等差等比数列的判断

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(完整版)等差等比数列知识点总结

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

证明或判断等差(等比)数列的四种方法

证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。

前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。

判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。

前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。

以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。

同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。

专题补充：如何判断一个数列是等差等比数列

等比数列判定四法
一、定义法根据等比数列的定义，判断1
n n a a +或1
(1)n n a n a ->是一个与n 无关的常数二、等比中项法
对于各项均不为零的数列{}n a ，若对于任意大于1的正整数n 都有211n n n a a a -+=·，则可判定数列{}n a 为等比数列．
三、通项公式法
{}n a 为等比数列1(0)n n a Aq Aq -⇔=≠．
四、前n 项和公式法
在数列{}n a 中，前n 项和为n
S ，若(01)n n S Aq A Aq q =-≠≠，且，则{}n a 为等比数列．
等差数列判定四法
一、定义法
根据等差数列的定义： 1()n n n a a d a +-=⇔{}常数是等差数列。

二：中项公式法
*122()n n n n a a a n N a ++=+∈⇔{}是等差数列。

三：通项公式法
(,)n n a pn q p q a =+⇔{}为常数是等差数列四：前n 项和公式法 2(,){a }n n S An Bn A B =+⇔为常数是等差数列。

分析判断等差数列和等比数列练习题

分析判断等差数列和等比数列练习题等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是数学中常见的序列类型。

在解决练习题时，我们需要分析和判断给定数列是等差数列还是等比数列。

本文将通过一些练习题，详细讨论如何进行分析和判断。

1. 问题一：已知数列 {a_n} 的公差为 d，首项为 a_1，若 a_1 = 2，d = 3，请求数列的前五项。

解析：根据等差数列的定义，第 n 项可以表示为 a_n = a_1 + (n-1)d。

代入已知值可以得到 a_n = 2 + (n-1)3。

计算前五项的值：a_1 = 2 + (1-1)3 = 2a_2 = 2 + (2-1)3 = 5a_3 = 2 + (3-1)3 = 8a_4 = 2 + (4-1)3 = 11a_5 = 2 + (5-1)3 = 14所以，数列的前五项为 2，5，8，11，14。

2. 问题二：已知数列 {b_n} 的公比为 r，首项为 b_1，若 b_1 = 5，r = 2，请求数列的前五项。

解析：等比数列的通项公式为 b_n = b_1 * r^(n-1)。

代入已知值可以得到b_n = 5 * 2^(n-1)。

计算前五项的值：b_1 = 5 * 2^(1-1) = 5b_2 = 5 * 2^(2-1) = 10b_3 = 5 * 2^(3-1) = 20b_4 = 5 * 2^(4-1) = 40b_5 = 5 * 2^(5-1) = 80所以，数列的前五项为 5，10，20，40，80。

通过以上两个问题的分析，可以看出在判断一个数列是否为等差数列或等比数列时，需要观察数列项之间的关系，并找到数列的公差或公比。

根据已知条件，利用数列的通项公式进行计算，可以得到数列的具体项的值。

除了直接求解数列的具体项，我们还可以通过观察数列项之间的关系，利用数列的性质来判断数列是等差数列还是等比数列。

等差数列与等比数列的区别

等差数列与等比数列的区别等差数列与等比数列是数学中两种常见的数列形式，它们在数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将详细介绍等差数列与等比数列的定义、性质和区别。

一、等差数列的定义和性质：等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。

等差数列有以下几个性质：1. 公差d的性质：等差数列中任意两项的差值都是公差d，即an -an-1 = d。

2. 通项公式：等差数列的通项公式是根据首项和公差的值计算出每一项的表达式，即an = a + (n - 1)d。

3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1)d)进行计算。

二、等比数列的定义和性质：等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列，即每一项等于前一项乘以同一个非零常数。

通常用字母a表示首项，字母r表示公比，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a * r^(n-1)。

等比数列有以下几个性质：1. 公比r的性质：等比数列中任意两项的比值都是公比r，即an / an-1 = r。

2. 通项公式：等比数列的通项公式是根据首项和公比的值计算出每一项的表达式，即an = a * r^(n-1)。

3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)进行计算。

三、等差数列与等比数列的区别：1. 定义：等差数列中每一项与前一项的差值相等，而等比数列中每一项与前一项的比值相等。

2. 性质：等差数列的公差是常数，等比数列的公比是常数。

3. 增长速度：等差数列的增长速度是线性的，等比数列的增长速度是指数的。

4. 前n项和：等差数列的前n项和的求和公式是关于n的一次多项式，等比数列的前n项和的求和公式是关于n的一个分式。

(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

等差与等比数列的判定(第三讲)

当n 5时，Tn Sn 9n n2
当n 6时，
Tn a1 a2 a5 a6 an a1 a2 a5 a6 a7 an
Tn
9n n2 n2 9n 40
Sn 2S5
n2 9n 2 (20)
n2 9n 40
(n 5) (n 6)
③通项公式法：
a2 n1
an
an2
(an 0) an 为等比数列；
③通项公式法：
an kn b (k,b为常数) an 是等差数列
④前n 项和公式法：
an k q n (k, q为常数） an 为等比数列；
④前n 项和法：
Sn An 2 Bn ( A, B为常数) an 是等差数列 Sn k(1 qn ) （k, q为常数） an 为等比数列。
是以
S1
1 为首项，2 为公差的等差数列。
bn
Sn 2n 1
1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn 3
(1 3
1) 5
(1 2n 1
1 2n
1)
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
变式、数列 an 的前 n 项和 S n =2 an －1，数列 bn 满足：b1 3，bn1 an bn （n N ）
⑵： ①证明：当 n 2 时，
Sn2
an (Sn
1) 2
(Sn
Sn1 )(Sn
1) 2
所以 S n
S n1
1 2
(S n1
Sn )
即 1 1 2 S n S n1
②：由 ①得
1 1 (n 1) d 1 (n 1) 2 Sn S1 2n 1
所以

专题三第1讲等差数列、等比数列

等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1. (3)等差数列的求和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－ 2 1d.
(4)等比数列的求和公式： Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则aa105＋＋aa172
等于
A.－8
B.16
C.32
√D.－32
设等比数列{an}的公比为q，则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32，故aa105＋＋aa172＝aa5＋5＋aa77q5＝q5＝－32.
∴S14＝14a12＋a14＝14a42＋a11>0， S15＝15a12＋a15＝15×2 2a8<0，
∴当Sn>0时，n的最大值为14，D正确.
考点三
等差数列、等比数列的判断
核心提炼
定义法通项法中项法
等差数列 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项
1＝6
√B.{an}的公差为9
C.a6＝3a3
√D.S9＝405
设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90，得a5＝45，又a2＝18，联立方程组aa11＋＋d4＝d＝184，5，解得ad1＝＝99，，故 A 错误，B 正确；

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。

等差数列等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，那么称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1〔d 为公差〕〔2≥n ，*n N ∈〕2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推导过程：叠加法推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：m n a a d m n --=3、等差中项〔1〕如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 及b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+前N 相和的推导:当m n p q +=+时,那么有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，那么有2m n p a a a +=。

〔注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，〕当然扩大到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数一样，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法〔1〕定义法：假设d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．〔2〕等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a〔3〕数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=〔其中b k ,是常数〕。

〔4〕数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,〔其中A 、B 是常数〕。

6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发⇔ {}n a 是等差数列．7、等差数列相关技巧：〔1〕等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为根本元素。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a 3n 3 a 3nd （常数）a 3n 是等差数列20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：a n a n 1 d （n 2）斗是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2）a n 是等差数列30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：鱼 q （q 0且为常数，a i 0） a n 为等比数列 a n 40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：a n注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n i d 和a n i a n d 有差别，前者必须加上“n > 2”，否则n 1时a 0无意义，等比中一样有：n > 2时，有-a ^ L q a n 1 （常数0 ）；②nN 时，有公1 q（常数0）.a n例1.设数列ag’L ,a n ,L 中的每一项都不为0。

证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N,证明：先证必要性设｛a n ｝为等差数列，公差为d,则a n q （n>2, q 为常数且丰0）a n 为等比数列a n 1都有1 1 a 1a2 a 2a 31 a n a n 1n aA 1当d=0时，显然命题成立当d 丰0时，11 11为为 1 d a n On 11 1 1-- 十 -- 十 ‘ ■ ■ +a L a2 a 2a 5 a h a rn-liff i i) fi i] f i i 11 叩电a J l 幻W [a 虹1111 1 1 a a+1 -+- a 1 nd[&i a n+l ) a 找 1%®^a l a n+l a l a ii+l再证充分性:1 1 1 L1 n a〔 aa 2 a 3a 3 a 4a n a n 1ai am②一①得:1 n 1 na n 1 a n 2 a a n 2 司 O n 1两边同以 a n a n 何得：a 1 (n 1)a n 1 na n 2 ........................ (3同理：a 〔 na n (n 1)a n 1 ③一④得：2na n 1n(a n a n 2)即：an 2 an 1 an 1 4 为等差数列例2.设数列(a n )的前n 项和为S n ,试证(a n )为等差数列的充要条件是S n证：)若(a n )为等差数列，则11 1 L1 1 n 1 a〔 a a 2 a 3 a 3 a 4a n a n 1 a n 1 a n 2a〔 aa〔a n a2 a n 1 a3 a n 22S n (a i a n) (a2 a” 2) (a n a i)S n n(a i a n)2）当n>2时，由题设，S n 1(n 1)(a i2n(a i a n)2所以a n S n S n i响a?)2 (n i)(a i a ni)2同理有a n i(n i)(a 〔如)晌a”)2 2从而a n i a n (n i)(a i a ni) (n i)(a i a n i)n(a i a n)整理得：a n+i — a n=a n — a n i，对任意n> 2成立.从而（a n｝是等差数列.例3.已知数列a n是等比数列（S n 是其前n项的和，则S k, S2k S k, S3k S2k ,…，仍成等比数列。

等差数列四种判定方法

等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念，在高中数学中也经常涉及到。

在判断等差数列的时候，常常有四种方法。

这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

掌握这些方法，可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。

一、通项公式等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)dan表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

在使用通项公式判断等差数列时，可以先求出前几项的值，然后利用通项公式求出后面的项，再与实际值进行比较，判断是否为等差数列。

已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9，要判断它是否为等差数列。

首先可以看出，这个数列的公差为2，于是可以利用通项公式求出后面的项：a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较，发现它们与数列中的后两项9、11并不相等，因此这个数列不是等差数列。

二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

在判断一个数列是否为等差数列时，可以先求出前两项的差，然后比较后面各项之间的差，看是否相等。

如果相等，则说明这个数列是等差数列。

然后比较后面各项之间的差：a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2，因此这个数列是等差数列。

三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

不同的方法在不同的情况下使用，可以选择合适的方法进行判断。

在求等差数列的和、第n项等问题时，也可根据不同的情况选择不同的方法求解。

除了判定等差数列的四种方法以外，还有一些其他的相关内容需要了解。

一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1，a2，……，an，它们的和Sn可以通过下列公式求得：Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。

应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和，节省手工计算的时间。

已知一个等差数列的首项a1为1，公差d为2，项数n为10，要求这个数列的和。

等差数列与等比数列的概念与性质

等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。

它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。

一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。

2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。

- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。

（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。

（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。

二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。

这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。

2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。

- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。

（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。

（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。

三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。

（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列数列是数学中一个重要的概念，它由一系列的数字按照一定的规律排列而成。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念及性质。

一、等差数列等差数列又称为等差数数列，是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以为正、负或零。

2. 首项和末项：等差数列的第一项为a1，最后一项为an。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以根据首项和公差来求得。

4. 求和公式：等差数列的前n项和可由求和公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。

5. 递推公式：等差数列可以使用递推公式来逐项计算，即an = an-1 + d。

二、等比数列等比数列又称为等比数数列，是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项之比称为公比，常用字母r表示。

公比可以为正、负或零。

2. 首项和末项：等比数列的第一项为a1，最后一项为an。

3. 通项公式：等比数列的通项公式可以根据首项和公比来求得。

4. 求和公式：等比数列的前n项和可由求和公式来计算：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示前n项和。

5. 递推公式：等比数列可以使用递推公式来逐项计算，即an = an-1 * r。

综上所述，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

它们分别由相邻项之差或相邻项之比保持恒定而成。

对于等差数列，可以通过公差、首项和末项来确定数列；而等比数列则可以通过公比、首项和末项来确定数列。

此外，两种数列都可以使用通项公式、求和公式和递推公式来计算其特定项和总和。

等比数列等差数列知识点归纳总结

等比数列等差数列知识点归纳总结等比数列和等差数列是数学中常见且重要的概念之一。

在解决各种数学问题和应用中，它们都有着广泛的应用。

本文将对等比数列和等差数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这两个数列的特点和应用。

一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差保持恒定。

具体来说，对于一个等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d其中，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等差数列的常用术语包括首项、公差、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等差数列的第一项称为首项。

2. 公差（d）：等差数列中相邻两项的差称为公差。

公差可以是正数、负数或零。

3. 通项公式：等差数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。

在通项公式中，n表示项数。

4. 项数：等差数列包含的项的个数称为项数。

等差数列的主要特点是任意两项之差相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。

一些常见的应用包括求和公式、平均数问题、等差数列的图像和几何问题等。

二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比保持恒定。

具体来说，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，它的通项公式可以表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

等比数列的常用术语包括首项、公比、通项公式和项数等。

1. 首项（a₁）：等比数列的第一项称为首项。

2. 公比（r）：等比数列中相邻两项的比称为公比。

公比可以是正数、负数或零，但不能为1。

3. 通项公式：等比数列的第n项通项公式可以用来求出数列中任意一项的值。

在通项公式中，n表示项数。

4. 项数：等比数列包含的项的个数称为项数。

等比数列的主要特点是任意两项之比相等，这使得我们可以根据已知的条件，快速求解未知项的值。

一些常见的应用包括求和公式、计算几何问题和金融领域的应用等。

数列中的等差与等比关系分析

数列中的等差与等比关系分析数列是数学中常见的概念，它由一系列按照特定规律排列的数字组成。

在数列中，等差与等比关系是两种常见的数学关系。

本文将对数列中的等差与等比关系进行分析。

一、等差数列的特点与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。

等差数列的特点是每一项与前一项之间的差值相等。

等差数列在实际生活中有广泛的应用。

例如，我们常见的等差数列应用之一是时间的计算。

当我们知道某个事件的开始时间和结束时间，并且知道这段时间内每天的工作时间是固定的，就可以利用等差数列来计算出每天的工作时间和总工作时间。

这在工作日程的安排和时间管理中非常有用。

二、等比数列的特点与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。

等比数列的特点是每一项与前一项之间的比值相等。

等比数列在实际生活中也有广泛的应用。

例如，金融领域中的复利计算就是基于等比数列的原理。

当我们将一笔钱存入银行，并按照一定的利率计算复利时，每一年的利息与上一年的利息之间的比值是相等的。

这种等比数列的应用使得我们能够更好地理解和计算复利的增长过程。

三、等差与等比关系的联系与区别等差与等比关系都是数列中常见的数学关系，它们之间有一定的联系与区别。

首先，等差关系是等差数列的特点，而等比关系是等比数列的特点。

等差数列中相邻两项之差保持不变，而等比数列中相邻两项之比保持不变。

其次，等差与等比关系都可以用于实际生活中的问题求解。

等差数列可以用于时间的计算和工作日程的安排，等比数列可以用于复利的计算和理财规划。

最后，等差与等比关系在数学中有广泛的应用。

它们不仅是数列的基本概念，还与数学中的其他概念有着密切的联系。

例如，等差数列与线性函数的关系，等比数列与指数函数的关系等等。

综上所述，等差与等比关系是数列中常见的数学关系。

它们在实际生活中有广泛的应用，并且与数学中的其他概念有着密切的联系。

高中数学：等比数列六大判定方法，你掌握了几个？

⾼中数学：等⽐数列六⼤判定⽅法，你掌握了⼏个？⽂章来源：⾼考数学⼀、定义法根据等⽐数列的定义，判断或是⼀个与⽆关的常数．例1　如果是等差数列，则数列（为常数，且）⼀定是等⽐数列；如果是等⽐数列，且，则数列（为常数，，且）⼀定是等差数列，你能证明吗？证明：若为等差数列，则有，并且（为常数），（常数），故数列为等⽐数列．同理，为等⽐数列，且时，，（常数），，数列是公差为的等差数列．⼆、等⽐中项法对于各项均不为零的数列，若对于任意⼤于1的正整数都有，则可判定数列为等⽐数列．例2　已知，其中依次成等差数列，且公差不为零，判断是否成等⽐数列？解：设等差数列的公差为，则，，，代⼊，可得．，．⼜，故成等⽐数列．三、通项公式法为等⽐数列．例3　已知是各项均为正数的等差数列，，，成等差数列，⼜，．判断是否为等⽐数列？解：成等差数列，，即．⼜设等差数列的公差为，则，即．当时，是⼀个各项均为正数的常数列，是等⽐数列；当时，，，．故是⾸项为，公⽐为的等⽐数列．四、递推公式法例4　根据如图所⽰的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式．问：这个数列是等⽐数列吗？分析：先求出前5项值，然后通过递推性质确定其通项公式．解：若将打印出来的数依次记为（即），，，．由图可知，，，，．于是可得递推公式由于，因此这个数列是等⽐数列，其通项公式是．五、前项和公式法在数列中，前项和为，若，则为等⽐数列．例5　已知数列的前项和为（是不为0的实数），则（）Ａ．⼀定是等⽐数列Ｂ．⼀定是等差数列Ｃ．是等差数列或是等⽐数列Ｄ．既不可能是等差数列，也不可能是等⽐数列解：当时，的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等⽐数列；当时，由知，是等⽐数列，但不是等差数列，故先Ｃ．六、反例法若判断⼀个数列不是等⽐数列，则反例法显得更简单．例6　设，是公⽐不相等的两个等⽐数列，，证明数列不是等⽐数列．解：设，的公⽐分别为．为证不是等⽐数列只需证．事实上，，．由于，，⼜不为零，因此，故不是等⽐数列．注意：有些试题常常需要由⼀个特别说明⼀个命题是错误的，但应当注意⼀个特例不能说明命题是正确的。