以△ABC ………………………14分(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n 项和与通项的关系等基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解：由题意可知1154530,262,a d a d ⨯+=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 得 110,2.a d ==-⎧⎨⎩ ………………………………………6分(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)得 a n ＝10＋(n －1)(－2)＝12－2n ，所以 b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝na n ＝n (12－2n )， 当n ＝1时，b 1＝10，当n ≥2时，b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋(n －1)b n －1＝(n －1)[12－2(n －1)]， 所以nb n ＝ n (12－2n )－(n －1)[12－2(n －1)]＝14－4n ， 故b n ＝14n－4．当n ＝1时也成立．所以b n ＝14n－4 (n ∈N *)． ……………………………14分(20) 本题主要考查空间线线、线面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
满分14分。
(Ⅰ) 证明：取B 1D 1的中点E ，连结C 1E ，OA ，则A ，O ，C 共线，且 C 1E ＝OA ， 因为BCD －B 1C 1D 1为三棱柱， 所以平面BCD ∥平面B 1C 1D 1， 故C 1E ∥OA ，所以C 1EAO 为平行四边形， 从而C 1O ∥EA ．又因为C 1O ⊄平面AB 1D 1， EA ⊂平面AB 1D 1，所以C 1O ∥平面AB 1D 1．………………………………………………7分 (Ⅱ) 解：过B 1在平面B 1C 1D 1内作B 1A 1∥C 1D 1，使B 1A 1＝C 1D 1．A 1B 1DABCC 1D 1(第20题)OF E连结A 1D 1，AA 1．过B 1作A 1D 1的垂线，垂足为F ， 则B 1F ⊥平面ADD 1，所以∠B 1AF 为AB 1与平面ADD 1所成的角． 在Rt △A 1B 1F 中，B 1F ＝A 1B 1⋅sin 60°2．在Rt △AB 1F 中，AB 1， 故sin ∠B 1AF ＝11B F AB=2．所以∠B 1AF ＝45°．即直线AB 1与平面ADD 1所成角的大小为45°． …………………14分(21) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、运算求解能力和创新意识。