勾股定理地图形证明方法
勾股定理的常见证明方法
勾股定理的常见证明方法引言勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中的边与斜边的关系。
在本文中，我们将介绍勾股定理的常见证明方法，包括几何证明、代数证明和平面解析几何证明。
通过这些方法，我们可以深入理解勾股定理的本质，并且能够应用到实际问题中。
一、几何证明几何证明是最常见的证明方法之一，它通过图形的构造和性质来证明定理的正确性。
下面我们将介绍两种常见的几何证明方法。
1.1 三角形面积法这是一种简单而直观的证明方法，它利用三角形的面积关系来证明勾股定理。
具体步骤如下：步骤一：构造一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
步骤二：以BC为底边，构造一个高AD，使得D落在直角三角形外部。
步骤三：根据三角形的面积公式S=1/2×底边×高，可以得到以下等式：S(ABC) = 1/2×AB×BCS(ABC) = 1/2×AC×AD步骤四：将等式两边进行整理，得到以下等式：AB×BC = AC×AD步骤五：根据相似三角形的性质，可以得到以下等式：AC/AB = AB/AC步骤六：根据等式AB×BC = AC×AD和等式AC/AB = AB/AC，可以得到以下等式：AB^2 = AC^2 + BC^2步骤七：根据勾股定理的定义，得证。
通过以上步骤，我们可以看到勾股定理可以通过三角形的面积关系进行证明。
1.2 直角三角形相似法这是另一种常见的几何证明方法，它利用直角三角形的相似性质来证明勾股定理。
具体步骤如下：步骤一：构造一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
步骤二：以AC为直角三角形的斜边，构造一个三角形ACD，使得∠ACD为直角。
步骤三：根据直角三角形的相似性质，可以得到以下等式：AB/AC = AC/AD步骤四：将等式两边进行整理，得到以下等式：AB×AD = AC^2步骤五：根据勾股定理的定义，得证。
勾股定理三种证明方法
勾股定理三种证明方法
勾股定理有很多种证明方法，其中较为常见的有以下三种：
1. 几何法证明：通过在直角三角形中进行几何构造，利用一些几何性质来推导出勾股定理。
其中一种常见的方法是利用辅助角的概念，在直角三角形中构造一条垂直于斜边的高，然后利用相似三角形的性质来推导出勾股定理。
2. 代数法证明：利用代数运算的方式来证明勾股定理。
首先，将直角三角形的两条直角边分别表示为“a”和“b”，斜边表示为“c”。
然后，利用平方运算和方程的性质，将勾股定理表示为一个等式，然后通过代数的运算推导出等式成立。
3. 数学归纳法证明：利用数学归纳法来证明勾股定理。
首先，通过对几个特殊情况（例如边长为3-4-5的直角三角形）的验证，证明当一部分情况成立时，另一部分情况也必然成立。
然后，利用归纳法的思想，将直角三角形的边长表示为整数，并逐步增加边长，推导出勾股定理对于所有整数边长的直角三角形成立。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一，解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理，有许多方法可以证明它，下面介绍十种方法：1.欧拉定理证明法：构造出一个直角三角形，把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面，另一条边对应的正方形放在直角三角形内部，再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
2.代数证明法：利用代数的平方公式，把直角三角形的两条直角边平方相加，再把斜边平方，然后再将两者相减，得到一个等式，即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明：用数学归纳法证明勾股定理，证明当n为正整数时，定理成立。
4.相似三角形证明法：构造出相似的三角形，利用相似三角形的性质，可以推导出勾股定理。
5.向量证明法：用向量的几何意义证明勾股定理，首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角，再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量，最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法：利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆，利用圆上弧角定理，可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法：用平面几何证明勾股定理，利用平面几何图形的形状和大小关系，推导出勾股定理。
8.解析几何证明法：用解析几何证明勾股定理，利用平面直角坐标系，将三角形的三个点用坐标表示出来，推导出勾股定理。
9.三角函数证明法：用三角函数证明勾股定理，利用三角函数的性质，将三角形分离出直角三角形和非直角三角形，再用三角函数计算出各个变量，推导出勾股定理。
10.古希腊证明法：古希腊人对勾股定理有自己的证明方法，即利用几何图形的形状和大小，通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性，它们有不同的适用范围和难度级别，可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。
在这篇文章中，我将介绍勾股定理的500种证明方法。
1. 代数证明：我们可以使用代数方法来证明勾股定理。
假设三角形的三边长度分别为a、b和c，其中c为斜边。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
我们可以展开这个等式，通过简化和重组方程，使其等于0，从而证明勾股定理。
2. 几何证明：我们可以利用几何图形来证明勾股定理。
画出一个直角三角形，以及其对应的三边。
通过构造辅助线、利用相似三角形或使用正弦、余弦和正切等几何关系，我们可以得出三边之间的相互关系，从而证明勾股定理。
3. 迭代证明：我们可以采用迭代的方法证明勾股定理。
通过不断地将直角三角形切分为更小的直角三角形，然后证明每个小三角形的成立，最终得到整个三角形的证明。
4. 三角函数证明：利用三角函数的定义和性质，我们可以通过将勾股定理转化为三角函数的等式来证明。
例如，假设角A为直角，则根据正弦函数的定义，可以得到a/c = sin(A)，再利用三角函数之间的关系，最终可以推导出a^2 + b^2 = c^2。
5. 数学归纳法证明：我们可以使用数学归纳法来证明勾股定理。
首先证明当直角三角形的两条直角边分别为0和1时，勾股定理成立。
然后，假设当直角三角形的两条直角边长度分别为k-1和k时，勾股定理也成立。
接着，通过数学归纳法，可以证明当直角三角形的两条直角边长度分别为k和k+1时，勾股定理依然成立。
以上仅是勾股定理的一些证明方法的简要介绍。
总结起来，勾股定理有无数种证明方法，这些方法运用了代数、几何、三角函数等数学工具，展示了数学的多样性和美妙之处。
通过不同的证明方法，我们可以更深入地理解勾股定理，并在解决实际问题中灵活运用。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理是数学历史上最有名的定理之一，它表明三角形的斜边之和等于其他两边的平方和，即：a2 + b2 = c2它的出现可追溯到古希腊，其中由毕达哥拉斯提出了该定理的最早对应，而后经由许多人的活跃研究，最终由哥白尼、笛卡尔等最终完善和形成了现在的标准形式。
一般来说，无论在什么地方，都有专家们提出这个定理的证明方法，并把它带入教学之中。
然而，大多数时候，专家们提出的证明方法是有限的，因为每个数学家都有自己喜欢的证明方法，他们并不一定能够知道其他专家提出的证明方法。
本文将介绍十种证明勾股定理的方法，以提高读者对勾股定理的理解。
二、十种证明勾股定理的方法1、几何法这是最常用的证明方法，它借助两个直角三角形构成的边构建的矩形的四边，由此可以证明勾股定理。
2、矩阵法这是一种更先进的方法，它借助矩阵相乘来证明勾股定理。
3、物理法这是一种利用物理定律、电磁定律等来证明勾股定理的方法，它充分利用物理定律中相关性的概念，从而证明勾股定理。
4、代数法这是一种运用代数计算证明勾股定理的方法，它把对勾股定理的证明拆分为两个小问题，包括求和等式的求解以及证明两个等式的等价性，从而证明勾股定理。
5、统计法这是一种利用统计理论、概率论等来证明勾股定理的方法，它借助描述性统计学、抽样分布等来说明勾股定理。
6、微积分法这是一种利用微积分来证明勾股定理的方法，它利用微积分的思想，分别定义勾股定理的三个边，并利用微积分中各种概念，从而证明勾股定理。
7、证明归纳法这是一种以归纳法证明勾股定理的方法，它运用归纳法的思想和归纳准则，从而证明勾股定理。
8、几何性质法这是一种利用几何性质来证明勾股定理的方法，它充分利用几何性质的概念，从而证明勾股定理。
9、变形法这是一种利用计算机上图形变形来证明勾股定理的方法，它通过利用计算机上图形变换的思想，从而证明勾股定理。
10、数学归纳法这是一种利用数学归纳法来证明勾股定理的方法，它运用数学归纳法的思想和归纳准则，从而证明勾股定理。
勾股定理三种证明方法
勾股定理三种证明方法引言勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
勾股定理有多种证明方法，本文将介绍三种常见的证明方法：几何证明、代数证明和物理证明。
几何证明几何证明是最早被人们使用的证明方法之一，它通过构造几何图形来证明勾股定理。
以下是一种常见的几何证明方法：步骤一：构造直角三角形在平面上任意选择一条直线作为直角边，再选择两条与直角边相交且互相垂直的直线作为另外两条边，构造一个直角三角形。
步骤二：证明两边的平方和等于第三边的平方根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
我们可以使用面积的方法来证明这一点。
1.将直角三角形沿着斜边划分为两个直角三角形，分别记为三角形ABC和三角形ACD。
2.由于三角形ABC和三角形ACD有相同的直角边AC，所以它们的面积相等。
3.根据面积的计算公式，三角形ABC的面积为(1/2) * AB * BC，三角形ACD的面积为(1/2) * AD * CD。
4.将两个面积相等的表达式相加，得到(1/2) * AB * BC + (1/2) * AD * CD= (1/2) * AC * AC。
5.化简上式，得到AB * BC + AD * CD = AC * AC。
6.根据勾股定理，AB * AB + BC * BC = AC * AC，所以AB * BC + AD * CD= AB * AB + BC * BC。
7.故而，勾股定理得证。
代数证明代数证明是使用代数运算来证明勾股定理的方法。
以下是一种常见的代数证明方法：步骤一：设定直角三角形的边长假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
步骤二：应用勾股定理根据勾股定理，有a^2 + b^2 = c^2。
步骤三：展开和化简方程将方程a^2 + b^2 = c2展开，得到a2 + b^2 - c^2 = 0。
进一步化简，得到(a - b)(a + b) - c^2 = 0。
勾股定理的证明16种方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b a + b，所以面积相等，所以面积相等. 即 abc ab b a 214214222´+=´++， 整理得整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ,∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()22214c ab b a +´=+. ∴ 222c b a =+.D G C F A HE B a b ca bc a bc a b c ba b a b ab ac b a c b a cb ac b a c b a c b aab c c D 1ba c G A CB F E HP H GE C B A ab c abc ab c a bc c c b ac b aA BEP Q M N1A BD a c b c b a cb aA B CG H M987654321P QR H G E C B A a b cabc ccBHT = 90º，º，º， M QT G F E D C B A cb a 87654321abaaBA C Dcba ca b cACB Dcba r r r O F E D BA D a c bab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2a B C Cb a b a b a bab ac c c c b ab ab b a b aEAD = 90º，º，º， A B C D E F G H Mab c a b ca c abc 1234567。
勾股定理地十六种证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a.因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -， 即222a cb -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆， ∴ ABC S ab ∆=42， 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）D D设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .实用标准文案文档∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB = BC = c，BF = CG = a，∴RtΔABF ≌RtΔBCG.∵54322SSSSc+++=，6212SSSb++=，732SSa+=，76451SSSSS+===，∴6217322SSSSSba++++=+=()76132SSSSS++++=5432SSSS+++=2c∴222cba=+.。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。
1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。
2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。
3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。
4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。
5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。
6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。
7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。
8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。
9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。
10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。
11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。
12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。
13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。
14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。
15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。
16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。
17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。
18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。
19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。
20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。
勾股定理16种证明方法
【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab，整理得a²+b²=c²。
1. 2【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
2. 3【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
勾股定理十种详细证明方法
勾股定理十种详细证明方法嘿，咱今儿个就来聊聊那大名鼎鼎的勾股定理！你可别小瞧它，这可是数学世界里超级重要的一块儿宝藏呢！要说这勾股定理啊，那就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
就好像一个神奇的魔法公式，能解决好多好多问题。
那它都有哪些详细证明方法呢？咱先来说说第一种方法，拼图法。
就好像我们在玩拼图游戏一样，把几个图形巧妙地拼在一起，就能神奇地证明出勾股定理。
你说妙不妙？第二种呢，是面积法。
通过计算不同图形的面积，然后找到它们之间的关系，从而得出勾股定理。
这就好像是在一个大迷宫里找线索，最后找到了那关键的出口。
还有一种很有意思的方法，叫相似三角形法。
利用相似三角形的性质来证明勾股定理，就像是找到了打开宝藏大门的钥匙。
再说说代数法，把几何问题转化为代数问题，这可真是一种独特的思路，就如同给几何穿上了代数的外衣。
然后是割补法，把一个图形割开或者补全，从中发现勾股定理的奥秘，是不是很神奇呢？还有构造法，就像建筑师一样，巧妙地构造出一些图形来证明勾股定理。
另外，还有反证法，从反面去思考问题，来证明勾股定理的正确性，这可是很需要脑筋急转弯的哦！还有一种方法，是利用三角函数来证明，这就好像给勾股定理加上了一双翅膀，让它能飞得更高更远。
第九种方法是归纳法，通过一系列的例子归纳出勾股定理，就像是从一颗颗珍珠串成了一条美丽的项链。
最后一种呢，是利用向量来证明。
向量可是数学里的一把利剑，用它来证明勾股定理，那可真是威力无穷啊！你想想看，这十种方法，每一种都像是一把独特的钥匙，能打开勾股定理这扇神秘大门。
是不是很厉害？这勾股定理就像是数学王国里的一座坚固城堡，而这十种证明方法就是通往城堡的不同道路。
我们可以沿着这些道路，尽情地探索数学的奥秘，感受数学的魅力。
所以啊，别小看了这小小的勾股定理，它背后可有着大大的智慧呢！咱可得好好学。
勾股定理的证明方法12种
勾股定理的证明方法12种嘿，朋友们！今天咱来聊聊那神奇的勾股定理，这可是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！你可别小瞧它，这里面的学问大着呢！勾股定理说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那它到底有多少种证明方法呢？整整12 种嘞！这就好比有12 把钥匙，能打开勾股定理这扇神秘大门的不同角度。
咱先说第一种证明方法，就好像搭积木一样，把一些图形巧妙地组合起来，一下子就能看出其中的奥秘。
看着那些图形严丝合缝地凑在一起，你不觉得很神奇吗？这就像是变魔术，在你眼前把不可能变成可能。
还有一种证明方法呢，是通过巧妙地切割和拼接图形，就像裁缝裁剪布料再重新缝合一样，原本平平无奇的图形，经过这么一折腾，勾股定理的真相就呼之欲出啦！再有一种方法是利用面积的关系来证明，就如同在土地上丈量一样，这边的面积和那边的面积一对比，嘿，勾股定理就显现出来了。
这是不是很有意思？每一种证明方法都有它独特的魅力和巧妙之处，就像不同口味的糖果，各有各的精彩。
有的简洁明了，让你一下子就能明白；有的稍微复杂一点，但一旦你理解了，就会感叹数学的深邃和美妙。
你想想看，古往今来，多少数学家们为了证明勾股定理绞尽脑汁，想出了这么多种方法，这是多么了不起的智慧结晶啊！这就好比攀登一座高峰，不同的人选择不同的路径，但最终都能到达山顶，领略那壮丽的风景。
当你深入研究这些证明方法时，你会仿佛置身于一个奇妙的数学王国，周围都是充满智慧的光芒。
你会忍不住问自己：人类的大脑怎么能这么厉害，想出这么多巧妙的办法来？其实，勾股定理不仅仅是数学中的一个定理，它更是人类智慧的象征。
它告诉我们，只要我们勇于探索，敢于尝试，就没有什么难题是解决不了的。
所以啊，朋友们，不要小看这勾股定理的 12 种证明方法，它们背后蕴含的可是无尽的智慧和乐趣。
当你真正沉浸其中，你就会发现数学的世界是多么的丰富多彩，多么的让人着迷！让我们一起在这数学的海洋中畅游吧，去探索更多的奇妙和惊喜！。
证明勾股定理的图形及证明过程
证明勾股定理的图形及证明过程
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，它指出在直角三角形中，对边的平方和等于斜边的平方。
它是一个重要的数学定理，并且在历史上已有多年的历史。
要证明勾股定理，一个很好的方法是以图形的方式来理解它。
如下图所示，它展示了一个直角三角形ABC，BC为斜边，AB和AC为直角的直线。
图: 勾股定理
我们可以在上面的图中看到，ABC直角三角形的很多线段已经被隐藏起来了。
成边AB和AC，因为他们是直线，所以我们可以把它们拆成更小的线段，像这样：
图：ABC 隐藏的线段
这些一个个的线段可以构成勾股定理的证明方程。
如果我们把斜边表示为c，而另外两条对边被称为a和b，那么根据勾股定理：c² = a² + b²
我们可以看到，线段c可以由线段a和b所组成，而线段a和b 分别可以由多个小线段组成。
如果我们把这些小线段a全部加起来，那么它们会得到平方和，正如勾股定理所指出的：
c² = (a1² + a2² + a3² + … + am²) + (b1² + b2² + b3² + … + bn²)
这样，我们就可以证明勾股定理的正确性了。
总之，勾股定理是一个非常古老的定理，以图形的方式证明它以及将其拆分成更小的组件可以帮助我们更清晰地理解它。
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等（边长都是),所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂.二、赵爽弦图的证法(图2）第一种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”.因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法很简明，很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。
古希腊数学的伟大成就:1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证明体系，希腊成为论证数学发祥地;3、创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等；4、萌芽了一些高等数学，如数论、极限等;5、希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密,论证认真细致，为后世树立了样板等；不足：如，重几何轻代数,认为几何方法是数学证明唯一方法，畏于无理数的存在，而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺.古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论,数学命题要加以演绎证明，在数学中要建立一般的原理好人规则，数学命题的证明就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.演绎证明的方法即演绎推理的方法，指从一般到特殊的推理方法,其核心是三段论法，即有两个已知判断,推出第三个判断，例如，平行四边形的对角线互相平分(第一个已知一般判断成为大前提），矩形是平行四边形（另一个已知较特殊的判断，成为小前提）,则矩形的对角线互相平分(推出新判断，即结论).用演绎法证明命题使几何由实验阶段,过渡到一门抽象的理论科学，使人类对自然的认识由感性(或经验)认识上升到理性认识，因此这是一个划时代的贡献。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实用标准勾股定理的图形证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1 ）所示的正方形。
图（1）中「一方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2 ）所示的正方形。
在（3）— 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3）— 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积） 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
图（2 ）中 - ，所以一」方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（ 3） — 1和（3） — 2所示的两个形状相同的正方形。
芮/C处，小虫走的路程最短为多少厘米O B3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长?文档i如图，长方体的高为（4>0 +坊（口我）~T3 cm，底面是边长为 2 cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点路线的长是 ____________ 。
D4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸, 已知该纸片宽AB为8cm，张BC?为10cm .当小红折叠时,5 •如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）•A • 3B • 4C •5D • 5AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E, 6 •已知：如图，在△ABC 中，ZC=90 ° ,B=30BD=4cm .求AC 的长.上，且与 AE 重合，则 CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，AB 6,将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C 处，若AE :BE 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6 , BC=8，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边 AB 1:2则折痕EF 的长为A E B9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△ DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，贝U EB：CE= ________ L10、如图，AD是△ABC的中线，/ ADC = 45 0，把△ADC沿AD对折，点C落在C '的位置，若BC = 2，贝U BC'=11 .如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于(A.2cmB.3 cmC.4 cmAC = 6cm , BC = 8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使)D.5 cmCA14 .已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为（)A、6cm 2B、8cm 2C、10cm 2D、12cm 212、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折叠，使它落13、如图，在△ ABC中，/B= 90 , AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为CD的长吗?F在AC上，求EC的长。
18 .如图8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 15 .如图，将矩形 ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知 AB = 3 , AD = 9，求BE 的长.16、如图，每个小方格的边长都为 1 •求图中格点四边形 ABCD 的面积。
17、如图，已知：在 ABC 中, ACB 90，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E,能否使CE = 2cm ?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.21 .①能.设AP = x 米，由于BP2= 16+x 2, CP2= 16+(10 —x)2，而在Rt APBC 中，有BP2+ CP2= BC2，即16+x 2 + 16+(10 —x)2= 100，所以x2—10x+16 = 0,即(x —5)2= 9，所以x —5 = ±3，所以x = 8 , x= 2，即AP = 8或2，②能•仿照①可求得AP = 4.MN= 419.如图△ ABC中, ACB 90 ,AC 12,BC 5,AN AC,BM BC则S）a, b S1ab解:设两直角边分别为，斜边为c,则c 2d, 2 .222由勾股定理，得a b c .a b 2 2 a2ab b2 c2 4S4d2 4S所以所以 a b 2.所以a b c 2 S 2d.故选（C）21^.在AXBC中/号二M二】边上有2006个不同的点此&…血叫记叫=+ BP、■ PC（i = -2006）则㈣+ 叫+ …他血—昶:如圏，作月D [ sr于°’因为= = 1 piij RD = CD 由勾股定理*得新= Q +尸".所以AB:- AP7= BD2- PD2二IBD- PDH BD + PD、二BF、PC靳以AP- + BP PC^AB~^V t因此叫+ 冊、+ 巧=1'x 2006 = 200622來.妇图所示* 在J^B A C=9O°5J4C=AB.ZDAE= 45°^_BD= S实用标准CE =A、求DE的长.輛:如右图：因为为等腰直相三箱形，所以"BD = ZC =45°.所以把山抚绕点启旌转到5罠則"FB = MEC*所臥BF = EC = 4/F = /匕厶= ZC = 4亍连第QF眄次AZX3F为直兔三施形.生勾股走廷］得°厂」=找+RD、= 1' +3' =5'所以QF二，因为ZDAE - 45fl, ^ZDAF = ZDAB4 ZE AC -45°軒以iWF-AWFU4S )所以 D E = DF = 5_如亂4AABC中，AB AC=6. P为BC ±任意一点请用学过的如识试PC • PB+PA?的值*24.※如圏在RiAABC中 f = 9QUC二二匚RrAABC的外部拼接一个合适的直角三箱形丫使得舛成的建形是一个等障二角电。
如團所示；824s※如图在R/ABC中= = 3 RrAAI3C的外部拼接一伞合适的直角三角环漫得拱取的ES.形昱一个等猱二竟形.知圏所石：要求；在两个备用團中分别西用两种与示例團不同的拼接方法，在图中标明拼接的宜命三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草国，确定后再用0.5mii E3黑色签字笔画出正确的圏形）要生刘ZrAB匸的外部接一个合适的宜僅二隹形，使得拼淮的图洋是一个等腰二角形，关健是腰与底边的确定.要求在图中标明拼接的直瀚二角形的三边长，这需要用到勾腔定理知识.下图中的四种罚樓方法供参2覚如劃A、B两个村子在河CD的同餚A. B两村到河的距蕊分别AC-lkin*亚-狛山CDTkim 现在河边「D匕建一水厂向A、B两村输送自来水.铺设水育勺费用为20000元/干米.谓你在CD选择水厂便亶6 使捕设水管的费用垠省，并求出铺设水管的总费用F =RC D% 已知：如图.A ABC中，ZC-90% A O为ZVABC的三条莆平分线的交点，OD.BC,6OE丄AC. OF.AB, AD. E. F分别是垂足，£BC = 8cm* CA=6cm-则点O到三边AB・AC和BC的距德分别等于_______________________ cm第M題国「4兮）如團在A ABC AB=AC. P为BC上任意一点*请说明:/\B:-AP2-PBXPC329. ｛本题浦分＜5分）如圏，一个牧至左小河的南Jkin 的A 处牧马，而他壬垃于他的小理BR 勺西Skm 北-tm 处*他想把他的马奉到小河边去饮水，然后回家•It 要完贱这件事情所走芷垠矩进理是罢歩了 小河…厂年 牧童A ：斗七I 小屋30. （水題沾分&分丿如曹斫示，某隹笔杜区在相聊两矮之间修建一个上方是一个半圆，下方是桧方形的仿古通遣，现有一辆卡车装満家具后，髙4米，宽2”8米.消问诰辆送嶷具的卡车能否通过这个通道3k 在一棵稠的10米离B 处有两貝蹊子，-只孫子爬下树走到禹钳20米牡曲池塘的A j±;另一貝爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以宜线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高莎b 米“32. 在业椁的浇面上，有一支虹蓮，高出水面1娠，一阵現吠耒，红莲移到—远花朵齐及水面，已拈甄 雀移动的水平总藹为2米，求这里的水滓是齐少米？33. 氏为4山的梯子祷屯塔上耳地面成■!丁 乩 作业时词整切0角（如团所示）・则糅亍的顶蔬沿檣血升 高丁34. 已知；如图，ANBC 中* ZC=90r ，D 为AB 的中点・E* F 分别在AC* BC 上，且DE 丄DF.畫证; AEHBF :=Er :.m.。