球面距离优秀课件

大圆周长的 1
6
，经过三个点的小圆的周长为 4 ，求这
个球的半径。
O
设 球 的 半 径 R,可 为知 小 圆 的 半2径
A
如图O 设 为球心，三A,点 B,C为 ,
C O为ABC 的外接圆的圆
O
可知 AB为 C正三角 AB 形 2 3且
A，B，C的球面距离两两相等
B
AOBAOCBOC2
63
RAB 2 3
离是 R ，A在东经200，求B点的位置
3
A的 B 弧 R 长 AO 6B 0
3
AO 为 B正三 A 角 B R 形
B
CO
A
在 COD中C ， D AB R， OC OD Rcos 45
D co sCOD OC 2OD 2CD 2 0
2OC OD COD 90
B的位置可能是：东11经0 ,西经70
是一条线段的长吗? 答：不是，是一段圆弧的长。
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地
球上两点之间的最短距离（球面距离）
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、
B之间的最短距离，就是
经过A、B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
cos AOB OA 2 OB 2 AB 2 , 2 OA OB
其中 OA OB 6371 ,
OC OD 6371 cos 40
c o As O 0 .1B 6 A 4 7 O 9 .4 9
A的 B 弧 2长 637919.48
360
例、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于
AOB中 AB 2 ，同理得：
AC 2 BC 2 AOB 为正三角形，
HB2 3AB 6 ，在直角三角形
32
3
BOH中
,OH
12
6 2
3
O
3 3
1
O
d
C
d1
A
H
B
C
H
B
A
注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理
练习： 已知在半径为 3的球面上，有A, B,C三点，
AB 1, BC 2,
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O
RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆
在A、B间的劣弧长
O
度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
若设球 A心 O B (角 弧度 ) 制
AB的 弧 R 长
6
A ，B的球面距离为
R
6
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度
线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 A B 的长度;
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
(1)解：在
BOO
中，
1
m
OO 1 B 90 , OB R ,
AC的两点之间的球面距离为 3 ，
3 则球心到平面ABC的距离是多少。
解： A 、 C两点的球面距离为
O C
3 AOC
3
3
H
B ACR 3
A 又 AB1 , BC 2 , AC 3
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
球心O 在平面ABC内的射影一定在 A C 上，
所以点 O 到平面ABC的距离为 O H
2
OO1
OA2O1A2
3
3 2
3 2
练习：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离
都等于大圆周长的 1 ,
6
经过3点的小圆的周
长为4 , 那么这个球的半径为（ ）
A．4 3 B．2 3
C． 2
D ．3
O C
B A
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B
两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距
A B
地球仪中的经纬度
经度——P点的经度，也是 或AOB 的
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
北极
P
本
初
地
子 轴
午
O
线
A
道
赤
B
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度．
O1 B
α
O
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。 AOC BOD 40,
COD 36 0(11 674)17
由余弦定理，得：
AB 2 CD 2 OC 2 OD 2
A
C
O1
O
B
D
2 OC OD cos COD ,
O1
OB 1O 4 5 , B1 O 2 2R .
A
B
∴纬线圈中 A B 的长度为
O
. 2 R 2R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中，AO1B90,
AB R, 在AOB中， m
O1
A O O B A B R A
B
AO B60
l
R
3
O
∴ A、B两地的球面距离为 R . 3
已知球O的半径是1.A、B、C三点
都在球面上，且每两点的球面距离都是，
2 则球心到平面ABC的距离是___
A1 . B 3, C 2 , D 6
3
3
3
6
O
C
d1
A
H
解:
A 、 B 、 C三点
每两点间的球面距离都为
2
A O B B O C A O C 9 0
B
又OAOB1，在直角三角形
例2、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
上 海 与 台 北 在 同 一 经 上线 ，
他 们 在 同 一 个 大 圆 上
A A O 3 1 B 2 5 6
O
B r637 1
AB的 弧长263716
球面距离优秀课件
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连 结这两点的线段的长度，
而球的表面是曲面，球面上P 、Q 两 点间的最短距离显然不是线段PQ的长 度，那是什么呢？
假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?
航程大约是多少呢?
(1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 3 8 和 6 8
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
N
解 EOB EOA
AO B , 又 EOB68
B
A
EOA3 8 , AOB
E
O 赤道
3 0 ，根据 l