九年级数学反比例函数与一次函数综合练习题(3)
九年级数学一次函数及反比例函数练习题(含答案)
一次函数及反比例函数专题训练一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、函数 y ＝x －2 自变量 x 的取值范围是＿＿＿＿。
２、如图，在直角坐标系中，矩形ABOC 的长为 3，宽为 2，则顶点A 的坐标是＿＿＿＿。
３、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。
４、直线 y ＝4x －3 过点（＿＿＿＿，0）（0，＿＿＿＿）５、已知反比例函数 y ＝－4x 的图像经过P （－2，m ），则 m ＝＿＿＿＿。
６、函数 y ＝2x，当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而＿＿＿＿。
７、将直线 y ＝3x －1 向上平移 3 个单位，得到直线＿＿＿＿＿＿＿＿。
８、已知：y 是 x 的反比例函数，且当 x ＝3 时，y ＝8。
则 y 与 x 的函数关系式为＿＿＿。
９、一次函数 y ＝－3x ＋4 的图象与坐标轴所围成的三角形面积是＿＿＿＿。
10、如果直线 y ＝ax ＋b 不经过第四象限，那么 ab ＿＿＿0（填“≥”、“≤”或“＝”）。
11、近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x （m ）成反比例，已知 400°近视眼镜片的焦距为0.25m ，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、某书定价 8 元，如果购买 10本以上，超过 10 本的部分打八折。
请写出购买数量 x （本）与付款金额 y （元）之间的关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、点 P （a ，a －2）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）A 、－2＜a ＜0B 、0＜a ＜2C 、a ＞2D 、a ＜0２、在函数 y ＝3x －2，y ＝1x＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2＋7 是正比例函数的有（ ）A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个 ３、王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的公园，与朋友聊天10分钟后，然后用15分钟返回家里。
一次函数和反比例函数综合问题(3易错7题型)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =， 故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形， 故答案为：AOB 的面积为272， （3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯， 即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长． ）解：点点点A题型一 一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值． 【详解】（1）解：一次函数1， 当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解． 【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点， 根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限； （2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+， 整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二 反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围． 题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集． ）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标． ）解：函数）函数在112y x =−中， 当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标． 坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五 一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（ ）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=， 故答案为：23； （2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =， 观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积． 【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。
一次函数与反比例函数综合练习题
一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 综 合 练 习 题1.如图是反比率函数 y ＝的图象的一支，依据图象回答以下问题：( 1) 图象的另一支在哪个象限？常数 n 的取值范围是什么？( 2) 若函数图象经过点( 3，1) ，求 n 的值；( 3) 在这个函数图象的某一支上任取点 A( a 1 ， b 1 ) 和点 B( a 2 ，b 2 ) ，假如 a 1＜ a 2 ，试比较 b 1 和 b 2 的大小．y2 如图，已知反比率函数yk与一次函数 y x b 的图象在第一象限订交于点4A(1, k4) ．x2（ 1）试确立这两个函数的表达式；（ 2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并依据图象写出使反比率函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．3 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的极点 O 与坐标原点重合，极点O24xA ， C 分别在座标轴上，极点B 的坐标为（ 4， 2）．过点 D （ 0， 3）和 E（ 6， 0）的直线分别与AB ，BC 交于点 M ， N ．（ 1）求直线 DE 的分析式和点M 的坐标；（m （ x2）若反比率函数 yx＞ 0）的图象经过点 M ，求该反比率函数的分析式，并经过计算判断点N能否在该函数的图象上；（3）若反比率函数 ymy（x ＞0）的图象与△D．．xMABMNB 有公共点，请直接 写出 m 的取值范围．ykx 2mN4.如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于点 P ，点 PyExxOC在第一象限． PA ⊥x 轴于点 A ， PB ⊥ y 轴于点 B ．一次函数的图象分别交x 轴、 y 轴于点 C 、 D ， 且 S PBD =4， OC 1 ．（ 1）求点 D 的坐标；（ 2）求一次函数与反比率函数的分析式；△OA 2x 的取值范围 .（ 3）依据图象写出当x 0 时，一次函数的值大于反比率函数的值的5 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 AB 分别与 x 、y 轴交于点 B 、 A ，与反比率函数的图象分别交于点 C 、 D ， CE ⊥ x 轴于点 E ， tan ABO1，OB4， OE 2 ．2（ 1）求该反比率函数的分析式；（ 2）求直线 AB 的分析式．6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+ b 与反比率函数ymA ，与 x的图象交于点3x轴交于点 B ， AC ⊥ x 轴于点 C ， tanABC， AB=10 ， OB=OC ．4（ 1）求反比率函数和一次函数的分析式；（2）若一次函数与反比率函数的图象的另一交点为D ，连结 OA 、 OD ，求 △ AOD 的面积．yA7．如图，直线 AB : ykx b 与反比率函数ym交于 B ，与 x 轴交于点 A ，4,C( 6,0), BCxtan OABBO 5 .5m (1) 求直线 AB 和反比率函数y的分析式；x(2) 求线段 AB 的长 .8．如图，一次函数yx 1 与反比率函数 ymA.一次函数 yx 1 与坐标交于第二象限点x1 轴分别交于 B 、 C 两点，连结 AO ，若 tanAOB.3(1) 求反比率函数的分析式；(2) 求 AOC 的面积 .9．如图 ,已知在平面直角坐标系xOy 中，一次函数mykx b(k0) 的图象与反比率函数yx (m 0) 的图象订交于 A 、B 两点，且点B 的纵坐标为6，过点 A 作AEx 轴于点 E,tan ∠ AOE=1， AE=2.求：（ 1）求反比率3函数与一次函数的分析式；(2) 求 △ AOB 的面积；10 ．如图，一次函数y 1 ax b 的图象与反比率函数y 2k的yx图象交于A, B 两点，已知OA10, tan AOC1,点B 的3 3A坐标为 (, m).2OC x(1) 求反比率函数的分析式和一次函数的分析式；B(2) 察看图象，直接写出使函数值y 1 y 2 建立的自变量 x 的取值范围 .11 ．如图，一次函数 y ax b 的图象与反比率函数 yk A ， B 两点，与 y 轴交的图象订交于x于点 C ，与 x 轴交于点 D ，点 D 的坐标为2,0 ，点 A 的横坐标是（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）求一次函数和反比率函数的分析式；（ 3）求△ AOB 的面积；2， tan ∠ CDO = 1.2yACDBO x12 ．如图，已知反比率函数my的图象经过点A(1, 3),一次函数xy kx b 的图象经过点A与点C(0,4), 且与反比率函数的图象订交于另一点B(3, n).(1)试确立这两个函数的分析式；(2)求 AOB 的面积；(3)依据图象直接写出反比率函数值大于一次函数值时自变量的取值范围 .13 ．如图，若直线y kx b( k 0) 与 x 轴交于点A(5m,0) ，与双曲线 y(m 0) 在第二象OAB 的面积为52x限交于点 B ，且 OA OB ，2（1）求直线AB的分析式及双曲线的分析式；（2）求∠ ABO值 .14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b(k0) 与反比率函数y mm 0 的图象x分别交于一、三象限的A，B 两点，与x轴交于点 C ，与 y 轴交于点 D ，线段OC=2，点A的坐标为 n,3，且 cos ∠ACO =4. （1）求该反比率函数和一次函数的分析式；（ 2）求△AOB的面积 .5yk1 x b 的图象分别与 x 轴、y轴的正半轴交于15 ．如图，已知一次函数y A 、 B 两点，且与反比例函数 y k2交于 C、 E 两点，点 C 在第二象限，过点C 作 CD ⊥x轴于点 D ， OD=1, OE＝A x D10 ,cos∠AOE=3 10．(1)求反比率函数与一次函数的分析式；CO 10B(2)求△ OCE 的面积；k过面积为y16 ．若反比率函数y19 的正方形 AMON 的极点 A ，且过点 A 的直线y2mx n 的x1, a ）图象与反比率函数的另一交点为B（M A（ 1）求出反比率函数与一次函数的分析式；（ 2）求AOB 的面积；Ok 17 、如图，四边形OABC 是面积为 4 的正方形，函数yxN x (x ＞ 0)的图象经过点B．B(1)求 k 的值；(2) 将正方形 OABC 分别沿直线AB 、 BC 翻折，获得正方形MABC′、 NA′ BC．设线段 MC′、 NA′分别与函数y k E、 F ，求线段 EF 所在直线的分析式．(x＞ 0) 的图象交于点x18 、如图，RtVABO的极点 A 是反比率函数y k与一次xy函数 yx ( k1) 的图象在第四象限的交点，AB x轴于 B，且S V ABO 5 。
中考数学复习《一次函数与反比例函数综合》真题练习(含答案)
中考数学复习《一次函数与反比例函数综合》真题练习（含答案）（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．m（m≠0）（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2∵tan∠ACO=2∴=2，即=2∴n=1∴A（1，6）将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6∴反比例函数的解析式为将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得解得∴一次函数的解析式为y=2x+4（2）由可得，解得x1=1，x2=﹣3∵当x=﹣3时，y=﹣2∴点B坐标为（﹣3，﹣2）（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B 两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△B O C=bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．4．（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA==4，cos∠OAB===．（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．（2016·重庆市A卷·10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=，∴m=﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y =﹣2x +2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.(l )∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6. ∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∵tan ∠ABO ＝12，∴CE BE ＝12．即CE 6＝12，解得CE ＝3. 结合图象可知C 点的坐标为（一2，3），将C （―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m ＝－6．反比例函数解析式为y ＝－6x ．(2)解：方法一：∵点D 是y ＝－6x 的图象上的点，且DF ⊥y 轴， ∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×3＝12.∴12AF •OB ＝12.∴12×AF ×4＝12.∴AF ＝6.∴EF ＝AF －OA ＝6－2＝4. ∴点D 的纵坐标为－4.把y ＝－4代入y ＝－6x ，得 －4＝－6x .∴x ＝32. ∴D （32，一4）．方法二：设点D 的坐标为（a ，b ）.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴12AF •OB ＝4×12OF •FD .∴(AO ＋OF ) OB ＝4OF •FD . ∴[2＋（－b ）]×4＝－4ab .∴8－4b ＝－4ab .又∵点D 在反比例函数图象上，∴b ＝－6a .∴ab ＝－6.∴8－4b ＝24.解得：b ＝－4. 把b ＝－4代ab ＝－6中，解得：a ＝32. ∴D （32，一4）．（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A（2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积．解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，∴反比例解析式为y =﹣，把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即B （，﹣4），把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：，解得：k =2，b =﹣5，则一次函数解析式为y =2x ﹣5； （2）∵A （2，﹣1），B （，﹣4），直线AB 解析式为y =2x ﹣5，∴AB ==，原点（0，0）到直线y =2x ﹣5的距离d ==，则S △A B C =AB •d =．（2015呼和浩特，23，7分）7分)如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = kx 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = kx 的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比. 解：（1） ∵A (8，y ) 又∵AB ⊥x 轴于点B∴点B 横坐标为8，∴∠ ABO =90° 又∵点B 在x 轴上 ∴OB =8.在Rt △ABO 中， ∵sin ∠OAB = 45 =OAOB∴OA =8×54 =10 ∴.∴A (8，6)又∵C 点为OA 的中点，O 点为坐标原点∴C (4，3)又∵C (4，3)在函数y = kx 上 ∴3=4k，即k =12 ∴反比例函数解析式为y =x12.（2）法一：将四边形切成两个三角形，算△OCB 的面积和△BCD 的面积，再求和先求直线y = 3x 与y =x 12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x 12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24∵S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+12·DB ·4又∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即BD =32∴S 四边形OCDB =12+3=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .法二：算出△ABO 的面积，再减去△ACD 的面积先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24又 ∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即AD =AB －BD =6－32=29 ∴S △ACD = 12·AD·|8－4|=12×29×4=9 又∵S △ABO = 12·OB·AB = 12×8×6 =24 ∴S 四边形OCDB = S △ABO －S △ACD =24－9=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .（2015•四川广安，第20题6分）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数y =（k ≠0）的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为（0，2），OA =OB ，B 是线段AC 的中点． （1）求点A 的坐标及一次函数解析式．（2）求点C 的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）∵OA =OB ，点B 的坐标为（0，2），∴点A （﹣2，0），点A 、B 在一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上，∴，解得k =1，b =2，∴一次函数的解析式为y =x +2．（2）∵B 是线段AC 的中点，∴点C 的坐标为（2，4），又∵点C 在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，∴k =8；∴反比例函数的解析式为y =．（2015•四川泸州,第23题8分）如图，一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C (3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数m y x=的图象与该一次函数的 图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC =2BC ，求m 的值。
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。
反比例函数和一次函数的综合练习题
反比例函数和一次函数的综合练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ1．已知直线1y k x =(10k ≠）和双曲线2k y x=(20k ≠)的一个交点是(2-,5)，求它们的另一个交点坐标．２.直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= .3.已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3,到y 轴的距离是4,求它们的解析式．4．若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.5.如图,直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A .将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线()0k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ,若2AOBC=，则k =_____＿___. CABOyx6.已知一次函数y kx b =+(0k ≠）的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,且与反比例函数my x=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===, （1）点A 、B 、D 的坐标；（2） 求一此函数与反比例函数的解析式.xyOC B A D7.在平面直角坐标系Oxy 中,直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图像的一个交点为()3A a ，,试确定反比例函数的解析式．8.在平面直角坐标系xOy 中,直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l .直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，,则k 的值等于 ．9．在平面直角坐标系xOy 中,直线y x =-绕点O 顺时针旋转90的到直线l .直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()3A a ，,试确定反比例函数的解析式.1０．已知反比例函数ky x =（0k <)的图像经过点A (3-,m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且AOB ∆的面积为3.（1）求k 和m 的值．（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ,并且与x 轴相交于点C ,求:AO AC 的值.CBAxy O1１.如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，,()1B n -，两点.（1）求反比例函数与一次函数的解析式;（2） 根据图像回答:当x 取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值．O ABxy1２.如图7,已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x =（k 为常数,0k ≠)的图象相交于点()13A ，． （１）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标; （2） 观察图象,写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．13O ABxy13.如图,已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点.（1）求此反比例函数和一次函数的解析式;（2） 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.OABxyOA （-2，1）B （1，n ）xy14.如图,已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点． （１）利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式；（2） 根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．１5.如图,已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点.（1)求反比例函数和一次函数的解析式；（2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积;(3）求方程0mkx b x+-=的解(请直接写出答案）； （3） 求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）. O ABxy1６.已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-,m )，Q （2，3-). （1） 求这两个函数的函数关系式;(2)在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象;(３)x 为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？1７.已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，. （１）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2） 求点B 的坐标．18.已知一次函数y x m =+与反比例函数1m y x+=（1m ≠-）的图象在第一象限内的交点为P (0x ,3)（1)0x 的值．（2） 一次函数和反比例函数的解析式.１9.直线y kx =（0k >）与双曲线4y x=交于A()11x y ，,B ()22x y ，两点,求122127x y x y -的值．BA xyO20.如图,一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线,PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于Q ,32OQC S ∆=,则k 的值和Q 点的坐标分别为_＿_____＿_＿_＿_＿.２1.已知反比例函数y=k2x和一次函数ｙ=2ｘ－1，其中一次函数的图象经过(ａ，b),(a+1，b ＋k ）两点。
反比例函数与一次函数综合三类型(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC ，在x 轴上找一点P ，使S △POC ＝2S △AOC ，请求出点P 的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ≠）的图象与反比例函数2y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】(1)8n =- (2)4m =或4-【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B 点坐标计算求值即可； （2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令0∆=，4．一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝x的图象交于点A (4，1)．(1)画出反比例函数y ＝m x 的图象，并写出﹣12x +3＞m x的x 取值范围； (2)将y ＝﹣12x +3沿y 轴平移n 个单位后得到直线l ，当l 与反比例函数的图象只有一个交点时，求n 的值．1m则()26=--解得12n =-当l 与反比例函数的图像只有一个交点时，则【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数y x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B 的坐标；（2）根据图象回答，当x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值． ）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．47．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2my x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式； (2)在y 轴上存在一点P ，使ABPCEOS S=，请求出P 的坐标．12ABPCEOSSCE ==243a ⨯-⨯=，解出S=CEOS=3ABPP(0，BP=S=ABPa-22解得：a=交于A，B两点，其中A的坐标为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线yx（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与∵C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的x图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且∵OCB与∵OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将∵OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．y x=-+y∴=时，(5,0)B∴OCB∆与C∴为AB(1,6)A-(2,3)C∴．如图，过点将OBC∆C'在第二象限，(3,2)C∴'-∴点C'是落在函数【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=x（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD∵x轴于点D，连接OP，若∵POD的面积为S，求S的最大值和最小值．）一次函数）一次函数14n≤≤S12 =-1 2a=-11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数y x=．(1)当函数my x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ． (2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x m ⎧>⎪⎨⎪<--⎩（m <0），求m 的取值范围．（2）12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，xn）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．A，(1,2)∴△的ACPACP的面积是13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（∵）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10∵时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？20x小时，蔬菜才能避免受到伤害．本题考查一次函数和反比例函数的应用，．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当02x ≤≤时，y 与x 的函数关系式； (2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =8k ， 与x 的函数关系式为第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x 时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？5100x 时，设经过点(5,0)，(100,19)019b =+= 0.21k b =⎧⎨=-⎩解析式为0.2y x =经过点堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段，当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析（2）温y （∵）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100∵时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （∵）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20∵时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ≤≤时，求水温y （∵）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少∵？x时，20小丽散步70【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．。
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专项训练题(带答案)
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专项训练题(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点()2,A n ，在第三象限交于点B ，过点B 作BC x ⊥轴于C ，连接AC ．(1)求反比例函数解析式；(2)求ABC 的面积；2．如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x =()0k ≠的图象交于()23A -，，()1B m ，两点．(1)试求m 的值和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于()2,1A -、()1,B n -两点，与x 轴交于点C ．(1)求2k ，n 的值；(2)请直接写出不等式21k k x b x+<的解集； (3)连接OA 、OB ，求AOB 的面积．4．一次函数2y x b =+的图象与反比例函数()60y x x=>的图象交于点()16A ，，与x 轴交于点B ．(1)求一次函数的表达式；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，求ABC 的面积．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与双曲线k y x =相交于()2,A m ，B 两点BC x ⊥轴，垂足为C ．(1)求双曲线k y x=的解析式，并直接写出点B 的坐标． (2)求ABC 的面积．6．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于第一象限C D ，两点，与坐标轴交于A 、 B 两点，连接(OC OD O ，是坐标原点)．(1)求反比例函数的表达式及m 的值；(2)根据函数图象，直接写出不等式k ax b x +≥的解集为 ．7．如图，已知一次函数y ax b =+与反比例函数(0)m y x x=<的图象交于(2,4)A -，(4,2)B -两点，且与x 轴和y 轴分别交于点C 、点D ．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式m ax b x<+的解集； (3)点P 在y 轴上，且13AOP AOB S S =△△，请求出点P 的坐标．8．如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A 、B 两点，点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()1n ，．(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式m kx b x<+的解集．9．如图，一次函数2y kx =+的图象与x 轴交于点(4,0)A -，与反比例函数m y x =的图象交于点B ，C （-6，c ）．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当m kx b x+≥时，直接写出x 的取值范围； (3)在双曲线m y x=上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数()0m y x x=>的图象交于点()2P n ，，与x 轴交于点()40A -，，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)在平面内找一点D ，使以B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求出点D 的坐标．11．如图，反比例函数1k y x =图象与一次函数2112y x =--的图象交于点()4,A a -与点B ．(1)求a 的值与反比例函数关系式；(2)连接OA ，OB ，求AOB S ；(3)若12y y >，请结合图象直接写出x 的取值范围．12．如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()12A -,，(1),B m -．(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在点(0)(0),P n n >，使ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值，若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点()2,2A -，()6,6B -为Rt ABC △的顶点90BAC ∠=︒，点C 在x 轴上．将ABC 沿x 轴水平向右平移a 个单位得到A B C '''，A ，B 两点的对应点A '，B '恰好落在反比例函数()0k y x x=>的图象上．(1)求a 和k 的值；(2)作直线l 平行于A C ''且与A B ''，B C ''分别交于M ，N ，若B MN '△与四边形MA C N ''的面积比为4:21，求直线l 的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x 轴上的点P 和直线l 上的点Q ，使得以P A Q '，，，B '四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知直线1y x m =-++与反比例函数()0,0m y x m x =>>的图象分别交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)如图1，当点A 坐标为()1,3时 ①求直线AB 的解析式：①若点P 是反比例函数在第一象限直线AB 上方一点，当ABP 面积为2时，求点P 的坐标；(2)将直线CD 向上平移2个单位得到直线EF ，将双曲线位于CD 下方部分沿直线CD 翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，求m 的值．15．已知在直角坐标平面内，直线l 经过点()0,4A -，且与x 轴正半轴交于点B ，25cos 5BAO ∠=，反比例函数()0k y x x =>的图像与直线l 交于点()3,C m ．(1)求k 的值；(2)点P 在上述反比例函数的图像上，联结BP 、PC ①过点P 作PD x 轴，交直线l 于点D ，若PD 平分BPC ∠，求PD 的长； ①作直线PC 交y 轴于点E ，联结BE ，若3PBE PBC S S =△△，请直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)6y x=； (2)92．(1)16,42m y x =-=+ (2)83．(1)22k =-，n=2(2)2x >或10x -<<(3)324．(1)一次函数的表达式为24y x =+；(2)ABC 的面积为9．5．(1)4y x =；()2,2B -- (2)46．(1)4y x=；1m = (2)14x ≤≤7．(1)8y x=- 6y x =+ (2)42x -<<-(3)(0,2)P 或(0,2)-8．(1)6y x = 142y x =-+； (2)26x <<或0x <．9．(1)反比例函数得表达式为：6y x=()2,3B (2)60x -≤<或2x ≥(3)存在 1(1,6)P -- 2(3,2)P --10．(1)114y x =+ 8y x = (2)()01-，、()03，和()81，11．(1)1a = 4y x=- (2)3(3)40x -<<或2x >12．(1)2y x=- 1y x =-+； (2)114n =-+或217n =+13．(1)8a = 12k =(2)45y x (3)存在，点P 、Q 的坐标分别为4360855⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，或1405⎛⎫- ⎪⎝⎭，、625⎛⎫ ⎪⎝⎭，或36,85⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，14．(1)①4y x =-+；①()3636P +-，或()3636-+， (2)322m =+15．(1)6k =．(2)①125PD =；①94,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或98,43P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
中考数学专题复习：反比例函数综合题
当AB＝AP时，5＝
1−
2
+ 32 ，
解得a＝5或a＝－3(舍去)，
故P(5，0)；
当AB＝PB时，5＝|－3－a|，
解得a＝－8或a＝2，
故P(－8，0)或(2，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(2，0)或(5，0)或(－8，0)．
2 ． Rt△ABC 在 直 角 坐 标 系 内 的 位 置 如 图 所 示 ， 反 比 例 函 数 y ＝
∴OC＝CE＝2.
∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，
∴△AEC≌△DOC(ASA)．
∴AE＝OD＝1.
∴A(－1，4)．
∵点A在反比例函数y2＝ 的图象上，
∴k＝－1×4＝－4.
4
∴反比例函数的表达式为y2＝－ .
= −2 + 2，
1 = −1，
4
(2)方程组ቐ
的解为ቊ
(1)点A及点D的坐标；
(2)反比例函数y＝ 经过点F关于y轴的对称点F′，求k的值；
(3)点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶
点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出
满足条件的两个点P的坐标．
(1)点A的坐标为(8，0)，点D的坐标为(4，3)
的菱形有5个，点P的坐标为
出两个即可)
158
144
，
25
25
或
48
(2)k＝－
25
14
18
− ，
5
5
或
(3)符合条件
34
，
5
−
18
反比例函数与一次函数综合 中考数学专项训练(含解析)
反比例函数与一次函数综合一、单选题．．．．．反比例函数()10y mx=的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A 、B 两点，其中)，当12y y >时，的取值范围是()．1x <B 12x <<．2x >D ．01x <<或2>A ．18-B ．4．如图，双曲线my x=与直线的纵坐标为1-．根据图象信息可得关于A ．1x =C ．11x =-，21x =6．如图，一次函数2y x =-+与反比例函数(),1B n -，不等式2kx x-+>的解集为（A ．1x <-或0x <<C ．13x -<<7．直线2y x =+与双曲线A ．78．如图，已知一次函数A ．33二、填空题9．考察函数4y x=-10．如图，已知一次函数11．如图，直线2y x =与双曲线单位后，直线与双曲线交于点12．已知直线y x =与反比例函数C 为反比例函数图象第一象限上任意一点，连接点C 的坐标为．13．如图，直线3y x =-+与坐标轴分别相交于x14．如图，曲线l 是由函数y 到的，过点()42,42A -，B 面积是46，则k 的值为15．如图，一次函数y 点，则不等式1kx b x+-16．如图，点A 在双曲线y 0b >）上，A 与B 关于x 轴对称，直线有以下结论：①(),3A b b ②当三、解答题(1)请求出一次函数和反比例函数解析式：(2)连接OC，OD，求出(1)求反比例函数的关系式与(2)根据图象直接写出不等式(3)若动点P在x轴上，求PA(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接点C的坐标．参考答案：3．A【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点4,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OA ，根据点角形的性质得到OC OA =程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的令23y x =-中0x =，代入∴()0,3B -，∴3OB =，令23y x =-中0y =，得：由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，联立两函数解析式：41y x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：41x y =⎧⎨=-⎩即4x ≥，当0y =时，1042x =+，解得，8x =-，∴()80C -，，则D的坐标为2,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线2y x=向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点∴B的坐标为23,22a a⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭．将0y =代入直线3y x =-+得解得3x =，②当2b =时，点A 的坐标为：∴23243k =⨯=，故②正确；③∵()3,Ab b ，A 与B 关于()3,B b b -∵28y x =+，∴令0x =，则8y =；令∴()()4,0,0,8A B -DOC AOB AOD BOC S S S S =-- 18．(1)反比例函数解析式为【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求∠=∠=∠=ABO BOE AEO90。
2022年中考数学复习：反比例函数与一次函数综合题
2022年中考数学复习:反比例函数与一次函数综合题1．如图1，一次函数312y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=>的图象相交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与x 轴和y 轴分别交于E ，F 两点．(1)当9k =时，求A ，B 两点的坐标；(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使PAB ∆是以点B 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AO 并延长交反比例函数(0)k y k x =>图象的另一支于点C ，连接BC 交y 轴于点G ．若2BG CG=，求反比例函数的表达式．2．如图，一次函数142y x =-+交反比例函数(0)k y x x =>于A ，B 两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，AOC △的面积为3．(1)求反比例函数的解析式；(2)D 为y 轴上一个动点，当DA DB +有最小值时，求点D 的坐标．3．如图，点()1,A m 和点B 是反比例函数()1k y k x x=>0,>0图象上的两点，一次函数()220y ax a =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点C ，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，连接,OA OB ．已知OAC ∆与OBD ∆的面积满足:2:3OAC OBD S S ∆∆=．(1)求OAC ∆的面积和k 的值；(2)求直线AC 的表达式；(3)过点B 的直线MN 分别交x 轴和y 轴于,M N 两点，2NB MB =，若点P 为MON ∠的平分线上一点，且满足2OP OM ON =，请求出点P 的坐标．4．直线y x b =+与双曲线(0)m y x x=<交于点(1,5)A --，并分别与x 轴、y 轴交于点C 、B ．(1)直接写出b = ，m = ．(2)根据图象直接写出不等式m x b x+<的解集为 ． (3)连接OA ，求∠OAB 的正弦值5．如图，直线y 1＝14x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x（x ＞0）的图象交于点P ，过点P 作PB ∠x 轴于点B ，且AC ＝B C ．求点P 的坐标和反比例函数y 2的表达式．6．如图，平面直角坐标系中，直线1y ＝kx +b 分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与双曲线2=m y x分别交于点C ，D （点C 在第一象限，点D 在第三象限），作CE ⊥x 轴于点E ，OA ＝4，OE ＝OB ＝2．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出使1y ＞2y 的x 取值范围；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △CEP ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中，直线1y x =-与反比例函数k y =的图象交于A 、B 两点，(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象求13k x x-<的解集； (3)将直线13y x =-向上平移后与y 轴交于点C ，与双曲线在第二象限内的部分交于点D ，如果∠ABD 的面积为36，求平移后的直线表达式．8．如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A （1，6），B （3，m ）两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求∠AOB 的面积．例函数()0ky x x=>的图象上，已知OA =5，OB =6．(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A 作AP 垂直OA ，交反比例函数的图象于点P ，交x 轴于点C ．∠求直线AC 的解析式；∠求点P 的坐标．10．如图，在正方形ABCD 中，B 点的坐标为（2，﹣1），经过点A ，D 的一次函数y ＝mx +n 的图象与反比例函数y k x=的图象交于点D （2，a ），E （﹣5，﹣2）．(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)判断点C 是否在反比例函数y k x =的图象上，并说明理由； (3)当mx +n k x≤时，请直接写出x 的取值范围．11．如图，矩形AOBC 在平面直角坐标系xOy 中，且．OB ＝4，OA ＝3．F 是BC 边上点E．(1)当点F运动到边BC的中点时，直接写出k的值；(2)在（1）的条件下，求直线EF的解析式；(3)若将∠CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求G的坐标．12．如图，直线y32x=与双曲线ykx=（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．(1)求k的值并直接写出点B的坐标；(2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知∠BOD的面积与∠AOB的面积之比为1：4．(1)求一次函数y＝kx+b的表达式；(2)求点P的坐标及∠CPD外接圆半径的长．14．如图，已知反比例函数kyx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)求∠MON的面积；(3)请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由；(4)根据图象，若ax+b＜kx时，直接写出x取值范围．15．如图，直线y 1＝ax +1与y 轴交于点C ，与双曲线y 2＝k x交于A 、B 两点，AD ∠y 轴于点D ，AD ＝CD ＝2．(1)点C 坐标为 ．(2)确定直线和双曲线的表达式．(3)直接写出关于x 的不等式ax +1＜k x的解集．16．如图，直线14y x =-+，234y x b =+都与双曲线k y x=交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．(1)求双曲线y 与x 之间的函数关系式；(2)直接写出当0x >时，不等式34k x b x+>的解集； (3)若点P 在x 轴上，连接AP 把∠ABC 的面积分成1：6两部分，求此时点P 的坐标．17．已知点(),2A a ma +、(),2B b mb +是反比例函数k y x =图象上的两个点，且0a >，0b <，0m >．(1)求证：2a b m+=-； (2)若222222OA OB a b +=+，求m 的值；(3)若3OAB OCD S S =△△，求km 的值．18．如图，已知直线l ：y ax b =+与反比例函数4y x=-的图象交于()4,1A -、(),4B m -，且直线l 与y 轴交于点C ．(1)求直线l 的解析式；(2)若不等式4ax b x+>-成立，则x 的取值范围是______； (3)若直线()0x n n =<与y 轴平行，且与双曲线交于点D ，与直线l 交于点H ，连接19．如图，平面直角坐标系中，一次函数1(0)y ax b a =++的图象l 1与反比例函数2(0)k y k x=≠的图像交于点A (1，2)和B (－2，m )．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出12y y <时，x 的取值范围；(3)过点B 作BE ∠x 轴，AD ∠BE 于点D ，过点D 的直线2222:(0)l y k x b k =+≠与l 1、x 轴不能围成三角形，求k 2值．20．如图，直线5y x =+与反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图像相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,m -．(1)求m 的值和反比例函数关系式；(2)请直接写出点B 的坐标是___________；(3)若点M 是该反比例函数图像上一点，点(),P x y 是直线5y x =+在第二象限部分上点，分别过点M 、P 作x 轴的垂线，垂足为点N 和Q ．若OMN OPQ S S <时，请直接写出。
中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案
中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习及答案一、单选题1．如图直线y1＝x+1与双曲线y2＝k x交于A （2，m）、B（﹣3，n）两点.则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3或0＜x＜2B．﹣3＜x＜0或x＞2C．x＜﹣3或0＜x＜2D．﹣3＜x＜22．如图，点A1,A2,A3⋯在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B1,B2,B3⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1,B2A2⊥B1A2,B3A3⊥B2A2⋯，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．(2√n,0)B．(0,√2n+1)C．(0,√2n(n+1))D．(0,2√n)3．如图，已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是()A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）4．如图，函数y1=x﹣1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞25．如图，直线y= 23x与双曲线y= k x（x＞0）交于点A，将直线y= 23x向右平移3个单位后，与双曲线y= kx（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若AOBC=2，则k=（）A．83B．4C．6D．43 6．一次函数y=2x﹣1与反比例函数y=﹣x﹣1的图象的交点的情况为（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不能确定7．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y= y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤88．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B,D在反比例函数y=k x（k>0）的图象上，对角线BD过原点O，延长BA交反比例函数的图象于点E，连接DE，若A为BE 的中点，且点A的坐标为(−1,2)，则k的值为（）A．163B．329C．92D．49．函数y= 1−kx的图象与直线y=﹣x没有交点，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＜1C．k＞﹣1D．k＜﹣110．如图，已知动点P在函数y= 12x（x＞0）的图象上运动，PM△x轴于点M，PN△y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）A．4B．2C．1D．1211．如图，反比例函数y=kx（k＞0）与一次函数y=12x+b的图象相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB交y轴与C，当|x1－x2|=2且AC = 2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝12，b＝2B．k＝49，b＝1C．k＝13，b＝13D．k＝49，b＝1312．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与y=2x的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在y=2x图象上，下列说法正确的是（）A．当x1=x2< 2时，y1< y2B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2二、填空题14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6x的图象交于两点，当kx+b−6x>0时x的取值范围是．15．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E，连接DE，则△DCE的面积为.16．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2t,0)，B(0,-2t)，C(2t,4t)三点，其中t>0，函数y=t 2x的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△PAB-S△PQB=t，则t的值为．17．如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= 1x，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－4x的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝8x的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为.三、综合题19．已知反比例函数y1=k x的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.20．如图，过双曲线y= k x在直角坐标系第二象限上点A作直线分别交x轴和双曲线于点C、B，点A的坐标为（﹣1，6）．（1）若tan△ACO=2，试求点C的坐标；（2）若AB=2BC，连接OA、OB，求△OAB的面积．21．如图，一次函数y=x−3的图像与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=−2x(x>0)的图像分别交于C、D两点.（1）动点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k x的图象交于A、B两点，过点A作AC 垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，直线y1=﹣x+4，y2= 34x+b都与双曲线y= k x交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．24．如图，已知直线y=﹣x和反比例函数y=k x（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在反比例函数y= kx上．（1）当m=n=2时①直接写出k的值；②将直线y=﹣x作怎样的平移能使平移后的直线与反比例函数y=k x只有一个交点．（2）将直线y=﹣x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与反比例函数y=k x交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：ABAD与ACAE的值存在怎样的数量关系？请说明理由．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】D 13．【答案】－1414．【答案】2<x <3 或 x <0 15．【答案】12−6√2 16．【答案】417．【答案】√2或√2218．【答案】1219．【答案】（1）解：∵函数y 1=k x图象过点A(1，4)∴k=4， 即y 1= 4x又∵点B(m ，−2)在y 1=4x上，∴m=−2∴B(−2，−2)又∵一次函数y 2=ax+b 过A.B 两点 则{a +b =4−2a +b =−2，解得{a =2b =2 ∴y 2=2x+2综上可得y1=4x ，y 2=2x+2；（2）解：x<−2或0<x<1.20．【答案】（1）解：过点A 作AD△x 轴，交x 轴于点D ．∵点A 的坐标为（﹣1，6） ∴AD=6，OD=1． ∵tan△ACO=2∴CD=AD÷tan△ACO=6÷2=3 ∴OC=4∴点C 的坐标为（﹣4，0）（2）解：∵点A 的坐标为（﹣1，6）∴反比例函数的解析式为y=﹣ 6x．设B （x ，﹣ 6x），C （c ，0）∵{(x +1)2+(−6x )2=2(c −x)2+2(−6x )26+6x −1−x =6−1−c，解得x=﹣4，x=﹣3 ∴C （﹣4，0）∵S △AOC =12×4×6=12又∵AB=2BC∴△OAB 的面积= 23 S △AOC = 23 ×12=8．故答案为：（1）（﹣4，0）；（2）821．【答案】（1）解：如下图，对于函数y =x −3当x=0时，y=-3，当y=0时，x=3∴A(3，0)，B(0，−3)∵动点P在线段AB上∴设点P（a，a-3），a>0，a-3<0，即0<a<3∴PN=a，PM=3−a∵矩形OMPN的面积为2∴a(3−a)=2，即a2−3a+2=0解得a=2或a=1∴点P(2，−1)或P(1，−2)（2）解：如下图∵A(3，0)，B(0，−3)∴OA=OB=3∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=3√2联立一次函数与反比例函数可得{y=x−3 y=−2x解得{x=1y=−2或{x=2y=−1∴C(1，−2)，D(2，−1)∴BC=√12+(−2+3)2=√2设E(x，0)，AE=3−x以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO=∠BAE=45°∴ABOB=AEBC或ABBC=AEOB∴3√23=3−x√2或3√2√2=3−x3解得x=1或x=−6∴E(1，0)或E(−6，0).22．【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA=OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=2÷2=1，又∵A 是反比例函数 y =k x图象上的点，且AC△x 轴于点C ，∴△AOC 的面积= 12|k| ，∴12|k|=1 ，∵k ＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为 y =2x（2）解：x 轴上存在一点D ，使△ABD 为直角三角形．将 y =2x 与 y =2x联立成方程组得： {y =2x y =2x ，解得： {x 1=1y 1=2 ， {x 2=−1y 2=−2 ，∴A （1，2），B （﹣1，﹣2） ①当AD△AB 时，如图1设直线AD 的关系式为 y =−12x +b ，将A （1，2）代入上式得： b =52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x +52，令y=0得：x=5，∴D （5，0）； ②当BD△AB 时，如图2设直线BD 的关系式为 y =−12x +b ，将B （﹣1，﹣2）代入上式得： b =−52，∴直线AD 的关系式为 y =−12x −52，令y=0得：x=﹣5，∴D （﹣5，0）； ③当AD△BD 时，如图3∵O为线段AB的中点，∴OD= 12AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA=√OC2+AC2= √5，∴OD= √5，∴D（√5，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（−√5，0）；故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（√5，0）或D（−√5，0）．23．【答案】（1）解：把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y= kx，可得k=1×3=3∴y与x之间的函数关系式为：y= 3 x（2）解：∵A（1，3）∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1（3）解：y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0）把A（1，3）代入y2= 34x+b，可得3= 34+b∴b= 94，∴y2=34x+94，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分∴CP= 14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74= 94∴P（﹣54，0）或（94，0）24．【答案】（1）解：①当m=n=2时，A（2，2），把点A（2，2）代入反比例函数y=k x（k＞0）得：k=2×2=4；②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由{y=−x+by=k x可得，−x+b1=4x，整理可得：x2﹣b1x+4=0当Δ=(−b1)2−4×1×4=0，即b1=±4时，方程x2﹣b1x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=﹣x+b1与反比例函数只有一个交点∴只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与反比例函数只有一个交点（2）解：ACAE±ABAD=2，理由如下：分两种情况讨论：由反比例函数的对称性可知，C（﹣a，﹣b）①当点A在直线BC的上方时，如图所示：过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H则OF=n，OG=OH=b∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b∵AF△BG△x轴∴ABAD=FGFO=n−bn∵AF△x轴△CH∴ACAE=FHFO=n+bn∴ACAE+ABAD=n−bn+ n+bn=2；②当点A在直线BC的下方时同理可求：ABAD=b−nn，ACAE=n+bn∴ACAE﹣ABAD=n+bn﹣b−nn=2；综上所述，ACAE±ABAD=2．。
中考数学专练——反比例函数与一次函数的综合
2023年数学专练——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y x m=+的图象交于点B和点(14)A k-+，，一次函数的图象与x轴交于点C .（1）求出两个函数的表达式.（2）求AOB的面积.（3）直接写出kx mx+≥的解集.2．已知：如图，函数kyx=与28y x=-+的图象交于点A(1，a)、B(b，2)．（1）求函数kyx=的解析式以及点A、B的坐标;（2）观察图象，直接写出不等式k28xx≥-+的解集；（3）若点P是x轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，直接写出出点P的坐标．3．如图，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣kx＞0中x的取值范围.4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x m=-+的图象与反比例函数(0)ky xx=>的图象交于A、B两点，已知()2,4A，(),2B n .（1）求反比例函数的表达式；（2）当 0x > 时，求不等式kx m x>-+ 的解集. 5．已知图中的曲线是函数 5m y x-=(m 为常数)图象的一支.（1）求常数m 的取值范围；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x 图象在第一象限的交点为 A （2，n ），求点A 的坐标及反比例函数的解析式.6．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限交于点A （4，2），与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6，（1）求函数y ＝ 和y ＝kx+b 的解析式.（2）已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝ 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.7．如图，直线 y kx b =+ y kx b =+ 与反比例函数 12y x=相交于 A(2)m -， 、 B(n 3)，．（1）连接 OA 、 OB ，求 AOB 的面积； （2）根据（1）中的图象信息，请直接写出不等式12kx b x>+ 的解集． 8．如图，一次函数 1y kx b =+ 的图象与反比例函数 2my x=的图象交于点A （-3， 8m + ），B （ n ，-6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；（3）直接写出 12y y > 时，x 的取值范围.9．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点.已知反比例函数 ky x=（ 0k > ）的图象经过点A （2，m ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.（1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数 ky x=的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y 的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 与反比例函数 ()0my m x=≠ 的图像交于点 ()3,1A ，且过点 ()1,3B -- ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出当 mkx b x+>时， x 的取值范围． 11．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点.（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≤ 2k x+b 的解. 12．如图所示，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点(c ，p)和(n ，q)是反比例函数y ＝mx图象上任意两点，且满足c ＝n+1时，求 q p pq - 的值.（3）若点M(x 1，y 1)和N(x 2，y 2)在直线AB(不与A 、B 重合)上，过M 、N 两点分别作y 轴的平行线交双曲线于E 、F ，已知x 1＜-3，0＜x 2＜1，当x 1x 2＝-3时，判断四边形NFEM 的形状.并说明理由.13．如图，反比例函数 8y x=-与一次函数 2y x =-+ 的图象交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积． （3）当x 为何值时 8y x=-的函数值大于 2y x =-+ 的函数值，直接写出x 的取值范围14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2与函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．（1）求k ，m 的值；（2）直接写出关于x 的不等式2x +2＞kx的解集； （3）若Q 在x 轴上，△ABQ 的面积是6，求Q 点坐标．15．如图，一次函数 1y kx =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象交于点 A 、 B ，点 A 在第一象限，过点 A 作 AC x ⊥ 轴于点 C ， AD y ⊥ 轴于点 D ，点 B 的纵坐标为－2，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 E 、 F ，连接 DB 、 DE .已知 4ADFS= ， 3AC OF = .（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 DBE 的面积；（3）直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围.16．如图，已知直线 5l y x =-+：（1）当反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围 （2）若反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 的图象与直线 l 在第一象限内相交于点 11(,)A x y 、 22(,)B x y ，当 213x x -= 时，求k 的值并根据图象写出此时关的不等式 5kx x-+< 的解集17．如图，过直线 12y kx =+上一点 P 作 PD x ⊥ 轴于点D ，线段 PD 交函数 (0)my x x=> 的图像于点C ，点C 为线段 PD 的中点，点C 关于直线 y x = 的对称点 C ' 的坐标为 (13)，．（1）求k 、m 的值；（2）求直线 12y kx =+与函数 (0)my x x=> 图像的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+> 的解集． 18．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A(3，1)，B(﹣1，n)两点.（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足k 1x+b≥2k x的x 的取值范围； （3）连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求△ABC 的面积.19．如图，双曲线 ()0ky k x=> 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D.设点B 的坐标为（m ，n ）.（1）直接写出点E 的坐标，并求出点D 的坐标；（用含m ，n 的代数式表示） （2）若梯形ODBC 的面积为，求双曲线的函数解析式.20．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为BC 边上的点，反比例函数y=k x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D （m ，2）和AB 边上的点E （3，23）．（1）求反比例函数的表达式和m 的值；（2）将矩形OABC 的进行折叠，使点O 于点D 重合，折痕分别与x 轴、y 轴正半轴交于点F ，G ，求折痕FG 所在直线的函数关系式．答案解析部分1．【答案】（1）解：将点 (14)A k -+， 代入 ky x= ， 得 4k k -+= 解得 2k =∴ 反比例函数表达式为 2y x=， (12)A ， 将点 (12)A ， 代入 y x m =+ 得 21m =+1m ∴=∴ 一次函数的表达式为 1y x =+（2）解：由一次函数 1y x =+ 的图象与 x 轴交于点 C .令 0y = ，解得 1x =- ，则 (10)C -， 则 1OC =联立 21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1121x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2212x y =⎧⎨=⎩ ()21B ∴--，()113=121222AOBA B SOC y y ∴=⋅⋅-⨯⨯--= （3）解：一次函数 1y x =+ 与反比例函数 2y x=交于点 (12)A ， ， ()21B --， 根据函数图象可得 kx m x+≥的解集为： 1x ≥ 或 20x -≤< 【解析】【分析】（1）将A （1，-k+4）代入y=kx中可得k 的值，进而可得反比例函数的解析式；将A （1，2）代入y=x+m 中求出m ，进而可得一次函数的解析式；（2）易得C （-1，0），则OC=1，联立反比例函数与一次函数的解析式求出x 、y ，可得B （-2，-1），接下来根据三角形的面积公式进行计算；（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分所对应的x 的范围即可.2．【答案】（1）解：将A （1，a ），B （b ，2）代入y ＝﹣2x+8中得：a=6，b=3∴A （1，6），B （3，2）， 把A （1，6）代入y ＝kx中，可得k ＝6 ∴反比例函数解析式为y ＝6x，A 、B 两点坐标分别为A （1，6）、B （3，2）； （2）解：由图象得：不等式6x＜﹣2x+8的解集为1＜x ＜3或x ＜0； （3）（52，0） 【解析】【解答】解：（3）如图，作点A 关于x 轴的对称点A′（1，-6），连结A′B 交x 轴于点P ，则点P 即为所求，此时AP+BP 的值最小．设直线A′B 的解析式为y ＝mx+n ， ∵B （3，2），A′（1，-6），∴326m n m n +=⎧⎨+=-⎩ ，解得 410m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线A′B 的解析式为y ＝4x-10， 当y ＝0时，y ＝52， ∴点P 的坐标为（52，0）．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式求解a 、b ，再将点A 坐标代入反比例函数表达式求解k 即可；（2）结合图像，函数值大的图像在上方的原则直接写出答案即可；（3）利用“将军饮马”的方法，先作对称轴，再求解即可。
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。
2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合
2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，平行四边形 ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，顶点B 在y 轴上，顶点C 在反比例函数 ()0ny n x=≠ 的图象上，直线 ()0AB y kx b k =+≠： 与反比例函数的图象交于点 ()3M m -， ，已知平行四边形 ABCD 的面积为6.（1）求反比例函数的表达式及m ； （2）若 4AD = ，求直线 AB 的表达式.2．如图，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=kx的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、C 两点．（1）AB= ，点C 的坐标为 ，反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 ．（2）若点P 是y 轴正半轴上一点，△AMP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标．3．如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函y=mx的图象交于点A ﹙﹣2，﹣5﹚C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数y=mx和一次函数y=kx+b 的表达式； （2）连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． （3）直接写kx+b ﹣mx＞0的解集． 4．已知一次函数y 1=k 1x+b 与反比例函数y 2=2k x相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，过点A 作AE△x 轴于点E ，点O 为DE 中点，连接CE ，已知S △ADE =4，tan△DCO= 12．（1）求y 1和y 2的解析式；（2）将△ACE 绕着点E 顺时针旋转90°得△A'C'E ，连接AA'、BA'，求△AA'B 的面积．5．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1=kx的图象上一点，AB△x 轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数y 2=ax+b 的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点D （0，﹣2），若S △AOD =4．（1）写出点C 的坐标；（2）求反比例函数和一次函数的解析式；（3）当y 1＜y 2时，求x 的取值范围．6．如图，已知一次函数y=k 1x+b 的图象分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，且与反比例函数y=2k x交于C ，E 两点，点C 在第二象限，过点C 作CD△x 轴于点D ，OA=OB=4，OD=2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求△OCE 的面积．7．如图，一次函数y=x+m 的图象与反比例函数y=kx的图象交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，1）．（1）求m 及k 的值；（2）求点C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤kx的解集． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)m y x x =>的图象经过点342A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点C ，C 为线段AB 的中点.（1）m = ，点C 的坐标为 ；（2）若点D 为线段AB 上的一个动点，过点D 作//DE y 轴，交反比例函数图象于点E ，求ODE 面积的最大值.9．如图，一次函数 ()0y kx b k =+≠ 的图象与 x 轴交于点 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，与反比例函数 ()0ay a x=≠ 的图象在第一象限交于点 ()4,B m ，过点 B 作 BC x ⊥ 轴上点 C ， ACD 的面积为 154 .（1）求反比例函数 ay x= 的解析式； （2）求证：BCD 是等腰三角形.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=ax+b （a ，b 是常数，且a≠0）的图象与反比例函数 ky x=（k 是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，m ），点B 的坐标为（n ，﹣2），tan△BOC= 25．（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连结OE，OF，求△EOF的面积．11．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= kx的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．（1）求出a、b、k的值；（2）求△ABO的面积；（3）请写出ax+b＜kx的解集．12．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣8x的图象交于A、B两点，A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．求：（1）一次函数的表达式；（2）△AOB的面积；（3）根据图象，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？13．如图，反比例函数kyx=经过点()1,2A；（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在y轴的正半轴上，点D在x轴的正半轴上，直线CD经过点A，直线CD交反比例函数图象于另一点B，若OC OD=，求点B的坐标．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= mx的图象相交于A、B两点．利用图中条件（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象写出使该一次函数的值大于该反比例函数的值的x的取值范围；（3）求出△AOB的面积．15．如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y= kx（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3，a），B（1，b）两点，（1）求△AOC的面积；（2）若222a ab b -+ =2，求反比例函数和一次函数的解析式．16．如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=ax+b 的图象交于M （2，m ），N （﹣1，﹣4）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式．（2）根据图象写出使反比例函数值大于一次函数的值的x 的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数 1k y x=（ x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A （3，2），交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为 2y k x b =+ ．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积；（3）请结合图象直接写出不等式 12k k x b x+-＞0的解集． 18．如图，已知函数 (00)ky k x x=>>， 的图象与一次函数 5(0)y mx m =+< 的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD△ x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为 0x ，△AOD 的面积为2.（1）求 k 的值及 0x =4时 m 的值；（2）记 []x 表示为不超过 x 的最大整数，例如： []1.41＝， []22＝ ，设 .t OD DC = ，若 3524m -<<- ，求 2m t ⎡⎤⋅⎣⎦ 值 19．如图，一次函数 1y k x b =+ 的图象与反比例函数 2k y x=的图象相交于 A 、 B 两点，其中点 A 的坐标为 ()14-， ，点 B 的坐标为 ()4n ， .（1）根据图象，直接写出满足 21k k x b x+> 的 x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点 P 在线段 AB 上，且 12AOP BOP S S ∆∆=：：，求点 P 的坐标. 20．如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A （4，3），与y 轴的负半轴交于点B ，且OA=OB ．（1）求函数y=kx+b 和y=ax的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．答案解析部分1．【答案】（1）解：过点C 作CE△x 轴于点E ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD BC ， ∵△BOA=△CED=90°， ∴BO CE ，∴四边形BOEC 为平行四边形， ∵△CED=90°，∴四边形BCEO 为矩形，∵矩形BCEO 与平行四边形ABCD 同底等高， ∴矩形BCEO 的面积等于平行四边形ABCD 的面积， ∴k=6，∴反比例函数的表达式为 6y x=； 把x=-3代入 6y x = 得： 623y ==-- ，即 2m =- ； （2）解：∵平行四边形ABCD 的面积为6，AD=4， ∴6342OB == ，即点B 的坐标为 30 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，设直线AB 的关系式为： 'y k x b =+ ，把 302B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ， ()32M --，代入得： 323'2b k b ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩ ，解得： 7'632k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴直线AB 的关系式为： 7362y x =+ . 2．【答案】（1）3；（3，﹣2）；y=﹣ 6x；y=﹣x+1（2）解：∵由题意得， 61y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ ，解得 23x y =-⎧⎨=⎩ 或 32x y =⎧⎨=-⎩ ， ∴M （﹣2，3） 设P （0，y ）， ∵S 正方形ABCD =9， ∴12 AP×2=9，即 12|y ﹣1|=9，解得y=19或y=17， ∴P （0，19）或（0，17）3．【答案】（1）解：∵反比例函数y=mx的图象经过点A ﹙﹣2，﹣5﹚， ∴m=（﹣2）×（﹣5）=10． ∴反比例函数的表达式为y=10x． ∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴n=105=2． ∴C 的坐标为﹙5，2﹚．∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入y=kx+b ，得5225k bk b -=-+⎧⎨=+⎩ 解得 13k b =⎧⎨=-⎩， ∴所求一次函数的表达式为y=x ﹣3（2）解：∵一次函数y=x ﹣3的图象交y 轴于点B ， ∴B 点坐标为﹙0，﹣3﹚． ∴OB=3．∵A 点的横坐标为﹣2，C 点的横坐标为5，…（7分） ∴S △AOC =S △AOB +S △BOC =12 OB•|﹣2）+ 12 OB×5= 12 OB （2+5）= 212（3）解：x 的范围是：﹣2＜x ＜0或x ＞54．【答案】（1）解：∵O 是DE 的中点，CO△AE ，∴CO 是△ADE 的中位线， ∴AE=2CO ， 设CO=m ， ∴AE=2m ， ∵tan△DCO= 12， ∴12DO CO = ， ∴DO= 12m ，∴DE=m ， ∵S △ADE =4， ∴12DE•AE=4， ∴m 2=4， ∴m=2，∴C （0，2），A （1，4）， 将点A （1，4）代入y 2= 2k x， ∴k 2=4，将A （1，4）和C （0，2）代入y 1=k 1x+b ，∴124b k b =⎧⎨+=⎩ ， ∴解得 122k b =⎧⎨=⎩， ∴y 1=2x+2，y 2=4x（2）解：过点B 作BF△x 轴于点F ，联立 224y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：x=﹣2或x=1， ∴B （﹣2，﹣2），∴BF=2，令y=0代入y 1=2x+2， ∴D （﹣1，0），由题意可知：A′E=AE=4， ∴A′D=OD+OE+AE=6， ∴△AA'B 的面积为：12 A′D•BF+ 12A′D•AE=18，5．【答案】（1）解：设点C 的坐标为（m ，0），∵C 是OB 的中点， ∴OC=BC ．在△COD 和△CBA 中， 90DCO ACB OC BC DOC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△COD△△CBA （ASA ）， ∴OD=BA ． ∵点D （0，﹣2），∴点A 的坐标为（2m ，2）． ∴S △AOD =S △ABC +S △DOC =2S △DOC =2× 12OC•OD=2m=4， ∴m=2，∴点C 的坐标为（2，0） （2）解：∵m=2， ∴点A 的坐标为（4，2）． ∵点A 在反比例函数y 1= kx的图象上， ∴k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y 1=8x； 将C （2，0）、D （0，﹣2）代入y 2=ax+b 中，022a bb =+⎧⎨-=⎩ ，解得： 12a b =⎧⎨=-⎩ ， ∴一次函数的解析式为y=x ﹣2（3）解：联立两函数解析式成方程组，82y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，解得： 24x y =-⎧⎨=-⎩ 或 42x y =⎧⎨=⎩ ， ∴两函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）．观察函数图象可知：当﹣2＜x ＜0 或x ＞4时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当y 1＜y 2时，x 的取值范围为﹣2＜x ＜0 或x ＞4．6．【答案】（1）解：∵OB=OA=4，∴B 的坐标是（0，4），A 的坐标是（4，0），根据题意得 1440b k b =⎧⎨+=⎩ ， 解得 114k b =-⎧⎨=⎩ ，则一次函数的解析式是y=﹣x+4．当x=﹣2时，y=2+4=6， 则C 的坐标是（﹣2，6）． ∵C 在y=2k x上， ∴k2=﹣12．则反比例函数的解析式是y=﹣12x（2）解：根据题意得 412y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得： 28x y =-⎧⎨=⎩ 或62x y =⎧⎨=-⎩ ， 则E 的坐标是（6，﹣2）． ∴S △OCE =S △OAC +S △OAE =12 ×4×6+ 12×4×2=16 7．【答案】（1）解：由题意可得：点A （2，1）在函数y=x+m 的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A （2，1）在反比例函数 ky x= 的图象上， ∴12k= ， ∴k=2（2）解：∵一次函数解析式为y=x ﹣1，令y=0，得x=1， ∴点C 的坐标是（1，0）， 由图象可知不等式组0＜x+m≤kx的解集为1＜x≤2 8．【答案】（1）m=6；（2，0）（2）解：设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+.将342A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(20)C ，代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-. 因为点D 在线段AB 上，可设33(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，， 因为//DE y 轴，交反比例函数图象于点E .所以6E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭. 所以当a=1时，ODE 面积的最大值为278.9．【答案】（1）解：∵点 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，点 ()4,B m ∴点 C 坐标为 ()4,0 ∴35422AC =-= ∴11524ACDSAC OD =⋅⋅= ∴1515224OD ⨯⋅= ∴3OD =∴点 D 坐标为 ()0,3-把 ()0,3D - ， 3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭ 代入 y kx b =+ 得： 3302b k b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 23k b =⎧⎨=-⎩∴直线的解析式为 23y x =-把点 ()4,B m 代入 23y x =- 得 2435m =⨯-= ∴()4,5B ∴4520a =⨯=则反比例函数的解析式为 20y x=（2）解：∵()4,5B ， ()4,0C ， ()0,3D - ∴5BC = ， 4OC = ， 3OD = 在 Rt COD 中， 225CD OD OC =+= ∴BC CD =∴BCD 是等腰三角形.10．【答案】（1）解：过B 作BM△x 轴于M ，∵B （n ，﹣2），tan△BOC=25 ， ∴BM=2，tan△BOC=2OM = 25，∴OM=5，即B的坐标是（﹣5，﹣2），把B的坐标代入y= kx得：k=10，即反比例函数的解析式是y= 10x，把A（2，m）代入得：m=5，即A的坐标是（2，5），把A、B的坐标代入y=ax+b得：5225k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：k=1，b=3，即一次函数的解析式是y=x+3（2）解：∵将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y=x﹣3，解：310y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴52xy=-⎧⎨=-⎩或25xy=⎧⎨=⎩，∴E（﹣5，﹣2），F（2，5），∴△EOF的面积= 12×3×2+12⨯3×5=212．11．【答案】（1）解：将A（﹣2，1）代入y= kx，得k=﹣2，又由题意知B（1，n）在y= kx的图象上，所以n=﹣2，即B（1，﹣2，又A、B两点都在y=ax+b的图象上，则212a ba b-+=⎧⎨+=⎩，解得a=﹣1，b=﹣1，综上所述a=﹣1，b=﹣1，k=﹣2（2）解：设直线AB交X轴于C点，则S△AOB=S△AOC+S△BOC= 3 2（3）解：由图象可知当﹣2＜x＜0或x＞1时，ax+b＜kx．12．【答案】（1）解：反比例函数y=﹣8x的图象交于A、B两点，且A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，∴A点的纵坐标为和B点的横坐标都为4，∴A（﹣2，4），B（4，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象过A、B两点，∴把A、B两点坐标代入可得2442k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为y=﹣x+2（2）解：如图，设一次函数与y 轴交于点C ，则C 点坐标为（0，2）， ∴OC=2，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12 OC•2+ 12OC•4=6（3）解：结合图象可知一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，对应的x 的取值范围为x ＜﹣2和0＜x ＜4，∴一次函数的值大于反比例函数的值时对应的x 的取值范围为x ＜﹣2和0＜x ＜4．13．【答案】（1）解：将点 ()1,2A 代入反比例函数解析式中，得21k=解得：k=2∴反比例函数的解析式为 2y x=； （2）解：设直线CD 的解析式为y=ax ＋b ， 将x=0代入可得y=b ∴点C 的坐标为（0，b ）， ∵OC OD =∴点D 的坐标为（b ，0）将点A 和点D 的坐标代入y=ax ＋b 中，得20k bbk b =+⎧⎨=+⎩解得： 13k b =-⎧⎨=⎩∴直线CD 的解析式为y=-x ＋3联立 23y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得： 12x y =⎧⎨=⎩ 或 21x y =⎧⎨=⎩，其中（1,2）为点A 的坐标 ∴点B 的坐标为（2,1）14．【答案】（1）解：由图可知，点A （﹣2，1），点B （1，n ），∵一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A 、B 两点， ∴12m=- ，得m=﹣2， ∴21n -= ，得n=﹣2， ∴212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得， 11k b =-⎧⎨=-⎩即反比例函数的解析式为 2y x-=，一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1 （2）解：根据函数图象，一次函数的值大于该反比例函数的值的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜1 （3）解：∵直线y=﹣x ﹣1与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）， ∴121122AOBS-⨯--⨯=+= 112+ = 32 15．【答案】（1）解：作AD△y 轴于D ，∵A （3，a ）， ∴AD=3，∵一次函数的图象与y 轴交于C （0，4）， ∴OC=4，∴S△AOC= 12OC•AD=12×4×3=6（2）解：∵A（3，a），B（1，b）两点在反比例函数y= kx（x＞0）的图象上，∴3a=b，222a ab b-+=2，∴a2﹣2ab+b2=4，∴a2﹣2a•3a+（3a）2=4，整理得，a2=1，∵a＞0，∴a=1，∴A（3，1），∴k=3×1=3，设直线的解析式为y=mx+n，∴431nm n=⎧⎨+=⎩，解得14mn=-⎧⎨=⎩，∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y= 3x和y=﹣x+4．16．【答案】（1）解：∵点N（﹣1，﹣4）在反比例函数y= kx（k≠0）的图象上，∴k=（﹣1）×（﹣4）=4，∴反比例函数的关系式为y= 4x；∵点M（2，m）在反比例函数y= 4x的图象上，∴m= 42=2，∴点M（2，2）．将M（2，2）、N（﹣1，﹣4）代入y=ax+b中，得： 224a b a b =+⎧⎨-=-+⎩ ，解得： 22a b =⎧⎨=-⎩ ，∴一次函数的关系式为y=2x ﹣2（2）解：根据函数图象的上下位置关系可得：当x ＜﹣1或0＜x ＜2时，反比例函数值大于一次函数值 17．【答案】（1）解：∵四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）， ∴C 点坐标为（6，4），∵点A 为线段OC 的中点，∴A 点坐标为（3，2），∴k 1=3×2=6，∴反比例函数解析式为 6y x = ；把x=6代入 6y x = 得x=1，则F 点的坐标为（6，1）；把y=4代入 6y x =得x=32，则E 点坐标为（ 32 ，4），把F （6，1）、E （ 32 ，4）代入y=k 2x+b 得，2261342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 解得：2235k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴直线EF 的解析式为y= 23- x+5；（2）解：△OEF 的面积=S 矩形BCDO -S △ODE -S △OBF -S △CEF =4×6-12×4×32-12×6×1-12×(6-32)×(4-1).=454.（3）解：不等式 120k k x b x +-> 的解集为 32 ＜x ＜6.18．【答案】（1）解：设A （x 0，y 0），则OD=x 0，AD=y 0，∴S △AOD = 12 OD•AD= 12 x 0y 0=2，∴k=x 0y 0=4；当x 0=4时，y 0=1，∴A （4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵45y x y mx ⎧⎪⎨⎪+⎩＝＝ ，∴4x ＝mx+5，整理得，mx 2+5x-4=0，∵A 的横坐标为x 0，∴mx 02+5x 0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- 5m ，∵OC=- 5m ，OD=x 0，∴m 2•t=m 2•（OD•DC ），=m 2•x 0（- 5m -x 0），=m （-5x 0-mx 02），=-4m ，∵- 32 ＜m ＜- 54 ，∴5＜-4m ＜6，∴[m 2•t]=519．【答案】（1）解：观察图象可知当 1x <- 或 04x << ，k 1x+b> 2k x（2）解：把 ()14A -， 代入 2k y x = ，得 24k =- ， ∴4y x =- ，∵点 ()4B n ， 在 4y x =- 上，∴1n =- ，∴()41B -， ，把 ()14A -， ， ()41B -， 代入 11y k x b =+ 得 11441k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ ，解得 113k b =-⎧⎨=⎩ ，∴3y x =-+（3）解：设 AB 与 y 轴交于点 C ， ∵点 C 在直线 3y x =-+ 上，∴()03C ， ， ()()113147.522AOB A B S OC x x ∆=⋅+=⨯⨯+= ， 又 12AOD BOP S S ∆∆=：： ，∴17.5 2.53AOP S ∆=⨯= ， 5BOP S ∆= ， 又 131 1.52AOC S ∆=⨯⨯= ，∴点 P 在第一象限，∴ 2.5 1.51COP S ∆=-= ，又 3OC = ，∴1312P x ⨯⨯= ，解得 23P x = ，把 23P x = 代入 3y x =-+ ，得 73P y = ， ∴2733P ⎛⎫⎪⎝⎭， .20．【答案】（1）解：把点A （4，3）代入函数y= ax 得：a=3×4=12，∴y= 12x ． OA= 2234+=5，∵OA=OB ，∴OB=5，∴点B 的坐标为（0，﹣5），把B （0，﹣5），A （4，3）代入y=kx+b 得： 543b k b =-⎧⎨+=⎩解得： 25k b =⎧⎨=-⎩∴y=2x ﹣5（2）解：∵点M 在一次函数y=2x ﹣5上，∴设点M 的坐标为（x ，2x ﹣5）， ∵MB=MC ， 2222(255)(255)x x x x +-+=+--解得：x=2.5，∴点M 的坐标为（2.5，0）．。
2024中考压轴题02 反比例函数的综合问题(3题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)
压轴题解题模板02反比例函数的综合问题目录题型一反比例函数与一次函数交点问题题型二反比例函数与一次函数图像面积问题题型三反比例函数与几何图形结合题型1题型2题型3题型一反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点(),6A n 和()3,2B 是一次函数1y kx b =+的图象与反比例x(1)求m 的值和反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：x求AOB的面积；请根据图象直接写出不等式【变式2-1】（2023·A B象交于(4,1),若OBD的)0m>的个单位长度后与反比例函数图象，求ACD的面积．题型三反比例函数与几何图形结合解题模板：x轴上，ABP是以x使ABP是以点统考中考真题）如图，在平面直角坐标系的图象的一个交点为x上，且ABC的面积为上一点，连接P A，以，使它与PAB位似，相似比为好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．一、解答题x轴上一点，若PAB的面积为统考中考真题）恰好落在反比例函数x，使ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．如图，正比例函数ABC 的面积．6．（2023·tan 2AOB ∠的对称点，OAC 的面积是x(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标．。
2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合
2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知直线y＝3x与双曲线y＝kx交于A、B两点，且点A的横坐标为.（1）求k的值；（2）若双曲线y＝kx上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝kx上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤ nx的解集．3．如图，一次函数y mx b=+的图象与反比例函数kyx=的图象交于()3,1A，1(2B-，)n两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．4．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=kx（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．5．已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx ＋b － mx＜0的解集．6．如图，已知一次函数 ()1110y k x b k =+≠ 与反比例函数 ()2220k y k x=≠ 的图象交于 ()4,1A ， (),2B n - 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出 12y y < 时 x 的取值范围.7．如图，一次函数 y 2x 8=-+ 与函数 ky (x 0)x=> 的图象交于 ()A m,6 ， ()B n,2 两点， AC y ⊥ 轴于C ， BD x ⊥ 轴于D（1）求k 的值；（2）根据图象直接写出 k2x 80x-+-< 的x 的取值范围；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点P 坐标.8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）与反比例函数y ＝mx（m≠0）的图象相交于A 、B 两点，过点A 作AD△x 轴于点D ，AO ＝5，OD ＝34AD ，B 点的坐标为（﹣6，n ）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）P 是y 轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．9．如图，A(3，m)是反比例函数y ＝kx 在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB△x 轴，连接OB ，交反比例函数y ＝kx的图象于点P(2 ，).（1）求m 的值和点B 的坐标； （2）连接AP ，求△OAP 的面积.10．如图，一次函数 4y x =-+ 的图象与反比例函数 ky x=（k 为常数，且 0k ≠ ）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．11．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2= kx的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．12．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= mx(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD△x轴于D，AD=4，sin△AOD= 45，且点B的坐标为(n,-2)．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．13．如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标.14．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠o)的图象交于A(-1，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP=32S△BOC，求点P的坐标．15．如图在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点()0,7B，与反比例函数8yx=-在第二象限内的图象相交于点()1,A a-．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点,E与y轴交于点,D求ACD的面积．16．如图，已知一次函数y= 12x+b的图象与反比例函数kyx=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当12kx bx+<时，请直接写出x的取值范围．17．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数2myx=的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D.（1）求反比例函数2myx=和一次函数y1=kx+b的表达式；（2）连接OA，OC，求△AOC的面积；（3）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.18．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝mx(m≠0)分别交于点A(4，1)，B(﹣1，a)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出kx+b＞mx的x的取值范围.19．如图，已知点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，过点A作AC△x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A 的坐标；（2）若四边形ABOC 的面积是3，求一次函数y=kx+b 的表达式．20．如图，一次函数 y kx b =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象相交于 ()1,A a ， ()3,B c - 两点直线 y kx b =+ 分别交 x 轴、 y 轴于 C 、 D 两点.（1）直接写出不等式 0mkx b x+-> 的解集； （2）求ma c+ 的值； （3）求 C 点的坐标.答案解析部分1．【答案】（1）解：把x= 代入y x=，得y= 1，∴A（，1），把点)代入kyx=，解得：k=；（2）解：∵把y=3代入函数yx=，得x=3，∴C⎫⎪⎪⎝⎭，设过A，C两点的直线方程为：y kx b=+，把点)，⎫⎪⎪⎝⎭，代入得：133b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：4kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴4y=+，设4y=+与x轴交点为D，则D点坐标为,03⎛⎫⎪⎪⎝⎭，∴113123233AOC CODAODS S S=-=⨯-⨯=；（3）解：设P点坐标a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60，∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60的菱形，P在直线3y x=上，∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入yx=，解得纵坐标为：a，根据OP NP=，即得：，解得：1a=±.故P点坐标为：⎛⎝⎭或1,⎛-⎝⎭.【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据AOC COD AODS S S=-求解即可；（3）设P点坐标,3a a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得OP NP=，求出a的值即可.2．【答案】（1）解：由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD△x轴∴OB△CD∴△ABO△△ACD∴OA OBAD CD=∴61210CD=∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y= -80x把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：0612k bb=+⎧⎨=⎩解得： 212k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）解：当 80x- =﹣2x+12时，解得 x 1=10，x 2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E 坐标为（10，﹣8）∴S △CDE =S △CDA +S △EDA = 11201081014022⨯⨯+⨯⨯=（3）解：不等式kx+b≤nx，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x ＜0【解析】【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．3．【答案】（1）解：∵反比例函数y kx=的图象经过A （3，1），∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y 3x=； （2）解：把B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式，可得 12- n ＝3，解得n ＝﹣6，∴B （ 12- ，﹣6），把A （3，1），B （ 12- ，﹣6）代入一次函数y ＝mx+b ，可得13162m b m b =+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ ，解得 25m b =⎧⎨=-⎩ ，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣5 【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入 反比例函数y kx=即可算出k 的值，从而求出反比例函数的解析式；（2）将 B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式 即可算出n 的值，从而求出B 点的坐标，将A,B 两点的坐标分别代入一次函数的解析式即可得出关于m,b 的二元一次方程组，求解得出m,b 的值，从而求出一次函数的解析式。
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反比例函数与一次函数综合练习题（3）
1.已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A 、B 两点，
与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10 ，tan ∠DOB ＝13
． ⑴求反比例函数的解析式：
⑵设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m
的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
2.如图所示，已知反比例函数y= k x
的图象经过点A （－ 3 ，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为 3 。
⑴求k 、b 的值；
⑵若一次函数y=ax+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AO ∶AM ；
⑶如果以AM 为一边的正三角形AMP 的顶点P 在二次函数y=－x 2+ 3 mx+m －9
的图象上，求m 的值。
3.如图，直线y ＝2
1x ＋2分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9．
⑴求点P 的坐标；
⑵设点R 与点P 的同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线
PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似
时，求点R 的坐标.
4.如图，已知C 、D 是双曲线y=
m x
在第一像限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，连结OC 、OD 。
⑴求证：y 1<OC<y 1+ 1
y m ； ⑵若∠BOC=∠AOD=α，tan α=13
，OC=10 ，求直线CD 的解析式； ⑶在⑵的条件下，双曲线上是否存在一点P ，使得S △POC =S △POD ？若存在，请给
出证明；若不存在，请说明理由。
5.已知A （m ，2）是直线l 与双曲线y= 3x
的交点。
⑴求m 的值；
⑵若直线l 分别与x 轴、y 轴相交于E ，F 两点，并且点A 为Rt △OEF 中EF 的中点，试确定直线l 的解析式；
⑶在双曲线y= 3x
上另取一点B 作BK ⊥x 轴于点K ，将⑵中的直线l 绕点A 旋转后所得的直线记为l ′，若l ′与y 轴的正半
轴相交于点C ，且OC=14
OF 。
试问在y 轴上是否存在点P ，使得S △PCA =S △BOK ，若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明
理由．
1.解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ． 在Rt △OHB 中， HO ＝3BH ． 由勾股定理，得 BH 2＋HO 2＝OB 2．
又∵ OB ＝10．∴ BH 2＋（3BH ）2＝（10）2．
∵ BH ＞0， ∴ BH ＝1，HO ＝3．
∴ 点B （－3，－1）．
设反正比例函数的解析式为x
k y 1=（k ≠0）． ∵ 点B 在反比例函数的图象上， ∴ 反比例函数的解析式为x y 3=
． （2）设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b （k ≠0）． 由点A 在第一象限，得m ＞0．
又由点A 在函数x
y 3=
的图象上，可求得点A 的纵坐标为m 3． ∵ 点B （－3，－1），点A （m ，m 3）， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-．，m b mk b k 31322 解关于k 2、b 的方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==．，m m b m k 312 ∴ 直线AB 的解析式为 m
m x m y -+=31． 令 y ＝0， 求得点D 的横坐标为 x ＝m －3．
过点A 作A G ⊥x 轴于点 G ．
S ＝S △BDO ＋S △ADO ＝
21DO ·BH ＋21DO ·G A ＝21DO （BH ＋G A ）＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-m m 31321． 由已知，直线经过第一、三、四象限， ∴ b ＞0时，即 03>-m m ． ∵ m ＞0， ∴ 3－m ＞0．由此得 0＜m ＜3．
∴ S ＝21（3－m ）（1＋m 3）． 即 S ＝m
m 292
-（0＜m ＜3） 2.解：（1）∵A （－3，b ），∴S △AOB=2
1×3×b=3∴b=2，∴A （－3，2）， ∴k=－3×2= －2 3
(2)y=ax+1过A （－3，2）,∴2= －3a+1,∴a=－
33, ∴直线为y=－
33x+1,∴M(3,0)∴AO ∶AM=7∶4 （3）∵BM AB =3
22∴∠AMB=300
，若△PAM 为等边三角形 ∴P （3，4）或（－3，－2）所以4=－3+3m+m －9或－2=－3－3m+m －9
所以m=4或－5
3.解：（1）由题意，得点C （0，2），点A （－4，0）．
设点P 的坐标为（a ，2
1a ＋2），其中a ＞0． 由题意，得S △ABP ＝21（a ＋4）（2
1a ＋2）＝9． 解得a ＝2或a ＝－10（舍去） 而当a ＝2时，2
1a ＋2＝3，∴ 点P 的坐标为（2，3）． （2）设反比例函数的解析式为y ＝x k ．∵ 点P 在反比例函数的图象上，∴ 3＝2
k ，k ＝6 ∴ 反比例函数的解析式为y ＝x
6， 设点R 的坐标为（b ，b
6），点T 的坐标为（b ，0）其中b ＞2， 那么BT ＝b －2，RT ＝b
6． ①当△RTB ～△AOC 时，CO BT AO RT =，即 2==CO
AO BT RT ， ∴ 22
6
=-b b ，解得b ＝3或b ＝－1（舍去）． ∴ 点R 的坐标为（3，2）．
①当△RTB ∽△COA 时，AO BT CO RT =，即 2
1==AO CO BT RT ， ∴ 2
126
=-b b ，解得b ＝1＋13或b ＝1－13（舍去）． ∴ 点R 的坐标为（1＋13，2
113-）． 综上所述，点R 的坐标为（3，2）或（1＋13，2
113-）． 4.解：（1）证明：过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ，则CG=y 1，OG=x 1。
∵点在双曲线y=x m 上， ∴。
∵在Rt △OCG 中，CG<OC<CG+OG , ∴。
（2）解：在Rt △GCO 中，∠GCO=∠BOC=α
，即：，。
∵OC 2=OG 2+CG 2，OC=10， ∴10=x 12+y 12，即。
10=x 12+(3x 1)2
解之，得x 1=±1， ∵负值不合题意，
∴x 1=1,y 1=3 ∴点C 的坐标为（1，3）。
∵点C 在双曲线y=x m 上。
∴3=1m ，即m=3。
所以，双曲线的解析式为y=x 3。
过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为H 。
则DH=y 2,OH=x 2。
在Rt △ODH 中，tan α=3122==x y OH DH ， 即：。
又y 2=2
3x ，则3y 22=3， 解之，得 ∵负值不合题意， ∴y 2=1,x 2=3。
∴点D 的坐标为（3，1）。
设直线CD 的解析式为y=kx+b 。
则有：，解得。
∴直线CD 的解析式为y=-x+4。
（3）解：双曲线y=
x 3上存在点P ，使得：S △POC =S △POD ，这个点P 就是∠COD 的平分线与双曲线y=x
3的交点。
证明如下：
∵点P 在∠COD 的平分线上。
∴点P 到OC 、OD 的距离相等。
又。
∴。
5.。