莘县一中53级高一下学期数学期中考题
高一下学期期中数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一数学期中考试命题人：夏俊东 审题人：王进一、单选题（选对得5分，选错得0分）1. 设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出||z .【详解】224i 4i 14i,||ii i z z --+===-+==-故选：A2. 已知1e r ､2e r是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）A. 12e e +r r 和122e e -r r B. 122e e -r r 和2124e e -r r C. 122e e -r r 和1e r D. 12e e +r r 和212e e +r r【答案】B【解析】【分析】判断各选项向量组是否共线即可得出答案.【详解】因为()12211224=2e e e e ---r r r r ，所以122e e -r r 和2124e e -r r 共线，所以122e e -r r 和2124e e -r r 不能作为基底.故选：B.3. 已知直线,a b 和平面a ，下列说法正确的是（ ）A. 若a //b ，b //a ，则a //aB. 若a //b ，b a Ì，则a //aC. 若a //b ，b a Ì，a a Ë，则a //aD. 若a //a ，b //a ，则a //b【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若a //b ，b //a ，则a //a 或a a Ì，故A 错误；对B ：若a //b ，b a Ì，则a //a 或a a Ì，故B 错误；对C ：若a //b ，b a Ì，a a Ë，则a //a ，故C 正确；对D ：若a //a ，b //a ，则,a b 可以平行，可以相交，也可以是异面直线，故D 错误；故选：C .4. 已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由圆锥的结构特征求出底面半径、高，再应用圆锥的体积公式求体积.【详解】由题意，圆锥的底面半径r =，圆锥的高h ==，所以圆锥的体积213V r h p =××=.故选：A 5. 如图，O A B ¢¢¢△是水平放置的OAB V 的直观图，3,4O A O B ¢¢¢¢==，45A O B ¢¢¢Ð=°，则OAB V 的面积为（ ）A. 6B. C. 12D. 【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得.【详解】根据斜二测画法还原平面图如图，则146122OAB S =´´=△.故选：C.6. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 150°B. 105°C. 135°D. 120°【答案】D【解析】【分析】由余弦定理求出中间的角可得结论．【详解】设边长为7的边所对角为q ，则2225871cos 2582q +-==´´，q 是三角形内角，所以60q =°，因此三角形中最大角与最小角和是120°．故选：D ．7. 在三棱锥P ABC -中，,2,4,PB AC PA PB AB AC BC ^=====，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ）A. 52pB. 643pC. 1123pD. 2563p 【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理证得AB AC ^，再根据线面垂直的判定定理可得AC ^平面PAB ，故三棱锥C PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上，利用正弦定理求得PAB △外接圆的半径为r ，再根据三棱锥C PAB -外接球的半径为R 求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：由2,4,AB AC BC ===，可得222BC AB AC =+，所以AB AC ^，又,PB AC AB PB B ^Ç=，且PB ，AB Ì平面PAB，的所以AC ^平面PAB ，故三棱锥B PAB -的外接球在过底面PAB △外接圆圆心且垂直于底面PAB △的直线上，由正弦定理，可得PAB △外接圆的半径为12sin60PA r =´o所以三棱锥C PAB -外接球的半径为R ==所以三棱锥C PAB -外接球的表面积为244S R p p ==´，即三棱锥P ABC -外接球的表面积为2264443S R p p p ==´=.故选：B.8. 如图，扇形的半径为1，且0OA OB ×=uuu r uuu r ，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则2x y +的最大值是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意将OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r ，两边同时平方可得221x y =+，再三角代换cos sin [0,2x y pa a a ==Î，，，利用三角函数的值域求法即可解出．【详解】由题意得，0OA OB ×=uuu r uuu r ，1OA OB ==uuu r uuu r ，1OC =uuu r ，由OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r ，等式两边同时平方，得2OC =uuu r 22222x OA y OB xy ++uuu r uuu r OA OB ×uuu r uuu r ，所以221x y =+，令AOC a Ð=，则cos sin [0,]2x y p a a a ==Î，，，则22cos sin )x y a a a q +=+=+，其中sin cos [0,2p q q q ==Î，因为2p q a q q £+£+sin()1a q £+£，所以1)a q £+£2x y +故选：B ．二、多选题（选对得5分，选错得0分，选不全得2分）9. 下列结论正确的有（ ）A. 若存在实数l ，使得b a l ®®=，则b a®®∥B. 若b a ®®∥，则若存在实数l ，使得b al ®®=C. a ®，b ®为非零向量，若a b a b ®®®®-=-，则a ®与b ®方向相同D. 已知长度相等的三个非零向量OA ®、OB ®、OC ®满足0OA OB OC ®®®®++=，则ABC V 是等边三角形．【答案】ACD【解析】【分析】可以证明选项ACD 正确，举反例说明选项B 不正确，即得解.【详解】A. 若存在实数l ，使得b a l ®®=，则b a ®®∥, 所以该选项正确；B. 若b a ®®∥，则不一定存在实数l ，使得b a l ®®=，如b ®是非零向量，a ®是零向量，则不存在实数l ，使得b a l ®®=，所以该选项不正确；C. a ®，b ®为非零向量，若a b a b ®®®®-=-，所以2222+2||||+2a b a b a b a b ®®®®®®®®-=-g ，所以||||2||||cos ,cos 1,=0a b a b q q q ®®®®=\=\o ，则a ®与b ®方向相同，所以该选项正确；D. 已知长度相等的三个非零向量OA ®、OB ®、OC ®满足0OA OB OC ®®®®++=，则ABC V 是等边三角形．如图所示，设BC 中点为D ,连接OD 并延长到E ,使,OD DE =连接,BE EC .显然四边形OBEC 是平行四边形，因为OB OC =,所以四边形OBEC 是菱形，因为,OB OC OE OA ®®®®+==-所以//OA OE ®®,所以,,A O D 三点共线，所以AD BC ^,所以,AB AC =同理,AB BC =所以AB AC BC ==,所以ABC V 是等边三角形．所以选项D 正确.故选：ACD10. 在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（ ）A. 若1z ，2z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数B. “1z =”是“1z R z+Δ的充分不必要条件C. 方程20(0)x t t +=>的根是D. 22z z =【答案】ABC【解析】【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可．【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z +(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d =+-+-+(i i )(i i )ac ad bc bd ac ad bc bd =-++++-+22ac bd R =+Î，故A 正确；设i z a b =+(a ，)b R Î，当0b =时，由||1z =则1z =±，所以1z R z +Î，若11z a R z a +=+Î得不到||1z =，当0b ¹时，若||1z ==，则222222222211i 1i i i=i a b a a b a z a b a b a b a R z a b a b a b a b a b æö-+-+=++=++=+++Îç÷+++++èø，\ “||1z =”是“1z R z+Δ的充分不必要条件，故B 正确；方程20(0)x t t +=>的根是，故C 正确；z 是复数，2z 可能是复数，但2||z 是复数的模，一定是实数，如1i z =+，则()221i 2i z =+=，但是22z =，故D 错误；故选：ABC ．11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）A. 直线11A C 与1AD 为异面直线B. 11//A C 平面1ACD C. 1BD AC ^D. 三棱锥1D ADC -的体积为83【答案】ABC【解析】【分析】根据异面直线的定义，线面平行，垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，直线11AC Ì平面1111D C B A ，1AD Ì平面11ADD A ，1D Ï直线11A C ，则易得直线11A C 与1AD 为异面直线，故A 正确；对于B ，因为1111//,A C AC A C Ë平面1ACD AC Ì，平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，连接BD ，因为正方体1111ABCD A B C D -中，11,,AC BD AC DD BD DD D ^^Ç=，所以AC ^平面1BDD ，所以1BD AC ^，故C 正确；对于D ，三棱锥1D ADC -的体积1114222323D ADC V -=´´´´=，故D 错误．故选:ABC.12. 在棱长为3的正方体111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，N 在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）A. 存在点N ，使得//BCMN B. 三棱锥M —11A BC 的体积等于94C. 有且仅有两个点N ，使得//MN 平面11A BCD. 有且仅有三个点N ，使得N 到平面11A BC 【答案】ABC【解析】【分析】对A ，取N 为11C D 的中点时判断即可对B ，根据1111M A BC B A MC V V --=计算即可；对C ，取12,N N 分别为111,B B B C 中点可得1//MN 平面11A BC ，2//MN 平面11A BC 判断即可；对D ，根据正方体的性质可知1B D 与平面11A BC ，平面1ACD 均垂直，且被两平面平分为3段可得点11,,,B A C D 四点到平面11A BC 【详解】对于A ，当N 为11C D 的中点时，易得11//MN B C ，又11//B C BC ，故//BC MN ，故A 正确；对于B ，1111111111393333224M A BC B A MC A MC V V S B B --==×=´´´´=V ，故B 正确；对于C ，如图所示12,N N 分别为111,B B B C 中点，有1//MN 平面11A BC ，2//MN 平面11A BC ，故C 正确；对于D ，易证1B D ^平面11A BC ，1B D ^平面1ACD ，1B D 分别交平面11A BC ，1ACD 于12,O O ，则11122113B O O O O D B D ====11,,,B ACD 四点到平面11A BC D 错．故选：ABC三、填空题（做对得5分，做错得0分）13. 已知向量()()()1,0,1,1,1,0a b c ===-r r r ，且c a b l m =+r r r ，则l 和m 的值_________【答案】10l m =-=，【解析】【分析】由平面向量的坐标运算，代入可得：10l m m +=-ìí=î，解方程即可得出答案.【详解】因为()()()1,0,1,1,1,0a b c ===-r r r ，c a b l m =+r r r ，所以()()()()1,01,01,1,l m l m m -=+=+，所以10l m m +=-ìí=î，解得：1,0l m =-=.故答案为：1,0l m =-=14. 已知圆锥的高为1，体积为23p ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.【答案】12p【解析】【分析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径r ，利用勾股定理可得母线长l ；根据球的表面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，Q 圆锥体积212133V r p p =´=，r \=，l \==，\以l 为半径的球的表面积2412S l p p ==.故答案为：12p .15. 如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝________.【答案】5【解析】【分析】取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，解△MPN 即可.【详解】取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.故答案为：5.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的正三角形，14AA =，M 为1CC 的中点，P 为线段1A M 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）①1A M ^平面ABM②三棱锥P ABM -的体积的取值范围为æççè③BP 与11B C 为异面直线④存在点P ，使得AP 与BC 垂直【答案】②③【解析】【分析】由勾股定理求出1A M 、BM 、1A B，即可判断①，由B AMP P ABM V PM V --==即可判断②，根据异面直线的定义判断③，设AC 中点为N ，即可得到AP ^平面BNC ，即AP ^平面ABC ，得出矛盾，即可判断④；【详解】解：由题意得1112A C MC ==．则1AM A M BM =====，1A B ==，所以1A M 与BM 不垂直．故①错误；P ABM B AMP V V --=，点B 到平面AMP由22211AM A M A A +=，所以1AM A M ^，所以AMP AMPM S ´=△，又(0,PM Î，则13P ABM B AMPAMP V V S PM --æ===ÎççèV ，故②正确；P 为线段1A M 上点（不包括端点），故BP 与11B C 为异面直线，故③正确；若^AP BC ，设AC 中点N ，所以BN AC ^，又平面ABC ^平面11ACC A ，平面ABC I 平面11ACC A AC =，BN Ì平面ABC ，所以BN ^平面11ACC A ，AP Ì平面11ACC A ，所以BN AP ^，又BN BC B =I ，则AP ^平面BNC ，即AP ^平面ABC ，的为又因为1AA ^平面ABC ，故点P 与点1A 重合，不合题意，故④错误．故答案为：②③四、解答题17. 如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm ），球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积【答案】体积为1200＋12512p （cm 3），表面积700＋254p （cm 2）．【解析】【分析】利用长方体和球的体积公式、表面积公式进行求解即可.【详解】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V 长方体＝10×8×15＝1200（cm 3），又V 半球＝33145125(cm )23212p p æö´´=ç÷èø，所以所求几何体体积为：V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋12512p （cm 3）．因为S 长方体全＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm 2），故所求几何体的表面积S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋221554222p p æöæö××-×ç÷ç÷èøèø＝700＋254p （cm 2）．18. 已知向量(1,2),(3,)a b k ==-r r .（1）若a b r r ∥，求||b r ；（2）若向量a r 与b r 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）；（2）32k <且6k ¹-.【解析】【分析】(1)根据向量共线的坐标表示即可求出k ，根据向量模长公式即可计算；(2)若向量a r 与b r 的夹角是钝角，则a r b ×r ＜0且a r 与b r 不反向，根据数量积即可运算.【小问1详解】∵a b r r ∥，∴12(3)0k ´-´-=，解得6k =-，∴||b ==r .【小问2详解】∵a r 与b r的夹角是钝角，∴0a b ×<r r ，且a r 与b r 不反向，即1(3)20k ´-+´<且6k ¹-，∴32k <且6k ¹-.19. 已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+．（1）求z ；（2）若z 是关于x 的方程()20,R x px q p q ++=Î的一个根，求复数()4iz p q ++的模．【答案】（1）i 12z =+（2）1【解析】【分析】（1）设()i ,R z a b a b =+Î，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；（2）将i 12z =+代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为0的充要条件得到方程，即可求出p 、q ，再代入()4iz p q +-，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模；【小问1详解】解：设()i ,R z a b a b =+Î，则i z a b =-，所以()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =ìí=î，即12a b =ìí=î，所以i 12z =+；【小问2详解】解：将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=，即()214i 4i 12i 0p q +++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=ìí+-=î，解得25p q =-ìí=î，所以()()()()()212i 2i 12i 2i 4i 2i 5i i 4i 2i 2i 2i 55z p q +--+-----=====-+--+-+--，又i 1-=，故复数()4iz p q +-的模为1．20. 已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos 2b A c a ×=+.（1）求B ；（2）若3b =，求ABC V 的面积的最大值.【答案】（1）23B p =；（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解作答.（2）利用余弦定理结合均值不等式求出ac 的最大值，再由面积定理求解作答.【小问1详解】在ABC V 中，A B C p ++=，由2cos 2b A c a ×=+及正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A C A ×=+，即2sin cos 2sin()sin B A A B A ×=++，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B A A B A B A ×=×+×+，于是得2cos sin sin B A A ×=-，又0A p <<，即sin 0A >，则1cos 2B =-，因(0,)B p Î，所以23B p =.【小问2详解】3b =，由余弦定理得：222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++³，当且仅当a c =时取“=”，因此，3ac £，于是得11sin 322ABC S ac B =£´=V ，当且仅当a c ==时取“=”，所以ABC V 21. 在三棱锥P ABE -中，PA ^底面ABE ，AB ⊥AE ，122AB AP AE ===，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且AC =，连接PC ，PD ，CD .（1）求证：CD ∥平面PAB ；（2）求点E 到平面PCD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过证明//CD AB 来证得//CD 平面PAB .（2）通过等体积法求得点E 到平面PCD 的距离.【小问1详解】因为122AE =，所以4AE =.又2AB =，AB AE ^.所以在Rt ABE △中，由勾股定理，得BE ===因为12AC BE ==，所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线.所以C 是BE 的中点.又因为D 是AE 中点，所以直线CD 是Rt ABE △的中位线，所以//CD AB .又因为CD Ì/平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以CD ∥平面PAB .【小问2详解】由（1）得，112CD AB ==.又因为122DE AE ==，DE CD ^.所以1112122CDE S CD DE =×=´´=△.又因为2AP =，所以11212333P CDE CDE V S AP -=×=´´=×△.由题意得PD =，且PD CD ^，所以11122PCD S CD PD =×=´´△设点E 到平面PCD 的距离为d ，则由P CDE E PCDV V --=得1233PCD S d ××=△，即1233d =，解得d =故点E 到平面PCD.22. 重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前A 点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达D 点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆B 点，后又沿着南偏西60°的方向行走到达国旗杆下C 点，经过测量发现60ACD Ð=°.设ACB q Ð=，如图所示.的（1）设国旗杆底C 点到行知大道的最短距离为h ，请用q 表示h 的解析式；（2）求小王走过的路程AB BC +的最大值.【答案】（1）60)60)h q q =-°+°<<°（2）18+【解析】【分析】（1）根据题意可得出90ADC q Ð=°-，再由正弦定理可表示出AC q =，再结合30CAD q Ð=°+与sin h AC CAD =×Ð即可得出答案.（2）利用正弦定理表示出18sin 2AB q =与sin(60)sin120AC BC q °-=°，即可化简求出AB BC +的最大值.【小问1详解】由已知得360(9012060)90ADC q q Ð=°-°+°+°+=°-，在ACD V 中，由正弦定理得sin sin AD AC ACD ADC =ÐÐ，所以27cos sin 60AC q q ==°. 又因为30CAD q Ð=°+，且060q °<<°，所以sin sin(30)60)60)h AC CAD q q q q =×Ð=+°=-°°<<°.【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理得sin 18sin 2sin120AC AB q q ==°，sin(60)36cos sin(60)29sin 2sin120AC BC q q q q q °-==°-=+-°，于是29sin 218sin(260)AB BC q q q +=+=++°.因为060q °<<°，所以当15q =°时，AB BC +取得最大值18+米.。
精品解析：高一下学期期中考试数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二学期高一年级数学学科期中考试试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=（ ）A. sin 10°B. cos 10°C.12【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.【详解】cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=()cos 2010cos30+==o o o 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.2. 已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r ，若l 为实数，()b ac l +^r r r，则l 的值为 （ ）A. 311-B. 113-C.12D.35【答案】A 【解析】【详解】因为(1,2)b a l l l +=+r r，()3,4c =r 且()b ac l +^r r r ，所以()0b a c l +×=r r r ，即3(1)80l l ++=，所以311l =-.故选：A ．考点：1、向量的加法乘法运算；2、向量垂直的性质．3. 命题p ：“向量a r 与向量b r 的夹角q 为锐角”是命题q ：“0a b ×>r r”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题首先可根据“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”证得“0a b ×>r r ”得出命题p 是命题q 的充分条件，然后通过“0a b ×>r r ”不能证得“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”得出命题p 不是命题q 的必要条件，即可得出结果.【详解】当向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角时，因为夹角q 为锐角，所以cos 0q >，cosθ0a b a b ×=××>r r r r，故命题p 是命题q 的充分条件，若0a b ×>r r，则cosθ0a b ××>r r ，090q £<o ，故命题p 不是命题q 的必要条件，综上所述，命题p 是命题q 的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若p 则q ，如果p 可以证得q ，则p 是q 的充分条件，若果q 可以证得p ，则p 是q 的必要条件，考查推理能力，是简单题.4. 下列四个命题中正确的是（ ）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④【答案】B 【解析】【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交②正确 ③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.故选B.【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题．.5. 已知正四棱锥的底面边长为2( )A.43B.23C. 【答案】D 【解析】【分析】求出正四棱锥的高后可求其体积.【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为故正四棱锥的高为h ==，所以体积为143´=故选D .【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA. 3144AB AC -uuuv uuu v B.1344AB AC -uuuv uuu v C. 3144+AB AC uuuv uuu v D. 1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 若3cos 22sin()4pa a =-，(,)2pa p Î则sin 2a 的值为( )A.B. C. 79-D.79【答案】C 【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助解公式将3cos 22sin()4pa a =-化简为223(cos sin )sin )a a a a --，再约分后平方，可得结果【详解】解：因3cos 22sin()4pa a =-，所以3cos 22(sin cos cos sin )sin )44p pa a a a a =-=-，223(cos sin )sin )a a a a --，3(cos sin )(cos sin )sin )a a a a a a +--，因为(,)2pa p Î，所以cos sin 0a a -¹，所以3(cos sin )a a +所以cos sin a a +=，两边平方得，212cos sin 9a a +=为所以7sin 29a =-，故选：C【点睛】此题考查正余弦的二倍角公式，辅助角公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.8. 函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A. 13(,),44k k k Z p p -+Î B. 13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC. 13(,),44k k k Z-+Î D. 13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos(4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.考点：三角函数图像与性质二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的的3分，有选错的得0分）9. 已知复数()13(z i i +-﹦其中i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A. 5z ﹦B. 12z i =+C. 复数z 的虚部为2-D. 234z i--﹦【答案】ABCD 【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后逐个判断.【详解】由()13z i i +-﹦得，3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-5z \﹦， 12z i =+；复数z 的虚部为2-；2234z i=--﹦(1-2i )故选：ABCD【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模、共轭复数的运算.10. 设m 、n 是两条不同的直线，a 、b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//m a ，//m b ，则//a b B. 若//a b ，m a Ì，则//m b C. 若//a b ，//m n ，//m a ，则b n//D. 若//m a ，m b Ì，n a b =I ，则//m n 【答案】BD 【解析】【分析】假设直线m 与平面a 、b 的交线平行，结合线面平行的判定定理可判断A 选项的正误；利用面面平行的性质可判断B 选项的正误；直接判断n 与b 的位置关系可判断C 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，假设l a b =I ，m a Ë，m b Ë，//m l ，则//m a ，//m b ，但a 、b 不平行，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，m a Ì，由面面平行的性质可知//m b ，B 选项正确；对于C 选项，若//a b ，//m n ，//m a ，则n b Ì或b n//，C 选项错误；对于D 选项，若//m a ，m b Ì，n a b =I ，由线面平行的性质可知//m n ，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查线面关系有关命题正误判断，考查推理能力，属于中等题.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =3c =，3A C p +=，则下列结论正的确的是（ ）A. cos C =B. sin B =C. 3a = D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】【分析】根据正弦定理得到cos C =，sin sin 2B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.【详解】3A C p +=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =´，sin 0C ¹，故cos C =，sin C =，sin sin 22sin cos B C C C ===2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C p==，故2B p=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==´´=△.故选：AD .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.将函数()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则j 的值可以为（ ）A.116B.76C.56D.23【答案】AC 【解析】【分析】本题首先可以将()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø转化为()cos 23f x x p p æö=+ç÷èø，然后通过图象变换得出函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，最后通过函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数即可得出结果.【详解】()22cos 1cos 263f x x x p p p p æöæö=+-=+ç÷ç÷èøèø，所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数()os 3c g x x p p æö=+ç÷èø，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，得到函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，因为函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数，所以()03cos 0h p jp æö=-+=ç÷èø，即()23k k Z p pjp p -+=+Î，解得16k j =--，故j 的值可以为116、56，故选：AC.【点睛】本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数cos 2y x =的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数cos y x =，再向右平移j 个单位长度得到函数()cos y x j =-，考查推理能力与计算能力，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，，每小题5分，共20.0分）13. 若复数21a ii+-为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值为________【答案】12【解析】【分析】将复数化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出a 的值即可．【详解】()()()()212212111122a i i a i a a i i i i Q+++-+==+--+是纯虚数，2102a \-=且2102a +¹，解得12a =.故答案为：12.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．14. 函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________.【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sinx =x sin x）=sin （x +θ），其中tan θ＝2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B w j =++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +£求最值．15. 已知1tan 45p æöa -=ç÷èø，则tan 2a =______．【答案】125-【解析】【分析】本题首先可根据1tan 45p æöa -=ç÷èø得出3tan 2a =，然后通过22tan tan 21tan a a a =-即可得出结果.【详解】因为1tan 45p æöa -=ç÷èø，所以tan tantan 114tan 41tan 51tan tan 4pa p a a p a a --æö-===ç÷+èø+，解得3tan 2a =，则222tan 312tan 21tan 5312aa a===--æö-ç÷èø，故答案为：125-.【点睛】本题考查两角差的正切公式以及二倍角公式的使用，考查的公式为()tan tan tan 1tan tan a b a b a b--=+、22tan tan 21tan a a a=-，考查计算能力，是简单题.16. 在四面体ABCD中，AB CD ==BC DA ==，CA BD ==，则此四面体ABCD 外接球的表面积是__.【答案】14p【解析】【分析】根据对棱长相等可将四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表面积.【详解】将该几何体补成如图所示的长方体：设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则22222210513a b a c b c ì+=ï+=íï+=î，所以22214a b c ++=，所以长方体的外接球（即四面体ABCD，其表面积为14p .【点睛】几何体外接球问题，应该先考虑如何确定球的球心，再把球的半径放置在可解的平面图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把几何体补成规则的几何体，通过规则几何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知单位向量a r ，b r 满足()()2323a b a b -×+=r r r r .（1）求a b ×rr ；（2）求2a b -r r 的值.的【答案】（1）12-； （2.【解析】【分析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出；（2）利用数量积运算性质,即可求得答案.【详解】（1）由条件2242633a a b a b b +×-×-=r r r r r r ，即4433a b -×-=rr ，12a b \×=-r r （2）222124441472a b a a b b æö-=-×+=+-´-=ç÷èør r r r r r ，\2a b -=r r 【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18. 如图所示，在四棱锥-C ABED 中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC（2）H 是线段BC 的中点，证明：平面//GFH 平面ACD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】()1证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F 故//GF AC ，GF ËQ 面ABC ，AC Ì面ABC ，//GF \面ABC ；()2由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：////GH EB AD ，GH ËQ 面ACD ，AD Ì面ACD ，//GH \面ACD ，由()1可知，//GF 面ACD ，且GH GF G Ç=，故平面//GFH 平面ACD ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.19. 已知函数()22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求当,44x p p éùÎ-êúëû时，()f x 值域．【答案】（1）p ；（2）1,12éù-êúëû.【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】(1())22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø1cos 22sin 22x x x ö=-÷÷ø12sin 2sin 223x x x p æö=+=+ç÷èø， 22T p p \==，()f x \的最小正周期为p ；(2),44x p p éùÎ-êúëûQ ，52,366x p p p éù\+Î-êúëû，1sin 2123x p æö\-£+£ç÷èø，()f x \的值域是1,12éù-êúëû．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.20.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD P ，BC CD ^，2CD AB ==，45ADC Ð=°，梯形绕着直线AB 旋转一周.（1）求所形成的封闭几何体的表面积；的（2）求所形成的封闭几何体的体积.【答案】(1) (15p + (2) 【解析】【分析】(1)梯形绕着直线AB 旋转一周后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，其表面积++S =圆柱侧面积圆锥侧面积圆柱底面积，计算即可(2)几何体的体积可以看做圆柱的体积减去一个圆锥的体积.【详解】依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由2CD AB ==，45ADC Ð=°可知BC AD ===圆柱底面积（1）其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积22p =´+(12315p p p =++=+.（2）其体积V=圆柱体积-圆锥体积2213p p =´´´==.【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积，体积，属于中档题.21. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=4p 1+【解析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B =，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4p³2ac ﹣2ac ，整理得：ac £，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为1122=（2）=+1．22. 在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC a Ð=Ð=，ACD b Ð=.（1）若30a =o ，75b =o 5+=，求,AC CD 的长；（2）若90a b +>o ，求证：AB AD <.【答案】（1）AC =CD =；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得出45ACB Ð=o ，ADC 60Ð=o ，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD Ð<Ð，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.【详解】（1）由已知得30CBD BDC Ð=Ð=o ，75ACD Ð=o ，所以45ACB Ð=o .因为AD BC ∥，所以30ADB CBD Ð=Ð=o ，45DAC BCA Ð=Ð=o .所以ADC 60Ð=o .在ACD D 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=ÐÐ，所以sin 60sin 45AC CD =o o ，所以AC =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB D 中，由余弦定理得AB =.在ACD D 中，由余弦定理得AD =因为90a b +>o ，1802ACB a b Ð=--o ，所以()()180218020ACB ACD a b b a b Ð-Ð=---=-+<o o ，即ACB ACD Ð<Ð.又0180ACB <Ð<o o ，0180ACD <Ð<o o ，所以cos cos ACB ACD Ð>Ð，所以AB AD <.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.。
高一数学下学期期中试卷含答案(共3套)
高一数学第二学期期中考试试卷试题分值 150分 时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =c =（ ）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =， 则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x +=)(的图象是（ ）ABCD11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、已知正实数,,a b m ，满足a b <则b a 与 b ma m++的大小关系是15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有 对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________.三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分10分)叙述并证明余弦定理19. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22x x n =r ，设函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调区间．20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分） 已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取 值范围 .第二学期期中考试 高一文科数学试题试题分值 150分 时间 120分钟 命题教师 侯思超一、选择题1、C2、C.3、B4、C5、A6、B7、A.8、C.9、Ｄ10、A 11、A.12、A二、填空题13、725 14、b a >b m a m++15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉Q 即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18. 叙述并证明余弦定理解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍【2分】即2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-【4分】证明：如图，设,,CB a CA b AB c ===，那么c a b =-，()()2c c c a b a b =⋅=-⋅- 2a a b b a b =⋅+⋅-⋅222cos a b ab C =+-即2222cos c a b ab C =+-同理2222cos b a c ac B =+-，2222cos a b c bc A =+-【12分】C19.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】 由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】 20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===Q 又时符合，所以31n a n =-【3分】2314b b b b =Q ，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >Q 又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=Q ，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L 234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8nn n T n +⋅--⋅L -（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
高一下学期期中数学试题(含答案) (3)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二学期期中考试高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i 是虚数单位，若复数()1z i i +=，则z =（ ）A.12B. 1C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知条件求出复数z ，利用复数的模的公式可求得z .【详解】()1z i i +=Q ，()()()1111111222i i i i z i i i i -+\====+++-，=故选：C.2 已知向量()2,0a =r，()0,1b =r ，()()22ka b ka b +^-r r r r ，且0k >，则k =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】先求出()()2,22,22,2ka b ka b k k +=-=-r r r r，再结合()()22ka b ka b +^-r r r r ，通过数量积的坐.标运算求k 即可.【详解】由题意知：()()2,22,22,2ka b ka b k k +=-=-r r r r，由()()22ka b ka b+^-r r r r 可得()()022ka b ka b +=×-r r r r，即244k =，又0k >，解得1k =.故选：A.3. 已知i 为虚数单位，复数1i1i+=-z ，则2342022z z z z z +++++=L （ ）A. i B. 1- C. 1i-+ D. 0【答案】C 【解析】【分析】先由复数的除法运算计算出i =z ，再按照乘方运算计算即可.【详解】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z +++====--+，则424233i i i i 0z z z z ++++++==，()67842345i i i i i 0z z z z ++++++==，L ，故()23420222021222000222i i i 1i z z z z z z z ++++=+=+=-++L .故选：C.4. 下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm ､底面边长为1cm 的正三棱锥，后段是高为0.6cm 的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）A. 30.25cmB. 30.65cmC. 30.15cmD. 30.45cm 【答案】D 【解析】【分析】先求出内切圆半径为r ，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r ，由等面积法，可得：()1111sin 6011122r ´´´°=++，解得：r =.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：()231111sin 6020.60.45cm 32V p =´´´´°´+´´»故选：D.5. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）A. 相等的线段在直观图中仍相等 B. 水平放置的三角形的直观图仍是三角形C. 相等的角在直观图中仍相等 D. 水平放置的菱形的直观图仍是菱形【答案】B 【解析】【分析】由如图所示正方形及直观图即可判断A 、C 、D 选项；结合斜二测画法的定义判断B 选项.详解】如图所示为正方形OABC 及其直观图O A B C ¢¢¢¢，显然,OC OA O C O A ¢¢¢¢=¹，A 错误；,COA OAB C O A O A B Ð=ÐйТ¢¢¢¢¢，C 错误；正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D 错误；水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B 正确.故选：B.6. 已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）A. 2 B. 1C.D.【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，利用侧面展开图得到2l r =，然后由侧面积公式，列式求解r 即可.【详解】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以2l r p p =，则2l r =，又圆锥的表面积为3p ，则2233rl r r p p p p +==，解得：1r =..【故选：B.7. 若正四面体的表面积为 ）A.B.C.23D.13【答案】D 【解析】【分析】计算出正四面体的棱长，将正四面体补成正方体，计算出正方体的棱长，即可求得正四面体的体积.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，则该正四面体的表面积为24=，可得a =将正四面体ABCD 补成正方体AEDF HBGC -，则正方体AEDF HBGC -的棱长为1，所以，331114141323A BCD AEDF HBGCB ADE V V V ---=-=-´´´=.故选：D.8. 在△ABC 中，点P 在边BC 上，且2BP PC =，过点P 的直线l 与射线AB ，AC 分别交于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则下列关系式成立的是（ ）A. 34m n += B. 34m n += C. 23m n += D. 23m n +=【答案】D 【解析】【分析】先由向量的线性运算得到1233AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r，结合AB mAM =，AC nAN =得到1233AP mAM nAN =+uuu r uuuu r uuu r，由,,P M N 三点共线即可求解.【详解】由题意知：()22123333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又AB mAM =uuu r uuuu r，AC nAN =uuu r uuu r ，即1233AP mAM nAN =+uuu r uuuu r uuu r ，由,,P M N 三点共线，可得12133m n +=，即23m n +=.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 设复数34i w =-，则（ ）A. w 的虚部为4i- B. w 的共轭复数为34i+C. w 在复平面内对应的点在第四象限 D. 若复数z 满足1z =，则z w -的最大值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的相关概念判断A 、B 、C ，设i z x y =+，,R x y Î，根据复数模的几何意义求出z w -的最大值；【详解】解：复数34i w =-的虚部为4-，共轭复数为34i w =+，在复平面内所对应的点的坐标为()3,4-位于第四象限，故A 错误，B 、C 正确；设i z x y =+，,R x y Î，由1z =，即221x y +=，则()34i z x y w =-++=-221x y +=上的点(),x y 到点()3,4M -的距离，因为5OM ==，所以451516z w -=-££+=，即z w -的最大值为6，故D 正确；故选：BCD10. △ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）A. 4a =，3b =，3A p=B. 3a =，4b =，6A p=C. 3a =，2b =，23A p=D. 1a =，2b =，4A p=【答案】AC 【解析】【分析】由正弦定理依次判断4个选项中三角形解的个数即可.【详解】对于A ，由正弦定理得sin sin a bA B =，即43sin sin 3B p =，解得sin B =<，又B A <，只有一解，正确；对于B ，由正弦定理得sin sin a bA B =，即34sin sin 6B p =，解得21sin 32B =>，又B A >，有两解，错误；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B =，即322sin sin 3B p =，解得sin B =<，又B A <，只有一解，正确；对于D ，由正弦定理得sin sin a bA B=，即12sin sin 4B p =，解得sin 1B =>，无解，错误.故选：AC.11. 如图，正方形O A B C ¢¢¢¢的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面四边形OABC 的直观图，则关于平面四边形OABC 有（ ）A. 图形为矩形B. 周长为8C. 边OC 的长度为2D. 面积为【答案】BD 【解析】【分析】还原出原图，根据直观图与原图的长度关系，即可求得OA ，OB 的值，代入公式，即可得答案.【详解】把直观图''''O A B C 还原为原图形OABC ，如图所示，所以原图形OABC 为平行四边形，故A 错；根据题意，11OA OA ==，2OB OB ¢==，3AB OC ===，平面四边形OABC 的周长为：33118+++=，故B 正确，C 错误；所以平行四边形111OA B C 的面积1S ==，故D 正确.故选：BD.12. △ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，则（ ）A. cos cos c a A b B +≥B. 若sin 2sin 2A B =，则A B=C. cos cos cos 4sin sin sin a A b B c C R A B C++=D. 点G 在△ABC 所在平面内，若0GA GB GC ++=uuu r uuu r uuu r r，则G 是△ABC 的外心【答案】AC 【解析】【分析】在三角形中，由正弦定理、余弦函数的单调性可判断A ，由正弦函数的性质及三角形中角的范围可判断B ，根据三角恒等变换及正弦定理可判断C ，由向量的运算及重心的性质可判断D.【详解】△ABC 中, cos cos c b A a B =+，()cos cos ()(co )(cos cos )cos c s o o s s c c a A b B a A b A a b B b a B A B +-=--\-+=+,当cos cos b a B A B A >Û>Û<，()(cos cos )0b a A B \-->，当cos cos b a B A B A <Û<Û>，()(cos cos )0b a A B \-->，当b a =时，()(cos cos )0b a A B --=，综上，(cos cos )0c a A b B -+³，故A 正确；△ABC 中，sin 2sin 222A B A B =Û=或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，故B 错误；由正弦定理cos cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos a A b B c C R A A R B B R C C ++=++,2+222sin 2sin 22sin cos 2sincos 2sin cos 22A B A BR A R B R C C R R C C -=++=+2sin [cos()cos ]R C A B C =-+ππ4sin cos()c s 4sin in si 2n os()2C R C B A R A B =--=，故C 正确；设M 是AB 的中点，由0GA GB GC ++=uuu r uuu r uuu r r 可得20GM GC ®®+=，即13GM CM ®®=，G 是△ABC 的重心，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知复数12z i =+，则z z ×=__________．【答案】5【解析】【分析】根据共轭复数的概念，先得到12z i =-，再由复数的乘法运算，即可得出结果.【详解】因为12z i =+，所以12z i =-，因此()22125z z ×=+-=.故答案为：5.【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.14. 已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简i2ia z +=-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值.【详解】由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+，若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205a a -ì=ïïí+ï¹ïî 可得12a =，故答案为：12.15. 已知向量()3,1a =r ，()3,6b =r ，则a r 在b r上的投影向量c =r __________．【答案】()1,2【解析】【分析】直接由投影向量的公式求解即可.【详解】由题意知：a r 在b r上的投影向量()()2233163,61,236a b b c bb×´+´=×=×=+r r rr r r .故答案为：()1,2.16. 水平桌面上放置了三个半径为6的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小球与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．【答案】2【解析】【分析】先判断出三个球的球心与桌面的三个切点构成了正三棱柱123O O O ABC -，作出小球球心O 在上下底面的投影，通过相切求出16O O r =+及6OK r =-，再通过勾股定理解出半径即可.【详解】设三个半径为6的球球心分别为123,,O O O ，与桌面的三个切点分别为,,A B C ，则三棱柱123O O O ABC -是一个底面边长为12，高为6的正三棱柱，小球球心O 在平面ABC 上的投影必为ABC V 的中心H ，在平面123O O O 上的投影必为123O O O V 的中心K ，连接1O K 并延长交23O O 于D ，则D 为23O O 中点，设小球半径为r ，在1O OK V 中，由小球与原来的三个球以及桌面都相切可得16O O r =+，OH r =，则6OK r =-，112233O K O D ===，则22211OO OK KO =+，即(222(6)(6)r r +=-+，解得2r =.故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知向量a r 与b r 的夹角为60°，2a =r ，4b =r ，求（1）a b ×r r ；（2）2a b +r r 与a b -r r ；（3）2a b +r r 与a b -r r 的夹角θ．【答案】（1）4 （2）2a b +=r r，a b -=r r （3）120q =o【解析】【分析】（1）直接由数量积的定义计算即可；（2）先计算出()2248a b +=r r ，()212a b -=r r ，再计算2a b +r r 与a b -r r 即可；（3）先计算出()()212a b a b +×-=-r r r r ，再由夹角公式计算余弦值，进而求得夹角θ．【小问1详解】cos 60a b a b ×=o r r r r 4=．【小问2详解】()22224416161648a b a a b b +=+×+=++=r r r r r r，2a b +=r r ，()2222481612a b a a b b -=-×+=-+=r r r r r r，a b -=r r 【小问3详解】()()222212a b a b a a b b +×-=-×-=-r r r r r r r r ，()()21cos 22a b a b a b a b q +×-===-+-r r r r r r r r ，又0180q ££o ，则120q =o ．18. 已知关于x 的实系数一元二次方程210x mx -+=有两个虚根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若a =，求m 的值及3b b +．【答案】（1）22m -<<（2）1【解析】【分析】（1）根据D <0列出不等式求解即可；（2）根据韦达定理可求出m 的值，然后表示出21b b =-，代入即可求解.【小问1详解】由已知得240m D =-<，则22m -<<．【小问2详解】由a =知b =则1m a b =+=．由210b b -+=得21b b =-，则()3211b b b b b =-=-=-，故3b b +=．19. 位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C –OAB ，OC 垂直水平面OAB ，点C 代表凤凰亭的上顶点，A ，B 两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A 处测得仰角为45°，同学乙在B 处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB 为90米．（附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．）（1）求sin sin CAB CBAÐÐ；（2）同学甲测出∠CAB 为钝角，同学乙测算出3cos 4CBA Ð=，求山高的近似值OC ．【答案】（1；（2）90米.【解析】【分析】（1）在Rt AOC V 与Rt BOC V 中，求出AC ，BC 与OC 的关系，再利用正弦定理计算作答.（2）在ABC V 中，利用余弦定理列方程，求解并验证作答.【小问1详解】在Rt AOC V 中，由45OAC Ð=°得AC =，在Rt BOC V 中，由30OBC Ð=°得2BC OC =，在ABC V 中，利用正弦定理得：sin sin BC AC CAB CBA =ÐÐ，所以sin sin CAB BC CBA AC Ð==Ð【小问2详解】在ABC V 中，利用余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC CBA =+-´Ð，即22328100429024OC OC OC =+-´´´，化简为213540500OC OC -+=，解得90OC =，或45OC =，当45OC =时，90BC AB ==，与CAB Ð为钝角矛盾，经验证90OC =符合条件，所以山高的近似值OC 为90米.20. 如图，在边长为4正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ^，EH BC ^，FG BC ^，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．（1）由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；（2）由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】（1的（2）E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【解析】【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x Î，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG p =´´，再利用基本不等式计算可得；【小问1详解】解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC V 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为为1因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1413p p =´´´-´=．【小问2详解】解：设DG x =，()0,2x Î，则2CG x =-，)2FG x =-，此时()22S DG FG x x p =´´=-£，．当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C B a +=．（1）求B ；（2）若222a c +=，求b 的取值范围．【答案】（1）3B p =（2）éë【解析】【分析】（1）由正弦定理及()sin sin A B C =+sin cos sin C B B C =，进而得到tan B =，即可求出B ；（2）由余弦定理结合基本不等式即可求出b 的取值范围．小问1详解】【由正弦定理及cos sin b C B a +=可得sin cos sin sin B C C B A +=，又B C A +=p -，则()sin cos sin sin B C C B B C +=+，即sin cos sin sin cos cos sin B C C B B C B C =+，sin cos sin C B B C =，因为sin 0C ¹cos B B =，tan B =()0,B p Î，所以3B p =．【小问2详解】由余弦定理得2222cos 2b a c ac B ac =+-=-，因为2222ac a c +=≤，1ac £，所以21b ³，当且仅当1a c ==时取等号．又因为0ac >，所以22b <．综上所述，212b <≤，b 的取值范围是éë．22. 某公园规划一个三角形的草坪区域，如图，AB 长50米，BC 长80米，AC 长70米，中间需要设计一条长为100米的雨花石折线小路BPC （点缀在草坪内部，不影响草坪面积）．（1）求∠ABC 及sin ACB Ð；（2）当点P 在什么位置时，小路内侧草坪（△PBC ）的面积最大？求出最大值．【答案】（1）60ABC °Ð=，sin ACB Ð= （2）点P 在草坪△ABC 内部，最大值可以取到1200平方米【解析】【分析】（1）先由余弦定理求出60ABC Ð=°，再由正弦定理可求得sin ACB Ð.（2）设PB m =，PC n =，则100m n +=，设BPC q Ð=，由余弦定理得222cos 6400m n mn q +-=，两式联立求解可得18001cos mn q=+，则900tan 2PBC S q D =，再结合题意求得q 的范围，即可求出△PBC 的面积最大.【小问1详解】由余弦定理得：22250+80701cos 250802ABC -Ð==´´，则60ABC Ð=°，由正弦定理得sin sin 60AB AC ACB =а，可得sin ACB Ð=【小问2详解】设PB m =，PC n =，则100m n +=．①设BPC q Ð=，由余弦定理得222cos 6400m n mn q +-=，②由①2-②得()21cos 3600mn q +=，即18001cos mn q =+，则1sin 900tan 22PBC S mn q q ==V ，因为100m n =+³，当且仅当 “m n =”时取等，且1800cos 1mn q =-．所以7cos 25q -≥．设7cos 25j =-，2j p <<p ，则24sin 25j =，4tan 23j =，且0222q j p <<≤，于是当q j =时，PBC S V 取得最大值1200平方米．此时，50m n ==，353,sin sin 514PBC PCB Ð=Ð=<．由（1）知53sin 14ACB Ð=，则PBC PCB ACB ABC Ð=Ð<Ð<Ð．此时，点P 在草坪△ABC 内部，最大值可以取到1200平方米．。
2021-2022年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案
2021-2022年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷答在答题卡上，第Ⅱ卷答在答题纸上，答题纸一律用碳素笔书写，其他笔无效。
2.本试卷考试范围：必修二、必修三。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，共60分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.圆C1 :(x+1)2+(y+4)2=16与圆C2 : (x-2)2+(y+2)2=9的位置关系是( )．A．相交 B．外切C．内切D．相离2.与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是( )．A．x－y±＝0 B．2x－y＋＝0C．2x－y－＝0 D．2x－y±＝03.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1) 2＋(y－2)2＝1( )4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点N到点C的距离|CN|= A．B．C． D．5.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、80人C、60人D、20人6.下面有关抽样的描述中，错误的是（）A．在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n次抽样有关，先抽到的可能性较大开始a=3n=1输出an=n+1 n>5a=0.5a+0.5B．系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等C．分层抽样为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样D．抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”7.从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A. 1,2,3,4,5B. 5,15,25,35,45C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,408.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的最后一个数是( ).A．2 B.1.5 C．1.25 D．1.1259.阅读下图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x值为（）A． , - B.3,-3 C．,-3 D．-,3（8题图）10.个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( ).A 5个B 15个C 10个D 8个11.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )A.至少有一个白球;都是白球B.至少有一个白球;至少有一个红球C.恰好有一个白球;恰好有2个白球D.至少有1个白球;都是红球12.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( )A.1/1000B.1/100C.1/10D.1/9二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.13.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
高一下学期期中数学文科试卷(含答案)
下学期期中联合考试 高一数学文科试卷本试卷共 4 页， 满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.等差数列{}n a 中，已知13,21,2n a a d ===，则n =（ ） .A 9 .B 10 .C 11 .D 82.在ABC ∆中，已知2,6a c B π===，则ABC ∆的面积为（ ）.A .B 3 .C .D 323.sin 34sin 26cos34cos 26︒︒-︒︒= （ ）.A 12-.B 12 .C .D -4.在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状是（ ） .A 等腰三角形 .B 直角三角形.C 等腰直角三角形 .D 等腰或直角三角形5．若ABCD 为正方形，E 是DC 的中点，且b AD a AB ==,，则BE 等于（ ） A ．+21B ．—21C ．+21D ．-216．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．-7B ．5C ．-5D ．77．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．-18．设ΔABC 的三个内角为 A 、B 、C ，()()A B n B A m cos 3,cos ,sin ,sin 3==若()B A n m ++=⋅cos 1，则角C 等于 （ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π9．若等差数列{}n a 满足：11121a a <-，且公差0d <，其前n 项和为n S ．则满足0n S >的n 的最大值为（ ）A ． 11B ．19C ． 22D ． 2010.将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ． π12B ． π6C ． π3D ． 5π6二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11.2sin15cos15︒︒= .12.若三个数5,5m +-m = .13.在ABC ∆中，已知10,,6a c A π===则C = .14．化简：sin()sin()tan(3)23cos()sin()2παπαπαπαα+++=+- .15．设向量c b a ,,满足,0=++c b a ()b ac b a ⊥⊥-,，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋| |2的值是16．已知数列{}n a 满足：1111,1(1)4n n a a n a -=-=->，则201321a a a ⋅⋅⋅ = ．17.观察以下各等式：223sin 30cos 60sin 30cos 604︒+︒+︒︒=， 223sin 20cos 50sin 20cos504︒+︒+︒︒= ，223sin 12cos 42sin12cos 424︒+︒+︒︒=. 分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式 .三 、解答题（本题共5个小题，共65分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸对应题的题框内）18.如图，要计算某湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，14AB km =，60BDA ∠=︒，15CBD ∠=︒，试求两点B 与C 的距离．19. 已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-.⑴求()f x 的最小正周期； ⑵当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.20．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{a n }的前n 项和T n .21．已知函数f （x ）＝sin()A x ωϕ+（A ＞0，ω＞0，||,2x R πϕ<∈）的图象的一部分如下图所示.（1）求函数f （x ）的解析式.（2）当x ∈（－6，2）时，求函数g （x ）= f （x ）+ f （x ＋2）的单调递增区间.22. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式。
山东省聊城市数学高一下学期理数期中考试试卷
山东省聊城市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018·曲靖模拟) 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的函数的图象向左平移 能取值为（ ）个单位，得到函数的图象．若是偶函数，则的 可A.B.C.D.2. （2 分） 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，，，则（）A.或B.C.D.或3. （2 分） A.2（）B.第 1 页 共 12 页C.D. 4. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 下列结论正确的是 A . 若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同 B . 向量 与向量 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上C.中，D 是 BC 中点，则D . 若 // ，则使 =λ5. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知，则A.B.的值域为（ ）C.D.6. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中)（）A.B. C. D.7. （2 分） 先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的 ，然后将其图象沿x 轴向左平移 个单位得到的曲线与的图象相同，则第 2 页 共 12 页的表达式为（ ）A.B.C.D.8. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 若向量的夹角为 ，且，，则向量与向量 的夹角为（ ）A. B. C.D. 9. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 函数 是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 10. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知 A. B.的图象与函数的图象的交点个数，则（）第 3 页 共 12 页C. D. 11. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知函数上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ ），若方程在A.B.C.D.12. （2 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知 、 、 、 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数 、 、 ，使得，则三个角、、（）A . 都是钝角 B . 至少有两个钝角 C . 恰有两个钝角 D . 至多有两个钝角二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 如图，函数 ∠PQR= ，M 为 QR 的中点，PM=2与坐标轴的三个交点 P，Q，R 满足 P（2，0）， ，则 A 的值为________．第 4 页 共 12 页14. （1 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知向量线，则实数________.，，若向量与共15. （1 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知中，三边与面积的关系为，则的值为________.16. （ 1 分 ） (2019 高 一 下 · 鄂 尔 多 斯 期 中 ) 函 数若对恒成立，则 的取值范围是________.三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） (2016 高二下·渭滨期末) 已知函数 f（x）=x3﹣3x；（1） 求 f（x）的单调区间；（2） 求 f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．18. （5 分） (2020 高一下·吉林期中) 如图，CM，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟 在两条木栈道的 A，B 处设置观景台，记 BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米）（1） 若 a，b，c 成等差数列，且公差为 4，求 b 的值； （2） 已知 AB=12，记∠ABC=θ，试用 θ 表示观景路线 A-C-B 的长，并求观景路线 A-C-B 长的最大值．第 5 页 共 12 页19. （5 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查 100 份数学试 卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）求这 100 份数学试卷成绩的众数和中位数；（Ⅱ）从总分在和概率．的试卷中随机抽取 2 份试卷，求抽取的 2 份试卷总分相差超过 10 分的20. （5 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 在 .中，内角所对的边分别为，已知（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求.21. （10 分） (2019 高一下·鄂尔多斯期中) 已知函数．（1） 若函数，判断的值域；（2） 若关于 的方程有实根，求实数 的取值范围.22. （ 10 分 ）(2019 高 一 下 · 鄂 尔 多 斯 期 中 ) 已 知 函 数 .（1） 求函数的最小正周期；第 6 页 共 12 页（2） 若函数在的最大值为 2，求实数 的值.第 7 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 17-2、 18-1、18-2、第 9 页 共 12 页19-1、20-1、第 10 页 共 12 页21-1、21-2、22-1、22-2、。
高一数学下学期期中试题含解析_1 10
HY中学2021-2021学年高一下学期期中考试数学试题考前须知：1.本套试卷分第一卷和第二卷两局部。
第一卷1至2页，第二卷2至4页。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
2.全部答案在答题卷上完成。
3.在在考试完毕之后以后，将答题卷交回。
第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
中，=1，，那么的值是〔〕A. 99B. 49C. 102D. 101【答案】D【解析】试题分析：由，得，即为等差数列，且，，那么；那么．考点：等差数列．2.中，所对的边分别为．假设，那么 ( )．A. B. C. 2 D. 3【答案】B【分析】在中，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】由余弦定理可得，所以，应选B.【点睛】此题主要考察了余弦定理的应用，其中解答中合理利用余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.3.，那么函数的最小值是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据配凑法结合根本不等式求解即可.详解：由题可知：当x=2时获得最小值，故最小值为3应选C.点睛：考察根本不等式求最值的简单应用，属于根底题.中，假设，那么是〔〕.A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理，结合可得，再利用二倍角的正弦公式即可判断三角形的形状．【详解】在中，，又由正弦定理得：，，，或者，或者．故是等腰三角形或者直角三角形，应选D．【点睛】此题考察三角形的形状判断，突出考察正弦定理与二倍角的正弦公式，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：〔1〕通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进展判断；〔3〕根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.是正项等比数列，，那么该数列的前5项和等于〔〕A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】B【解析】设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得，再利用求和公式，即可求解，得到答案.【详解】设正项的等比数列的公比为，因为，即，解得，所以数列的前5项和为，应选B.【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.满足约束条件，那么的最大值为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目的函数的最优解，即可求解目的函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如下图，又由目的函数，化为，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，此时目的函数获得最大值，又由，解得，所以目的函数的最大值为，应选C.【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题．，那么以下不等式中，正确的不等式有 ( )①②③④A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据可以得到，从而①④正确，②③错误．【详解】因为，故，所以，故①正确，③错误．又，故，故④正确．又，故，故②错误，综上，①④正确，应选B．【点睛】此题考察不等式的性质，属于根底题．8.△ABC中, 三内角所对的边分别是,假设，那么角A= 〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】.此题选择A选项.中，，，那么满足条件的〔〕A. 无解B. 有一个解C. 有两个解D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】正弦定理可得，不存在这样的，又由，所以不存在这样的三角形，应选A。
山东聊城市数学高一下期中提高卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2．(0分)[ID ：12417]已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 3．(0分)[ID ：12414]已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ）A ．643B ．32C ．54D ．644．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形5．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+ 6．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面7．(0分)[ID ：12400]若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．68．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π 9．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．6 10．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D 11．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形12．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和⎫⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④14．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π 15．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A ．[√33,1]B ．[√63,1] C ．[√63,2√23] D ．[2√23,1] 二、填空题16．(0分)[ID ：12487]在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.19．(0分)[ID ：12516]已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．20．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.21．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 24．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .25．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12627]已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．27．(0分)[ID ：12567]如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）求证：//EF 平面111A B C .28．(0分)[ID ：12550]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．29．(0分)[ID ：12541]如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.30．(0分)[ID ：12529]设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．A3．A4．C5．B6．C7．B8．C9．B10．A11．A12．D13．B14．C15．B二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个19．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的20．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心21．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α24．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面P CD是边长为的正三角形且BD⊥平三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系2．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．A解析：A【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则22a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()222233h ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h h h =-，则()2246f h h h '=-当04h <<时，()0f h '>，f h 单调递增.当4h >时，()0f h '<，f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.8．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.9．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，22121216162S AC BD d d =⋅=--，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯--=--2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.10．A解析：A【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形； 故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．12．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.13．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．14．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.15．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为1，则A 1C 1=√2,A 1C =√3,A 1O =OC 1=√1+12=√32,OC =√12，所以cos∠A 1OC 1=32+32−22×32=13,sin∠A 1OC 1=2√23，cos∠A 1OC =32+12−32×√32=−√33,sin∠A 1OC =√63. 又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A 1OC 为钝角，所以sinα的范围为[√63,1]，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题16．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范 解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交 【解析】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>， 则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】 【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．19．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的解析：3【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以h =ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力20．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π【解析】 【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得2213222322D ABC O ABC V V d --==⨯⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直 解析：2 330x y ++=【解析】 【分析】由(3,2)a =-为方向向量，设直线的方程为：230x y m ++=，若要求直线平分圆，则圆心在要求的直线上，故得解. 【详解】根据题意，要求的直线的方向向量为：(3,2)a =-，设直线的方程为：230x y m ++=圆2220x y y =++，即22(1)1x y ++=，圆心为(0,1)-，若要求直线平分圆，则圆心在要求的直线上，则有：303m m -+=∴= 则直线l 的方程为：2 330x y ++= 【点睛】本题考查了直线的方向向量以及求与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.22．①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方解析：①② 【解析】 【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线; ②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角; ②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行. 【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题;对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos nα时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②. 故答案为:①② 【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④ 【解析】 【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.24．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：12 【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin302d x=⋅，解得d=.而BCD∆的面积111sin)2sin30(2)222S CD BC BCD x x=⋅∠=⋅=.设PO与平面ABC所成角为θ，则点P到平面ABC的距离sinhdθ=.故四面体PBCD的体积11111sin)33332BcD BcD BcDV S h Sd S d xθ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=设t==0x≤≤12t≤≤.则x-=（1）当0x≤≤时，有x x==故x=此时，16Vt=21414()66ttt t-=⋅=-.214()(1)6V tt=--'，因为12t≤≤，所以()0V t'<，函数()V t在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V≤=-=.（2x<≤x x=-=故x=此时，V=21414()66ttt t-=⋅=-.由（1）可知，函数()V t在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V<=-=.综上，四面体PBCD的体积的最大值为12.25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ，由此能求出该球的表面积． 【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．三、解答题26．（1）证明见解析；（2）34m =-， 【解析】【分析】 （1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可.【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1. （2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短， 211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题. 27．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）可证1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而可证AD ⊥平面11BCC B .（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G ，可证1//EF B G ，从而可证//EF 平面111A B C .【详解】由正三棱柱111ABC A B C -可得1C C ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，故1AD CC ⊥.因为ABC ∆为等边三角形，BD DC =，故AD BC ⊥，因为1BC CC C =，BC ⊂平面11BCC B ，1C C ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B .（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G .在11A AC ∆，因为111,A G GC AE EC ==，故111//,2EG AA EG AA =. 由正三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，故1111,//AA BB AA BB =， 而1112B F BB =，所以11111//,2B F AA B F AA =，故11//,EG B F EG B F =， 故四边形1B FEG 为平行四边形，1//EF B G .因为EF ⊄平面111A B C ， 1B G ⊂平面111A B C ，故//EF 平面111A B C .【点睛】本题考查线面垂直与线面平行的证明，前者转化为线线垂直，注意平面中的两条直线需为相交直线，后者转化为线线平行，注意一条线是平面外，另一条线是平面内，本题属于中档题.28．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，。
山东省聊城市莘县第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
山东省聊城市莘县第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．2019︒角的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由20192195360︒=︒+⨯︒，即可判断. 【详解】20192195360︒=︒+⨯︒，则2019︒与219︒的终边相同，则2019︒角的终边落在第三象限 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题.2．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是 A ．至多有一件是次品 B ．两件都是次品 C ．只有一件是次品 D ．两件都不是次品【答案】D【解析】试题分析：根据对立事件的定义，至少有n 个的对立事件是至多有n ﹣1个，由事件A ：“至少有一件次品”，我们易得结果． 解：∵至少有n 个的否定是至多有n ﹣1个 又∵事件A ：“至少有一件次品”，∴事件A 的对立事件为：至多有零件次品， 即是两件都不是次品． 故答案为 D ．点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．3．已知(),0απ∈-，且cos α=，则tan α=（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【解析】由平方关系得出sin α的值，最后由商数关系求解即可. 【详解】(),0απ∈-Q ，5cos 0α=>,02πα⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭2525sin 155α⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭25tan 255α∴=-⨯=- 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用平方关系以及商数关系化简求值，属于基础题. 4．已知扇形的面积为2cm 2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A ．2cm B ．4cmC ．6cmD ．8cm【答案】C【解析】设扇形的半径为R,则R 2θ=2,∴R 2=1⇒R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).5．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是π，②图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ） A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据周期公式排除A 选项；根据正弦函数的单调性，排除B 选项；将512x π=-代入函数解析式，排除D 选项；根据周期公式，将512x π=-代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C 选项正确.对于A 项，2412T ππ==，故A 错误； 对于B 项，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 对于C 项，22T ππ==；当512x π=-时，5cos cos 0632y πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，[]20,3x ππ+∈，函数cos y x =在区间[]0,π上单调递减，则函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确； 对于D 项，当512x π=-时，5cos cos()166y πππ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题. 6．若2tan 1tan 1212m ππ=-，则m =（ ）ABC ．2D．【答案】D【解析】将2tan1tan 1212m ππ=-转化为22tan111221tan 12m ππ=⨯-，结合二倍角的正切公式即可求出m . 【详解】222tan11112tan1tan tan 121222661tan 12m m πππππ=-⇒=⨯==-m ∴=故选D本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将2tan1tan 1212m ππ=-转化为22tan111221tan 12m ππ=⨯-，利用二倍角的正切公式求出m ，属于基础题. 7．在等腰梯形ABCD 中，2AB DC u u u r u u u r=，点E 是线段BC 的中点，若AE AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则(λμ+= ) A ．52B ．54C ．12D ．14【答案】B【解析】利用平面向量的几何运算，将AE u u u r 用AB u u u r 和AD u u u r表示，根据平面向量基本定理得λ，μ的值，即可求解． 【详解】取AB 的中点F ，连CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF//AD ，且CF AD = 因为()111131AE AB BE AB BC AB FC FB AB AD AB AB AD222242u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，3λ4∴=，1μ2=，∴5λμ4+= 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，将AE u u u r 用AB u u u r 和AD u u u r 进行表示，求得,λμ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．在ABC V 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC V 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】A【解析】由正弦定理得出3sin 4C =，从而得出C 可能为钝角或锐角，分类讨论这两种情况，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】由正弦定理得233sin sin 30sin 4C C ︒=⇒=C ∴可能为钝角或锐角当C 为钝角时，31sin sin150,15042o o C C =>=<,符合题意，所以ABC V 为钝角三角形；当C 为锐角时，由于sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，3sin 60sin 24C ︒=>= 则60C <︒，所以()180306090B ︒︒︒︒>-+=，即ABC V 为钝角三角形综上，ABC V 为钝角三角形 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状，属于中档题.9．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ==B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ==【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：cos sin 4y x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将函数y cosx sinx =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，所得函数的解析式为：4y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，所得函数的解析式为：14y x aπϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而cos 2sin 224y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，据此可得：12a ππϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=，据此可得：12a πϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=.本题选择D 选项.10．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x 是一个不能被质数p 整除的整数，则11p x --必能被p 整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合{}2,3,4,5中任取两个数，其中一个作为x ，另一个作为p ，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】A【解析】用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案. 【详解】用(),x p 表示抽取的两个数，其中第一个为x ，第二个为p总的基本事件分别为：(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，(3,2),(4,2)(5,2),(4,3)，(5,3),(5,4)，共12种其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：(2,3),(3,2),(2,5),(5,2)，(4,3),(3,5),(5,3),(4,5)，共8种则所取的两个数符合费马小定理的概率82123P == 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题. 11．已知函数sin 3xy π=在区间[]0t ，上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出54Tt ≤，进而求得t 的范围，进而求得t 的最小值． 【详解】 函数sin 3xy π=的周期T =6，则5T t ≤，∴15t ≥，∴正整数t 的最小值是8. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及正弦函数的简单性质，属于基础题.12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC ，则c bb c+的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高”容易联想到面积， 1122a =bc sin A ，即a 2＝sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A A )，∴b c c b+＝2(cos A sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.【答案】3【解析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数.【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=Q0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若6sin 3α=，则()cos αβ-=________. 【答案】13【解析】由题意得出βπα=-，结合诱导公式，二倍角公式求解即可. 【详解】6sin 03α=>，则角α的终边可能在第一、二象限由图可知，无论角α的终边在第一象限还是第二象限，都有βπα=-()()221cos cos(2)cos(2)cos 212sin 1233αβαππααα⎛⎫∴-=-=-=-=--=--⨯=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题主要考查了利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简求值，属于基础题.15．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒；已知山高200BC m =，则山高MN =__________．【答案】300m【解析】在△ABC 中，45,90,200BAC ABC BC ∠=∠==o o Q ，2002002sin45AC ∴==o在△AMC 中，75,6045MAC MCA AMC ∠=∠=∴∠=o o o Q ， 由正弦定理可得2002sin sin sin60AM AC AM ACM AMC =∴=∠∠o ， 解得2003AM = 在Rt △AMN 中()·sin 2003sin60300MN AM MAN m =∠==o .16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =，以AB 为直径在ABC V 外作半圆O ，P 是半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若2AB AQ ⋅=u u u r u u u r ，则AQ CP⋅u u u r u u u r的取值范围是________.【答案】21,0⎡⎤--⎣⎦【解析】建立直角坐标系，得出,,,,A B C Q P 的坐标，利用数量积的坐标表示得出2sin 14AC CP πθ⎛⎫⋅=--- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，结合正弦函数的单调性得出AQ CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围.【详解】取AB 中点为O ，建立如下图所示的直角坐标系则(1,0),(1,0)(1),,2A B C ---，设POB θ∠=，[0,]θπ∈，则(cos ,sin )P θθ0(2)11(1)BC k --==--，则:1BC y x =-设点(,1),[1,1]Q m m m -∈-，则(2,0),(1,1)AB AQ m m ==+-u u u r u u u r22(1)20AB AQ m m ⋅=⇒+=⇒=u u u r u u u r ，(1,1)AQ ∴=-u u u r(cos 1,sin 2)CP θθ=++u u u rQcos 1sin 2sin cos 1214AC CP πθθθθθ⎛⎫∴⋅=+--=-+-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r[0,]θπ∈Q3,444πππθ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦则当44ππθ-=-，即0θ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最大值22102⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭当42ππθ-=，即34πθ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最小值21121-⨯-=-- 则AQ CP ⋅u u u r u u u r的取值范围是21,0⎡⎤--⎣⎦故答案为：21,0⎡⎤--⎣⎦【点睛】本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题.三、解答题17．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.（1）求x ，y 的值；（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L ，其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）【答案】（1）3x =，8y =；（2）乙班的整体水平较高【解析】（1）由茎叶图数据以及平均数，中位数的定义求解即可；（2）分别计算出甲乙两班的方差，得出22s s >甲乙，所以乙班的整体水平较高.【详解】（1）由茎叶图知甲班成绩数据依次为9，12，10x +，20，26 所以中位数为1013x +=，得3x =； 乙班成绩数据的平均数()1915101820165x y =+++++=乙，得8y =. （2）乙班整体水平较高.理由： 由题意及（1）得()1912132026165x =++++=甲 ()()()()()22222219161216131620162616385s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲16x =乙()()()()222222174916(1516)18161816201614.855s ⎡⎤=-+-+-+-+-==⎣⎦乙因为22s s >甲乙，所以乙班的整体水平较高.【点睛】本题主要考查了利用茎叶图计算平均数，中位数以及方差的应用，属于中档题.18．已知向量()sin ,cos a θθ=r ，()0,sin b θ=r ，()1,2c =r.（1）若//a c r r，求22cos sin 2θθ-的值；（2）若2a b c -=r r r，0θπ<<，求θ的值.【答案】（1）45；（2）2πθ=或34πθ=【解析】（1）根据向量平行的坐标公式得出1tan 2θ=，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案；（2）利用向量的模长公式得出()2222sin cos 2sin 125θθθ+-=+=，由二倍角公式以及降幂公式，辅助角公式得出sin 242πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出θ的值. 【详解】（1）由//a c r r，得2sin cos θθ=，所以1tan 2θ=.所以222222cos 2sin cos 22tan 2142cos sin 21cos sin 1tan 514θθθθθθθθθ----====+++.（2）由2a b c -=r r r ，得()2222sin cos 2sin 125θθθ+-=+=所以22sin 24sin 4θθ-+=，所以sin 2cos21θθ+=-，所以sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为0θπ<<，所以92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=或7244ππθ+= 解得2πθ=或34πθ=. 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，模长公式，简单的三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.19．某城市理论预测2020年到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：人口数y （十万） 5 7 811 19（1）请在右面的坐标系中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （3）据此估计2025年该城市人口总数.（参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 【答案】（1）见解析；（2）ˆ 3.2 3.6y x =+；（3）2025年该城市人口总数为196万人【解析】（1）由表中数据描点即可；（2）由最小二乘法的公式得出ˆˆ,a b的值，即可得出该线性方程； （3）将5x =代入（2）中的线性方程，即可得出2025年该城市人口总数. 【详解】（1）画出散点图如图所示.（2）2x =，10y =，522222210123430ii x==++++=∑，51051728311419132i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，1325210ˆ 3.23054b -⨯⨯==-⨯，ˆ10 3.22 3.6a =-⨯=，则线性回归方程ˆ 3.2 3.6yx =+. （3）5x =时，19.6y =（十万）196=（万）. 答：估计2025年该城市人口总数为196万人 【点睛】本题主要考查了绘制散点图，求回归直线方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题.20．如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，AD AC ⊥，ADC V 的面积是ABC V 面积的34倍，且32AB =，3AD =.（1）求sin BAC ∠； （2）求边BC 的长. 【答案】（1）223；（2）3【解析】（1）利用三角形面积公式得出ADC S △和ABC S V 的表达式，由34ADC ABC S S =V V ，化简得出sin BAC ∠的值； （2）由22sin 3BAC ∠=结合2BAC BAD π∠=∠+，得出22cos 3∠=BAD ，在ABD △中，利用余弦定理得出3BD =，再由余弦定理得出3cos ADB ∠=而得出3cos ADC ∠=33DC =BC BD DC =+得出BC 的长.【详解】（1）因为AD AC ⊥，34ADC ABC S S =V V ，且32AB =3AD = 所以131332sin 242AC AC BAC ⨯⨯=⨯⨯⨯∠即14BAC ∠=，所以sin 3BAC ∠=.（2）由（1）知sin sin 23BAC BAD π⎛⎫∠=∠+= ⎪⎝⎭，所以cos ∠=BAD在ABD △中，AB =3AD =，cos 3∠=BAD 由余弦定理2222cos 189233BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯= 所以BD =.且222cos2AD BD AB ADB AD BD +-∠===⨯所以3cos cos AD ADC ADB DC DC∠=-∠===，解得DC =所以BC BD DC =+==即边BC 的长为【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.21．已知向量()2cos ,1a x =r，)cos ,1b x x =+-r ，函数()f x a b =⋅rr .（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【答案】（1（2）104ω<≤ 【解析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y fx ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】 （1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b xx x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭rr因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭（2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数 所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >- 又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.22．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=.(1)试用α表示11AA H ∆的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小. 【答案】(1) 11212tan AA Hx S α∆=⋅=28sin cos (sin cos 1)αααα++，(0,)2πα∈. (2) 45α=o 时, 11AA H S ∆达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为64322-【解析】（1）注意到1111,BA AA AH H H ==，从而11AA H ∆的周长为4，故14sin sin cos 1AH ααα=++，所以1128sin cos (sin cos 1)AA H S αααα∆=++，注意(0,)2πα∈. （2）令sin cos t αα=+，则11441AA H t S t ∆-=+，根据(2t ∈可求最大值. 【详解】(1)设1AH 为x ,4sin tan x xx αα∴++=， 4sin sin cos 1x ααα=++，11212tan AA H x S α∆=⋅=28sin cos (sin cos 1)αααα++，(0,)2πα∈， (2)令sin cos 2]t αα=+∈,只需考虑11AA H S ∆取到最大值的情况,即为2224(1)84+1(1)t S t t -==-+，当2t =,即45α=o 时, 11AA H S ∆达到最大，此时八角形所覆盖面积为16+411AA H S ∆ 最大值为64322-【点睛】如果三角函数式中仅含有sin cos x x 和sin cos x x +，则可令sin cos t x x =+后利用21sin cos 2t x x -=把三角函数式变成关于t 的函数，注意换元后t 的范围.。
高一数学下学期期中试题PDF
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期期中考试高一数学参考答案及评分HY一、单项选择题1．C2．B3．C ．4．B5．C6．B7．A8．C二、多项选择题9．AD10．AC11．ABCD12．CD三、填空题13．，214．15．216．1四、解答题17．解：〔1〕由余弦定理得2222212cos 1221244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，∴2c =， 那么ABC ∆的周长为1225++=．…………………5分〔2〕∵1cos 4C =，∴sin 4C ===，那么ABC ∆的面积为11sin 1222ab C =⨯⨯=．…………………10分 18．〔1〕在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN //BC ．又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分（2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．又因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB平面PBC PB =，AM ⊂平面PAB ， 所以AM ⊥平面PBC ．又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ．…………………………12分19．证明：〔1〕因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC CC ⊥，因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B C C =，BC ⊂平面11BCC B ， 所以BC ⊥平面11ACC A ． 因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥．…………………………6分〔2〕取11A C 的中点G ，连结FG ，CG ．在111A B C △中，F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点，所以11FG B C ∥，且1112FG B C =． 在矩形11BCC B 中，E 是BC 的中点，所以11EC B C ∥，且1112EC B C =． 所以EC FG ∥，且EC FG =．所以四边形EFGC 为平行四边形，所以EF GC ∥．又因为EF ⊄平面11ACC A ，GC ⊂平面11ACC A ，所以EF ∥平面11ACC A ．…………………………12分20．解：〔1〕在ABC ∆中，B BC AB BC AB AC cos 2222⋅-+=① 在ACD ∆中，D CD AD CD AD AC cos 2222⋅-+=②又180B D ∠+∠=所以cos cos B D =-． A C A 1 C 1B B 1 EG F 〔第19题〕解得1cos7B=，7AC=．…………………………6分〔2〕所以sin sinB D====．那么四边形ABCD的面积11sin sin22AB BC B AD DC D=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．……12分21．〔1〕证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.…………………………4分〔2〕证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.……………………………8分〔3〕解：棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连结CF，FG，EG，那么FG∥AB，且FG＝AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE.…………………………12分22．解：〔1〕由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，所以DB＝＝＝＝＝10(海里)．…………………………6分〔2〕在△DBC中，∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，所以CD＝30(海里)，那么需要的时间是t＝＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．…………………………12分。
聊城市数学高一下期中经典题(培优专题)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．(0分)[ID ：12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．26．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③7．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π8．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1209．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=10．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π11．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3012．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．113．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1014．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π15．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12473]在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________18．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________. 19．(0分)[ID ：12505]小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()32x g x x -=-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____ 20．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.21．(0分)[ID ：12499]若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．22．(0分)[ID ：12497]直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．23．(0分)[ID ：12433]已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．24．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________. 25．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12625]如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.27．(0分)[ID ：12601]如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE '位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.28．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．29．(0分)[ID ：12529]设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.30．(0分)[ID ：12539]已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C9．B10．C11．C12．A13．D14．A15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9019．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得20．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与22．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题23．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的24．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，所以，该长方体的体对角线长为2226x y z ++=，则其外接球的半径为62R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴= OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥ OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+=解得：3x =，23R =∴球的体积为：343233V R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确； 若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 5．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D.圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.6．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．7．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 8．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．10．C解析：C【解析】【分析】 2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥， 2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3 ∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．11．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 15．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平 解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 19．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：3[2]4+ 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()32g x x =-为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得374k +=或374k -= 当374k +=时，137[0,1]3724x ==-∈+⨯， 当374k -=时，137[0,1]3724x ==+∉-⨯ 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]4+. 故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.20．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262【解析】【分析】 首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示， 当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 故答案为262. 【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为()()2212a b ++-()2221832a -+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.22．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.23．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的 解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =， 由圆的性质可得2PBC PACB S S =四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值， 2221251k +==+又0k >，∴2k=．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．24．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且O A＝OB＝OC＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：2 3π【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA＝OB＝OC＝OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB=A0B中，利用余弦定理cos∠AOB1131 2112+-==-⨯⨯，则∠AOB23π=，则弧AB23π=•123π=．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π．【点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．三、解答题26．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）通过面面垂直推证出OM ⊥平面BCD ，再由AB ⊥平面BCD ，即可得OM //AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（1）中所求，结合M ABD O ABD A OBD V V V ---==，即可求解三棱锥A OBD -的体积即为所求.【详解】（1）∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ，∴OM ⊥平面BCD ．∵AB ⊥平面BCD ，∴OM //AB ．∵AB 平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM //平面ABD ．（2）由（１）知OM //平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离．∵2AB BC ==，BCD 是等边三角形，点O 为CD 的中点∴11224BOD BCD S S ∆∆==⋅⋅ 2482BC =⋅= ∴M ABD O ABD A OBD V V V ---==113323323BOD S AB ∆=⋅=⋅⋅= 【点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算．27．（1）证明见解析（2）34 【解析】【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得32A O '=，在直角三角形A OB '中得3sin 4A BO '∠=. 【详解】 （1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥又∵A B A C A '''⋂=∴A E '⊥面A BC '∴A E BC '⊥.（2）∵点A '在底面上的射影为O .∴AO '⊥面BCDE∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角.延长EO 交BC 于H ，连接A H '如图：∵A E BC '⊥，AO BC '⊥且A O A E A '''⋂=∴BC ⊥面A EO '∴BC EO ⊥∵E 为AD 中点∴H 为BC 中点∵1A E '=，2EH =由（1）知A E A H ''⊥∴60A EH '=︒∴A O '=∴2sin 2A O BO A A B '∠==''=所以直线A B '与平面BCDE 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 28．(1) 13+24y x = 【解析】【分析】 (1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为1104d -+==，又∵圆的半径为2，∴弦AB 的长为2=. 【点睛】本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.29．(1)证明见解析；(2)10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数，。
53级 高一下学期期中数学模拟测试题(一)
53级高一下学期期中数学模拟测试题（一）一、选择题（共计60分）1、点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动34π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21 2．已知非零向量AB →和AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形3．若实数x 、y 满足等式 1)2(22=+-y x ，那么1+x y的最大值为( ) A.22 Ｂ.2 Ｃ.22Ｄ.424.圆2C 经过点)2,3(M ，且与圆0562:221=+-++y x y x C 相切于点)2,1(N ，则圆2C 的圆心坐标为（ ）)23,2.(A )2,1.(B )1,2.(C )2,23.(D5．已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围（ ）A ．13[,]24B ．15[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋)等于（ ）A ．－49B ．－43C ．43D ．497．已知向量a ＝（2,sin θ），b ＝（１，θcos ）且a ⊥b ，其中),2(ππθ∈，则θθcos sin -等于（ ） A．5 B．5 C ．5 D ．58．设,72tan ,72cos ,75sinπππ===c b a 则（ ） A c b a << B b c a << C a c b << D c a b <<9.P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为______.A B C D10．若0cos sin 3=+αα，则αααcos sin 2cos 12+的值为（ ）A310 B 35 C 32D -211. 已知0ab ≠,点(,)P a b 是圆222x y r +=内一点, 直线m 是以点P 为中心的弦所在的直线, 直线L 的方程是2ax by r +=, 则下列结论正确的是( )A. m∥L ,且L 与圆相交B. m⊥L , 且L 与圆相切C. m∥L ,且L 与圆相离D. m⊥L , 且L 与圆相离 12．如右图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ， C 为垂足．若OC →＝λa ，则λ＝( )．A.a ·b |a |2 B.a ·b |a ||b | C.a ·b |b |2 D.|a ||b |a·b二、填空题(共计16分)13．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为___ m14．过点P (1，2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 为________．15．已知),1,2(=)6,(m =，向量与向量的夹角锐角，则实数m 的取值范围是 16．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R)，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题(共计74分) 17.（12分）已知α是第二象限角，且43-=αtan ． （Ⅰ）求αsin ，αcos 的值；（Ⅱ）求)cos()3sin(αππα-+-的值．18．(12分)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程．19．(12分)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0,0＜φ＜π2，y ＝f(x)的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 20.（12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1.,M N足BM DN =.（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （Ⅱ）求AM AN ⋅的取值范围.21．(12分)求圆心在直线x y 4-=上，且与直线l ：01=-+y x 相切于点P （3，-2）的圆的方程．22．（ 14分）设)(t f y =是某港口的水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤．下表是该港口在某季节每天的时间与水深关系表：经过长期观测，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象． （I ）试根据以上的数据，求出函数sin y A t b ω=+的最小正周期和表达式；（II ）一般情况下，船舶航行时，船底与海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底与水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？53级高一下学期期中数学模拟测试题（六）参考答案一．DD , ,BBD,D,,A,C,A,, 二．0.5 ，22,12-3≠->且m ,②③ 三．17.（本题满分12分） 解：（Ⅰ）因为 43-=αtan ， 所以43-=ααcos sin ，且1=+22ααcos sin ． 又α是第二象限角，所以 4cos 5α=-．所以53=αsin ．（Ⅱ） 53-=-=3-απαsin )sin(．54=-=-ααπcos )cos( ∴ 原式=51．18.解 如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， ∴|AD |＝23，|AC |＝4. 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 设所求直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为：y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式： |－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. 19.解：(1)T ＝2ππ3＝6，∵点P(1，A)为函数图像的最高点， ∴π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z. 又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.(2)∵Q 为函数图像的最低点，P(1，A)，T2＝3，∴Q 的坐标为(4，－A)．如图，过点Q 作QS ⊥OR ，交x 轴于点S ， 则∠QRS ＝2π3－π2＝π6. ∵QS ＝A ，RS ＝4－1＝3， ∴tan ∠QRS ＝QS RS ＝A3. tanπ6＝A3，∴A ＝ 3. 20. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系. 【 1分】因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以5(,44M，1(2N ， 【 3分】所以 5311848AM AN ⋅=+=. 【 4分】 （Ⅱ）解：设BM DN t ==，则[0,1]t ∈.【 5分】所以(1,)22t M+，(1N t -. 【 7分】 所以3(1)(1)22t AM AN t t ⋅=+⋅-+2112t t ++=-213(1)22t =--+ 【10分】当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 【11分】 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32. 【12分】解 21．解法1：设所求圆方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意有[来源:学.科.网Z.X.X.K]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--+--=-+rr b a ab b a 21222)2()3(4，解方程组得a =1，b=-4，r = 所求圆的方程为()()22148x y -++=．解法2：由于圆心在直线 4y x =-上，又在过切点（3，－2）与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=（x -3），即x-y-5=0上，解方程组⎩⎨⎧-==--xy y x 405可得圆心（1，－4），于是()()22243122=+-+-=r所求圆的方程为()()22148x y -++=22 . 解：（I ）由数据可得出最小正周期为T =12，-------------------2分则62ππω==T ，且 A =3，b =10， 所以3sin()106y t π=⋅+.-------------------5分（II ）该船安全进出港需满足：55.6+≥y即5.1110)6sin(3≥+⋅t π-------------------7分 21)6sin(≥⋅t π，∴Z k k t k ∈+≤⋅≤+652662πππππ121125,k t k k Z +≤≤+∈ -------------------10分又 240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t∴该船能在凌晨1时进港，下午17时出港，至多能在港内停留：16117=-（小时）.------------------12分18. （本题满分12分）已知函数()sin()(00||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，，图象上一个最高点的坐标为(2)8π，，此点与相邻最低点间的图象交x 轴于点3(0)8π，. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）用“五点法”画出函数()f x 在区间[0,]π闭区间上的图象.18. （本题满分8分）解: （Ⅰ）依题意，34()88T πππ=⨯-=.2,0T ππωω==>，∴2ω=.∴2sin(2)y x ϕ=+，又曲线上的最高点为(,2)8π，∴sin(2)18πϕ⋅+=，22ππϕ-<<，∴4πϕ=.∴2sin(2)4y x π=+.（Ⅱ）列出x 、y 的对应值表图象（略）。
高一下学期期中联考数学试题(含答案) (2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一数学试题全卷满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足()34i 2i z +=+，则z =（ ）A.2i 5- B. 21i 255-C 21i 55- D. 2－i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即可.【详解】()()2i 34i 2i 105i 21i 34i 252555z +-+-====-+，故答案为：C ．2. 若复数z 对应的点是()1,1-，则11z =+（ ）A. iB. i -C. -1D. 1【答案】B【解析】【分析】由题得1z i =-+，代入11z +化简即得解..【详解】由题得2111,1i z i i z i i=-+\===-+.故选：B 3. 已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =uuu r ，()4,4AB =-uuu r ，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =uuuu r （ ）A. ()2,5-- B. ()1,5-- C. ()2,5- D. ()1,5-【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的几何意义可得()12AM AB AD =+uuuu r uuu r uuu r ，应用向量线性运算的坐标表示，即可求AM uuuu r 的坐标.【详解】由题设，()1(1,5)2AM AB AD =+=-uuuu r uuu r uuu r .故选：D.4. 在ABC V 中，若3b =，c =，45B =o ，则此三角形解的情况为（ ）A. 无解B. 两解C. 一解D. 解的个数不能确定【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理，得sin sin b c B C=，得sin 1sin sin 2c B C B b ===<=，因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC V 只有一个.故选：C.5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆锥底面周长可求得圆锥的底面半径1r =，圆锥的高h =理，即得解【详解】圆锥底面周长为12222p p ´´=，所以圆锥的底面半径1r =，圆锥的高h ==，所以圆锥的体积为211133V Sh p ==´´=故选：C6. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为31cm 6，则这个漏斗的容积为（ ）A. 23 B. 13 C. 12 D. 56【答案】A【解析】【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故个漏斗的容积为1123663+´=，故选：A7. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD =15°，∠BDC =30°，CD =30m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）mmm【答案】D【解析】【分析】在BCD △中，由正弦定理，求得BC =，再在Rt ABC △中，即求AB .【详解】在△BCD 中，1801530135CBD Ð=--=o o o o ，由正弦定理得30sin 30sin135BC =o o ，解得BC =(m ），Rt △ABC中，tan AB BC ACB =Ð==(m).故选：D8. 设点E 为正方形ABCD 的中心，M 为平面ABCD 外一点，MAB △为等腰直角三角形，且90MAB Ð=o ，若F 是线段MB 的中点，则（ ）A. ¹ME DF ，且直线ME 、DF 是相交直线B. ME DF =，且直线ME 、DF 是相交直线C. ¹ME DF ，且直线ME 、DF 是异面直线D. ME DF =，且直线ME 、DF 是异面直线【答案】B【解析】【分析】连接EF ，推导出四边形FMDE 是等腰梯形，结合等腰梯形的几何性质可得结论.【详解】连接EF，如下图所示：在由题意AB AD ^，AB AM ^，AM AD =，AB AB =，则V V ≌Rt BAM Rt BAD ，所以，BM BD =，因为E 、F 分别为BD 、BM 的中点，则//EF DM ，因为1122FM BM BD DE ===，故四边形FMDE 是等腰梯形，所以，ME DF =，且直线ME 、DF 是相交直线.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交C. 直线在平面内D. 相切【答案】AC【解析】【分析】画出图形，分析出这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.【详解】如图1所示，a 与b 平行，//a b ，而直线a 在平面a 内，如图2所示，a 与b 平行，//a b ，而a //a .综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.故选：AC10. 已知i 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. 10i 1=- B. 复数2i --的虚部为i -C. 若复数z 为纯虚数，则22z z = D. 若z 为复数，则z z ×为实数【答案】AD【解析】【分析】根据复数的乘方、虚部的概念、纯虚数的概念与复数的几何意义、共轭复数的概念与运算依次判断选项即可.【详解】A ：10255(i)(i )(1)1==-=-，故A 正确；B ：对于复数2i --的虚部为-1，故B 错误；C ：由复数z 为纯虚数，设i z b =(R,0b b ι)，则22222(i)z b z b b ===-，，所以22z z ¹，故C 错误；D ：设复数i z a b =+(,R a b Î)，则i z a b =-，所以2222(i)R z z a b a b ×=-=+Î，故D 正确.故选：AD11. 已知ABC V 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 下列命题正确的有（）A. 若1b =，2c =，23A p =，则a =B. 若5b =，4B p =，2sin 5A =，则a =C. 若A >B ，则sin sin A B >D. 若6A p=，5a =，则ABC V 外接圆半径为10【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦定理求解即可判断A ；利用正弦定理和余弦定理求解即可判断B ；利用正弦定理即可判断C 、D.【详解】A.因为1b =，2c =，23A p =，由余弦定理得：2222cos 7a b c bc A =+-=，解得a =A 正确；B.因为5b =，4B p =，2sin 5A =，由正弦定理得：sin sin a b A B =，解得sin sin b A a B ===，故B 正确；C.因为01800180A B A B °°><<<<，，，所以a b >，由正弦定理，得2sin 2sin R A R B >(R ABC V 外接圆半径)，所以sin sin A B >，故C 正确；D.因为6A p=，5a =，设R 为ABC V 外接圆半径，由正弦定理，52101sin 2a R A ===，所以5R =，故D 错误.故选：ABC 12. 如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边BC 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）A. 水的部分始终呈棱柱状B. 水面四边形EFGH 的面积为定值C. 棱11A D 始终与水面EFGH 平行为D. 若1E AA Î，1F BB Î，则AE BF +是定值【答案】ACD【解析】【分析】利用棱柱的定义即可判断选项A ，由水面四边形EFGH 的边长在变化，即可判断选项B ，利用线面平行的判定定理即可判断选项C ，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出AE BF +为定值，即可判断选项D【详解】解：由于四边形ABFE 与四边形DCGH 全等，且平面ABFE ‖平面DCGH ，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A 正确，因为BC ‖FG ，BC ^平面11ABB A ，所以FG ^平面11ABB A ，因为EF Ì平面11ABB A ，所以FG EF ^，因为FG ‖EH ，F G E H =，所以因为四边形EFGH 为矩形，所以水面四边形EFGH 的面积等于EF FG ×，因为水面四边形EFGH 的边长FG 不变，EF 在变化，所以水面四边形EFGH 的面积在变化，所以B 错误，容器底面一边BC 固定在底面上时，BC ‖FG ‖11A D ，所以由线面平行的判定定理可知，棱11A D 始终与水面四边形EFGH 平行，所以C 正确，如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值h ，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度a ，设BF h a =-，则AE h a =+，所以2BF AE h a h a h +=-++=为定值，所以当1E AA Î，1F BB Î时， AE BF +是定值，所以D 正确，故选：ACD第II 卷三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量(2,3),(3,)a b m =-=v v ，且a b ^v v ，则m =_______.【答案】2【解析】【详解】由题意可得2330,m -´+=解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y Þ=∥a b ，,,∥l l ¹Þ$Î=0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC l l l l=Û=+++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2）向量垂直：121200^Û×=Û+=x x y y a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=×=×a b a a a b a b a b .14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的表面积是__________．【答案】12p .【解析】【分析】正方体的对角线为外接球的直径，进而根据题意求出外接球的半径，最后求出表面积.【详解】根据题意正方体的对角线为外接球的直径，正方体的棱长为2，易得对角线长度为接球的半径r =，则外接球的表面积为：12p .故答案为：12p .15. 若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【解析】【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高5h ¢==，因此，侧面积28451002S +=´´=，所以所求的侧面积为100.故答案为：10016. 已知ABC V 是钝角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，4b =，则最大边c 的取值范围是_________．（结果用区间表示）【答案】（5，7）【解析】【分析】由题意可得C 为钝角，由余弦定理结合c a b <+即可求解.【详解】因为ABC V 是钝角三角形，最大边为c ，所以角C 为钝角，在ABC V 中，由余弦定理可得：2222916cos 0224a b c c C ab +-+-==<，可得5c >，又因为7c a b <+=，所以57c <<，所以最大边c 的取值范围是：57c <<，故答案为：(5,7).四．解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 知非零向量1e u r 和2e u u r 不共线.（1）如果AB uuu r ＝1e u r ＋2e u u r ，BC uuu r ＝21e u r ＋82e u u r ，CD uuu r ＝3（1e u r －2e u u r ），求证：A ，B ，D 三点共线；（2）欲使向量k 1e u r ＋2e u u r 与1e u r ＋k 2e u u r 平行，试确定实数k 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）±1.【解析】【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；（2）利用向量共线可得()()121k e k e l l -=-u r u u r ，又非零向量1e u r 和2e u u r 不共线，只能010k k l l -=ìí-=î，求解即可.【详解】（1）因为BD uuu r =BC uuu r ＋CD uuu r =1255e e +u r u u r =5AB uuu r ，且AB uuu r 为非零向量，所以AB uuu r 与BD uuu r 共线，即A ，B ，D 三点共线.（2）因为k 1e u r ＋2e u u r 与1e u r ＋k 2e u u r 平行，且两向量都为非零向量，所以存在实数λ使得k 1e u r ＋2e u u r =(1e l u r ＋k )2e u u r 成立，即()()121k e k e l l -=-u r u u r ,因为e 1和e 2不共线，所以0,10,k k l l -=ìí-=î所以k ＝±1.18. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，ccos sin B b A =．（1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC V，求ABC V 的周长．【答案】（1）3B p =；（2）3..【解析】【分析】(1)sin B B =，结合同角的三角函数关系和角B 的范围即可求解；(2)根据三角形的面积公式可得1ac =，利用余弦定理求得2a c +=，即可得解.【小问1详解】在ABC V 中，由正弦定理得2sin 2sin a R A b R B ==，，cos sin B b A =cos sin sin A B B A =，∵(0,)A p Î，∴sin 0A ¹，sin B B =，又显然2B p¹，即cos 0B ¹，∴tan B =，又∵(0,)B p Î，∴3B p =.【小问2详解】∵3B p=，由1sin 2ABC S ac B ==△，得1ac =．在△ABC 中，由余弦定理，得22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-∴21()31a c =+-´，∴2a c +=，∴△ABC 的周长为3．19. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求点B 到平面ACE 距离．【答案】（1）证明见解析的（2【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行判定定理，结合中位线定理，可得答案；（2）由题意，根据等体积法，可得答案.【小问1详解】如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ，∵E ，O 为中点，∴1//BD OE ，又1BD Ë平面ACE ，OE Ì平面ACE ，∴1//BD 平面ACE ；【小问2详解】设点B 到平面ACE 的距离为d ，在Rt ADE △中，AE ===在Rt CDE △中，CE ===AE CE \=，又∵O 为CA 中点，OE CA \^，在Rt △==，则OE =即1122AEC S CA OE =××=´=V ∵在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 到平面ABC 的距离为DE ，B AEC E ABC V V --=Q ，1133AEC ABC S d S DE \×=×V V21212=´´，即d =20. 如图，在ABC V 中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC p Ð=，求AD 的长；（2）若24BD DC ==，求sin sin BAD CADÐÐ的值．【答案】（1）83AD = （2）【解析】【分析】（1）由题意，根据三角形的性质，结合正弦定理，可得答案；（2）由题意，根据余弦定理，求得AC 的长，由正弦定理，可得sin 2sin BAD ADB Ð=Ð，sin CAD ADC Ð=Ð，结合ADB ADC p Ð=-Ð，可得答案.【小问1详解】∵1cos 3B =，则B为锐角，∴sin B ==，34ADC p Ð=Q ，则4ADB p Ð=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =Ð，\=，解得83AD =．【小问2详解】∵24BD DC ==，故2DC =，6BC BD DC =+=，由余弦定理可得AC ===在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =ÐÐ，故sin 2sin BAD ADB Ð=Ð，在ACD △中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC =ÐÐ，故sin CAD ADC Ð=Ð，∵()sin sin sin ADB ADC ADC p Ð=-Ð=Ð，∴sin sin BAD CAD Ð==Ð21. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）在PB 上确定一个点Q ，使平面MNQ ∥平面PAD ，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）Q 是PB 的中点,见解析【解析】【分析】（1）取PB 中点Q ，连MQ 、NQ ，中位线定理和四边形ABCD 为平行四边形可得//MQ PA ，//NQ AD ，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面//MNQ 平面PAD ；故可得//MN 平面PAD ．（2）由（1）可知问题的答案．【详解】证明：（1）取PB 中点Q ，连MQ 、NQ ，M Q 、N 分别是AB 、PC 的中点，//NQ BC \，//MQ PA//AD BC Q ，//NQ AD \，MQ NQ Q =Q I ，PA AD A Ç=，MQ ÌQ 平面MNQ ，NQ Ì平面MNQ ，PA Ì平面PAD ，AD Ì平面PAD\平面//MNQ 平面PAD，MN ÌQ 平面MNQ ，//MN \面PAD ；（2）由（1）可知Q 在PB 的中点上时，平面//MNQ 平面PAD .【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质和判定，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理．22. 已知半圆圆心为O ，直径4AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．（1）直接写出点A 、B 、C 的坐标；（2）若3144PA CA CB =-uuu r uuu r uuu r ，求PA uuu r 与CB uuu r 夹角a 的大小；（3）若PA PO y =×uuu r uuu r ，当y 得最小值时，求点P 的坐标及y 的最小值．【答案】（1）()2,0A -，()2,0B ，(C -（2）23p（3）最小值为14-，点P 的坐标为14æ-ççè【解析】【分析】（1）由图可标出点A 、B 、C 的坐标；（2）由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；（3）设()01OP tOC t =££uuu r uuu r ，即可表示出PA uuu r 、PO uuu r ，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为半圆的直径4AB =，所以()2,0A -，()2,0B ， 又2OC =，23BOC p Ð=，则222cos ,2sin 33C p p æöç÷èø，即(C -．【小问2详解】解：由（1）知，(1,CA =-uuu r，(3,CB =uuu r∴313442PA CA CB æ=-=-ççèuuu r uuu r uuu r .则1cos 2a =-， 又∵[]0,a p Î，∴23p a =，即PA uuu r 与CB uuu r 的夹角a 为23p .【小问3详解】解：设()01OP tOC t =££uuu r uuu r ，由（1）知，(()1OP t t =-=-uuu r ，故()PO t =uuu r ，，()2PA t =-+uuu r ， ∴22211(2)3424()44y PA PO t t t t t t =×=-++=-=--uuu r uuu r ， 又∵01t ££，∴当t =PA PO y =×uuu r uuu r 有最小值为14-， 此时点P 的坐标为14æ-ççè。
2022-2023学年山东省聊城一中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省聊城一中高一（下）期中数学试卷一、单选压（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，a−2i 1+i+i 的共轭复数为1+2i ，则实数a ＝（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=（a +c ，a +b ），q →=（b ，c ﹣a ）．若p →∥q →，则角C 的大小为（ ） A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π63．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为2√5cm ，杯口直径为4√5cm ，杯的深度为√5cm ，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（ ）A ．5cmB ．2√6cmC ．254cm D ．132cm4．如图所示，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．y =|2sin(2π3t +π6)| B ．y =2sin(2π3t +π6)C ．y =|2sin(2π3t −π6)|D ．y =2sin(2π3t −π6)5．已知向量a →，b →满足a →⋅b →=10，且b →=（4，﹣3），则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．（8，﹣6）B ．（﹣8，6）C ．(−85，65)D ．(85，−65)6．已知函数f(x)=sin π2x 的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）A ．y =f(4x −12) B ．y =f(x 4−12)C ．y =f(x4−2) D ．y ＝f （4x ﹣2）7．已知α∈(π，3π2)，若tan(α+π3)=−2，则cos(α+π12)=（ ） A ．3√1010B ．√1010C ．−√1010D ．−3√10108．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM →⋅PN →的取值范围是（ ）A ．[32，3]B ．[32，4]C ．[2，3]D ．[2，4]二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2012-2013学年度下学期第二学段模块考试
高一数学试题
第I 卷（选择题 共48分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确
答案的代号填在题后的括号内（每小题4分，共48分）。
1．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 1的值为( )．
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )． A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3. 设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，则下列结论中正确的是( )．
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
4. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
5．△ABC 的三个内角 A 、B 、C 成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →
＝0，则△ABC 一定是( )．
A ．等腰直角三角形
B ．非等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
6. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )．
A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π
4
7. 函数π
πlg cos 2
2y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
8．已知81cos sin =
αα，且)2
,4(π
πα∈，则ααsin cos -的值是（ ） A ．
23 B ．43 C ．23- D ．23
±
9. 函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =
的图象，则只需将()f x 的图象( )
A.向右平移
6π
个长度单位 B.向右平移3π
个长度单位
C.向左平移6π
个长度单位
D.向左平衡3π
个长度单位
10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．
A ．－235 B.236 C ．－45 D.4
5
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 设函数()sin(2)3
f x x π
=+，则下列结论正确的是 ( )
①．()f x 的图象关于直线3x π=对称 ②．()f x 的图象关于点(,0)4π
对称
③．()f x 的图象向左平移12
π
个单位，得到一个偶函数的图象
④．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6
π
上为增函数
A . ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ③
12. 定义在R 上的()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--， ,αβ是钝角三角形的两锐角，则下列正确的个数是 （ ） ①(sin )(cos )f f βα< ②(sin()(cos )f f αβ-< ③(cos )(sin())f f αβ>- ④(sin )(cos )f f αβ>
A.4个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1个
第II 卷（非选择题 共72分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共16分）.
13.已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与42b a -平行，则实数x =_________. 14.已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 15.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则函数 f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6 的最小值是________．
16.函数()[]sin 2sin 0,2f x x x
x π=+∈的图像与直线y k =又且仅有两个不同的交
点，则k 的取值范围是____________.
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共56分)
17．(10分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .
18. (10分)已知tan()4
x π
-=2，
求（1）tan x 的值； （2）2
sin 22cos 22cos 3sin 21x x x x +--的值.
19. (12分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1na n 的前n 项和T n .
20．(12分) 已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝ a b ⋅(x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )＝85，求cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3的值．
21．(12分)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，m ＝(sin B ＋sin C,0)，
n ＝(0，sin A )且|m |2－|n |2＝sin B sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)求sin B ＋sin C 的取值范围． 6
OA OQ θθππ
θ∠附加题：(10分） 如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上， AOP=(0<<),C 点坐标为(-2,0),平行四边变形OAQP 的面积为S. (1)求+S 的最大值； (2)若CB OP ，求sin(2-
)的值.
命题人：任跃霞。