周期函数1

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高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性

专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修

利用定义法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是看是否存在一个非零常数T，使得对于定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)。
周期函数的判定方法二
利用特殊值法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是取定义域内的某些特殊值，例如0、1、2等，看这些特殊值是否满足f(x+T)=f(x)。如果满足，则可以初步判断该函数是周期函数。
选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
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答案：B
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题目：函数$f(x) = cosfrac{1}{x}$的周期为( )
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选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修
CONTENTS
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数类型 • 周期函数的应用 • 周期函数的习题及解析
CHAPTER
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x) ，那么就把函数f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
三角函数的周期计算
三角函数的周期可以通过公式 T=2π/ω来计算，其中ω是角频率。对于正弦函数和余弦函数，ω=1，因此它们的周期T=2π。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他形式的三角函数，如tan(x)、cot(x)等。这些函数的周期也可以通过公式 T=π/ω来计算。
其他周期函数类型
01

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性含解析

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数．能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)

函数周期性及其图像变换一、知识梳理1.周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【例题精讲】例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【归纳总结】1. 周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．变式训练：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.例2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．例3、设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．题型二、函数的图像及变换(一)、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．(二)、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．根据解析式作函数的图象例1、作出下列函数的图象：(1) y＝x3|x|； (2) y＝x＋2x－1；变式训练：1、画出函数y＝x2－2|x|－1的图象：2、函数y＝x|x|的图象大致是( )识图与辩图例2、已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )【总结归纳】“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．变式训练：1、如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．函数图象的应用例3、已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【题后悟道】所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y ＝|x 2－1|x －1的图象，然后利用图象直观确定直线y ＝kx －2的位置．作图时应注意不包括B 、C 两点，而函数y ＝kx －2的图象恒过定点A (0，－2)，直线绕A 点可以转动，直线过B 、C 两点是关键点．变式训练：1．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．题型三、抽象函数问题1．抽象函数的函数值例1、已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．1求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x0的值．[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．2．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．例2、已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解．3．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用单调性定义进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．例3、设f(x) 定义于实数集上，当x＞0时，f(x)＞1 ，且对于任意实数x、y，有f(x + y) =f(x)·f(y)，求证：f(x) 在R上为增函数．[题后悟道]一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．4．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．例4、已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 014)＝________【课堂练习】1、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

高中数学一轮复习之函数的周期性

第8节函数的周期性【基础知识】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【规律技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【典例讲解】例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【变式探究】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时， f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.【答案】2.5【针对训练】1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．【答案】10062、已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A3、已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2()1f x x =-.若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．3{|24a a k =+或52,}4k k Z +∈ B ．1{|24a a k =-或32,}4k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或52,}4k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈【答案】C【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．【练习巩固】1、已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【答案】D2、设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .【答案】()[]2,7f x ∈-【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．3.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015【答案】A4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 【答案】A5.设()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(1)()f x f x +=-．当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 【答案】16、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)【答案】D7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98【答案】A8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( ) A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C 9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23 【答案】C【解析】函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23.。

数学(1.4.2-1函数的周期性)

周期函数的傅里叶级数展开式
傅里叶级数展开式
将周期函数表示为无穷级数的方法，其中每个项都是正弦或余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的应用
傅里叶级数在信号处理、振动分析、电磁波分析等领域有广泛应用，通过傅里叶级数可以分析信号的成分和频率特性。
周期函数的微积分性质
连续性
周期函数在其定义域内是连续的，这是由于函数值的重复性导致的。
数学(1.4.2-1函数的周期性)
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数 • 周期函数的图像 • 周期函数的应用 • 周期函数的扩展知识
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于定义域内的每一个$x$，
都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $f(x)$为周期函数，$T$称为这
个函数的一个周期。
周期函数的性质
周期函数具有周期性，即对于任意整数$k$，函数$f(x)$的图像总是重复出现，且每重复一次所
需要的时间为$T$。
周期函数的分类
根据周期的不同，可以将周期函数分为最小正周期函数、有界周
期函数、无界周期函数等。
周期函数的性质
最小正周期
对于一个周期函数，存在一个最小的正数$T$，使得对于定义域内的每一个$x$，都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $T$为该函数的最小正周期。
形状
正弦函数的图像是一个波浪线，形状类似于英文处达到最大值和最小值，这些点是函数周期性变化的标志。
余弦函数的图像
周期性
余弦函数也是周期函数，其图像同样呈现规律性的重复。
形状
余弦函数的图像是一个起伏的曲线，形状类似于英文字母 "c"。

1-5周期函数

专题5周期函数秒杀秘籍：第一讲周期函数与函数迭代如果函数()x f 对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得()()x f T x f =+恒成立，则称函数()x f 是周期函数，T 是它的一个周期．一般情况下，如果T 是函数()x f 的周期，则()+∈N k kT 也是()x f 的周期．（1）若()()f x a f x b +=+或()()f x a f x b -=-，则T b a=-证明：()()f x a f x b +=+ ，()=()()f x f x a a f x a b ∴-+=-+，b T a∴=-()()f x a f x b -=- ，()()()f x f x a a f x a b ∴=+-=+-，b T a∴=-（2）若()()f x m f x +=-，则2T m=证明：()()()(2)f x m f x m m f x m f x ===＋＋＋－＋，2T m∴=代表函数：x x f sin )(=，则x x f sin )(-=+π，x x f sin )2(=+π，2T π∴=．（3）若()(1)f x m f x =±＋，则2T m =证明：() 1()()(2)f x m f x m m f x f x m ±+===＋＋＋．代表函数：x x f tan )(=，则xx f tan 1)2(-=+π，x x f tan )(=+π，T π∴=．（4）1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m=证明：1()11()1()(2)==()1()1()11()f x f x m f x f x m f x f x f x m f x ---+++=-++++．综合（2）、（3）、（4），我们得到定理1：当一个函数()()1()f x m x x ϕϕ-+==时，一定有()(2)f x m f x +=，()f x 是周期为2m 的周期函数．可以理解为周期为m 2的函数来自于一个原函数的反函数相等的函数迭代两次回到最初的点，在（2）中，()()1=x x x ϕϕ-=-（图1）；在（3）中，()()11=x x x ϕϕ-=±（图2）；在（4）中，()()11=1xx x xϕϕ--=+（图3）．推论：()()()af x bf x m cf x d++=+，当仅当0a d +=时，()f x 是周期为2m 的周期函数．证明：令d a =-()()()()af x b f x m x cf x a ϕ++==- ，()2()(2)()a x b f x m x c x a ϕϕϕ+∴+==-()()()()af x b a bcf x aaf x b c acf x a+⋅+-=+⋅--()()()()()()()2222a bc f x a f x ab bcf x ab f x acf x bc acf x a a bc+++-===+-++，()f x ∴是周期为2m 的周期函数．当()f x 是周期为2m 的周期函数时，有()()1()f x m x x ϕϕ-+==，令()()()()af x bf x m x cf x dϕ++==+，则()()()af x b yd b y f x cf x d cy a +-+=⇒=+-()1()()df x bx cf x aϕ--+∴=-，故a d =-时，()()1x x ϕϕ-=．图1：xx -=)(ϕ图2：xx 1)(=ϕ图3：xx x +-=11)(ϕ我们可以根据蛛网图来形象表达迭代原理，具体原理可以参考《秒2》的数列的本质部分，这里不详细叙述，周期数列和周期函数本质上是一样的，源于一个函数的n 次迭代，其最终的结果就是经过n 次迭代后能回到最初的)(x f ．（5）()3()13()f x m f x +=-，则()x f 是以3m 为周期的周期函数．证明：()3()333(2)3()313()13()(3)()13(2)()33()1()3133+113()13()f x m f x f x m f x m f x m f x f x m f x f x m f x m f x m f x f x m f x ++++-+++--+-+==-++++++--+-代表函数：x x f tan )(=，则xx x f tan 313tan )3(-+=+π，x x f tan )(=+π，T π∴=．（6）1()1(()0)()f x m f x f x +=-≠，则()x f 是以3m 为周期的周期函数．证明：1111(3)11()11(2)()1111()()f x m f x f x m f x m f x m f x --+=-=-==++----+（图4）综合（5）和（6），我们得到定理2：当一个函数()()f x m x ϕ+=时，则可以根据迭代推出()2(2)f x m x ϕ+=，()3(3)=()f x m x f x ϕ+=，那么()f x 是周期为3m 的周期函数，我们可以得出定理2．定理2：函数()()()af x b f x m cf x d++=+，当仅当()2a d ad bc +=-时，()f x 是周期为3m的周期函数．图4：xx 11)(-=ϕ图5：xx x -+=11)(ϕ（7）1()()1()f x f x m f x ++=-，则4T m=证明：1()11()11()(2)==1()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x m f x f x ++++-+=-+-+--．1(4)=()(2)f x m f x f x m +-=+（图5）代表函数：x x f tan )(=，则xxx f tan 1tan 14(-+=+π，x x f tan )(=+π，T π∴=．定理3：函数()()()af x b f x m cf x d++=+，当仅当()()22a d ad bc +=-时，()f x 是周期为4m 的周期函数．（8）13()()3()f x f x m f x ++=-6T m=代表函数：x x f tan )(=，则13tan ()63tan f x xπ+=-x x f tan )(=+π，T π∴=．定理4：函数()()()af x b f x m cf x d++=+，当仅当()()23a d ad bc +=-时，()f x 是周期为6m 的周期函数；当()()23a d ad bc +>-时，不会再产生周期函数．周期函数的迭代定理：若()()f x m f x ϕ+=⎡⎤⎣⎦，则存在()2(2)f x m f x ϕ+=⎡⎤⎣⎦，()3(3)f x m f x ϕ+=⎡⎤⎣⎦，一定存在最小的正整数n ，使得()()n f x f x ϕ=⎡⎤⎣⎦成立，即()()()n f x nm f x f x ϕ+==⎡⎤⎣⎦，nm 即为这个函数的最小正周期．（9）()()()f x f x a f x a =++-，则)(x f 是以6a 为周期的周期函数．证明：()()()()()()2()(2)()()f x f x a f x a f x a f x a f x f x f x a f x f x a =++-⇒+=++⇒=+++-,()()0(2)();()(2)()(3)336f x a f x a f x a f x a f x f x a f x a a f x a∴=++-∴-=-+⇒=-+=++=+代表函数：inx x f s )(=，则)(sin 3cos sin 2)3()3(x f x x x f x f ===-++πππ，2T π∴=．【例1】定义在R 上的奇函数且)2()2(-=+x f x f ，且2)1(=f ，则=+)7()2(f f ．【例2】对任意整数x ，函数)(x f 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若2)1(=f ，则=)2020(f ，=)2019(f ．【例3】设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：)()(1)()()()(122121x f x f x f x f x x f ii -+⋅=-；)(ii 存在正常数a 使1)(=a f ．求证：（1）)(x f 是奇函数；（2）)(x f 是周期函数，且有一个周期是a 4．【例4】已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有()(1)(1)f x f x f x =++-．若(4)2020f =，求(2020)f 的值．【例5】定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a 、b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且0)0(≠f ．（1）求)0(f 的值；（2）试判断)(x f 的奇偶性；（3）若存在常数0>c 使0)(=c f ，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由．【例6】已知1(1)1(()0)()f x f x f x +=-≠，若(1)2f =，求(2019)f 和(2020)f 的值．【例7】设xxx f -+=11)(，又记)()(1x f x f =，)]([)(1x f f x f k k =+，1=k ，2，⋅⋅⋅，则=)(2018x f （）A ．x1-B ．xC ．11+-x x D ．xx -+11【例8】已知()113xf x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20202f -=（）A ．17-B ．17C ．35-D ．3【例9】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，当01x <≤时，()2f x x =，则(11.5)f =．【例10】函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()020f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2018f 的值为．秒杀秘籍：第二讲函数对称与周期的关系定理5：若函数)(x f y =的图像关于直线a x =，b x =都对称，则)(x f 为周期函数且2b a -是它的一个周期．推论：若偶函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则)(x f 为周期函数且a 2是它的一个周期．代表函数：()cos f x x =，则()f x 关于直线0x =和x π=对称，2T π∴=．证明定理5：函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出()()(2)2f x f a x f b x =-=-；令2t a x =-，则2x a t =-，()()22[2()]f t f b a x f x b a =-+=+-，即可以得到)(x f y =的周期为2b a -，即可以得到：如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数．定理6：函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y 都对称，则函数()f x 是以2b a -为周期的周期函数．推论：若奇函数)(x f y =的图像关于(),0A a 对称，则f(x)为周期函数且a 2是它的一个周期．代表函数：()tan f x x =，则()f x 关于原点和(,0)2π对称，T π∴=．证明定理6：函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出)2()2()(x b f x a f x f -=-=；令2t a x =-，则2x a t =-，()()22[2()]f t f b a x f x b a =-+=+-，即可以得到)(x f y =的周期为2b a -，即可以得到：如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数．定理7：函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =都对称，则函数()f x 是以4b a -为周期的周期函数．推论：若奇函数()y f x =的图像关于直线a x =对称，则)(x f 为周期函数且a 4是它的一个周期．代表函数：()sin f x x =，则()f x 关于原点和2x π=对称，2T π∴=．定理8：周期为T 的奇函数一定关于点(,0)2T 对称，周期为T 的偶函数关于直线2Tx =对称．引论：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点),2(11y x a -也在()y f x =上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x a =对称．得证．若写成：)()(x b f x a f -=+（1）函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++上述关系也可以写成b x f x a f 2)()2(=-++或b x f x a f 2)()2(=+-．简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称，得证．【例11】设)(x f 是定义在R 上以6为周期的函数，)(x f 在(0，3)内单调递减，且)(x f y =的图象关于直线3x =对称，则下面正确的结论是（）A ．)5.6()5.3()5.1(f f f <<B ．)5.6()5.1()5.3(f f f <<C ．)5.1()5.3()5.6(f f f <<D ．)5.1()5.6()5.3(f f f <<【例12】（2018•邕宁模拟）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的实数x 都有(1)(1)f x f x -=+，且(1)2f -=，1)2(-=f ．则)2017(...)3()2()1(f f f f ++++的值为（）A ．2017B ．1010C ．1008D ．2注意：偶函数关于直线1x =对称是推出2T =的关键．【例13】（2018•三明二模）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x 时，恒有(2)()f x f x +=，且当[0x ∈，1]时，()1x f x e =-，则(2017)(2018)f f -+=（）A ．0B ．eC ．1e -D ．1e-【例14】（2019•桥东月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，则(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=（）A ．6B ．4C ．2D ．0【例15】（2019•渭南一模）定义在R 上的函数()f x 满足：(6)()f x f x +=，当31x -<- 时，2()(2)f x x =-+；当13x -< 时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=（）A ．336B ．337C ．338D ．339【例16】（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【例17】（2009•江西）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ，都有(2)()f x f x +=，且当[0x ∈，2)时，2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【例18】（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，21(1,1]()1|2|,(1,3]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．15(，8)3B ．15(7)C ．4(3，8)3D ．4(37)【例19】（2011•上海）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3，4]上的值域为[2-，5]，则()f x 在区间[10-，10]上的值域为．【例20】（2018•全国）1x 、2x R ∈，(0)0f ≠，且121212(2)(2)()()f x f x f x x f x x +=+- ．（1）求(0)f ；（2）求证()f x 为偶函数；（3）若()0f π=，求证()f x 为周期函数．达标训练1．（2019•长沙月考）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x - 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11(()22f x f x +=-，则(2019)f =（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．（2019•赤峰模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且1,20()1,02x f x x -<⎧=⎨-<⎩，则下列函数值为1-的是（）A ．((5.5))f f B ．((4.5))f f C ．(3.5)f D ．(6)f 3．（2019•宜宾模拟）已知函数()f x 满足(0)2f =，且对任意x R ∈都满足(3)()f x f x +=-，则(2019)f 的值为（）A ．2019B ．2C ．0D ．2-4．（2019•渝水月考）函数()f x 的定义域为R ，且()(3)f x f x =-，当20x -< 时，2()(1)f x x =+；当01x < 时，()21f x x =-+，则=+⋅⋅⋅+++)2018()3()2()1(f f f f （）A ．671B ．673C ．1343D ．13455．（2018•龙岩期末）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)(1)f x f x +=--，若(1)1f ->，(5)f 224a a =--，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,3)-B ．(-∞，1)(3- ，)+∞C ．(3,1)-D ．(-∞，3)(1- ，)+∞6．（2018•杭州期末）已知函数()()f x x R ∈的周期为(0)T T >，且在(0,)T 上单调，则（）A ．2()f x 是周期函数，且在T 上单调B ．2()f x 不是周期函数，且在T 上单调C ．2()f x 是周期函数，且在2(0,)T 上单调D ．2()f x 不是周期函数，且在2(0,)T 上单调7．（2018•泉州二模）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x +=-，且在[0，2]上单调递减，则（）A ．f （8）(11)(15)f f <<B ．(11)(8)f f <(15)f <C ．(15)(11)f f f <<（8）D ．(15)(8)f f <(11)f <8．（2019•昌江期中）定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[3x ∈，5]时，()2|4|f x x =--，则下列不等式一定不成立的是（）A ．(cos (sin 66f f ππ>B ．(sin1)(cos1)f f <C ．22(cos)(sin )33f f ππ>D ．(sin 2)(cos 2)f f <9．（2018•张家界期末）已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(2019)f 等于（）A ．2-B ．2C ．98-D ．9810．（2018•温州模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的最小正周期等于T ，则下列函数最小正周期一定等于2T的是（）A ．(2)f xB ．()2xf C ．2()f x D ．2()f x 11．（2018•葫芦岛一模）设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[3x ∈-，2]-时，()4f x x =，则(107.5)f =（）A ．10B ．110C ．10-D ．110-12．（2018•澧县一模）已知函数()f x 是定义域为R 的周期为3的奇函数，且当(0,1.5)x ∈时2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，6]上的解的个数是（）A ．3B ．5C ．7D ．913．（2017•珠海期中）设()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[0x ∈，1]时，2()1f x x =-，则函数()()1x g x f x e =-+在区间[2018-，2018]上零点的个数为（）A ．2017B ．2018C ．4034D ．403614．（2017•福建月考）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0x ∈，1]时，()f x x =，则函数4()()log ||g x f x x =-的零点个数是（）A ．0B ．2C ．4D ．615．（2017•台州一模）若函数()y f x =是定义在R 上的周期为2的奇函数，则(2017)f =（）A ．2017-B ．0C ．1D ．201716．（2017•昆都仑月考）已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，且当[0x ∈，1]时，()21x f x =-，则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．817．（2019•成都月考）已知函数()f x 的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，且对于定义域内的任何x 、y ，有()()1()()()f x f y f x y f y f x ⋅+-=-成立，且f （a ）1(a =为正常数），当02x a <<时，()0f x >则（）A ．(3)1f a =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[2a ，3]a 上单调递增D ．4a 为()f x 的周期18．（2019•上海模拟）函数()f x 周期为1，且当01x < 时，2()log f x x =-，则3(2f =．19．（2019•江苏一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01x < 时，3()1f x x ax =-+，则实数a 的值为．20．（2019•雁塔一模）设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若(2)f 1>，f （3）233a a a ++=-，则a 的取值范围是．21．（2019•南关月考）已知偶函数()y f x =满足条件(1)(1)f x f x +=-，且当[1x ∈-，0]时，4()39f x x =+，则13(log 5)f 的值等于．22．（2018•南岗月考）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有(6)()f x f x f +=+（3）成立，且(4)2f -=-，当1x ，2[0x ∈，3]，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．则给出下列命题：①(2018)2f =-；②函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-；③函数()y f x =在[9-，6]-上为增函数；④方程()0f x =在[9-，9]上有4个根；其中正确的命题序号是．23．（2018•香坊期中）设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈恒有(1)(1)f x f x +=-，当[0x ∈，1]时，1()2x f x -=则：（1）2是函数()f x 的周期；（2）函数()f x 在(2,3)上是增函数；（3）函数()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）直线2x =是函数()f x 的一条对称轴．其中正确的命题是．24．（2019•溧水期中）已知1tan tan()41tan xx xπ++=-，tan y x =的周期T π=，函数()y f x =满足1()()1()f x f x a f x ++=-，x R ∈，(a 是非零常数），则函数()y f x =的周期是．25．（2019•衡阳一模）定义在R 上的函数()f x 满足：1()(2)1()f x f x f x -+=+，当(0,4)x ∈时，2()1f x x =-，则(2019)f =．26．（2019•寿县月考）已知函数()f x 对定义域内任意x ，y ，有()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-且f （1）1=，则(2019)f =．27．（2018•海安模拟）已知函数()f x 满足：1()(1)2,(1)1()f x f f x f x +=+=-，则(2018)f =．28．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f =．29．（2014•四川）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1x ∈-，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩ ，则3(2f =．30．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩ ，其中a ，b R ∈．若13((22f f =，则3a b +的值为．31．（2019•岳麓期末）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意1x ，2[0x ∈，1]2，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且f （1）0a =>．（1）求1(2f 及1()4f ；（2）证明()f x 是周期函数．32．（2012•上海）已知()(1)f x lg x =+．（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x 时，()()g x f x =，求函数()([1y g x x =∈，2])的反函数．33．（2005•广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()0f x =在闭区间[2005-，2005]上的根的个数，并证明你的结论．。

高中数学必修一第二章函数第9节函数的周期性(1)

练习：设函数 f（x）是 R 上的奇函数，且 f（1）=a，若对任意 x∈R，均有 f（x+2）
=f（x），则 a 的值为（）
A．﹣1 B．0
C．1
D．2
解：由题意，令 x=﹣1，可得 f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），
∴f（1）=0，∴a=0．
故选 B．
典例分析：
例 4：已知周期函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）的最小正周期为 3， f（1）＜2，f（2）=m，则 m 的取值范围为（） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，+∞） D．（﹣2，+∞）解：∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）的最小正周期为 3， ∴f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1），又 f（1）＜2，f（2）=m， ∴m=﹣f（1）＞﹣2， ∴m＞﹣2．故选 D．
∴f（23）+f（﹣14）=f（25﹣2）+f（﹣15+1）=f（﹣2）+f（1）
=﹣f（2）+f（1）=﹣2+1=﹣1，
故选：A
练习：设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则 f（2014）+f（2015）=（）
解：由图象知 f（1）=1，f（﹣1）=2， ∵f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数， ∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A A．3 B．2 C．1 D．0
解：由 f（x+4）=f（x），故函数的最小正周期为 4．又函数 f（x）为奇函数，且 f（x）区间[0，2]上单调递增， ∴f（x）区间[﹣2，0]上单调递增，又 f（0）=0，故函数在区间[﹣2，2]上单调递增． ∵f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）＜f（0）＜f（1），故选：B．

高一数学必修一函数专题：周期性

高一数学必修一函数专题：周期性【知识点一】：周期函数与周期（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。

（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。

（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。

例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。

第一题第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2π=T 。

第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。

【知识点二】：周期定义式（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。

（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。

例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x。

计算：)12(f 的值。

解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。

例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。

计算：)211(f 的值。

解答：函数)(x f 的周期为2)21()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。

函数)(x f 在R x ∈上是奇函数)21()21(f f -=-⇒，1111121221log )21(2-=-+-=-⨯+=f 1)21()211(1)1()21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。

例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：22)(x x f x-=。

计算：)13(f 的值。

解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。

函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，21)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ， 21)1()13(-==⇒f f 。

周期为1的函数

周期为1的函数
函数是数学中的一个概念，它是一种特殊的关系，可以把输入转换为输出。

函数的周期是指函数的输出值在一定的时间内重复出现的次数。

周期为1的函数是指函数在一个完整的周期内只会出现一次。

周期为1的函数是一种特殊的函数，它在一个完整的周期内只会出现一次。

从数学角度来看，这种函数是一种稳定的函数，它的输出值不会随着时间的推移而改变。

它的输入值也不会引起输出值的变化。

周期为1的函数在实际应用中有着重要的意义。

它可以用来模拟各种不变的现象，例如实验中的观察值，或者某种物理现象的变化规律。

此外，周期为1的函数也可以用来模拟某些周期性的现象，例如潮汐、运动等。

周期为1的函数是一种特殊的函数，它有着广泛的应用。

在数学上，它可以用来模拟各种不变的现象，也可以用来模拟某些周期性的现象。

在实际应用中，它可以用来模拟一些有规律的现象，从而更好地理解和分析这些现象。

总之，周期为1的函数是一种特殊的函数，它在实际应用中有着重要的意义。

它可以用来模拟各种不变的现象，也可以用来模拟一些有规律的现象。

只要正确使用，它就可以帮助我们更好地理解和分析这些现象，从而更好地利用它们。

周期函数的有关概念

周期函数的有关概念定义：如果一个函数f(x)存在一个正数T（称为周期），使得对于定义域内的所有x，都有f(x+T)=f(x)成立，那么我们就称f(x)为周期函数，T为它的一个周期。

换句话说，周期函数就是每隔一个固定的间隔T，函数的值就会重复出现。

这个间隔T就是函数的周期。

周期函数的性质1.周期性：这是周期函数最显著的性质。

函数的图像在水平方向上每隔一个周期T就会重复一次。

2.无界性：周期函数在其定义域内通常是无界的，除非它是常数函数。

这是因为函数值会不断地重复出现，所以无法找到一个上界或下界来限制它。

3.不可导点：如果周期函数在某些点处不连续，那么这些点就是不可导点。

但是，周期函数在其周期内的其他点上可能是可导的。

4.傅里叶级数：周期函数可以用傅里叶级数来表示。

傅里叶级数是一种将周期函数分解为简单正弦波和余弦波的方法，这在信号处理和图像处理等领域非常有用。

周期函数的例子及其重要性1.正弦函数和余弦函数：这两个函数是最基本的周期函数，它们的周期都是2π。

正弦函数和余弦函数在三角函数、波动理论、信号处理等领域都有广泛应用。

2.方波函数：方波函数是一种在电子学和信号处理中常见的周期函数。

它的图像看起来像一系列的矩形脉冲。

方波函数可以用于表示数字信号和模拟信号之间的转换。

3.实际应用：周期函数在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。

例如，在物理学中，波动现象（如声波、光波等）都可以用周期函数来描述；在工程学中，交流电路中的电压和电流也是周期函数；在经济学中，季节性变化（如销售量、失业率等）也可以用周期函数来建模。

41.周期函数

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:139********)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 299周期函数 [母题]Ⅰ(5-41):(2003年北京春招试题)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-2p )(x ∈R).则f(x)的一个正周期为 . [解析]:由f(px)=f(px-2p )⇒f(t)=f(t-2p )⇒f(x)是以T=-2p 为周期的周期函数⇒kT=k(-2p )(k ∈Z)都是f(x)的周期⇒f(x)的一个正周期为p(取k=-2).[点评]:周期函数是一类非常重要的特殊函数,周期性作为函数的一个重要性质是高考的热点,对周期函数的系统认识、把握,从定义开始.定义:设f(x)定义在数集D 上的函数,若存在T ≠0,使得对一切x ∈D 有f(x+T)=f(x),则f(x)称为D 上的周期函数,T 称为f(x)的一个周期.如果在所有正周期中存在一个最小正数T 0,那么T 0叫做f(x)的最小正周期.性质:①如果T 是函数f(x)的周期,即f(x+T)=f(x),则对任意的k ∈Z,kT 也是函数f(x)的周期,即f(kT+x)=f(x);②若f(x)有最小正周期T,则除±nT(n=1,2,…)外,函数f(x)无其他周期;[子题](1):(2010年安徽高考试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2[解析]:由f(x)是R 上周期为5的奇函数⇒f(3)=f(5+(-2))=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5+(-1))=f(-1)=-f(1)=-1⇒ f(3)-f(4)=-1.故选(A).注:充分利用周期函数的定义式:f(x+T)=f(x),就是对x 进行灵活赋值,从而建立已知与未知的关系,由此解决问题. [子题](2):(2004年福建高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x ∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) (A)f(22)>f(33) (B)f(22)<f(33) (C)f(-22)<f(33) (D)f(-33)>f(-22) [解析]:由f(x)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),所以当x ∈[-1,1]时,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)-4|=2-|x|⇒函数f(x)在区间[-1, 1]内是偶函数,且在[0,1]上单调递减,由22>33⇒f(22)<f(33).故选(B). 注:利用周期函数的性质把未知区间内的问题转化为已知区间内的问题是解决周期函数问题的基本方法. [子题](3):(2012年湖南高考试题)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f(x)的导函数,当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π),且x ≠2π时,(x-2π)f '(x)>0,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8[解析]:由(x-2π)f '(x)>0⇒f(x)在(0,2π)上单调递减,在(2π,π) y 上单调递增,又当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1⇒f(x)在区间[0,π]内的图像如图;由f(x)是偶函数⇒f(x)在区间[-π,0]内的图像如图;由 O x f(x)是以2π为周期的函数⇒f(x)在区间[-2π,2π]内的图像如图;在同一坐标系内,作y=sinx 的图像知,有4个交点.故选(B).注:认识并利用周期函数图像的“周期性”是解决周期函数问题的另一基本方法.[子题系列]:1.(2013年全国大纲试题)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= .300 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)2.(2010年全国高中数学联赛湖南预赛试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=8,则f(2010)-f(2009)=( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)93.(2003年同济大学保送生考试数学试题)f(x)是周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=|x|,则f(2m+23)= (m 为整数).4.(2009年湖北高考试题)己知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x 2,则f(7)=( )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)985.(2009年江西高考试题)己知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,f(x) =log 2(x+1),则f(-2008)+f(2009)的值为( )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)26.(2009年辽宁高考试题)己知函数f(x)满足:当x ≥4时,f(x)=(21)x ;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log 23)=( ) (A)241 (B)121 (C)81 (D)83 7.(2012年浙江高考试题)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(23)= . 8.(2011年全国大纲试题)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x)则f(-25)=( ) (A)-21 (B)-41 (C)41 (D)21 9.(2012年山东高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( )(A)335 (B)338 (C)1678 (D)201210.(2008年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 均有f(x+2)=f(x),且x ∈(0,1)时,f(x)=x 2,则f(-23)+f(1)= . 11.(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(38π)的值为( ) (A)23 (B)-23 (C)21 (D)-21 12.(2003年北京市中学生数学竞赛高一试题)已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+5)=-f(x),当x ∈(5,10)时,f(x)=x 1,则f(2003)的值等于( ) (A)-81 (B)51 (C)31 (D)-31 13.(2012年江苏高考试题)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+10,1201,1x x bx x ax ,其中a,b ∈R. 若f(21)=f(23),则a+3b 的值为 . 14.(2006年陕西初赛试题)设f(x)是以2为周期的奇函数,且f(-52)=3,若sin α=55,则f(4cos2α)的值 .[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 301 15.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数y=f(x)是周期为是周期为2的偶函数,且在区间[0,1]内单调递减,则f(-1),f(0),f(2.5)的大小关系是( )(A)f(-1)<f(2.5)<f(0) (B)f(-1)<f(0)<f(2.5) (C)f(0)<f(2.5)<f(-1) (D)f(2.5)<f(0)<f(-1) 16.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数f(x)是周期为4的周期函数,且在(-2,2)内,f(x)又是单调递减的奇函数,则f(5)、f(-2.43)、f(2π)、f(-4)从小到大的顺序为 . 17.(2009年山东高考试题)己知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.则( )(A)f(-25)<f(11)<f(80) (B)f(80)<f(11)<f(-25) (C)f(11)<f(80)<f(-25) (D)f(-25)<f(80)<f(11)18.(1998年全国高中数学联赛试题)若f(x)(x ∈R)是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=19981x,则f(1998), f(17101),f(15104)由小到大的排列是 . 19.(2012年重庆高考试题)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件20.(2004年福建省高一数学夏令营选拔试题)若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1]时,f(x)=|x|.则函数y=f(x)的图象与函数y=log 4|x|的图象的交点个数为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)821.(2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)设函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x ∈(-1,1]时,函数f(x)=1-x 2,函数g(x)=⎩⎨⎧=≠0,10|,|lg x x x ,则函数t(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( )(A)l2 (B)14 (C)l3 (D)822.(1990年全国高中数学联赛试题)设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数,且是偶函数,已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( )(A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|22.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数.x ∈[2,3时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式写成分段函数的形式是 ,写成统一的形式是 .24.(2006年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)x+4 (B)2-x (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|25.(2007年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=-x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)-3+|x+1| (B)2-|x+1| (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|26.(2007年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x);又当0≤x ≤1时,f(x)=21x,则{x|f(x)=-21}= . 27.(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,若直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点,则a= . [子题详解]:1.解:由f(-1)=f(2-1)=f(1)=-1.2.解:由f(2010)-f(2009)=f(402×5+0)-f(402×5-1)=f(0)-f(-1)=f(1)=8.故选(C).3.解:f(2m+23)=f(2m+2+(-21))=f(-21)=21. 4.解:由f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故选(A). 5.解:由f(-2008)+f(2009)=f(0)+f(1)=1.故选(C). 6.解:由f(2+log 23)=f(3+log 23)=1/24.故选(A).302 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)7.解:由函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数⇒f(23)=f(2-21)=f(-21)=f(21)=23. 8.解:由f(-25)=f(-2-21)=f(-21)=-f(21)=-21.故选(A). 9.解:由f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1⇒f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+[f(1)+f(2)]=335×1+3=338.故选(B).10.解:由f(x+2)=f(x)⇒f(1)=f(-1)⇒f(1)=0;f(-23)=f(21)=41. 11.解:由f(38π)=f(3π-3π)=f(-3π)=-f(3π)=-sin 3π=-23.故选(B). 12.解:由f(x+5)=-f(x)⇒f(x+10)=-f(x+5)=f(x)⇒f(2003)=f(3)=-f(8)=-81.故选(A).13.解:由f(23)=f(2-21)=f(-21)⇒f(21)=f(-21)⇒34+b =-21a+1⇒3a+2b+2=0;又由f(1)=f(2-1)=f(-1)⇒b=-2a ⇒a=2,b=-4⇒a+3b=-10.14.解:由4cos2α=4(1-2sin 2α)=2+52⇒f(4cos2α)=f(2+52)=f(52)=-f(-52)=-3. 15.解:由f(-1)=f(1),f(2.5)=f(0.5);又由f(1)<f(0.5)<f(0)⇒f(-1)<f(2.5)<f(0).故选(A).16.解:由f(5)=f(1),f(-2.43)=f(1.57),f(-4)=f(0);又由f(0)>f(1)>f(1.57)>f(2π)⇒f(2π)<f(-2.43)<f(5)<f(-4). 17.解:由f(x-4)=-f(x)⇒T=2(-4)⇒T=8⇒f(-25)=f(-1);f(11)=f(1);f(80)=f(0).又由奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数⇒f(x)在区间[-2,0]上是增函数⇒f(-1)<f(0)<f(1)⇒f(-25)<f(80)<f(11).18.解:由f(x)在[0,1]上单调递增,且f(1998)=f(1916),f(17101)=f(171),f(15104)=f(151)⇒f(17101)<f(15104)<f(1998). 19.解:作y=f(x)的图像知,故选(D).20.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;当x>0时,作图知,交点个数为3.故选(C).21.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;作图知,当x ∈[0,10]时,零点的个数=10;当x ∈[-5,0)时,零点的个数=4.故选(B).22.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2- x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.故选(C).23.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2 -x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.24.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,3),C(0,2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(C).25.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,-3),C(0,-2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(A).26.解:由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)⇒f(x)是以4为周期的周期函数;因为当0≤x ≤1时,f(x)=21x,且f(x)为奇函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=21x ⇒f(-1)=-21⇒f(3)=f(-1)=-21⇒f(4k-1)=-21⇒{x|f(x)=-21}={4k-1|k ∈Z}. 27.解:因当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,且f(x)为偶函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=x 2⇒当2k-1≤x ≤2k+1时,f(x)=(x-2k)2;直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点⇔y=21x+a 过点(k+1,1),或直线y=21x+a 与f(x)=(x-2k)2相切⇔k+1=21+a,或x 2-(4k+21)x+4k 2-a=0有等根⇔a=k+21,或(4k+21)2-4(4k 2-a)=0⇔a=k+21,或k-161,k ∈Z.。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数的周期性与对称性-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)

函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

周期函数1——精选推荐

通俗定义对于对于函数函数y=f （x ），如果存在一个不为零的），如果存在一个不为零的常数常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T ）=f （x ）都成立，那么就把函数y=f （x ）叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

叫做这个函数的周期。

严格定义设f(x)是定义在数集M 上的函数，如果存在非零常数T 具有性质；具有性质；（1）对）对有（X±X±TT ）；（2）对）对有f （X+T ）=f （X ）则称f （X ）是数集M 上的周期函数，常数T 称为f （X ）的一个周期。

如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f （X ）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f （X ）的周期T 是与X 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

[编辑本段] 周期函数性质（1）若T （≠0）是f(X)的周期，则-T 也是f(X)的周期。

（2）若T （≠0）是f(X)的周期，则nT （n 为任意非零整数）也是f(X)的周期。

的周期。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T1±T2T2也是f(X)的周期。

的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍。

的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则的两个周期，则（Q 是有理数集）是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

不存在最小正周期。

（7）周期函数f(X)的定义域M 必定是双方无界的必定是双方无界的集合集合。

[编辑本段] 周期函数的判定定理1 若f(X)是在集M 上以T*为最小正周期的周期函数则K K f(X)+C f(X)+C （K≠K≠00）和1/ 1/ f(X)f(X)分别是集M 和集｛X/ / f(X) f(X) f(X) ≠0≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

第9节函数的周期性(1)

练习：设函数 f（x）的定义域为 R，对任意 x∈R 有 f（x）=f（x+6），且 f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线 x=3 对称，则下列正确的结论是（）
A．f（1.5）＜f（3.5）解＜：f（∵f6（.5x））=f（Bx．+6f）（，6.5）＜f（3.5）＜f（1.5） C．f（3.5）＜f（1.5）∴＜f（f（x）6.在5）R 上以D．6 为f（周3期.5，）＜f（6.5）＜f（1.5）
增，则下列结论正确的是（）
A．0＜f（1）＜f（3） B．f（3）＜0＜f（1）
C．f（1）＜0＜f（3）解：D由．f（f（x+34））=＜f（fx（），1故）函＜数0的最小正周期为 4．
又函数 f（x）为奇函数，且 f（x）区间[0，2]上单调递增， ∴f（x）区间[﹣2，0]上单调递增，又 f（0）=0，故函数在区间[﹣2，2]上单调递增． ∵f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）＜f（0）＜f（1），故选：B．
解：∵f（x）是定义在 R 上的以 7 为周期的奇函数，且 f（2）＞1， ∴f（2014）=f（5）=f（﹣2）=﹣f（2）＜﹣1， ∴f（2014）= ＜﹣1，
即
，a（a﹣3）＜0，
解得 0＜a＜3．故选：B．
典例分析：
例 5：定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x），且在[0，2）上单调递
∵函数的对称轴为 x=3， ∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5） ∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5 ∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即 f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）故选：C
课堂小结

函数的周期 (1)

函数的周期性一、函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

注意： ⑴周期函数定义域必是无限集⑵若T 是周期，则n ·T （n ≠0,n ∈Z ）也是周期⑶所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期⑷周期函数不一定有最小正周期。

如常函数f (x )=C二、函数周期性的判定利用定义，证明对于定义域内的任何x ，存在一非零常数T,使)()(x f T x f =+恒成立三、几个函数方程的周期⑴)()(x f T x f =+型：f x ()的周期为a⑵f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -⑶f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a ⑷f x a f x ()()+=-1型：f x ()的周期为2a ⑸f x a f x ()()+=1型：f x ()的周期为2a 四、巩固练习 1．已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. 22．函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于（）A. 5B. 5-C.51 D. 51-3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是（）.A 增函数 .B 减函数.C 先增后减函数 .D 先减后增函数4.设f （x ）是(-∞,+ ∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)等于（）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.55.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解的个数的最小值是（）.A 2 .B 3.C 4 .D 56．设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则f (.)20055等于（） A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.57．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<8．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()1)(2=+x f x f ，若()15,f =-则()=-5f __ __9．已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (x+2)= －f (x),当0≤x≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （）A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.510.设函数f(x)对任意x ∈R,都有f （x+3）=-）（x f 1且当x ∈[-3，-2] 时，f(x)=2x ，则f(113.5)的值为（） A.72- B.72 C.51- D.5111.f(x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (1)=0，则方程f (x )=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A ．5B ．4C ．3D ．212.若函数y=f (x )是周期为2的奇函数，且当x ∈(0,1)时f (x )=x +1，则f (π)的值为（）A ．π-5 B.5-π C.4-π D. π-413.已知函数f (x )是偶函数，且等式f (4+x )＝f (4-x )，对一切实数x 成立，写出f (x )的一个最小正周14.设f (x )定义在R 上的偶函数，且)(1)3(x f x f -=+，又当x ∈(0，3]时，f (x )=2x ，则f(2007)=15．已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件：① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<；③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。

周期函数定积分的计算

周期函数定积分的计算1. 周期函数定积分的概念1. 周期函数定积分的概念周期函数定积分是一种特殊的积分，它可以用来计算函数在某一周期内的积分值。

它的计算方法是将函数的积分值分成若干个小的积分段，每个积分段的积分值都是函数在该段内的定值，然后将所有的积分段的积分值求和，就可以得到函数在该周期内的积分值。

2. 周期函数定积分的性质2. 周期函数定积分的性质周期函数定积分的性质包括：1. 周期函数定积分的结果是定值，不受积分区间的变化而变化；2. 周期函数定积分的结果是一个实数，不受函数的变化而变化；3. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的幅度无关；4. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的起点无关；5. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的函数值无关；6. 周期函数定积分的结果只与函数的周期有关，与函数的变化率无关。

：3. 周期函数定积分的计算方法周期函数定积分的计算方法是基于Fourier级数的，即可以将一个周期函数分解成一系列正弦、余弦函数的级数和。

积分可以分解为每一项的积分，然后将每一项的积分结果相加，最后得出周期函数定积分的结果。

具体的计算方法是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和，然后将每一项的积分求出，最后将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。

积分的具体步骤是：首先，将周期函数分解成Fourier级数，即将函数表示为一系列正弦、余弦函数的和；然后，对每一项正弦、余弦函数求积分，得出每一项的积分结果；最后，将每一项的积分结果相加，得出周期函数定积分的结果。

4. 周期函数定积分的应用：4. 周期函数定积分的应用周期函数定积分在物理、数学和工程领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用来计算电磁场的能量；在数学中，它可以用来计算曲线的面积；在工程领域，它可以用来计算振动系统的能量。

此外，周期函数定积分还可以用来计算热量传递率，以及计算电路中电流和电压的关系。

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周期函数1
（1）若函数()()()()，的周期为则满足T ,T x f x f x f x f =+
（2）()()()()的一个周期是则满足若函数x f x f x f x f T 2,1T ±=+
（3）()()()()是它的的一个周期是周期函数，则满足T 2,T x f x f x f x f -=+
（4）()()()()的一个周期是则满足x f x f x f x f T 2,T T -=+
1、（2006安徽理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。

2、（2006山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为（）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
3、设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2,f f a >=则（）
A a>2
B a<-2
C a>1
D a<-1
4．已知y ＝f (x )在实数集上是周期为2的周期函数，且是偶函数，已知x ∈[2, 3]时，f (x )＝x , 则当x ∈[－1, 0]时,f (x )的表达式是。

5设f (x )是以4为最小正周期的函数，且当－2≤x <2时, f (x )＝x ，则f (－98.6)的值为（ B ）。

（A ）98.6 （B ）1.4 （C ）5.4 （D ）－2.6
6）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，
则)5.47(f 等于
（A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1-
7设定义在R 上的函数f (x )的最小正周期为2，且在区间(3，5]内单调递减，则
a ＝f (－2log 2
1)、b ＝f (－4)和c ＝f (－π)的大小关系是 a <c <b 。

(按从小到大的顺序)
8、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

9、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则
=-)2
(T f （A ）0 （B ）2
T （C ）T （D ）2T -
10、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，当x 0≥时，都有)()2(x f x f =+，又当]2,0[∈x 时，()1log )(2+=x x f ，则()2012
)2011(f f +-的值是（） A -2 B -1 C 2 D 1
13.（2009江西文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有
(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）
，则(2008)(2009)f f -+的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
9、（05福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10. （2009辽宁卷文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1
()2x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38
12.(2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
15.（1）若)(x f 是定义在R 上的奇函数且)()2(x f x f -=-，给出下列4个结论，不正确的是（）
A ． 0)2(=f
B ．)(x f 是以4为周期的函数
C ．)(x f 的图像关于直线0=x 对称
D ．)()2(x f x f -=+。