2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题课件理

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
x2 y2 跟踪训练 4 (2016· 北京)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ， O (0,0) ， △ OAB 的面积为 1. 2
(1)求椭圆C的方程； 解答
及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运
算能力.
跟踪训练 2
x 2 y2 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)与抛物线 y2＝2px(p>0)有相同的
x2 焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆a2＋ y2 2－1 b2＝1(a>b>0)的离心率为____________.
答案 解析
x2 y2 由题意， 得双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)的焦点坐标为( 7， 0)， ( － 7， 0)， 7 7 c c＝ 7且双曲线的离心率为 2× 4 ＝ 2 ＝a⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，
x2 y2 双曲线的方程为 4 － 3 ＝1.
题型分类
深度剖析
题型一 求圆锥曲线的标准方程
高考专题突破五
高考中的圆锥曲线问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析
课时作业
考点自测
1.(2015· 课标全国 Ⅱ) 已知 A ， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， △ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A. 5 B.2 C. 3 D. 2
答案 解析
2.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(－2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆 C 的方程为
答案 解析
x2 y2 A.25＋ 5 ＝1 x2 y2 C.30＋10＝1
x2 y2 B.36＋16＝1 x2 y2 D.45＋25＝1
x y 3.(2017· 太原质量预测)已知 A， B 分别为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右顶 点和上顶点， 直线 y＝kx(k>0)与椭圆交于 C， D 两点， 若四边形 ACBD 的面积的最大值为 2c2，则椭圆的离心率为
答案 解析
题型三 最值、范围问题
2 2 x y 例3 若直线l：y＝ 3x－2 3 过双曲线 a2－b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦 3 3 点，且与双曲线的一条渐近线平行.
(1)求双曲线的方程； 解答
3 b 由题意，可得 c＝2，a＝ 3 ，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得 a＝ 3，b＝1. x2 2 故双曲线的方程为 3 －y ＝1.
几何画板展示
思维升华
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步
骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法
设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、
直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
(1)求圆C1的圆心坐标； 解答
圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4， ∴圆C1的圆心坐标为(3,0).
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； 解答
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(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？ 若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 解答
例1
x2 y 2 已知椭圆 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线
x2 y2 B.36＋27＝1 x2 y2 D.18＋ 9 ＝1
交 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
x2 y2 A.45＋36＝1 x2 y2 C.27＋18＝1
跟踪训练5
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原
点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，
且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.
(1)求C的方程； 解答
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.
证明
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，
请说明理由.
解答
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课时作业
x y 1.(2016· 河北质量监测 ) 已知椭圆 E ： a2 ＋ b2 ＝ 1 的右焦点为 F(c,0) 且 3 a>b>c>0，设短轴的一个端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 2 ，过原 → → 点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C，G 两点，且|GF|＋|CF|＝4.
答案 解析
思维升华
求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、 几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.
x2 y2 跟踪训练1 (2015· 天津)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点 a b 为 F(2,0) ，且双曲线的渐近线与圆 (x － 2)2 ＋ y2 ＝ 3 相切，则双曲线的方
由椭圆方程可得 a＝2，b＝ 3，
从而椭圆的半焦距 c＝ a2－b2＝1.
c 1 所以椭圆的离心率为 e＝a＝2.
1
2
3
4
5
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定 点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
解答
1
2
3
4
5
x2 y2 1 *5.已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2， 且经过 3 点 P(1，2)，过它的左，右焦点 F1，F2 分别作直线 l1 与 l2，l1 交椭圆于 A，B 两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1⊥l2，如图所示.
2
2
(1)求椭圆E的方程； 解答
1
2
3
4
5
(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A，B 且使 →2 → → 得OP ＝4PA· PB成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说 明理由.
解答
1
2
3
4
5
x2 y2 2.已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的焦距为 3 2，其中一条渐近线 的方程为 x－ 2y＝0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记 为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点. (1)求椭圆 E 的方程； 解答
2
2
b c 2 由题意知，b＝ 2，a＝b＝ 2 ，
∴a＝2，c＝1，
x2 y2 y2 2 ∴T1： 4 ＋ 2 ＝1，T2： 2 ＋x ＝1.
(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线 与该曲线相交，交椭圆 T1 所得弦的中点为 M，交椭圆 T2 所得弦的中点 kOM 为 N，求证： k 为与 k 无关的定值； 证明 ON
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(3)若斜率为 2 的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为 椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值.
解答
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题型四 定值、定点问题 例4 (2016· 全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0) 且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； 解答
7 A. 3
5 B.4
4 C.3
5 D.3
3b b 由条件知 y＝－ax 过点(3，－4)，∴ a ＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
5 ∴25a ＝9c ，∴e＝3.故选 D.
2 2
2 x ＝ 2 pt ， (2)(2016· 天津)设抛物线 (t 为参数，p>0)的焦点为 F，准线为 y＝2pt
c 3 1 由已知a＝ 2 ，2ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，
b＝1，c＝ 3.
x2 2 ∴椭圆方程为 4 ＋y ＝1.
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点
N.求证：|AN|· |BM|为定值. 证明
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题型五 探索性问题 例5 (2015· 广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交 于不同的两点A，B.
1
2
3
4
5
→ → → → (2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，PG＝2GO，求|GA|2＋|GB|2 的取值范围.
解答
1
2
3
4
5
x2 y2 3.(2016· 江西质检)椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的上顶点为 B，过点 B 且 互相垂直的动直线 l1，l2 与椭圆的另一个交点分别为 P，Q，若当 l1 的 5 4 斜率为 2 时，点 P 的坐标是(－3，－3). (1)求椭圆 C 的方程； 解答
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.
x y 2＋ 2 ＝1(a>b>0) 跟踪训练3 如图，曲线Γ由两个椭圆T1： a b 2 2 y x 和椭圆T2： 2＋ 2 ＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列 b c 时，称曲线Γ为“猫眼”.
2 (1)若“猫眼曲线”Γ 过点 M(0， － 2)， 且 a， b， c 的公比为 2 ， 求“猫 眼曲线”Γ 的方程； 解答