y=ax2+bx+c的图像和性质

y
当x≤-m时，y随的增 当x≤ b 时，y随x的增 2a b 大而增大；当 x ≥ -m 大而增大；当 x ≥ 时 a＜ 0 2 a 时,y随的增大而减小 y随x的增大而减小
a＞ 0 最值 a＜ 0
b 4ac b 2 当x= 时,y最小值= 4a 2a 当 x=-m 时,y最小值=k b 4ac b 2 时,y最大值= 当x=-m时，y最大值=k 当x= 2 a 4a
解 (3)
①画对称轴 ②确定顶点 ③确定与坐标轴的交点 及对称点 ④连线
•
(-3,0)
ห้องสมุดไป่ตู้
(1,0) x
0 3 (0,-– 2)
• • • (-1,-2)
•
例 1：
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ x=-1
解:
(2)由x=0，得y= - -3 — 2
3 抛物线与y轴的交点C（0，- -2 —） 1 x2+x- — 3 =0 由y=0，得— 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
例 1：
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ x=-1 y
例 1：
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
.
x1 x2 X= 2
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分 别为A(1,0),B(-3,0)则它的对称轴是直线x=-1 . 4、二次函数y=x2-2x+2 当x= 值为 1 .
1
时，y的最小
5、二次函数y=4x2+mx+1的图象顶点在x轴上，则 m= ±4 ；若它的顶点在y轴上，则m= 0 .
1 解:（1）∵a= — 2 >0 ∴抛物线的开口向上 1 (x2+2x+1)-2=— 1 (x+1)2-2 ∵y= — 2 2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
例 1：
1 2 3 已知二次函数y=— x +x— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
a<0 时
y b x
2
4ac-b² ，Ｙ最大＝── 4a
例 1：
1 3 2 已知二次函数y=—x +x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
观察点到对称轴的距离与 函数值大小的关系
对称轴： x
b x1 x2 , (其中 x1 , x2为抛物线上关于对称轴 对称的两个点的横坐标 ) 2a 2
例：按右图所示的流程，输入一个数据x,根据y与x的关 系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变成另一 组数据，要使任意一组都在20~100（含20和100）之间 的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： (Ⅰ)新数据都在60~100（含60和100）之间；
回顾与反思 ☞
名称
二次函数解析式
顶点式
y=a(x+m)2+k 直线x=-m (-m,k)
一般式
y=ax2+bx+c 直线x=
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
对称轴
顶点坐标
增减性
当x≤-m时，y随x的 a＞0 增大而减小;当x≥-m 时,y随x的增大而增大 随x的增大而增大
x1 x2 b 直线x= 2 2a 2 b 4ac b ( 2a , 4a ) y b 当x ≤ 时，y随xb 的增 2a 大而减小；当x ≥ 2 a时y o x
解 析 式 图 象
一般式 顶点式
二次函数
y ax bx c
2
y a( x h)2 k 2 b 4 ac b y ax 2 bx c a( x )2 2a 4a 2 b 4 ac b ) 顶点坐标: ( 2a , 4a b x 对称轴:
探究二：y=ax² +bx+c
我们可以解决的问题
已知二次函数 y x 4x 3 你能提出哪些数学问题？
2
已知二次函数y=x2+4x+3，回答下列问题:
（1）说出此抛物线的对称轴 和顶点坐标 ；
（2）抛物线与x轴的交点A、B
的坐标，与y轴的交点C的坐标；
（3）函数的最值和增减性；
X=-2
当二次函数y=ax² +bx+c 的 图象与x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量 X的值,即一元二次方程 ax² +bx+c=0的根.
b 当Ｘ<-2a ─ a>0 时 b 当Ｘ﹦‫־‬2a ─ ，Ｙ随Ｘ的增大而减小
b─ ，Ｙ随Ｘ的增大而增大 当Ｘ>2a 4ac-b² ，Ｙ最小＝─── 4a 当Ｘ>-─b ，Ｙ随Ｘ的增大而增大 2a b 当Ｘ<-─ ，Ｙ随Ｘ的增大而减小 2a 当Ｘ﹦‫─־‬ 2a
“－”
y
B 4
y ( x 1) 1
抛物线的平移本质上就是把握点的平移
-1 o 1
A
x
图2
数形结合
1.若A(-1,y1 )，B（ 2，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点，
变式1：若A(-1,y1 )，B（4，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点，
说一说
（1）说出 y x 2x 3 的开口方向、顶点坐标。 （2）分别求出与x轴、y轴的交点坐标 （3）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
2
y
x
（1，- 4）
尝试热身练习
1、若抛物线y=ax2+3x-4与抛物线y=-2x2形状相 ±2 同，则a= . 2、二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 (0,1)
2
(2,0)
(4,-5)
1 2 (2) y 2014 x2 4028x 1 (5) y 2 x 6 x 72
(-1,2015) (3) y (6,54) (6)
x 2x 9999
2
y 2x 8x 99
2
(-1,9998)
(2,107)
探究二：
由y=ax²+bx+c 我们可以解决的问题
y=ax2+bx+c
顶点与对称轴
b 2 y=a(x+ 2a ) + b 对称轴： x= – 2a
4ac-b2 4a
2 b 4ac-b 顶点坐标：（– 2a ， ） 4a
探究一：求顶点坐标的方法
求下列函数的顶点坐标
1 2 (1) y 2 x 8x 8 (4) y x 4x 3 2
x o
回顾与反思 ☞
系数 性质
a 看方向 (上正、下负） b
看对称轴(左同、右异) (上正、下负)
c 看交点
什么没变？
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物 2 y ( x 1 ) 4 线对应的解析式为________________ ； 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移 3个单位， 2 则此时抛物线对应的函数解析式为______________。 左“+”右
2 y=ax +bx+c的图像和性质
开启 智慧 你说 我说
1、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。根据这个函
数图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？
y
X=1
o
x
- 4 ------
探究一： 求顶点坐标的方法
探究一：求顶点坐标的方法
顶点式
y=a(x-h)² +k
去括号 配方法
一般式
y=ax² +bx+c
< 变式2：若A(m,y1 )，B（m 2，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点，
当m取何值时，则 y1 y2 ? y1 y2 ?
y
则y1 ___ < y2 (填 , 或 )。
则y1 ___ y2 (填 , 或 )。
利用函数对称性：