典型方程和定解条件的推导-1(定稿)
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题
题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n
qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0
x xl
u ( x,0)
e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u
t
2
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0
典型方程和定解条件的推导-1(定稿)
C
v dv
x
x dx
u L
L
di dt
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
j
v dv
j dj
d v R dx j L dx
v
j t
d j G dx v
x
x dx
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
Gdx
Rdx
v ( x .t )
Cdx
v dv
x
●
x dx
电路准备知识
电容元件：
q Cu
i C
C
du
C
i q
dq dt
d ( Cu ) dt
C
du dt
dt
idt
d L dt
uL
电感元件：
uL L
di L dt
L Li uL L i 1 di dt
T u
2
x
2
u
2
上式右边方括号内的分 自变量
子，它表示
t
2
x 产生了 dx 的变化，而引起 u ( x , t ) 到 u ( x dx , t ) u 代替。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第一章 典型方程与定解条件
初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y
第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程
x
y
z
静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div
即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数学物理方程学习指导书第3章经典方程建立及定解条件
第3章经典方程的成立和定解条件在议论数学物理方程的解法从前，我们第一要弄清楚数学物理方程所研究的问题应当如何提，为此，我们从双方面来议论，一方面要将一个详细的物理、力学等自然科学识题化为数学识题，即成立描绘某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象自己所拥有的详细条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和界限条件，二者合称为定解条件.定解条件提出详细的物理问题，泛定方程提供解决问题的依照，作为一个整体称之为定解问题.3．1 经典方程的成立在本节，我们将经过几个不一样的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程组成我们的主要研究对象.经典方程的导出步骤：（1）确立出所要研究的是哪一个物理量u；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统中切割出一小部分，再依据相应的物理（力学）规律剖析周边部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要要素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无量小），这类互相作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量u3）把这类关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，固然是一个古典问题，但对于初学者仍旧拥有必定的启迪性.设有一根平均柔嫩的细弦，均衡时沿直线拉紧，并且除受不随时间而变的张力作用及弦自己的重力外，不受外力影响，下边研究弦的细小横向振动，即假定所有运动出此刻一个平面上，并且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图3-1）.图3-1设弦上拥有横坐标为x的点，在时辰t时的地点为M，位移NM记作u.明显，在振动过程中位移u是变量x与t的函数u(x,t).此刻来成立位移u知足的方程.我们把弦上点的运动先看作小弧段的运动，而后再考虑小弧段趋于零的极限状况.在弦上任取一弧段MM，其长为ds，设是弦的线密度，弧段MM两头所受的张力记作T，T，此刻考虑孤段MM在t 时辰的受力状况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加快度.在x 轴方向弧段受力的总和为TcosTcos ，因为弦只作横向振动，所以TcosTcos0.（）假如弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即0,0，则由24cos14!2!可知，当为无量小量时，cos 与1的差量是的高阶无量小量，能够略去不计，所以当0, 0时cos1,cos 1代入(3.1)式，即可近似获得TT .在u 方向弧段受力的总和为Tsin Tsingds ，此中是单位弧段的质量，gds 是弧段MM 的重力.又因当0， 0时 sin1 tg tgu(x,t)，tg 2xsin ' tg 'u(xdx,t)，x2ds 1u(x,t)dxdx,x2且小弧段在时辰 t 沿u 方向运动的加快度为u(x,t)，小弧段的质量为t 2TsinTsin2u(x,t)gdsds2t或gds ，所以（）Tu(xdx,t)u(x,t)gds2u(x,t)dx, x xt 2上式左侧方括号内的部分是因为x 产生dx 的变化而惹起的u(x,t)的改变量，可用微x分取代，即u(xdx,t)u(x,t)xu(x,t)dx2u(x,t)dx, xxxx 2于是T2u(x,t) gdx2u(x,t)dxx 2x 2或T2u(x,t) 2u(x,t) g.x2t22一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即u要比g 大得多，所以又能够把g 略去.t 2经过这样逐渐略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出 u(x,t)应近似地知足方程2ua 22u（）t 2x 2这里的a2T.式(3.3)称为一维颠簸方程.假如在振动过程中，弦上此外还遇到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长 度所受外力的 F(x,t)，明显，在这里(3.1)及(3.2)分别为TcosTcos 0,FdsTsinTsin2u gdsds2.t利用上边的推导方法并略去弦自己的重量，可得弦的逼迫振动方程为2u22uf(x,t),（）’t2x2此中f(x,t)1F(x,t).方程(3.3)与(3.3)’的差异在于(3.3)’的右端多了一个与未知函数u 没关的项f(x,t)，这个项称为自由项，包括有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维颠簸方程， (3.3)’为非齐次一维颠簸方程 .例2 传输线方程对于直流电或低频的沟通电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等 .但对于较高频次的电流（指频次还没有高到能明显地幅射电磁波的状况） ，电路中导线的自感和电容的效应不行忽视，因此同一支路中电流未必相等.现考虑一来一往的高频传输线，它被看作拥有散布参数的导体（图3-2）.在拥有散布参数的导体中，电流经过的状况，能够用电流强度与电压v来描绘，此处i与v都是x,t的函数，记作i(x,t)与v(x,t)，以R，L，C，G分别表示以下参数：R——每一回路单位的趾串连电阻，L——每一回路单位的串连电感，C——每单位长度的分路电容，G——每单位长度的分路电导.依据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v(v v)R xii Lx.t而vx, vx故上式可写成v Ri L i.x T此外，由基尔霍夫第必定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即i(i i)C x iGxv, t或i C vGv.x t将方程(3.4)与(3.5)归并，即得i与v应近似地知足以下方程组i C v Gv0,x tv iRi0.Ltx （）（（（（（（（（）为了确立函数i与v，将方程(3.5)对x微分，同时在方程(3.4)两头乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得2i G v LC2i RC i x2x t20,t将(3.4)中的v代入上式，得x2i2i(RC i（）x2LG2GL)GRi,t t这就是电流i近似知足的微分方程，采纳近似的方法从（）与（）中消去i可得电压v近似知足的方程2v LG2v(RC GL)v GRv,（）x2t2t方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.依据不一样的详细状况，对参数R,L,C,G作不一样的假定，就能够获得传输线方程的各种特别形式.比如，在高频传输的状况下，电导与电阻所产生的效应能够忽视不计，也就是说可令G R0，此时方程(3.6)与(3.7)可简化为2i12ix2LC t2,2v12vt2LC t2.这两个方程称为高频传输线方程.若令a21这两个方程与(3.3)完整同样.因而可知，同一个方程能够用来描绘不一样的LC物理现象，一维颠簸方程不过颠簸方程中最简单的状况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的颠簸方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特征能够用电场强度E与磁场强度H以及电感觉强度D 与磁感觉强度B来描绘，联系这些量的麦克斯韦(Maxwell)方程组为rotH J D（）,trotE B,(3.9) tdivB 0,（）divD.(3.11)此中J为传导电流的体密度，为电荷的体密度.这组方程还一定与下述场的物质方程D eE,（）B H,（）J E,（）相联立，此中是介质的介电常数，是导磁率，为导电率，我们假定介质是平均并且是各向同性的，此时，，均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同时包括有E与H，从中消去一个变量，就能够获得对于另一个变量的微分方程，比如先消去H，在(3,8)式两头求旋度并利用(3.12)与（）得rotrotH rotE rotE,t将(3.9)与(3.13)代入得rot rotH2H Ht2,t而rotrotH grad div2H,且divH1divB0,所以最后获得H所知足的方程为2H2HH t2t;同理，若消去H即得E所知足的方程2E2E E.t2t假如介质不导电(0)，则上边两个方程简化为2H12H,（）t22E12E,（）2t(3.15)与(3.16)称为三维颠簸方程.若将三维颠簸方程以标量函数的形式表示出来，则可写成2ua 2ua22u2u2u（t2x2y2z2,）此中a21,u是E或H的随意一个重量.从方程(3.11)与(3.12)还能够推导出静电场的电位所知足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3.11)得divD div E divE,而电场强度E与电位u之间存在关系E gradu,所以可得div(gradu)或2u,（）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程.假如静电场是无源的，即0,则(3.18)变为2u 0，（）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.例4热传导方程一块热的物体，假如体内每一点的温度不全同样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这类现象就是热传导.在工程技术上有很多传热问题都要归纳为求物体内温度的散布，此刻我们来推导传热过程中温度所知足的微分方程，与上例近似，我们不是先议论一点处的温度，而应当先考虑一个地区的温度.为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的地区记作V（图3-3）.假定在时辰t，地区V内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t)，n为曲面元素S的外法向（从V内指向V外）.图3-3由传热学可知，在t,t t时间内，从S流入地区V的热量与时间t，面积S，以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即Q kuk(gradu)n St Stnk(gradu)S t.此中k称为物体的热传导系数，当物体为平均导热体时，k为常数.于是，从时辰t1到时辰t2，经过曲面S流入地区V的所有热量为Q1t2dSdt.kgradut1S流入的热量使V内温度发生了变化，在△t时间内地区V内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+△t)，则在△t内V内温度高升所需要的热量为c[u(x,y,z,t t)u(x,y,z,t)]dVVu(x,y,z,t)ct tdV.V进而从时辰t1到时辰t2，因为温度高升所汲取的热量为t2uQ2cdV dt,t1tV此中c为物体的比热，为物体的密度，对平均物体来说，它们都是常数.因为热量守恒，流入的热量应等于物体温度高升所需汲取的热量，即t2t2ukgradudSdt c dVdt.t1t1tS V此式左端的由面积分中S是关闭曲面，能够利用奥-高公式将它化为三重积分，即kgradudS kdiv(gradu)dV k2udV,S V V 所以有t22udVdt t2udVdt.（）k ct1t1tV V因为时间间隔t,tt及地区V都是随意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即u a22ua22u2u2u ,（）tx 2y 2z 2此中a 2k .方程(3.21)称为三维热传导方程.c若物体内有热源，其强度为F(x,y,z)，则相应的热传导方程为ua 22u2u2uf(x,y,z,t),tx 2y 2z 2此中fF .c作为特例，假如所考虑的物体是一根细杆 （或一块薄板），或许即便不是细杆（或薄板）而此中的温度u 只与x,t （或x,y,t ）相关，则方程(3.21)就变为一维热传导方程2u a 2u2;tx或二维热传导方程u a 22u2utx 22.y假如我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种均衡状态，这时温度u 已与时间t 没关，所以u 0,此时方程(3.21)就变为拉普拉斯方程(3.19).因而可知稳恒t温度场内的温度 u 也知足拉普拉斯方程 .在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完整同样.3．2 初始条件与界限条件上边所议论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来.除此之外，我们还需要把 详细条件也用数学形式表达出来， 这是因为任何一个详细的物理现象都是处在特定条件之下 的.比如弦振动问题，上节所推导出来的方程是全部柔嫩平均的弦作细小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时辰物状态以及弦所受的拘束状况.假如我们不 是平常地研究弦的振动，必然就要考虑到弦所拥有的特定条件.因为任何一个详细振动现象 老是在某时辰的振动状态和此时辰从前的状态相关，进而就与初始时辰的状态相关.此外， 弦的两头所受的拘束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不一样会产生不一样的影响，因此弦的振动也不一样 .所以对弦振动问题来说，除了成立振动方程之外，还需列出它的详细条件对热传导方程，拉普拉斯方程也是这样.提出的条件应当恰好能够说明某一详细物理现象的初始状态以及界限上的拘束状况，.用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件.用以说明界限上的拘束状况的条件称为界限条件.下边详细说明初始条件和界限条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题来说，初始条件就是弦在开始时辰的位移及速度，若以(x),(x)分别表示初位移和初速度，则初始条件能够表达为u t0(x)u（）t(x) t0而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时辰物体温度的散布状况，若以(M)表示t 0时物体内任一点M处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)t0(M).(3.23)泊松方程与拉普拉斯方程都是描绘稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件.再谈界限条件.假如界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在界限S上的值，以s表示界限S上的动点，则这样的界限条件可表为u(M,t)MS(s,t),或简写成u S.（）这类界限条件称为第一类界限条件，此中(s,t)表示在界限S上给定的已知函数.比如，在杆的导热问题中，若在端点x a处温度保持为常数u0，这时在端点x a的界限条件为u xa u0.若在端点x a处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的界限条件为uxaf(t).又如在弦振动问题中，若弦的某端点x a是固定的，则在该点的位移为零，即uxa0.以上都是第一类界限条件的例子.总之，第一类界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在边界S上的值但在很多状况下，界限上的物理条件其实不可以用第一类界限条件来描绘.比如，在杆的导热问题中，若杆的一端xa绝热，那么绝热这个条件就不可以直接给出杆的端点处的温度变化.因为从杆外经过杆端流入杆内的热量为kuSt(此中t为时间间隔，S为杆nxa的截面积，n为杆在端点x a处的外法向，若x a是杆的左端点，n的正向与x轴正向相反，则u u,若x a是杆的右端点，则n的正向与x轴正向同样，则uu), n x n x所以绝热这个条件能够表达为k uSt0, nxa即u0.nxa若在单位时间内经过x a端单位面积流入杆内的热量是t的已知函数f(t)，则这个条件可表示为k u f(t).nxa弦在对于弦振动问题来说，假如弦在x a处沿位移方向的张力（参照x a处是自由的，即沿着位移方向不受外力，中例1的推导）为则此时Tu0,nx a即u0.xx a总之，有时界限条件一定表达为u（）(s,t).n S的形式，此中u.表示函数沿界限外法向的变化率，这类界限条件称为第二类界限条件n除了上述两类界限条件外，有时还会碰到其余形式的界限条件.比如在杆的导热热问题中，若杆在某个端点x a自由冷却，那么自由冷却这个条件就是K uH(u1u xa), nxa(此中u1为四周介质的温度)即uu1h kuh.n xa H这是因为在单位时间内从四周介质传到杆的x a端单位面积上的热量与介质和杆端的温度差成正比，而在单位时间内经过u xa端单位面积传向杆内的热量与n考取例4）.成正比（参xa对于有界杆(0 x l)，若两头都是自由冷却，则在x l处，上述条件可表为uu h u1;nx i在x0处，这个条件可表为uu h u1.nx 0一般地，这类界限条件的形式为u(s,t).（）uhn s这样的界限条件称为第三类界限条件.无论哪一种界限条件，假如它的数学表达式中的右端自由项恒为零，则这类界限条件称为齐次的.定解问题的提法前方两节我们推导了三种不一样种类的偏微分方程并议论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式.因为这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，并且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这类方程称为二阶线性偏微分方程*）1 .在工程技术上二介线性偏微分方程碰到最多.假如一个函数拥有所需要的各阶连续编导数，并且代入某偏微方程中能使该方程变为恒等式，则此函数称为该方程的解.因为每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出合适初始条件和界限条件的解.初始条件和界限条件都称为定解条件.求一个偏微方程知足定解条件的解的问题称为定解问题.只有初始条件，没有界限条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）；而没有初始条件，只有界限条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件也有界限条件的定解问题称为混合问题.一个定解问题提得能否切合实质状况，自然一定靠实质来证明，但是从数学角度来看，能够从三方面加以查验. 1）解的存在性，即看所结出来的定解问题能否有解；2）解的独一性，即看能否只有一个解；3）解的稳固性，即看当定解条件有细小改动时，解能否相应地只有细小的改动，假如*）二阶线性编微分方程能够按它们的二阶导数的系数的代数性质进行分类，在§中所推导的颠簸方程属于双曲型,拉普拉斯（或泊松）方程属于椭圆型，热传导方程属于抛物型，对于二阶线性偏微分方程的分类方法,读者可参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》（第二版，上海科学技术第一版社第一版）第一章§5.确立这样，此解便称定的，否所得的解就无用价 .因定解条件往常是利用方法得的，因此所获得的果， 有必定的差，假如所以而解的很大， 那么种解然不可以切合客的要求 .假如一个定解存在独一且定的解，此称适定的，在此后中我把着眼点放在定解的解法上， 而极少它的适定性， 是因定解的适定 性常常十分困，而本所的定解都是古典的，它的适定性都是了然的 .习题一1. l 的平均杆，面，一端温度零，另一端有恒定流 q 入（即位内通位截面流入的量q ），杆的初始温度散布是x(ix)，写出相的定解.22. l 的弦两头固定，开始在xc 遇到冲量的作用，写出相的定解.有一平均杆，只需杆中任一小段有向位移或速度，必致段的或伸，种仲开去，就有波沿着杆播，推杆的振方程 .4.一平均杆原l ，一端固定，另一端沿杆的方向被拉e 而静止，忽然松手任其振，成立振方程与定解条件.若F(z),G(z)是随意二可微函数，uF(xat)G(xat)足方程2ua2 2ut 2x 26.若函数u 1(x,t),u 2(x,t), ,u n (x,t),⋯均性次方程2up2uq u r ux 2t 2xt的解，此中p,q,r 不过x,t 的函数，并且数uu k (x,t)收，并x,t 能够行两次k 1逐微分，求数uuk(x,t)足原方程（个叫做性次方程的叠加原理）.k1。
数学物理方法1-1数学物理方程及其定解条件资料讲解
9
教学基本要求
掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法；
熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等；
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
由
cos12
4
2! 4!
略去 和 ' 的所有高于一次方的项时，就有
cos1, cos' 1 u
T'
代入式 T c o s T 'c o s' 0
便可近似得到： T T '
M'
'
ds
M
gds
T
在u方向弧段 M M ' 受力总和为
N
N'
O
x
x dx
x
TsinT'sin'g d s,
其中， gds 是 M M ' 的重力。
第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
数学物理方程学习指导书第3章经典方程的建立和定解条件.docx
第3章经典方程的建立和定解条件在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先耍弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方而要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程; 另一方面耍把一个特定的物理现彖本身所貝•有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件.定解条件提岀具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题.3. 1经典方程的建立在本节，我们将通过儿个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程构成我们的主要研究对彖.经典方程的导出步骤：（1）确定出所要研究的是哪一个物理Mw；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统小分割出一小部分，再根据相应的物理（力学）规律分析邻近部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次耍因素, 即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小），这种相互作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量M（3）把这种关系用数学算式（方程）表达出來，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，虽然是一个古典问题，但対于初学者仍然貝-有一定的启发性.设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而几除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响，下面研究弦的微小横向振动，即假定全部运动岀现在一个平而上, 而R 弦上的点沿垂直于兀轴的方向运动（图3-1）.设弦上具有横坐标为兀的点，在时刻门I寸的位笠为M,位移NM记作显然，在振动过程中位移u是变量兀与r的函数u（x,z）.现在來建立位移M满足的方程.我们把弦匕点的运动先看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况.在弦上任取一弧段M M',其长为ds ,设Q是弦的线密度，弧段亦'两端所受的张力记作T, T',现在考虑孤段麻在(时刻的受力情况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的 质量乘以该方向上的加速度.在兀轴方向弧段受力的总和为-Tcosa + rcosa\由于弦只作横向振动，所以T cos a-T f cos a f = 0.(3.1)如果弦的振动很小，并R 在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即则由遇―1-兰+必2! 4!可知，当a 为无穷小量时，cosa 与1的差量是a 的高阶无穷小量，可以略去不计，因此当a « 0,a f总 0 时cos a «l,cosa r«1代入(3.1)式，便可近似得到在u 方向弧段受力的总和为-Tsma + rsm^-pgds,其中Q 是单位弧段的质量,-pgds 是弧段槪M'的重力.乂因当a «0, a z «0时• tgadu(x,t)sm a = ,« tga = --------- ,「L 小弧段在吋刻f 沿"方向运动的加速度为空?小弧段的质量为pgds,所以ot上式左边方括号内的部分是由卄产生必的变化而引起的警^改变量，可用微分代替，即sina f= tga 1=5w(x +rfx,Z) dx -T sin a + T r sin a f一 pgds « pdsd 2u(x 9t) dt 2(3.2)du( x + dx^t) du(兀91) dx dxd 2u(Xyt)dt 2-dx ydu(x^dxyt) du(Xyt) d du(x 9t)T d 2u(x^t) d 2u(x 9t)厂L —月2一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即h 耍比g 人得多，所以乂可以把g 略去•dt经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出u(x,t)应近似地满足方程d 2u 2Q 纭 —r = a —7 dt 2 dx 2T这里的/ =_.式(3 3)称为-维波动方程.P如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长度所受外力的F(x,O,显然,在这里(3.1)及(3.2)分别为T' cos a r-T cos a = 0,利用上面的推导方法并略去弦木身的重屋，可得弦的强迫振动方程为其中于(兀昇)=—F (兀昇)・P方程(3.3)与(3.3)'的差别在于(3.3)'的右端多了一个与未知函数"无关的项, 这个项称为自由项，包含有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为 齐次方程.(3.3)为齐次一维波动方程，(3.3)'为非齐次一维波动方程. 例2传输线方程対于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流和等•但对于较 髙频率的电流(指频率还没有髙到能显著地幅射电磁波的情况)，电路屮导线的自感和电容于是dx dx dxdx 2丁飞厂一 P gdx= d^u^dx"dx 2(3.3)Fds -Tsina + T rsin a' 一 pgds « pdsd 2ud 2ud 2udx 2+ /(3), (3.3)'的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等.现考虑一來一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体(图3・2).在具有分布参 数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i 与电压”來描述，此处i 与v 都是工“图3-2的函数，记作i(x.t)与卩(兀』)，以R, L, C, G 分别表示下列参数：R ——每一回路单位的趾m 联电阻，L ——每一回路单位的串联电感， C ——每单位长度的分路电容， G ——每单位长度的分路电导.根据基尔霍夫第二定律，在长度为Ax 的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v-(v + Av) = RAxi+ZAx •色. dt而G Ax, dx 故上式可写成另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点工的电流应等于流出该节点的电流，即i = (i + A/) + CAx — + GAx • vdt将方程(3.4)与(3.5)合并，即得i 与v 应近似地满足如下方程组2+C 空+ G —0, dx dtdv 一 + dxdv~d xu-Ri-L di dT(3.4)dx dt (3.5)这两个方程称为高频传输线方程.若令a 2= — 这两个方程与(3.3)完全相同•由此可见，同一个方程可以用來描述不同的LC物理现彖，一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论屮, 还要研究高维的波动方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度E 与磁场强度H 以及电感应强度D 与磁感应强度B 来描述，联系这些最的麦克斯韦(Maxwell)方程组为为了确定函数i 与y ，将方程(3.5)对兀微分，同时在方程(3.4)两端乘以C 后再对f 微分, 并把两个结果和减，即得&唱LC書吧严将(3.4)中的?代入上式，得dxd 2i dx 2口2 • •=LG^ + (RC + GL)^GRi,(3.6)这就是电流「近似满足的微分方程，采用类似的方法从( 3.4)与(3.5)中消去i 可得电压卩 近似满足的方程空=EG 竽+ (/?C + GD 空+ GM, dx2dt 2 dt(3.7)方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.根据不同的具体情况，对参数R 丄,C,G 作不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式.例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效M 可以忽略不计，也就是 说可令G = R = 0 ,此时方程(3.6)与(3.7)可简化为d 2i 1 d 2idt 2 LC dt 2rotH = <7 +dD~dt(3.8)dB ~d t(3.9)其小/为传导电流的体密度，Q 为电荷的体密度.这纟F1方程还必须与下述场的物质方程D = eE 9 (3.13) J = bE ，(1.14)相联立，其小£是介质的介电常数，“是导磁率，b 为导电率，我们假定介质是均匀而且 是各向同性的，此时£，“，b 均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同吋包含有E 与H,从中消去一个变量，就可以得到关于另一•个变 量的微分方程,例如先消去H,在(3,8)式两端求旋度并利用(3•⑵与(3.14)得Qrot rotH = £ — rotE + arotE.dt将(3.9)与(3」3)代入得而rof rotH = grad div-V 2H^U divH = —divB = 0,所以最后得到H 所满足的方程为同理，若消去H 即得E 所满足的方程L D d 2E dEW 珊灵+叩莎.如果介质不导电(b = 0),则上面两个方程简化为(3.15)与(3.16)称为三维波动方程.若将三维波动方程以标量函数的形式表示岀來，则叮写成(3.12) B*H, 9H“口…dH越一弘話d 2H d 2H=—V 2H,(3.15)d 2E(3.16)2 1具屮d =—，"是E或H的任意一个分量.从方程(3.11)打(3.12)还nJ以推导出静电场的电位所满足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3」1)得divD — divsE - sdiv E = p y而电场强度E与电位M之间存在关系E = -graduy所以可得div(gradu)=e或V2w = - —, (3.18)e这个非齐次方程称为泊松(Poisson)方程.如果静电场是无源的，即p = 0,则(3.⑻变成V2w = 0, (3.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程.例4热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一•样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导•在工程技术上有许多传热问题都要归结为求物体内温度的分布，现在我们来推导传热过程中温度所满足的微分方程，与上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该先考虑一个区域的温度•为此，在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记作V (图3-3) •假设在时刻区域V内点M(x9y9z)处的温度为w(x, , /i为曲面元素AS的外法向(从V内指向V外).图3-3由传热学可知，在［t.t + At ］时间内，从AS 流入区域V 的热量与吋间而积AS, 以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即A0 = A: —ASA/ = k(grad u dn=k(grad u )• ASAZ ・其中R 称为物体的热传导系数，当物体为均匀导热体时，R 为常数.于是，从时刻人到时刻通过曲而S 流入区域"的全部热量为0, = |2jj kgrad u dS dt.流入的热量使V 内温度发生了变化，在时间内区域V 内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+At),则在At 内V 内温度升高所需要的热虽为JJJ cp[u(x,y,z 9t + A/)一 u(兀,y, z, t)]dVV从而从时刻厶到时刻(2，由于温度升高所吸收的热最为其中C 为物体的比热，Q 为物体的密度，对均匀物体来说，它们都是常数. 由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即此式左端的曲面积分中S 是封闭曲面，可以利用奥■高公式将它化为三重积分，即JJ kgradudS = JJj kdiv (gradu)dVsv因此有r fIff ^udv\dt = f ［ ffj cp^-dv\dt.(3.20)1L y 」1L v由于时间间隔及区域V 都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左 右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即)H ASAZ叮IffradudS dt^a 2=— •方程(3.21)称为三维热传导方程. cp若物体内有热源，其强度为F(x,y 9z)，则相应的热传导方程为其中/ =—・cp作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆(或一块薄板)，或者即使不是细杆(或薄板) 而其中的温度"只与兀昇(或x.y.t )有关，则方程(3.21)就变成一维热传导方程du 2 52w—=;dt dx 2或二维热传导方程du 2( 52w d 2u^ —=a — ---------------- r ■dt \dx dy ?如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程屮物体的温度趋于某种平衡状态，这时温度U 已与时间r 无关，所以竺=0,此时方程(3.21)就变成拉普拉斯方程(3.⑼.由此叮见稳恒 dt 温度场内的温度w 也满足拉普拉斯方程.在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方 程完全相同.3・2初始条件与边界条件上而所讨论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来•除此以外，我们还需要把 具体条件也用数学形式表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件Z 下 的.例如弦振动问题，上节所推导出来的方程是一切柔软均匀的弦作微小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻物状态以及弦所受的约朿情况.如果我们不 是泛泛地研究弦的振动，势必就要考虑到弦所具有的特定条件•因为任何一个具体振动现象 总是在某时刻的振动状态和此时刻以前的状态有关，从而就与初始时刻的状态有关.另外， 弦的两端所受的约束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不同会产生不同的影响，因而 弦的振动也不同.所以对眩振动问题来说，除了建立振动方程以外，还需列出它的具体条件. 对热传导方程，拉普拉斯方程也是如此.提出的条件应该恰恰能够说明某一具体物理现彖的初始状态以及边界上的约束情况，du ~d t+ /(兀，” z ，f)，化.由于从杆外通过杆端流入杆内的热量为R 理 on AS AZ (K 中M 为时间间隔，AS 为杆x=a用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件•用以说明边界上的约束悄况的条件称为边界 条件.下面具体说明初始条件和边界条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题來说, 初始条件就是弦在开始时刻的位移及速度，若以(p(x)^(x)分别表示初位移和初速度，则 初始条件可以表达为而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时刻物体温度的分布悄况，若以(p(M)表 示(=0时物体内任一点M 处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)[=Q =(p(M). (3.23) 泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件. 再谈边界条件.如果边界条件直接给出了未知函数在边界S 上的值，以s 表示边界S 上的动点，则这样的边界条件可表为或简写成(3.24)这种边界条件称为第一类边界条件，其中表示在边界S 上给定的已知函数.例如，在杆的导热问题中，若在端点x = a 处温度保持为常数如，这时在端点x = a 的边界条件为若在端点x = «处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的边界条件为U = f(t).x=a " ' “又如在弦振动问题屮，若弦的某端点x = a 是固定的，则在该点的位移为零，即u = 0・x=a以上都是第一-类边界条件的例子.总Z,第一类边界条件直接给出了未知函数在边 界S 上的值 但在许多情况下，边界上的物理条件并不能用第一类边界条件来描述.例如，在杆的导 热问题中，若杆的一端x = «绝热，那末绝热这个条件就不能直接给出杆的端点处的温度变du dt = ^(x) (3.22) /=0的截面积，死为杆在端点x = a 处的外法向，若x = a 是杆的左端点，〃的正向与兀轴正向dudu du du 相反，则丁 = 一丁，若x = a 是杆的右端点，则死的正向与兀轴正向相同，则丁 =—）,on ox on dx 所以绝热这个条件可以表达为若在单位时间内通过工端单位面积流入杆内的热量是f 的已知两数/（f ）,则这个条件 可表示为对于弦振动问题來说，如果弦在x = a 处是自由的，即沿看位移方向不受外力，则此时 弦在x = a 处沿位移方向的张力（参照3.1屮例1的推导）为总之，冇时边界条件必须表达为(3.25)的形式，其中徑表示函数沿边界外法向的变化率，这种边界条件称为第二类边界条件.Oil除了上述两类边界条件外，有时还会遇到其他形式的边界条件.例如在杆的导热热问题 中，若杆在某个端点兀=4自由冷却，那末自由冷却这个条件就是（其中幻为周围介质的温度）即 （，加）u + h —— =u. h- 1加丿L < Hdu dn ASA/ = 0, x=adudxdudn dudnx=a这是由于在单位时间内从周围介质传到杆的x=a 端单位面积上的热量与介质和杆端的温考3.1中例4）.对于有界杆（0<x<Z ）,若两端都是口由冷却，则在x = l 处，上述条件可表为在兀=0处，这个条件可表为度差成正比, 而在单位时间内通过x = a 端单位血枳传向杆内的热量与 du 成正比（参x=a•般地，这种边界条件的形式为(3.26)这样的边界条件称为第三类边界条件. 不论哪一种边界条件，如果它的数学表达式屮的右端自由项恒为零，则这种边界条件 称为齐次的.3.3定解问题的提法前面两节我们推导了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与它们相应的初始条件与边 界条件的表达方式•由丁•这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，而口它们 对于未知函数及其各阶偏导数來说都是线性的，所以这种方程称为二阶线性偏微分方程。
第3章经典方程的建立和定解条件
t
的已知函数，H 为常系数．
9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u( x, y, z,0) ( x, y, z)
2 边界条件
（9.2.6）
第一类: 已知任意时刻 t (t 0) 边界面 上的温度分布
u ( x, y, z, t ) | f (, t )
x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h
u
，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
h
l x
ut ( x, t ) |t 0 ut ( x, 0) 0
初始位移如图所示
h x (0 x l ) b u ( x, 0) h (l x) (b x L) l b
(9.2.7)
直接给出函数u 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.
2. 第二类
已知任意时刻 t (t 0) 从外部通过边界流入物体内的热量。
设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为 (, t ) 考虑物体内以边界上面积元 dS 为底的一个小圆柱体，
.
如图9.10所示. 物体内部通过 dS 流入小柱体的热量为
从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.
9.3 数学建模——稳定场方程类型的建立 9.3.1 数学建模——稳定场方程类型的建立 1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U 2U 2U x 2 y 2 z 2 0
(9.3.1)
9.4.1 定解条件和定解问题的提法 边界条件的类型 除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之 外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件．
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0 ; 0
cos 1 ; cos 1
sin tg 1 tg 2
tg 1 tg 2
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(ut t g)
u x
u x
x
tg
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
不含初始条件 不含边界条件
1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （建立偏微分方程并求解）
目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。
步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；
u L
v v dx x
L
C
di dt
电容上的电流：
x dx
i C
c
du dt
c
由基尔霍夫电压定律:
由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
(1.4)
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos T cos 0
(1) (2)
T sin T sin d s g ds ut t
u
T’
ds
M
M'
'
T
o N x
ds. g
N’ x+dx X
y 导 数— — 如 果 差 商 的 极 限 x
电感元件：
di L uL L dt
dL dt L Li uL di uL L dt 1 i udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
数学物理方程与特殊函数
与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流
T T
T( u x
x dx
u x ) d x ut t x
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
ds dx ，即长度 ds 在振动过程中不随时间 而变，所以张力不随时 间而变。
总之，张力既与x 无关，又与t 无关，它在振动过程中 是一个常数。
0 弃了，就是说，它们都消失为 0 y，从而有限大小的 Δx 和 Δy 都被克服，差商 变成了 x 0
但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。 我们记扬弃了的（或消失了的）
x d x
那末，导数就是
y d y
dy f ( x ) , 或 是 dy f ( x )dx dx
－
L
–
L
v dx x
u L
L
x
v Gdx v dx x
di dt
C
电容上的电流：
x dx
i C
C
du dt
C
由基尔霍夫电压定律:
v i L Ri 0 x t
由基尔霍夫电流定律:
i ( x, t ) (Cdx)
整理后得到：
；
右端:
x dx v
v i dx i dx x x
i x, t
+ -
v x, t
R
L
＋
i +
C L
v v dx x Cdx t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－
–
i dx x L
v dx x
duC iC C dt
x
v Gdx v dx x
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
4、整理化简
T(
u x
x dx
u x ) dx ut t x
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) x x x
u( x dx, t ) u( x, t ) u x x
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
① 对于小振动：
0 ; 0
u
ds
M M
T’
所以有：
cos 1 ; cos 1
1 tg 2 se c2 1 1 cos2
u x
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律） 3、忽略与近似（待完成）
4、整理化简（待完成）
T、T — —微元dS 两端所受张力
— —细弦的线密度（单位 长度内的质量）
u
g — —重力加速度
T’
ds
M
M'
'
T
o N x
ds. g
N’ x+dx
隔离物体法
X
1、建立坐标系
选定微元
T
o
N
ds.g
sin
M
tg 1 tg 2
tg
x
x
sin
x
x dx
tg 1 tg 2
tg
u x
x dx
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1)
(2)
T sin T sin ds g ds ut t
y f ( x1 ) f ( x ) lim x 0 x x1 x x1 x lim
存在，这个极限就称为 f ( x ) 在 x 点的导数。 函数
导数
马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃” 是 指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy 和分母Δx 都被 扬
数学物理方程与特殊函数
数学物理方法
第一章
思路
一些典型方程和定解条件的推导
Caculations of Some Typical Eqations with Difinitec Conditions
提要：
一. 均匀弦的横振动方程的建立 二. 传输线方程(电报方程)的建立
三. 电磁场方程的建立
四. 热传导方程的建立 五. 举例
i 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？
“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即
i ( i di ) Cdx v Gdx v t
P 5 (1.5)
”是否合理？
Rdx
二. 传输线方程(电报方程)的建立 设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和 电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元 件无论布局如何，均认为其长度为 dx. 设某时刻 t ，对应关系如下： 左端：
输入端
x v x, t i x, t
i ( x, t )
Ldx
P
＋ ● －
i + di
C L
P——电路的结点
+
Rdx
- v ( x.t )
Cdx
Gdx C
– v dv
L
i i di
电路中的瞬时电流 1、建立坐标系 选定微元
x
●
x dx
2、微元的电路方程
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
(G C
j )v 0 t x
将 G C
作用于第一式, 作用于第二式,两结果相减,就消去了 v 而得 j 的方程 t t
j 2 j 2 j RGj ( LG RC ) LC 2 0 t t x2
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v 2v 2v RGv ( LG RC ) LC 2 2 0 t t x
令
T
既然d x 很小，这个增量不妨用 微分替代。
a2
，于是有：
a ux x ut t
2
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff） 定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未 高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电 容的效应不 能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。 现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。
i x, t
i v C Gv 0 x t
i + i dx x
+ v x, t -
Rd x
Ld x
＋
电感上的电压：
v v dx x Cdx t
－
C
L
–