最新浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测)专题2.2函数的定义域和值域(讲)及解析
高考数学一轮总复习 2.2 函数的单调性与最值课件(含高考真题)文 新人教版
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.2 函数定义域、值域(讲)
专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。
高考数学2.2函数的定义域与值域()5
第二节 函数的定义域与值域（最值）考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域 知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法. 需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示题型13 函数定义域的求解 思路提示对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.函数ln 1x y +=的定义域为（ ）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]变式1函数()1y x=-的定义域为（）A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]变式2求函数()2f x=的定义域.三、抽象函数定义域已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.评注 定义域是对自变量而言的，如()2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2x 的范围.变式1 已知函数()2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域．变式2设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--三、实际问题中函数定义域的求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域题型14函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.变式1 若函数()2143f x ax ax =++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（） A.{}a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C.34a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.304a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式2 函数()2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.变式3若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围.题型15 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种(1)观察法:根据最基本函数值域（如2x ≥0,0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+换元将原函数转化为二次型函数.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx ax++2或fex d c bx a y x x ++++=22的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一 观察法 例 2.14 求函数1+=x y 的值域.变式1 函数)(122R x y x x ∈+=的值域是 .变式2 函数)(1||||R x x x y ∈+=的值域是 .二 配方法例 2.15 求函数xx y 245-+=的值域..变式1 求函数)1(11)(x x x f --=的值域.变式2 求x x x f -++=53)(的值域.变式3 设函数)0()(2<++=a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）.A -2B -4C -8D 不能确定三 图像法（数形结合）例 2.16 求函数y =.评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.变式2 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）.A 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B []1,0-C ⎡⎤⎣⎦D ⎡⎤⎣⎦变式3函数()f x=的值域是（）.A6655⎡⎢⎣⎦B6355⎡⎢⎣⎦C6,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D62,5⎡-+-⎢⎣⎦四基本不等式法例2.17已知x>2,求函数245()24x xf xx-+=-的值域.变式1 求函数11y xx=++的值域.五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f xx的值域.变式1：求函数x x y -+=2的值域.变式2：求函数22x x y -+=的值域.六、分离常数法【例2.19】求212++=x x e e y 的值域.变式1：求函数153--x x y 的值域.变式2：求函数66522-++-=x x x x y 的值域.七、判别式法【例2.20】求函数2211x x y x x -+=++的值域.变式1：已知函数1)(2++=x bax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.变式2：已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.【例2.21】求函数11++-=x x y 的值域.变式1：求函数11--+=x x y 的值域.变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.【例2.22】求函数)(2222R x x x y ∈+=的值域.变式1：已知函数])1,0[(22∈+=x e e y xx，求函数的值域.变式2：已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D【例2.23】已知π<<x 0，求函数xxy sin cos 2-=的值域.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数xxy cos 2sin 1--=的值域.十、导数法【例2.24】求函数])3,3[(12)(3-∈-=x x x x f 的值域.评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数cx bx x y ++=23在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.最有效训练题5（限时45分钟）1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）a x y A +=2. 1.2+=ax y B 1.2++=x ax y C 1.2++=ax x y D 2.若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )43,0.[D3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-4.函数x y 416-=的值域是（ ）),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D5.设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=))(()())((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）),1(]0,49.[+∞-A ),0.[+∞B ),49.[+∞-C ),2(]0,49.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 221l o g *)23(l o g )(-=的值域为（ ）)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D （7）函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.（8）函数],0[,2sin 1cos π∈--=x x x y 的值域为________________.（9）若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. （10）已知函数430(2--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是_________________. （11）求下列函数的定义域. （1）1||212-+-=x x y ；（2）02)45()34lg(-++=x x x y ；（3）x x y cos lg 252+-=；（4）)34(log 25.0x x y -=； （5）xey -=11；（6）229)2lg()(xx x x f --=；（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域.12.求下列函数的值域.（1）)30(1422≤≤+-=x x x y ；（2）xxy 2121+-=； （3）2234x x y -+-=； （4）x x y 212-+=； （5）21x x y -+=；（6）xxy sin 2sin -=；（7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .【。
高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第2讲函数的定义域与值域课件文
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意 义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． (2)已知 f(x)的定义域是[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g(x)]的定义域是 [a，b]，指的是 x∈[a，b]．
2．已知函数 f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝fx＋12＋ fx－12的定义域是__12_，__32___．
[解析] 因为函数 f(x)的定义域是[0，2]，
所以函数 g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量 x 需要满足
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
F(x)＝f(x)＋f（1x）的
[解析] 令 t＝f(x)，则12≤t≤3.
易知函数 g(t)＝t＋1t 在区间12，1上是减函数，在(1，3]上是
增函数．
又因为 g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝130.
可知函数 F(x)＝f(x)＋f（1x）的值域为2，130.
3．已知函数 f( x＋2)＝x＋ 2 x，则函数 f(x)的值域为 _[0_，__＋__∞__)__． [解析] 令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)． 所以 f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． 所以 f(x)＝x2－2x(x≥2)． 所以 f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即 f(x)的值域为[0，＋∞)．
2．已知等腰△ABC 的周长为 10，底边长 y 关于腰长 x 的函 数关系为 y＝10－2x，则函数的定义域为___x_|_52_<_x_<_5_______．
[解析] 由题意知x21>x0－ >0，120x－>20， x，即52<x<5.
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.2 函数的单调性(解析版)
第二讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________． 【答案】见解析【解析】（1）只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且y ＝2－x是减函数，y ＝x 是增函数.选B （2）由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. （3）先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．（4）由题意，得x >0.y ′＝1－1x ＝x －1x.由y ′＝0解得x ＝1.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．（5）21119033y x x '=->∴-<< ，即单调增区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=lnx 为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.对于B ，函数f(x)=(x −1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意． 对于C ，函数f(x)=2−x =(12)x 为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．对于D ，函数y =x 3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C ． 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 【答案】D【解析】函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2＞0，求得-1＜x ＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2在定义域内的减区间为[32,4).故选D ． 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞， 【答案】A【解析】任取120,x x >> 则120,x x -> ()()()()121212120,g x g x x x x x g x g x ->-=->> ，所以函数()| g x x =的单调递增区间是[)0+∞，，故选A.考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 【答案】A【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (b )<f (c )<f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，∴f (a )>f (b )>f (c ).2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【套路总结】(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
专题2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式(预测)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
名师预测1．函数y ＝(13)x 2的值域是( )A ．(0,＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1,＋∞)2．函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．(0,＋∞) B ．[0,＋∞) C ．(1,＋∞)D ．[1,＋∞)3．函数y ＝x x －1－lg 1x 的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}4．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝1－2x5．已知函数f (x )＝a x －1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[1,2],则a 的值为( ) A.22B ．2 C. 2D.136．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， |x |≥1，x ， |x |<1，g (x )是二次函数,若f (g (x ))的值域是[0,＋∞),则g (x )的值域是( )A ．(－∞,－1]∪[1,＋∞)B ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)C ．[0,＋∞)D ．[1,＋∞)7．已知等腰△ABC 周长为10,则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ,则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <58．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A ．(－∞,0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2,＋∞)D ．(0,＋∞)9．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2,2] 10．定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1,已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________．11．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．12．函数f (x )＝x ＋x x －2的定义域是________． 13．设函数f (x )＝12(x ＋|x |),则函数f [f (x )]的值域为________．14．函数y ＝x ＋1＋x －10lg 2－x 的定义域是________．15．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．16．已知函数f (x )的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数f (x ＋2)的定义域为____________,值域为__________．17．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x 2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .18．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a 、b 的值．19．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3,x ∈(－3,a ],其中a 为常数且a >0,令函数f (x )＝g (x )·h (x )． (1)求函数f (x )的表达式,并求其定义域； (2)当a ＝14时,求函数f (x )的值域．20．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．21．设O 为坐标原点,给定一个定点A (4,3),而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动,l (x )表示AB 的长,求函数y ＝xl x的值域．22．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f (x )的值域为[0,＋∞),求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数,求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．23．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值．答案：B13．解析：先去绝对值,当x≥0时,f(x)＝x,故f[f(x)]＝f(x)＝x,当x<0时,f(x)＝0,故f[f(x)]＝f(0)＝0,即f [f (x )]＝⎩⎨⎧xx ≥00x <0,易知其值域为[0,＋∞)．答案：[0,＋∞)(2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ,则t ≥0,x ＝13－t 24,于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ,＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6,显然函数g (t )在[0,＋∞)上是单调递减函数,又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时,t ＋4t 单调递减, F (t )单调递增,F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减,。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件.pptx
x
对5于, 选1 项x C3,同; 样存在如图(2)所示的函数图象,此
2
时可构造函数f(x)=tan ,x满足12 题 意.由以上分析知,此题选择D.
图(1)
图(2)
8
评析 本题考查函数的概念和单调性,以及函数的三种表示方法,考查学生的转化与化归思想、 数形结合思想和推理论证能力.解题的关键在于理解题中的“存在”二字,以及构造函数的方 法,可以写出解析式,也可画出图象.
7
答案 D 由(i)知函数f(x)的定义域为集合S,值域为集合T;由(ii)知f(x)在定义域上单调递增,故选 项A中,函数f(x)=x-1即满足题意;对于选项B,由图(1)知, f(-1)=-8,当-1<x≤3时,必存在单调递增的
8, x 1,
连续函数f(x)满足题意,如:f(x)=
5 2
1 2
x
为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减
函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y= t和t=x+1均为增函数,所以y= 为x 1
增函数,故选A.
3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是 ( )
1
A.f(x)= x2
B.f(x)=x3
ห้องสมุดไป่ตู้
C.f(x)=
1 2
x
D.f(x)=3x
答案 D ∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C, 故选D.
3
4.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第二讲 函数的定义域、值域 (含解析)
第二讲 函数的定义域、值域ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a}.3．y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞).5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等B ．函数y ＝xx －1定义域为x >1 C ．函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1] D ．函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为(－∞，14]题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (－32)，f (0)D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x ，x ∈[2,4]的值域为[6，132].[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为[6，132]． 题组三 考题再现5．(2018·江苏，5分)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为[2，＋∞).[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2.则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)． 6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为2. [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 求函数的定义域——多维探究角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( C )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6](2)(2020·衡中调研卷)函数y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0的定义域为(2，52)∪(52，3).[解析] (1)依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3.即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>02x －5≠0，解得2<x <3且x ≠52，定义域为(2，52)∪(52，3)．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)．[引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？[解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)． [引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0,1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？[解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．名师点拨 ☞函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3](2)(角度1)(2020·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是( B )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1][解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3]．故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1.又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B ．考点二 求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；。
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与值域(讲)(含解析)
知识点 1．函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域 I 内的某个区间 D D I 上的任意两个自变量 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有
，那么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数； （2）减函数：若对于定义域 I 内的某个区间 D D I 上的任意两个自变量 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有
而
在
不具有单调性，故 C 错误；
当
时， 单调递减，且
而
在
单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.
故选：D
考点 2 求函数的单调区间
【典例 4】【2019 届四川省成都市第七中学零诊】函数
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
的单调递增区间是（ ）
得或
，
令
，则
为增函数，
在
上的增区间便是原函数的单调递增区间，
型,用此 种方法,注意自变量 x 的范围.
4.利用三角函数的有界性,如
.
5.利用“分离常数”法:形如 y= ax b 或 cx d
此法.
( a, c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用
6.利用换元法:形如
型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域
原函数的单调递增区间为
，故选 D.
【总结提升】
确定函数的单调区间常见方法：
1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.复合函数法：对于函数
(浙江专版)高考数学一轮复习 专题2.2 函数的单调性与值域(测)-人教版高三全册数学试题
第02节 函数的单调性与值域班级__________ 某某_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届某某省某某中学高三三轮复习系列七】下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：，逐一判断选项中函数奇偶性、单调性，从而可得结果. 详解：函数为偶函数,且在上为增函数，对于选项,函数为偶函数，在上为増函数，符合要求； 对于选项,函数是偶函数，在上为减函数，不符合题意；对于选项,函数为奇函数，不符合题意；对于选项,函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项符合要求，故选A.2.【2018届某某省名校协作体高三上学期考】函数223y x x x =-+( )A. )12,⎡+∞⎣B. 2,)+∞C. )3,⎡+∞⎣D. (1,)+∞【答案】D综上，所求函数的值域为(1,)+∞.选D3．【2018届某某巴彦淖尔市第一中学9月月考】函数()()24f x x x =--的单调减区间是() A. []12， B. []10－， C. []02， D. []23， 【答案】D【解析】函数()()()()()()24224{ ,24? 2x x x f x x x x x x --≥=--=--（）（）＜ 如图所示，∴函数的增区间为2-∞（，） 和3+∞（，） ，减区间是[]23， ．故选D4．【2018届某某省省际名校（某某市）联考（二）】设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. ()1y f x =在R 上为减函数 B. ()y f x =在R 上为增函数C. ()1y f x =-在R 上为增函数 D. ()y f x =-在R 上为减函数 【答案】D【解析】A 错，如3,y x =()1y f x =在R 上无单调性； B. 错，如3,y x =()y f x =在R 上无单调性；C. 错，如()31,y x y f x ==-在R 上无单调性； 故选D.5.【2018届某某某某市4月（一模）】函数的减区间是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】令t=﹣x 2+2x+3＞0，求得﹣1＜x ＜3，故函数的定义域为（﹣1，3），且y=lnt ， 故本题即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=﹣（x ﹣1）2+4在定义域内的减区间为[1，3）， 故选：B ．6．【2018届某某省某某市第二次检测】设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小. 详解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，故选A.7.【某某省2018年普通高校招生（春季）】奇函数的局部图像如图所示，则（ ）A. B. C. D.【答案】A8．【2018届某某、某某部分重点中学冲刺（二）】一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】由得，所以在上都成立，即，，所以函数图象都在的下方.故选D.9．【2018届某某省某某县12月联考】若函数()12x a f x x a a -+=-的定义域与值域相同，则a =（ ）A. -1B. 1C. 0D. 1± 【答案】B【解析】∵函数()12x a f x x a a -+=+-- ∴函数()f x 的定义域为[),a +∞ ∵函数()f x 的定义域与值域相同 ∴函数()f x 的值域为[),a +∞ ∵函数()f x 在[),a +∞上是单调减函数∴当x a =时，()12a a f a a a -+=-=，即1a =故选B10.【2018浙教版高中数学 高三二轮】已知函数f(x)＝222,0{ 2,0x x x x x x +≥-<若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a 的取值X 围是() A. [0，1] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [－1，0] 【答案】C【解析】 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔或即或解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 选C.二、填空题：本大题共7小题，共36分． 11.【2018届某某省榆社中学模拟】若函数在区间上的最大值为6，则_______. 【答案】4【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.12.【2018届某某市联合体学校调研测试】已知函数()12log ,2{23,2x x x f x a a x ≥=-<（其中0a >且1)a ≠的值域为R ，则实数a 的取值X 围为_______【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.【2018届某某省模拟（二）】已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】分析：首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果. 详解：当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为. 点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.14.【2018届市西城区高三期末】已知函数()2,2,{ 1, 3.x x x c f x c x x+-≤≤=<≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值X 围是____． 【答案】 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】若0c =，由二次函数的性质，可得2111,2,,43x x x ⎡⎤⎡⎫+∈-∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，()f x ∴的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2x =-时，22x x +=且12x =-时，214x x +=-，要使()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则20{2 12c c c c>+≤≤，得122c ≤≤，实数c 的取值X 围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．【2018届某某省某某市某某民族大学附属中学高三上期末】()()(),(1){34,1x a x f x a x a x <=-+≥满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值X 围是______．【答案】304a <≤【解析】∵对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x --＜0成立，∴f（x ）在定义域R 上为单调递减函数，∵f （x ）=()(),(1){34,1x a x a x a x <-+≥， ∴当x ＜1时，0＜a ＜1，当x≥1时，a ﹣3＜0，且a≥（a ﹣3）×1+4a，即()01{30 314a a a a a<<-<≥-⨯+，解得，0＜a≤34，∴a 的取值X 围是0＜a≤34， 故答案为：0＜a≤34． 16.【2018届某某省某某师X 大学附属中学三模】已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值X 围为__________． 【答案】.【解析】分析：首先根据，得到函数的图像关于直线对称，再由其在上为增函数，推出其在上是减函数，得到函数随着自变量的变化，函数值的变化趋势，从而利用，得到，化简求值即可得结果. 详解：根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小， 由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在上恒成立，从而有，解得，故答案为.17．【2018届市城六区一模】定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作. ①若，则________；②若，且，则实数的取值X 围是________.【答案】 1【点睛】新定义型题，一是按读懂定义，按定义处理.二是转化为己学过的知识与方法.本题即是函数的最大值减最小值为极差.而第（2）问即函数f(x)在区间在(1,2)上不单调. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）写出函数的单调区间，不需要证明.【答案】(1) .(2) 单调递增区间为，单调递增区间为【解析】分析：（Ⅰ）根据分段函数的性质，求解各段函数的值域，再求并集即可； （Ⅱ）根据复合函数的单调性和二次函数的形式即可求解出的单调区间. 详解：（Ⅰ）当时，当时，（Ⅱ）的单调递增区间为，单调递增区间为19．【2018届某某河西高三上期中江】已知函数()()()221,0{ 1,0x a x f x x b x --≥=--+<，其中a ，b R ∈． （1）当0a <时，且()f x 为奇函数，求()f x 的解析式． （2）当0a >时，且()f x 在()1,1-上单调递减，求b a -的值．【答案】（1）()()()2211,0{ 11,0x x f x x x --≥=--+<；（2）2-． 【解析】试题分析：（1）奇函数中()()()00,f f x f x =-=-，由此可得,a b ；（2）根据二次函数的性质知1,1a b ≥≤-，又由单调性知2211a b -≤-，从而可得,a b . 试题解析：（1）因为()f x 为奇函数，所以()00f =， 即210a -=，结合0a <得1a =-， 所以当0x ≥时，()()211f x x =+-， 所以当0x <时，()()()()2111f x f x x x ⎡⎤=--=--+-=--⎣⎦，所以1b =，综上：()()()2211,0{ 11,0x x f x x x --≥=--+<． （2）因为()f x 在()1,1-上单调递减，则有221{1 11a b a b ≥≤--≤-， 解得1a =，1b =-，所以2b a -=-．20.【2018届某某省某某市长安区大联考（一）】已知定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2）证明：为单调增函数； （3）若，求在上的最值. 【答案】（1）f （1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3． 【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f （x ）满足f （x 1•x 2）=f （x 1）+f （x 2）， 令x 1=x 2=1，则f （1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．21．【2018届某某省某某第二中学高三上学期第一次考试】已知函数在上满足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单调性并证明；（3）若对任意恒成立，某某数的取值X围.【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】试题分析：(1)由题意赋值可得；(2)利用函数的性质结合得到函数的定义可得函数单调递增，(3)由题意结合(1)(2)的结论得到关于实数a的不等式，求解不等式可得.（3） ，在上单调递增， 令，只需即可， 值域为，则.22．【2018届某某省通渭县第二中学高三上学期第一次月考】设定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，且f （1﹣m ）＜f （3m ）．（1）若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是奇函数，某某数m 的取值X 围；（2）若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是偶函数，某某数m 的取值X 围． 【答案】（1）21,34⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ （2）11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由函数()f x 为奇函数可得()f x 在区间[]2,2-上单调递减，将不等式 ()()13f m f m -<转化成212{232 13m m m m-≤-≤-≤≤->进行求解；（2）由题意可得函数()f x 在[]2,0-上递增，在[]0,2上递减，将不等式()()13f m f m -< 转化成212{232 13m m m m-≤-≤-≤≤->进行求解.试题解析：（1）∵函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是奇函数且在区间[0，2]上单调递减，∴函数f （x ）在[﹣2，2]上单调递减，∵()()13f m f m -<∴212{232 13m m m m-≤-≤-≤≤->， 解得2134m -≤<. ∴实数m 的取值X 围21,34⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. （2）∵函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是偶函数且在区间[0，2]上单调递减，∴函数f （x ）在[﹣2，0]上单调递增，∵()()13f m f m -< ∴212{232 13m m m m-≤-≤-≤≤->， 解得1124m -<<. ∴实数m 的取值X 围11,24⎛⎫-⎪⎝⎭. 点睛：若函数()f x 在定义域（或某一区间上）是增函数，则()()1212f x f x x x <⇔<.利用此结论可将“函数”不等式的求解转化为一般不等式的求解，此类问题常与函数的奇偶性结合在一起考查，但无论如何都必须在定义域内或给定的X 围内进行.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第02节 函数的定义域和值域【考纲解读】【知识清单】函数的定义域和值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. 对点练习1：【2017山东枣庄】已知函数()f x 的定义域为[]0,2，的定义域为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3 【答案】A【解析】由题意，得022820xx ≤≤⎧⎨-≥⎩，解得01x ≤≤，故选A ． 对点练习2：设函数33,()2,x x x a f xx x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a=，则()f x的最大值为______________；②若()f x无最大值，则实数a的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.【考点深度剖析】函数的定义域、值域是构成函数的要素，从近几年高考命题看，专门的考题我省尚未有，但在其他省市高考命题中屡有出现.在研究函数图象和性质过程中，要严格遵循“定义域优先”的原则.【重点难点突破】考点一 函数的定义域【1-1】【2016全国Ⅱ卷】)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x【答案】D【解析】函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D.【1-2】【2017山东理1】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】试题分析：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.【1-3】【2017安徽淮北一中最后一卷】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数__________．【答案】(-1,1)【1-4的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（ ）A.04m <<B.04m ≤≤C.04m ≤<D.4m ≥【答案】A【解析】()x f 定义域为R ,即02>++m mx x 恒成立,40042<<⇒<-=∆∴m m m ,故选A. 【领悟技法】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 【触类旁通】） A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1,)+∞ D ．[2,)+∞ 【答案】A【变式二】已知函数(43)f x -的定义域是[1,5]，则函数()21f x +的定义域 【答案】[4,4]-【解析】由题意可知[][][][]21,5431,1711,174,4x x x x ∈∴-∈∴+∈∴∈- 考点二 函数的值域 【2-1】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－1x 2＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋1x －1(x ＞1)；(4)y ＝1x －x 2。
【解析】 (1)解法一：y ＝1－2x2＋1，∵x2＋1≥1，∴0＜1x2＋1≤1，∴－2≤－2x2＋1＜0，∴y ∈[－1,1).解法二：由y ＝x 2－1x 2＋1可得x 2＝－y ＋1y －1，∵x 2≥0，∴y ＋1y －1≤0，∴y ∈[－1,1)。
(2)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22(t ≥0)，所以y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1。
因为t ≥0，所以当t ＝0时，y max ＝12。
故函数y 的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(4)∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴y ∈[2，＋∞).【2-2】【2017，[]x 表示不超过的最大整数，则函数[]()y f x =的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0- 【答案】B 【解析】()1f x =] 0,00] [x f x f x ===当（），（），故数[]()y f x =的值域为{}1,0- 【领悟技法】 函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 2.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【触类旁通】【变式一】【2017广西三市一模】下列函数中，其定义域和值域与函数ln x y e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C.D. 10x y = 【答案】C【变式二】【2017浙江台州模拟】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x≤0，x －1，x>0，g(x)＝2x －1，则f(g(2))＝________，f[g(x)]的值域为________. 【答案】2，[－1，＋∞).【解析】g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2，g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1<g(x)≤0；f[g(x)]＝[g(x)]2－1∈[－1，0)；若g(x)>0；f[g(x)]＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f[g(x)]的值域是[－1，＋∞). 【易错试题常警惕】例1.已知函数1)f x =+，求函数()f x 的解析式.1t =，则2(1)x t =-，22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-，所以函数()f x 的解析式为2()1f x x =-.错解分析：错解中错在忽视了得取值范围.1t =1t =-，2(1)0x t =-≥，所以1t ≥， 所以22()(1)2(1)1(1)f t t t t t =-+-=-≥，所以所求函数的解析式为2()1(1)f x x x =-≥.温馨提示：用换元法时，一定要弄清新元的取值范围.例2.设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(2)(0)f f -=，(1)3f -=-，则关于x 的方程()f x x =的根的个数为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【错解】○1当0x ≤时，2()f x x bx c =++，因为(2)(0)f f -=，(1)3f -=-，所以22(2)(2)(1)3b c c b c ⎧-+-+=⎪⎨--+=-⎪⎩，解得22b c =⎧⎨=-⎩，所以222(0)()2(0)x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩， 当0x ≤时，由()f x x =得，222x x x +-=，解得2x =-或1x =.○2当0x >时，由()f x x =得，2x -. 综上所述，方程()f x x =的根有3个，故选C.错解分析：当0x ≤时，由()f x x =得，222x x x +-=，解得2x =-或1x =. 1x =不符合题意，应舍去. 分段函数应分段求解，但一定要注意各段的限制条件.综上所述，方程()f x x =的根有2个，故选B.温馨提示：求解分段函数函数问题，应分段求解，但一定要注意各段的限制条件. 【学科素养提升之解题技巧篇】分段函数的值域问题分段函数是一个函数，各段自变量范围的并集是分段函数的定义域；各段函数值取值范围的并集是分段函数的值域。
所以解决分段函数的值域问题关注点还应该是组成分段函数的各段函数值的取值范围，根据已知条件寻求解题手段． 【典例】【2015·福建卷】若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(]1,2【解析】因为当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.故a∈(1,2]．。