高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理目标导引素材新人教A版4-1!
课件2：三 圆的切线的性质及判定定理
能力提升
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一点， ⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D的公共点，连接DF， 则DE＝DF. ∵OA与⊙D相切于点E， ∴DE⊥OA. 又∵OD平分∠AOB. ∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切． 分析：因为要证的是OB是⊙D的切线，所以不知道OB与 ⊙D是否有公共点，不能连接，只能过D作OB的垂线．
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.
∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径． ∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， ∴∠B＝∠C，OB＝OC. 又∵∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△ODB≌△OEC， ∴OE＝OD， 即OE是⊙O的半径， 即圆心O到直线AC的距离等于半径． ∴AC与⊙O相切．
【正解】连接DE，过D作DF⊥OB于F， ∵OA切⊙D于E，∴DE⊥OA， ∵OD平分∠AOB，DF⊥OB， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 【疑难点辨析】圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线.根 据切线的定义,一定要明确切线的位置,再去证明.证明直线是 圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直线 上一点,这是不对的．
图形语言
作用
证明直线与圆相切
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D， EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC＝ED.
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直径， ∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB， ∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∴∠ECD＝∠B. 又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)． ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED. 方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD. ∴OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA. ∵EM⊥AB，∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A. ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理课堂探究新人教A版选修4-1
三圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。
课件1：三 圆的切线的性质及判定定理
典例剖析
【例 1】下列说法正确的是( D )
A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆不相切，则它与圆相交 C．若直线与圆有公共点，则它和圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则公共点是切点
变式 1 已知下列五个命题： A．过半径外端点的直线是圆的切线 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．经过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线 D．过直径的端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线 E．和圆有唯一交点的直线是圆的切线 其中正确的命题是__________．
思考探究1 垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？ 提示：这种说法错误．根据圆的切线的判断定理，主要考查 两个条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径， 这两个条件缺一不可．故此说法错误．
思考探究2 经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的 切线对吗？为什么？ 提示： 这种说法正确．因为直径有两个端点，且都为半径的 外端，因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
(1)求证：直线 ED 是⊙O 的切线； (2)连接 EO 交 AD 于点 F，求证：EF＝2FO.
(1)证明 连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形，AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90° ∴∠EDA＝45°，∠ODA＝45° ∴∠ODE＝∠EDA＋∠ODA＝90°. ∴直线 ED 是⊙O 的切线．
3．圆的切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清题设和结论，题设是：一条直 线 l 满足两个条件：(1)经过半径 OA 的外端点 A；(2)垂直于这 条半径 OA.结论是： 这条直线 l 是圆的切线．即直线 l⊥OA 于 A，则 l 为⊙O 的切线． 如图：①是切线，②，③不是切线．
4．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及数 值计算或距离问题，常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系常选用 (3).
4—1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理“十市联赛”一等奖
怎样辅导学习“切线的判定和性质”定理切线的判定和性质是《圆》一章中的重点内容．我在家庭辅导时，首先让学生弄清切线的判定和性质的区别，掌握切线的3种主要判定方法和5条主要性质．然后通过几个精选的例子来运用上面的知识．最后出示一组练习以检查学生是否真正掌握了主要知识．1．弄清主要内容切线的判定是用来判定一条直线是圆的切线，主要方法有：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质主要有5个：(1)切线和圆有唯一公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．在运用切线的判定和性质时，关键是让学生分清它们的题设和结论，知道什么情况下用判定，什么情况下用性质．如果已经知道直线过圆上某一点，辅助线是作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点不确定，辅助线是过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．当已知一直线是圆的切线时，作出过切线的半径，则半径垂直切线．2．例题精讲【例1】如图1，CO⊥AO且交⊙O于B，又E为⊙O上一点，AE交CO 于D，且CE＝CD．求证：CE是⊙O的切线．分析由于直线CE和⊙O有公共点E,为此连结OE，证OE⊥CE；在△ECD中，CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE；在△AOE中,OE=OA，∴∠OEA= ∠A，∴∠OEA＋∠CED=∠A＋∠CDE=∠A+ ∠ODA=90°，于是OE⊥CE，CE 是⊙O的切线．[证明](略)【例2】如图2，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A= 90°，BC是⊙O 的直径，BC＝CD＋AB．求证：AD是⊙O的切线．从而促使我们联想到作辅助线OE⊥AD于E．[证明](略)【例3】已知ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD切⊙O于E．求证：BC和⊙O相切．分析过O作OF⊥BC,垂足为F,连结OE；则有∠AEO=∠CFO=90°，又∠1=∠2，OA=OC，所以Rt△AOE≌Rt△COF，则可得OF＝OE，于是⊙O与BC相切．[证明](略)3．巩固练习1．如图4，AB为⊙O的直径，AE⊥CE于E，BC的延长线交AE的延长线于F，若CE是切线，且AF＝BF，求∠A的度数．2．如图5，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，AB⊥OP于D，若∠PAC=∠CAD，求证：PA为⊙O的切线．3．如图6，AB是⊙O的直径，且AB=6，DE切⊙O于D，DE⊥BC，垂足为E，如果∠ABC＝120°，求四边形ABED的面积．。
2019-2020学年度高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定成长学案
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定成长学案______年______月______日____________________部门主动成长夯基达标1.若直线与圆的公共点的个数不少于1个,则直线与圆的位置关系是(A.相交B.相切C.相离D.以上都不对思路解析:依据直线和圆三种位置关系的定义,结合条件“直线与圆的公共点的个数不少于1个”,应该确定直线与圆的位置关系是相交或相切答案:D2.⊙O 内最长的弦长为m,直线l 与⊙O 相离且与O 的距离为d,则d 与m 的关系是(A.d =mB.d >mC.D. 2m>d 2m <d 思路解析:因为圆的最长弦为直径,所以此圆的半径为.又因为直线l 与⊙O 相离,所以2m 2m>d 答案:C3.已知直线AB 经过⊙O 上的一点C,并且OA =OB,CA =CB.求证:直线AB 是⊙O 的切线.图2-3-6思路分析:由于直线AB经过⊙O上一点C,所以连结OC,只要证明OC⊥AB即可证明:如上图,连结∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线又∵点C在⊙O上∴AB是⊙O的切线.4.已知l1、l2分别切⊙O于点A、B,且l1∥l2,连结AB,如图2-3-7所示.求证:AB是⊙O的直径.图2-3-7思路分析:过A、O作直线OA,再证OA过点B.不能先连结AB,因为没有相关的定理可运用证明:过O、A两点作直线∵l1切⊙O于点∵l2切⊙O于点∴OA过切点B（经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）∴AB为⊙O的直径.5.如图2-3-8所示,D是⊙O的直径AB延长线上一点,PD是⊙O的切线,P是切点,∠D =30°.求证:PA =PD.图2-3-8思路分析:欲证PA =PD,只要证∠A =∠D =30°即可证明:连结OP,∵PD是⊙O的切线,P为切点又∴∠A =∠D.∴PA =PD.6.如图2-3-9,已知直角梯形ABCD中,∠A =∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.求证:以AB为直径的圆与DC相切.图2-3-9思路分析:要证以AB为直径的圆与直线DC相切,只要证AB中点(圆心)到直线DC距离等于半径(AB的一半),先证E为AB中点,再证E1到DC距离等于2证明:过E作EF⊥DC,垂足为∵ED平分同理即E为AB中点1又AB2∴以AB为直径的圆与DC相切.7.如图2-3-10,在△OAB中,若OA =OB =2a,⊙O的半径r =a.问:AB与⊙O相切、相交、相离时,∠AOB的取值范围如何?图2-3-10思路分析:先作出O 到AB 的距离OC,根据AB 与⊙O 的不同位置关系确定OC 的取值范围,从而再确定∠AOB 的取值范围解:过O 作OC⊥AB,垂足为(1)当AB 与⊙O 相切时,OC =r =a,此时OA OC 21又∵OA =OB,∴OC 平分(2)当AB 与⊙O 相交时,OC <r =a,此时21(3)当AB 与⊙O 相离时,OC >r,此时21 ∴0°<∠AOC <60°.∴0°<∠AOB<120°.8.如图2-3-11,△ABC 中,AD 为BC 边上的高,且AD = BC,E 、F 分别是AB 、AC 的中点,以EF 为直径作⊙O.求证:⊙O 与BC 相切.21图2-3-11思路分析:此题属于“作垂直证半径”类型,只要证明EF 的中点到BC 的距离等于EF 的一半即可证明:取EF 中点O,作OG⊥BC 于G, 设AD 与EF 交于∵E、F 为AB 、AC 中点∴EF∥.又BC 21BC AD 21∵OG⊥BC,AD⊥BC,且∴四边形OGDH 为矩形∴OG =HD =,即AD 21EF OG 21= ∴⊙O 与BC 相切. 走近高考9.如图2-3-12,已知菱形ABCD 中,∠BAD =60°,对角线AC 与BD 交于O,边长AB=16,以O 为圆心,半径为多少时,所作的圆才能与菱形的四边都相切?图2-3-12思路分析:本题实际上是求菱形内切圆的半径,根据条件容易确定答案解:在菱形ABCD 中∵∠BAD =60°, ∴△ABD 为正三角形又∵AB =BD =16,AC⊥BD,且平分38=AO过O 作OE⊥AD,垂足为E,由AD·EO=OA·OD,∴,即以O 为圆心,为半径所作的圆与菱形各边都相切.34=OE 3410.如图2-3-13,AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,∠POC =∠PCE.图2-3-13(1)求证:PC 是⊙O 的切线(2)若OE∶EA =1∶2,PA =6,求⊙O 的半径(3)在(2)的条件下,求sin∠PCA 的值. 思路分析:(1)要证切线PC,仍是先证(2)要求半径,可以求OA,先求OE,这可以在Rt△PCO 中,利用∠POC=∠PCE,列出有关方程求解.(3)求sin∠PCA,先求ACAE(1)证明:在△OCP 和△CEP 中∴∠OCP =90°.∴PC 为⊙O 的切线(2)解:设OE=x,则即=,解得x =1.633+x x xx3(3)解又而22EA CE AC +=32而AC AE 32233即sin∠PCA =.33 11.如图2-3-14,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC=120°,⊙O 的半径为图2-3-14(1)求弦AC 、AB 的长(2)若P 为CB 延长线上的一点,试确定P 点的位置,使得PA 与⊙O 相切,并证明你的结论.思路分析:(1)要求AC,可在△AOC 中求解,求AB,可在△AOB 中求解(2)要确定P 的位置,只需求PB,可在△APB 中求解,过P 作PE⊥AB,则将斜三角形分解为直角三角形解:(1)过O 作OD⊥AC 于∵∠ABC=120°,则 又在Rt△AOD 中,cos∠OAD =,又OAAD233在△AOB 中2=AB(2)过P 作PE⊥AB 于E,设∵∠ABP =180°- 在Rt△BPE 中22BE BP -a 3∵PA切⊙O于在Rt△PAE中a3又2∴,解得23=+aa226-=a∴PB =2a =-.62。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理预习导学案新人教A版选修4-1
三圆的切线的性质及判定定理
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1．切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
相切于点A，则OA⊥l
证明两条直线垂直
2
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
证明点在直线上
3
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
相切于点A，过点A作直线
证明点在直线上
由性质定理及其两个推论的条件和结论间的关系，如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．(1)垂直于切线；(2)过切点；
(3)过圆心．于是在利用切线的性质时，过切点的半径是常作的辅助线．
4．切线的判定定理
证明直线与圆相切
要分清定理的题设和结论，
和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图①，②中的例子就不能同时满足这两个条件，所以都不是圆的切线．
思考判定切线的方法有哪些？
提示：判定切线通常有三种方法：(1)定义法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)距离法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)定理法：过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．
“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化．在使用时，要根据题目的具体要求选取合适的方法：若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这条直线与此半径垂直，即用定理法；若不能确定已知要证的切线与圆有公共点，则需先向这条直线作垂线，再证此垂线段是圆的半径，即用距离法证明；通常不用定义法证明．。
4—1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理说课一等奖
切线的判定和性质—教学设计示例-02教学目标：知识：深刻理解切线的性质定理及推论的内涵。
能力：通过对圆的切线位置关系的观察，强化归纳与推理的能力。
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2。
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理。
教学过程：基本性质观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）归纳：（引导学生完成）切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）切线和圆心的距离等于圆的半径。
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径，引导学生应用“反证法”证明，分三步：假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径，则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT 和⊙O相交与题设相矛盾，承认所要的结论AT⊥AO。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直。
引导学生发现：推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心。
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：垂直于切线、过切点和过圆心。
归纳切线的性质切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
（推论2）应用举例，强化训练．例题：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。
求证：AC平分∠DAB。
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么。
证明：连结OC，CD是⊙O的切线OC⊥CD，AD⊥CDOC∥AD∠1=∠2∠2=∠3，OC=OA∠1=∠3，∴AC平分∠DAB。
小结知识：切线的性质：切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学案 新人教A版选修41
第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学三点剖析一、切线的性质【例1】 如图2-3-1,两圆为以O 为圆心的同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是AB 的中点.图2-3-1证明：连结OA 、OC 、OB,∵OA=OB,∴△OAB 是等腰三角形.又∵AC 是小圆切线,C 是切点,∴OC⊥AB,即OC 是等腰三角形底边上的高.∴OC 是AB 边上的中线.∴C 是AB 的中点.温馨提示连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例2】 如图2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC 是⊙O 的切线.图2-3-4证明：连结OC 、BC,∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形.∵BD=OB,∴BD=BC.∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD, ∴∠BCD＝21∠OBC=30°. ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC 是⊙O 的切线.三、切线的性质与判定的综合运用【例3】 如图2-3-6,直角梯形ABCD 中,以CD 为直径的圆恰好与腰AB 相切.求证:以AB 为直径的圆也与腰CD 相切.图2-3-6思路分析：取CD 、AB 中点O 1、O 2,则O 1、O 2分别是两圆圆心,只需证O 2到CD 距离等于O 2A 或O 2B 即可.证明:连结O 1O 2,作O 2E⊥O 1D 于E,DF⊥O 1O 2于F.∵O 1C=O 1D,O 2B=O 2A,∴O 1O 2∥AD∥BC.∴AB⊥O 1O 2.∴DF=AO 2.∵AB 与⊙O 1相切,∴O 1O 2=O 1D.∴△O 1O 2E≌△O 1DF.∴O 2E=DF.∴O 2E=O 2A.∴⊙O 2与CD 相切于E 点.各个击破类题演练1如图2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB 和AC 分别和小圆相切于点D 和E.求证:DE 21BC.图2-3-2证明:连结OD 、OE,∵AB 切小圆于D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE 21BC.变式提升1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图2-3-3答案:已知:如图l 1、l 2分别切⊙O 于A 、B,l 1∥l 2,求证:O 在AB 上.证明:连结OA,并延长交l 2于B′,∵l 1切⊙O 于点A ,∴OA⊥l 1.又∵l 1∥l 2,∴OA⊥l 2,即OB′⊥l 2.∴B为l2与⊙O的切点.∴OB⊥l2.但过O只有一条直线与l2垂直.∴B′与B重合.即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.类题演练2如图2-3-5,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径,作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE.求证:DE是⊙O的切线.图2-3-5证明:连结OD、BD.∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E是BC中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵O B=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°.∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O的切线.类题演练3如图2-3-7,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.求证:OB与⊙D相切.图2-3-7证明:连结DE,过D作DF⊥OB,垂足为F.OB与⊙D相切于点F.。
人教版2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案新人教A版选修4_1
三圆的切线的性质及判定定理[学习目标]1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.[知识链接]1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.提示(3)(4)正确.[预习导引]1.切线的性质定理2.3.4.要点一切线的性质例1 如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长.(1)证明如图所示，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)解∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB .∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.规律方法 1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD 、AC 与AB 之间关系的. 2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.跟踪演练1 如图所示，∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12，求⊙O 的半径. 解 连接OE .∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ，∴OE BC ＝AO AB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13，∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.要点二 圆的切线的判定例2 已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，过点A 作AD ∥OC ，交⊙O 于点D .求证：DC 是⊙O 的切线.证明 如图，连接OD ，设∠OAD ＝∠1，∠ODA ＝∠2，∠BOC ＝∠3，∠COD ＝∠4.∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线.规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.跟踪演练2 如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切线.证明连接OD和AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵AO＝BO，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.要点三圆的切线的判定与性质定理的综合应用例3 如图所示，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE ＝AB ，连接ED .(1)求证：直线ED 是⊙O 的切线. (2)连接EO 交AD 于点F ，求证：EF ＝2FO . 证明 (1)如图所示，连接OD .∵四边形ABCD 为正方形，AE ＝AB ， ∴AE ＝AB ＝AD ，∠EAD ＝∠DAB ＝90°. ∴∠EDA ＝45°，又∠ODA ＝45°. ∴∠ODE ＝∠ADE ＋∠ODA ＝90°. ∴直线ED 是⊙O 的切线. (2)如图所示，作OM ⊥AB 于M .∵O 为正方形ABCD 的中心，∴M 为AB 的中点. ∴AE ＝AB ＝2AM ，又AF ∥OM ，∴EF FO ＝AE AM＝2，∴EF ＝2FO .规律方法 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.跟踪演练3 已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC ＝BC ，AC ＝12OB .(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长. (1)证明 如图，连接OA ，∵OC ＝BC ，AC ＝12OB ，∴OC ＝BC ＝CA ＝OA ，∴△ACO 为正三角形，∴∠O ＝60°，∴∠B ＝30°， ∴∠OAB ＝90°，∴AB 为⊙O 的切线.(2)解 ∵∠ACD ＝45°，∴Rt △ACE 中，AE ＝EC ，又∵△ACO 为正三角形，∴AE ＝EC ＝22AC ＝2， 又∵CD ＝12∠AOC ＝30°，在Rt △AED 中，DE ＝3AE ＝6，∴CD ＝CE ＋DE ＝2＋6.1.圆的切线的判定方法有(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线. 2.圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线. (2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.1.(2016·石家庄模拟)如图所示，直线l与⊙O相切于点A，B是l上任一点(与点A不重合)，则△OAB是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析∵l与⊙O相切，∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形.答案 C2.已知AB是⊙O的切线，下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )A.AB与⊙O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直线D.AB与⊙O相切于点C，CD过圆心O解析由图①②③可知，根据选项A，B，C中的条件都不能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图④).答案 D3.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D＝46°，则∠A＝________.解析 如图②所示，连接OB ，OC ，则OB ⊥BD ，OC ⊥CD ，故∠DBO ＋∠DCO ＝90°＋90°＝180°，则四边形OBDC 内接于一个圆.则有∠BOC ＝180°－∠D ＝180°－46°＝134°，所以∠A ＝12∠BOC ＝12×134°＝67°.答案 67°一、基础达标1.下列说法中正确的个数是( )①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB 是小圆的切线，则切点是AB 的中点. A.2B.3C.4D.5解析 由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径. 答案 B2.如图所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E ，F ，G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )A.120°B.90°C.60°D.30°解析 如图所示，连接OE ，OF .∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ， ∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°. ∴∠EOF ＋∠ABC ＝180°. ∴∠EOF ＝120°.∴∠EPF ＝12∠EOF ＝60°.答案 C3.如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24解析 连接BD ，作OE ⊥AC 于E . ∵BC 切⊙O 于B ，∴AB ⊥BC ， ∵AB 为直径，∴BD ⊥AC ， ∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∠A ＝45°，设⊙O 的半径为R ， ∴OC ＝BC2＋OB2＝4R2＋R2＝5R .OE ＝22R ，∴sin ∠ACO ＝OE OC ＝22R 5R ＝1010. 答案 A4.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，⊙O1和⊙O 2分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则|O 1O 2|＝________.解析 设⊙O 1和⊙O 2的半径均为r ，则S △ABC ＝12·AB ·BC ＝12·r ·(AB ＋BC ＋AC ). ∴12×5×12＝12×r ×(5＋12＋52＋122).∴r ＝2. ∴|O 1O 2|＝（5－4）2＋（12－4）2＝65.答案 655.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝________.解析 过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △ABC 中，AB ＝AC2＋BC2＝5，∴CD ·AB ＝AC ·BC ，∴CD ＝AC·BC AB＝2.4 cm ， ∵AB 与圆相切，∴r ＝CD ＝2.4 cm.答案 2.4 cm6.如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°， 在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .二、能力提升7.如图所示，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A.2B.1C.1.5D.0.5解析 连接OD ，∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AD ，又∵BC ⊥AD ，∴OD ∥BC ，∴△DOA ∽△CBA ，∴BC OD ＝BA OA ，∴BC ＝2×24＝1. 答案 B8.如图所示，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于B ，DC 的延长线交AB 于A ，∠A ＝20°，则∠DBE ＝________.解析 连接OB ，则OB ⊥AB ，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝70°，∴∠BOD ＝180°－∠AOB ＝110°，又∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝12(180°－∠BOD ) ＝35°，∴∠DBE ＝90°－∠OBD ＝55°.答案 55°9.如图所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________.解析 如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°.∴OB ＝OD ＝12AO .∴AO OB ＝21. 答案 2∶110.如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线.证明 连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径.∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝60°.在Rt △EMB 中，∵∠E ＋∠MBE ＝90°，∴∠E ＝30°.∵∠E ＝∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴∠ECF ＋∠OCB ＝90°，又∵∠ECF ＋∠OCB ＋∠OCF ＝180°，∴∠OCF ＝90°，∴CF 为⊙O 的切线.11.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，∠POC ＝∠PCE .(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 半径.(1)证明 在△OCP 与△CEP 中，∵∠POC ＝∠PCE ，∠OPC ＝∠CPE ，∴∠OCP ＝∠CEP .∵CD ⊥AB ，∴∠CEP ＝90°，∴∠OCP ＝90°.又C 点在圆上，∴PC 是⊙O 的切线.(2)解 设OE ＝x ，则EA ＝2x ，OC ＝OA ＝3x .∵∠COE ＝∠AOC ，∠OEC ＝∠OCP ＝90°，∴△OCE ∽△OPC ，∴OC OE ＝OP OC.即(3x )2＝x (3x ＋6)，∴x ＝1，∴OA ＝3x ＝3，即圆的半径为3.三、探究与创新12.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG .证明：A ，B ，G ，F 四点共圆. 证明 (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.因为CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG ＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.。
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三圆的切线的性质及判定定理
一览众山小
学习目标
1.理解切线的性质定理与判定定理，并能应用它们证明有关问题.
2.掌握切线的判定的三种方法，并能灵活应用这三种方法判定直线与圆相切.
3.在利用性质与判定定理解题的过程中，体会数学中的转化思想.
学法指导
对于直线和圆的三种位置关系的判定，一种是根据公共点的个数来判定，另一种是根据d与r的关系来判定.对直线和圆三种位置关系定义的理解，特别是“相切”的定义，要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同.着重理解为什么要以圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来区分、理解三种位置关系.熟练掌握圆的切线的判定定理和性质定理及两个推论，并能应用它们进行证明、计算.正确区分切线的判定定理和性质定理的条件和结论.
诱学导入
材料：在⊙O中，如果经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，那么圆心O与直线l的距离等于半径r，也就是直线l一定是⊙O的切线.
问题：一条直线在满足什么条件时才是圆的切线呢?
导入：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.
1。