高中数学人教版必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案(系列五)

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系●三维目标1．知识与技能(1)正确理解空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系．(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学态度．2．过程与方法(1)经历空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系及面面关系的基本方法．(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)在对空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲．(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值．●重点难点重点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系．难点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的判断．重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面及平面与平面之间的位置关系．然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】【问题导思】1．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中线段BC 1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行． 2．“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”一样吗？【提示】 不一样．前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况，而后者仅指直线与平面平行． 直线和平面的位置关系【问题导思】观察前面问题中的长方体，平面A 1C 1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？ 【提示】 两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行． 空间两个平面的位置关系【课堂自主导学】下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为( )A．1B．2C．3D．4【思路探究】结合直线与平面的位置关系的定义求解．【自主解答】对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.故①是错误的．对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．故②是错误的．对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.故③是错误的．对于④，∵a∥b，b⊄α，那么a⊄α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故④是正确的．综上所述，正确的个数为1.【答案】A1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点【解析】由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．【答案】D已知下列说法：①若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a∉α，则a与β一定相交．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．【思路探究】由平面间的位置关系逐一判断．【自主解答】①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a∉α，b∉β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行．【答案】③④1．两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．2．平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确．【答案】C【易错易误辨析】因思维不全面致误设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面( )A．有且只有一个B．恰有两个C ．没有或只有一个D ．有无数个 【错解】 如图，过P 作a 1∥a ，b 1∥b .∵a 1∩b 1＝P ，∴过a 1、b 1有且只有一个平面．故选A . 【答案】 A【错因分析】 本题出错的原因是考虑不全面，漏掉了直线a (或b )与点P 确定的平面恰与直线b (或a )平行的情形．【防范措施】 在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形．【正解】 (1)当直线b (或a )平行于直线a (或b )与点P 所确定的平面时，则过P 与a ，b 都平行的平面不存在． (2)当直线b (或a )不平行于直线a (或b )与点P 所确定的平面时， 如图所示，过P 作a 1∥a ，b 1∥b .∵a 1∩b 1＝P ，∴过a 1、b 1有且只有一个平面． 【答案】 C 【课堂小结】1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧直线与平面平行直线与平面没有公共点直线与平面不平行⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面有唯一公共点直线在平面内直线与平面有无数公共点(2)按是否在平面内分类⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2．判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.【当堂达标检测】 1．圆台的母线与圆台的底面的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．母线在底面内D ．相交或母线在底面内【解析】 圆台的母线与圆台的上下底面都有且只有一个公共点，故二者是相交关系． 【答案】 A2．直线a 与平面α相交，则a 与α的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数【解析】由直线与平面相交的定义可知，直线a 与平面α相交，a 与α的公共点有且只有一个． 【答案】 B3．若M ∈平面α，M ∈平面β，则α与β的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定 【解析】 ∵M ∈平面α，M ∈平面β， ∴α与β相交于过点M 的一条直线．【答案】 B4．由已知条件作图：a ∥α，b ∩α＝A ，c ⊄α，b ∩c ＝A . 【解】 如图． 【课后知能检测】 一、选择题1．直线l 与平面α不平行，则( ) A ．l 与α相交 B ．l ⊄αC ．l 与α相交或l ⊄αD ．以上结论都不对 【解析】 若l 与α不平行，则l 与α相交或l ⊄α. 【答案】 C2．(2014·郑州高一检测)正方体的六个面中互相平行的平面有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对【解析】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，故六个面中互相平行的平面有3对．【答案】 C3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面(面AA 1C 1C 、面ABC 1D 1、面ADC 1B 1、面BB 1D 1D 、面A 1BCD 1及面A 1B 1CD )所在的平面中，与棱AA 1平行的平面共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 如图所示，结合图形可知AA 1∥平面BC 1，AA 1∥平面DC 1，AA 1∥平面BB 1D 1D . 【答案】 B4．已知直线a ，b 都与平面α相交，则a ，b 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能【解析】 如图，在正方体中取平面ABCD 为平面α，取AA 1所在直线为直线a ，BB 1所在直线为直线b，则a∥b，取AB所在直线为直线b则a、b相交，取BC1所在直线为直线b，则a、b异面，1故三种情况都有可能．【答案】D5．如果空间的三个平面两两相交，那么( )A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线【解析】空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选A.【答案】A二、填空题6．已知平面α∥平面β，直线a⊄α，则直线a与平面β的位置关系为________．【解析】∵α∥β，∴α与β无公共点，∵a⊄α，∴a与β无公共点，∴a∥β.【答案】a∥β7．(2014·咸阳高一检测)已知直线a，平面α，β且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是________．【解析】因为a∥α，a∥β，所以平面α与β相交如图(1)或平行如图(2)．图(1) 图(2)【答案】相交或平行8．(2012·银川高一评估)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．【解析】如图所示，与平面ABBA1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.1【答案】6三、解答题9．已知直线l∩平面α＝A，直线m⊂α，画图表示直线l和m的位置关系．【解】直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况，l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．10．如图所示，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．【解】由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点．又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.11．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？【解】三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．。