河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷含详解
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试卷(Word版,含答案)
= 1, ①
当 n=1 时，由①式可得 S1 = 1;
当 n 2 时,有 an = Sn − Sn−1, 带入①式，得 2Sn (Sn − Sn−1) − (Sn − Sn−1)2 = 1,
整理得 Sn2
−
S2 n−1
= 1.
所以 Sn2 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， Sn2 = 1+ n −1 = n.
圆 O 交于点 Q,设 POQ = x, 弓形 PmQ 的面积 S = S ( x) ，那么 S ( x) 的图象大致是
10.已知函数 f ( x) = x2 − 2ln x 与 g ( x) = sin (x + ) 有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函
数 g(x)=
A.
sin
衡水中学 2019 届高三上学期二调考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）
1.设集合 M = x log2 (x −1) 0, 集合 N = x x −2, 则 N M = A.x −2 x 2 B.x x −2 C.x x 2 D.x 1 x 2
B.当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 3 个零点
·2·
C.无论 k 为何值，均有 3 个零点
D.无论 k 为何值，均有 4 个零点
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知函数
f
(x)
=
1 2
x2
+
x
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
A． 向左平移 个单位 B． 向右平移 个单位
C． 向左平移 个单位 D． 向右平移 个单位
【答案】B
【解析】
设出将函数y=sin（2x+ ）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣ 代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．
所以BC＝ ×sin∠BAC＝ × ＝6，
于是CD＝ BC＝3．
在△ADC中，AC＝2 ，cosC＝ ，
所以由余弦定理，得
AD＝
＝ ＝ ．
即中线AD的长为 ．
19．如图，抛物线 的焦点为F，准线 与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心， 为半径作圆，设圆C与准线 交于不同的两点M，N.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 与椭圆中 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出 的值,可得 ；（2）建立 的齐次关系式,将 用 表示,令两边同除以 或 化为 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
所以，点P的轨迹方程为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
10．已知 是椭圆 的左、右焦点，点M（2，3），则∠ 的角平分线的斜率为
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.3.等差数列的前n项和为，若，，则A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出．【详解】设公差为d，由，，可得，解出，．．故选：C．【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 再向左平行移动个单位长度B. 再向右平行移动个单位长度C. 再向右平行移动个单位长度D. 再向左平行移动个单位长度【答案】B【解析】【分析】现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长度得到.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 2【答案】B【解析】方程有解等价于，所以实数的最小值为66.已知数列的前n项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为A. 90B. 91C. 96D. 100【答案】B【解析】【分析】对于任意，，满足，可得，可得利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】对于任意，，满足，，．数列在时是等差数列，公差为2．，，则．故选：B．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用。
7.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，所以在区间是函数含原点的递增区间，又因为函数在上单调递增，所以，所以满足不等式组，解得，又因为，所以，又因为函数在区间上七号取得一次最大值，根据正弦函数的性质，可知，即函数在处取得最大值，可得，所以，综上可得，故选C．8.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（）A. 2488B. 2495C. 2498D. 2500【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D9.如图，半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，那么的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案．【详解】由已知中半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，弓形PmQ的面积恒成立，故为增函数，四个图象均满足又在时，，故函数为凹函数，在时，，故函数为凸函数，此时D图象满足要求．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．10.已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定义域为，①当时，，，令，解得，由，得，由，得，∴当时，.又是偶函数，∴图象关于轴对称，，∵只有个公共点，∴最大值为1．则最长周期为，即，即，则，∴，解得，故周期最大的，故选A．11.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则所以函数在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此，，，即，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行12.已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A. 当时，有3个零点；当时，有4个零点B. 当时，有4个零点；当时，有3个零点C. 无论k为何值，均有3个零点D. 无论k为何值，均有4个零点【答案】C【解析】试题分析：令,解得．令解得或．即或．解得或．时,此时方程只有一个解．所以无论为何值原函数有3个零点．故C正确．考点：函数零点．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______．【答案】，【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可．【详解】求导在区间上是单调函数，则有在恒大于等于0或恒小于等于0，若在区间上单调减，则，故即若在区间上单调增，则，,所以即综上所述，，，故答案为：，【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．14.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设（为常数），则__________．（用表示）【答案】【解析】由题意可得。
河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
2018-2019学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =g，则该双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4C.42D.439.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =u u u r，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP u u u r =1，则()BP CA CB +u u u r u u u r u u u rg 的取值范围是A. [22,0]-B. [0,22]C. [-2,2]D.[22,22]-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为 A. 1 B.2 C. 2 D.511.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. [62,62]-+B. [62,62]-+C.[2322,2322]-+D.[32,32]-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求，再求，即得结果.【详解】依题意得，故选：B【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.4．若向量，满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将已知向量的模进行平方作差运算，可得结论.【详解】∵，，，.故选C.【点睛】本题考查了向量模的运算，遇到向量的模，一般将其平方，有利于运算，本题属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，结束循环，输出，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.6．设，满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，由，解得，此时，故选C.该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为，高为的四棱锥中挖掉个半径为的球，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.8．已知命题：存在正数，使函数在上为偶函数；：对任意的，函数的值恒为正数，则在命题，，和中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，【解析】首先判断命题和命题的真假，之后应用复合命题的真值表判断各个命题的真假，得到结果.【详解】当时，函数在上为偶函数，所以是真命题.当时，，所以是假命题.故和是真命题，故选C.【点睛】该题考查复合命题的真假问题，在解题的过程中，正确判断命题和命题的真假是解题的关键.9．已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，，所以，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.10．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是锐角三角形，利用向量夹角为锐角的条件，从而转化为向量的数量积大于零，即，，找出所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得，，，因为为锐角三角形.所以，，即，，从而，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用锐角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，锐角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题目.11．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从作到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意由等比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得，最后解不等式得结果.【详解】设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为.故选：C【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.12．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据条件判断出函数在上单调递增，从而去掉绝对值符号，记，该问题转化为在上单调递增，故在上恒成立，之后有在上恒成立，转化为最值来求解.【详解】当时，在上单调递增.则，因为，所以.记，因为，所以，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立，则，故有，因为，使成立，所以，即.【点睛】该题考查导数与不等式恒成立的综合问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，该题也可以转化为来求解，属于中档题目.二、解答题13．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求；（2）已知，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，结合角B的取值范围求得结果；（2）利用题中所给的条件，结合（1）的结论，求得三角形的相应的边，之后应用直角三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得.因为，所以，从而，所以，所以.（2）因为，，，所以，所以的面积.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，已知三角函数值求角，直角三角形的面积，属于简单题目.14．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；.（2）【解析】（1）由已知条件，利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组，能求出数列的通项公式；（2）利用题的条件，求得，从而应用裂项相消法求得.【详解】（1）由题意，.设公差为，公比为，则，解得.故；.（2）因为，所以，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式的求解，以及应用裂项相消法对数列求和，属于中档题目.15．如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）设，利用椎体的体积公式求得，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：设，则，四面体的体积.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，四面体的体积取得最大值.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.16．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.【解析】（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.【详解】（1）直线的一般方程为.依题意，解得，故椭圆的方程式为.（2）假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.由，得.由，得.记，的坐标分别为，，则，，而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，即，所以，整理解得或，所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，满足，证明：.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）首先对函数求导，对参数的范围进行讨论,求得函数的单调性；（2）根据，得到，构造新函数，求导研究函数的单调性，进而证得结果.【详解】（1）因为，所以.①当时，在上恒成立，故函数在上单调递增.②当时，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，由，得有两个不同的解，所以有，即，所以，不妨设，则，欲证，只需证，令，，，所以在上是增函数，，所以，即，，因为，又在上是减函数，所以，所以，所以.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论思想的应用，再者就是根据题意构造新函数，通过研究函数图象的走向证得结果.18．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中.曲线的方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）点为曲线上一动点，点为曲线上一动点，试求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）运用代入极坐标方程，可化为普通方程，得到结果；（2）由（1）知，曲线的圆心为，半径为2的圆，利用椭圆的参数方程设，求出点P到圆心的距离的最小值减半径求得结果.【详解】（1）将代入极坐标方程，得曲线的普通方程为.（2）由（1）可设，因为曲线是一个圆，其圆心为，，所以.又，故当时，，，【点睛】该题考查的是有坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，椭圆的参数方程的应用，圆外一点与圆上的点的距离的最小值的求法，属于常考的题型.19．[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】（1）首先将代入函数解析式，之后应用零点分段法求绝对值不等式的解集；（2）将问题转化为在时恒成立，化简得，即或对任意的恒成立，之后转化为最值来处理.【详解】（1）当时，，故等价于或或，解得或.故不等式的解集为或.（2）当时，等价于，即，即或对任意的恒成立.又，，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的有关问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题目.三、填空题20．已知函数，则的定义域为__________.【答案】【解析】首先根据分式、偶次根式和对数式有意义的条件，列出所满足的不等式组，最后求得结果，注意定义域的条件，必须写成集合或者区间.【详解】因为，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.21．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.【答案】【解析】先根据余弦定理得，再根据直角三角形求结果.【详解】因为，所以，结合化简得，从而有，即在为直角三角形，将，代入，得，于是，所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.22．在数列中，，，则_________.【答案】【解析】由已知中数列的首项以及数列的递推公式，可求得的值，得到数列是周期数列并求得其周期，从而求得，代入求得结果.【详解】因为，，所以，，，，则数列是周期为的数列，故.因为，所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式解决数列的问题，属于简单题目.23．已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。
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2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,)【答案】D【解析】先将抛物线的方程化为标准方程形式x2=y，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．【详解】∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：D．【点睛】根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误．2．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F1F2|=4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【详解】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
3．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．【详解】假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称∴将x=﹣代入得到sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，当k=0时，ρ=﹣，向右平移，故选：B．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.4．函数的图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．【详解】令y=（2x﹣1）e x=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，当x→﹣∞时，e x→0，所以y→0，故排除B，故选：A．【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．【考点】空间几何体的三视图.6．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为A．B．C．2 D．3【答案】C【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=3，即可求得结论．【详解】由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=∵∴两式相减可得,∵k PA •k PB =3，∴∴∴e=2故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．7．7．已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ． 32C ． 1D ． 2 【答案】D【解析】解析：设抛物线的焦点为()0,1,F AB 的中点为M ，准线方程为1y =-，则点M 到准线的距离()11322d AF BF AB =+≥=，即点M 到准线的距离的最小值为min 3d =，所以点M 到x 轴的最短距离/min 12min d d =-=，应选答案D 。
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试卷含答案解析
河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则（）M ={x |log 2(x−1)<0}N ={x |x ≥−2}M ∩N =A. B. C. D. {x |−2≤x <2}{x |x ≥−2}{x |x <2}{x |1<x <2}【答案】D 【解析】由题意得，M ={x|0<x ‒1<1}={x |1<x <2}∴．选D ．N ∩M ={x |1<x <2}2.已知，则（）sin (π5−α)=14cos (2α+3π5)=A. B. C. D.−787818−18【答案】A 【解析】由题意可得：cos (2α+3π5)=cos 2(α+3π10)=cos 2[π2−(π5−α)]=2cos 2[π2−(π5−α)]−1=2sin 2(π5−α)−1=−78.本题选择A 选项.3.等差数列的前n 项和为，若，，则 {a n }S n a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7S 13=(A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出．【详解】设公差为d ，由，，可得，解出，．a 3+a 7‒a 10=5a 11‒a 4=7{a 1‒d =57d =7a 1=6d =1．∴S 13=13×6+13×122×1=156故选：C ．【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式是解题的关键．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点y =2sin 2x y =2cos (2x−π4)A. 再向左平行移动个单位长度B. 再向右平行移动个单位长度π4π8C. 再向右平行移动个单位长度D. 再向左平行移动个单位长度π4π8【答案】B 【解析】【分析】现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长y =2sin 2x =2cos (2x−π2)y =2cos (2x ‒π4)π8度得到.故选B.2cos [2(x−π8)−π4]=2cos (2x−π2)=2sin 2x【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）x log 13(a−3x )=x−2a A. 4 B. 6C. 8D. 2【答案】B 【解析】方程有解等价于，所以实数的最小log 13(a ‒3x )=x ‒2(13)x−2=a−3x ⇒a =(13)x−2+3x ≥2(13)x−2×3x =6a 值为66.已知数列的前n 项和为，，，且对于任意，，满足，{a n }S n a 1=1a 2=2n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)则的值为 S 10A. 90 B. 91 C. 96 D. 100【答案】B 【解析】【分析】对于任意，，满足，可得，可得n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．a n +1‒a n =2.【详解】对于任意，，满足，∵n >1n ∈N ∗S n +1+S n ‒1=2(S n +1)，∴S n +1‒S n =S n ‒S n ‒1+2．∴a n +1‒a n =2数列在时是等差数列，公差为2．，，∴{a n }n ≥2a 1=1a 2=2则．S 10=1+9×2+9×82×2=91故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种S n a n a n S n−1方法需要检验n=1时通项公式是否适用。
2019届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 是的共轭复数，若为虚数单位），则（）A．______________ B．_________ C．________ D．2. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）A．________________ B．___________ C．___________________ D．3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（）A．日_________ B．日________ C．日 D．日4. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．_________ B．______________ C． ______________D．5. 动点满足，点为为原点，，则的最大值是（）A． B． C． D．6. 如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（）A． B．C． ________ D．7. 已知函数是奇函数，其中 ,则函数的图象（）A．关于点对称B．可由函数的图象向右平移个单位得到C．可由函数的图象向左平移个单位得到D．可由函数的图象向左平移个单位得到8. 中，若，则（）A． B．C．是直角三角形 D．或9. 已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（）A．________ B．___________ C．_________D．10. 如图，正方形中，是的中点，若，则（）A．________________ B．______________ C． ___________ D．11. 已知函数，在处取得极大值，记 ,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（）A．？______________ B．？________________ C．？________ D．？12. 已知满足，则（）A．_________ B．________________ C．________________ D．二、填空题13. 数列满足：，且对任意的都有：，则 _________ ．14. 在中，，则的值为 _________ ．15. 在中,角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的最大值为 _________ ．16. 已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是_________ ．三、解答题17. 在中,角、、所对的边分别为、、 ,且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18. 设数列的前和为， .（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数 ,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说明理由；（3）设 ,若不等式,对恒成立, 求的最大值.19. 如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点 ,点在单位圆上, 且 .（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形.①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；②设 , 点 ,且 ,求关于的函数的解析式, 并求其单调增区间 .20. 已知函数 .（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）已知 ,当时, 有两个扱值点 ,且 ,求的最小值 .21. 在单调递增数列中, ,且成等差数列,成等比数列， .（1）① 求证：数列为等差数列；② 求数列通项公式；（2）设数列的前项和为 ,证明: .22. 选修4-1：几何证明选讲如图, 是圆上两点, 延长至点 ,满足 ,过作直线与圆相切于点的平分线交于点 .（1）证明: ；（2）求的值.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数与曲线交于点 .（1）求曲线 , 的普通方程；（2）是曲线上的两点, 求的值.24. 选修4-5：不等式选讲已知 .（1）求证: ；（2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（ ） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标 原点为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点． （ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】 求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】 解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0， 解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ， 故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+
河北省衡水市第二中学2021届高三上学期期中考试理科数学试题
河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{2}A x x x =，5{|1}3B x x =+<，则AB =（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(,2)-∞ C ．(0.)+∞ D ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．已知函数()()2log 31,02,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()3f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若向量a ，b 满足22a b a b -=+=，则a b ⋅=（ ）A ．54B ．34C ．34-D ．54- 5．执行如图所示的程序框图，若输入的27x =，则输出的x =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．92-B ．3C ．6D ．87．如图所示，网格纸上小正方形的边长为I ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．643- B．643- C ．6483π- D ．6443π- 8．已知命题1p ：存在正数a ，使函数22x x y a -=+⋅在R 上为偶函数；2p ：对任意的x ∈R，函数sin cos y x x =++则在命题112:q p p ∨，212:q p p ∧，()312:q p p ⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q 9．已知042a ππβ<<<<，且sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ）A．10- B．5- C．5 D10．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．2π⎛ ⎝⎭C ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．数列{}n a 中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项……以此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值为( )A ．27B ．26C ．21D ．20 12．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对()1212,[2,)x x x x ∀∈+∞≠，31,2a ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()1212f x f x m x x ->-成立，则m 的取值范围是（） A ．[2,)+∞B ．(-∞C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13．已知函数2()log (2)f x x =-，则()f x 的定义域为__________. 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c=，cos BC =，a =ABC S ∆=____.15．在数列{}n a 中，112a =，111n n n a a a ++=-，则48S =_________. 16．已知体积为643的正四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，其中O 在四棱锥P ABCD -内部.设球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为3R ．过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos sin b A B =.（1）求A ；（2）已知a =2C π=，求ABC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 与公比为正数的等比数列{}n b 满足112322,10b aa b ==+=，327a b +=．（1）求{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若()()111n n n n n n b c a b a b +++=+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．如图所示，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC，2AB BC AC ==，且4AD BC +=.（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值.20．已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 21．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 满足12()()1f x f x ==，证明：2122x x e +>.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中.曲线1C 的方程为2211612x y +=，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为22cos 30ρρθ--=.（1）求曲线2C 的普通方程；（2）点P 为曲线1C 上一动点，点M 为曲线2C 上一动点，试求||PM 的最小值. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2|1(0)f x x a x a =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()260f x x +->对任意的[3,1]x ∈--恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为()0,2A =，2,3B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭，所以(),2A B ⋃=-∞， 故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．B【分析】先求()3f -，再求()()3ff -，即得结果. 【详解】依题意得()31f -=，()()()()231log 312ff f -==+= 故选B【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.4．C【解析】【分析】将已知向量的模进行平方作差运算，可得结论.【详解】 ∵2a b -=，1a b +=，22||a b a b +--= 4143a b ⋅=-=-，34a b ∴⋅=-. 故选C.【点睛】本题考查了向量模的运算，遇到向量的模，一般将其平方，有利于运算，本题属于基础题. 5．B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入27x =，第一次循环，3y =，3x =；第二次循环，1y =，1x =；第三次循环，0y =，结束循环，输出1x =，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.6．C【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当0,3x y ==时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当:20l x y +=平移到过点A 时z 达到最大，由239030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()0,3A ，此时max 6z =， 故选C.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z 的几何意义，从而求得结果.7．A【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为4，高为4的四棱锥中挖掉18个半径为故该几何体的体积为(3211444383π⨯⨯-⨯⨯=，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.8．C【解析】【分析】首先判断命题1p 和命题2p 的真假，之后应用复合命题的真值表判断各个命题的真假，得到结果.【详解】当1a =时，函数22x x y a -=+⋅在R 上为偶函数，所以1p 是真命题. 当54x π=时，0y =，所以2p 是假命题.故1q 和4q 是真命题， 故选C.【点睛】该题考查复合命题的真假问题，在解题的过程中，正确判断命题1p 和命题2p 的真假是解题的关键.9．D【分析】首先根据sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos 5αα-=，所以sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为42a ππ<<，所以cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3410510510=+=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围. 10．B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是锐角三角形，利用向量夹角为锐角的条件，从而转化为向量的数量积大于零，即0OA OB ⋅>，0AB AO ⋅>，找出ω所满足的条件，最后求得结果. 【详解】由题意得()0,0O ，,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭，3,12B πω⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为OAB ∆为锐角三角形. 所以0OA OB ⋅>，0AB AO ⋅>，即223104w π->，22202wπ-+>，从而2πω<<， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关利用锐角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，锐角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题目. 11．C【分析】根据题意由等比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得n S ，最后解不等式2000n S >得结果.【详解】设满足2000n S >的最小正整数为n ，项n a 在图中排在第i 行第j 列（*,i j N ∈且j i ≤），所以有()()()()21231231231231i j n S -=-+-+⋯+-+-()()()2312333321231i j i -=+++⋯+--+- ()()3321231i j i =---+-323232000i j i =+⋅-->，则6i ≥，6j ≥，即图中从第6行第6列开始，和大于2000.因为前6行共有12...621+++=项，所以最小正整数n 的值为21. 故选C 【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 12．D 【分析】首先根据条件判断出函数()21ln 2f x x a x =+在()0,+∞上单调递增，从而去掉绝对值符号，记()()g x f x mx =-，该问题转化为()g x 在()0,+∞上单调递增，故()0g x '≥在[)2,+∞上恒成立，之后有am x x≤+在[)2,+∞上恒成立，转化为最值来求解. 【详解】当31,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21ln 2f x x a x =+在()0,+∞上单调递增. 则()()12120f x f x x x ->-，因为()()1212f x f x m x x ->-，所以()()1212f x f x m x x ->-.记()()g x f x mx =-，因为()()1212f x f x m x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，则()g x 在()0,+∞上单调递增，故()0g x '≥在[)2,+∞上恒成立，即0a x m x +-≥在[)2,+∞上恒成立，整理得am x x≤+在[)2,+∞上恒成立， 则min a m x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，故有22a m ≤+，因为31,2a ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使22a m ≤+成立， 所以max 22a m ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，即114m ≤. 【点睛】该题考查导数与不等式恒成立的综合问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，该题也可以转化为()'f x m ≥来求解，属于中档题目.13．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先根据分式、偶次根式和对数式有意义的条件，列出x 所满足的不等式组，最后求得结果，注意定义域的条件，必须写成集合或者区间. 【详解】 因为()()2log 2f x x =+-， 所以21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目. 14．2【分析】先根据余弦定理得222b c a +=，再根据直角三角形求结果. 【详解】因为cos B C =，所以)22222222a b c a c b ac ab+-+-=，结合c =化简得a =，从而有222b c a +=，即在ABC ∆为直角三角形，将c =，a =222b c a +=，得1b =，于是c =12ABC S bc ∆==【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 15．14 【分析】由已知中数列的首项以及数列的递推公式，可求得2345,,,a a a a 的值，得到数列是周期数列并求得其周期，从而求得48412S S =，代入求得结果. 【详解】 因为111n n n a a a ++=-，112a =， 所以23a =，32a =-，413a =-，512a =， 则数列{}n a 是周期为4的数列，故48412S S =. 因为4123476S a a a a =+++=， 所以48712146S =⨯=. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式解决数列的问题，属于简单题目. 16．4π 【分析】首项根据题意作图，根据题中所给的条件，求得底面ABCD 的边长为43R ，四棱锥P ABCD -的高是43R ，由棱锥的体积，求得3R =，分析得出过点E 作球O 的截面，截面圆面积最小时是以点E 为圆心的截面圆，从而得到半径，求得圆的面积. 【详解】如图取底面ABCD 的中心为G ，连接PG ⊥平面ABCD ，且球心O 在PG 上， 由条件知，3ROG =，连接OA ，AG ，则AG R ==， 于是底面ABCD 的边长为43R . 又OP R =，故四棱锥P ABCD -的高是43R ， 所以36464813P ABCD V R -==，即3R =，从而1OG =，223EG R ==，于是OE =过AB 的中点E 的最小截面圆是以点E 为圆心的截面圆，2=，故所求面积为4π. 【点睛】该题考查的是有关正四棱锥的外接球的问题，涉及到的知识点有锥体的体积公式，过球内一点球的截面圆面积的最小值，属于中档题目.17．（1）6A π=（2）S =【分析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到tan 3A =，结合角B 的取值范围求得结果；（2）利用题中所给的条件，结合（1）的结论，求得三角形的相应的边，之后应用直角三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A B =. 因为()0,B π∈，所以sin 0B >，从而cos A A =，所以tan A = 所以6A π=.（2）因为a =2C π=，6A π=，所以3B π=c = 6b =，所以ABC ∆的面积11622S ab ==⨯=【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，已知三角函数值求角，直角三角形的面积，属于简单题目. 18．（1）;2nn n a n b ==（2）111321n n +-++ 【分析】(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． (2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果． 【详解】(1)由题意121,2a b ==． 设公差为d ,公比为q ,则212101227d q d q ⎧++=⎨++=⎩,解得12d q =⎧⎨=⎩．故1(1)n a a n d n =+-=;112n nn b b q -==．(2)因为()()111n n n n n n b c a b a b +++=+⋅+,所以()()121221n n n n c n n ++=+++=111221n n n n +-+++,故1223111111121222223221n n n S n n +=-+-+⋯+-+++++++=111321n n +-++． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．19．（1）见证明；（2 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面ABC ，从而得到AD BC ⊥，利用勾股定理得到AB BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面ABD ；（2）设(04)AD x x =<<，利用椎体的体积公式求得()1132V f x x ==⨯ ()()232148166x x x x -=-+ (04)x <<，利用导数研究函数的单调性，从而求得43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD ⋂平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ， 所以AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥.因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=， 所以AB BC ⊥，因为AD AB A ⋂=，所以BC ⊥平面ABD .（2）解：设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-， 四面体ABCD 的体积()1132V f x x ==⨯ ()()232148166x x x x -=-+ (04)x <<. ()()21316166f x x x =-+'= ()()14346x x --， 当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减.故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值. 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，80,,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)n =-，同理可得平面BDE 的一个法向量为(1,1,2)m =-，则6==-. 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为6.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.20．（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为2y x =+或2y x =+.【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050kxkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，结合韦达定理可得到参数值.【详解】 （1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k∆=-+>，得,55k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k=+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，即(1212y y x x+ ()(()21212129k x x k x x =+++++ 0=，所以()(2225201293535kk k k k+-++++ 0=，整理解得k =或k = 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l的方程为2y x =+或2y x =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．(1)见解析；(2)见证明 【分析】（1）首先对函数求导，对参数a 的范围进行讨论,求得函数的单调性； （2）根据()()121f x f x ==，得到1212ln 1ln 10x x a a x x ---=-=，构造新函数()ln 1x g x a x-=-，求导研究函数的单调性，进而证得结果. 【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以()11ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增. ②当0a >时，由()0f x '>，得10x a <<，由()0f x '<，得1x a>， 即函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：由（1）知，0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，由12()()1f x f x ==，得()10f x -=有两个不同的解，所以有1()1f a>，即1ln 11a ->，所以21e a>， 不妨设121x x a <<，则2212e x a-<， 欲证2122x x e +>，只需证212222x x e x a>->-， 令222()()()ln ln()()F x f x f x x ax x a x a a a =--=---+-，1(0,)x a ∈， 2112(1)'()202(2)ax f x a x x ax x a-=-+=>--， 所以()F x 在1(0,)a 上是增函数，11121()ln 1ln ()0F a a a a a a=--+-=， 所以()0F x <，即2()()0f x f x a --<，2112()()()f x f x f x a =<-， 因为21121,x x a a a >->，又()f x 在1(,)a+∞上是减函数， 所以212x x a >-，所以122x x a +>， 所以2122x x e +>.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论思想的应用，再者就是根据题意构造新函数，通过研究函数图象的走向证得结果. 22．(1) 22230x y x +--= (2) min ||1PM =【分析】（1）运用222x cos x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入极坐标方程，可化为普通方程，得到结果； （2）由（1）知，曲线2C 的圆心为(1,0)，半径为2的圆，利用椭圆的参数方程设()4cos P αα，求出点P 到圆心的距离的最小值减半径求得结果.【详解】 （1）将222x cos x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入极坐标方程，得曲线2C 的普通方程为22230x y x +--=.（2）由（1）可设()4cos P αα，因为曲线2C 是一个圆，其圆心为()1,0Q ，2r =，所以min min ||2PM PQ =-.又PQ = =故当cos 1α=时，min ||3PQ =，min ||1PM =，【点睛】该题考查的是坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，椭圆的参数方程的应用，圆外一点与圆上的点的距离的最小值的求法，属于常考的题型.23．(1) {|1x x <-或5}3x > (2) (,3)(7,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】 （1）首先将1a =代入函数解析式，之后应用零点分段法求绝对值不等式的解集；（2）将问题转化为22260x a x x ++-+->在[]3,1x ∈--时恒成立，化简得4x a +>，即4a x >-或4a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立，之后转化为最值来处理. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩， 解得1x <-或53x >. 故不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >.（2）当[]3,1x ∈--时，()260f x x +->等价于22260x a x x ++-+->， 即4x a +>，即4a x >-或4a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 47x -=，()min 43x --=-，故a 的取值范围为()(),37,-∞-⋃+∞.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的有关问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题目.。
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2019年5月衡水市第二中学高三调研考试
数学（理科）
一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D. 【答案】B
【分析】
根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
2.（）
A. B. C. D. 【答案】A
【分析】
首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.
【详解】，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
3.已知，则（）
A. B. C. D. 【答案】C
【分析】
根据向量的平方与向量模的平方是相等的，结合题的条件求得结果.
【详解】因为，
所以，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关利用所给的向量的模求向量的数量积的问题，属于简单题目.
4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【详解】根据题意，循环体为“直到型”循环结构，
输入，第一次循环，，；
第二次循环，，；
第三次循环，，
结束循环，输出，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.
5.设，满足约束条件，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：
画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，
由，解得，此时，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.
6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体
的体积为（）。