导数证明不等式的常用方法(3)

导数证明不等式的常用方法（3）

考法3放缩法

考向1已知条件放缩

1.（2018·全国卷Ⅲ·文科）已知函数21

()x

ax x f x e +-=.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥.

解析：（Ⅰ）2(21)2

()x

ax a x f x e -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)

-处的切线方程是210x y --=．

（Ⅱ）当1a ≥时，2221

111()x x x x

ax x x x x x e f x e e e e e e

++-+-+-++=+≥+=（放缩法）．令21()1x g x x x e +=+-+，则1()21x g x x e +'=++．令(1)220g '-=-+=，()g x '单调递增，当x 变化时，()g x '、()g x 变化情况如下表：

所以，()(1)0g x g ≥-=，因此()0f x e +≥． 考向2已有结论放缩的应用 结论1：ln 1x x ≤-

1.（2017·全国卷Ⅲ·理科）已知函数()1ln f x x a x =--. （Ⅰ）若()0f x ≥，求a 的值；

（Ⅱ）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111

(1+)(1+)(+)222n m ⋅⋅

小值.

解析：（Ⅰ）①函数的定义域为(0,)+∞.当0a ≤时，取特值11

()ln 2022

f a =-+<，

所以不满足题意.

或者()1ln 1()ln f x x a x x a x =--=-+-在(0,)+∞上单调递增，(1)0f =，当

01x <<时，()0f x <，不满足要求.

②当0a >时，()1a x a

f x x x

-'=-=

，令0x a -=，x a =.当x 变化时，()f x '、()f x

()f x 在x a =处取得极小值，也是最小值，又(1)0f =，当且仅当1a =时，()0f x ≥， 所以，1a =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当1x >时，()1ln 0f x x x =-->，即ln 1x x <-.令1

12n x =+

得11ln(1)22n n +<，从而2211111

ln(1)ln(1)ln(1)22222

n ++++++<++L L 1ln(1)2n ++

2111222n <+++L 112n =-1<.故2111

(1)(1)(1)222n e +⋅+⋅⋅+

(1)(1)(1)2222

+⋅+⋅+>，所以m 最小值为3.

引申1：设1k x k +=，111ln 1k k k k k ++<-=，所以，111

ln(1)123n n

+<++++L .

231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ，即111ln(1)123n n

+<++++L . 结论2：ln(1)1x

x x

+>+.

1.已知函数()ln(1)1x

f x x x

=+-+.

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）证明：111ln(1)231n n +>

++++L （n N +∈）. 解析：（Ⅱ）令1x n =（n N +∈），则11ln 1n n n +>+，1ln 2ln12->，1

ln 3ln 23->L ，

1ln(1)ln 1n n n +->+，上述各式相加，得111

ln(1)231

n n +>++++L .