浙江学考平面向量汇编
浙江省衢州、湖州、丽水三地平面向量及其应用经典试题(含答案)
一、多选题1．题目文件丢失！2．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+3．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．2π 4．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为25．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<7．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC =B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为87710．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33B a c b π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．1315．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值为( ) A ．3B ．23C ．33D ．3二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．118．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m20．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:5 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)223．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2324．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥25．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形26．题目文件丢失！27．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．428．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心29．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1430．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8331．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．432．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A ．154B ．14C ．34D ．3233．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+34．题目文件丢失！35．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．10【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长 解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．AD 【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦解析：AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.4．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.5．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．6．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，当时，由余弦定理得：， 解得，当时，由余弦定理得：， 解得 所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】 本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =，又sin C ==所以2R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.10．AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误;故选：AC【点睛】解析：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.11．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.12．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.13．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=， 即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.15．AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】 由余弦定理得293cos306x x ︒+-=，化简即得解.【详解】由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．17．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.18．C【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.19．D【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD 由正弦定理得：302sin120sin 45BC 302sin 45203sin120BC 3tan 30203203ABBC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．20．A【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．21．D【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】 由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°． 再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°4=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．23．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 24．A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．25．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．26．无27．D【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．28．C【详解】 试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.29．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.30．C【分析】 作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩， 解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 31．C【分析】不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可.【详解】 根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，由()()20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，因为关于y 的方程有解，所以22sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥， 令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤，所以25425422t t t t x +-+-≤≤，(13)m m =≤≤2(2)178m --+=， 当2m =时，22(2)1717288t m +--+==， 所以178x ≤，所以174b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为174， 故选：C.【点睛】 思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：（1）先根据题意，设出向量的坐标；（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.32．B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =， ∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 33．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.34．无35．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD =可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB 的高是米；故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．。
平面向量浙江历年考题
平面向量浙江考题1.（04浙江）已知平面上三点A 、B 、C 满足|5||,4||,3||===， 则=⋅+⋅+⋅AB CA CA BC BC AB _______________2.（05浙江）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则(A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )3.（06浙江）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥== ,则2||c =(A)1 (B)2 (C)4 (D)54.（06浙江）设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜22||b ++｜c ｜2 的值是5.（07浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a bＢ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ． 22<+b a b 6.（08浙江卷9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 7．（08浙江）已知a 是平面内单位向量，若b 满足0)(=-⋅，则||取值范围是_______．8.(09浙江文)已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--9. (09浙江理)设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10.（10浙江文）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+值是_______11.（10浙江理）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是__________________12.（11浙江理）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
专题05平面向量-2019届浙江省高考数学复习必备高三优质考卷分项解析(Word版含解析)
一．基础题组1.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据题意求出的轨迹，然后求出的最小值【详解】【点睛】本题较为综合，在解答向量问题时将其转化为轨迹问题，求得满足题意的图像，要求最小值即算得圆心到直线的距离减去半径，本题需要转化，有一定难度。
2. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知，，则的最大值为______，最小值为______．【答案】 6【解析】分析：可设出，画出向量，由向量数量积的定义和点与圆的距离最值，即可得到所求最值.详解：点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 5. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A 为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.详解：如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.6. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知平面向量, 满足，若，则的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：先建立直角坐标系，设A(x,y)，B(5，0),C(0,5),再转化为求的最小值，再转化为求|PD|+|PA|的最小值.点睛：（1）本题主要考查坐标法的运用，考查对称的思想方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力.(2)本题有三个难点，其一是要想到建立直角坐标系，其二是转化为求的最小值，其三转化为求|PD|+|PA|的最小值.7. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知向量,a b v v 满足32a b a b -=-=v vv v ，则a v 的取值范围是__________． 【答案】[]2,4【解析】分析：根据绝对值三角不等式即可求出.详解：∵32a b a b -=-=v vv v∴336a b -=vv∴26333333=2a b b a a b b a a +=-+-≥-+--v v v v v v v v v，即4a ≤v ；()()623333332a b a b a b a b a -=---≤---=v v v v v v v v v ，即2a ≥v.∴a v的取值范围是[]2,4 故答案为[]2,4.点睛：本题考查向量的模，解答本题的关键是利用绝对值三角不等式，即a b a b a b -≤±≤+. 8. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】在△中，角所对的边分别为，已知，点满足，则__________；__________．【答案】 8..【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.10. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（）A．正数 B．负数 C． 0 D．以上说法都有可能【答案】B【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.11.【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】已知向量满足的夹角为，则=_____；与的夹角为_____．【答案】【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.12. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】平行四边形中，在上投影的数量分别为，则在上的投影的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【详解】建立如图所示的直角坐标系：设，则：则：解得：．所以：．在上的摄影当时，，得到：．当时，，故选：A．13. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为________________.【答案】.【解析】14. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，________．【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.15. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝ B． |a＋c|max＝C． |a－c|min＝√ D． |a＋c|min＝【答案】A【解析】分析：由条件可设，，由向量数量积的坐标表示可得C在以圆心，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为，计算可得所求．详解：根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，且表示点A 与点C 的距离，则，故选A.16. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示,17. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知在ABC ∆中, 3AB =, 7BC =, 2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC ⋅=u u u v u u u v ___， AO BC ⋅=u u u v u u u v_____________【答案】 2 52-【解析】设外接圆半径为,372R AB BC AC AO CO R ==Q ＝，＝，＝，224122R R cos OAC R R+-∠==⋅则122AO AC AO AC cos CAO R R⋅=⋅∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r18. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=u u u v u u u v u u u v v，则4x 的值为( )A ． 15B ． 17C ． 29D ． 31 【答案】A【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=u u u r u u u r u u u r r 得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=-u u u r u u u r u u u r ， 设()21n n nP D x PC =+u u u u r u u u r 以线段n n P A P D 、 作出平行四边形n AEDP ，如图，则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u ur ， 12PnAEn PnABS x S +∴=V V ， 121n n nn P C P C AE x P D ==+u u u r u u u r u u u u r ∴1,12PnAC PnAC PnAD PnAE nS S S S x ==+V V V V则()112122PnAC n PnAB n S x S x +==+V V即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（）， 则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =； 故选A ．19. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知平面向量，满足且，则的最大值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】分析：由满足可得，再由，两边同时乘以，可得，则=即可得出答案.20. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】如图，在平面四边形中，，则________【答案】【解析】【分析】运用向量的基底转化，向已知向量上进行转化，然后求值【详解】所以21.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】如图，在平面四边形中，，则_________【答案】【解析】 【分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．【详解】 由题意得，∴．22.【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：当且仅当时取等号，即的最小值是3.二．能力题组1. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知O 为锐角ABC ∆的外心， 3AB =u u u v ， 23AC =u u u v若AO x AB y AC =+u u u v u u u v u u u v，且9128x y +=.记1l OA OB =⋅u u u v u u u v ， 2l OB OC =⋅u u u v u u u v ， 3l OA OC =⋅u u u v u u u v ，则（ ）A ． 213l l l <<B ． 321l l l <<C ． 312l l l <<D ． 231l l l << 【答案】D【解析】分析：由已知结合数量积的几何意义列关于x ， y ， cos BAC ∠的方程组，求得cos BAC ∠，再由余弦定理求得BC ，展开数量积，结合OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数即可得答案．详解：分别取AB ， AC 的中点为D ， E ，连接OD ， OE ，根据题设条件可得OD AB ⊥， OE AC ⊥.∵OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 ∴OB OC OA OC OA OB ⋅<⋅<⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v∴231l l l << 故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 2. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________． 【答案】【解析】分析：由题意，求得，所以的最小值为，再利用向量的模的计算公式，即可求解. 详解：由题意，则，解得，所以，所以的最小值为，所以，所以.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．3. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析：由题意知，，所以，由此可知，当时取得最大值．。
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，
所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，
故考虑 ，
所以
2.范围问题
例题8： 若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
解析：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
，则 ， ，
由 ， 为中点可得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由 即可求得 的范围为
3.综合问题
例题10：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上的高，且 ， ，点 为线段 的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由 可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中 ， ，
∵ ∴
∵ ，即 当且仅当 时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则 的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造 ，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析： ，
变式9：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是
分析：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设 ，则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关于 的不等关系即可
解析：如图以 为轴建立坐标系：设 ，
浙江省普通高校招生学考科目考试平面向量多选题试题含答案
浙江省普通高校招生学考科目考试平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD 【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos AB AC AB BAC C+与AH共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.2．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){}2,1M x y y x ==+;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．3．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误.对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立 D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=， 对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以4AE BE →→+=≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题.故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()3PA x a y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以()()()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+22223xy ay =+-即()PA PB PC ⋅+22233222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥- 故选：BCD. 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.二、立体几何多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）A ．平面1MB P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=， 190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥，1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为21224MBC a a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △， 且21224MBG a a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合，此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确； 【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ． 取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为6，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．。
浙江省2018-2019学年高三下平面向量精选试题汇编(16页)
浙江省2018-2019学年高三下平面向量精选试题汇编1. （2019届金丽衢十二校第一次联考2）已知向量()4,3a =，()1,53b =，则a 与b的夹角为（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒2. （2019届超级全能生2月模拟17）已知平面向量,a b 满足4a =，2b =，若对任意共面的单位向量e ，记a e b e ⋅+⋅的最大值为M ，则M 的最小值等于 ．3. （2019届七彩阳光联盟第一次联考9）12,e e 均为单位向量，且它们的夹角为45︒，设,a b 满足22a e +=，()12b e ke k R =+∈，则a b -的最小值为（ ）AB CD4. （2018学年杭高高三下开学考12）设向量,a b 满足2a b a b +=-，3a=，则b 的最大值是 ；最小值是 ．5. （2019届衢州五校联考16）在ABC △中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC+=，且2,33ππB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BA BC ⋅的取值范围是 ．6. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考9）若平面向量a ，b ，e 满足2a =，3b =，1e =，且(10a b e a b ⋅-⋅++=，则a b -的最小值是（） A ．1 B C D7. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考15）已知平面向量,a b 满足5a =，5a b ⋅=，25a b -≤，则b 的取值范围是 ．8. （2019届七彩阳光联盟第二次联考16）已知的单位向量1e ，2e ，12,3πe e =，若对任意与1e ，2e 共面的c 满足121c e c e ⋅+⋅≤恒成立，则2c 的最大值是．9. （2019届绍兴3月模拟8）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若,P Q 是圆O 上的两个动点，则AP CQ ⋅的取值范围是（ ）A ．3⎡⎤--⎣⎦B ．31⎡⎤---⎣⎦C ．[]5,0-D ．[]5,1--10. （2019届温州8月模拟9）已知向量a ，b满足2a =，22228a a b b+⋅+=，则a b⋅的取值范围是（ ）A．2⎡⎤⎣⎦ B．2⎡⎤-⎣⎦ C ．1⎤+⎦D．1⎡⎤⎣⎦11. （2019届温州8月模拟4）在ABC △中，D 是线段BC 上一点（不包括端点），()1AD λAB λAC =+-，则（ ） A ．1λ<- B ．10λ-<< C ．01λ<< D ．1λ>12. （2019届浙江名校联盟第二次联考15）已知平面中的三个向量a ，b ，c ，满足1a b ⋅=，,3πa b =，1c a ⋅=，2c b ⋅=，则c 的最小值是 ．13. （2019届嘉兴9月基础测试14）已知向量a ，b 的夹角为60︒，1a =，2b=，若()()2a λb a b ++∥，则λ= ；若()()2a μb a b +⊥+，则μ= ．14. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考15）向量a ，b 满足：2a =，1a b +=，则a b ⋅的最大值为 ．15. （2019届温州2月模拟7）在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，2a =，()()120b e b e -⋅-=，则a b -的最大值为（ ） A ．1 BC ．2D ．316. （2019届浙江三校第一次联考8）如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 是圆上的任意2个点，则AC BC ⋅的取值范围是（ ）A ．1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3-C ．[]1,1-D ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17. （2019届金华十校4月模拟17）已知平面向量 a ，m ，na=221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨⎪-⋅+=⎩，则当m n -= ，则m 与n 的夹角最大．18. （2019届余高、缙中、长中5月模拟9）已知平面向量a ，b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b +的夹角是θ，则θ最大时，a b -=（ ） A ．1 B C D ．219. （2019届台州4月模拟8）若平面向量a ，b ，c 满足1a c ==，2b =，且()0c a b ⋅-=，则b c 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]13，20. （2019届宁波4月模拟17）已知向量,,a b c 满足1a =，2b=，1c b -=，则a c+的取值范围为 ．21. （2019届浙江十校4月模拟14）22a b ==，1a b ⋅=-，()()b ta b t R ⊥+∈，则2a b +=_______，t = ．22. （2019届杭州4月模拟16）已知向量()1,2a =，平面向量b 满足()25a b a b +⋅=，则()4b a b -⋅的最小值等于___________．23. （2019届浙江三校第二次联考8）已知平面内的非零向量a ，b 满足1b =，且,165a b a <->=︒，则a 的最大值是（ ） A1 B ．1C D24. （2019届湖州三校4月模拟9）已知向量a ，b 的夹角为60︒，1a =且()2c a tb t R =-+∈，则c c a +-的最小值为（ ）AB C ．5D25. （2019届浙江百校联考16）已知非零向量,,a b c ，若,a b 的夹角为4π，,c a c b--的夹角为34π，且4a b -=，14c b -=，则b c ⋅的最大值是．26. （2019届上虞5月模拟17）如图，已知等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，两顶点A ,C 分别在x ,y 正半轴（含原点O ）上运动，P ,Q 分别是AC ,AB 的中点，则OP OQ OQ⋅的取值范围是 ．27. （2019届稽阳联谊4月模拟8）平面向量,a b 满足3a b -=，2a b =，则a b -与a夹角的最大值（ ） A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π28. （2019届绍兴柯桥区5月模拟9）设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]8,1-D ．[]16,1-29. （2019届温州5月模拟9）已知平面向量,,a b c 满足：0,1,5a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．830. （2019届诸暨5月模拟15）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若2a e ⋅=，3b e ⋅=，且0a b ⋅=，则a b +的取值范围是 ．31. （2019届平湖5月模拟8）已知a ，b 是两个非零向量，且1b ≤，22a b +=，则b a b ++的最大值是（ ） A ．54B ．52C ．3D ．532. （2019届临海新昌乐清4月模拟16）已知平面向量,a b 的夹角为56π，且1a b +=，则232aa b +⋅的最大值是 ．33. （2019届浙江省模拟9）设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1．则（ ） A ．若θ确定，则a 唯一确定 B ．若θ确定，则b 唯一确定 C ．若a 确定，则θ唯一确定 D ．若b 确定，则θ唯一确定34. （2019届嵊州5月模拟8）已知a ，b 是非零向量，若对任意的实数t ，有12b ta b a+≥+，则（ ）A ．a a b >+B ．a a b <+C ．b a b >-D ．b a b <-35. （2019届嘉丽4月模拟9）已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值是（ ） AB C D ．536. （2019届浙江五校联考9）设a ，b ，c 为平面向量，2a b ==，若()()20c a c b -⋅-=，则c b ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．94C ．174D ．537. （2019届七彩阳光联盟第三次联考9）已知平面向量a ，b ，c 满足：1a b c ===，0a b ⋅=，则122c a c b -+-的最小值为（ ）AB ．2C ．52D38. （2019届浙江名校联盟第三次联考15）已知边长为1的正方形ABCD ，,E F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE AF x AB y AD +=+，若3x y +=，则EF 的最小39. （2019届镇海中学5月模拟7）已知2a =，1b c ==，则()()a b c b -⋅-的最小值为（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．1-40. （2019届衢州二中第一次模拟4）在梯形ABCD 中，A D B C∥，2224BC AB AD DC ====，AC 与BD 相交于O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AC ⋅=（ ）AB C ．3 D ．41. （2019届衢州二中第一次模拟15）已知平面向量12,,e e c 满足12121e e e e ==-=，()123202c e e c -+⋅+=，则对任意的t R ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为 ．42. （2019届舟山中学5月模拟9）已知1A ，2A ，3A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足()11213+A M A A A A λ=（λ是实数），且123MA MA MA ++是单位向量，则这样的点M 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个43. （2019届衢州二中第二次模拟9）若平面向量a ，b ，c 满足，2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．44. （2019届浙大附中5月模拟15）设a ，b ，c 为三个非零向量a ，且0a b c ++=，2a =，2b c -=，则b c +的最大值是 ．45. （2019届嘉兴一中5月模拟15）设a ，b ，c 为三个非零向量，且0a b c ++=，2a =，2b c -=，则b c +的最大值是 ．46. （2019届镇海中学考前练习6）已知向量a ，b 的夹角为120︒，且=2a ，=3b ，则向量2+3a b 在向量2a b +方向上的投影为（ ）ABCD47. （2019届镇海中学考前练习17）如图，已知点O ，A ，B ，C （顺时针排列）在半径为r 的圆E 上，将OB 顺时针旋转90︒，得到OP ，则O A O P O C O P ⋅+⋅的最大值为 ．48. （2018学年杭十四中4月月考16）已知向量,a b 满足2101,103b aa b =-⋅+=，则()2b a b⋅+取值范围是 ．49. （2019届杭二仿真考9）设a ，b 为单位向量，向量c 满足2c a a b +=⋅，则c b-的最大值为（ ） A ．2B ．1 CD50. （2019届永康5月模拟16）设非零平面向量,,a b c 满足22,4b c b c +=-=，则b c+的最大值为 ．51. （2019届镇海中学最后一卷7）已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且1a =，a b -与b 的夹角为150︒，则b 的取值范围是（） A ( B ．(]0,1C ．(]0,2D ．(52. （2019届宁波十校5月模拟17） 已知向量,,a b c满足112a b c ===，1a b ⋅=，则1122c a c b++-的取值范围是 ．53. （2019届浙江三校第四次联考10）P 、Q 、R 是等腰直角△ABC （A 为直角）内的点，且满足∠=∠=∠APB BPC CPA ，∠=∠=∠ACQ CBQ BAQ ，AR 和BR 分别平分∠A 和∠B ，则（ ）A ．⋅>⋅>⋅PA PB QA QB RA RB B ．⋅>⋅>⋅QA QB PA PB RA RBC ．⋅>⋅>⋅RA RB PA PB QA QBD ．⋅>⋅>⋅RA RB QA QB PA PB54. （2019届知行联盟5月模拟8）已知a ，b 是平面向量，满足4a =，1b ≤且32b a ≤-，则cos a b ,的最小值是 （ ）A ．1116B ．78CD55. （2019届绿色联盟5月模拟10）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若BP BA BC λμ=+，设2λμ+的最大值为M ，最小值为N ，则M N -的值为（ ）ABC D56. （2019届杭二热身考9）平面向量a ，b 满足：12a ≤≤，13a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤，则b 的最大值为（ ） A ．2 BCD57. （2019届金华一中5月模拟7）已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q满足AP AB λ=，()1AQ AC λ=-，R λ∈，若32CP BQ ⋅=-，则λ=（ ）A ．12BCD58. （2019届杭四仿真考16）若非零向量,a b 满足：()2=54a a b b -⋅，则cos ,a b <>的最小值是 ．59. （2019届湖州中学仿真考8）设a ，b ，c 是非零向量，若()12a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅-= B ．()0a b c ⋅+= C ．()0a b c -⋅= D ．()0a b c +⋅=DCB A60. （2019届浙江名校联盟第一次联考16）已知向量a ，b 满足2=a b ，2-=a b ，则⋅a b 的取值范围为 ．61. （2019届慈溪中学5月模拟10）若等边ABC △的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，则OA OM ⋅的最大值是（ ） A ．92B ．52C ．4D ．362. （2019届金丽衢十二校第一次联考15）若等边ABC △的边长为，平面内一点M 满足：1263CM CB CA =+，则M A M B ⋅=．63. （2019届湖丽衢9月质检16）已知向量a 和单位向量b 满足22+=-a ba b，则⋅a b 的最大值是 ．64. （2019届湖丽衢9月质检8）如图，11OA B △，122A A B △，233A A B △是边长相等的等边三角形，且O ，1A ，2A ，3A 四点共线，若点1P ，2P ，3P 分别是边11A B ，22A B ，33A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则（ ） A ．123I I I >> B ．231I I I >> C ．213I I I >> D ．312I I I >>65. （2019届金丽衢十二校第二次联考8）已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且0++=a b c ，则-+-+-a d b d c d 不可能等于（ ） A ．3 B．C ．4 D．66. （2019届绿色联盟12月模拟17）在平面中，0AM AN ⋅=，AM AN AP +=，点Q 满足2QM QN ==，若2AQ <，则PQ 的取值范围为 ．67. （2019届浙北四校12月模拟7）已知向量a ，b 满足4a =，10a b ⋅≥，则2a b-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B 3B 2A 3A 2B 1A 1O68.（2019届温州九校第一次联考9）已知a，b是不共线的两个向量，⋅a b的最小值为m，n∈R，m+a b的最小值为1，n+b a的最小值为2，则b的最小值为（）A．2 B．4 C．D．。
2023-2024学年浙江省高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省高中数学人教A 版 必修二平面向量及应用强化训练(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1321. 在中，若 ，， 的面积为 ， 则（ ）A. B.C.D.2. 宽与长的比为心，的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，， 那么的值为（ ）A. B. C. D.3. 设向量 ， 则下列选项正确的是（ ）A. B. C.D.正三角形钝角三角形等腰三角形直角三角形4. 已知 满足 (其中 是常数)，则 的形状一定是（ ）A. B. C. D. 5. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD=50 ， ∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A ，B 两点的距离为（ ）A. B. C. D.16. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D.7. ､､是等腰直角三角形（）内的点，且满足 ， ，， 则下列说法正确的是（ ）A.B.C. D.8. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.34569. 平面向量 ， 满足， ， ，则 最大值是A. B. C. D. 10. 已知 ， 均为单位向量，若 ， 则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D.2 11. 已知两个单位向量 、 的夹角为 ，则| ﹣2 |=（ ）A. B. C. D.-3-21212. 已知 ，，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 已知 分别为 的三个内角 所对的边,且,则 .14. 在中，点､分别为､的中点，点为与的交点，若，，且满足，则； .15. 若向量与方向相同，则实数．16. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则；.阅卷人三、解答得分17. 的内角A,B,C所对的边分别为(1) 若成等差数列，证明：(2) 若成等比数列，且，求的值18. 一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在中，已知，_______，，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为，那么缺失的条件是什么呢？问题：(1) 如何根据题目条件求出的大小？(2) 由求得的的值和正弦定理如何求出的值？(3) 破损处的条件应该用边的长度还是用边的长度，还是二者均可？为什么？19. 已知是互相垂直的两个单位向量，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当为何值时，与共线.20. 已知向量(1) 用含的式子表示及 ;(2) 求函数的值域;(3) 设 ,若关于的方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围.21. 在锐角三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求的周长L的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)(3)21.。
2023-2024学年浙江省高中数学人教A版 必修二平面向量及应用专项提升-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省高中数学人教A 版 必修二平面向量及应用专项提升(18)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）90°135°120°150°1. 已知的三边长分别为1，， ，则它的最大内角的度数是（ ）A. B. C. D. 2. 已知平面向量 ，， 如果 ， 那么（ ）A.B.C.D.4 63. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝ ，O 是的内心，若 ＝x ＋y ，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）A.B.C. D. 点M 在线段AB上点B在线段AM上点A 在线段BM 上O，A ，B ，M 四点共线4. 设O ，A ，B ，M 为平面上四点， = +（1﹣λ），λ∈（0，1），则（ ）A. B. C. D. 5. 如图， 为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（ ）A. B. C. D.6. 设点是双曲线的左､右两焦点，点是的右支上的任意一点，若 ， 则的值可能是（ ）45A. B. C. D.7. 正方形 中，点 ，分别是 ， 的中点，那么（ ）A.B.C.D.-1-228. 已知直角坐标平面内点 ， 和向量，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C.D. 9. 如图所示，正六边形 中， （ ）A. B. C. D.12π24π36π48π10. 在△ABC 中, a,b,c 分别为A,B,C 的对边,若 ， ，a=6,则△ABC 的外接圆的面积（ ）A. B. C. D. 11. 已知 中，内角所对的边分别为，那么（ ）A.B. C.D.12. 已知向量 ， ， 则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）A. B. C. D.13. 平面向量满足 ， 与的夹角为 ， 且则的最小值是 ．14. 已知 的外心为 ， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边， ，则的最小值为 .15. 如图，三个全等的三角形 、 、 拼成一个等边三角形 ，且 为等边三角形，若，设，则．16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且，，，则；的面积为．17. 已知向量，， .(1) 若，求x的值；(2) 记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.18. 在中，角，，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为且满足， .(1) 求角的大小；(2) 当时，求，的值.19. 如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点.(1) 若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；(2) 求的值.20. 已知为第一象限角，，．(1) 若，且角的终边经过点，求x的值；(2) 若，求的值．21. 已知平面四边形．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．问题：(2) 若，求的周长的取值范围；答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
考点18 平面向量的数量积及其应用-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 Word
姓名，年级：时间：考点18 平面向量的数量积及其应用考点梳理1．平面向量的数量积(1）平面向量数量积的定义:已知a,b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a|｜b|cos θ叫做a和b的数量积（或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|｜b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2）平面向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a方向上的投影|b｜cosθ的乘积．（3)平面向量数量积的运算律：①a·b＝b·a；②（λa)·b＝λ（a·b)＝a·(λb）（λ为实数）；③（a＋b）·c＝a·c＋b·c。
(4）平面向量数量积的坐标表示:①设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a·b＝x1x2＋y1y2.②向量的模：若a＝(x，y），则｜a|2＝x2＋y2或｜a｜＝x2＋y2;若错误!＝(x1，y1)，错误!＝（x2，y2),则|错误!｜＝错误!。
③两向量的夹角公式:设θ为非零向量a与b的夹角，a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），则cosθ＝错误!。
④向量垂直的条件：设a＝(x1，y1），b＝(x2,y2)，则向量a，b垂直的条件是当且仅当x 1x2＋y1y2＝0.2．平面向量应用举例（1)平面向量在平面几何中的简单应用．(2）平面向量在物理中的简单应用．例题讲解【例1】已知｜a|＝6,｜b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b)·(a－3b)．【解析】(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a｜2－|a｜｜b｜cosθ－6｜b｜2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.【变式训练】已知｜a｜＝5,｜b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝__________．【答案】－10 【分析】a·b＝4×5×(－12）＝－10.【例2】设向量a＝(x－2，2）,b＝（4，y），c＝（x,y），x，y∈R,若a⊥b，则错误!的最小值是( ）A。
2010年至2018年浙江《平面向量》真题汇编
2010年至2018年浙江《平面向量》真题汇编2010年浙江文 （13）已知平面向量α，β，α＝1, β=2，α⊥（α－2β），则βα+2的值是 .2010年浙江文（17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F.设G 为满足向量OG OE OF =+u u u r u u u r u u u r的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .2010年浙江文 22. 已知m 是非零实数，抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 在直线l ：x －my －22m ＝0上.（Ⅰ）若m ＝2，求抛物线C 的方程;（Ⅱ）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂直，垂足为A 1，B 1，△AA 1F ，△BB 1F 的重心分别为G ，H.求证：对任意非零实数m ，抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.2010年浙江理（16）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是__________________ .2010年浙江理 （21） 已知>1m ，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. (I)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；(II)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.2011年浙江文 （15）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是_________2011年浙江文理 （14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
考点17 平面向量的概念及线性运算-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 (1)
考点17 平面向量的概念及线性运算考点梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫向量的模，AB →的模记作|AB →|，a 的模记作|a |. (2)零向量：长度等于零的向量叫零向量，其方向是不确定的． (3)单位向量：长度为1的向量．(4)共线(平行)向量：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线，如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量为共线向量或平行向量．2．平面向量的线性运算 (1)向量的加法及其几何意义①向量加法的三角形法则：已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，如图(1)所示．对于零向量与任一向量a ，我们规定：0＋a ＝a ＋0＝a .图(1)②向量加法的平行四边形法则：设A 为任意一点，作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC →就是a 与b 的和．如图(2)所示．图(2)③向量加法满足的运算律： a ＋b ＝b ＋a (交换律)；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律)． (2)向量的减法及其几何意义①相反向量(a)：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．②向量的减法：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，特别地，a ＋(－a )＝0.③向量减法的几何意义：已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，则OA →＝a ，OB →＝b ，记a －b ＝BA →，即a －b 为连接两个向量的终点(这两个向量具有共同的起点)，方向为b 的终点指向a 的终点的向量，如图(3)所示．图(3)(3)向量数乘运算及其几何意义①向量的数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(ⅰ)|λa |＝|λ||a |.(ⅱ)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.②运算法则：设λ，μ为实数，那么：(ⅰ)λ(μa )＝(λμ)a ；(ⅱ)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(ⅲ)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ③向量共线的条件：向量b 与非零向量a 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 3．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理①如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.不共线的向量e 1和e 2叫做这一平面内所有向量的一组基底．②向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 和b 的夹角．如果a 与b 的夹角是90°，就称a 与b 垂直，记作a ⊥b .(2)平面向量的正交分解及坐标表示①正交分解的概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．②向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．③平面向量的坐标运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；若a ＝(x ，y )，λ为实数，则λa ＝(λx ，λy )．④平面向量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0，则a ，b 共线(a ∥b )的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.例题讲解【例1】设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ＝b 能够推导|a |＝|b |，充分性满足；但是|a |＝|b |不一定能推导a ＝b 故，必要性不满足．故选A.【变式训练】已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“|a －b |＝|a |－|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】 |a －b |＝|a |－|b |能推出a ∥b ，而a ∥b 不一定能推出|a －b |＝|a |－|b |.故选B.【例2】向量a ＝(2，1)，b ＝(1，3)，则a ＋b ＝( ) A ．(3，4) B ．(2，4) C ．(3，－2) D ．(1，－2) 【解析】 a ＋b ＝(3，4)．故选A.【变式训练】已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)．若a ∥b ，则实数x ，y 一定满足( ) A ．xy －1＝0 B ．xy ＋1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋y ＝0 【答案】A 【分析】 1－xy ＝0故选A.【例3】若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝____________．【解析】 (13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j ＝－16i ＋323j .【变式训练】 化简(x ＋y )a －(x －y )a ＝____________．【答案】2y a 【分析】 (x ＋y )a －(x －y )a ＝(x ＋y －x ＋y )a ＝2y a .【例4】 如图所示，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，OA →与OB →夹角为120°，OA →与OC →夹角为150°，且||OA →||＝OB →＝1，||OC→＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝( )A ．1B ．－6C ．－92D ．6【解析】 以O 为坐标原点，OA 方向为x 轴正方向，与OA 垂直向上为y 轴正方向，平面直角坐标系，据||OA →||＝OB →＝1，||OC →＝23可得A ()1，0，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，C ()－3，－3，由题中OC →＝λOA →＋μOB →，进行向量的坐标运算，可得方程组⎩⎨⎧λ－12μ＝－332μ＝－3，解得μ＝－2，λ＝－4，所以λ＋μ＝－6.故本题答案选B.【变式训练】 在△ABC 中，点P 在BC →上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝()4，3，PQ →＝()1，5，则BC →等于( )A ．(－6，21)B ．(6，－21)C ．(2，－7)D ．(－2，7)【答案】A 【分析】 PQ →＝12(P A →＋PC →)，PC →＝2PQ →－P A →，则：PC →＝()－2，7，BC →＝3PC →＝()－6，21.巩固训练一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C 【分析】 C ．零向量长度等于0.选C. 2．若向量a ＝(1，2)，b ＝(2λ，8)，a ∥b ，则λ的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B 【分析】 a ＝(1，2)，b ＝(2λ，8)，a ∥b ，2λ＝4，λ＝2.故选B. 3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →【答案】A 【分析】 由图可知CD →＝－BC →＋12BA →.故选A.4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A ．(－8，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 【答案】B 【分析】 MP →＝12MN →，P 是M (3，－2)，N (－5，－1)中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32.故选B.5．若非零向量a ，b 满足||a ＝||b ＝||a －b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3【答案】B 【分析】 ||a ＝||b ＝||a －b ，构成的三角形是正三角形，夹角为π3.故选B.6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D 【答案】C 【分析】 AB →＝a ＋2b ，BD →＝2a ＋4b ，BD →＝2AB →.故选C.二、填空题7．已知a ＝(2，1)，3a ＋4b ＝(－6，19)，则b 的坐标为____________．【答案】(－3，4) 【分析】 4a ＋4b ＝(－4，20)，a ＋b ＝(－1，5)，所以b ＝(－3，4)．8．设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则||CM →＝____________． 【答案】3 【分析】 因为|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，所以△ABC 是直角三角形，AB 是斜边．||CM →是直角三角形△ABC 斜边上的中线长，所以|CM →|＝3.9．已知平面向量||b ＝2，||a ＝3||a －b ，则||a 的取值范围是____________．【答案】[3－3，3＋3] 【分析】 因为b ＝a －(a －b )，所以|a |－|a －b |≤2≤|a |＋|a －b |，即(1－33)|a |≤2≤(1＋33)|a |，得：3－3≤|a |≤3＋ 3.三、解答题10．向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求|b ＋a |的最小值．【解】 向量a 与c 共线，设a ＝(2t ，t )，t ∈R ，a ＋b ＝(2t －3，t ＋1)，所以|a ＋b |＝5t 2－10t ＋10＝5（t 2－2t ）＋10＝5（t －1）2＋5，|a ＋b |min ＝5。
学业水平考试 数学浙江-知识清单与训练 14 平面向量基本概念线性运算
知识点一 向量的有关概念名称 定义备注向量 既有______又有________的量；向量的大小叫做向量的______(或称________) 平面向量是自由向量 零向量 长度为________的向量；其方向是任意的 记作________单位向量 长度等于________的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向________或________的非零向量 0与任一向量________或共线共线向量方向________或________的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度________且方向________的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度________且方向________的向量0的相反向量为0知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝________________. (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝________. 减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝__________知识点三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得________________．知识点四平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1、λ2，使a＝________________.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．知识点五平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，a－b＝________________，λa＝________________，|a|＝________________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________，|AB→|＝________________.知识点六平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔________________.例1(2015年10月学考)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)，若a∥b，则实数x，y一定满足()A．xy－1＝0 B．xy＋1＝0C．x－y＝0 D．x＋y＝0例2 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →等于( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →例3 设向量a ＝(x －1,1)，b ＝(3，x ＋1)，则a 与b 一定不是( ) A ．平行向量 B ．垂直向量 C ．相等向量D ．相反向量例4 给出下列命题：①不相等的向量一定不共线；②非零向量AB →与BA →是平行向量；③零向量应是没有大小的向量；④若向量a 是非零向量，且满足a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c .其中命题正确的有________．(把序号填在横线上)例5 如图，在△ABC 中，已知D 是AB 上一点．若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则实数λ＝________.例6 设e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1＋10e 2，BC →＝－2e 1＋8e 2，CD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．例7 已知平面内三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量d .一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．长度相等的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线2．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点，AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．－12a －bB ．－12a ＋bC.12a －b D.12a ＋b 3．点P 的坐标为(1,2)，AB →＝(1,2)，则( ) A ．点P 与点A 重合 B ．点P 与点B 重合 C ．点P 就表示AB → D.OP →＝AB →4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．已知点A (2，－12)，B (12，32)，则与向量AB →同方向的单位向量是( )A ．(35，－45)B ．(－35，45)C ．(45，－35)D ．(－45，35)6．若向量a ＝(3,4)，且存在实数x ，y ，使得a ＝x e 1＋y e 2，则e 1，e 2可以是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2) B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6) C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1) D ．e 1＝(－12，1)，e 2＝(1，－2)7．已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，(a －b )∥c ，则锐角x 等于( ) A ．45° B ．30° C ．15° D ．60°8.如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 二、填空题9．已知e 1＝(2,1)，e 2＝(1,3)，a ＝(－1,2)，若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为________． 10．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|b －a －c |＝________. 11．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10,8)，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝______. 12.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．答案精析知识条目排查 知识点一大小 方向 长度 模 0 0 1个单位 相同 相反 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 知识点二三角形 平行四边形 b ＋a a ＋(b ＋c )三角形 |λ||a | 相同 相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 知识点三 b ＝λa 知识点四不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 知识点五(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 21(2)②(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 知识点六 x 1y 2－x 2y 1＝0 题型分类示例 例1 A 例2 B 例3 C 例4 ②④解析 ①不相等的向量可以长度不相等，但是方向可以相等或相反，所以可能共线；②非零向量AB →与BA →是非零向量，方向相反，所以是平行向量；③零向量方向任意，长度为零，是有大小的；④因为a 不是零向量，由a ∥b 知a 与b 平行(b 可能是零向量)，同理，由a ∥c 知a 与c 平行(c 可能是零向量)，则b 与c 共线，所以命题正确的有②④. 例5 23解析 方法一 由AD →＝2DB →， 可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，则CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.方法二 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23.例6 证明 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2 ＝e 1＋5e 2， AB →＝2e 1＋10e 2，∴AB →＝2BD →，即AB →与BD →共线． 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 例7 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )， 又∵a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0， 即k ＝－1613.(3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又∵(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255，∴d ＝(4＋55，1＋255)或d ＝(4－55，1－255)． 考点专项训练 1．C 2．B 3.D4．C [①式的等价式是AB →－DA →＝BC →－CD →， 左边＝AB →＋AD →，右边＝BC →＋DC →，不一定相等； ②式的等价式是AC →－AD →＝BC →－BD →， 即DC →＝DC →，成立；③式的等价式是AC →＝BD →＋DC →＋AB →，成立． 综上可知，正确的是②③，故选C.] 5．B [∵AB →＝(12，32)－(2，－12)＝(－32，2)，∴|AB →|＝(－32)2＋22＝52. ∴与向量AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝25(－32，2)＝(－35，45)．故选B.]6．C 7．A 8．D 9．(－1,1)解析 ∵λ1e 1＋λ2e 2＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝2λ1＋λ2，2＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝1，∴实数对(λ1，λ2)＝(－1,1)． 10．2解析 ∵在边长为1的正方形ABCD 中， 设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ， ∴|a |＝1，a ＋b ＝c ， ∴|b －a －c |＝|b －a －a －b | ＝|－2a |＝2|a |＝2. 11．18解析 BC →＝OC →－OB →＝(6,3)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，－4)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴BC →∥AC →， ∴－24－3(10－k )＝0， 解得k ＝18. 12.19解析 ∵B ，P ，N 三点共线， ∴存在实数λ使得 AP →＝λAB →＋(1－λ)AN → ＝λAB →＋1－λ4AC →.又AP →＝mAB →＋29AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1－λ4＝29，解得m ＝19.。
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1． （2016年4月浙江学考17）已知平面向量a r ，b r
满足a =r ，()12b e λe λR =+∈r u r u u r ，其中1e u r ，2e u u r 为不
共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a r ，b r
恒有a b -≥r r 则1e u r ，2e u u r 夹角的最小值为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56
π
2． （2018年11月浙江学考22）如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点()1,0A -，()1,0B ．点P ，Q
分别从A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动．若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运
动一周的过程中，AP AQ ⋅u u u r u u u r
的最大值是 ．
3． （2018年6月浙江学考22）已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线P A ，PB 分
别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，M 为直线AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ⋅u u u u r u u u r
的最小值是 ．
4． （2017年11月浙江学考22）正四面体A BCD -的棱长为2，空间动点P 满足2PB PC +=uu r uu u r
，则
AP AD ⋅uu u r uuu r
的取值范围是__________．
5． （2017年4月浙江学考22）设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()
PA PB PC
⋅+u u u r u u u r u u u r
的取值范围为 ．
6． （2014年7月浙江学考24）已知Rt ABC △的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心1为半径的圆上
的任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．[]3,5- D
．1⎡-+⎣
7． （2014年1月浙江学考29）设P 是半径为1
的圆上一动点，若该圆的弦AB =，则AP AB ⋅u u u r u u u r
的取值
范围是 ．
8． （2016年10月浙江学考21）在ABC △中，2AB =，3AC =，2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，若点P 满足2BP PC =u u u r u u u r
，
则AP BC ⋅=u u u r u u u r
．
9． （2019年4月浙江学考21）已知,A B 为圆C 上两点，若2AB =，则AC AB ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
10．（2018年4月浙江学考20）若平面向量a r ，b r 满足()21,6a b +=r r ，
()24,9a b +=-r r ，则a b ⋅=r r
．
11．（2019年1月浙江学考20）若平面向量a r ，b r 满足6a =r ，4b =r
，a r 与b r 的夹角为60︒，则
()
a a
b ⋅-=r r r
．
12．（2015年1月浙江学考3）向量()2,1a =r ，()1,3b =r ，则a b +=r r
（ ）
A ．()3,4
B ．()2,4
C ．()3,2-
D ．()1,2-
13．（2015年1月浙江学考30）如图，已知AB AC ⊥，3AB =
，AC ，圆A 是以A 为圆心半径为1
的圆，圆B 是以B 为圆心的圆，设点P ，Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12
AP BQ =u u u r u u u r
，则CP CQ ⋅u u u r u u u r
的取值范围是 ．
14．（2015年10月浙江学考7）已知平面向量()1,a x =r ，(),1b y =r ，若a b r r
∥，则实数x ，y 一定满足（ ）
A ．10xy -=
B ．10xy +=
C ．0x y -=
D ．0x y +=
15．（2015年10月浙江学考19）设a r ，b r 为平面向量，若()1,0a =r ，()3,4b =r ，则a =r
，a b ⋅=r r ．
16．（2016年4月浙江学考10）已知空间向量()2,1,5a =-r ，()()4,2,R b x x =-∈r ，若a b ⊥r r
，则x =（ ）
A ．10-
B ．2-
C ．2
D ．10
17．（2016年10月浙江学考12）设向量()2,2a x =-r ，()4,b y =r ，(),c x y =r ，,R x y ∈，若a b ⊥r r ，则c
r 的最小值是（ ） A
B
C ．2 D
18．（2017年4月浙江学考19）设向量()1,2a =r ，()3,1b =r ，则a b +r r 的坐标为 ，a b ⋅=r r
．
19．（2017年11月浙江学考2）已知向量()4,3a =r ，则a =r
（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
20．（2018年4月浙江学考8）在三棱锥O ABC -中，若D 为BC 的中点，则AD =u u u r
（ ）
A ．1122OA OC O
B +-u u u r u u u r u u u r B ．1122OA OB O
C ++u u u r u u u r u u u r C ．1122OB OC OA +-u u u r u u u r u u u r
D ．1122
OB OC OA ++u u u
r u u u r u u u r
21．（2018年6月浙江学考6）已知向量(),1a x =r ，()2,3b =-r ，若a b r r
∥，则实数x 的值是（ ）
A ．23-
B ．23
C ．32-
D ．32
22．（2018年11月浙江学考6）对于空间向量()1,2,3a =r ，(),4,6b λ=r ，若a b r r
∥，则实数λ=（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
23．（2019年1月浙江学考6）已知空间向量()1,0,3a =-r ，()3,2,b x =-r ，若a b ⊥r r
，则实数x 的值是（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
24．（2019年4月浙江学考9）若向量(),4a x =r 与()2,1b =r
垂直，则实数x 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．8
D ．8-。