2018年高考数学(理)命题猜想 专题6函数与方程﹑函数模型及其应用
2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题：导数及其应用1 Word版含解析
专题7 导数及其应用1．曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x －2 B ．y ＝2x ＋e C ．y ＝e x ＋2 D ．y ＝2x －e【答案】D2．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 【解析】如图：f ′(3)、f (3)－f (2)⎝⎛⎭⎪⎫f 3 －f 2 3－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.【答案】C3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A ．75 B.752C ．27 D.272【解析】本题考查导数的求法、导数的几何意义与直线的方程．依题意得y ′＝3x 2，y ′|x ＝1＝3，因此该切线方程是y －12＝3 (x －1)，即3x －y ＋9＝0，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(0,9)，(－3,0)，所求三角形的面积等于12×9×3＝272，故选D.【答案】D4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B .π2＋3 C .π4＋43D .π4＋3【答案】A5．由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为( )A .13B .310C .14D .15【解析】由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝13.选A .【答案】A6．函数f(x)＝12x 2－ln x 的最小值为( )A .12B ．1C ．0D ．不存在【解析】∵f′(x)＝x －1x ＝x 2－1x ，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x ＝1处取得最小值，且f(1)＝12－ln 1＝12.【答案】A7．已知m 是实数，函数f(x)＝x 2(x －m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是 ( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞)D .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(0，＋∞)【答案】C8．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )，F (x )＝f ′ xex，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1【解析】∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －bex，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′ 0 ＝－2，F 0 ＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min ＝0.【答案】C9．函数f (x )＝e x－3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【解析】由题意，知f (0)＝0，且f ′(x )＝e x－3，当x ∈(－∞，ln3)时，f ′(x )<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D. 【答案】D10．已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24 D.e 4【答案】A11．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象的大致形状是( )【解析】由f (x )图象先降再升后趋于平稳知，f ′(x )的函数值先为负，再为正，后为零．故选D. 【答案】D12．曲线y ＝e 2x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2【解析】∵y ′＝12e 2x，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.【答案】D13．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【解析】根据题意，设函数g (x )＝f x x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′ x ·x －2·f xx 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．【答案】D14．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3【答案】A15．函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．【解析】函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝2－1x ≥0，解得x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞16．已知f (x )＝ax ln x ＋1(a ∈R)，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(1)＝2，则a ＝________. 【解析】∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ＝2. 【答案】217．已知函数f (x )＝(λx ＋1)ln x －x ＋1. (1)若λ＝0，求f (x )的最大值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，证明：f xx －1>0. 【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当λ＝0时，f (x )＝ln x －x ＋1.则f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x－1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，f xx －1>0. 当x >1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1>0，∴f x x －1>0. 综上可知，f xx －1>0. 18．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )(a >0)，求函数f (x )的单调区间与极值点．③当Δ＝a 2－8>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实数根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在(0(a ＋a 2－82，＋∞)上是增加的．x 1＝a －a 2－82是函数的极大值点，x 2＝a ＋a 2－82是函数的极小值点．19．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程． (2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f x 2 －f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)(a ∈R)． (1)若a ＝0，判断函数f (x )的单调性；(2)若x >1时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)若a ＝0，f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x . ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．(2)由题意知f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．①若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x >0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，∴f (x )为(1，＋∞)上的增函数，∴f (x )>f (1)＝0，即f (x )<0不成立．∴a ＝0不合题意． ②若a ≠0，∵x >1，∴只需f x x ＝ln x － x －1 ax －a ＋1x <0在(1，＋∞)上恒成立． 记h (x )＝ln x － x －1 ax －a ＋1x，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－ax 2－x －a ＋1x 2＝－ x －1 ax ＋a －1 x 2，x ∈(1，＋∞)． 由h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－aa.若a <0，则x 2＝1－a a<1＝x 1，∴h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )为增函数， ∴h (x )>h (1)＝0，不合题意．若0<a <12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－a a 时，h ′(x )>0，h (x )为增函数，∴h (x )>h (1)＝0，不合题意，若a ≥12，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数，∴h (x )<h (1)＝0，符合题意．综上所述，若x >1时，f (x )<0恒成立，则a ≥12.21．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品市场日供应量p 万千克与市场日需求量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(x ≥16，t ≥0)，q ＝24＋8ln 20x(16≤x ≤24)．当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1 x ≥ae x －1＋ a －2 x x <a .(a >0)(1)若a ＝1，证明：y ＝f (x )在R 上单调递减； (2)当a >1时，讨论f (x )零点的个数．【解析】(1)证明：当x ≥1时，f ′(x )＝1x－1≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0；当x <1时，f ′(x )＝ex －1－1<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，且此时f (x )>0.所以y ＝f (x )在R 上单调递减．①当a >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 又f (0)＝e －1>0，f ⎝⎛⎭⎪⎫12－a <0，所以此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ，0上有一个零点．②当a ＝2时，f (x )＝e x －1，此时f (x )在(－∞，2)上没有零点．③当1<a <2时，令f ′(x 0)＝0，解得x 0＝ln(2－a )＋1<1<a ，所以f (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，a )上单调递增．f (x 0)＝e01x －＋(a －2)x 0＝e01x －(1－x 0)>0，所以此时f (x )没有零点．综上，当1<a ≤2时，f (x )没有零点；当a >2时，f (x )有一个零点． 23．设函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)判断f (x )的单调性；(2)当f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围；(3)证明：当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1ex(1＋x )1x<e.【解析】(1)f ′(x )＝1x－a ，函数f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上是减函数． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数．(2)f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，即a >ln xx在(0，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x2， 当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 故当x ＝e 时，g (x )取得最大值1e，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.24．已知函数f (x )＝(－x 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数． (1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线；(2)若方程f (x )＝13x 3＋12x 2＋m 有3个不同的根，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝(－x 2＋x －1)e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋1)e x＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－2e.又f (1)＝－e ，所以所求切线方程为y ＋e ＝－2e(x －1)，即2e x ＋y －e ＝0.(2)因为f ′(x )＝(－2x ＋1)e x ＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x ，当x <－1或x >0时，f ′(x )<0；当－1<x <0时，f ′(x )>0，所以f (x )＝(－x 2＋x －1)e x 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－3e，在x ＝0处取得极大值f (0)＝－1. 令g (x )＝13x 3＋12x 2＋m ，得g ′(x )＝x 2＋x . 当x <－1或x >0时，g ′(x )>0；当－1<x <0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝16＋m ，在x ＝0处取得极小值g (0)＝m . 因为方程f (x )＝13x 3＋12x 2＋m 有3个不同的根， 即函数f (x )与g (x )的图象有3个不同的交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f －1 <g －1 f 0 >g 0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3e <16＋m －1>m .所以－3e －16<m <－1. 25．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．26．已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围． 【解析】(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x >0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－ x －1 e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－ x －1 e x x ＋2，则g ′(x )＝－x e x x ＋2 － x －1 e x x ＋2 2 ＝－ x 2＋x ＋1 e xx ＋2 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝12，所以a ≥12.27．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ln x －x ＋1x，其中a >0. (1)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围；(2)设a ∈(1，e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)时，记f (x 2)－f (x 1)的最大值为M (a )．那么M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 1x －1－1x 2＝－ x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x 2，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝1时，f ′(x )＝－ x －1 2x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点； ②当a >0且a ≠1时，f ′(a )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0.经检验a ，1a均为f (x )的极值点． ∴a ∈(0,1)∪(1，＋∞)．(2)当a ∈(1，e]时，0<1a <1<a .由(1)知，当f ′(x )>0时，1a <x <a ；当f ′(x )<0时，x >a 或x <1a. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a 上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减． ∴对∀x 1∈(0,1)，有f (x 1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ；对∀x 2∈(1，＋∞)，有f (x 2)≤f (a )． ∴[f (x 2)－f (x 1)]max ＝f (a )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .∴M ′(a )>0，即M (a )在(1，e]上单调递增．∴M (a )max ＝M (e)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ＝4e. ∴M (a )存在最大值4e.。
2018年高考数学(理科,课标Ⅱ专用)复习专题测试 §2.8 函数模型及函数的综合应用(共36张PPT)
1 ( x 0), ax x a 易知f(x)= ax x 1 ( x 0), a
1 a 2 1 2a 2 , 1 a2 1 1 1 , , ⊆A得 由 2 a 2 2 2 a 0, 1 5 解得 <a<0.故选A. 2
x a +a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围 2.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=
×192=24(小时).
考点二 函数的综合应用
, ⊆A, 1.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若 2 2 1 1
则实数a的取值范围是 ( A. C.
1 5 ,0 2
4.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数” 为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可. 方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法.
(3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性.
(4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数模型及其应用课件理
解析：(1)由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192.
1 48 2 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝ 192
11 2 ＝ 4
1 ＝. 2
设该食品在 33℃的保鲜时间是 t 小时，则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝
•二 指数函数、对数函数模型
• 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、 细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的 模型求解．求解时注意指数式与对数式的互 化，指数函数的值域的影响以及实际问题中 的条件限制．
• 【例2】 (1)(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时) 与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为 自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间 是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃ 的保鲜时间是( C ) • A． 16小时 B．20小时 • C．24小时 D．28小时
• (2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌 的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA 来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几 种说法： • ①PA≥1； • ②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨 天的A菌个数多10； • ③假设科学家将B菌的个数控制在5万，则此时5<PA<5.5(注： lg 2≈0.3)． • 则正确的说法为 _______(写出所有正确说法的序号)． ③
• 4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下 的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中 B 的( )
专题16 椭圆、双曲线、抛物线(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(解析版)
【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质 特别是离心率 .2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系 弦长、中点等 .【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【解析】(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n ，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )，直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【变式探究】【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 【答案】(1)A (2)D(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－ ba 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋ b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2、(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 【解析】(1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．【变式探究】【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a a k a a c =-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e，故选A ． 【变式探究】 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x 【答案】(1)3－1 (2)C(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】(1)D (2)A即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.(2)由题作出图象如图所示．∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a a －c ，∴k BD ＝－a a －cb 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2 a －c.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪b4a 2 a －c .∴b 4a 2 c －a <a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．【解析】(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而|PC |＝2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 .因为|PC |＝2|AB |，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【变式探究】(1)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 【答案】 (1)D(2)D(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得， x 1＋x 2 x 1－x 2 a 2＋ y 1＋y 2 y 1－y 2 b 2＝0. ∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.【高考真题解读】1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214{ 1y x y k x ==-，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号. 2.【2017课标II ，理9】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是 ABC ．23D ．59【答案】B【解析】e ==B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=- ，选B.5.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________.【答案】2【解析】221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 6.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.在Rt PAN 中， cos PA PAN NA∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以c e a ===7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
2018年全国各地高考模拟数学试题《函数的应用》解答题汇编(含答案解析)
2018年全国各地高考数学模拟试题函数的应用解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•安顺三模）设函数．（1）当m=﹣1时，求函数f（x）零点的个数；（2）当m=1时，证明．2．（2018•房山区二模）已知函数f（x）=sinx﹣acosx的一个零点是．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设，若x∈，求g（x）的值域．3．（2018•闵行区二模）某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f（t）、线下日销售量g（t）（单位：件）与上市时间t（t∈N*）天的关系满足：f（t）=，g（t）=﹣t2+20t（1≤t≤20），产品A每件的销售利润为h（t）=（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）．（1）设该公司产品A的日销售利润为F（t），写出F（t）的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？4．（2018•松江区一模）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？5．（2018•通州区一模）已知函数f（x）=xe x，g（x）=a（e x﹣1），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求证：f（x）≥g（x）；（Ⅱ）当a＞1时，求关于x的方程f（x）=g（x）的实根个数．6．（2018•湖北模拟）已知函数f（x）=e x，g（x）=．（1）设函数F（x）=f（x）+g（x），试讨论函数F（x）零点的个数；（2）若a=﹣2，x＞0，求证：f（x）•g（x）＞+．7．（2018•江苏模拟）科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m＞0）．（1）求A市2019年的碳排放总量（用含m的式子表示）；（2）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．8．（2018•马鞍山二模）已知f（x）=|x+1|+|x+m|，g（x）=x2+3x+2．（1）若m＞0且f（x）的最小值为1，求m的值；（2）不等式f（x）≤3的解集为A，不等式g（x）≤0的解集为B，B⊆A，求m 的取值范围．9．（2018•江苏三模）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3百米，CD=2百米．该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计），点P在道路AC上（异于A，C两点），．（1）用θ表示直道DP的长度；（2）计划在△ADP区域内种植观赏植物，在△CDP区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．10．（2018•宝山区二模）某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g（x）（单位：千克/年）养殖密度为x，x＞0 （单位：尾/立方分米），当x 不超过 4 时，g（x）的值恒为2；当4≤x≤20，g（x）是x 的一次函数，且当x 达到20 时，因养殖空间受限等原因，g（x）的值为0．（1）当0＜x≤20 时，求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）=x⋅g（x）的最大值．11．（2018•全国I模拟）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求实数m的最大值．12．（2018•闵行区一模）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？13．（2018•玉溪模拟）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l 均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=最大？14．（2018•江西一模）已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数底数），其导函数为y=f'（x）．（1）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得成立？证明你的结论．15．（2018•福建模拟）某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩下的水果以8元/千克的价格退回水果基地．（1）若该超市一天购进A水果160千克，记超市当天A水果获得的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：千克，n∈N）的函数解析式，并求当y=765时n的值；（2）为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：假设该超市在这50天内每天购进A水果160千克，求这50天该超市A水果获得的日利润（单位：元）的平均数．16．（2018•崇明县二模）已知函数f（x）=，x∈R．（1）证明：当a＞1时，函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a=2，且b＜c时，证明：对任意d∈[f（c），f（b）]，存在唯一的x0∈R，使得f（x0）=d，且x0∈[b，c]．17．（2018•乌鲁木齐二模）设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+4|﹣3（a≠﹣2）．（1）试比较f（a）与f（﹣2）的大小；（2）若函数f（x）的图象与x轴能围成一个三角形，求实数a的取值范围．18．（2018•江西二模）2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M流量，资费20元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率．（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．19．（2018•黄浦区二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．20．（2018•上海模拟）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？21．（2018•龙岩模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+m|x+2|．（1）m=2时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若函数f（x）的图象恒在直线y=x的图象的上方（无公共点），求实数m 的取值范围．22．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．（1）求a+b+c；（2）求的取值范围．23．（2018•上海二模）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析y=+2是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．24．（2018•南充模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）与y=g（x）=ax的图象无公共点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证：x1x2＞e2．25．（2018•洛阳三模）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．26．（2018•杨浦区二模）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x（x∈N*）满足函数关系式y=+60x﹣800．（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？27．（2018•青浦区一模）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．28．（2018•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x|+，（m∈R，x≠0）（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由（2）讨论函数y=f（x）的零点个数．29．（2018•荆州一模）习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”．为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为：，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且．（1）令，x∈[0，24]，求t（x）的最值；（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？30．（2018•玉溪模拟）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？31．（2018•青岛二模）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？32．（2018•黄浦区二模）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．33．（2018•齐齐哈尔三模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣|x+4|+m．（Ⅰ）解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）图象有公共点，求实数m的取值范围．34．（2018•普陀区一模）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？35．（2018•化州市二模）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：对于α，β，γ∈（0，），若sinα+sinβ+sinγ=1，则++＜（参考公式：≥（a，b，c＞0），当且仅当a=b=c时等号成立）36．（2018•宝山区一模）设z∈C，且．（1）已知（z∈C），求z的值；（2）设z（z∈C）与Rez均不为零，且z2n≠﹣1（n∈N*），若存在，使得，求证：；（3）若z1=u（u∈C），（n∈N*），是否存在u，使得数列z1，z2，…满足z n+m=z n（m为常数，且m∈N*）对一切正整数n均成立？若存在，试求出所有的u，若不存在，请说明理由．37．（2018•西城区模拟）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？38．（2018•崇明县一模）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．39．（2017•盐城三模）设函数f（x）=xe x﹣ax2（a∈R）．（1）若函数g（x）=是奇函数，求实数a的值；（2）若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点．①求k与b的值；②对（0，+∞）上的任意实数x1，x2，都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．40．（2017•如皋市二模）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．参考答案与试题解析1．【分析】（1）把m=﹣1代入函数解析式，求其导函数，可得原函数的单调性并求得极值，可得f（x）在（0，+∞）上的极大值为0，从而得到函数f（x）零点的个数；（2）把m=1代入函数解析式，把证明转化为证明ln（x﹣1）+＞（x＞1）．令h（x）=ln（x﹣1）+，利用导数求得其在（1，+∞）上的最小值为1，而当x＞1时，，则结论得证．【解答】（1）解：当m=﹣1时，f（x）=lnx﹣，f′（x）=，由f′（x）=0，得x=﹣（舍），或x=1．∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则f（x）的极大值为f（1）=0．∴函数f（x）零点的个数为1；（2）证明：当m=1时，f（x）=lnx+，f（x﹣1）=ln（x﹣1）+=ln（x﹣1）+﹣2x+5．令g（x）=f（x﹣1）﹣，要证g（x）＞0，只需证ln（x﹣1）+＞（x＞1）．令h（x）=ln（x﹣1）+，则h′（x）=．当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（1，+∞）上的最小值为h（2）=1．而当x＞1时，．∴ln（x﹣1）+＞（x＞1）．则当m=1时，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．【分析】（I）根据f（）=0计算a的值；（II）化简f（x）的解析式，再根据这些函数的单调性得出g（x）的最值即可．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得，即，解得a=1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=sinx﹣cosx．====．由得∴当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值﹣1．所以g（x）的值域是[﹣1，2]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．3．【分析】（1）根据利润公式和产品销量得出F（t）的解析式；（2）分情况解不等式得出t的范围．【解答】解：（1）F（t）=．（2）令F（t）≥5000，①当1≤t≤10时，40（﹣t2+30t）≥5000，解得5≤t≤25，∴5≤t≤10．②当10＜t≤15时，40（﹣t2+10t+200）≥5000，解得﹣5≤t≤15，∴10＜t≤15．③当15＜t≤20时，20（﹣t2+10t+200）≥5000，方程无解．综上，5≤t≤15．∴产品上市的第5天到第15天给公司带来的日销售利润不低于5000元．【点评】本题考查了分段函数的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．4．【分析】（1）由题意知，p（t）=（k为常数），结合p（2）=272求得k=2，则p（t）的表达式可求，进一步求得p（6）；（2）写出分段函数Q=，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．5．【分析】（I）令F（x）=f（x）﹣g（x），判断单调性计算F（x）的最小值得出结论；（II）判断F（x）的单调性，根据零点的存在性定理得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x）=xe x﹣ae x+a．当a=1时，F（x）=xe x﹣e x+1，所以F'（x）=xe x．所以x∈（﹣∞，0）时，F'（x）＜0；x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0．所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥0，即f（x）≥g（x）．（Ⅱ）当a＞1时，F'（x）=（x﹣a+1）e x，令F'（x）＞0，即（x﹣a+1）e x＞0，解得x＞a﹣1；令F'（x）＜0，即（x﹣a+1）e x＜0，解得x＜a﹣1．所以F（x）在（﹣∞，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增．所以当x=a﹣1时，F（x）取得极小值F（a﹣1）=a﹣e a﹣1．令h（a）=a﹣e a﹣1，则h'（a）=1﹣e a﹣1．因为a＞1，所以h'（a）＜0．所以h（a）在（1，+∞）上单调递减．所以h（a）＜h（1）＜0．所以F（a﹣1）＜0．又因为F（a）=a＞0，所以F（x）在区间（a﹣1，a）上存在一个零点．所以在[a﹣1，+∞）上存在唯一的零点．又因为F（x）在区间（﹣∞，a﹣1）上单调递减，且F（0）=0，所以F（x）在区间（﹣∞，a﹣1）上存在唯一的零点0．所以函数h（x）有且仅有两个零点，即f（x）=g（x）有2个实根．【点评】本题考查了函数单调性的判断与零点的存在性定理，属于中档题．6．【分析】（1）判断F（x）的单调性，计算F（x）的极值，得出F（x）的零点个数；（2）根据＜，即可证明e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，得出结论．【解答】解：（1）函数F（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以．∴即F（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，，令h（x）=e x（x﹣a）+1，则h'（x）=e x（x﹣a+1），h'（a﹣1）=0，∴当x∈（﹣∞，a﹣1）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴h（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为h（a﹣1）=1﹣e a﹣1．显然，当a=1时，h（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，h（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以F（x）没有零点；当a＞1时，h（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0，所以F（x）有两个零点．（2）若a=﹣2，x＞0，要证f（x）g（x）＞+，即要证e x＞（x+2）+x2﹣4，∵＜=，下证e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4．设M（x）=e x﹣（x+2）（+1）﹣x2+4=e x﹣x2﹣2x+2，则M'（x）=e x﹣2x﹣2，令φ（x）=e x﹣2x﹣2，则φ′（x）=e x﹣2，∴φ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∵φ（1）=e﹣4＜0，φ（2）=e2﹣6＞0，∴M'（x）在（0，+∞）上只有一个零点x0（1＜x0＜2），即e﹣2x0﹣2=0，∴M（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴M（x）≥e﹣x02﹣2x0+2=4﹣x02＞0，∴e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，又＞，∴e x＞（x+2）+x2﹣4，∴f（x）•g（x）＞+．【点评】本题考查了函数的单调性与最值计算，属于中档题．7．【分析】（1）根据条件依次计算2018和2019件的碳排放量得出答案；（2）求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有∀n∈N*，a n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）设2018年的碳排放总量为a1，2019年的碳排放总量为a2，…，由已知，a1=400×0.9+m，a2=0.9×（400×0.9+m）+m=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m．∴A市2019年的碳排放总量为324+1.9m．（2）a3=0.9×（400×0.92+0.9m+m）+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m，…a n=400×0.9n+0.9n﹣1m+0.9n﹣2m+…+0.9m+m=400×0.9n+m•=（400﹣10m）•0.9n+10m．由已知有∀n∈N*，a n≤550，（1）当400﹣10m=0即m=40时，a n=10m=400，满足题意；（2）当400﹣10m＞0，即m＜40时，{a n}为递减数列，∴a1=400×0.9+m≤550，解得m≤190．综合得m＜40；（3）当400﹣10m＜0即m＞40时，a n＜10m，∴10m≤550，解得m≤55，综合得40＜m≤55．综上可得所求范围是m∈（0，55]．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．8．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，求解m即可．（2）求出集合B，推出集合的包含关系，转化为绝对值不等式，推出结果即可．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x+m|≥|（x+1）﹣（x+m）|=|1﹣m|（当x=﹣1时，等号成立）∵f（x）的最小值为1，∴|1﹣m|=1，∴m=2或m=0，又m＞0，∴m=2．（2）由g（x）≤0得，B=[﹣2，﹣1]，∵B⊆A，∴∀x∈B，f（x）≤3，即﹣（x+1）+|x+m|≤3⇔|x+m|≤x+4⇔﹣x﹣4≤x+m≤x+4且m≤4且m≤4⇔0≤m≤4．【点评】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查计算能力．9．【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得DP=，＜θ＜，（2）分别求出S△APD ，S△ADC，可得S△DPC，设三项费用之和为f（θ），可得f（θ）=+，＜θ＜，利用导数求出最值【解答】解：（1）过点D作DD′⊥AB，垂足为D′，在Rt△ABC中，∵AB⊥BC，∠BAC=，AB=3，∴BC=，在Rt△ADD′中，∵AD′=1，DD′=，AD=2，∴sin∠DAD′=，∴∠DAD′=，∵∠BAC=，∴∠ADP=，在△ADP中，由正弦定理可得=，∴DP=，＜θ＜，（2）在△ADP中，由正弦定理可得=，∴AP=，∴S=AP•PD•sinθ=，△APD=AD•DC•s in∠ADC=×2×2×=又S△ADC=S△ADC﹣S△APD=﹣，∴S△DPC设三项费用之和为f（θ），则f（θ）=×2+（﹣）×1+×1=++=+，＜θ＜，∴f′（θ）=，令f′（θ）=0，解得θ=，当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增，∴f（θ）min=f（）=2，答：三项费用总和的最小值为2万元．【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题．10．【分析】（1）利用待定系数法求出g（x）在[4，20]上的解析式，从而得出g（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，根据单调性求出f（x）的最大值．【解答】解：（1）当4≤x≤20时，设g（x）=kx+b，由条件可知，解得：，∴g（x）=．（2）f（x）=，∴f（x）在[0，10）上单调递增，在（10，20]上单调递减，∴f（x）的最大值为f（10）=．【点评】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的最值计算，属于中档题．11．【分析】（1）化成分段函数，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣x2+x，求出g（x）的最大值即可得出m最大值．【解答】解：（1）f（x）=，所以f（x）值域为[﹣3，3]．（2）令g（x）=f（x）﹣x2+x，则原命题等价于m≤g（x）有解，即m≤g（x）．maxg（x）=，∴g（x）max=g（）=．所以m的最大值为．【点评】本题考查了分段函数单调性与最值计算，属于中档题．12．【分析】（1）根据等比数列的性质求出；（2）对活动天数x进行讨论，列出不等式求出x的范围即可．（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．【解答】解：∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．【点评】本题考查了等比数列的性质与求和，属于中档题．13．【分析】利用已知条件列出单位时间流量Q=的表达式，利用基本不等式求解函数的最大值，利用函数的单调性写出结果即可．【解答】解：因为，所以…（4分）≥2=，当且仅当v=40时取等号；当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Q max=50…（8分）当0＜v0＜40时，…（12分）【点评】本题考查函数与方程的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．14．【分析】（1）分离参数可得﹣a=，求出G（x）=的单调性和值域，从而得出a的范围；（2）假设存在实数x0满足条件，化简条件式可得，利用利用换元法判断函数单调性，根据方程是否有解即可得出结论．【解答】解（1）当b=0时，f（x）=ae x+x2，由题意ae x+x2=0只有一解．由ae x+x2=0得，令，则，令G'（x）=0得x=0或x=2当x≤0时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为[0，+∞）；当0＜x＜2时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，G（x）的取值范围为；当x≥2时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，G（x）的取值范围为；由题意，得﹣a=0或，从而a=0或，所以，当a=0或时，函数f（x）只有一个零点．（2）f（x）=ae x+x2﹣2x，f'（x）=ae x+2x﹣2，假设存在，则有，即，又，，∴，∵a≠0，∴，不妨设t=x0﹣m＞0，则，两边同除e m，得（*），令，令，∴h（t）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0）=0，∴h（0）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴g（t）在（0，+∞）上单调递增又g（0）=0，∴g（t）＞0对t∈（0，+∞）恒成立，∴方程te=e t﹣1无解，∴不存在实数x0（x0≠m），使得成立．【点评】本题考查了函数单调性与函数零点的个数判断，属于中档题．15．【分析】（1）讨论n与160的关系，得出y与n的解析式；（2）根据加权平均数计算利润平均数．【解答】解：（1）当日需求量n≥160时，利润y=160×（15﹣10）=800；当日需求量n＜160时，利润y=（15﹣10）n﹣（160﹣n）×（10﹣8）=7n﹣320，所以y关于n的函数解析式为．当y=765时，由7n﹣320=765，得n=155．（2）这50天中有5天的利润为660元，有10天的利润为730元，有35天的利润为800元，所以这50天该超市A水果获得的日利润的平均数为．【点评】本题考查了分段函数解析式的求解与应用，属于基础题．16．【分析】（1）设x1＜x2，计算f（x1）﹣f（x2），判断f（x1）﹣f（x2）的符号得出结论；（2）令f（﹣x）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）分别求出a的值得出结论；（3）利用反证法得出结论．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴2＜2，又a＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以当a＞1时，函数y=f（x）是减函数．（2）解：当a=1时，f（x）=1，所以f（﹣x）=f（x）=1，所以函数y=f（x）是偶函数，当a=﹣1时，f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），所以函数y=f（x）是奇函数．当a≠1且a≠﹣1时，f（1）=，f（﹣1）=，∴f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），所以函数y=f（x）是非奇非偶函数．（3）证明：由（1）知，当a=2时，函数y=f（x）是减函数，所以函数f（x）在[b，c]上的值域为[f（c），f（b）]，因为d∈[f（c），f（b）]，所以存在x0∈R，使得f（x0）=d．假设存在x1∈R，x1≠0使得f（x1）=d，若x1＞x0，由f（x）的单调性可得f（x1）＜f（x0），若x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），与f（x1）=f（x0）=d矛盾，故x0是唯一的．假设x0∉[b，c]，即x0＜b或x0＞c，由单调性可得f（x0）＞f（b）或f（x0）＜f（c），所以d∉[f（c），f（b）]，与d∈[f（c），f（b）]矛盾，故x0∈[b，c]．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，属于中档题．17．【分析】（1）利用作差法就是求解两个数的大小即可．（2）通过a与﹣2的大小的结果比较，去掉绝对值符号，得到分段函数，然后转化求解即可．【解答】解：（1）∵f（a）﹣f（﹣2）=2|a+2|﹣|a+2|=|a+2|≥0，而a≠﹣2∴f（a）＞f（﹣2）；（2）当a＞﹣2时，，∵f（a）＞f（﹣2），∴围成三角形，∴．当a＜﹣2时，，同理得，综上所述．【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【分析】（1）设使用流量xM，流量费用为y，所以流量费用超过50元概率：P （y＞50）==；（2）分别求出订购A套餐和订购B套餐的月平均费用，比较大小后得答案．【解答】解：（1）设使用流量xM，流量费用为y，依题意，当2000≤x≤3000时，y=30；当3000＜x≤5000时，y=50；所以流量费用超过50元概率：P（y＞50）==；（2）设y A表示A套餐的月平均消费，设y B表示B套餐的月平均消费，∴=（30×4+50×16+70×28+90×2）=61.2，=（50×36+70×14）=55.6，∴＞，故选套餐B．【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19．【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；（2）根据面积公式求出y关于x的函数值，从而得出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可算得弧BC=x•θ（m），弧AD=10θ（m）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ=30，∴．（2）依据题意，可知，化简得：y=﹣x2+5x+50=．∴当，（m2）．答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20．【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．。
高考函数与导数类压轴题的6大模型与23种考法总结！压轴题不只学霸才能解~
高考函数与导数类压轴题的6大模型与23种考法总结！压轴
题不只学霸才能解~
只有学霸才会解'压轴题'嘛？
在高考数学里，这个问题的答案一定是否定的，数学压轴题十之有九是对函数与导数问题的考查，此类题型确实不简单，但极具规律性，属于难，但是容易备考的题型。
今天车车帮你整理好了压轴题的所有题型和命题角度，无论你的数学成绩如何，请务必试试攻克它。
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本文目录
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
2.求过某点的切线方程
3.已知切线方程求参数
题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型
2.主导函数为“一次函数”型
3.主导函数为“二次函数”型
4.已知函数单调性，求参数范围
题型三极值最值型
1.求函数的极值
2.求函数的最值
3.已知极值求参数
4.已知最值求参数
题型四零点型
1.零点(交点，根)的个数问题
2.零点存在性定理的应用
3.极值点偏移问题
题型五恒成立与存在性问题
1.单变量型恒成立问题
2.单变量型存在性问题
3.双变量型的恒成立与存在性问题
4.等式型恒成立与存在性问题
题型六与不等式有关的证明问题
1.单变量型不等式证明
2.含有e x与lnx的不等式证明技巧
3.多元函数不等式的证明
4.数列型不等式证明的构造方法。
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第12讲 函数模型及其应用
[答案] 108
[解析] 设进价为 a 元，由题意 知 132×(1－10%)－a＝10%· a， 解得 a＝108.
课前双基巩固
[答案] 25 m
2
[解析] 设长方形的长为 x m，则 20－4x 宽为 3 m，所以总面积 S＝ 20－4x 2 3x· 3 ＝－4x ＋20x＝－ 52 5 4x－2 ＋25，所以当 x＝2时， 2 总面积最大为 25 m ，此时，长 10 方形的长为 2.5 m，宽为 m. 3
[解析] 由题意得， 解得 于是当 x＝33 时，y＝e ＝ 13 11k 3 b (e ) ·e ＝2 ×192＝24.
33k＋b
课前双基巩固
3．[教材改编] 某家具的标价为 132 元，若 降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进价)， 则该家具的进价是________ 元．
随 x 的增大逐渐 随 x 的增大逐渐 随 n 值变化而不 表现为与 表现为与 同 y轴 x轴 ________ 平行 ________ 平行
课前双基巩固
对点演练
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)在(0，＋∞)上，函数 y＝2 的函数值一定比 y＝x 的 函数值大．( )
当 x＝6 时，ymax＝457 500. 因此，甲厂应以 6 千克/小时的速度生产该产品，此时利润最大，最大为 457 500 元．
课堂考点探究
[总结反思]
(1)构建一次函数模型，一般通过借助两个点的坐标来确定，常用待定系数法． (2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题等，应先构建二次函数 模型，再利用二次函数的图像与单调性求解． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意其定义域．
2018届高考数学(理)热点题型：函数与导数(含答案解析)
函数与导数热点一 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1，1)都成立.因为e x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2>0.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围为a ≥32.热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【对点训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解. 解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.热点三 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【对点训练】 已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。
专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用(仿真押题)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(原卷版)
1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或32．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)3．某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只4．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ． (－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)7．已知a ＝213-，b ＝(2log 23)12-，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d.若f(x)＝2 017－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a>c>b>dB ．a>b>c>dC ．c>d>a>bD ．c>a>b>d9．某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t 之间的函数关系的是( )10．已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )A ．f(c)<f(b)<f(a)B ．f(c)<f(a)<f(b)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ．f(c)>f(a)>f(b)11．已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78 D ．－3812．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点M 、N 关于原点对称，则称点对(M ，N )是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对(M ，N )与(N ，M )看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．114．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a 等于( ) A.32或－32 B ．－32 C.32 D ．以上都不对15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，－1≤x ≤1，log 2－|x －2|＋，1<x ≤3.若关于x 的方程f (x )－ax ＝0有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是( )A ．(14，13)B ．(16，14) C ．(16－67，16) D ．(16，8－215) 16．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为( )A ．2k (k ∈Z)B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z)C ．0D ．2k 或2k －14(k ∈Z) 17．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．18．我们把形如y ＝b |x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________.19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 20．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．22．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________． 24．已知函数f (x )＝5x ＋x －2，g (x )＝log 5x ＋x －2的零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．25．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.26．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.27．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．29．已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围．30．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？。
09 函数模型及其应用-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 含解析
专题09 函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.热点题型一一次函数或二次函数模型例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位:千米/小时)是车流密度x （单位:辆/千米)的函数。
当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。
研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。
(1)当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式.(2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x·v(x）可以达到最大，并求出最大值。
(精确到1辆/小时）。
(2)依题意并由（1)可得f（x）＝错误!当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时,其最大值为60×20＝1 200；当20＜x≤200时，f(x)＝错误!x(200－x)≤错误!错误!2＝错误!，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立。
所以当x＝100时,f(x）在区间(20,200］上取得最大值错误!≈3 333。
综上，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为3 333辆/小时.【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略（1)直接考查一次函数、二次函数模型。
解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。
(2)以分段函数的形式考查。
高考热点问题探究(命题猜想)-2018年高考数学(理) (word版含答案)
教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．【高考命题热点一】立体几何与数学文化例1、《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺331寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺【答案】B【特别提醒】本题属于生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容。
例2、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d【答案】A【特别提醒】“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．例3、我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－2πB ．8－34πC ．8－πD ．8－2π【答案】C【特别提醒】祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．【高考命题热点二】数列与数学文化例4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.45钱B.35钱C.23钱D.34钱【答案】D【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有，5解得，1故选D.【特别提醒】我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．例5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里【答案】B【解析】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝21，依题意有21＝ 378，解得a 1＝192，则a 2＝192×21＝ 96，即第二天走了96里，故选B.【特别提醒】与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．例6、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则2 015是斐波那契数列中的第________项．【答案】2 016【特别提醒】该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》(A 版)第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．【高考命题热点三】算法与数学文化例7、如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4 B．2C．0 D．14【答案】A【特别提醒】《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法。
2018年高三最新 高考数学思想之一函数与方程思想 精品
数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想。
有限与无限的思想，或然与必然的思想等。
在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。
函数与方程的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题．用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”．一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题．建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的．对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:－是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？ －如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？－如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ －是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？－如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。
2018年高考数学(理)命题猜想 专题4算法、推理证明、排列、组合与二项式定理
2018年高考数学（理）命题猜想 专题4算法、推理证明、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现. 【命题热点突破一】程序框图例1、【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2【答案】D【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =结束【答案】C【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．【变式探究】)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是(A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?【答案】A【解析】依题意，可知程序运行如下：n＝1，S＝0→S＝0＋2×1＝2，n＝2→S＝2＋2×2＝6，n＝3→S＝6＋2×3＝12，n ＝4→S＝12＋2×4＝20，n ＝5→S＝20＋2×5＝30，n ＝6→S＝30＋2×6＝42，n ＝7→S＝42＋2×7＝56，n ＝8→S＝56＋2×8＝72，n ＝9，此时输出S 的值为72，故判断框中应填“n≤8？”. 【命题热点突破二】合情推理与演绎推理 例2、(1)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x＋2)＋2×(y－3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________． 【答案】（1）4n －1（2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的． 【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n ＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n 的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n∈N *）.【命题热点突破三】排列与组合例3、【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D. 【感悟提升】解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等． 【变式探究】已知直线x a ＋y b ＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条. 【答案】60【解析】由于圆x 2＋y 2＝100上满足条件的整数点（x ，y ）有12个：（±10，0），（±6，±8），（±8，±6），（0，±10），所以直线经过这些点，但a ，b 是非零常数，所以直线不与x 轴、y 轴垂直，且不经过原点.满足条件的直线有两类：一类与圆有2个公共点，除去垂直于坐标轴和经过原点的直线，共有C 212－10－4＝52（条）；另一类与圆有1个公共点（即圆的切线），同样除去垂直于坐标轴的直线，共有8条.综上，所求的直线共有60条.【命题热点突破四】二项式定理例4、【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【变式探究】【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。
2018届高考数学(理)解题方法指导：函数方程,稳妥实用(Word版,含答案)
函数方程 稳妥实用一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．【例1】 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．【解析】 问题可以变成关于m 的不等式：即(x 2－1)m －(2x －1)<0在[－2,2]上恒成立，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0， 解得7－12<x <3＋12， 故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 【类题通法】 一般地，对于多变元问题，需要确定合适的变量和参数，反客为主，主客换位思考，创设新的函数，并利用新的函数创造性地使原问题获解．求解本题的关键是变换自变量，以参数m 作为自变量而构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．【对点训练】1．若0<x 1<x 2<1，则( )A ．21x x e e ->ln x 2－ln x 1B ．21x xe e -<ln x 2－ln x 1 C ．x 21x e >x 12x eD ．x 21x e <x 12x e 【答案】C【解析】设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x －1x . 令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴x 21x e >x 12x e ，故选C ．2．已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )＜0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )e x ＞1的解集为________． 【答案】(－∞，0)【解析】∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (0)＝g (4)＝1.设f (x )＝g (x )e x ， 则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x . 又g ′(x )－g (x )＜0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )在R 上单调递减．又f (0)＝g (0)e 0＝1，∴f (x )＞f (0)，∴x ＜0. 3．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3.问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.∴x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).二、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．【例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(－1,1]【解析】法一：把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ，设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2， 显然，当且仅当a 属于f (x )的值域时有解．因为f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2知sin x ∈(0,1]，易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．法二：令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，可得t ∈(0,1]． 将方程变为t 2＋t －1－a ＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示． 因此，f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <0，1－a ≥0，所以－1<a ≤1， 故a 的取值范围是(－1,1]．(2)已知a ，b ，c 为平面上三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c ·a ＝2，c ·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －xa －yb |的最小值为________．【答案】2【解析】由题意可知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，。
【推荐】2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数模型及其应用
函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] (1)A(2)D[解析] (1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()[答案] D[解析]y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析] 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.考点二、应用所给函数模型解决实际问题【例2】某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)①②(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，所以总利润y＝8.25万元.②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0，32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.【类题通法】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【对点训练】某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元[答案] A[解析] 根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝⎩⎨⎧4，0＜x≤5，4＋12(x－5)，x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.考点三、构建函数模型解决实际问题【例3】(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.[答案] (1)B (2)9[解析] (1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n>2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0＜x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6， 因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.【类题通法】构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．【对点训练】1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)[答案] 8[解析] 设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ， 可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.。
2018年高考数学(理)命题猜想 专题22函数与方程思想、数形结合思想
2018年高考数学（理）命题猜想专题22函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.方法一点坐标代入函数(方程)法点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．例1、函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(，a )，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．2或21 D.21【答案】D【特别提醒】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．【变式探究】函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a 3)，则a 的值为________．【答案】31【解析】因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(a ，a 3)，所以a 3＝a a ，即a 31＝a a ，所以a ＝31.经检验知a ＝31符合要求．方法二 平面向量问题的函数(方程)法平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题． ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．例2、已知a ，b ，c 为平面上的三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －x a －y b |的最小值为______．【答案】2【特别提醒】平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．【变式探究】已知e 1，e 2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b 满足|b |＝2，b·e 1＝1，b·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________．【答案】方法三 不等式恰成立问题函数(方程)法含参不等式恰成立问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：①灵活转化，即“关于x 的不等式f (x )<g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(－∞，g (a ))”；“不等式f (x )>g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(g (a )，＋∞)”．②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域．③得出结论，列出参数a 所满足的方程，通过解方程，求出a 的值．例3、关于x 的不等式e x －2x2－1－49x ≥0在，＋∞1上恰成立，则a 的取值集合为________．【答案】{2}【解析】关于x 的不等式e x －2x2－1－49x ≥0在，＋∞1上恰成立⇔函数g (x )＝x x2－1在，＋∞1上的值域为，＋∞9.因为g ′(x )＝()x2x2＋1，令φ(x )＝e x(x －1)－21x 2＋1，x ∈，＋∞1， 则φ′(x )＝x (e x －1)．因为x ≥21，所以φ′(x )>0，故φ(x )在，＋∞1上单调递增，所以φ(x )≥φ21＝87－2e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在，＋∞1上单调递增，则g (x )≥g 21＝＝2－49，所以a －49＝2－49，解得a ＝2，所以a 的取值集合为{2}．【特别提醒】求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．【变式探究】关于x 的不等式x ＋x 4－1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立，则a 的取值集合为__________．【答案】{－1,3}方法四 解析几何问题的函数(方程)法解析几何问题的函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数(方程)法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题．破解此类题的关键点：①代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程．②函数(方程)应用，利用函数的相关性质或方程思想来求解含有参数的解析几何问题． ③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结论．例4、已知直线l 过定点S (4,0)，与4x2＋3y2＝1(x ≠±2)交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P ′，连接P ′Q 交x 轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，直线l 的方程为____________________．【答案】x ＝321y ＋4或x ＝－321y ＋4直线P ′Q 的方程为y ＝x2－x1y2＋y1(x －x 1)－y 1，令y ＝0，得x ＝y1＋y2x1y2＋x2y1＝()()y1＋y2ky1＋4y2＋y1ky2＋4＝()y1＋y22ky1y2＋4y1＋y2，将①②代入上式得x ＝1，即T (1,0)，所以|ST |＝3，所以S △PQT ＝|S △STQ －S △STP |＝21|ST ||y 1－y 2|＝23()＝23·3k2＋44×36＝3k2＋4k2－4＝()3k2－4＋16k2－4＝k2－416≤43，当且仅当k 2＝328，即k ＝±321时取等号．故所求直线l 的方程为x ＝321y ＋4或x ＝－321y ＋4.【特别提醒】直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．【变式探究】椭圆C 1：9x2＋4y2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________．【答案】(0,1)∪，＋∞30由f (－2)＝1，f (2)＝9，f 54＝554，可得f (y )的值域是r 2∈554，即r ∈530，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪，＋∞30.方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－45y 2＋2y ＋10－r 2＝0. ①两条曲线没有公共点，等价于方程－45y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4×45×(10－r 2)<0，解得r >530或r <－530舍去30.若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－45y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝54∈[－2,2]．则()()φ－2＝1－r2>0，φ2＝9－r2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪，＋∞30.【命题热点突破二】数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用(命题猜想)Word版含答案 2018年高考数学(理科)复习专题
【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A BCD ．1【答案】C设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，【举一反三】【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞， ()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时， ()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时， ()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≤a，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x 3（x≤a），h （x ）＝x 2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x 2（x>a ）的图像与直线y ＝b有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a 3>a 2，解得a>1.综上得a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x 2－1|的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【探究提高】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解. 【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题例2、已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0.f(x)是R 上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则( )A ．sgn[g(x)]＝sgn xB ．sgn[g(x)]＝－sgn xC ．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D ．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 【答案】B【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x 1，x 2(a<x 1<x 2<b)，满足f′(x 1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f′(x 2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x 1，x 2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x 3－x 2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3) 【答案】A【解析】由题意可知，在[0，m]上存在x 1，x 2（0<x 1<x 2<m ），满足f′（x 1）＝f′（x 2）＝f （m ）－f （0）m －0＝13m 3－m 2m ＝13m 2－m.因为f′（x ）＝x 2－2x ，所以方程x 2－2x ＝13m 2－m 在（0，m ）上有两个不同的根.令g （x ）＝x 2－2x －13m 2＋m （0<x<m ），则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，g （0）>0，g （m ）>0，得32<m<3，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套． (1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. （1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x·v（x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（六）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·漳州调研]在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是()2,1A 和()0,1B ，则12z z =（ ） A ．12i -- B ．12i -+C ．12i -D ．12i +【答案】C【解析】由复数1z 和2z 对应的点分别是()2,1A 和()0,1B 得：12i z =+，2i z =，故C ． 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封2．[2018·晋中调研]已知集合{}|1M x x =<，{}21x N x =>，则M N =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．∅【答案】A【解析】{}{}210x N x x x =>=>，{}|1M x x =<，{}|01M N x x ∴=<<．故选：A ．3．[2018·南平质检]已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(),e 1-∞+ B ．()0,+∞C ．()1,e 1+D ．()e 1,++∞【答案】C【解析】已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则()()1l ne e f x f -<=，由函数为增函数，故：01e 11e x x <-<⇒<<+，故选C ．4．[2018·孝义模拟]，则cos 2α等于（ ）A ．35B ．12C ．13D ．3-【答案】A【解析】将正切值代入得到35．故答案为：A ．5．[2018·漳州调研已知向量()2,1=-a ，()1,A x -，()1,1B -，若AB ⊥a ，则实数x 的值为（ ） A ．5- B ．0C ．1-D ．5【答案】A【解析】∵()1,A x -，()1,1B -，∴()2,1AB x =--，又∵()2,1=-a ，AB ⊥a ， ∴()()22110AB x ⋅=⨯+--⨯-=a ，解得5x =-，故选A ．6．[2018·黄山一模]《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3 B ．3.1 C ．3.14 D ．3.2【答案】A【解析】设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为：2πV r h =．，解得π3=．故选A ． 7．[2018·宁德质检]已知三角形ABC中，AB AC ==3DB AD =，连接CD 并取线段CD 的中点F ，则AF CD ⋅的值为（ ） A ．5- B ．154-C ．52-D ．2-【答案】B【解析】因为3DB AD =，线段CD 的中点为F ，14CD AB AC =-， 1111111AF AB DC AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+-=+ ⎪1124AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 22111115882162164AF CD AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ．8．[2018·海南二模]已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A ．n B ．()12n n - C ．()12n n +D ．()()122n n ++【答案】C【解析】由221120n n n n a a a a ++--=，可得：()()1120n n n n a a a a +++-=， 又0n a >，∴12n na a +=，∴112n n a a +⋅=，∴∴数列{}n b 的前n 项和()12n n +，故选：C ．9．[2018·集宁一中]设不等式组33240,0x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥≥⎩所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点(),P x y ，1x y +≤的概率是（ ） A ．17B ．27C ．37D ．47【答案】A【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，四边形OABC 所示，作出直线1x y +=，由几何概型的概率计算公式知1x y +≤的概率112772OABCS P S ===阴影四边形，故选A ．10．[2018·江西联考]如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABC ．41πD ．31π【答案】C【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -， 正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A ，D 的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为4x -，(222R x ∴=+，()22224R x =+-，解得出：32x =，22341824R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该多面体外接球的表面积为：2441R π=π，故选C ．11．[2018·深圳中学]e 为自然对数的底数，已知函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-98> B ．1a <-C ．1a >-D ．1a >-或8a >【答案】A【解析】作出函数()f x ()1,1B -，1OB k =-，设直线y ax =与曲线()ln 11y x x =-≥相切， 则ln 1ax x =-，即，当2e x =时，()0g x '=， 分析可知，当2e x =时，函数()g xy ax =与曲线()ln 11y x x =-≥相切．分析图形可知，当1a <-98a >时，函数()f x 的图像与函数y ax =的图像只有一个交点，即函数()y f x ax =-有唯一零点．故选A ．12．[2018·华师附中]已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，,12p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点A ，B ，且A ，B ，F 三点共线，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】直线OM 的方程为18y x p =-，将其代入22y px =故32,1629p p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ON 的方程为2y x p =，将其代入22y px =故32,2p B p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭21881AF p k p =-，因为A ，B ，F 三点共线，所以AB AF k k =，即2918481pp p =-，解得3p =．故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第11讲 函数(三角函数、数列函数)模型及其应用
第11讲函数（三角函数、数列函数）模型及其应用【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．三、三角函数的应用一般是先根据题意建立三角函数模型，再根据题意结合三角函数的图像和性质分析解答.一般根据函数的最值确定和，根据函数的最小正周期确定，根据函数的最值点确定.四、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决.注意数列的项数.五、解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六、解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；】已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）与时间（单位：时）(时)(米)经长期观测，的曲线可近似地看成是函数）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅（2）由题知，当时才可对冲浪者开放，∴，【点评】（1）首先要利用三角函数的图像和性质求出三角函数的表达式，是函数的振幅，是相位，是初相.一般通过函数的最值求,通过周期求，通过最值点求.（2）解简单的三角函数不等式主要是利用三角函数的图像和数形结合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后给赋值和实际范围求交集.【反馈检测1】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天从0时至24时的时间（单位：时）与水深（单位：米）的关系表：（1）请选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；（2）一条货轮的吃水深度（船体最低点与水面的距离）为12米，安全条例规定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5米，请问该船何时能进出港口？在港口最多能停留多长时间？【例2】某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点，及的中点处，已知，，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且，与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，，，设排污管道的总长为．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．（Ⅱ）选择函数模型①，则.令得，因为，所以，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，．这时点位于线段的中垂线上，且距离边处．【点评】（1）本题主要考查根据实际意义建立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的基本知识，考查了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力．（2）对于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而得到函数的最值.（3）一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量建立三角函数模型，比以边为自变量建立函数模型简单.【反馈检测2】如图所示，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余地方种花. 若，，设的面积为，正方形的面积为.（1）（2）【例3 】某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?（1）显然，若，则，即，此时要使对于任意正整数，均有恒成立，即对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式，得，上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.【点评】（1）建立数列模型的关键是从已知中找到数列的递推关系，，，再根据递推关系求出数列的通项，再研究.（2）解答的关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.【例4】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元.（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.【解析】（1）所以3年后开始盈利.【点评】（1）建立数列模型的关键是理解数列函数的意义，再根据其意义求出表达式.（2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含义，年平均盈利=年盈利=【反馈检测3】某企业2006年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从2007年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第11讲：函数（三角函数、数列函数）模型及其应用参考答案【反馈训练1答案】（1）；（2）货船在1点至5点可以进出港；或13点至17点可以进出港．每次可以在港口最多能停留4小时.【反馈检测2答案】（1）；（2）【反馈检测2详细解析】（1），（2）【反馈检测3答案】（1）=，=500－－10；（2）至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.。
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2018年高考数学（理）命题猜想 专题6函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，【举一反三】【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞， ()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时， ()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时， ()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ． 2 D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≤a，x 2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x 3（x≤a），h （x ）＝x 2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x 2（x>a ）的图像与直线y ＝b有两个交点；当a≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a 3>a 2，解得a>1.综上得a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x 2－1|的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【探究提高】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解. 【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题例2、已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0.f(x)是R 上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则( )A ．sgn[g(x)]＝sgn xB ．sgn[g(x)]＝－sgn xC ．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D ．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 【答案】B【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x 1，x 2(a<x 1<x 2<b)，满足f′(x 1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f′(x 2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x 1，x 2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x 3－x 2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3) 【答案】A【解析】由题意可知，在[0，m]上存在x 1，x 2（0<x 1<x 2<m ），满足f′（x 1）＝f′（x 2）＝f （m ）－f （0）m －0＝13m 3－m 2m ＝13m 2－m.因为f′（x ）＝x 2－2x ，所以方程x 2－2x ＝13m 2－m 在（0，m ）上有两个不同的根.令g （x ）＝x 2－2x －13m 2＋m （0<x<m ），则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，g （0）>0，g （m ）>0，得32<m<3，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套． (1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. （1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x·v（x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤20，13（200－x ），20<x<200.【高考真题解读】1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是1Q ，分别作123,,B B B 关于原点的对称点'''123,,B B B ，比较直线112233,,A B A B A B '''的斜率（即为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得22A B '最大，所以p 1，p 2，p 3中最大的是2.p 2.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭写成分段函数的形式：()())132,021112,0222112,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且：)001111,201,12142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，据此x 的取值范围是：1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 3.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞， ()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时， ()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时， ()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >。