2018年高考数学(理)命题猜想专题2平面向量与复数

合集下载

2018年高考数学(理)仿真押题专题2平面向量与复数

2018年高考数学（理）仿真押题专题2平面向量与复数1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，解得m ＝－6，则m ＝－6时，a ＝(－1,2)，a ＋b ＝(2，－4)，所以a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A. 【答案】A2．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn ＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3【答案】A3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2【解析】因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝ ±1 2＋ 3 2＝2，故选D.【答案】D4．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(m ，－1)，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a |＝( ) A ．1 B.62C. 2 D ．4【解析】∵a ＝(m,1)，b ＝(m ，－1)，∴a ＋b ＝(2m,0)，a －b ＝(0,2)，又|a ＋b |＝|a －b |，∴|2m |＝2，∴m ＝±1，∴|a |＝m 2＋12＝ 2.故选C.【答案】C5．已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12【答案】C6．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94 B.94C.274 D ．－274【解析】依题意得|CD →|＝32，CD →·AB →＝0，CD →·CB →＝CD →·(CA →＋AB →)＝CD →·CA →＋CD →·AB →＝CD →·CA →＝|CA →|·|CD →|·cos60°＝3×32×12＝94，故选B.【答案】B7．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，则|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6 C.π4 D.3π4【解析】法一因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a ·b＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝ a ＋2b ·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.故选A.法二设a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12cos π3，12sin π3＝⎝⎛⎭⎫14，34，则(a ＋2b )·b ＝⎝⎛⎭⎫32，32·⎝⎛⎭⎫14，34＝34，|a ＋2b |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝ a ＋2b ·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6，故选A. 【答案】A8．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为() A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A9．△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC →|＝|b |＝2，|AB →|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC →2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.【答案】C10．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( ) A ．a ⊥b B ．b ⊥(a －b ) C ．a ⊥(a －b ) D ．(a ＋b )⊥(a －b )【解析】由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a·b －1)2≤0，得a·b －1＝0，故a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．【答案】B11．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】C12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2【解析】∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故mn ＝－2.【答案】C13.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32【答案】A14．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－1D ．0【解析】由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B. 【答案】B15.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为( )A.12B.22C.34D ．1【解析】解法一 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →，∴B ，P ，A 三点共线，且BP →＝tBA →，又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动，∵Q 为 AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →|·|OQ →|·cos θ≤1×1×1＝1，即当P ，Q 两点重合且位于点A 或点B 处时，OP →·OQ →取得最大值1，故选D.解法二特殊位置法，取t ＝1，得点P 与点A 重合，又取点Q 与点A 重合，∴OP →·OQ →＝OA →2＝1，对比选项A ，B ，C 的值都比1小，故选D. 【答案】D16．设复数z 满足z －iz ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )A ．21 008B ．21 008iC ．－21 008D ．－21 008i【解析】由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A. 【答案】A17．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB，则复数）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A18．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C 【解析】因为105105234222i i iz i i i i---==⋅=-++-，所以34z i =+. 19．复数z 满足）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i - 【答案】A.A ． 20.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A.4B.6C.1D.2【解析】由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 【答案】B21.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6【解析】因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 【答案】A22.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.【答案】223. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.【解析】法一如图，建立平面直角坐标系.【答案】324.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心). 【解析】由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤|AB →||BC →|cos （180°－B ）|AB →|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，得AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.【答案】垂心25.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.26．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.【解析】，即29a =，解得3a =±，又0a > ，3a ∴=，3z i ∴=+；（Ⅱ）3,z i =+ 则又复数得51m m >-⎧⎨<⎩，51m ∴-<<. 27．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1，且//a c ，求c的坐标；（2，且(4)(2)a b a b -⊥+ ，求a 与b夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c =--；（228．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ．①设，且k 的值； ②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2【解析】解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2，因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以．因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．29．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角；(2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC的值．【解析】(1)∵a ⊥c ，∴2x －4＝0，x ＝2，∵b ∥c ，∴－4－2y ＝0，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－1 2＝10.设a ＋b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝ a ＋b ·c |a ＋b |·|c |＝3×2＋－1 × －4 10×20＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4，即a ＋b 与c 的夹角为π4. (2)设AC 的中点为D ，连接OD (图略)，∵AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAD →，又x ＋2y ＝1，∴O ，B ，D 三点共线．由O 为△ABC 外心，知OD ⊥AC ，BD ⊥AC ，在Rt △ADB 中，AB ＝3，AD ＝12AC ＝2，所以cos ∠BAC ＝AD AB ＝23. 30．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2 ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的单调区间． 20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2，又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．。

2018届高考数学第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示文新人

(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足
λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( √ ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是
��1 ��2
=
��1 ��2
.( ×
)
知识梳理考点自测
2.(2017河北石家庄二模,文10)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1” 是“a∥b”的( A )
,
��
=
8 5
,
所以 λ+μ=45.
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练 2 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若
20a��+15b��+12c��=0,则△ABC 的最小角的正弦值等于( C )
A.45
B.34
面向量的加法、减法 2017 全国Ⅲ,文 13 用坐标表示的向量共线
与数乘运算.
2016 全国Ⅱ,文 13 的条件是高考考查的比
4.理解用坐标表示
较频繁的一个考点,属
的平面向量共线的
于中低档题目.
条件.
知识梳理考点自测
1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 . 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点 ��=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 �� =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 (x,y) 叫做向量a的坐标, 记作a= (x,y) .

高考数学二轮复习专题二三角函数、平面向量与复数第3讲平面向量与复数教案-高三全册数学教案

第3讲平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ，所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上，因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1，所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________．解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32，化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)．当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0；当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线．由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34，故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点，设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334，所以△ABC 面积的最大值为334.。

高考(2018)数学(理)真题分类解析：专题12-平面向量

专题平面向量考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。

2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。

高三数学专题复习之平面向量与复数

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

2018届高考数学二轮(理科数学) 平面向量、框图与合情推理专题卷(全国通用)

第2讲平面向量、框图与合情推理(限时:45分钟)【选题明细表】一、选择题1.(2017·辽宁省沈阳市三模)已知向量a与b不共线,=a+mb,= na+b,m,n∈R,则与共线的条件是( D )(A)m+n=0 (B)m-n=0(C)mn+1=0 (D)mn-1=0解析:由=a+mb和=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b),即mn-1=0,故选D.2.(2017·河北省唐山市一模)在△ABC中,∠B=90°,=(1,-2),= (3,λ),则λ等于( A )(A)-1 (B)1(C) (D)4解析:△ABC中,=(1,-2),=(3,λ),所以=-=(2,λ+2),又∠B=90°,所以⊥,所以·=0,即2-2(λ+2)=0,解得λ=-1.故选A.3.(2017·安徽省六安一中高三月考)已知两点A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=150°,设=-2+λ(λ∈R),则λ等于( C )(A)-1 (B)-(C) (D)1解析:由题设=-2+λ(λ∈R)可得C(-2+λ,λ),三角函数的定义可得tan∠AOC=-,即=-,解之得λ=,故应选C.4.(2018·湖南省重点名校新高三大联考)已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为( A )(A)(B)(C)6 (D)4解析:·=3×2×cos 60°=3,因为=m+n,⊥,所以(m+n)·=(m+n)·(-)=(m-n)·-m+n=0,所以3(m-n)-9m+4n=0,所以=.故选A.5.(2017·吉林省长春市三模)某高中体育小组共有男生24人,其50 m 跑成绩记作a i(i=1,2,…,24),若成绩小于6.8 s为达标,则如图所示的程序框图的功能是( B )(A)求24名男生的达标率(B)求24名男生的不达标率(C)求24名男生的达标人数(D)求24名男生的不达标人数解析:由题意可知,k记录的是时间超过6.8 s的人数,而i记录的是参与测试的人数,因此表示不达标率.故选B.6.(2016·山东卷)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( B )(A)4 (B)-4(C)(D)-解析:由题n·(tm+n)=tm·n+n2=0,·t|m|·|n|+|n|2=t|n|2+|n|2=0,t=-4.故选B.7.(2017·重庆第二外国语学校高三月考)已知向量a=(-1,2),b= (m,-1),c=(3,-2),若(a-b)⊥c,则m的值是( C )(A) (B)-(C)-3 (D)3解析:由题意知a=(-1,2),b=(m,-1),所以a-b=(-1-m,3),因为(a-b)⊥c,c=(3,-2),所以-3(1+m)-6=0,解得m=-3,故选C.8.(2017·山西省晋中市祁县高三模拟)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的B等于( D )(A)15 (B)29(C)31 (D)63解析:模拟程序的运行,可得A=1,B=3满足条件A<5,执行循环体,B=7,A=2满足条件A<5,执行循环体,B=15,A=3满足条件A<5,执行循环体,B=31,A=4满足条件A<5,执行循环体,B=63,A=5不满足条件A<5,退出循环,输出B的值为63.故选D.9.(2017·中央民族大学附中高三模拟)有四张卡片,每张卡片有两个面,一个面写有一个数字,另一个面写有一个英文字母.现规定:当卡片的一面为字母P时,它的另一面必须是数字2.如图,下面的四张卡片的一个面分别写有P,Q,2,3,为检验此四张卡片是否有违反规定的写法,则必须翻看的牌是( B )(A)第一张,第三张(B)第一张,第四张(C)第二张,第四张(D)第二张,第三张解析:由于当牌的一面为字母P时,它的另一面必须写数字2,则必须翻看P是否正确,这样2就不用翻看了,3后面不能是Q,要查3.故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法,翻看第一张,第四张两张牌就够了.故选B.10.(2017·衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学联考一模)如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( A )(A)i≤1 009 (B)i>1 009(C)i≤1 010 (D)i>1 010解析:程序运行过程中,各变量值如下所示:第一次循环:S=0+1,i=2,第二次循环:S=1+,i=3,第三次循环:S=1++,i=4,…,依此类推,第1 009次循环:S=1+++…+,i=1 010,此时应不满足条件,退出循环,所以判断框内应填入的条件是i≤1 009,故选A.11.(2016·甘肃省第一次诊断) 如图,矩形ABCD中AD边的长为1,AB 边的长为2,矩形ABCD位于第一象限,且顶点A,D分别在x轴、y轴的正半轴上(含原点)滑动,则·的最大值是( C )(A) (B)5(C)6 (D)7解析:设∠ODA=α,则A(sin α,0),D(0,cos α),B(sin α+2cos α,2sin α),由向量等于向量可以求得点C(2cos α,2sin α+cos α),·=2sin 2α+4,因为α∈[0,],所以·≤6.故选C.12.(2017·山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校第四次联考)在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴的对称点为Q,且·=2,已知点A(-2,0),B(2,0),则(|PA|-|PB|)2 ( A )(A)为定值8 (B)为定值4(C)为定值2 (D)不是定值解析: 如图,设P(x,y),Q(x,-y),则:·=x2-y2=2;所以y2=x2-2,x≥,或x≤-;所以||===|x+1|,||==|x-1|;所以||-||=(|x+1|-|x-1|)=所以(||-||)2=8.故选A.二、填空题13.(2017·江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三联考)已知a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5) ,若(a+2b)∥c,则|a|= .解析:由题意得a+2b=(x+2,5),而(a+2b)∥c,所以5(x+2)=-5,解得x=-3,即a=(-3,1),所以|a|=.答案:14.(2017·宁夏固原一中二模)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同,现了解到以下情况:(1)甲不是最高的;(2)最高的没报铅球;(3)最矮的参加了跳远;(4)乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是.解析:由(4)可知,乙参加了铅球比赛,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛. 答案:跑步15.(2017·山西省临汾市二模)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位:t)的茎叶图,月均用水量依次记为A 1,A 2,…,A 15,图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图,那么输出的结果n= .解析:由程序框图知:算法的功能是计算15户居民在月均用水量中,大于2.1的户数,由茎叶图得在15户居民用水中,大于2.1的户数有7户, 所以输出n 的值为7. 答案:716.(2017·湖南省郴州市三模)在直角三角形ABC 中,C=,||=3,对平面内的任意一点M,平面内有一点D 使得3=+2,则·= .解析: 根据题意,分别以CB,CA为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),设M(x,y),B(b,0),D(x′,y′);所以由3=+2得3(x′-x,y′-y)=(b-x,-y)+2(-x,3-y)=(b-3x,6-3y);所以所以又=(x′,y′),=(0,3).所以·=(,2)·(0,3)=6.答案:6。

专题02 平面向量与复数(仿真押题)-2018年高考数学(文)命题猜想与仿真押题(原卷版)

1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－32．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( )A.25B.35C.105 D.103．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－15．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1C ．1 D.2＋127．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝() A ．2 B ．3C ．4D ．58．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8C.83 D.539．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( )A.414 B ．－414C.94 D ．－9410．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．311．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m n等于( ) A ．－12B.12 C ．－2 D ．213.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32 D.3214．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－1 D ．015.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为( )A.12B.22 C.34 D ．116．设复数z 满足z －i z ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )A ． 21 008B ．21 008iC ．－21 008D ．－21 008i17．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数12z z 的值是（）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i18．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（）A ．i 43+-B ．i 43--C ．i 43+D ．i 43-19．复数z满足1+)||i z i =-（，则=z （）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -20.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝()A.4B.6C.1D.221.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π622.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.23. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.24.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).25.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.26．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围． 27．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1）若35c =//a c ，求c 的坐标；（2）若35b =(4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．28．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ．①设，且OA OB=6⋅，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．29．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角；(2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．。

2018届高考数学(理)二轮复习命题热点课件专题 1.3 平面向量与复数

题型
命题规律 .对复数考查的重点内容有:复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.
复习策略平面向量的垂直与夹角问题; 复数的基本概念及复数的乘除运算;复数的几何意义.
选择题填空题
高频考点命题热点一命题热点二来自命题热点三命题热点四命题热点五
(1)
1 3
(2)90°
解析
关闭
解析
答案
高频考点命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五
-6-
题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,并将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
3 9 �� 2 3 2 �� 1 3
�� -��
所以 1-λ= ,故 m= .
3 1 2 3
1
3 1
(2)由�� = (�� + �� ),得�� + �� =2�� .因为 AO 是半径 ,连接 AO 并延长交圆于点 D,则 2|AO|=|AD|(直径 ),也就是 |�� + �� |=|�� |,即四边形 ABDC 是一个圆内接的平行四边形 ,且以直径为对角线 ,所以必定是一个矩形 ,得�� 与 �� 的夹角为 90°.

高考数学(理)：专题02-平面向量与复数(命题猜想,含答案)

专题02-平面向量与复数【考向解读】:1.命题角度:复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度:复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度. 【命题热点突破一】:平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案 A解析作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A. 【方法技巧】:(1)向量加法的平行四边形法则:共起点；三角形法则:首尾相连；向量减法的三角形法则:共起点连终点，指向被减.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC→＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R . (3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.【变式探究】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |= . 【答案】:23【解析】:利用如下图形，可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】:如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C.1 D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →. 又B ，N ，P 三点共线，∴m ＋23＝1，∴m ＝13.【变式探究】:(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】:(1)12 (2)－12【解析】:(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.方法一因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE → ＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.【感悟提升】:(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】:如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ等于( )A.2B.83C.65D.85答案 D解析方法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.方法二以AB →，AD →作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →， ∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.【命题热点突破二】:平面向量的数量积 (1)数量积的定义:a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，.若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】:A【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则:，即，据此可得:，且:，，由数量积的坐标运算法则可得:，整理可得:，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A 选项.【命题热点突破四】:复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记．例4、设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( ) A.0 B.12 C.1 D. 2 答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ， ∴|z |＝1.故选C.【变式探究】已知a R ∈，i 是虚数单位，若，则a=（A ）1或-1（B ）7-7或（C ）-3（D ）3 【答案】:A 【解析】:由得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】:已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若，则ab的值为_______.【答案】:2 【解析】:由，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．【变式探究】:(1)若复数z ＝21＋3i ，则|z|＝( )A ．12B ．32C ．1D ．2 (2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】:(1)C (2)B【解析】:(1)z ＝21＋3i＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－i i＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】:1.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1B.+1C.2D.2− 【答案】:A 【解析】:设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A. 2.如图，在平面四边形ABCD 中，，，，.若点E为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】:A【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则:，即，据此可得:，且:，，由数量积的坐标运算法则可得:，整理可得:，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.3.（2018年全国I卷理数）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A.5B.6C.7D.8【答案】:D【解析】:根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得:，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.4.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】:A【解析】:根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.5.已知向量，满足，，则A.4B.3C.2D.0【答案】:B【解析】:因为所以选B.6.在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．5.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【答案】:311【解析】:，则.6.已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】:33【解析】:，，，∴，解得:33λ=． 7．已知向量a ，b 满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】:4，25【解析】:设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有:，，则:，令，则，据此可得:，即的最小值是4，最大值是25．8.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】:C 【解析】:因为，OA OC <，OB OD <，所以，故选C 。

专题02 平面向量与复数命题猜想-2018年高考数学理命题

【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12【解析】(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】(1)C (2)12 －16【解析】(1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．【答案】(1)22 (2)2【解析】(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin2α＝0. ∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35. 【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．(2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如 (1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记．例4、【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( )A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i ＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系2.【2017北京，理6】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.3.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B4.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==5.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭.6.【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】37．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 212a b -=+=2124cos a b θ+=+=，则：54cos a b a b ++-=+令54cos 5y θ=++-[]21016,20y =+，据此可得： ()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>， OA OC <， OB OD <，所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅，故选C 。

专题02 平面向量与复数仿真押题-2018年高考数学文命题

1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i1＋2i ＝2－－2＋2－2＝－3i3＝－i. 5．已知复数z ＝11－i，则z －|z |对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝⎛⎭⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y的最小值是8.故选B. 9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414 B ．－414C.94D ．－9410．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C. 11．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD →答案：B12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，故mn ＝－2.答案：C13.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：依题意AB ＝2，∠OAB ＝45°，又CP →⊥AB →，AC →＝14AB →，∴OP →·(OB →－OA →)＝⎝⎛⎭⎫OA →＋14AB →＋CP →·AB →＝OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →＝－1＋12＝－12.答案：A14．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－1D ．0解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B. 答案：B15.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为()A.12 B.22C.34D ．1答案：D16．设复数z 满足z －iz ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )A ．21 008B ．21 008iC ．－21 008D ．－21 008i解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i1－i＝2i 1＋i1－i 1＋i＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.答案：A17．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数12z z 的值是（）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A18．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.19．复数z满足1+)|i z i =（，则=z （） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.【解析】由题意得，211z i i ==-+，∴1z i =+，故选A ．20.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A.4B.6C.1D.2解析由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B21.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.答案 A22.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.答案 223. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3. 答案 324.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).答案垂心25.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12.26．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.27．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =．（1）若35c =//a c ，求c 的坐标；（2）若35b =，且(4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c =--；（2）1cos 6θ=【解析】（1）因为//a c ，所以设(,2)c λa λλ==，2(2c λ=+=，3λ=±，所以(3,6)c =或(3,6)--．（2）因为(4)(2)a b a b -⊥+，所以22(4)(2)82a b a b a a b b -⋅+=+⋅-2852(35)0a b =⨯+⋅-=，52a b ⋅=，所以512cos ,653a b a b a b⋅<>===⨯⋅．28．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ． ①设，且OA OB=6⋅，求k 的值；②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．29．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角； (2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．。

【推荐】专题02 平面向量与复数(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题

【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12【解析】(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】(1)C (2)12 －16【解析】(1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】11【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．【答案】(1)22 (2)2【解析】(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin2α＝0. ∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35. 【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．(2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如 (1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记．例4、【2017山东，理2】已知,i 是虚数单位，若，则a=（A ）1或-1 （B ）（C ）- （D ）【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.【变式探究】【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，_______. 【答案】2【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( )A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i ＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系2.【2017北京，理6】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.3.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（）A.2-B. D.1- 【答案】B4.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【解析】利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|12a b +==5.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 ()12333AD AE AB AC AC AB λλ⎛⎫⋅=+-=⨯ ⎪ 6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】7．【2017浙江，15】已知向量a ，b ________，最大值是_______．【答案】4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：212a b -=+212a b +=+54cos a b a b ++-=+据此可得：)()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，a b a b ++-的最小值是48.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>， OA OC <， OB OD <，所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅，故选C 。

2018届高三数学二轮复习课件专题二第三讲平面向量

2
真题自检
1 3 1 3 → → 2．(2016· 高考全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，，BC＝， 2 ， 2 2 2
则∠ABC＝( A．30°
A
) D．120°
B．45° C．60°
1 3 1 3 → → 解析：因为BA＝，，BC＝，， 2 2 2 2
2
A．－2
真题自检
4．(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 →· → ＋PC → )的最小值是( ABC 内一点，则PA (PB B ) 3 B．－ 2 4 C．－ 3 D．－1
解析：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(－1，0)，C(1,0)，设 P(x， → → → y)，则PA＝(－x， 3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC →· → ＋PC → )＝(－x， 3－y)· ＝(1－x，－y)，所以PA (PB (－
2
2 5 2 5 → 1＋ cos θ，2＋ sin θ ， AB ＝ 5 5
→ AD ＝(λ，2μ)，所以
1＋2 5cos θ＝λ， 5 2＋2 5sin θ＝2μ， 5
λ＋μ＝2＋ 2，选A. 2 5 5 cos θ＋ sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝ 5 5
2
真题自检
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直线BD的方程 2 2 为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为 2 ，圆C：(x－1)2＋(y 2＝ 5 1 ＋2 4 －2) ＝，因为P在圆C上，所以P 5 → → → (1,0)， AD ＝(0,2)， AP ＝λ AB ＋μ

平面向量-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密(word版含答案)

考点1 平面向量的概念及线性运算题组一平面向量的概念调研1 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③若λa =0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa =μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a =0时，不论λ为何值，λa =0.④错误，当λ=μ=0时，λa =μb =0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C ．☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二平面向量的线性运算调研2 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若,AB AD ==a b ，则AF 等于A ．12a ＋14bB ．14a ＋12bC ．12a −14bD ．14a −12b【答案】A【解析】11111111()()22222424AF AE AB BE AB AD AB AD ==+=+=+=+ a b ．故选A ．调研3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC = ，||||AB AC AB AC +=- ，则||AM =________. 【答案】2【解析】由||||AB AC AB AC +=-可知，AB AC ⊥ ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，1||||22AM BC ==.调研4 已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足,PA BP CP AP PD λ++==0，则实数λ的值为________．【答案】−2【解析】如图所示，由AP PD λ= 且PA BP CP ++=0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2AP PD =-，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.题组三共线向量定理及其应用调研5 已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c = A ．a B ．b C ．c D ．0【答案】D【解析】依题意，设a ＋b =m c ，b ＋c =n a ，则有(a ＋b )−(b ＋c )=m c −n a ，即a −c =m c −n a ．又a 与c 不共线，于是有m =−1，n =−1，a ＋b =−c ，a ＋b ＋c =0，选D ．调研 6 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++ 与BCA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由题意得13AD AB BD AB BC =+=+ ，13BE BA AE BA AC =+=+ ，CF CB BF =+= 13CB BA +，因此121()333AD BE CF CB BC AC AB CB BC BC ++=++-=+=- ，故AD BE CF ++ 与BC反向平行．选A.☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线．【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，,OA OB 不共线，满足OP xOA yOB =+(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y =1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2 平面向量的基本定理及坐标表示题组一平面向量基本定理的应用调研1 已知直角坐标系内的两个向量a =(1，3)，b =(m ，2m −3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c =λa ＋μb ，则m 的取值范围是 A ．(−∞，0)∪(0，＋∞) B ．(−∞，−3)∪(−3，＋∞) C ．(−∞，3)∪(3，＋∞) D ．[−3，3)【答案】B【解析】由题意可知向量a 与b 为一组基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠−3，选B ．调研2 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB AM AN λμ=+，则λ＋μ=________. 【答案】45【解析】解法一：连接AC ，由AB AM AN λμ=+ ，得11()()22AB AD AC AC AB λμ=⋅++⋅+，即(1)2AB μ-+ ()222AD AC λλμ++= 0，即1(1)()()22222AB AD AD AB μλλμ-++++= 0，即3(1)44AB λμ+-+ ()2AD μλ+= 0.又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB =45AT ，∴45AT AB AM AN λμ==+，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸． 2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二平面向量的坐标运算调研2 已知向量a =(2，1)，b =(1，−2)．若m a ＋n b =(9，−8)(m ，n ∈R )，则m −n 的值为________．【答案】−3【解析】【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得m a ＋n b =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3.调研3 在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC = ，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ=(1，5)，则BC 等于A ．(−6，21)B ．(−2，7)C ．(6，−21)D ．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)AC AQ PQ PA BC PC AC AP ==-=-==-=-，故选A ．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用. 【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三平面向量共线的坐标表示及运算调研4 已知向量a =(2，3)，b =(−1，2)，若(m a ＋n b )∥(a −2b )，则mn 等于A ．−2B ．2C ．−12D ．12【答案】C【解析】由题意得m a ＋n b =(2m −n ，3m ＋2n )，a −2b =(4，−1)，∵(m a ＋n b )∥(a −2b )，∴−(2m −n )−4(3m ＋2n )=0，∴m n =−12，故选C ．调研5 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC =2AB ，若三个顶点分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD 中，DC =2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB = .设点D 的坐标为(x ，y )，则DC=(4−x ，2−y )，AB =(1，−1)，∴(4−x ，2−y )=2(1，−1)，即(4−x ，2−y )=(2，−2)，∴4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，故点D 的坐标为(2，4)．调研6 已知向量a =(1−sin θ，1)，b =⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°【答案】B【解析】由a ∥b 得(1−sin θ)(1＋sin θ)=12，化简得1−sin 2θ=12，sin 2θ=12，又θ为锐角，所以sin θ=22，θ=45°，故选B ．调研7 设OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b 的最小值是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题意可得，OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，所以AB OB OA =-=(a −1，1)，AC OC OA =- =(−b −1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC，即(a −1)×2−1×(−b −1)=0，∴2a ＋b =1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b =⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(2a ＋b )=4＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥4＋4=8，当且仅当b a =4a b ，即11,42a b ==时，取“=”．故选D ．解法二：k AB =－1＋2a －1，k AC =2－b －1，∵A ，B ，C 三点共线，所以k AB =k AC ，即－1＋2a －1=2－b －1，∴2a ＋b =1，所以1a ＋2b =2a ＋b a ＋4a ＋2b b =4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b =8(当且仅当b a =4a b ，即11,42a b ==时，取“=”号)，∴1a ＋2b 的最小值是8. 故选D ．☆技巧点拨☆平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点3 平面向量的数量积及向量的应用题组一平面向量数量积的运算调研1 设x ∈R ，向量a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，则a ·b = A ．−6 B ．10 C ． 5 D ．10【答案】D【解析】∵a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，∴−4−2x =0，x =−2，∴a =(1，−2)，a ·b =10，故选D ．调研2 在△ABC 中，AB =4，∠ABC =30°，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC ⋅=⋅ ，则AD AB ⋅ 的值为A ．0B ．−4C ．8D ．4【答案】D【解析】由AD AB AD AC ⋅=⋅ ，得()0AD AB AC ⋅-=，即0AD CB ⋅= ，所以AD CB ⊥ ，即AD ⊥CB ．又AB =4，∠ABC =30°，所以AD =AB sin30°=2，∠BAD =60°，所以AD AB ⋅ =AD ·AB ·cos ∠BAD =2×4×12=4，故选D ．☆技巧点拨☆平面向量数量积的类型及求法：1．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +. 2．求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b =0推出a =0或b =0成立．实际上由a ·b =0可推出以下四种结论：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，a ⊥b ．（2）实数运算满足消去律：若bc =ca ，c ≠0，则有b =a ．在向量数量积的运算中，若a ·b =a ·c (a ≠0)，则不一定有b =c ．（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．题组二平面向量数量积的应用调研3 已知向量a ，b 满足(2a −b )·(a ＋b )=6，且|a |=2，|b |=1，则a 与b 的夹角为________．【答案】2π3【解析】∵(2a −b )·(a ＋b )=6，∴2a 2＋a ·b −b 2=6，又|a |=2，|b |=1，∴a ·b =−1，∴cos 〈a ，b 〉=a ·b |a |·|b |=−12，∴a 与b 的夹角为2π3.调研4 平面向量a =(1，2)，b =(4，2)，c =m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D【解析】解法一：由c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，可设c =λ⎝⎛⎭⎫a |a |＋b |b |=λ5a ＋λ25b (λ∈R )，∵c =m a ＋b ，∴⎩⎨⎧m ＝λ5，1＝λ25⇒m =2.解法二：c =m a ＋b =(m ＋4，2m ＋2)，∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，且向量夹角的取值范围是[0，π]， ∴a ·c |a |·|c |=b ·c|b |·|c |，∴2(a ·c )=b ·c ⇒2(m ＋4＋4m ＋4)=4m ＋16＋4m ＋4⇒m =2.☆技巧点拨☆平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【注】在求ABC △的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC 中，AB与BC的夹角应为120°而不是60°.题组三平面向量的模及其应用调研5 设向量a ，b 满足|a ＋b |=20，a ·b =4，则|a −b |= A ． 2 B ．2 3 C ．2 D ． 6【答案】C【解析】∵|a ＋b |=20，a ·b =4，∴|a ＋b |2−|a −b |2=4a ·b =16，∴|a −b |=2，选C ．调研6 设e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为π3，a =x e 1＋y e 2，b =x e 1−y e 2(x ，y ∈R )，若|a |=3，则|b |的最小值为________．【答案】1【解析】∵单位向量e 1，e 2的夹角为π3，∴e 1·e 2=12，由|a |=3，得(x e 1＋y e 2)2=3，即x 2＋y 2＋xy =3，①则|b |2=(x e 1−y e 2)2=x 2＋y 2−xy ，② ①＋②得x 2＋y 2=|b |2＋32，①−②得xy =3－|b |22.又x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时“=”成立，∴|b |2＋32≥2·3－|b |22，解得|b |2≥1，因此，|b |的最小值为1.☆技巧点拨☆利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||==a 或坐标公式||=a 另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四平面向量的应用调研7 已知D 是ABC △所在平面内一点，且满足()()0BC CA BD AD -⋅-=，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】设,,BC a AC b AB c ===，则由()()()0BC CA BD AD BC CA BA -⋅-=-⋅=，得BC BA CA BA ⋅=⋅ ，所以ac cos B =bc cos A ，即a cos B =b cos A ，利用余弦定理化简得a 2=b 2，即a =b ，所以ABC △是等腰三角形．（此题也可用正弦定理化简a cos B =b cos A 得sin()0A B -=，即A B =可得）调研8 已知ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为A ．25B ．12C ．310D ．65【答案】A【解析】依题意得，22222(35)(4),9253016OA OC OB OA OC OA OC OB +=-++⋅= ，即34+30cos AOC ∠16=，则cos ∠AOC =−35，sin ∠AOC =1－cos 2∠AOC =45，所以△AOC 的面积为12||||OA OC·sin ∠AOC =25，选A ．调研9 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b =⎝⎛⎭⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(−1，＋∞) D ．(2，＋∞) 【答案】A【解析】因为f (x )=a ·b =−cos 3x 2sin x 2−sin 3x 2cos x2=−sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以−1≤sin2x ≤0，所以f (x )max =1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A ．☆技巧点拨☆1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题； (2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 4．向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．【注】常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0 或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心．(2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ .反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0 .反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC == .反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.1．（山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试）已知向量()()2110=-=,,,a b ，则向量a 在向量b 上的投影是 A ．2 B ．1 C ．−1D ．−2【答案】D【解析】向量a 在向量b 上的投影是D ． 2．（四川省绵阳市2018届高三（上）一诊）已知向量a =（x −1，2），b =（x ，1），且a ∥b ，则A B ．2C ．D ．【答案】D3．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且2BD DC =，则AB AD ⋅的值为A ．1-B ．23C ．43D ．1+【答案】B【解析】ABC △是边长为1212111323⎛⎫+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．4．（吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试）已知向量a 和b 的夹角为120︒，则()2-⋅a b a等于A ．4-B ．0C ．4D ．12【答案】D5．（吉林省普通中学2017−20182-a b 与c 垂直，则k 等于A ．B ．2C ．3-D ．1【答案】C0+=，得3k =-，故选C.6．（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2λ=-=+,a i jb i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是AB ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，CD ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】由题得()()1,2,1,λ=-=a b ，因为它们的夹角为锐角，则·0>a b 且,a b 不共线，所以12λ<且2λ≠-，故选C ．7．（广西南宁市2018届高三（上）9月摸底数学试卷）已知O 是ABC △内部一点，OA OB OC ++=0，2AB AC ⋅=且∠BAC =60°，则OBC △的面积为A B ．12C．2D ．23【答案】A8．（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测）如图，在ABC △中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BNm 的值为A ．1B ．12 C ．911D ．511【答案】D又()222221*********AP m AB BC m AB AC AB mAB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴，解得511m =．选D ． 9．（甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第一次考试）已知向量()2,4=-a ，()3,4=--b ，则向量a 与b 夹角的余弦值为__________．【答案】510．（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知两个不共线向量OA OB、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB的中点，点C 在直线MN 上，且()OC xOA OB y x y =+∈，R ，则22x y +的最小值为_______．【答案】18【解析】因为,,C M N所以1,22t t x y -==，12x y +=，22x y +表示原点与直线02x y +-=上的点的距离的平方，它的最小值为218=⎝⎭，故填18．【名师点睛】在向量中，如果,,C M N 三点共线，则()1OC O N t M t O =+- ，注意,OM ON前面的系数和为1，在解题时注意应用这个结论．11．（河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月））在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点D ，且()0,πα∈，点E 的坐标为(-.（1）若OE OD ⊥，求点D 的坐标；（2）若(0)OE tOD t =>，且在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2=B α，b =求a c +的最大值.【答案】（1）12⎫⎪⎪⎝⎭；（2）12．（全国名校大联考2018k 为大于零的常数，函数()f x =⋅a b ，x ∈R ，且函数()f x （1）求k 的值；（2）在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，()0f A =，且a =，求AB AC ⋅的最小值. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1所以AB AC ⋅的最小值为(201.【思路点拨】（1）利用平面向量的数量积得到()f x ，再利用二倍角公式及辅助角公式将()f x 化成的形式，再利用最值求值；（2）先求出角，再利用余弦定理和基本不等式求出的最值，最后利用平面向量的数量积进行求解即可.1．（2015新课标全国Ⅰ理科）设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-【答案】A2．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】(4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D ．【名师点睛】已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：3．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)Px y ，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，所以(2,2)P B P C x y +=-- ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-23322-≥-，当()P 时，所求的最小值为32-，故选B ．【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．5．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知向量1(2BA =uu r ，1),2BC =uu u r 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A（2）由向量的数量积的性质知|a·cos||||θ=a ba b，·0⇔⊥＝a b a b，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．6．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．【答案】7．（2016新课标全国Ⅰ理科）设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．【答案】2-【解析】由222||||||+=+a b a b ，得0⋅=a b ，即⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-.【名师点睛】全国卷中的向量大多以客观题的形式出现，属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1212x x y y ⋅=+a b . 8．（2015新课标全国Ⅱ理科）设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量λ+a b 与2+a b 平行，所以(2)k λ+=+a b a b ，则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．。

2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量课件

8－4cos θ＋2 3sin θ＝ 8－2 7sinθ＋φ，其中tan φ＝233，所以|O→A＋O→B＋O→P|的最小值为 8－2 7＝ 7－1. 答案： 7－1
误区警示
1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3) 平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.
3 2 sin
2ωx－12＝sin2ωx＋π6－12，
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝___－__6___.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝___7_____.
(2)因为a2＝bc，所以cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2cb2c－bc≥2b2c－bcbc＝ 12(当且仅当b＝c时，取等号)．因为0<A<π，所以角A的取值范围是0，π3. 由正弦定理，知0<absin B＝sin A≤ 23，所以absin B的取值范围是0， 23.
A平．面1直角坐标系(图略)，则A(0B,1).1，16B(2,0)，C
1，12
，所以
→ OP
＝
1 2
→ OC
＝
C12.14，14，
D．－12
A→P＝12，－34，
故A→P·O→P＝12，－34×12，14＝116.
题组突破

2018年高考新课标数学(理)一轮考点突破练习第五章平面向量与复数Word版含答案

第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．5．1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．－a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________． (5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中， BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)；a ＋0＝____________＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________；当λ<0时，λa 与a 的方向____________；当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠：1．(1)大小方向长度 ||AB→(2)长度为0 任意(3)1个单位长度单位向量方向相反 (4)相同相反非零共线向量平行 (5)相等相同 (6)相等相反 (7)字母有向线段坐标2．(1)①起点终点和 A 1A n → ②对角线AC → ③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2015·东北三省联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解：依题意得AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD 且BC ＝AD ，故四边形ABCD 一定是平行四边形．故选D.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM →＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →，则n m＝________.解：MN →＝AN →－AM →＝nAD →－mAB →，BE →＝BC →＋ CE →＝AD→－12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →不共线，所以n 1＝－m －12，解得nm ＝2.故填2.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP→＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP→＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.类型一向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若 AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.点拨：从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二向量的线性运算在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝13AB →＋13AC →＝ 13a ＋13b.解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ，由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b.点拨：(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 解：如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.故选B.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A. 类型三向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，所以OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1. (2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，所以OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，所以BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立．点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC→＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0.所以 k ＝±1.故填±1.(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D ．1 解：由N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|⇒/a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，a||a是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记“起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解：由题意a|a|＝b|b|表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线．故选C.2．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解：因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，即k a＋b＝λ(a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k＝λ，1＝－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1.此时c＝－d.所以c与d反向．故选D.3．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B .4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →.故选B.5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若 AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( )A ．B ．C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．且AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →，即DE →＝2μDC →，所以λ＝2μ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.故选C.6．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且 AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，x ，y ∈R ，则xy x ＋y的值为()A ．3 B.13 C ．2 D.12解法一：由点G 是△ABC 的重心，知AG →＝23×12(AB→＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得 AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λxAB →＋ μyAC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以xy x ＋y ＝11x ＋1y＝13.解法二：特殊化法，取MN ∥BC ，易得xy x ＋y ＝13.故选B.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解：DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－ AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.故填12.8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则mn＝________.解：如图，设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，因为∠AOC ＝30°，所以|OC →|cos30°＝|OF →|＝m|OA →|＝m ， |OC→|sin30°＝|OE →|＝n|OB →|＝3n ，两式相除得 m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，所以mn＝3.另外此题也可用坐标求解．故填3.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线． (1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：因为AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，所以AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，所以AC →与CD →共线．又因为AC →与CD →有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝ 3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43. 11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a和b表示向量OM →.解：因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D.5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝_____________，j ＝_____________，0＝_____________.4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝_________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．自查自纠：1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．(1)非零(2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b 3．(1)互相垂直(2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)线性表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内的其他向量．A 中，e 1＝0，且e 2与a 不共线；C ，D 中的两个向量都是共线向量且不与a 共线，故表示不出a .B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出a .故选B.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2B. 2C ．－2或 2D ．0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，所以m ＝± 2.故选C.(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.故填－3.已知两点A (1，0)，B (1，1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限内，且∠AOC ＝135°，设 OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a得λ＝12.故填12.类型一向量共线充要条件的坐标表示平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值； (3)若n ≠0，且m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值．解：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(3)m a ＋n b ＝(3m －n ，2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)，由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0，解得m n ＝－12.点拨：解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．解：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，所以存在唯一的实数λ使得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1），解得x ＝4(x >0)．故填4.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线.AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．因为AB →∥AC →，AC →≠0，所以1×(k ＋1)－ 2k ＝0，解得k ＝1.故填1.类型二平面向量基本定理及其应用在ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，AE →＝ 13EB →，BF →＋2CF →＝0，设AB →＝a ，AD →＝b.(1)设DB →＝λDE →＋μDF →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值；(2)设AF 与DE 交于点G ，用a ，b 表示AG →. 解：(1)因为AE →＝13EB →，AB →＝AE →＋EB →＝a,所以AE →＝14a ，所以DE →＝AE →－AD →＝14a －b .因为BF →＋2CF →＝0，BC →＝AD →＝b ，所以CF →＝－13b ，所以DF →＝DC →＋CF →＝a －13b ，DB →＝DC →＋DA →＝a －b .因为DB →＝λDE →＋μDF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝⎛⎭⎪⎫λ＋13μb ，即a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋13μb .由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋μ＝1，λ＋13μ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝811，μ＝911，则λ＋μ＝1711.(2)设DG →＝mDE →，AG →＝nAF →，m ，n ∈R ，则 DG →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＝14m a －m b ，AG →＝n (AD →＋DF →)＝ n (b ＋a －13b )＝n a ＋2n 3b ，由于AG →＝AD →＋DG →＝b ＋ 14m a －m b ＝14m a ＋(1－m )b ，即n a ＋2n 3b ＝14m a ＋ (1－m )b .由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14m ，2n 3＝1－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝67，n ＝314.则AG →＝14×67a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67b ＝314a ＋17b .点拨：应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →. 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令 CB ＝1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝33.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b － a )＝23a ＋13b .故选B.(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12.所以λμ＝4.故填4. 类型三求向量的坐标已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5. 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5. 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．点拨：平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.解：(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)．所以AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.因为AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(x 1＋1，y 1)， BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(x 2－3，y 2＋1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.所以E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. (2)证明：由(1)知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23，且AB →＝(4，－1)，又4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，所以EF →∥AB →.1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且 λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.2．已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027 B ．2 2 C.52 D.52或2 2 解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32.当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.故选B.3．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2.故选C.4．(2015·江西检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a ＋b )；由a ∥ (a＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故 “m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解：由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)．故选D.6．如图，设向量OA →＝(3，1)，OB →＝(1，3)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是()解：设OC →＝(x ，y )，则由OC →＝λOA →＋μOB →得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ＋μ，y ＝λ＋3μ，可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3x －y 8，μ＝3y －x 8.因为λ≥μ≥1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y 8≥3y －x 8，3y －x 8≥1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋8≤0.作出可行域知选项D 正确．故选D.7．(2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量 λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.故填12.8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ○×b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ○×OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解：设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ○×OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6.所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.9．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当实数k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？ (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ使得AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥BC →，又BC →≠0，所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，得m ＝32.10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及 OP→＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0，所以t ＜－23.(2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解：设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在λ，μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2，而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k|＝|OC →||OD →|<1，所以－1<k <0.又因为B ，A ，D 三点共线，所以OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，由平面向量的基本定理知m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，所以m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．故填(－1，0)．5．3 平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于_________________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_____________________；③分配律：__________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或||a＝____________.④ cosθ＝____________.⑤||a·b≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；||a＝________________.②a⊥b⇔____________________.③||x1x2＋y1y2≤________________________.自查自纠：1.||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④ ≤3．①|a|cosθ②a·b＝0 ③|a||b|－|a||b||a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0 ③x21＋y21x22＋y22(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )， b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解：向量a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b 得4×3＋(m －2)×(－2)＝0，解得m ＝8.故选D.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解：cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ·b ＝|a ||b |，则cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0，可得a ∥b ；若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，此时a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |.故“a ·b ＝|a||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A.已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．解：由题意知a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a|a |＝a 2＋|a ||b |cos60°|a |＝2.故填2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解：由AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b 得a ＝12AB →，b ＝ AC→－2a ＝BC →，④正确；|a |＝12|AB →|＝1，①正确；|b |＝|BC →|＝2，②错误；a 与b 的夹角为120°，③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b2＝－4＋4＝0，⑤正确．故填①④⑤.类型一数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年高考数学（理）命题猜想专题2平面向量与复数【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化； (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥ +，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=- ，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【变式探究】(1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝xa ＋yb ，则x＋y ＝________.【答案】(1)12 (2)－12【解析】(1)因为a ∥b ，所以sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【答案】(1)C (2)12 －16【解析】(1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义：a ²b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ²a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2、【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R，且4AD AE ⋅=- ，则λ的值为___________.【答案】311【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →²BP →＝2，则AB →²AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →²OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．【答案】(1)22 (2)2【解析】(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →²BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)²(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →²AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →²AD →＝22.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ²c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ²b |a |²|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin2α＝0. ∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35. 【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．(2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－ 13 2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－ 429 2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13³79＋223³429＝2327.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如 (1±i )2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等要熟记．例4、【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【变式探究】(1)若复数z ＝21＋3i，则|z|＝( )A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知复数z ＝1－ii(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】(1)C (2)B【解析】 (1)z ＝21＋3i ＝2（1－3i ）4＝12－32i ，，所以|z|＝（12）2＋（32）2＝1. (2)z ＝1－ii＝－1－i ，则复数z ＝－1＋i ，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP=λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系2.【2017北京，理6】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.3.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【答案】B4.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|a b +==5.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R，且4AD AE ⋅=- ，则λ的值为___________.【答案】311 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭.6.【2017山东，理12】已知12,e e12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 .【答案】37．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -==a b +==a b a b ++-=令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin4a b a ba b a b++-==++-=，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>， OA OC <， OB OD <，所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅，故选C 。