九年级数学上册 22.2降次解一元二次方程精品同步作业试卷(第四课时)人教新课标版

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人教版九年级21.2 降次解一元二次方程同步练习

《21.2 降次——解一元二次方程》一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x210．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=012．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．28．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．29．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．《21.2 降次——解一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x 2﹣4x+5=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是（）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误．故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2【考点】根的判别式．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．【解答】解：A、x2﹣8=0，这里a=1，b=0，c=﹣8，∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x2﹣4x+3=0，这里a=2，b=﹣4，c=3，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0，这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、∵△=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；B、∵△=1﹣4×2＜0，∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；C、∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；D、∵△=36＞0，∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0【考点】根的判别式．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为﹣3 ．【考点】根的判别式．【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，又5x 1+2x 2=2求出函数实数根，代入m=x 1x 2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m 2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2mx+m 2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m 的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m 2﹣4×m ×（m ﹣1）=0，且m ≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x 2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x 1=x 2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。

人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案

人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案一、单选题1．根据表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（）x0 0.5 1 1.5 2 2y ax bx c =++ -1-0.513.57A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<2．如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（）x 1 2 3 4 y ﹣3﹣1 39 A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.53．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围为（）x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y…1.16-0.71-0.24-0.250.76…A ．11.2 1.3x <<B ．11.3 1.4x <<C ．11.4 1.5x <<D ．11.5 1.6x <<4．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②24b ac >；③a (m 2−1)+b (m −1)<0(m ≠1)；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．②③5．根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c 的自变量x 与y 的对应值，判断关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（）x ﹣1 0 1 2 3 4 y﹣7﹣5﹣151323A ．1＜x ＜2B ．﹣1＜x ＜1C ．﹣7＜x ＜﹣1D ．﹣1＜x ＜56．已知二次函数224y x x =-+，下列关于其图象的结论中，错误．．的是（） A ．开口向上B ．关于直线1x =对称C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．与x 轴有交点7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标(1,)n ，与y 轴的交点在0203（，），（，）之间（包含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m2(1)(1)0a m b m -+-≤总成立；④关于x 的方程214ax bx c a ++=-无实数根．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（）A ．574m << B ．354m << C ．495m << D ．374m << 9．已知函数f （x ）＝x 2+2x ，g （x ）＝2x 2+6x +n 2+3，当x ＝1时，f （1）＝12+2×1＝3，g （1）＝2+6+n 2+3＝n 2+11．则以下结论正确的有（）①若函数g （x ）的顶点在x 轴上，则6n = ②无论x 取何值，总有g （x ）＞f （x ）；③若﹣1≤x ≤1时，g （x ）+f （x ）的最小值为7，则n ＝±3； ④当n ＝1时，令()()2()g x h x f x =，则h （1）•h （2）…h （2023）＝2024．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知，抛物线y ＝ax 2＋2ax 在其对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，关于x 的方程ax 2＋2ax ＝m （m＞0）的一个根为﹣4，而关于x 的方程ax 2＋2ax ＝n （0＜n ＜m ）有两个整数根，则这两个根的积是（） A ．0B ．﹣3C ．﹣6D ．﹣8二、填空题11．若抛物线2=2++y x mx n -与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为． 12．根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是x3.23 3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ 0.06-0.02-0.030.0913．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A （﹣4，8），B （2，2），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解为．14．抛物线 2y ax bx c =++ （a ，b ，c 为常数， 0a > ）经过两点 ()()2,0,4,0A B - ，下列四个结论：①20b a += ；②若点 ()()2020,,2021,m n - 在抛物线上，则 m n < ；③0y > 的解集为 2x <- 或 4x > ；④方程 ()21a x bx c x +++=- 的两根为 123,3x x =-= .其中正确的结论是（填写序号）.15．若抛物线25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x bx +-213x =-的解为 .16．若一元二次方程()200ax bx c ac ++=≠有两个不相等实根，则下列结论：①240b ac ->；②方程20cx bx a ++=一定有两个不相等实根；③设2bm a=-，当0a >时，一定有22am bm ax bx +≤+；④s ，()t s t <是关于x 的方程()()10x p x q +--=的两根，且p q <，则q t s p >>>，一定成立的结论序号是．17．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0)c <经过(11)，，(0)m ，和(0)n ，三点，且3n ≥. 下列四个结论：①0b <；②2414ac b a->；③当3n =时，若点(2)t ，在该抛物线上，则>1t ；④若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则10<3m ≤. 其中正确的是（填序号即可）.18．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，经过点()3,n -，顶点为D ，下列四个结论：21a b +=①；240b ac ->②；③关于x 的一元二次方程2ax bx c n ++=的解是13x =-和25x =；④设抛物线交y 轴于点C ，不论a 为何值，直线CD 始终过定点()15,n -．其中一定正确的是（填写序号）．三、解答题19．已知抛物线的顶点坐标为()2,0，且经过点()1,3-．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点(m,−27)在该抛物线上，求m 的值．20．排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为2.24.m 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()²(0)y a x h k a =-+<．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 11 12 竖直高度/y m2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系()²(0)y a x h k a =-+<； ②判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ (填“能”或“不能”)．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()20.024 2.88y x =--+，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．21．如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠经过点()A 03，，()B 23，和()C 10-，，直线()y mx n m 0=+≠经过点B ，C ，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线；（2）关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=的解为；（3）关于x 的一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为．22．已知抛物线y=ax 2+x+1（0a ≠）（1）若抛物线的图象与x 轴只有一个交点，求a 的值；（2）若抛物线的顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．23．如图，二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交于点Q ，过点Q 的直线y＝2x ＋m 与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若S △BPQ ＝3S △APQ ，求这个二次函数的解析式．24．二次函数解析式为223y ax x a =--．（1）判断该函数图象与x 轴交点的个数；（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，点C 的坐标是()3,0，求直线CD 的解析式；（3）请你作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点M ，N ，与直线CD 于点R ，若点M ，N ，R 的横坐标分别为m ，n ，r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．25．抛物线L ：212y x bx c =-+与直线L '：22y kx =+交于A 、B 两点，且()2,0A ．（1）求k 和c 的值（用含b 的代数式表示c ）；（2）当0b =时，抛物线L 与x 轴的另一个交点为C ． ①求ABC 的面积；②当15x -≤≤时，则1y 的取值范围是_________．（3）抛物线L ：212y x bx c =-+的顶点(),M b n ，求出n 与b 的函数关系式；当b 为何值时，点M 达到最高．（4）在抛物线L 和直线L '所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当20b =-时，直接写出“美点”的个数_________．参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】412．【答案】3.24 3.25x << 13．【答案】x 1＝﹣4，x 2＝2 14．【答案】①③ 15．【答案】1224x x ==， 16．【答案】①②③④ 17．【答案】②③④ 18．【答案】④③19．【答案】（1）y =−3(x −2)2（2）5m =或1-20．【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点()42.8，设2(4) 2.8(0)y a x a =-+<把()02.48，代入得16 2.8 2.48a += 解得：0.02a =-∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =--+；②能．（2）解：判断：没有出界．第二次发球：()20.024 2.88y x =--+ 令0y =，则()20.024 2.880x --+= ，解得18(x =-舍) 216x =21618x =<∴该运动员此次发球没有出界．21．【答案】（1）x 1=（2）1x 1=- 2x 3= （3）1x 2= 2x 1=-22．【答案】（1）解：由题意得方程ax 2+x+1=0有两等实数根．∴△＝b 2-4ac ＝1-4a ＝0，∴a ＝14． ∴当a ＝14时函数图象与x 轴恰有一个交点；（2）解：由题意得4104a a-> 当a ＞0时，4a -1＞0，解得a ＞14；当a ＜0时，4a -1＜0，解得a ＜14．∴a ＜0.∴当a ＞14或a ＜0时，抛物线顶点始终在x 轴上方．23．【答案】y ＝x 2﹣4x+424．【答案】（1）函数图象与x 轴交点的个数是2（2）3y x =- （3）12m n r ≤++<25．【答案】（1）1k =- 44c b =-（2）10；1421y -≤≤ （3）244n b b =-+- 2b = （4）90。

人教版九年级数学上 22.2 降次解一元二次方程(同步练习)

2 2.2降次——解一元二次方程一、选择题：1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=04.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=05.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+5420x -= D.(x+2)(x-3)== -5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题： 9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数) 18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.参考答案一、DAABC,DBD二、9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或23 13．2 14．18 15．115k >≠且k 16．30%三、17．（1）3，25-；（2（3）1，2a-1 18.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k =四、20．20% 21．20%。

人教版九年级数学上册解一元二次方程同步练习含答案【优选范本】

21.2专题训练一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。

22.2降次——解一元二次方程(共8课时)

22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．（1）x 2－8x + 1 = 0；（2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0．解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。

人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
过程
方法
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程（4）
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。

初中数学人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习一．选择题（共12小题）1．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2-2x-3=0B．（x-5）（x+2）=0C．x2-x+1=0D．x2=12．一元二次方程x2-3x=0的两个根是（）A．x1=0，x2=-3B．x1=0，x2=3C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=-33．下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．①C．①D．①4．关于x的方程x2-mx-3=0的一个根是x1=3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．-1D．25．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或06．已知（a2+b2+2）（a2+b2）=8，那么a2+b2的值是（）A．2B．-4C．2或-4D．不确定7．若关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＜D．k≤8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的两个根，且满足，则k的值为（）A．2B．-2C．1D．-19．已知一元二次方程，则该一元二次方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根10．已知关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2+2=0的两个实数根为x1和x2，设t=，则t的最大值为（）A．-4B．4C．-6D．611．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x-3）（x-6）=0的实数根是3或6，x2-3x+2=0的实数根是1或2，3：6=1：2，则一元二次方程（x-3）（x-6）=0与x2-3x+2=0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2-16=0与x2=25B．（x-6）2=0与x2+4x+4=0C．x2-7x=0与x2+x-6=0D．（x+2）（x+8）=0与x2-5x+4=012．对于实数a、b，定义运算“①”：a①b=，关于x的方程（2x+1）①（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞二．填空题（共5小题）13．一元二次方程（x+1）2=x+1的根是．14．已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是x=2，则另外一个根为．15．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2-3x+1=0有实数根，则m的取值范围是．16．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，且3m2-6m+a=8，则a的值等于．17．已知实数x满足（x2-x）2-2（x2-x）-3=0，则代数式x2-x+2020的值为．三．解答题（共5小题）18．用适当的方法解方程：（1）x2-4x-7=0；（2）x（x-2）+x-2=0．19．已知关于x的一元二次方程3x2+bx-2=0．（1）若b=6，请你求出这个方程的解；（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．20．已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+（m-1）=0．（1）若方程的一个根是x=2，求m的值及另一个根；（2）当m＞1时方程有实数根吗？请说明理由．21．已知三角形的一边长为7，另两边长为方程x2-8x+15=0的两个根，求该三角形的周长．22．已知关于x的一元二次方程x2-2mx+（m2+m）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2=4，求m的值．参考答案1-5：CBDCC 6-10:ACBBD 11-12:CD13、14、-115、16、517、202318、19、20、：（1）把x=2代入方程mx2-2mx+（m-1）=0得4m-4m+m-1=0，解得m=1，此时方程为x2-2x=0，解得x1=2，x2=0，即方程的另一个根为0；（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：①=4m2-4m（m-1）=4m①m＞1，①①＞0，①方程有两个不相等的实数根．21、：①x2-8x+15=0，①（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x1=3，x2=5，则三角形的周长为7+3+5=15．22、：（1）根据题意得①=4m2-4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根据题意得x1+x2=2m，x1x2=m2+m，①x1+x2+x1•x2=4，①2m+m2+m=4，整理得m2+3m-4=0，解得m1=-4，m2=1，①m≤0，①m的值为-4．。

九年级数学上册同步练习22.2降次解一元二次方程()

(1)5x(x-3)=6-2x;
(2)3y2+1= 2 3y ;
(3)(x-a)2 =1-2a+a2(a是常数)
18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-
52 =3x的解,你ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求出m和n的值吗?
1 19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+ 2 k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
四、列方程解应用题
20. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相
同,求这个百分数.
21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管
5.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
D.x=0
A.
x
3 2
2
16
;
B.
2
x
3 4
2
1 16
;
C.
x
3 4
2
1 16
;
D.以上都不对
6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )
A.11
B.15
C.-15
D.±15
7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
二、填空题：

《22.2二次函数与一元二次方程》同步练习(有答案)

人教版数学九年级上册三年中考真题同步练习22.2 二次函数与一元二次方程一．选择题（共16小题）1．（2020•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．（2020•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B （3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2020•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2020•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 5．（2020•陕西）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2020•广安）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．（2020•随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小8．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B 作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；=5，⑤S四边形ABCD其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．29．（2020•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（2020•枣庄）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大11．（2020•徐州）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜112．（2020•苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=，x2= D．x1=﹣4，x2=0 13．（2020•朝阳）若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3 14．（2020•永州）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣215．（2020•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1 16．（2020•贵阳）若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x ﹣b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m二．填空题（共8小题）17．（2020•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m 的值为．18．（2020•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a ＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．19．（2020•孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．20．（2020•乐山）对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为．21．（2020•青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．22．（2020•武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．23．（2020•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是．24．（2020•荆州）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．三．解答题（共8小题）25．（2020•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．26．（2020•云南）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．27．（2020•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．28．（2020•兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．29．（2020•温州）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．30．（2020•荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．31．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）32．（2020•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．参考答案一．选择题（共16小题）1．B．2．B．3．C．4．A．5．C．6．B．7．C．8．C．9．B．10．D．11．A．12．A．13．C．14．A．15．C．16．D．二．填空题（共8小题）17．﹣1．18．﹣2．19．x1=﹣2，x2=1．20．且．21．m＞9．22．＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．23．（﹣2，0）．24．﹣1或2或1．三．解答题（共8小题）25．（1）证明：由题意可得：△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）=1+25m2﹣10m+20m=25m2+10m+1=（5m+1）2≥0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴=2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．26．解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3．△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．27．解：（1）由题意△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0∴抛物线不经过点C把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1（3）当x=2时m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①∵a+b＜0∴﹣a﹣b＞0②①②相加得：2a＞0∴a＞028．解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得﹣4=a（1﹣3）（1+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1），即y=x2﹣2x﹣3；（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．29．解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE===3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y=﹣x+．30．（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．31．解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），∴解得：∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴P（2，﹣1）过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN ⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB=3×4﹣×2×4﹣﹣=3即：△CPB的面积为332．解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．。

22.2 降次——解一元二次方程辅导资料(含答案)

22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。

这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。

主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。

2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。

点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

9年级数学上册(人教版)达标训练(22.2 降次——解一元二次方程)

达标训练基础·巩固·达标 1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：（1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;（2）45-5x 2=0, x 1= ，x 2= .提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x 2=9.答案：（1）13-13 （2）3 -32.填空：（1）x 2+6x +（）＝（x + ）2；（2）x 2-8x +（）＝（x -）2；（3）x 2+23x +（）＝（x + ）2. 提示：本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成 x 与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1 时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1.答案：（1）9 3 （2）16 4 （3）169 433.方程x 2+6x -5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.（x +3）2=14B.(x -3)2=14C.(x +6)2=12D.以上答案都不对提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x 2+6x=5 ，两边各加上9，得x 2+6x+9=5+9.即（x+3）2=14.答案：A4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x 2+2x -99=0，化为（x +1）2=100B.t 2-7t -4=0，化为 (t -27)2=465 C.x 2+8x +9=0，化为（x +4）2=25D.3x 2-4x -2=0，化为(x -32)2=910提示：A ：移项，得x 2+2x=99.配方，得x 2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.所以A 项正确.B ：移项，得t 2-7t=4.配方，得t 2-7t+(27)2=4+(27)2，即(t-27)2=465.所以B 项正确.C ：移项，得x 2+9x=-9.配方，得x 2+8x+42=-9+42，即（x+4）2=7.所以C 项错误.D ：移项，得3x 2-4x=2.二次项系数化为1，得x 2-34x=32.配方，得x 2-34x+(32)2=32+(32)2，即(x-32)2=910.所以D 项正确.答案： C5.方程2x 2-8x -1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理即可得到所得的方程.答案：（x+2）2=296.如果x 2-2(m +1)x +m 2+5=0是一个完全平方公式，则m . 提示：根据完全平方式的特点可知：二次项系数为1时，常数项应是一次项系数一半的平方，因此m 2+5= (m+1)2 ，解得m=2. 答案：=27.当m 为时，关于x 的方程(x -p )2+m =0有实数解.提示：方程(x-p)2+m=0可变形为(x-p)2=-m.由平方根的定义可知，当-m ≥0，即m ≤0时原方程有实数解.答案：小于等于08.解下列方程：（1）9x 2=8；（2）9(x +31)2=4；（3）4x 2+4x +1=25. 提示：根据方程的特点可以选用直接开平方法解方程. 解：（1）x 2=98,x=±322,x 1=322,x 2=-322. （2）（x+31）2=94，1,31,323121-==±=+x x x . （3）(2x+1)2=25，2x+1=±5，x 1=2，x 2=-3.综合·应用·创新9．用配方法解下列方程：（1）x 2+x -1=0；（2）2x 2-5x +2=0；（3）2x 2-4x +1=0.提示：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边是常数项；（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为（mx+n ）2=p 的形式；（4）当p ≥0时，用直接开平方法解变形后的方程.解：（1）移项，得x 2+x=1.配方，得x 2+x+⎪⎭⎫ ⎝⎛212=1+41，即(x+21)2=45 . .251,251.252121--=+-±=+x x x .（2）移项，得2x 2-5x=-2. 二次项系数化为1，得x 2- 25x=-1.配方，得x 2-25x+⎪⎭⎫ ⎝⎛452=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛452，即169452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .222,222,434521-=+=±=-x x x .（3）移项，得2x 2-4x=-1. 二次项系数化为1，得x 2-2x=- 12.配方，x 2-2x+12=-21+12,即(x-1)2=21. 222,222,22121-==±=-x x x .10．（1）用配方法证明2x 2-4x +7恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.（1）可用配方法将2x2-4x+7配成一个完全平方式与某个正数的和的形式；（2）此题答案有很多，只要是一个完全平方式加上一个正数得到的二次三项式均符合题意.证明：（1）2x2-4x+7=2（x2-2x）+7=2（x2-2x+1-1）+7=2（x-1）2-2+7=2（x-1）2+5.因为2（x-1）2≥0，所以2（x-1）2+5≥5，即2x2-4x+7≥5，故2x2-4x+7恒大于零.（2）x2-2x+3；2x2-2x+5；3x2+6x+8等.回顾热身展望11．山东济南模拟解一元二次方程：（x-1）2=4.提示：据方程特点选择直接开平方法解方程比较简便.解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，所以x1=3，x2= -1.12．北京模拟用配方法解方程：x2-4x+1=0.提示：根据配方法的步骤先配方再解方程.解：移项，得x2-4x= -1.配方，x2-4x+22= -1+22，（x -2）2=3.由此可得x -2=± 3,x1=2+3,x2=2-3.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑“学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。

2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》课时作业(含答案)

第5页共5页2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》课时作业1. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的部分图象如图所示,若y<0,则x 的取值范围是()A. -1<x<4B. -1<x<3C. x<-1或x>4D. x<-1或x>32. 二次函数y=2x 2+mx+8的图象如图所示,则m 的值是 ( )A. -8B. 8C. ±8D. 63. 抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有公共点,则k 的取值范围是( ) A. k>- B. k ≥-且k ≠0 C. k ≥- D. k>-且k ≠04. 二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示,若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根,则m 的最大值为 ( )A. -3B. 3C. -6D. 95. 如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是 ( )A. b 2>4acB. ax 2+bx+c ≥-6 C. 若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>nD. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=-4的两根为-5和-16. 若关于x 的一元二次方程a(x+m)2=3的两个实根为x 1=-1,x 2=3,则抛物线y=a(x+m-2)2-3与x 轴的交点横坐标分别是 ( )A. x 1=-1,x 2=3B. x 1=-3,x 2=1C. x 1=1,x 2=5D. 不能确定7. 函数y=mx 2+x-2m(m 是常数)的图象与x 轴的交点个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 1或28. 如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是.9. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是 ;ax2+bx+c-4=0的根的情况是__________;ax2+bx+c-2=0的根的情况是__________.10. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________11. 抛物线y=x2+x-4与y轴的交点坐标为.12. 如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bx<kx的解集为.13. 已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α,β,则(α+3)(β+3)= .14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y(米)与滑行时间x(秒)之间的函数解析式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行米才能停下来.15. 抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y≥0,则x的取值范围是.16.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+4m+4的图象与x轴有两个公共点,求m的取值范围.(1)一变:已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+4m+4,不论x取何值,函数值总大于0,求m的取值范围.(2)二变:已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2+4m+4的顶点在x轴上,求m的值.第5页共5页17. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax 2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax 2+bx+c>0的解集;(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围;(4)若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.18. 已知抛物线y=-x 2+4x-3与x 轴交于A,B 两点(A 点在B 点左侧),顶点为P. (1)求A,B,P 三点的坐标;(2)在如图所示的直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线y=-x 2+4x-3,并根据图象写出x 取何值时,函数值大于零;(3)将此抛物线向下平移一个单位长度,请写出平移后图象对应的函数解析式.参考答案1. 答案为：B ；解析：由题图可知,抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴为直线x=1,与x 轴的一个交点的坐标为(-1,0),易知该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(3,0).观察图象可知,当-1<x<3时,y<0.故选B.2. 答案为：B ；解析：由题图可知,抛物线y=2x 2+mx+8的图象与x 轴有一个公共点,则Δ=b 2-4ac =m 2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x =-=-,且在y 轴左侧,∴m>0,则m= 8.故选B.3. 答案为：B ；解析：∵抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有公共点,∴kx 2-7x-7=0有实数根,则Δ=b 2-4ac ≥0,即49+28k ≥0,解得k ≥-, ∵y=kx 2-7x-7是抛物线, ∴k ≠0,∴k 的取值范围是k ≥-且k ≠0. 故选B.4. 答案为：B ；解析：解法一：利用函数与方程的关系解答.∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3,∴a>0,-=-3,∴b 2=12a.∵一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b 2-4am ≥0,即12a-4am ≥0, 又∵a>0,∴12-4m ≥0,解得m ≤3,∴m 的最大值为3.解法二：新的二次方程相当于抛物线方程向上平移m 个单位长度,所以m 不能超过3,则m 最大值为3.5. 答案为：C ； A 图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac. √ B 抛物线顶点为(-3,-6),开口向上,所以ax 2+bx+c ≥-6. √ C点(-2,m)关于对称轴的对称点是(-4,m),在对称轴x=-3左侧,图象从左向右下降,所以点(-5,n)在点(-4,m)的上方,所以n>m.×D 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=-4的两根为直线y=-4与抛物线的两交点的横坐标,由抛物线的对称性知,两横坐标为-5和-1.√6. 答案为：C ；解析：解法1:∵关于x 的一元二次方程a(x+m)2=3的两个实数根为x 1=-1,x 2=3, ∴解得则抛物线y=a(x+m-2)2-3=(x-3)2-3.令y=0,则(x-3)2-3=0,解得x 1=1,x 2=5,故抛物线y=a(x+m-2)2-3与x 轴的交点横坐标分别是x 1=1,x 2=5.故选C.解法2: ∵一元二次方程a(x+m)2=3两实根为-1,3,∴y=a(x+m)2-3与x 轴交点横坐标为-1,3.又y=a(x+m-2)2-3可由y=a(x+m)2-3向右平移2个单位长度得到,则y=a(x+m-2)2-3与x 轴的交点横坐标分别为x 1=-1+2=1,x 2=3+2=5.故选C.7. 答案为：D ；解析：当m=0时,原函数为y=x,与x 轴有一个交点;当m ≠0时,第5页共5页Δ=b 2-4ac=12-4m ·(-2m)=1+8m 2>0,则图象与x 轴有两个交点综上所述, 图象与x 轴的交点个数为1或2.故选D. 8. 答案为：x<-1或x>59. 答案为：有两个相等的实数根;没有实数根;有两个不相等的实数根 10. 答案为：m ≤且m ≠111. 答案为：(0,-4) 12. 答案为：0<x<3 13. 答案为：9 14. 答案为：60015. 答案为：-3≤x ≤1 16.答案略；17.(1)答案为：x 1=1,x 2=3. (2)答案为：1<x<3. (3)答案为：x>2.(4)答案为：方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根,即直线y=k 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象有两个交点.二次函数y 的取值范围是由题图可知k<2.18.(1)答案为：令y=0,则-x 2+4x-3=0,解得x 1=1,x 2=3.则A(1,0),B(3,0). 由顶点坐标公式,得-=2,=1,即P(2,1). x … 0 1 2 3 4 … y … -3 0 1 0 -3 …作图如上所示.根据图象,得1<x<3时,函数值大于零;(3) 抛物线y=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1,则将此抛物线向下平移一个单位长度后,得到抛物线y=-(x-2)2+1-1=-x 2+4x-4.。

人教版九年级上册《解一元二次方程》同步练习卷(含答案解析)

新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1. 方程3x(2x +1)＝2(2x +1)的两个根为（）A.x 1=23,x 2=0B.x 1=23,x 2=12C.x 1=32,x 2=−12D.x 1=23,x 2=−122. 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A.x 2−2x =0B.x 2+4x −1=0C.2x 2−4x +3=0D.3x 2=5x −23. 一元二次方程(x +1)(x −1)=2x +3的根的情况是( )4. 当b +c =5时，最新x 的一元二次方程3x 2+bx −c =0的根的情况为( )5. 对于二次三项式−x 2+4x −5的值，下列叙述正确的是（）C.正、负都有可能−16. 代数式x 2−4x −2020的最小值是（）A.−2018B.−2020C.−2022D.−20247. 以x =b±√b 2+4c 2为根的一元二次方程可能是（）A.x 2+bx +c ＝0B.x 2+bx −c ＝0C.x 2−bx +c ＝0D.x 2−bx −c ＝08. 如果最新x 的一元二次方程k 2x 2−(2k +1)x +1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A.k >−14B.k >−14且k ≠0C.k <−14D.k ≥−14且k ≠0二、填空题（本大题共8道小题）9. 若(m+2)x m2−2+3x−1＝0是最新x的一元二次方程，则m的值为________．10. 填空：（1）x2+4x+(________)＝(x+________)2；（2）x2+(________)x+254=(x−52)2；（3）x2−73x+(________)＝(x−________)2；（4）x2−px+(________________)＝(x−________________11. 方程(3x−4)2−(3x−4)＝0的解是________．12. 一元二次方程4x2+12x+9＝0的解为________．13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，则此三角形的周长是________．14. 一元二次方程4x2＝3x的解是________．15. 最新x的方程kx2−4x−4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．16. 已知方程x2−6x+q＝0可转化为x−3＝±√7，则q＝________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择适当的方法解下列方程：（1）x2−3x+1＝0；（2）(x−1)2＝3；（3）x2+23x+19=0；（4）x2−2x＝4．18. 最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2(a>0, b>0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的解．（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．20. 已知最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0，求m的值．参考答案与试题解析新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】先变形得到3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，(2x +1)(3x −2)＝0，2x +1＝0或3x −2＝0，所以x 1=−12，x 2=23．2.【答案】C【考点】根的判别式【解析】利用根的判别式△=b 2−4ac 分别进行判定即可．【解答】解：A ，Δ=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B ，Δ=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C ，Δ=16−4×2×3=−8<0，没有实数根，故此选项符合题意；D ，Δ=25−4×3×2=25−24=1>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C .3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】先化成一般式后，在求根的判别式．【解答】解：原方程可化为：x2−2x−4=0，∴ a=1，b=−2，c=−4，∴ Δ=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，∴ 方程有两个不相等的实数根．故选A.4.【答案】A【考点】根的判别式【解析】由b+c＝5可得出c＝5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即△>0，由此即可得出最新x的一元二次方程3x2+bx−c＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∴ b+c=5，∴ c=5−b．Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．∴ (b−6)2≥0，∴ (b−6)2+24>0，∴ Δ>0，∴ 最新x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．故选A.5.【答案】B【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法将−x2+4x−5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．【解答】∴ −x2+4x−5＝−(x2−4x+4)−1＝−(x−2)2−1<0，∴ 原式一定为负数．6.【答案】D【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．【解答】x2−4x−2020＝x2−4x+4−4−2020＝(x−2)2−2024．∴ (x−2)2≥0，∴ (x−2)2−2024≥−2024，即代数式x2−4x−2020的最小值是−2024，7.【答案】D【考点】解一元二次方程-公式法【解析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解答】根据求根公式知，−b是一次项系数，二次项系数是1或−1，常数项是−c或c．所以，符合题意的只有D选项．8.【答案】B【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b 2−4ac >0，建立最新k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k ≠0，方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，Δ=b 2−4ac =(2k +1)2−4k 2=4k +1>0．又∴ 方程是一元二次方程，∴ k ≠0，∴ k >−14且k ≠0．故选B .二、填空题（本大题共8道小题）9.【答案】2【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【解答】由题意得，m 2−2＝2，m +2≠0，解得，m ＝2，10.【答案】4,2−54936,76p 24,p 2,,）2【考点】配方法的应用【解析】根据配方法的步骤首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】x 2+4x +4＝(x +2)2；x 2+(−5)x +254=(x −52)2； x 2−73x +4936=(x −76)2；x 2−px +p 24=(x −p 2)2．故答案为：4，2，−5，4936，76，p 24，p 2． 11.【答案】x 1=43，x 2=53【考点】一元二次方程的解【解析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】(3x −4)2−(3x −4)＝0，(3x −4)(3x −4−1)＝0，3x −4＝0，或3x −5＝0，解得x 1=43，x 2=53． 12.【答案】x 1＝x 2=−32【考点】解一元二次方程-配方法【解析】利用配方法求解可得．【解答】原方程可化为(2x+3)2＝0，∴ 2x+3＝0，∴ x1＝x2=−3．213.【答案】13【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2−6x+8=0，(x−2)(x−4)=0，x−2=0，x−4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3<6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13．故答案为：13．14.【答案】x1＝0，x2=34【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】4x2＝3x，4x2−3x＝0，x(4x−3)＝0，x＝0，4x−3＝0，x1＝0，x2=3415.【答案】1【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k ≠0且b 2−4ac >0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】∴ 最新x 的方程kx 2−4x −4＝0有两个不相等的实数根，∴ k ≠0且b 2−4ac >0，即{k ≠0∴=16+16k >0，解得k >−1且k ≠0，∴ k 的最小整数值为：1． 16.【答案】2【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将x −3＝±√7两边平方后展开化简可得．【解答】由x −3＝±√7，得(x −3)2＝7，∴ x 2−6x +9＝7，∴ x 2−6x +2＝0，∴ q ＝2，三、解答题（本大题共4道小题）17.【答案】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3．∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用配方法求解可得．【解答】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3． ∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5． 18. 【答案】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3．【考点】一元二次不等式【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，代入数据即可得出最新m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m ＝1，将m ＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解答】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3． 19. 【答案】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．【考点】解一元二次方程-公式法【解析】（1）先根据勾股定理求得AB 的长，再求AD 的长．（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．【解答】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 20. 【答案】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】①根据“最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到最新m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2−17＝0”，结合根与系数的关系，列出最新m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53．。

九年级数学上册222降次解一元二次方程同步作业试卷第四课时试题

22．2降次--解一元二次方程〔第四课时〕22.2.3 因式分解法 ◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的选项是〔〕A ．〔x-3〕〔x-5〕=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．〔2-5x 〕+〔5x-2〕2=0，∴〔5x-2〕〔5x-3〕=0，∴x 1=25，x 2=35 C ．〔x+2〕2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x 〔x-3〕-5〔x-3〕因式分解的结果是______．3、用因式分解法解方程:〔1〕2411x x =；〔2〕2(2)24x x -=-．点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：此题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最适宜．解：将方程2200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=，∴20100x +=或者10x -=，∴12010x =-，21x =.∴较大根为1，即1m =.将方程2(2010)2009201110x x +⨯-=变形为： 2(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-=，∴22(2010)201010x x x +--=，∴22010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴∴2(20101)(1)0x x -+=，∴2201010x -=或者10x +=， ∴1212010x =，21x =-. ∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=.◆课下作业●拓展进步1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；假如令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、以下命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由〔x+1〕〔x-1〕=3可得x+1=3或者x-1=3.其中正确的命题有〔〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，那么求出z 的值即为x y +的值.4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解以下方程：〔1〕2340x x --=；〔2〕2760x x -+=；〔3〕2450x x +-=. 5、22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值．分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进展化简，然后从条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值.●体验中考1、〔2021年，〕方程2x x =的解是〔〕A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =2、〔2021年，〕小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，那么被他漏掉的一个根是________.〔提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否那么会失根的.〕参考答案：◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x 〔x-5〕；〔x-3〕〔2x-5〕.3、解：〔1〕移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或者4110x -=，∴10x =，2114x =. 〔2〕移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或者40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9.◆课下作业●拓展进步1、〔x+12〕〔x+8〕；x 1=-12，x 2=-8.2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由〔x+1〕〔x-1〕=3不能必然地得到x+1=3或者x-1=3.因此没有正确的命题，应选A.3、解：设x y z +=，那么方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=,∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或者2.4、解〔1〕∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=，∴40x -=或者10x +=，∴14x =，21x =-.〔2〕∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=，∴60x -=或者10x -=，∴16x =，21x =.〔3〕∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=，∴50x +=或者10x -=，∴15x =-，21x =. 5、解：原式=22222a b a b b ab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=，∴320a b +=或者320a b -=，∴23a b =-或者23a b =， ∴当23a b =-时，原式=-223b b -=3；当23a b =时，原式=-3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠， ∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =.应选C.2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

人教版九年级上册数学试题：22.2 二次函数与一元二次方程作业含答案

22.2二次函数与一元二次方程一、学习反馈1.二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和-1 B．和12C．2和1 D．和-12.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数________________的函数值为3的求自变量x的值．3.．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．4．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．5．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________6．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________7．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；二、课后作业：1. 如图填空：（1）a________0（2）b________0 （3）c________0（4）b 2－4ac________02.根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b 2－4ac_____0；（5）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________；（6）当y ＞0时，x 的范围为_______；（7）当y ＜0时，x 的范围为___________；3.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．4.二次函数的223y x x =--的图象如图所示。

九年级数学上册22.2降次——解一元二次方程【单元测试题】

人教九上22.2降次——解一元二次方程一、选一选！1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（）. （A ）2355()416x += （B ）2315()24x +=- （C ）2315()24x += （D ）2355()416x +=- 2. （2006年杭州）已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( )(A) 2()5x p -= (B) 2()9x p -=(C) 2(2)9x p -+= (D) 2(2)5x p -+=3. （2006年广州）一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．(A)X l =1， x 2=3 (B)X l =1， x 2=-3(C)X 1=-1，X 2=3 (D)X I =-1， X 2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为（）. （A ）3 （B ）－2（C ）3或－2 （D ）－3或25. 方程(3)x x x +=的根是（）.（A ）－2 （B ）0 （C ）无实根（D ）0或－26. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x+的值为（）. （A ）3 （B ）－3 （C ）32 （D ）以上都不对 7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于（）. （A ）1 （B ）4或1 （C ）4 （D ）－4或－18. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是（）.（A ）2a ≠-且1a = （B ）2a ≠ （C ）2a ≠-且1a =- （D ）1a =-二、填一填！ 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________.11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.13. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x 2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________（只填符合条件的一个即可）15. 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.三、做一做！17.用配方法解下列方程：（1）210257x x -+=；（2）261x x +=；（3）23830x x +-=；（4）2310x x -+=.18.用公式法解下列方程：（1）27180x x --=；（2）22980x x -+=；（3）29610x x ++=；（4）21683x x +=.19.用因式分解法解下列方程：（1）(41)(57)0x x -+=；（2）3(1)22x x x -=-；（3）2(23)4(23)x x +=+；（4）222(3)9x x -=-.20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0我们可以将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，•则（x 2-1）2=y 2，原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=x 1，x 2，x 3x 4解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;（2）利用上述方法解方程x 4-x 2-6=0．21. 若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．参考答案：一、选一选！1.D ；2.B ；3.C ；4.A ；5.D ；6.A ；7.A ；8.C ；二、填一填！ 9. 19，13-； 10. －5或3；11．9或－2；12.4，－3，－5；13. x 1；x 2；14.如4 ，提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．15. -•4或1；16.略；三、做一做！17.（1）15x =25x =（2）13x =-23x =-（3）113x =，23x =-；（4）1x =2x =； 18.（1）19x =，22x =-；（2）1x =2x =；（3）1213x x ==-；（4）114x =，234x =-； 19.（1）175x =-，214x =；（2）12 3x=-，21x=；（3）13 2x=-，21 2x=；（4）13x=，29x=.20. （1）换元，转化；（2）x=；21. （1）3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．。

22.2降次--解一元二次方程每课一练2(人教版九年级上册)

第23章一元二次方程测试卷一、选择题（每小题3分，共21分）1．方程x2－2x=0的根是（）．A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=－2 C．x=0 D．x=22．若x1，x2是一元二次方程3x2+x－1=0的两个根，则的值是（）．A．－1 B．0 C．1 D．23．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2－1）•－2x+b （x2+1）=0的根的情况为（）．A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．一元二次方程x2－3x－1=0与x2－x+3=0的所有实数根的和等于（）．A．2 B．－4 C．4 D．35．某农场粮食产量是：2003年为1 200万千克，2005年为1 452万千克，•如果平均每年增长率为x，则x满足的方程是（）．A．1200（1+x）2=1 452 B．2000（1+2x）=1 452C．1200（1+x%）2=1 452 D．12 00（1+x%）=1 4526．方程=2的根是（）．A．－2 B．C．－2，D．－2，17．方程的增根是（）．A．x=0 B．x=－1 C．x=1 D．x=±1二、填空题（每小题3分，共24分）8．x2+8x+_______=（x+_____）2；x3－x+______=（x－______）2．9．如果x2－5x+k=0的两根之差的平方是16，则k=________．10．方程2x2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．11．若2x2－5x+－5=0，则2x2－5x－1的值为_________．12．若x1，x2是方程x2－2x+m的两个实数根，且=4，则m=________．13．已知一元二次方程x2－6x+5－k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．14．设方程2x2+3x+1=0•的两个根为x1，x2，•不解方程，•作以x12，•x22•为两根的方程为______．15．若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数．解：设这个两位数的十位数字是x，•则它的个位数字为__________，•所以这两位数是_______，根据题意，得__________________________________．三、解答题（共75分）16．（24分）解下列方程（1）用配方法解方程3x2－6x+1=0；（2）用换元法解（）2+5（）－6=0；（3）用因式分解法解3x（x－）=－x；（4）用公式法解方程2x（x－3）=x－3．17．（10分）某采购员到察尔汗钾盐厂购钾盐36t运往内地，•如果租用甲种货车若干辆刚好装满，租用乙种货车，可少租1辆并且最后1辆还差4t才能装满，•已知甲种货车的载重量比乙种货车少2t，求甲、乙两种货车的载重量各是多少吨？18．（14分）阅读材料：x4－6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程变为x2－6y+5=0①，解这个方程，得y1=1，y2=5；•当y1=1时，x2=1，x=±1；当y=5时，x2=5，x=±，所以原方程有四个根x1=1，x2=－1，x3=，x2=－．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，•体现了_______的数学思想．（2）解方程（x2－x）－4（x2－x）－12=0．19．（14分）已知：关于x的方程x2+（8－4m）x+4m2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，•请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，•货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E点（）A．在线段AB上B．在线段BC上C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？答案与提示一、1．A 分析：直接提公因式x．点拨：分解因式得到两个因式的积等于0，即是每个因式分别等于0．2．C 分析：由根与系数关系得出x1+x2和x1x2的值，再将代数式进行化简．3．D 分析：根据b2－4ac的大小来判断根的情况．点拨：应用b2=a2+c2．4．D 分析：方程x2－3x－1=0有两实根x1，x2，∴x1+x2=3，方程x2－x+3=0无实数根，∴所有实数根的和为3．点拨：求方程两根之和必须先考虑方程是否有实数根．5．A 分析：原基数为1 200万千克，设平均每年增长率为x，则有1 200（1+x）2•=•1452．点拨：增长率=×100%．6．C 分析：本题是可化为一元二次方程的分式方程，先化为整式方程，再求整式方程的解．点拨：分式方程的根一定要检验．7．C 分析：方程的增根就是使最简公分母为0的数，即x－1=0x=1．点拨：增根不是原方程的根．二、8．16 4 分析：利用配方法配成完全平方式．点拨：配方法就是加上一次项系数一半的平方．9．分析：（x1－x2）2=16（x1+x2）2－4x1x2=16，25－4k=16，k=．点拨：（x1－x2）2转化成（x1+x2）2，然后根据根与系数的关系代入求值．10．m< 分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以1－8m>0，∴m<．点拨：根据b2－4ac的大小来判断根的情况．11．0或2 分析：设a=2x2－5x，则原方程为a+－5=0，整理，得a2－4a+3=0，解得a1=1，•a2=3；当a=1时，2x2－5x－1=0；当a=3时，2x2－5x－1=3－1=2．点拨：用a替换2x2－5x是解本题的关键．12．分析：由x1+x2=2，x1x2=m，∵=4，∴=4，m=．点拨：在方程有两个实根的情况下，应用x1+x2=－，x1x2=．13．x1=4，x2=2 分析：∵△=4，∴b2－4ac=4，即x=，∴x1=4，x2=2．点拨：直接应用求根公式求出根来．14．4x2－5x+1=0分析：求方程的关键是找出所求方程的两根与已知方程的两根之间的关系．∵x1+x2=－，x1x2=．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=－1=．x12x22=（x1x2）2=．∴所求方程为x2－x+=0．即4x2－5x+1=0．点拨：对于一元二次方程x2+px+q=0，所求方程两根之和等于－p，两根之积等于q．15．（5－x）10x+（5－x）x2+（5－x）2=17分析：设十位数字为x，则个位数字为5－x，故这个两位数为10x+（5－x）．由题意，得x2+（5－x）2=17．点拨：一个两位数的表示方法是：设个位数字为b，十位数字为a，则有10a+b．三、16．解：（1）3x2－6x+1=0，x2－2x+=0，（x－1）2=，x－1=±，x=1±．x1=1+，x2=1－．（2）设=a，则原方程a2+5a－6=0，解得a1=1（舍去），a2=－6．当a=－6时，=－6，－7x=6，x=－．（3）3x（x－）=－x．3x（x－）=－（x－）．3x（x－）+（x－）=0．（x－）（3x+1）=0．x1=，x2=－．（4）2x（x－3）=（x－3）．2x2－6x－x+3=0．2x2－7x+3=0．∵a=2，b=－7，c=3，b2－4ac=49－24=25>0．∴x=．∴x1=3，x2=．点拨：（1）用配方法解方程，将二次项系数化为1，•再在方程两边都加上一次项系数一半的平方；（2）用换元法降低方程的次数，使分式方程转化为整式方程；（3）将－x移到方程的左边，再提公因式；（4）应用求根公式求解，首先要考虑b2－4ac的值，大于或等于0才能应用公式x=求根．17．分析：如果我们设甲种货车的载重量为xt，•则由条件“已知甲种货车的载重量比乙种货车少2t”，可得乙种货车的重量为（x+2）t，再分析条件“租用乙种货车，可少租一辆”，于是得到等量关系：甲种货车辆数－乙种货车辆数＝1．解：设甲种货车的载重量为xt，则乙种货车的载重量为（x+2）t，根据题意，得=1，解得x1=6，x2=－12，经检验，x1=6，x2=－12都是所列方程的根，但x=－12不合题意，舍去，•∴x+2=8．答：甲、乙两种货车的载重量分别是6t，8t．点拨：解答此类问题的关键是梳理条件，理清思路，寻求一个等量关系，列出方程求解．18．解：（1）换元转化（2）设x2－x=y，则原方程为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．当y=6时，x2－x－6=0，解得x1=3，x2=－2；当y=－2时，x2－x+2=0，∵△<0，∴此方程无实数根，∴原方程的根是x1=3，x2=－2．点拨：本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，也可以把x2－x看成一个整体，则原方程是以x2－x为未知数的一元二次方程．19．解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有（8－4m）2－16m2=0，解得m=1．当m=1时，•原方程为x2+4x+4=0，x1=x2=－2．（2）不存在．假设存在，则有x12+x22=136．∵x1+x2=4m－8，x1x2=4m2，（x1+x2）2－2x1x2=136．（4m－8）2－2×4m2=136．m2－8m－9=0．（m－9）（m+1）=0．m1=9，m2=－1．∵△=（8－4m）2－16m2=64－64m≥0，∴m≤1，m1=9，m2=－1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．点拨：根据b2－4ac=0，再求m值．20．解：（1）B（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x，AB+BE=2x，∵D点是AC的中点，∴DF=AB=100，EF=400－100－2x，在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300－2x）2，x=200±．∵200+>100，∴DE=200－．答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200－）海里．点拨：当三角形中有中点时，常作三角形的中位线．。

九年级数学上册 22.2《降次—解一元二次方程》习题精选新人教版

22.2降次——解一元二次方程直接开平方法1．如果(x －2)2=9，则x ＝． 2．方程(2y －1)2－4=0的根是． 3．方程(x+m)2＝72有解的条件是． 4．方程3(4x －1)2=48的解是．配方法5．化下列各式为(x +m )2+n 的形式． (1)x 2－2x －3=0 ．(2)210x += ． 6．下列各式是完全平方式的是( ) A ．x 2+7n =7 B ．n 2－4n －4 C ．211216x x ++ D ．y 2－2y +27．用配方法解方程时，下面配方错误的是( ) A ．x 2+2x －99=0化为(x +1)2=0 B ．t 2－7t －4=0化为2765()24t -=C ．x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25 D ．3x 2－4x －2=0化为2210()39x -=8．配方法解方程． (1)x 2+4x =－3 (2)2x 2+x=0 因式分解法9．方程(x +1)2=x +1的正确解法是( ) A ．化为x +1=0 B ．x +1＝1C ．化为(x +1)(x +l －1)＝0D ．化为x 2+3x +2＝010．方程9(x +1)2－4(x －1)2=0正确解法是( ) A ．直接开方得3(x +1)=2(x －1) B ．化为一般形式13x 2+5＝0C ．分解因式得[3(x +1)+2(x －1)][3(x +1)－2(x —1)]=0D ．直接得x +1＝0或x －l ＝011．(1)方程x (x +2)=2(z +2)的根是． (2)方程x 2－2x －3=0的根是． 12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a bb+= ．公式法13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的求根公式是，其中b 2—4ac ． 14．方程(2x +1)(x +2)=6化为一般形式是，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x =g ，15．用公式法解下列方程． (1)(x +1)(x +3)＝6x +4．(2)21)0x x ++=．(3) x 2－(2m +1)x +m ＝0．16．已知x 2－7xy +12y 2＝0(y ≠0)求x ：y 的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x2－x+2的最小值．20．x2+ax+6分解因式的结果是(x－1)(x+2)，则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程m2x2－(3m2—8m)x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m 的值．23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程(1)(x 2+x)·(x 2+x －2)=24；(2)260x x --=25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则( ) A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下(规定：四舍五入，精确到元，N≤15)N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．方程(x－1)(x+2)(x－3)＝0的根是．31．一元二次方程x2—2x＝0的解是( )A．0 B．2 C．0，－2 D．0，232．方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．33．方程(2)310mm x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根是什么?34． x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A(x 1+x 2，0)B(0，x l ·x 2)两点的直线解析式．35．a 、b 、c 都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．36．a 、b 、c满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。

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22．2降次--解一元二次方程（第四课时）22.2.3 因式分解法
◆随堂检测
1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（）
A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7
B ．（2-5x ）+（5x-2）2
=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=
25
，x 2=
35
C ．（x+2）2
+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2 D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1
2、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
3、用因式分解法解方程:（1）2411x x =；（2）2(2)24x x -=-．
点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式． 4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析
方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.
分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，
选用因式分解法最合适．
解：将方程2
200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=， ∴20100x +=或10x -=，∴12010x =-，21x =. ∴较大根为1，即1m =.
将方程2
(2010)2009201110x x +⨯-=变形为：
2
(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-=，
∴22
(2010)201010x x x +--=， ∴2
2010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴ ∴2(20101)(1)0x x -+=，
∴2
201010x -=或10x +=，
∴12
12010
x =
，21x =-.
∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=. ◆课下作业 ●拓展提高
1、二次三项式x 2
+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2
+20x+96=0，那么它的两个根是_________． 2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.
点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值. 4、我们知道2()
(
)()x a b x a b x a x b -++
=--，那么2
()
x a b x a b -++=就可转化为()()x a x b --
=，请你用上面的方法解下列方程：
（1）2340x x --=；（2）2760x x -+=；（3）2450x x +-=. 5、已知2
2
940a b -=，求代数式
22
a b a b b
a
ab
+-
-
的值．
分析：要求2
2
a b a b b
a
ab
+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入
即可．
6、已知1x =是一元二次方程2
400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22
22a b
a b
--的值.
●体验中考
1、（2009年，河南）方程2
x x =的解是（）
A ．1x =
B ．0x =
C ．11x =，20x =
D ．11x =-，20x =
2、（2008年，淮安）小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根
是________.
（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）
参考答案： ◆随堂检测
1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.
2、x （x-5）；（x-3）（2x-5）.
3、解：（1）移项，得：24110x x -=，
因式分解，得：(411)0x x -=
于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114
x =
.
（2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，
因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.
4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.
∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9. ◆课下作业 ●拓展提高
1、（x+12）（x+8）；x 1=-12，x 2=-8.
2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.
3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2
280z z +-=,
∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2. 4、解（1）∵2
34(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=， ∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-.
（2）∵2
76(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=， ∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.
（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=，
∴50
x+=或10
x-=，∴
15
x=-，
21
x=.
5、解：原式=
22222 a b a b b
ab a ---
=-
∵22
940
a b
-=，∴(32)(32)0
a b a b
+-=，
∴320
a b
+=或320
a b
-=，∴
2
3
a b
=-或
2
3
a b
=，
∴当
2
3
a b
=-时，原式=-
2
2
3
b
b
-
=3；当
2
3
a b
=时，原式=-3．
6、解：把1
x=代入方程，得：a＋b＝40，又∵a b
≠，
∴
22
22
a b
a b
-
-
＝
()()
2()
a b a b
a b
+-
-
＝
2
a b
+
＝20.
●体验中考
1、C 先移项，得20
x x
-=，因式分解，得：(1)0
x x-=，∴
10
x=，
21
x=. 故选C.
2、0
x=将方程因式分解，得(4)0
x x-=，∴
10
x=，
24
x=.∴被他漏掉的根是0
x=.。