2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：大题演练争高分(三)(含答案解析)
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案
大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。
2018年4月2018届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(全解全析)
4
y0 (
4
且一周期内至多有三个根满足 f 2 ( x) a f ( x) 1 0 ，故在 [0, 6] 内最多有 9 个不等实根，③正确； 由函数 f ( x) 的图象可知，当方程 f 2 ( x) a f ( x) 1 0 在 [0, 6] 内的根的个数为偶数时，根的个数
y y0 k PM ( x y 4 k PM
2 4 4 2 2 y0 y y0 y0 0 ，其解为 y y0 和 ) ，与抛物线方程联立消去 x，得 y k k 4 PM PM
y0 ，则 M (
(4 y0 k PM ) 2 4 (4 y0 k PN ) 2 4 , y ) N ( , y 0) ，则由题意，得 0 ，同理可得 2 2 4k PM k PM 4k PN k PN
理科数学 第 2页（共 12页）
y0 ) k PM k PN 1 1 1 ，化简得 y0 2( 1) 4 , ∴ x0 4 ，∴直线 PQ 的斜率为 2 2 (4 y0 k PM ) (4 y0 k PN ) kPN kPM 2 2 4k PM 4k PN y0 1 3 ，故选 D． x0 2 2
2
2
在区间 [0, ] 上单调递减.∵ 0 A
2
，∴ 0 sin A A ，∴ esin A f (sin A) e A f ( A) ,故选 C． 2 2
2 y0 , y0 ) ，故直线 PM 的方程为 4
11．D 【解析】由题意，因为点 P x0 , y0 在抛物线 y 2 4 x 上，所以 P (
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 4 Word版含解析
高考大题专攻练4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点(a n+1，S n)在直线y=x-1上，n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？并求数列{a n}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)，在(1)的结论下，令b n=f(log3a n)+1，c n=a n+，求{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意得S n=a n+1-1，所以S n-1=a n-1，两式相减得a n=a n+1-a n，即a n+1=3a n，所以当n≥2时，数列{a n}是等比数列，要使n≥1时，数列{a n}是等比数列，则只需要=3，因为a1=a2-1，所以a2=2a1+2，所以=3，解得t=2，所以实数t=2时，数列{a n}是等比数列，a n=2·3n-1.(2)因为b n=f(log3a n)+1=[log3(2×3n-1)]+1，因为3n-1<2×3n-1<3n，所以n-1<log3(2×3n-1)<n，所以b n=n-1+1=n，所以c n=a n+=2×3n-1+=2×3n-1+，因为{a n}的前n项和为=3n-1，的前n项和为(1-+-+…+-)==-，所以T n=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9·2n-1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n>ka n-1对一切n ∈N*恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a n+1+a n=9·2n-1，所以a2+a1=9，a3+a2=18，所以q===2.又2a1+a1=9，所以a1=3，所以a n=3·2n-1，n∈N*.(2)b n=na n=3n·2n-1，所以S n=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1，所以S n=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，所以S n=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n，所以-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)2n-1，所以S n=3(n-1)2n+3，因为S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立，所以k<==2(n-1)+，令f(n)=2(n-1)+，则f(n+1)-f(n)=2n+-=2+-=2-=>0，故f(n)随着n的增大而增大，所以f(x)min=f(1)=，所以实数k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
2018届高三二轮数学(理)高考大题专攻练含答案(三)
高考大题专攻练
3.数列(A 组)
[来源:Z_xx_]
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 1.设数列 的前 n 项和为 Sn ，对任意的正整数 n，都有 ，数列 的前 n 项和为 Tn，
an=5Sn+1 成立，bn =-1-log2
cn= (1)求数列
.
世纪金榜导学号 92494439 的通项公式与数列 前 n 项和 An. 中的项 an，使得
(2)对任意正整数 m，k，是否存在数列
≤32an 成立？若存在， 请求出正整数 n 的取值集合， 若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为 an=5Sn+1，令 n=1⇒a1=- ， 由 项公式 an= ， 得，an+1=- an，所以等比数列{an}的通
bn=-1-log 2|an|=2n-1，
=
=
-
，
所
以
An=1-
=
.
(2)存在.因为 an= =. ，
⇒Sn=
所以 S1 =- ，S2=当 n 为奇数，Sn=n 为偶数，Sn=-
单增 ， 单减， ，
所以(Sn)min=- ，(Sn)max=-
设对任意正整数 m，k，存在数列{an}中的项，使得|Sm-Sk|≤ 32an 成立， 即(Sn)max-(Sn)min= n∈{2，4}. = ≤32an=32· ，解得：
2.已知数列{an}满足 a1 =1，an+1=1-
，其中 n∈N .
*
(1)设 bn= 的通项公式 an.
，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}
(2)设 cn=
，数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn，是否存在正整
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 10 Word版含解析
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高考大题专攻练10.解析几何(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，其右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的方程.(2)若P，Q，M，N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2-c2=1，故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1，0)，且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则PQ的方程为y=k(x-1)，联立整理得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=，x1x2=，则|PQ|=·，于是|PQ|=，同理：|MN|==.则S=|PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，S=|PQ||MN|==2，当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值.当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2.综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：+=1(a>b>0)的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1. 世纪金榜导学号92494446(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2.①求证：k1·k2为定值；②求△CEF的面积的最小值.【解题导引】(1)由题知b=1，由=，b=1联立求解即可得出.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，利用斜率计算公式即可得出.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，可得△CEF的面积S△|EF|(2-y c).CEF=【解析】(1)由题意知b=1，由=，所以a2=2，b2=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，由得(1+2)x2+4k1x=0，解得x C=-，同理x B=-，因为B，O，C三点共线，则由x C+x B=--=0，整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0，所以k1k2=-.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，所以k1k2=·===-.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，而y C=k1x C+1=-+1=，所以，△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c)==··.由k1k2=-，得k2=-，则S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时取得等号，所以△CEF的面积的最小值为.【加固训练】(2017·广元一模)已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F(-1，0)的距离为d2，且=.直线l与椭圆C交于不同两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA+∠OFB=180°.(1)求椭圆C的方程.(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程.(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)设P(x，y)，得==，由此能求出椭圆C的方程.(2)由已知条件得k BF=-1，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程.(3)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，由此能证明直线l总经过定点M(-1，0). 【解析】(1)设P(x，y)，则d1=|x+2|，d2=，==，化简得+y2=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)因为A(0，1)，F(-1，0)，所以k AF==1，∠OFA+∠OFB=180°，所以k BF=-1，直线BF的方程为y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，所以x=0或x=-，代入y=-x-1得，(舍)或所以B.k AB==，所以AB的方程为y=x+1.(3)由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF 上.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，-y2).设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，x1+x2=-，x1x2=，k AB=，所以AB的方程为y-y1=(x-x1)，令y=0，得：x=x1-y1=，y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)，x=====-1.所以直线l总经过定点M(-1，0).关闭Word文档返回原板块。
【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-理科数学(三)-含解析
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·乌鲁木齐质检]若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<【答案】D【解析】根据集合的交集的概念得到{}|01A B x x =<<，故答案为：D ．2．[2018·海南期末]设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,4【答案】A【解析】()2212i 12i 144i 34i z z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．[2018·赣州期末]()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160 B ．320 C ．480 D ．640【答案】B【解析】()()6622121x x x +-+，展开通项()666166C 21C 2kkk kk kk T x x ---+==⨯⨯，所以2k =时，2462C 2480⨯⨯=；3k =时，336C 2160⨯=，所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．4．[2018·晋城一模]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为12个圆柱和14个球的组合体，其表面积为C ．5．[2018·滁州期末]过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B 【解析】设1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以()22222124PM PN PF PF r -=---()()()22121212464PF PF PFPF r PF PF r =-++-=++-，显然其最小值为()26254r ⨯⨯+-58=，r =B ．6．[2018·天津期末]其图象的一条对称轴在()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,2【答案】C【解析】k ∈Z k ∈Z ，k ∈Z ，∴3162k k ω+<<+，k ∈Z ．又()f x 的最小正周期大于π，∴02ω<<．∴ω的取值范围为()1,2．选C ．7．[2018·渭南质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=-()0,B ∈π，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦C ． 8．[2018·荆州中学]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．48【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 602S ==；不满足条件 3.10S ≥，12n =，6sin303S =⨯=；不满足条件 3.10S ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯=⨯=； 满足条件 3.10S≥，退出循环，输出n 的值为24．故选C ．9．[2018·昌平期末]设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】作图cos y x =，2y x =，y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2cos x x <cos x x <A ．10．[2018·济南期末]欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A BC ．19D 【答案】B【解析】如图所示，1S =正，23924S π⎛⎫=π=⎪⎝⎭圆B ．11．[2018·闽侯六中]已知()cos23,cos67AB =，()2cos68,2cos22BC =，则ABC△的面积为（ ） A ．2 BC ．1D【答案】D 【解析】根据题意,()cos23,cos67AB =,则()cos23,sin23BA =-︒︒,有|AB |=1，由于,()2cos68,2cos22BC =︒︒()=2cos68,sin 68，则|BC |=2，则()2cos 23cos68sin 23sin 682cos 452BA BC ⋅=-⋅+⋅=-⨯=-，可得：cos BA BC B BA BC⋅∠==-，则135B ∠=，则11sin 1222ABC S BA BC B =∠=⨯⨯=△，故选：D ．12．[2018·晋城一模]已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1ey f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ）A ．(),e -∞B．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】()'g x =()g x ∴在R 上是增函数，又()1ey f x =+-是奇函数，()1ef ∴=，()11g ∴=，原不等式为()()1g x g >，∴解集为()1,+∞，故选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学二轮复习专题检测(三)不等式理解析版
专题检测（三） 不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3. 4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝ －a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x－1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0， y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3， 52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n 12，因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512， 当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x ≥1的解集为________．解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x ≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧4x －3x －2≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y2＋2x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x， ∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x≥24x y ·16yx＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16yx，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 2 Word版含解析
高考大题专攻练2.三角函数与解三角形(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.在△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC.(1)若△BCD的面积为，求CD.(2)若AC=，求∠DCA.【解题导引】(1)根据面积公式结合余弦定理可求解.(2)分别在△ADC和△BDC中用正弦定理，结合角的范围可求解.【解析】(1)因为△BCD的面积为，所以BC·BD·sinB=，又B=，BD=1，所以BC=4.在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB，即CD2=16+1-2×4×1×=13，解得CD=.(2)在△ADC中，DA=DC，可设∠A=∠DCA=θ，则∠ADC=π-2θ，又AC=，由正弦定理，有=，所以CD=.在△BDC中，∠BDC=2θ，∠BCD=-2θ，由正弦定理得，=，代入化简可得cosθ=sin，于是sin=sin，因为0<θ<，所以0<-θ<，-<-2θ<，所以-θ=-2θ或-θ+-2θ=π，解得θ=或θ=，故∠DCA=或∠DCA=.2.设a∈R，函数f(x)=cosx(asin x-cosx)+cos2(+x)满足f=f(0). 世纪金榜导学号92494438(1)求f(x)的单调递减区间.(2)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，求f(A)的取值范围.【解题导引】(1)根据f=f(0)，求出a的值.然后进行三角函数化简即可.(2)先用余弦定理，再用正弦定理化简即可求解.【解析】(1)f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(+x)=sin2x-cos2x，由f=f(0)，得-+=-1，所以a=2，所以f(x)=sin2x-cos2x= 2sin.由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)因为=，由余弦定理得==，即2acosB-ccosB=bcosC ，由正弦定理可得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ，即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA ，所以cosB=，因为0<B<，所以B=.因为△ABC 为锐角三角形，所以<A<，<2A-<，所以f(A)=2sin的取值范围为(1，2].关闭Word 文档返回原板块。
2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：大题演练争高分(一)
大题演练争高分(一)时间：60分钟满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604122)(2017·大同联考)(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.(Ⅰ)若sin B＝2cos C，求tan C的大小；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积S＝22，且b>c，求b，c.18.(导学号：50604123)(2017·通辽调研)(本小题满分12分)在党的群众教育路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展工作进行打分评价，将获得数据，绘制出如图所示的茎叶图．(Ⅰ)(Ⅱ)6名员工的打分，打分在[75,85)内的人员数X的数学期望．19.(导学号：50604124)(2017·鞍山三模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，P A ＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(Ⅰ)求证：AG∥平面PEC；(Ⅱ)求AE的长；(Ⅲ)求二面角E－PC－A的正弦值．“争2题”试题部分20．(导学号：50604125)(2017·四平调研)(本小题满分12分)如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．21.(导学号：50604126)(2017·哈尔滨调研)(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，(其中e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(Ⅱ)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？ 若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)若实数m ，n 满足m >0，n >0，求证：n n e m ≥m n e n .请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604127)(2017·蚌埠二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2y ＝22t(t 为参数)．(Ⅰ)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(Ⅱ)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．23．(导学号：50604128)(2017·三明调研)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 (Ⅰ) 解不等式|2x －1|<|x|＋1(Ⅱ)集合A 为(Ⅰ) 中不等式的解集，若存在x ∈A ，使不等式||x －1＋||x ≤a 成立，求实数a 的取值范围．选考题题号( )大题演练争高分(一)17．解：(Ⅰ)∵3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc ，∴3(b 2＋c 2－a 2)＝2bc ，由余弦定理可得cos A ＝13，sin A ＝223，3分又sin B ＝2cos C ，∴sin(A ＋C )＝2cos C ， 223cos C ＋13sin C ＝2cos C ∴2cos C ＝sin C ，tan C ＝2，7分(Ⅱ)由12bc sin A ＝22，又sin A ＝223∴bc ＝32，10分又3(b 2＋c 2)＝12＋2bc ⇒b 2＋c 2＝5，又b >c ，故b ＝322，c ＝22.12分18．解：(Ⅰ)6分(Ⅱ)根据样本频率分布表，每个员工的打分在[75,85)内的概率为0.6，因打分在[75,85)内的人员数X ～B (n ，p )，故6位员工的打分在[75,85)内的人员数X 的数学期望为E (X )＝6×0.6＝3.6.12分19．解：(Ⅰ)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD .∴CD ⊥AG . 又PD ⊥AG ，∴AG ⊥平面PCD . 作EF ⊥PC 于点F ，连接GF ， ∵平面PEC ⊥平面PCD ， ∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG .又AG ⊄平面PEC ，EF ⊂平面PEC ， ∴AG ∥平面PEC .4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ，AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD ＝GF ，∴AE ∥GF . 又由(Ⅰ)知EF ∥AG ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝GF .∵P A ＝3，AD ＝4，∴PD ＝5，AG ＝125.又P A 2＝PG ·PD ，∴PG ＝95.又GF CD ＝PG PD ，∴GF ＝95×45＝3625，∴AE ＝3625.8分(Ⅲ)(方法一)由题意得，以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，C (4,4,0)，P (0,0,3)，B (4,0,0)，D (0,4.0)，E ⎝⎛⎭⎫3625，0，0PE →＝(3625，0，－3)，PC →＝()4，4，－3，易求平面P AC 的一个法向量为BD →＝()－4，4，0，平面PEC 的一个法向量为n ＝()25，－16，12，所以设二面角E －PC －A 所成角为θ， 则sin θ＝1－cos 2θ＝3210.12分 (方法二)过E 作EO ⊥AC 于点O ，连接OF ，易知EO ⊥平面P AC ，又EF ⊥PC ，∴OF ⊥PC . ∴∠EFO 即为二面角E －PC －A 的平面角．EO ＝AE ·sin45°＝3625×22＝18225，又EF ＝AG ＝125，∴sin ∠EFO ＝EO EF ＝18225×512＝3210.12分20．解：(Ⅰ)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.4分(Ⅱ)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③6分设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得x 1＋x 2＝－2kt4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.7分又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得||t k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝()x 1－x 22＋()y 1－y 22＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2t 2()4＋k 22－4()t 2－44＋k 2＝43|t |t 2＋3.9分因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3||t ≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.10分依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3).12分21．解：(Ⅰ)∵f (x )＝ax＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax2.1分①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；2分②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减， 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，3分 ③若a ≥e ，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减.4分 (Ⅱ)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1，5分由(Ⅰ)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上有最小值：f (x )min ＝f (1)＝0，即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.6分又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.7分曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解． 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在.8分(Ⅲ)证明：n n e m ≥m n e n ⇔(n m )n ≥e n －m ⇔n ln n m ≥n －m ⇔ln n m ≥1－m n⇔m n ＋ln n m －1≥0，由(Ⅱ)知1x＋ln x －1≥0， 令x ＝n m 得m n ＋ln nm－1≥0.12分22．解：(Ⅰ)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点.5分 (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎝ ⎛x ＝cos θy ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎝⎛x ＝22t －2y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同.10分23．解：(Ⅰ)当x >12时，2x －1<x ＋1，x <2，此时12<x <22分当0≤x ≤12时，1－2x <x ＋1，x >0，此时0<x ≤124分当x <0时，1－2x <－x ＋1，x >0，此时无解 综上得，{x |0<x <2}6分(Ⅱ)易求||x －1＋||x 在x ∈A 中的最小值为1，故a ≥110分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理二2018042817
2018 年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 理（二）本试题卷共 14 页，23 题（含选考题）。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。
用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。
答案 写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无 效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．[2018·渭南质检]设i 是虚数单位，若复数 z i 1i，则 z 的共轭复数为（）A ．1 1 B ．1 1 i C ．1 1 i D ． 11 ii 2 22 22 2【答案】D 【解析】复数 zi i 1z1i21 1i ．故答2 2案为 D ．2．[2018·吉林实验中学]若双曲线y2x21的一个焦点为3, 0，则m（）mA．22B．8C．9D．64【答案】B- 1 -【解析】由双曲线性质： a 2 1，b 2m ，c 2 1 m 9 ， m 8 ，故选 B ．3．[2018·菏泽期末]将函数yx sin 2π 4的图像向左平移 π 6个单位后，得到函数 f x的图像，则fπ（）12A ． 2 6 4B ．3 6 4C ．3 2D ．22【答案】 Dπ π π 【解析】f xsin 2 xsin 2x64 12 ，∴fπ π 2sin 12 4 2，故选 D ． xf x14．[2018·晋城一模]函数2， x0,的值域为 D ，在区间1, 2上随机取一个数 x ，则 x D 的概率是（）A ．1 2B ．1 3C ．1 4D ．1【答案】Bx【解析】x 0， 01 1，即值域 D0,1，若在区间1, 2上随机取一个数 x ，2xD 的事件记为 A ，则P A1 0 1213，故选 B ．5．[2018·济南期末]记- 2 -7272 x a a 1 xa 1xa 1 x ， 则127aa a12a 的值 为6（ ）A ．1B ．2C ．129D ．2188【答案】C【 解 析 】 在2 xaa x1a x1a x1 中 ， 令 x 0 ， 可得727127aaaa ，71272a， 所以7711aaa a1262a1281129 ，故选 C ．776．[2018·昆明一中]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8 316 3B ．C ．20 3D ．8【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为 8，高为 2的四棱锥，如图所示：116 ∴该几何体的体积V82，故选 B ．337．[2018·漳州调研]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A．一鹿、三分鹿之一B．一鹿- 3 -C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一【答案】B2 5【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且1a1， 3 3 5 41公差为 d ，则 5ad 5，解得 d，所以123aa d 5 122 1，所以3133簪裹得一鹿，故选 B ． 8．[2018·周口期末]函数ys in 1 x x的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】ys in 1 x x ，定义域为1 x 0， x 1，即 x ，11，，故排除 A ，D ，当sin 0 0 f 01 0x时，，故排除 C ，故选 B ．9．[2018·郴州月考]阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）- 4 -A ．12B ．18C ．120D ．125【答案】C【解析】第一次运行： a 0 11，i 1为奇数， S11 2，i 11 2；第二次运行： a 1 2 3，i 2 为偶数， S 32 6，i2 1 3； 第三次运行： a 33 6 ，i 3为奇数， S6 612 ，i314 ；第四次运行： a6 4 10，i4 为偶数， S1012 120，i 4 15；程序终止运行，输出 S 120 ．故选 C ．x 3y 3≤10．[2018·孝感联考]当实数 x ， y 满足约束条件 x y 1 ，表示的平面区域为C ，目标≥y ≥0函数 z x 2y 的最小值为p ，而由曲线23 0yx y ≥ ，直线 x 3及 x 轴围成的平面区域1为 D ，向区域 D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为 p ，则 22p 4p 的值为（ ）12A ．1 2B ．2 3C ．3 5D ．4 3【答案】B- 5 -【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A31,22处取得最小值，且最小值为1z ，即2p 1．区域C的面积为1211，平面区域D的面积为12222233333x d x x62300，故112p ，所以2612122p 4p 1．123311．[2018·德州期末]已知点F是抛物线C：1x22py的焦点，点F为抛物线C的对称轴与2其准线的交点，过F作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以2F，1F为焦点的双曲线2上，则双曲线的离心率为（）A．622B．21C．21D．622【答案】C【解析】由题意，得F10,p2Fp20,，2，设过F的抛物线C的切线方程为2py kx，2联立22x pypy kx2，x22pkx p20，令4p2k24p20，解得k21，即A pp，由双曲线的定义得2a AF AF 21x22px p20，不妨设,2p，212c F F p，则该双曲线的离心率为e 12p21．故选C．21pf x xx（其中e是自然对数的底数），若当x时，12．[2018·天津期末]已知函数e emf x≤e x m 1恒成立，则实数m的取值范围为（）- 6 -1 A ．0,31 B ．,31 C ．, 31 1D ．, 3 3【答案】B 【解析】若当 x0 时， mf x ≤em 1恒成立，即e e 1e1xmxx ≤ x，x，e x ex10，即 e1 xm ≤ 在0,上恒成立，ee 1xx设t e x ，t1，则1tm≤在1,上恒成立，tt 12∵ 1t t 11 1≥，221t t 1 t 1 t 1 1t 113t 11当且仅当t2时等号成立，m ≤ ．故选：B ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高三普通高校统一招生考试仿真卷(三)数学(理)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =I （ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-160B ．320C ．480D ．640班级 姓名 准考证号 考场号 座位号4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则（ ） A ．B 2C 3D ．6．设函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，且()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ） （参考数据：sin150.2588≈o ，sin7.50.1305≈o ）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．14πB ．49π C ．19D ．58π11．已知()cos23,cos67AB =︒︒u u u r ，()2cos68,2cos22BC =︒︒u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．2B 2C ．1D ．2212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（ ） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：大题演练争高分(三)(含答案解析)
大题演练争高分(三)时间：60分钟 满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604136)(2017·昆明调研)(本小题满分12分)已知正项等比数列{}a n 满足a 4＝2a 2＋a 3，a 23＝a 6. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式；(Ⅱ)求a n ·log 2()a n 的前n 项和T n .18.(导学号：50604137)(2017·黄石二模)(本小题满分12分)某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数．(Ⅱ)在样本数据中，有20位女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时．①请画出每周课外阅读时间与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的附：K 2＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d②若从样本的女生中随机抽取2人调查，其中每周课外阅读时间超过4小时的人数为X ，求X 的分布列与期望．19.(导学号：50604138)(2017·铜川联考)(本小题满分12分)已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上不同两点，且CD ∩AB ＝H ，AC ＝AD ，PA ⊥圆O 所在平面．(Ⅰ)求证：PB ⊥CD ；(Ⅱ)若PB 与圆O 所在平面所成角为π4，且∠CAD ＝2π3，求二面角C －PB －D 的余弦值．“争2题”试题部分20．(导学号：50604139)(2017·遵义调研)(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限)．(Ⅰ)求椭圆G 的方程；(Ⅱ)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．21.(导学号：50604140)(2017·北海质检)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋b 图象上的点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q 在函数g (x )＝ln(－x )＋a 上． (Ⅰ)设h (x )＝g (x )－f (x )，求h (x )的最大值；(Ⅱ)对任意x 1∈[－e ，－1]，x 2∈[e ，e 2]，不等式2k []g x 1＋2＋f (x 1)－6<ln []f x 2＋3恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号． 22．(导学号：50604141)(2017·文山调研)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(Ⅰ)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(Ⅱ)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(导学号：50604142)(2017·临夏质检)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()x ＝||2x －1＋||x －2a . (Ⅰ)当a ＝1时，求f ()x ≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[]1，2时，f ()x ≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(三)17．解：(Ⅰ)设数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎨⎧a 1q 3＝2a 1q ＋a 1q2()a 1q 22＝a 1q 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1q ＝－1，∵q >0，∴a n ＝2n.5分(Ⅱ)log 2(a n )·a n ＝log 2(2n )·2n ＝n ·2n，∵T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.12分18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图得x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8.2分(Ⅱ)①由(Ⅰ)知，100位学生中有100×0.75＝75(位)的每周课外阅读时间超过4小时， 25人的每周课外阅读时间不超过45分结合列联表可算得K 2的观测值k ＝－270×30×25×75＝10063≈1.59<3.841.7分所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”． ②X 的可能取值为0,1,2.8分其概率分别为P (X ＝0)＝C 210C 230＝987，P (X ＝1)＝C 110C 120C 230＝4087，P (X ＝2)＝C 220C 230＝3887.10分故X 的分布列为：11分X 的期望值为E (X )＝0×987＋1×4087＋2×3887＝11687.12分19．(Ⅰ)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2，∵AC ＝AD ，∴Rt△ACB ≌Rt△ADB ， ∴AB ⊥CD ，又∵PA ⊥圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内，∴PA ⊥CD ， ∵PA ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面PAB ，∴PB ⊥CD .5分(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标A －xyz 系：设PA ＝2，∵∠PBA 是直线PB 与圆O 所在平面所成的平面角，且∠PBA ＝π4，∴AB ＝2，∵∠CAB ＝∠DAB ＝π3，∴AC ＝1，CD ＝3，∴D (32，12，0)，C (－32，12，0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)， BD →＝(32，－32，0)，BC →＝(－32，－32，0)，BP →＝(0，－2,2)， 设平面PBD 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →＝0v ·BP →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＝0－2y ＋2z ＝0，令x ＝3，则v ＝(3，1,1)，同理解得平面PBC 的法向量为u ＝(3，－1，－1)，设二面角C －PB －D 的大小为θ，∴cos θ＝v ·u||u ·||u＝3×3＋－＋－5×5＝15. 即二面角C －PB －D 的余弦值为15.12分20．解：(Ⅰ)由题意得c ＝1, 1分 由c a ＝12可得a ＝2，2分 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 3分 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，32)，6分所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n ≠1.7分设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋n得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. 8分 x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－110分＝12x 1＋n －32x 1－1＋12x 2＋n －32x 2－1＝1＋n －1x 1－1＋n －1x 2－1＝1＋n －x 1＋x 2－x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝1－n －n ＋n 2＋n －2＝0， 所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.12分21．解：(Ⅰ)点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝22＋b －2＝ln1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3a ＝－2， ∴h (x )＝g (x )－f (x )＝ln(－x )－x 2＋1，h ′(x )＝1x －2x ＝－x 2－12x＝－x －22x＋22x，∵x ∈(－∞，0)，∴当x ∈(－∞，－22)时，h ′(x )>0； 当x ∈(－22，0)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(－∞，－22)上单调递增；在(－22，0)上单调递减， ∴h ()x max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝12()1－ln2.6分(Ⅱ)设T ()x ＝ln []f ()x ＋3＝2ln x ，∵ T ′(x )＝2x，当x ∈[e ，e 2]时，T ′(x )>0，即单调递增，∴在[e ，e 2]上T (x )min ＝T (e)＝lne ＝1， 设G (x )＝2k []gx ＋2＋f (x )－6＝2k ln(－x )＋x 2－9，G ′(x )＝2kx＋2x ＝x 2＋kx， ①当k ≥0时，在[－e ，－1]上G ′(x )<0，即单调递减，即G (x )max ＝G (－e)＝2k ＋e 2－9，依题得2k ＋e 2－9<1，∴k <10－e22，又∵k ≥0，∴0≤k <10－e22；②当k <0时，∵x ∈[－e ，－1]，∴ln(－x )≥0，x 2≤e 2<9∴G (x )＝2k ln(－x )＋x 2－9<0<1综上，实数k 的取值范围为k ∈(－∞，10－e22).12分22．解：(Ⅰ)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，化为普通方程：x 2＋y 2－2x －3＝0即：(x －1)2＋y 2＝4.4分(Ⅱ)P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，平面直角坐标为(1,1)，在直线C 1上，将C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0中得：⎝⎛⎭⎪⎫1－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22t －3＝0 化简得：t 2＋2t －3＝0 设两根分别为t 1，t 2， 由韦达定理知：⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3，所以AB 的长|AB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝2＋12＝14，8分定点P 到A ，B 两点的距离之积 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.10分23．解：(Ⅰ)原不等式可化为||2x －1＋||x －2≤3，依题意，当x >2时，3x －3≤3，则x ≤2，无解， 当12≤x ≤2时，x ＋1≤3， 则x ≤2，所以12≤x ≤2，当x <12时，3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12，综上所述：原不等式的解集为[]0，25分(Ⅱ)原不等式可化为||x －2a ≤3－||2x －1， 因为x ∈[]1，2，所以||x －2a ≤4－2x ，即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[]1，2恒成立，当1≤x ≤2时，3x －4的最大值2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为{}110分。
2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：基础模拟(二)(含答案解析)
基础模拟(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604178)已知集合A ＝{0,1}，A ∩B ＝{0}，A ∪B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．已知复数z ＝1－i(i 为虚数单位)，且1＋a iz是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3D ．13．设p ：x >1，q ：ln2x>1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 3－2成等差数列，则a 4＝( )A ．8 B.18 C ．16 D.1165．(导学号：50604179)已知x ，y 满足线性约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －2≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x －2y 的最大值是( )A ．－6B ．－4C ．4D ．66．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A ．13π B．14π C．15π D．16π7．如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A.1316 B.1312 C.138 D.1348．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，以右顶点为圆心，以c 为半径的圆与双曲线右支的交点横坐标为32a ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 6 C ．3 D ．29．(导学号：50604180)若(x ＋y )n(n ∈N *)展开式的二项式系数最大的项只有第4项，则⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n ＋1的展开式中，x 4的系数为( )A ．21B ．－35C ．35D ．－2110．对于函数f (x )＝12sin2x －3sin 2x 有以下三种说法：①(－π6，0)是函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心；②函数y ＝f (x )的最小正周期是π；③函数y ＝f (x )在[π12，7π12]上单调递减．其中说法正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．(导学号：50604181)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则3－2b22a的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．812．若函数f (x )＝x ln x －ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，e) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：50604182)已知两个单位向量a ，b 满足a·b ＝－12，向量2a ＋b 与b 的夹角θ＝________.14．(导学号：50604183)《九章算术》“竹九节”问题：“现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节容积为3升，下面3节的容积共4升”，则这根竹子的容积(单元：升)为________．15．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且当x >0时，f (x )＝x 2－3x ＋2，若函数y ＝f (x )－a 有2个零点 ，则实数a 的取值范围是________．16．(导学号：50604184)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过F 作一直线l 交抛物线于A ，B 两点，若FB →＝3AF →，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(导学号：50604185)(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝b (1＋2cos A )． (Ⅰ)求证：A ＝2B ；(Ⅱ)若a ＝2＋62，B ＝π12，求△ABC 的面积．18.(导学号：50604186)(12分)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 是A 1D 1的中点，点F 是CE 的中点． (Ⅰ)求证：AE ∥平面BDF ；(Ⅱ)求二面角B －DE －C 的余弦值的大小．19.(导学号：50604187)(12分)某师范院校志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中有部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”的概率为1.现从这10)． (Ⅰ)求m ，n 的值；(Ⅱ)求选出的3名同学恰为专业互不相同的概率；(Ⅲ)设ξ为选出的3名同学中“女生”的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．20.(导学号：50604188)(12分)已知点A (0,1)与B (3，12)都在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上，直线AB 交x 轴于点M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；(Ⅱ)设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得∠OEM ＝∠ONE ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．21.(导学号：50604189)(12分)设函数f (x )＝a ln x －x ，g (x )＝a e x－x ，其中a 为正实数．(Ⅰ)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(2，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f (x )与g (x )都没有零点，求a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(导学号：50604190)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2(sin θ＋cos θ)，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1＋t (t 为参数) .(Ⅰ)写出圆C 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．23．(导学号：50604191)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2a |.(Ⅰ)对任意x ∈R ，不等式f (x )>1成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，解不等式f (x )<3.基础模拟(二)1．C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8．D ⎩⎪⎨⎪⎧32a －a 2＋y 2＝c 2，1a 2·94a 2－y2b 2＝1，⇒14a 2＋94b 2＝b 2＋c 2，a 2＋5b 2＝4c 2，c 2＝4a 2，∴e ＝2. 9．A n ＝6，C r 7x 7－r(－1x)r ＝(－1)r C r7x7-r-2r，7－r －r2＝4，r ＝2，(－1)2C 27＝21.10．C11．B |b ＋1＋a |2＝2，a >0，b >0，∴b ＝1－a >0,0<a <1，3－2b22a ＝4a 2＋4a ＋12a ＝2a ＋12a ＋2≥4，a ＝12.12．A f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，则a >0，且f ′(12a )>0，∴0<a <12.13.π214.2012215．(－2，－14)∪(14，2)16.32设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝31－x 1，①y 2＝－3y 1，②由②得：y 22＝9y 21⇔4x 2＝9×4x 1⇔x 2＝9x 1，③由①③可得：x 1＝13，x 2＝3，∴B (3,23)或B (3，－23)．当B (3,23)时，l 方程为y ＝3(x －1)，当B (3，－23)时，l 方程为y ＝－3(x －1)，∴三角形面积为32.17．解：(Ⅰ)由正弦定理b sin B ＝csin C及c ＝b (1＋2cos A )可知，sin C ＝sin B ·(1＋2cos A )，又在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(B ＋A )＝sin A cos B ＋sin B cos A ， 从而sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，所以sin(A －B )＝sin B, 所以A －B ＝B ，∴A ＝2B .6分(Ⅱ)∵B ＝π12，∴A ＝π6，C ＝π－π12－π6＝3π4由正弦定理得c ＝a sin Csin A＝1＋3，又c ＝b (1＋2cos A )，∴b ＝1，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1＋3412分18．(Ⅰ)证明：连AC 交BD 于G ，连FG ，∵ABCD 是正方形， ∴G 是AC 中点， ∵F 是CE 是中点， ∴AE ∥FG ，∵AE ⊄平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴AE ∥平面BDF .6分(Ⅱ)解：分别以DC 、DA 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，A 1(0,2,2)，E (0,1,2)，C (2,0,0)，∴DE →＝(0,1,2)，DC →＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，设平面BDE 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ·DE →＝m ·DB →＝0，即y ＋2z ＝2x ＋2y ＝0，取z ＝－1得m ＝(－2,2，－1)，同样可求得平面CDE 的一个法向量n ＝(0,2，－1)，cos<m ，n >＝m·n |m|·|n|＝53，∴二面角B －DE －C 的余弦值为53.12分 19．解：(Ⅰ)设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”． 由题意可知，“中文专业”的学生共有(1＋m )人．则P (A )＝1＋m 10＝15，解得m ＝1，所以n ＝3.4分(Ⅱ)设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同．则P (B )＝C 12C 12C 14C 02＋C 12C 12C 04C 12＋C 12C 02C 14C 12＋C 02C 12C 14C 12C 310＝715.7分 (Ⅲ)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意可知，“女生”共有4人．所以P (ξ＝0)＝C 36C 310＝16，P (ξ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (ξ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝130.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 16 12 310 130所以E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×30＝5.12分20．解：(Ⅰ)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝13a 2＋14b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.直线AB 方程为y ＝－123x ＋1，与x 轴交点M (23，0).6分(Ⅱ)因为点D 与点B 关于x 轴对称，所以D (3，－12)，直线AD 方程为y ＝－32x ＋1， 与x 轴交于点N (233，0)．“存在点E (0，y E )使得∠OEM ＝∠ONE ”等价于“存在点E (0，y E )使得|OM ||OE |＝|OE ||ON |”，即y E 满足y 2E ＝|x M ||x N |.∴y 2E ＝23×233＝4，∴y E ＝±2， 故在y 轴上存在点E ，使得∠OEM ＝∠ONE ，且点E 的坐标为(0,2)或(0，－2).12分21．解：(Ⅰ)f ′(x )＝a －xx(x >0，a >0)， ∵0<x <a 时，f ′(x )>0，x >a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴0<a ≤1.又g ′(x )＝a e x－1，∴x >ln 1a 时，g ′(x )>0，x <ln 1a 时，g ′(x )<0，∴x ＝ln 1a时，g (x )最小，∴ln 1a >2，∴0<a <1e 2，∴a ∈(0，1e2).6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知x ＝a 时，f (x )取得最大值，x ＝ln 1a，g (x )取得最小值，由题意可得f (a )<0且g (ln 1a)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ln a －a <0a ·1a－ln 1a >0，∴1e <a <e 即a ∈(1e，e).12分 22．解：(Ⅰ)由已知ρ＝2(sin θ＋cos θ)得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即圆C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.3分 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝－1＋t ，得y ＝－1＋(x －2)，所以直线l 的普通方程为x －y －3＝0.5分 (Ⅱ)由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|－1＋1－3|2＝322>2，9分所以最小值为322－2＝22.10分23．解： (Ⅰ)∵f (x )＝|x －a |＋|x －2a |≥|(x －a )－(x －2a )|＝|a |，且f (x )>1对任意x ∈R 成立， ∴|a |>1，∴a >1或a <－1.5分(Ⅱ)a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－11，－2<x <－1－2x －3，x ≤－2.∴f (x )<3时，－1≤x <0或－2<x <－1或－3<x ≤－2，∴f (x )<3的解集为(－3,0).10分。
2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：大题演练争高分(五) Word版含解析
大题演练争高分(五)时间：60分钟 满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604150)(2017·南通联考)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{a n }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，a n ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值．18.(导学号：50604151)(2017·孝感摸底考试)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，P A ＝1，AB ＝3，AC ＝AD ＝CD ＝2，E 是AD 的中点．(Ⅰ)证明CE ∥平面P AB ；(Ⅱ)求二面角B －PC －E 的正弦值．19.(导学号：50604152)(2017·汕尾质检)(本小题满分12分)某公司公关部招聘经理，要求对应聘人员的“交际能力”“组织能力”以及“实践能力”进行测试，已知小明通过“交际能力”“组织能力”以及“实践能力”测试的概率依次为x ，23，y (其中x >y )，且三种测试均通过的概率为14，三种测试至少通过一种的概率为2324.(Ⅰ)求x ，y 的值；(Ⅱ)若通过每种能力测试都能得到3分，且最终得分在6分以上则可被该公司录用，试判断小明是否能被该公司录用，并说明理由．“争2题”试题部分20．(导学号：50604153)(2017·黄冈二模)(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(Ⅰ)若原点到直线x ＋y －b ＝0的距离为2，求椭圆的方程； (Ⅱ)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A ，B 两点，对于椭圆上任意一点M ，总存在实数λ、μ，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，求λ2＋μ2的值．21.(导学号：50604154)(2017·岳阳联考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a ∈R )．(Ⅰ)求f (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)若函数f (x )的图象与函数g (x )＝1的图象在区间(0，e 2]上有两个公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)当－2<a <－1时，若函数f (x )在定义区间的子区间(m ，e 2)上恒有一个零点，求实数m 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号．22．(导学号：50604155)(2017·钦州二模)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22t(其中t 为常数)． (Ⅰ)若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的值；(Ⅱ)当t ＝－1时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离．23．(导学号：50604156)(2017·广安三模)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|x －1|＋|x －a|，a ∈R .(Ⅰ)当a ＝4时，求不等式f (x )≥7的解集；(Ⅱ)若f (x )≥5对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(五)17．解：(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或32，当q ＝12时，a n ＝25－n ，当q ＝32时，a n ＝16(32)n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，a n ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16[1－(－12)2n ]1－(－12)＝323[1－(－12)2n ]>10，(12)2n <116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分 18．(Ⅰ)证明：∵AC ＝AD ＝CD ，E 是AD 的中点， ∴CE ⊥AD ，又在平面ABCD 内AB ⊥AD ， ∴AB ∥CE ，∵CE ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CE ∥平面P AB .6分(Ⅱ)解：分别以AD ，AB ，AP ，如图， 则P (0,0,1)，E (1,0,0)，B (0，3，0)，C (1，3，0)， PC →＝(1，3，－1)，PB →＝(0，3，－1)，PE →＝(1,0，－1)， 设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则3y －z ＝x ＋3y －z ＝0， 取y ＝1得m ＝(0,1，3)同样求得平面PCE 的一个法向量n ＝(1,0,1)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝322＝64，所以二面角B －PC －E 的正弦值为104.12分 19．解：(Ⅰ)依题意，⎩⎨⎧x ·23·y ＝14，1－()1－x ·13·()1－y ＝2324，解得x ＝34，y ＝12；4分(Ⅱ)依题意，记小明通过的能力测试的种数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3；P ()ξ＝0＝124，P ()ξ＝1＝34×13×12＋14×23×12＋14×13×12＝624＝14；P ()ξ＝2＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124，P ()ξ＝3＝14，故E ()ξ＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312，故E ()3ξ＝6912；因为E ()3ξ<6，故可以估计小明不能被该公司录用.12分20．解：(Ⅰ)∵d ＝b2＝2，∴b ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝13a 2＝4，得a 2＝12，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.4分(Ⅱ)∵e ＝c a ＝63，∴c 2＝23a 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3b 2， ∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2⇒4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2，显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →得⎩⎨⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 2＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，∴λ2＋μ2＝1.12分21．解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a －ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x ∈(0，e 1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(e 1－a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(0，e 1－a )；单调减区间为(e 1－a ，＋∞)，f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a －1，无极小值.4分(Ⅱ)(ⅰ)当e 1－a <e 2，即a >－1时，由(Ⅰ)知f (x )在区间(0，e 1－a )上是增函数，在区间(e 1－a ，e 2]上是减函数，f (x )max ＝f (e 1－a )＝e a －1.又f (e －a )＝0，f (e 2)＝a ＋2e2，所以函数f (x )的图象与g (x )＝1的图象在(0，e 2]上有两个公共点，等价于a ＋2e2≤1＜e a －1，解得1＜a ≤e 2－2(满足a >－1)．(ⅱ)当e 1－a ≥e 2，即a ≤－1时，f (x )在(0，e 2]上是增函数，所以函数f (x )的图象与函数g (x )的图象至多有一个公共点，故不满足题意．综上，实数a 的取值范围是(1，e 2－2]. 8分(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当－2<a <－1时，函数f (x )在区间(0，e 2]上单调递增，即在区间(m ，e 2)上单调递增．又f (e 2)＝ln e 2＋a e 2＝2＋a e2>0，所以要使函数f (x )在区间(m ，e 2)上有且只有一个零点，必须使f (m )＝ln m ＋ae<0，即ln m <－a 对一切满足－2<a <－1的一切实数a 都成立．由－2<a <－1，得1<－a <2，所以ln m ≤1，解得m ≤e.又m ≥0，所以0≤m ≤e ，即实数m 的取值范围为[0，e].12分22．解：(Ⅰ)M 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，N 可化为x ＋y ＝t . 由|1＋2－t |2＝1得t ＝3±2.5分(Ⅱ)当t ＝－1时，直线N ：x ＋y ＝－1，圆M 的圆心到直线N 距离d ＝42＝22>1，∴曲线M 上的点到曲线N 上的点的最小距离为22－1.10分 23．解：(Ⅰ)|x －1|＋|x －4|≥7等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1－2x ＋5≥7或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤43≥7或⎩⎪⎨⎪⎧x >42x －5≥7，解得x ≤－1或x ≥6.故不等式f (x )≥7的解集为{x |x ≤－1或x ≥6}.5分 (Ⅱ)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a | ≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|. 所以f (x )min ＝|a －1|.由题意得|a －1|≥5，解得a ≤－4或a ≥6.10分。
2018年春高考数学(理)二轮专题复习训练：小题训练多抢分(三)
1．(导学号：50604089)已知集合 A ＝{x |2－3x －2x 2>0 }，B ＝{x |y ＝ln (x －1) }，C. －1， ⎪D.(－2，－1)∪(1，＋∞)＝1”是“△OAB 的面积为 ”的( )2 2 4 4 4 8 8⎝ 2 ⎭(个动点，则OA ·OM 的取值范围是()小题训练多抢分 (三)时间：50 分钟 满分：80 分一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．2则 A ∩B ＝( )A.(－2，－1)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)⎛1⎫ ⎝2⎭ 2．(2017·黄山二模)若 a ，b 为实数，且(a ＋i)i ＝b ＋2i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝2，b ＝－13．(导学号：50604090)直线 l ：y ＝kx ＋1 与圆 O ：x 2＋y 2＝1 相交于 A ，B 两点，则“k12A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件x 2 y 2 ⎛ 6 ⎫4．椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的焦点为(±1,0)，且过点 ，1⎪，则该椭圆长轴长为( )A ．2 3B ．2 2C. 6D. 3 5． 导学号：50604091)(2017·四平质检)已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S 10＝5， a 7＝1，则 a 1＝( )1A ．－B ．－11 1 C. D.6．已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的 四个顶点的距离大于 1 的概率为( )π π A. B ．1－π π C. D ．1－⎧⎪x ＋y ≥2，7．已知 O 是坐标原点，点 A (－1,1)，若点 M (x ，y )为平面区域⎨x ≤1，⎪⎩y ≤2→ →A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]上的一(8．导学号：50604092)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若判断框内是n≤6，则输出的S为()A.34B.2524C.1112D.569．(2017·通化调研)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8，3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3，4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2＜r1＜0B．r2＜0＜r1C．0＜r2＜r1D．r2＝r110．(2017·朔州质检)如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()11．(导学号：50604093)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为(单位：m2)()A．(11＋42)πB．(12＋42)πC．(13＋42)πD．(14＋42)ππ ⎛ 14．设 n ＝ ⎰ 2 10sin x d x ，则 ⎝3 ⎪ 展开式中的常数项为________．(用数字作答)⎪⎩2f x － 0，f (x )≤ 恒成立，则 k 的取值范围________．＝ x |(2x －1)(x ＋2)<0 ⎧⎪ ⎪ 1 ⎫⎪ ＝⎨x ⎪－2<x <⎬； ⎪⎩ ⎪2{}又 B ＝ x |y ＝ln (x 2－1)则圆心到直线距离 d ＝ ，|AB |＝2 1－d 2＝2 1－ x 2 y 212．如图所示，F 1 和 F 2 分别是双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以 O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A ，B 两点，且 △F 2AB 是等边 三角形，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C ．2＋ 3 D. 3＋1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．(导学号：50604094)(2018·邯郸摸底考试)向量 a ＝(1，－2)与 b ＝(3，t )的夹角 为 θ，c ＝(1，－3)，b⊥c ，则 cos θ＝________.0 x － 1 ⎫ ⎪n x ⎭＋15．(导学号：50604095)已知 S n 为数列{a n }的前 n 项和，且满足 a 1＝1，a n a n ＋1＝3n(n∈N )，则 S 2 014＝________. ⎧⎪1－|x －1|，x ∈[0，2]，16．(导学号：50604096)已知函数 f (x )＝⎨1，x ，＋k －1x， 若 x ＞小题训练多抢分 (三)1．A 集合 A ＝{x |2－3x －2x 2>0 } ＝{x |2x 2＋3x －2<0 }{ }⎪⎭＝{x |x <－1或x >1 }，故 A ∩B ＝(－2，－1).2．D －1＋a i ＝b ＋2i ，a ＝2，b ＝－1，选 D.3．A 若直线 l ：y ＝kx ＋1 与圆 O ：x 2＋y 2＝1 相交于 A ，B 两点，1 11＋ k 21＋k 2＝2k 21＋k 2，＝2，d＝＝，则△OAB的面积为×2×＝成1＋k221＋k21＋k22若△OAB的面积为，则S＝××2＝×2×＝＝，故“＝1”是“△k O AB的面积为”的充分不必要条件．⎝2⎭－⎝2⎭－＝76－1⎪4a2＝＋6＋2－6＋－6＝12，10a1＋⎪⎩d＝5，×4×4×sin30°＝8,4个圆弧的面积和为S2＝π，所以所求的概率为P＝2＝S188当x＝1，y＝1时，OA·OM＝－1×1＋1×1＝0，当x＝1，y＝2时，OA·OM＝－1×1＋1×2＝1，当x＝0，y＝2时，OA·OM＝－1×0＋1×2＝2，故OA·OM和取值范围为[0,2]．24612X＝＝11.72，Y＝＝3，B，，，若k＝1，则|AB|＝211212121＋12222立，即充分性成立．111k21|k||k|1221＋k2即k2＋1＝2|k|，即k2－2|k|＋1＝0，则(|k|－1)2＝0，即|k|＝1，解得k＝±1，则k＝1不成立，即必要性不成立．124．A2a＝⎛6⎫＋1⎪2＋2＋⎛⎫2＋22＋6＋72－6，722a＝2 3.49742⎧⎪a1＋6d＝1，5．B⎨10×92a＝－1.16．D以菱形的4个顶点为圆心，以1为半径作圆，则在菱形ABCD内，到菱形的四个1顶点的距离大于1的点在菱形内且在4个圆弧外的区域内．根据题意，菱形的面积为S1＝2×2S8－ππ＝1－.⎧⎪x＋y≥2，7．C满足约束条件⎨x≤1，的平面区域如图所示：⎪⎩y≤2，将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，→→→→→→→→111118．C输出结果是＋＋＝.9．∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)，(11.8,3)(12.5,4)(13,5)，10＋11.3＋11.8＋12.5＋1351＋2＋3＋4＋55U ＝ ＝3，12．A 直线 OA 方程为 y ＝－ 3x ，∴ ＝ 3，b ＝ 3a ，c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝4a 2，∴c＝2a ，∴e ＝ ＝2.13. 2 ⎛cos π cos ⎫ 0⎪＝10，∴ x － 10sin x d x ＝－10cos x ＝－10 －2 2 ⎛ 1 ⎫ 5r⎪r 通项 T r ＋1＝C r10·( x)10－r ·3 ⎪ ＝(－1)r ·C r 10·x 6 ，6 a n1－3 1－3 2 2 ⎡5 ⎫ ⎣2 ⎭47.2∴这组数据的相关系数是 r 1＝19.172＝0.3755，变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，5＋4＋3＋2＋1 5∴这组数据的相关系数是 r 2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零．10．C 当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积保持 匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．11．B 由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体， 圆柱的底面直径为 2，故底面周长为 2π 圆柱的高为 4，故圆柱的侧面积为 8π，圆锥的底面直径为 4，故底面半径为 2，底面面积 S ＝4π， 圆锥的高 h ＝2，故母线长为 2 2， 故圆锥的侧面积为：4 2π，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和， 故组合体的表面积 S ＝(12＋4 2)π.baca 3－2 2∵b ⊥c ，∴t ＝1，∴cos θ＝ ＝ .10 5× 10 1014．210 ∵n ＝ ⎰ π 0⎛ ⎝ ⎭ ⎝1 ⎫ ⎪ 3 ⎪ x ⎭10 展开式中， － 5- ⎝ x ⎭5r令 5－ ＝0，解得 r ＝6.∴展开式中的常数项为 T 6＋1＝(－1)6·C 10－6＝C 10＝210.a 15．2·31 007－2 由 a n a n ＋1＝3n ，得 a n ＋1a n ＋2＝3n ＋1，两式作商得： n ＋2＝3， 又 a 1＝1，∴a 2＝3，则数列{a n }的奇数项和偶数项分别构成以 3 为公比的等比数列， ∴S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)－31 007 －31 007 31 007－1 31 008－3＝ ＋ ＝ ＋ ＝2·31 007－2.16.⎢ ，＋∞⎪ 作出函数 f(x)的图象如图，则 f(1)＝1，2 2 2 44 2 2 4 8 2 4 8⎪ 4⎩k －1≥7，2⎡5 ⎫⎣2即实数 k 的取值范围是⎢ ，＋∞⎪.要使 x ＞0 时，f(x)≤k －1 则 f(1)≤k －1，且 f(3)≤k －1f(5)≤k －15 ，f(7)≤k －13 ， ≤ 5 ， ≤即 1≤k －1，且 ≤k －1 1 k －1 1 k －17，…，则⎨1 1f(3)＝ f(1)＝ ，1f(5)＝ f(3)1 1 ＝ f(1)＝ ，1 1 1 1f(7)＝ f(5)＝ × ＝ ，x 恒成立，3 ，7 ，…，1⎭⎧k －1≥1，⎪k －1≥32，5 k －1≥ ，85解得 k≥ .。
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大题演练争高分(三)时间：60分钟 满分：70分“保3题”试题部分17．(导学号：50604136)(2017·昆明调研)(本小题满分12分)已知正项等比数列{}a n 满足a 4＝2a 2＋a 3，a 23＝a 6. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式；(Ⅱ)求a n ·log 2()a n 的前n 项和T n .18.(导学号：50604137)(2017·黄石二模)(本小题满分12分)某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(Ⅰ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数．(Ⅱ)在样本数据中，有20位女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时．①请画出每周课外阅读时间与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的附：K 2＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d②若从样本的女生中随机抽取2人调查，其中每周课外阅读时间超过4小时的人数为X ，求X 的分布列与期望．19.(导学号：50604138)(2017·铜川联考)(本小题满分12分)已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上不同两点，且CD ∩AB ＝H ，AC ＝AD ，PA ⊥圆O 所在平面．(Ⅰ)求证：PB ⊥CD ；(Ⅱ)若PB 与圆O 所在平面所成角为π4，且∠CAD ＝2π3，求二面角C －PB －D 的余弦值．“争2题”试题部分20．(导学号：50604139)(2017·遵义调研)(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限)．(Ⅰ)求椭圆G 的方程；(Ⅱ)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．21.(导学号：50604140)(2017·北海质检)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋b 图象上的点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q 在函数g (x )＝ln(－x )＋a 上． (Ⅰ)设h (x )＝g (x )－f (x )，求h (x )的最大值；(Ⅱ)对任意x 1∈[－e ，－1]，x 2∈[e ，e 2]，不等式2k []g x 1＋2＋f (x 1)－6<ln []f x 2＋3恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时标出所选题目的题号． 22．(导学号：50604141)(2017·文山调研)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(Ⅰ)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(Ⅱ)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．23．(导学号：50604142)(2017·临夏质检)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数f ()x ＝||2x －1＋||x －2a . (Ⅰ)当a ＝1时，求f ()x ≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[]1，2时，f ()x ≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 选考题题号( )大题演练争高分(三)17．解：(Ⅰ)设数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎨⎧a 1q 3＝2a 1q ＋a 1q2()a 1q 22＝a 1q 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1q ＝－1，∵q >0，∴a n ＝2n.5分(Ⅱ)log 2(a n )·a n ＝log 2(2n )·2n ＝n ·2n，∵T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ∴－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.12分18．解：(Ⅰ)由频率分布直方图得x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8.2分(Ⅱ)①由(Ⅰ)知，100位学生中有100×0.75＝75(位)的每周课外阅读时间超过4小时， 25人的每周课外阅读时间不超过45分结合列联表可算得K 2的观测值k ＝－270×30×25×75＝10063≈1.59<3.841.7分所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”． ②X 的可能取值为0,1,2.8分其概率分别为P (X ＝0)＝C 210C 230＝987，P (X ＝1)＝C 110C 120C 230＝4087，P (X ＝2)＝C 220C 230＝3887.10分故X 的分布列为：11分X 的期望值为E (X )＝0×987＋1×4087＋2×3887＝11687.12分19．(Ⅰ)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2，∵AC ＝AD ，∴Rt△ACB ≌Rt△ADB ， ∴AB ⊥CD ，又∵PA ⊥圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内，∴PA ⊥CD ， ∵PA ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面PAB ，∴PB ⊥CD .5分(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标A －xyz 系：设PA ＝2，∵∠PBA 是直线PB 与圆O 所在平面所成的平面角，且∠PBA ＝π4，∴AB ＝2，∵∠CAB ＝∠DAB ＝π3，∴AC ＝1，CD ＝3，∴D (32，12，0)，C (－32，12，0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)， BD →＝(32，－32，0)，BC →＝(－32，－32，0)，BP →＝(0，－2,2)， 设平面PBD 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →＝0v ·BP →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＝0－2y ＋2z ＝0，令x ＝3，则v ＝(3，1,1)，同理解得平面PBC 的法向量为u ＝(3，－1，－1)，设二面角C －PB －D 的大小为θ，∴cos θ＝v ·u||u ·||u＝3×3＋－＋－5×5＝15. 即二面角C －PB －D 的余弦值为15.12分20．解：(Ⅰ)由题意得c ＝1, 1分 由c a ＝12可得a ＝2，2分 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 3分 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，32)，6分所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n ≠1.7分设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋n得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. 8分 x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－110分＝12x 1＋n －32x 1－1＋12x 2＋n －32x 2－1＝1＋n －1x 1－1＋n －1x 2－1＝1＋n －x 1＋x 2－x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝1－n －n ＋n 2＋n －2＝0， 所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.12分21．解：(Ⅰ)点P (2,1)关于直线y ＝－x 的对称点Q (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝22＋b －2＝ln1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3a ＝－2， ∴h (x )＝g (x )－f (x )＝ln(－x )－x 2＋1，h ′(x )＝1x －2x ＝－x 2－12x＝－x －22x＋22x，∵x ∈(－∞，0)，∴当x ∈(－∞，－22)时，h ′(x )>0； 当x ∈(－22，0)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(－∞，－22)上单调递增；在(－22，0)上单调递减， ∴h ()x max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝12()1－ln2.6分(Ⅱ)设T ()x ＝ln []f ()x ＋3＝2ln x ，∵ T ′(x )＝2x，当x ∈[e ，e 2]时，T ′(x )>0，即单调递增，∴在[e ，e 2]上T (x )min ＝T (e)＝lne ＝1， 设G (x )＝2k []gx ＋2＋f (x )－6＝2k ln(－x )＋x 2－9，G ′(x )＝2kx＋2x ＝x 2＋kx， ①当k ≥0时，在[－e ，－1]上G ′(x )<0，即单调递减，即G (x )max ＝G (－e)＝2k ＋e 2－9，依题得2k ＋e 2－9<1，∴k <10－e22，又∵k ≥0，∴0≤k <10－e22；②当k <0时，∵x ∈[－e ，－1]，∴ln(－x )≥0，x 2≤e 2<9∴G (x )＝2k ln(－x )＋x 2－9<0<1综上，实数k 的取值范围为k ∈(－∞，10－e22).12分22．解：(Ⅰ)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，化为普通方程：x 2＋y 2－2x －3＝0即：(x －1)2＋y 2＝4.4分(Ⅱ)P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，平面直角坐标为(1,1)，在直线C 1上，将C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0中得：⎝⎛⎭⎪⎫1－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22t －3＝0 化简得：t 2＋2t －3＝0 设两根分别为t 1，t 2， 由韦达定理知：⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3，所以AB 的长|AB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝2＋12＝14，8分定点P 到A ，B 两点的距离之积 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.10分23．解：(Ⅰ)原不等式可化为||2x －1＋||x －2≤3，依题意，当x >2时，3x －3≤3，则x ≤2，无解， 当12≤x ≤2时，x ＋1≤3， 则x ≤2，所以12≤x ≤2，当x <12时，3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12，综上所述：原不等式的解集为[]0，25分(Ⅱ)原不等式可化为||x －2a ≤3－||2x －1， 因为x ∈[]1，2，所以||x －2a ≤4－2x ，即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[]1，2恒成立，当1≤x ≤2时，3x －4的最大值2,4－x 的最小值为2，所以a 的取值范围为{}110分。