2018_2019学年九年级数学下册第3章投影与视图本章总结提升导学课件新版湘教版

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问题4 直棱柱、圆锥的侧面展开图
常见的直棱柱、圆锥的侧面展开图分别是怎样的？
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例 4 阅读材料：如图 3－T－4，将一个直角三角形 AOB 绕其一条
直角边 AO 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．圆锥的
底面是以 OB 为半径的一个圆形．圆锥的侧面展开图是一个以点 A
因此，EC≈30－17.3＝12.7(m)． 即甲楼的影子在乙楼上的高度约为 12.7 m.
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(2)如图，当甲楼楼顶的影子刚好落在点 C 处时，△ABC 为等腰三角形， 因此，当太阳光与水平面的夹角为 45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼 的墙上．
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【归纳总结】投影的应用： 投影有平行投影与中心投影，由于平行投影的光线是平行的，因 此它常与平行、相似等知识综合考查．中心投影是从一点发出的光线 所形成的投影，可以构成位似图形．
图 3－T－5
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解：(1)由题意可得，圆锥的底面⊙O 的周长是 20π cm. (2)设剪下的扇形的圆心角是 n°，由题意，得nπ18×030＝20π，解得
n＝120，即剪下的扇形的圆心角的度数是 120°.
(3)由题意可得，圆锥的表面积是π×2202＋120π36×0 302＝400π(cm2)， 即圆锥的表面积是 400π cm2.
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(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与 俯视图“宽相等”．几何体因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮 廓线应画成虚线．
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问题3 由三视图描述几何体
立体图形与三视图、展开图之间有何关系？
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例 3 在平整的地面上有若干个完全相同的小正方体堆成的一 个几何体，如图 3－T－3 所示．
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解：物体形状如图所示．上面小圆柱的底面直径为 4 mm，高为 2 mm， 下面大圆柱的底面直径为 8 mm，高为 8 mm.
物体体积 V＝π×822×8＋π×422×2＝136π(mm3)， 物体表面积 S 表＝8π×8＋4π×2＋2×π×822＝104π(mm2)． 即物体的表面积为 104π mm2，体积为 136π mm3.
第3章 投影与视图
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第3章 投影与视图
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知识框架 整合提升
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知识框架
点光 源
中心投影
物体
光照
（立体图形）
投影
平行光线 平行投影
光
线
想
象
主视图
由前向后看
垂 直 于 投
影
三视图
俯视图
由上向下看
正投影
面
（视图）
左视图
由左向右看
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整合提升
问题1 投影的应用
什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？当平面图形分别平 行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么性质？
(1)请画出这个几何体的三视图； (2)如果此时在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的 小正方体中，有________个正方体只有一个面是黄色，有________ 个正方体只有两个面是黄色，有________个正方体只有三个面还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视 图不变，最多可以再添加几个小正方体？
图 3－T－1
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[解析] (1)如图，通过投影的知识，结合题意构造 Rt△BEF，设 BF＝x m，
解此直角三角形可得 x 的值；由此可得 EC 的长，即甲楼的影子在乙楼上的高度． (2)要使甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，易得△ABC 为等腰三角形，且
AC＝30 m，容易求得当太阳光与水平面夹角为 45°时，甲楼的影子刚好不落在
问题5 三视图在实际生活中的应用
根据三视图求物体的表面积和体积的关键是什么？如何根据 三视图描述几何体？
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例 5 图 3－T－6 是一个物体的三视图，根据设计图纸上标明 的尺寸(单位：mm)计算物体的表面积和体积．
图 3－T－6
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[解析] 由三视图可看出：物体是由上、下两个半径不同的圆柱组 成的，其立体图形如图所示．
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【归纳总结】三视图在实际生活中的应用： 根据设计图纸中三视图及尺寸求零件的表面积和体积，这是三 视图在实际生活中的主要应用，也是日常生产中经常遇到的问 题．解决这类问题的方法是首先由三视图想象出几何体的形状，再 画出其表面展开图，然后根据图中尺寸利用相应公式进行计算．
乙楼的墙上．
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解：(1)如图所示，延长 QB 交 DC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB，交 AB 于点 F，
则 EF＝AC＝30 m. 在 Rt△BEF 中，∵∠FEB＝30°，∴BE＝2BF.设 BF＝x m，则 BE＝2x m.
根据勾股定理，得 BE2＝BF2＋EF2， ∴(2x)2＝x2＋302， ∴x1＝10 3，x2＝－10 3(舍去)， ∴x≈17.3.
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解：如图所示．
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[点评] 画一个物体的三视图，其位置规定：主视图在左上方， 它正下方是俯视图，左视图放在主视图的右边．
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【归纳总结】简单物体的三视图： 画一个几何体的三视图时，要从三个方向观察几何体，具体画法 如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图； (2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
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【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”： (1)分析清楚几何体表面的构成； (2)弄清圆锥与其侧面展开图(扇形)各元素之间的对应关系； (3)圆锥的母线长 l，底面圆的半径 r 和圆锥的高 h 的关系为 l2＝r2＋h2； (4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和．
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解：(1)如图所示：
(2)1 2 3 (3)最多可以再添加 4 个小正方体．
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【归纳总结】由三视图描述几何体： 由三视图想象几何体的形状可从如下途径分析： (1) 根据主、俯、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的 形状以及几何体的长、宽、高． (2)由实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线．
为圆心，斜边 AB 的长为半径的扇形，Rt△AOB 的斜边 AB 称为圆
锥的一条母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．
S ＝S ＋S 圆锥表面
圆锥的侧面
圆锥的底面．
图 3－T－4
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阅读后，请解答下面的问题： 从卡纸上剪下半径是 30 cm(母线长 l＝30 cm)的扇形，做一个 圆锥形纸盒，圆锥的底面⊙O 的直径是 20 cm(如图 3－T－5 所示)． (1)求圆锥的底面⊙O 的周长； (2)求剪下的扇形的圆心角的度数； (3)求圆锥的表面积．
图 3－T－3
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[解析] (2)只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个， 共 1 个；有 2 个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个， 共 2 个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面 那个，第三列最底层那个，共 3 个．
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例 1 图 3－T－1 是住宅区内的两幢楼的示意图，它们的高 AB＝ CD＝30 m，两楼间的距离 AC＝30 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的 影响情况．
(1)当太阳光与水平面的夹角为 30°时，求甲楼的影子在乙楼上有 多高(精确到 0.1 m， 3≈1.73)；
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(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳光与水平面的 夹角为多少度？
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问题2 简单物体的三视图
什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？
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例 2 画出如图 3－T－2 所示的立体图形的三视图．
图 3－T－2
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[解析] 该几何体的主视图是长方形中间挖去一个小长方形，左视图是长方 形(中间带一条虚线)，俯视图是圆(中间有两条实线)．