圆及直线与圆的位置关系PPT演示文稿
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
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1．圆的定义及方程
二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0表示圆的充要条件是什么？ 【提示】 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋
Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
2．点与圆的位置关系 已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)． 2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) ＝ r 则：(1)点在圆上：_____________________ ； 0 0 2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) >r ； (2)点在圆外：_____________________ 0 0 2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) ＜ r (3)点在圆内：_____________________. 0 0
5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－ 2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 3，则a＝________. 【解析】 由已知圆的圆心C(1,2)，半径r＝2， |a＋1| 又圆心C到直线的距离d＝ 2 ， a ＋1 |a＋1| 2 2 3 2 ∴( 2 ) ＋( ) ＝4. 2 a ＋1 解得a＝0.
【解析】 圆方程为(x－2)2＋y2＝4，圆 心(2,0)，半径为2，点P在圆上， 设切线方程为y－ 3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋ 3＝0， |2k－k＋ 3| ∴ ＝2， 2 k ＋1 3 解得k＝ . 3 3 ∴切线方程为y－ 3＝ (x－1)， 3 即x－ 3y＋2＝0. 【答案】 D
【答案】 0
圆的方程的求法 求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上， 且被直线x－y＝0截得的弦长为2 7 的圆 的方程．
由条件可设圆的标准方 程求解，也可设圆的一般方程，但计 算较繁琐．
【思路点拨】
【自主解答】 方法一：设所求圆的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为 |a－b| ， 2 |a－b|2 2 2 ∴r ＝ ＋( 7) ， 2 即2r2＝(a－b)2＋14①
第五节
圆及直线与圆的位置关系
1.掌握圆的标准方程和一般 考纲 方程. 点击 2.了解参数方程的概念， 理解 圆的参数方程.
1.求圆的方程是高考的热点，重点 考查圆的标准方程和一般方程. 2.以选择题、填空题的形式考查方 程中含参数的直线与圆的位置关 热 系的判断. 点 3.利用相切或相交的条件确定参数 提 的值或取值范围. 示 4.利用相切或相交求圆的切线(长) 或弦长. 5.以解答题的形式考查直线与圆的 综合问题.
【解析】 方法一：设圆的方程为 (x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2， 由题意得 2 2 2 (1－a) ＋(－1－2＋a) ＝r ， 2 2 2 ( － 1 － a ) ＋ (1 － 2 ＋ a ) ＝ r 2 解得a＝1，r ＝4. 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二：AB中垂线方程为y＝x， y＝x x＝1 由 得 ， x＋y－2＝0 y＝1 即圆心为(1,1)， ∴半径r＝ (1－1)2＋(1＋1)2＝2， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.【答案】 NhomakorabeaC
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1， 3)处的切 线方程为( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0
4．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
0个 公共点个数 d＞ r d＝ r d＜ r 几何特征(圆心 到直线的距 ______ ____ ____ 离d，半径r) 有两 有两 组 组 代数特征(直线 相 不 与圆的方程 无实数
相切 ____ 相交 _ 1个 2个
在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什 么？ 【提示】 应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解.
• 3．确定圆的方程的方法和步骤 • 确定圆的方程主要方法是待定系数法， 大致步骤为： • (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程 ________________________________ a，b，r或D、E、F __根据条件列出关于 ； • 的方程组 (2) ________________________________ 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程 __ 或一般方程 __________； • (3)
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的 条件是( ) 1 A. ＜m＜1 B．m＞1 4 1 1 C．m＜ D．m＜ 或m＞1 4 4
【解析】 若方程表示圆，则 (4m)2＋(－2)2－4×5m＞0， 1 解得m＜ 或m＞1. 4
【答案】 D
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在 直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2② 又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a －b＝0③ 联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a ＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圆的方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2 ＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵点(0,0)在圆x2＋y2＋ax＋ay＋ 2a2＋a－1＝0外， ∴02＋02＋a×0＋a×0＋2a2＋a－1＞0， 1 2 即2a ＋a－1＞0，解得a＞ 或a＜－1. 2
又a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0， －1－ 7 －1＋ 7 ∴ ＜a＜ ， 3 3 －1－ 7 －1＋ 7 1 ∴ ＜a＜－1或 ＜a＜ . 3 2 3 －1－ 7 1 【答案】 ( ，－1)∪( ， 3 2 －1＋ 7 ) 3