中学数学教学中数形结合思想应用之浅(总)
浅谈中学数学的数形结合思想
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形 巧 妙 地 结 合 起 来 ， 效 地 相 互 转 化 ， 成 为 解 决 问 题 的 关 有 就 键所在．１ ．解 决 集合 问题 ：在 集 合 运 算 中常 常 借 助 于 数 轴 、 Ｖｎ ｅ ｎ图 来 处 理 集 合 的 交 、 、 等 运 算 ， 而 使 问 题 得 以 简 并 补 从
堂 的 真 实 ． 生 发 展 的 和 谐 ， 就 已 经 是 课 堂 教 学 的成 功 者 ． 学 你 教 师 的教 学 只有 在 深 入 了解 学 生 的认 知 规 律 ， 如 实 按 照 学 并
不必追求完美 ， 因为 它 不 符 合 规 律 ， 开 却 迟 早 要 败 ， 花 燕 舞 虽 美 却 秋 来 南 飞 ，课 堂 不 是 让 每 一 名 学 生 都 成 为 北 大 、 清 华 的栋 梁 之 才 ， 堂是 学 生成 长 、 展 能 力 的地 方 ， 果 课 堂 课 发 如 完 美 将 会 失 去课 堂 生 命 的 色 泽 ， 去 课 堂 的真 实 ． 失 不 必 追 求 完美 ，因 为 完美 的课 堂 破 坏 真 实 与 和 谐 ． 白璧 微 瑕 的 透 玉 ， 砖 残 垣 的古 长 城 ， 至 维 纳 斯 都 是 美 的 ， 种 断 甚 这
三 、 数 形 结 合 ” 中学 数 学 中 的应 用 例 谈 “ 在 数轴 是进 行数 形 结 合 的 极好 材 料 和 有 力 工 具 ． 能 够 直 它
相 互 转 化 ， 些 看 似 无 法 人 手 的 问 题 就 会 迎 刃 而 解 ． 生 事 一 产 半功倍的效果．
一
、
渗 透 数 形 结 合 的 思 想 ， 成 用 数 形 结 合 分 析 问题 的 养
浅谈中学中数形结合的思想
江西师范大学科学技术学院学士学位论文浅谈中学数学中数形结合的思想On the middle school mathematics in the form of the combination of the number ofthought姓名：学号：学院：科学技术学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：2012年4月18日浅谈中学数学中数形结合的思想【摘要】数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。
应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。
本文试就数形结合思想在数学中的应用做一综述,对于如何培养学生的数形结合意识,加强数形结合思想训练的方法做一些总结和建议,结合一般例子体现数形结合思想在数学中的基础性和重要性。
【关键词】数形结合直觉思维培养方法On the middle school mathematics in the form of the combination of the number of though 【Abstract】Several form is an extremely with the characteristics of the digital information transfer method, on the number of mathematics is always used the fact that form the abstract nature, and the nature of that with graphics to the number of the facts. Application form for combination, through the analysis of the nature of the graphics, the mathematical many of the abstract concept and theorem direct, visual and simplicity, and with algebra calculation and analysis to the rigorous. The paper tries to form combining ideas for the application in mathematics are reviewed in this paper, how to train the student to form the number with consciousness, strengthen the training of the number form combining ideas and Suggestions to do some summary method, combining general example several form combining ideas embodied in the basic math and importance.【Key words】several form combined with intuition thinking cultivation method目录1引言............................................. 错误！未定义书签。
浅谈中学数学教学中的数形结合思想
浅谈中学数学教学中的数形结合思想作者：陈翔来源：《教育教学论坛》2013年第43期摘要：对解决某些数学问题往往能事半功倍，同时对求异思维的培养、训练学生一题多解的能力都不无裨益。
文章从不同的方面举例说明其应用的广泛性并讨论了实现数形结合的主要途径。
关键词：数形结合；抽象；直观；坐标联系；审视联系；构造联系中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）43-0099-02一、“数形结合”的意义从直观到抽象的思维，再由抽象思维到实践，是认识真理、发展真理的辩证过程。
要使学生对抽象的数学概念、定理、法则等真正地理解和掌握，要真正地发展学生的抽象思维，就要采取化抽象为直观、形象、具体的教学方法，“数形结合”便是行之有效的方法之一。
直观、形象、具体的教学方法实际上就是把数学问题实物化的方法。
实际上，数学作为事物客观存在的一种形式，其中的问题都具备“形”的因素。
因而，我们可以说，从理论上讲，任何一个数学问题都可以发掘其中的“形”，并发挥它的直观作用而给予问题一个实体感的解答，其重要作用自不待言。
对于几何问题中的数与形的结合，主要工具便是坐标系的建立有了点与坐标的对应。
几何中的“形”的内在本质可以由代数方程来解决，就代数中的问题而言，若发挥“形”的作用，利用“形”来解决，其效果也往往比进行纯数、理的抽象、烦琐甚至是枯燥的推演要好得多。
如把方程、不等式、数列问题转化为函数问题，用图形来处理就要一目了然。
文字叙述及解析式使之图象化，问题便迎刃而解。
在微积分中，抽象的“ε—Ν”“ε—δ”极限方法，用集合的知识形象处理，可使初学者容易抓住问题的实质等，都是用“形”直观地解决问题的生动例子。
许多的代数问题，只要我们有意识地从“形”入手去思考和分析，往往更能从整体上把握问题的实质，抓住问题的关键，找到行之有效的解题方法。
二、“数形结合”举隅众所周知，恰当地将数与形结合起来，对解决某些数学问题往往能事半功倍，同时对学生求异思维的培养、训练一题多解的能力都不无裨益。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
中学数学中的数形结合思想的应用
中学数学中的数形结合思想的应用摘要：我将从以下几个典型例题来探讨数形结合思想在中学数学中的应用(函数思想)从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词：中学数学；数形结合；应用；思想方法1 数形结合思想在中学数学中的应用1.1 数形结合思想在集合中的应用1.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。
用表示集合的元素，则有：即：参加竞赛总人数为人。
1.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合，⑴若，求的范围。
⑵若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。
当时，，显然成立．故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。
在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
1.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
数形结合思想在初中数学教学中的作用
李金 芳１ 马 维政２
（ 会 宁 县 中川 中学 ；会 宁县 丁 沟 乡 荔峡 中学 ， 肃 会 宁 １ ２ 甘
摘 要 ： 形 结 合 思 想 是 解 决 数 学 问题 的 一 种 重 要 思 想 数 方 法 。 数 形 结合 ” 想 就是 使 抽 象思 维 和 形 象 思 维 相 互作 用 ． “ 思 实现 数 量 关 系与 图形 性 质 的 相 互 转 化 ．将 抽 象的 数 学 关 系和 直观 的 图形 结合 起 来 解 决数 学 问题 为提 高 学 生的 数 学 知识 ． 真正 实现 素质 教 育 ， 数 学教 学 中作 者 注 重 “ 形 结 合 ” 想 在 数 思 的渗 透 。 学生 的数 学 能力 得 到很 大 的提 升 。 面 直 角 坐标 系 使 平 是 数 形 结 合 的桥 梁 ， 了 它 ， 方 面 ， 够 借 助 于 图形 可 以 将 有 一 能 许 多抽 象 的数 学概 念 和 数 量 关 系形 象化 、 单化 、 观 化 另 简 直 方 面． 能将 图形 问题 转 化 为 代数 问题 ， 以获 得 精 确 的结 论 。 关 键词 ： 形 结合 初 中数 学教 学 作 用 数
速 、 效 地解 决 问 题 奠 定 良好 的基 础 。 有 在 推 行 素 质 教育 的今 天 ， 发 学生 的创 新 思 维 ， 学 生 在 开 让 创 造 中学 会 学 习 ， 挥 学 生 的 主观 能动 性 成 为 重 中之 重 ． 以 发 所
过 学 习 数 学 知识 、 能 和方 法 ， 渐 形成 自己 的数 学 思 想 和 方 技 逐 法 ， 学 生 学 会用 数学 的 眼光 看 待 生 活 中 的 人 和 事物 ， 让 会用 数 学 的 知 识解 决 生 活 中 的实 际问 题 。 么 ， 为 最基 本 的 数学 思 那 作 想 之 一 的数 形 结 合 思 想在 新 课 程 中 又是 怎 样 体 现 的 呢？ 下 面我 们 结 合 中学 数 学 教学 的现 状 ．从 数 形 结合 思想 的 重 要 性 、 形 结合 相关 知识 点 的 体 现 、 何 实 现 数 形 结 合 三 方 数 如 面 阐 述 数形 结 合 思想 在初 中数 学教 学 中 的应 用 。 数 形 结合 思 想 的 重 要性 几何 本 身 缺 乏严 密性 ， 而代 数 本 身 却又 缺 乏 直 观性 。 只有 将 二 者有 机 地 结 合 起 来 ，互 相 取 长 补 短 ，才 能 突 破思 维 的 限 制 ． 快 数 学 的发 展 。 加 数 与形 是 数 学研 究 的 两大 基 本 对 象 。“ ”是 指 数 与 式 ， 数 “ ” 指 图形 与 图像 。数 形 结 合 的思 想 可 以 变抽 象思 维 为 形 形 是 象 思 维 ， 示数 学 本 质 的 东西 。 揭 直 角坐 标 系 的 建 立 可 以将 代 数 和 几 何 问 题 紧 密地 联 系 起 来 ． 许 多 实 际 问 题 的解 决 提 供 新 的 思 路 和 策 略 ． 问 题 的 为 对 解 决 产 生 事 半 功 倍 的 效 果 。 因而 数形 结 合 的 重 点 是 研 究 “ 以 形 助 数 ” 。 １ 形 结 合 思 想在 有 理 数 中 的应 用 ． 数 从 数 形 结 合 的 角 度 出发 。借 助 数 轴 处 理 好相 反数 和绝 对 值 的 意 义 ， 理 数 大小 的 比 较 ， 理 数 的分 类 ， 理 数 的 加 法 有 有 有 运 算 ， 等式 的解 集 在数 轴 上 的表 示 ， 等 。 实数 轴 上 ， 反 不 等 在 相 数 就 是 在 原 点 两 旁 到 原 点 距 离 相 等 的 两个 点 所 表 示 的数 ， 而
浅析初中数学中如何渗透数形结合思想
２ １ 年第 ２ 期 ００ ０
嘉 浅析初中数学中如何渗透数形结合思想
张雅丽
（ 江苏省南通 市启秀 中学 ，２ ０ １ ２６ ０ ）
数与形是数 学 中的两 个最基本 的研究对 象 在一
—
对应关系 ， 架起 了函数 与 图形 的桥 梁． 因此 ， 我们 能
定条件下， 问题中的数量关系与几何图形能够有效地 结合起来 ， 在解决问题的过程中相互转化、 相互渗透，
关系， 加深对 图形本质 的理解 和认 识 再 例如 ： 勾股 定 理是一个 基本 的几 何定理 ， 但其 给 出的却是一个 数量 化 的结论 勾股定理指 出， 角三 角形两直角边边长平 直 方和等于斜边边长的平方 也 就是说 ， 直角三角形两 设
直角边为 口和 ｂ斜边为 ｃ那么 口 ｂ ＝ 反之， ， ， ＋ ｃ； 三边
公式得 Ａ Ａ Ｂ ＝（ Ｂ ＋ Ｃ ～２ Ｄ ａ＋ｃ ＋ｂ ） ＋（ Ⅱ一ｃ ）
＋ｂ 一２ ＝２ａ ｃ ＋２ｂ ．
①求 出 ／ 的值， Ｔ ｔ 并画出这条抛物线 ； ②求 它 与 轴 的交点 和抛物 线 的顶点坐 标 ； 取何值时 ， 抛物线在 轴的上方； ④ 取何值时 ， Ｙ的值随着 的增大而减小． 解 ： 将 ２ ， ３代人抛物 ① ０Ｙ＝
使问题 化繁 为 简 ， 化难 为易 ， 来研究几何 问题 ， 几何方法来表述 能用 函数关系． 另外借 助于平面 直角坐标 系 ， 可以导 出“ 两 点间距离公式 ”二元一次方 程、 比例 函数 与直线 ， ， 正 二 次 函数与抛物线等 因此 ， 上述概念教学 中数形结合思 想 的有效渗 透能够使学生对 “ ” 形 的认识 更为清 晰， 对 “ 的理解更 为形象、 数” 具体
①平方差公式 口 一 口 ｂ （ 一 ） ｂ ＝（ ＋ ） 口 ｂ ； ②完全平方公式（ ＋ ） ０ ＋ ａ ＋ 口 ６ ＝ ２ ｂ ｂ．
浅谈中学教学中的数形结合思想
可 以说 ， 整个 中学 的数学都是 在数 形结合 思想 指导
下展开 的， 它渗透 在中学数学 教学 的各个方 面． 目前 ， 在 全 国各地进行 的初 高 中新课改 中 ， 多地 区已经不 再把 许 数学课划分 为代数 、 几何 （ 析几何 、 解 立体几 何 ）而 是综 ， 合为一 门数学课 ， 这便十分有利 于数 学各部 分 内容 相互 联系 ， 有利 于学生 将 分散 的知 识 点 串联 成 一个 知识 网 ， 有利 于培养 学 生 的数学 综合 素 养． 代数 与几 何 融合 ， 将 便突显 了数 形结 合 思想 的重 要 性． 中学教 学 大纲 提 出 ：
“ 通过数形结 合 思想 的教 学 ， 学 生进 行对 立 统一 观 点 对
的教育． 在 中学教 育 中， 数 形结 合思 想 的理 解 ， ” 对 我们
不能单单 停 留在作 为 解 题 的 一种 方 法 ， 试 的一 种 手 应
段， 而是应 该 立足 于这 种思想 的实质 ， 这 种思想 作 为 将
其 ， 关 键是代数 问题与 图形之 间 的相 互转换． 简而 言之 就是
代 数问题几何化 ， 几何 问题代数 化． 在思 想上 ， 便是使 抽
象思维和形象思维相互作 用 ， 将抽 象 的的数量 关系 和直 观的 图形结合起来研究数 学问题．
一
解题高手． 了解数形 结合思想 的发 展历史 对我 们 中学 数 学教育具有重 要的意义． 它能帮 我们 了解 数学 发展 的历
史进 程 、 识数 学发 展 的规律及 数学 本质 ， 助于学 生 认 有 数形结合 思想 的形成．
、
中学数学 中数形结合思想 的重要性 与必要性
最初 的数 形结合体现在数 和形 的发展过 程 中． 的 数 产 生源 于对具 体 物体 的计 数 ， 产生 数 的概 念 之后 ， 古 在 代 的各 种各样 的计数 中， 都是 以具体 的 图形来 表达 抽象 的数． 国的算 盘 是一个 历史 上最 长 的计 数 工具 ， 是 中 也 数 形结 合的典范． 而且数形结 合也体 现在行 的发展 过程 中： 如古时候土地 的丈量需要 ． 近代 ， 在 在数 和形 的结合 中， 有两次历史性 的飞跃 ， 次便是 建立数 轴 ， 实数与 一 把 数轴上 的点一一对应起来 ； 二次便 是笛 卡儿建 立 了平 第 面直角坐标系 以及 他和 费 马创造 了新 的研 究 几何 的方 法及解 析几 何 的思想 方法． 以说 ， 可 数形 结合 在 近代 的 发展就是解析几何 的发展 ， 而在 现代 ， 平面几 何 、 从 立体 几何发 展 到 维 空 间的仿 射几何 、 射影 几何 ， 以及 在 现 代数学研究 中 ， 数量关 系的几 何解 释 中也 起到 了极其 重 要 的作用 ， 如果 不 对数 量关 系用 一 个形 的术 语来 描 写 ， 就无法一 步 步讨 论 下 去． 非 线 性 代数 中 的可 行 方 向 如
数形结合思想在中学数学解题中的运用
数形结合思想在中学数学解题中的运用【关键词】中学数学数形结合思想解题数学家华罗庚先生曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，将数形关系淋漓尽致地表达出来。
“数形结合”作为一种重要的数学思想，在高中数学教学中占有重要的地位，这在近几年高考试卷中可见一斑。
高考题中有许多运用数形结合的题，其中大多数题是“以形助数”。
常见的是在解方程和不等式、求函数的最值、求复数和三角函数等问题中通过巧妙运用数形结合思想解题，化抽象为具体，收到事半功倍的效果。
本文针对数形结合思想在中学数学解题中的运用进行探讨。
一、数形结合思想所谓“数形结合思想”，就是利用数与形之间的对应和转化来解决数学问题。
它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，兼有数的严谨与形的直观之长。
利用它可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一。
二、如何运用数形结合思想解题数学家波利亚在《怎样解题》中提出，解题有四个步骤。
第一，弄清问题：你必须弄清问题；第二，拟定计划：找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划；第三，实行你的计划；第四，进行回顾，验算所得到的解。
依据这个观点，可将运用数形结合思想解决数学问题的过程大致分为四个步骤：第一，在弄清问题的基础上，将数学问题转换为一个或者几个几何图形的问题；第二，根据数与形之间的关系画出几何图形；第三，通过数与形的结合解决问题；第四，检验得到的结果，最终得到问题的正解。
下面结合实例来具体说明。
在平面直角坐标系中作出以上两个函数的图象，如图，可直观地看出在0＜x≤10的范围内两曲线有3个交点，即原方程有三个解。
三、运用数形结合思想解题需要注意的问题1.引导学生学会数与形的转化运用数形结合思想解题时，将数与形联系起来，通过解直观的几何图形，使问题的解决简单化。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
数形结合思想在中学数学的应用
作Ｂ 点关 于 的对称 点曰 （ ， １ ，则ｌ 轴 ２ 一 ） ｙ 的最小 值 为Ａ Ｂ＝ 、 ＝／ ． 、 例２ 已知０ ６ ｍ ，， 为正实数 ， 且有ｎ ６ 求证 ： ＜， ＞
Ｄ
（） ３ 利用函数图像 的特点把握 函数的性质 ： 一次函数 的斜率 （ 倾斜程度 ）截距 ， 、 二次 函数 的对称轴 、 口、 开 判别式 、 两根之 间
证明 ： 图３ 作边 长为 １ 如 ， 的正
方 形Ａ Ｃ 在Ａ 上 取 点 Ｅ 使４ ＝ Ｂ Ｄ， 曰 ， Ｅ
Ｇ １ｂ Ｄ －
的距 离 等．
Ｄ十 ， ｎ
（） ４ 一元二次方程 的根的几何意义是二次 函数图像与礴由 的
交点．
分析 ： 本例证法虽 有很多 ， 但
若 用几 何图形面积去证 ，则更能 看清 问题的实质． 证 明： 利用ｎｂ ｍ构造矩形 （ ，， 如图２ ）
Ｓ＝ ，３ｍ ， 为 ａ ｂ 所 以Ｓ＜ ３ Ｉ Ｓ＝ ｂ 因 ， ＜， ｌ５， 斤 ＩＳ＜ ３５． ｜＋ ４ａ ｂ ｍ）Ｓ＋ ６ ａ ｍ）所 以 ｎ６ ） 以Ｓ＋ ４５＋ ４ ｓ Ｓ＝ （ ＋ ，３Ｓ＝ （＋ ， 而 １ （ ＋ １＜
二、 以形 助 数
⑩湖北省武 汉市 旭光学校
张东 林
几何图形具有直观易懂的特点 ， 所以在谈到 “ 数形结合 ” ， 时
更 多的老师和学生更偏好于 “ 以形 助 数 ”利 用 几何 图 形 解 决 代 ，
数 问题 ， 常常会产生 “ 出奇制胜 ” 的效果 ， 使人愉 悦． 直观运 几何 用 于代数主要有 以下几个方面 ： （） １ 利用 几何 图形帮助记忆代数公式 ， 例如 ： ａ 正方形 的分割 图可 以用来记忆完全平方公式 ； ） ｂ 将两个全等的梯形 拼成一个平行 四边形可 以用来记忆梯 ） 形 面积公式等． （） ２ 利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何 意义 ， 通 过构造几何图形 ， 依靠直观帮助解决代数 问题 ， 或者简化代数运
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
中学数学教学中“数形结合”思想的运用
解函 ） 』ｉ＇ ｏ ， 图 可 ：数厂 一 。ｉ ｚ［７ 图 象 数， ｉ眦， （ ｃ 由 象 可 （ ｚ ， ］由 眦 ∈， ］
一
中， 巧妙运用 “ 数形结合 ” 思想解题 ， 可以化抽 象 为具
体， 效果 事半 功 倍 ．
二 、 题 分 析 例
知 ： ＜五 ３ １ ＜ ．
一
分析 ： 本题根据 函数解析式 ， 画出图象 ， 可以直观 而简 明地得 出答案 ， 在有 时间限制 的高考 中就能 大大
地 节 约 时 间 ， 高考 试 的效 率 ． 提
样， “ ” 有 数 必有 “ ” 有 “ ” 有 “ ”华 罗 庚 先 生 形 ， 形 必 数 ．
曾说 过 ：数 与 形 本 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 “ 怎 数 形 时少 直 觉 ， 少 数 时难 入 微 ， 形 结 合 百 般 好 ， 离 形 数 隔
分析 ： 由于 Ｉ一２ ｉ— ｌ一 （ ＋ ２） ， 明显 的 —２ ｊ ２ ｉ Ｉ有
￣ ２ 一 （３ １ ／ √ ）
几何意义 ， 它表示复数 对应的点 到复数 ２ ＋２ 对应 的点之间的距离 ， 因此满足 Ｉ 一２ 一√ —２ ｌ ２的复数 对应的点 ｚ， 以（ ， ） 圆心 ， 在 ２２ 为 半径 为√ 的圆上 （ ２ 图
例 ２ 函数 ｆ ｘ 一ｓ Ｌ－２ ｉ ＿∈Ｅ ，Ⅱ 的 图 ｉ ） ｉｚｌ ｓ ｘ， ｒ－－ ｎ １ ｏ ２ ］ ，
象 与 直 线 一是有 且 仅 有 ２ 不 同 的 交 点 ， ｋ的 取 个 则
１。 为很 然 与 的 程 系 来而 恰 一化 ，自 地 圆 方 联 起 ，考 为
．． Ｉ． Ｉ ●
点（ ） ， 与原点连线 的斜 率 ， 这便 把问题与 “ 结合 形”
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
浅析初中数学中的数形结合思想
所 以 ．＞ ２ ０ ． 费者 选 用 节 能 灯 可 以节 省 费用 ． ｘ２８时 消 评析 ： 通过 函数 分 析 式 和 函 数 模 型 ， 数 形 结 合 的思 想 将 即 这 道 复 杂 问 题 简 单 化 、 观化 了 ． 样 学 生 更 容 易 理 解 问题 、 直 这 分析 问题 ， 而解 决 问题 。 从 例 ２ 数 形 结 合 与 解 三 角 形 函数 问题 ： 题 目 ： 图 ． 艘 轮 船 自西 向东 航 行 ， Ａ处 测 得 东 偏 北 如 一 在 ２ ＿ 方 向有 一 座 小 岛Ｃ． 续 向东 航 行 ６ 海 里 到 达 Ｂ ． 得 １。 ３ 继 ０ 处 测 小 岛 Ｃ 时 在 轮 船 的东 偏 北 ６ ． 方 向 上 ． 后 ， 此 ３５ ｏ 之 轮船 继 续 向东 航行 多少 海 里 ． 离 小 岛Ｃ 近 ？ 距 最
罨 周 ２１ 第 ２ ；式 刊 ｏ 年 ４ Ｉ ２ 期
浅 析 初 中 数 学 中 的 数 结 口
黄 艳 曦
（ 州 市 惠 港 中学 ， 东 惠州 惠 广 ５６０ ） １０ ７
△
田
， 、 ．
想
我 国著 名 的数 学 家华 罗庚 曾说 ：数缺 形 时少 直观 ，形少 数 “ 时难人 微 。数 形 结合 百 般好 ， 裂分 家万 事 非 。 ” 隔 这句 话 说 明 了 “ ” “ ” 紧密 联 系的 。“ ” 形 ” 数 和 形 是 数 和“ 是数 学 的两根 柱 石 ， 谓 所 数 形 结合 就 是根 据 数 学 问题 的题 设 和结 论 之 间 的 内在 联 系 ， 既 分析其数量关系 ， 又揭 示 其 几 何 意义 ， 数 量 关 系 和 几 何 图形 使 巧妙 地 结 合 起 来 ．并 充 分 利 用 这 种 结 合 来 探 索 解 决 问题 的思 路 ． 而 使 问题 得 以解 决 的思想 方 法 。 于 “ 形结 合 ” 从 关 数 思想 在初 中数学 中的运 用 ， 总结 了几 点 自己的看法 与 大家 交流 。 我 数 形 结合 思想 在 初 中数 学 中 的 重 要 性 。 数 形结合思想是 中学数学 中的一种重要 的数学思想 ， 贯 穿 于 整 个 中学 数 学 始终 ， 包 含 “ 它 以形 助 数 ” “ 数 辅 形 ” 和 以 两 个 方 面 。 运 用 大致 可 以分 为 两 种情 形 ： 助 于形 的生 动 和 直 其 借 观性 来 阐 明数 之 间 的联 系 ， 比如 运 用 函数 的 图像 来 直 观地 说 明 函数 的性 质 ：借 助 于 数 的精 确 性 和规 范 严 密性 来 阐 明形 的 某 些 属 性 ． 运用 曲线 的方 程来 精 确 地 阐 明 曲 线 的 几 何 性 质 。 如 数 形 结 合 即 以数 作 为 手 段 ， 形作 为 目的 ， 这 种 思 想 来 解 决 数 用 学 问题 往 往 可 以使 复 杂 问 题 简单 化 、 象 问 题具 体 化 。 抽 数形 结 合 思想 既能 发 挥 代 数 的优 势 ， 可 以 充 分 利 用 图 形 的 直 观 性 ， 又 从 多个 角度 探 索 问题 ， 思 维 能 力 的 发 展 大 有裨 益 。 对 数 学 学 习离 不 开 思 维 ， 学 探 索 需 要 通 过 思 维 来 实 现 ， 数 在 初 中数 学 教 学 中逐 步 渗 透 数 学 思 想 方 法 ， 养 思 维 能 力 ， 成 培 养 良好 的数 学 思 维 习惯 ， 既符 合新 的课 程 标 准 ． 又是 进 行 数学 素 质 教育 的一 个 切 人 点 。 二、 学中渗透数形结合思想 。 教 形成 用数 形 结 合 分 析 问 题 的意识。 纵 观 近 年 来 的 中考 ． “ ” “ ” 一 体 的 试 题 屡 见 不 熔 数 和 形 于 鲜 。 目前 我 们使 用 的新 课 本 ， 再 把数 学 课 划 分 为 “ 不 代数 ”“ 、几 何 ” 而 是 综 合 为 一 门数 学课 ， 样 更 有 利 于 “ ” “ ” 结 ， 这 数 与 形 的 合 ． 此数 学 教 师 在 教学 中要 做 好 “ ” “ ” 系 的揭 示 与 转 因 数 与 形 关 化 ， 用 数 形 结合 的方 法 ， 助 学 生 类 比 、 掘 ， 析其 所具 有 运 帮 发 剖 的几 何 模 型 ， 对 于 帮助 学 生 深 化 思维 ， 这 拓展 知 识 ． 高 能 力 都 提 有 很 大 的 帮助 。 用数 形 结合 思 想 不仅 直 观 、 发现 解 题 途径 ， 运 易 而且 能 避 免 复 杂 的计 算 与 推理 ， 大简 化 了 解题 过 程 。所 以 要 大 注 意培 养 这 种 思想 意 识 ． 争 取 胸 中有 图 ． 要 见数 想 图 ． 以开 拓 自 己 的思 维 。 下 面通 过 几 个 例 题 的 分 析 给 予解 评 。 例 １数 形 结 合 与 函数 问 题 ： 题 目 ： 哪 种 灯省 钱 ？ 用 种 节 能 灯 的 功 率 为 １ 瓦 （ ．１ 瓦 ） 售 价 为６ 元 ： 种 Ｏ ０ 千 ０ ， ０ 一 白 炽 灯 的 功 率 为 ６ 瓦 。 价 为３ ． 种 灯 的照 明效 果 一 样 ， ０ 售 元 两 使 用 寿命 也 相 同 （０ ０ ￣ 以 上 ）如 果 电 费 价 格 为０５ （ 瓦 ・ ３０４ 时 ． ．元／千 时 ） 消 费者 选 用 哪 种 灯 可 以 节 省 费用 ？ ， 解 析 ： 题是 一 道 代 数 题 ， 们 可 以利 用 数形 结合 的 思 想 本 我 通 过建 立 函数 模 型 将 代 数 问题 转化 为几 何 问题 加 以证 明。 解 ： 照 明 时 间 为ｘｉ时 ， 设 ／ ｘ 则 用 节 能 灯 的总 费 用ｙ 为 ： ．０５ Ｏ １＋ ０ ００ ５ ＋ ０ ． ｙ＝ ． ． ｘ ６ ＝ ． ｘ ６ ｘ ０ ０
数形结合思想在初中数学教学中的应用探究
数学探究ShuXueTanJiu2019年5月May.2019教师・TEACHER数形结合思想在初中数学教学中的应用探究刘昕（福建省福州时代中学，福建福州350007）摘要：对初中生而言，“形”比“数”更加形象，容易被理解、接受。
从学生的兴趣以及认知出发，构建数形结合思想是有必要的。
在常见的数学问题中，融入数形结合思想，能够保证学生在系统认识“数”“形”联系的前提下，实现复杂问题简单化，理解与掌握问题的解决策略以及方法。
关键词：数形结合思想；初中数学；应用中图分类号：G633.6文献标识码：A收稿日期：2019-03-03文章编号：1674-120X（2019）14-0039-02-、初中数学教学中数形结合思想应用的必要性（一）有助F推动学科发展从数学发展情况来看，数形结合思想当中的“数”与“形”彼此影响，所以在数形结合教学法应用的过程中,需要将“数”与“形”进行有机联系，保证二者的深度融合，使学生可以全面掌握学科含义，从而深入了解数学问题，解答数学问题，从脑海中构建完备的数学知识结构。
（二）有助于提升教学质I*在初中数学教学活动中应用数形结合教学法，可以有效实现教学模式的改革创新，也是提升教学成果以及教学质量的有效方法。
教师向学生灌输教学方法的时候，利用数形结合的方法有助于实现复杂数学难题的转化，以帮助学生全面、快速而又准确地理解题目的意思。
（三）有助于启发学生思维数学学科与实际生活有着紧密的联系，很多生活案例都具备不同的数学图形。
比如，每天气温变化造成了温度计中水银柱的刻度变化、过马路的时候看到的路标、学生做广播体操的时候的站位等，都是由各种各样的图形所组成。
假如可以引导学生充分认识这些图形，在思考以及分析数学问题的过程中，合理地使用数形结合的方法，特别是在一元二次方程以及不等式、反比例函数中，可以有效地简化数学问题，启发学生的思维，便于学生更好地理解数学知识。
由此可见，只有在思想上充分地认识到数形结合思想，才可以更加深入地思考相关的数学问题，从而发挥数形结合思想的价值。
中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施
中学 数 学 教 学 中 “ 形 结 合 ＂ 想 的运 用 及 实 施 数 思
谈 家国
（ 都 市 丁沟 中学 ， 苏 江 都 江 江
数 形 结 合 是 根 据 数 量 与 图 形 之 问 的 对 应 关 系 ， 过 数 与 通 形 的 相互 转 化 来解 决 数 学 问题 的一 种 重 要 思 想 方 法 。数 形 结 合思 想 ， 通过 “ 以形 助 数 ， 数 解 形 ” 使 复杂 问题 简 单 化 ， 象 以 ， 抽 问题 具 体 化 ． 从 形 的 直 观 和数 的严 谨 两 方 面思 考 问题 ． 宽 它 拓 了解 题 思 路 ． 数 学规 律 性 与 灵 活性 的有 机 结合 。 面我 从 几 是 下 个 方 面谈 一下 “ 形辅 数 ” 以 在解 题 中的 应用 。 方 程 、 等 式 问题 不 构建 函数 模 型 并 结 合 图像 ， 究 方 程 根 的 范 围 、 等式 的 研 不 解集 、 数范围。 参
一
解 ． 实数 Ｉ的取 值 取 范 围 ． 求 Ｔ Ｉ
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上 的 点 （ ，（ ） （ ，（ ） （ ，（ ） 与 原 点 连 线 的 斜 率 ， 知 ａ ｆ ａ ） ｂ ｆｂ ） ｃ ｆｃ ） 易
ｆｃ ｆｂ） （ （ ） （ ，ｆａ）
、
【 例 １ 若方 程 ｌ（ ｘ ３ — ＝ｇ ３ ｘ 在 ｘ ０ ３ 内有 唯 典 】 ｇ 一 一 ｘ ｍ）ｌ（一 ） ∈（ ，） ＋
数形结合在初中数学教学中的应用
-045-2019年第18期（总第166期）摘 要：伴随着国内教育改革的不断深入，现阶段我国的初中数学教学水平也得到了显著提高。
但是在新课改的大背景下，传统的初中数学教学模式已经无法再适应新时期的数学教学需求。
而数形结合思想不但能够有效地提高学生的学习热情，还能够提高学生的数学思维能力。
文章对数形结合思想在初中数学教学中的重要性进行简要论述，并针对如何在初中数学教学中发挥出数形结合的价值给出了一些有效建议，以供参考。
关键词：数形结合；初中数学教学；勾股定理中图分类号：G633.6文章编号：2095-624X（2019）18-0045-01一、数形结合思想在初中数学教学中的重要意义在进行数学学习的过程当中，对于数学问题的解决方式并不只有一种，通常情况下，最为直接的就是通过计算与应用的方式来进行解决。
而利用数形结合的方式，能够有效地将传统的数学思路进行简化，避免多走弯路，同时还能够让学生更加直观地掌握解决问题的方法，来解决数学学习中的问题。
数形结合的思想，不但能够帮助学生在有限的课堂时间内掌握数学知识，还能够调动学生的积极性，对于激发学生的数学兴趣，培养学生的数学素养具有重要的意义。
二、数形结合在初中数学教学中的运用1.运用勾股定理达到数形结合的目的有理数是初中数学教学中的重点与难点之一，教师在进行数学教学的时候，必须及时发挥出数形结合的优势并运用到数学教学中，帮助学生深入了解有理数的结构特点，为后续的数学学习打下坚实的基础。
例如，在讲解初中数学浙教版八年级上册《探索勾股定理》这一部分内容的时候，由于勾股定理是数形结合的典型，许多计算问题都能够转化为三角形问题进行解决。
比如说某同学用长方形纸片ABCD 折纸，纸片宽AB 为8cm，长BC 为10cm，那么当顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ），EC 长度是多少？在解决这个问题的时候，教师可以利用图形转化为勾股定理的方式来解答。
先画出图形，然后再向学生提问：“同学们，你们看黑板上有哪些不变量呢？那么由题可以知道：AF =AD =10，那么在Rt △ABF 中可知BF =6，FC =10-6=4cm。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业*名：***同组人员：王帅帅指导教师：***数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
初中数学教学中数形结合思想的应用——以“全等三角形的判定”为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３初中数学教学中数形结合思想的应用初中数学教学中数形结合思想的应用㊀㊀㊀ 以 全等三角形的判定 为例Һ曾琪瑛㊀（大亚湾区澳头实验学校，广东㊀惠州㊀５１６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学就是数与形的学科，所以最直观的方式就是图形与数量的有机结合，就是依据数的结构特征构建的几何图形，而数学问题的解决就是按照图形特征的规律进行．数学教学中关键的思维就是数形结合的理念，可以成为图形与数字相互连接的载体，也是有效记忆数与形逻辑性的最佳方式．通过 全等三角形 的内容不难发现，在课堂教学中，三角形会成为学生思维的对象，进行逻辑推理的根据是 数量关系 ，而 相等是否全等 却成为推理常用的逻辑关系，差不多在全部的数形结合的例证中，以上三因素皆存在，所以数形结合的模式可以提升学生的推理能力．ʌ关键词ɔ数形结合；全等三角形；教学思想对于推理能力培养的关注，有两个因素值得研究：一是传统的初中数学教学中，推理能力的培养一直被重视，学生针对数学构建自己的知识和结构的过程中，会自然加强自己的推理能力，并且中学生在抽象能力迅速发展的黄金时期，会不自觉地利用推理来解决数学问题；二是核心素养对初中数学教学的规范作用，在进行数学核心素养的教学渗透中，关键的要素中就蕴含着逻辑推理，哪怕逻辑推理只是推理的一部分，但针对初中数学课程教学，推理的价值和地位已经不可忽视．总结初中数学的教学经验，会有太多的时机可以进行学生推理能力的有效培养，笔者在大亚湾区澳头实验学校从教２８年初中数学，发现效果非常理想．下面就通过对这种教学方式的教学经验，谈谈数学教学的几点体会．一㊁数形结合的概念在初中数学教学中，所谓数形结合就是代数含义和几何含义的有机结合，换言之就是按照数学问题的相关条件和获得的结论之间的内在联系，即可以对代数含义进行分析，又可以对几何意义进行揭示，形成数量关系和空间形式的有机融合，在这种融合中形成正确的解题思路，圆满解决数学问题．在古今中外的数学研究中，数与形一直是最古老㊁最本质的两个方面，两者之间的紧密结合既是极其重要的数学思想，也是可以普遍应用的数学方式．数学家华罗庚曾经指出： 数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休． 从该形象而精辟的阐述不难看出，在与形相关的数学教学研究中，相关数形结合的理念的重要性，也奠定了数学解题理论的实践基础．二㊁初中数学教学中数形结合思想的重要意义（一）数形结合思想在初中数学中的地位在数学理论和数学思想中，数形结合思想是其中极其重要的组成部分，其方式方法在数学教学中占据重要地位．该方式不仅使用灵活，且具有极强的应用性，可以有效将数轴坐标系㊁圆㊁多边形的几何知识与函数㊁方程㊁不等式等代数知识有机结合，可以推进学生学习过程中构建系统高效的数学思维体系，同时显著提升教师的教学效率，优化了数学教学的解题模式．（二）数形结合思想在初中数学中的意义对于提升学生思维的灵活性和敏捷性，数形结合思想效果明显．该思维为学生解题提供了便捷㊁灵活的新思路，可以利用图形的组合解释繁杂的数量关系．学生可以认真大胆地猜测阅读题目，分析判断给出的条件转化的可能性，让解题思路大大拓宽，从而提升了学生思维的灵活性和敏捷性．数形结合最大的优势就是将抽象复杂的数学问题转化为直观简单．在新课程标准的数学教材中插入了诸多的图形，这些貌似简单的图形却蕴含着关键的数学知识和方法，有些需要很多文字才能表达清楚的定理只要一张图就能解释．因此，教师可以利用这些插图与实际例题结合，将概念定理巧妙引入其中，养成学生用图形记忆概念㊁处理问题的习惯，将抽象化为具体，将复杂变为简洁，充分发挥了数形结合的价值．二㊁数形结合的基本方式（一）以数助形数指的是代数，形指的是几何，这两者是中学数学中两个关键的研究课题，而两种因素又是联系密切．具体在数学解题中，表现为 以数助形 和 以形助数 两个方面．数与形就是数学的两条腿，想真正理解数与形的关系，必须深刻体会 以数助形 和 以形助数 ，同时更要体会数与形各自的优势和缺陷，然后互相补充．上文中华罗庚关于数与形关系的精辟阐述，很恰当地总结了数形结合以及相辅相成的要点．数形结合不但在教学思想中存在，更是一种不可替代的数学学习方式．要想在初中的数学解题中真正实现 数形结合 的目标，必须熟悉和清楚两者之间的常态应用的结合点，通过对 以数助形 的深度分析，结合点有两个层面的意思：第一，几何问题的代数化可以利用数轴和坐标系实现，在以后的高中数学中，还要接触通过向量将几何问题代数化的模式；第二，通过距离㊁面积㊁角度等几何量处理几何难题．例如，借助勾股定理对直角进行证明，通过线段比例证明相似度，会收到意想不到的效果，激发了学生对数学的浓厚兴趣．（二）以形助数几何图形具备直观易懂的鲜明特点，所以在数形结合的教学实践中，无论是教师和学生都比较注重于 以形助数 的思维模式，代数现象通过几何图形阐述，会收到事半功倍的神奇效果，可以激发学生的数学兴趣，将几何图形用于解决代数问题表现在两个方面：第一，通过几何图形更好地记忆代数公式；第二，借助坐标系和数轴把代数表达式向几何意义转化，通过形象构造鲜明的几何图形直观处理代数问题，也可以对代数运算进行简化．例如，可以利用全等三角形的判定的相关图形，解决代数的问题，可以收到神奇的解题效果．三㊁数形结合中培养推理能力的意义如果想利用数形结合的方式培养学生的推理能力，那么必须在教学理念上进行深入的认知，要明白它实质体现的是一种对应的数与形的关系，数学问题是利用数与形的转化来解决的．所谓的数学问题的解决，第一是接触新的数学知识时候解决的问题，第二是数学知识构建之后解决的问题．无论是第一点还是第二点，我们都可以利用推理的All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３方式来进行问题解决．例如利用 全等三角形 的知识来说明问题．因为会有大量的逻辑推理方式蕴含在全等三角形的判定知识的教学中，在全等三角形的性质基础上探求全等三角形的判断规则，整个学习过程都带着探究趣味．该学习过程学生会利用证明中的证实或者证伪，对自己猜想是不是符合判定法则进行有效的判断，全等性质包含着逻辑推理，也就是利用三边相等和三角相等，对得出的可能的判定依据进行推理，由此， 边边边 客观上是根据全等形 完全重合 的理念，貌似利用直觉维度推理出来的 角角角 边角边 角边角 角角边 边边角 等，推理结果马上形成后，对这些推理进行实证或者证伪，就形成了又一个可以运用的推理过程．四㊁基于数形结合案例培养学生推理能力简析客观上，在 全等三角形 数学课程中，以数形结合的方式训练学生推理能力，业界也进行过相似的研究，其典型的论断是：中学数学教学目标之一就是养成学生一定逻辑推理的能力，初中数学教师对学生这种能力的培养责任重大，而 全等三角形 会发挥举足轻重的作用，笔者完全赞同上面的三要素，所实现的目标是让学生思维融入推理过程中去，就客观上形成了推理能力培养的合理空间．具体的教学程序设计如下：（一）将数形结合思想导入全等三角形知识中在开始进行全等三角形课程前，教师可根据数形结合的思想进行全等三角形知识导入，通过其合理的应用为新课程展开奠定基础，利用该方式对量与全等三角形之间关系进行阐述，利用这样的方式将学生对全等三角形的兴趣和好奇心逐渐激发出来．例如，在进行相关全等三角形新课程教学时，教师要利用灵活的方式将数形结合的理念渗透到课程中，学生在教师的思路引导下实际操作，可以在硬纸板上分别画出三边为３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍ的三角形，然后将这些三角形从硬纸板上抠出来，重叠后与其他同学的三角形进行对比，同时可以讨论自己的发现．这样的教学可以促进学生进入良好的学习状态，更可以对全等三角形含义有深刻的理解．方案一：复习引入．总结边角边公理和角边角公理的条件得出两个三角形全等的判定需要三个条件．启发学生想一想，如果将这三个条件变换为三个角对应相等或三条边对应相等，那么两个三角形是否还全等？方案二：实验引入．根据已有验证边角边公理和角边角公理的真实性的经验，验证按如下要求画出的әＡᶄＢᶄＣᶄ是否和已知的әＡＢＣ全等．图１方案三：电子演示．在图２中的两个三角形中，ＡᶄＢᶄ＝ＡＢ，ＡᶄＣᶄ＝ＡＣ，øＡᶄ＝øＡ，әＡᶄＢᶄＣᶄ是否与әＡＢＣ全等？图２（二）将数形结合理念渗透在全等三角形知识的讲授中可以通过数学量的方式直观化或抽象化展示全等三角形的有关概念，让学生通过数形结合的思维完成形象化的图形数量化．例如，教师在教学 边边边 的全等三角形的公理的时候，完全可以利用数形结合来教学，可以将两个三角形画在黑板上，一个三角形的三边分别为４ｃｍ，３ｃｍ，５ｃｍ，另一个三角形的三边分别为５ｃｍ，４ｃｍ，３ｃｍ．根据这两个三角形，教师提问学生：黑板上的两个三角形是全等三角形吗？教师通过这样数形结合的模式实施教学，最大化地活跃了学生的思维，让学生感觉到数学学习的轻松和简易．㊀图３１．案例１：已知，如图３所示，әＡＢＣ中，ＡＤʅＢＣ于点Ｄ，ＡＤ＝ＤＣ，øＦＣＤ＝øＢＡＤ，点Ｆ在ＡＤ上，ＢＦ的延长线交ＡＣ于点Ｅ．（１）求证：әＡＢＤɸәＣＦＤ；（２）求证：ＢＥʅＡＣ；（３）设ＣＥ的长为ｍ，用含ｍ的代数式表示ＡＣ＋ＢＦ．２．分析（１）由ＡＤʅＢＣ于点Ｄ，ＡＤ＝ＤＣ，øＦＣＤ＝øＢＡＤ，根据ＡＳＡ，即可判定：әＡＢＤɸәＣＦＤ；（２）由әＡＢＤɸәＣＦＤ，可得ＢＤ＝ＤＦ，继而可得әＢＤＦ与әＡＣＤ是等腰直角三角形，则可求得øＡＥＦ＝９０ʎ，证得ＢＥʅＡＣ；（３）根据图形中边与边之间的关系，易得：ＡＣ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＡＥ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＥＦ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＢＥ＝ＣＥ＋ＣＥ＝２ｍ．３．解答证明：（１）ȵＡＤʅＢＣ于点Ｄ，ʑøＡＤＢ＝øＡＤＣ＝９０ʎ．在әＡＢＤ和әＣＦＤ中，øＢＡＤ＝øＦＣＤ，ＡＤ＝ＣＤ，øＡＤＢ＝øＣＤＦ，ʑәＡＢＤɸәＣＦＤ．（２）ȵәＡＢＤɸәＣＦＤ，ʑＢＤ＝ＤＦ．ʑøＦＢＤ＝øＢＦＤ＝４５ʎ．ʑøＡＦＥ＝øＢＦＤ＝４５ʎ．又ȵＡＤ＝ＤＣ，ʑøＤＡＣ＝øＡＣＤ＝４５ʎ．ʑøＡＥＦ＝９０ʎ．ʑＢＥʅＡＣ．解：（３）ȵøＥＢＣ＝øＡＣＤ＝４５ʎ，ＣＥ＝ｍ，ʑＢＥ＝ＣＥ＝ｍ．又ȵøＡＦＥ＝øＦＡＥ＝４５ʎ，ʑＡＥ＝ＦＥ．ʑＡＣ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＡＥ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＥＦ＋ＢＦ＝ＣＥ＋ＢＥ＝ＣＥ＋ＣＥ＝２ｍ．４．小结本题对全等三角形的性质和判定进行了考查，考查了等腰三角形以及等腰三角形的性质和判定㊁垂直定义等知识点的综合运用，难度适中，以扎实掌握和应用数形结合的思想．（三）将数形结合思想融入全等三角形知识的练习中在全等三角形练习题中合理应用数形结合思想，可以培养学生的数学思考能力，是教师传授数学思想的最有效的途径，同时将数形结合思想应用到全等三角形的解题中，可以有效促进图形与数量间的彼此转化，以降低数学练习题的解题难度，让学生解题的思维更灵活㊁更广阔，通过数形结合判定全等三角形的相关命题变得容易方便．All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２１３㊀图４１．案例２：如图４所示，әＡＢＤ，әＡＥＣ都是等边三角形．求证：ＢＥ＝ＤＣ．２．问题解析解题指导：（１）数学思想：数形结合的数学思想；（２）解题方法：主要是构造全等三角形，正确地利用等边三角形中隐含的条件证明全等是解决本题的关键．解题分析：由әＡＢＤ和әＡＥＣ均为等边三角形，可得ＡＢ＝ＡＤ，ＡＥ＝ＡＣ，øＢＡＤ＝øＥＡＣ＝６０ʎ，继而可利用ＳＡＳ证得әＢＡＥɸәＤＡＣ，则可证得ＢＥ＝ＤＣ．证明：在等边әＡＢＤ中，有ＡＤ＝ＡＢ，且øＤＡＢ＝６０ʎ．在等边әＡＥＣ中，有ＡＥ＝ＡＣ，且øＥＡＣ＝６０ʎ．ʑøＤＡＢ＝øＥＡＣ．由图可知，øＤＡＣ＝øＤＡＢ＋øＢＡＣ，øＢＡＥ＝øＥＡＣ＋øＢＡＣ，ʑøＤＡＣ＝øＢＡＥ．在әＤＡＣ和әＢＡＥ中，ＡＤ＝ＡＢ，øＤＡＣ＝øＢＡＥ，ＡＣ＝ＡＥ，ʑәＤＡＣɸәＢＡＥ（ＳＡＳ），ʑＢＥ＝ＤＣ．３．命题评价本题利用三角形全等的知识以及等边三角形的性质，利用数形结合针对学生基本技能和基础知识掌握情况进行考查．这道题体现了学生对知识应用的整体能力，充分激发了学生学习数学的积极性，提升了数学学习的信心．同时又培养了学生利用数形结合的推理论证能力和语言表达能力．（四）在全等三角形判定中注重归纳，提高解题能力不能将课堂知识总结理解为形式化的 电影回放 ．而是要引导学生冲破原有的知识体系，重构新的知识体系，在创新方式和观念内化中充实核心素养．通常情况下，可以从三个层次梳理一节课的知识，首先要总结基础知识，在探索阶段的梳理要侧重学习方式的提炼，最后的总结注重问题解决应用方法的渗透．从以下几个方面归纳总结：①三条边与两个三角形的同余进行对应，表现形式为 边边边 （ ＳＳＳ ）．锻炼学生归纳㊁整合和表述的能力，在 边边边 判断法中深刻理解文字语言㊁几何语言和图形语言三者的内在联系，创立合理的模式以供后续使用．②分类勘探法的基本环节是：在少而弱到多而强的过渡中，形成通用的模式进行分类探究，为以后的数学学习服务．③对主题中 有什么 的条件进行分析，是教师引导学生必须进行的实践课，利用特殊符号表达主题条件同时整合到图形内，让学生辨别特殊符号就可以理解条件和相关的问题，并根据结果和定理有效分析图形，找出 缺什么 的条件，使目标方向清晰，思考问题的思路清晰，从而得出 缺什么 ，为解释问题提供了基本模型．课堂延展分析：图５中的已知条件，在әＡＢＦ和әＤＣＥ中，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＥ＝ＣＦ，ＢＦ＝ＤＥ，әＡＢＦ与әＤＣＥ全等吗？为什么？图５通过如此练习，方可更有效地引导和发展思维，引导学生首先发现和观察问题，利用特殊符号代表问题条件，同时融入图形中，辨识图形符号就能够获悉 有什么 和 缺什么 ，为今后学习几何证明的思路奠定了基础．五㊁从数形结合培养推理能力看核心素养培育在上述案例中，数学内涵最基本的思路就是数形结合，通过深刻认知全等三角形的 形 ，通过判断 数 的逻辑关系，这个推理过程自然形成，并借助这个推理过程，学生获得了正确的全等三角形判定法则．因而这是一个完整的基于数形结合培养推理能力的教学过程，这也印证了数形结合是重要的数学思想，广泛应用在数学知识的建构与问题解决中．在数学的核心素养中逻辑推理的地位是举足轻重的，将核心素养思维渗透到教学的各个环节，就是数学与核心素养的有机结合．但在数学学科中培养学生的核心素养，难以实现全要素都普及的目标，而是必须进行取舍和抓住重点，从这个角度说，数学教育中注重学生推理能力的培养，也是数学核心素养进行实践的过程．通过上述案例不难看出，对学生推理能力的培养也是综合能力和方法的培养，必须与实际的数学知识相结合或者合理运用，而这个学习与运用又是需要方法支撑的，对于数学知识而言，数形结合的思想既是知识方法的构建，也是关键的数学思想．已经被广泛应用的数形结合，为学生推理能力的培养开拓了更广的空间，如果学生有兴趣研究 形 ，就会有更大兴趣去探索数并通过 数 来概括这个形，进行概括描述的时候，倘若存在其他需要，那么数形结合就是深度融合推理能力的培养过程．六㊁总㊀结数学思想体系中重要的一类就是数形结合的思想，该方式可以化解极其复杂的问题，促进问题的复杂化变得具体化㊁简单化㊁形象化，它包括了数的一丝不苟，并且利用图进行图的直观化，解题过程优化的关键手段，可以深度揭示数学本质的相关问题，切实体现数与形的密切关系．进行 数 的研究中要利用 形 ，在进行 形 的性质的探索中却又要应用 数 ．教学中应用数形结合的模式，解决了很多的数学难题．总而言之，在全等三角形知识学习中合理应用数形结合的思想，可以大幅度提升学生的数学思想，让学生思维的转换更加灵活和宽阔，全面发展了学生的数学的学习能力．ʌ参考文献ɔ［１］雍玉华．数形结合思想在初中数学教学中的渗透策略探究［Ｊ］．考试周刊，２０２１（１４）：８９－９０．［２］纪以权．数形结合在初中数学教学中的应用［Ｊ］．启迪与智慧（中），２０２１（２）：４５．［３］宋丽容，蔡铭墀．注重数形结合㊀增进图形理解 以 三角形三边关系 的教学为例［Ｊ］．福建教育，２０２１（５）：４４－４６．［４］刘婷婷．初中数学数形结合解题思想方法探究［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（３５）：１７－１８．［５］屈蓓．数形结合促思维，合理示图谋发展 论中年级学生如何绘制线段图解决问题［Ｊ］．启迪与智慧（中），２０２０（１２）：４４＋４３．All Rights Reserved.。
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中学数学教学中数形结合思想应用之浅见论文摘要对于中学数学学习有很多数学方法，其中数形结合思想是中学数学中一种重要的学习方法，它将代数与几何相结合，利用数形之间相互转换，丰富想象，化繁为简，化难为易。
一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。
另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论，提高分析和解题的能力，寻求简易的解题方法，最终方便我们解题。
我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在中学数学中的应用：（1）在集合中的应用；（2）在解方程中的应用；（3）在解不等式中的应用；（4）在解析几何上的应用；（5）在解决最值、值域问题上的应用。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中将数形结合思想贯穿到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词中学数学数形结合应用目录引言 (1)1数形结合思想的概念 (1)2数形结合思想在中学数学中的应用 (2)2.1 (2)2.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2)2.1.2利用数轴解决集合的有关运算 (3)2.2数形结合思想在解方程中的应用 (3)2.3数形结合思想在解不等式中的应用 (4)2.4数形结合思想解决最值、值域问题 (6)2.5数形结合思想在解析几何中的应用 (7)3培养学生数形结合思想的教学措施 (8)结束语 (9)参考文献 (10)引言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。
中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。
一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。
而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。
例如函数图象与函数表达式之间的关系。
对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。
那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？1 数形结合思想的概念数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。
2 数形结合思想在中学数学中的应用2.1 数形结合思想在集合中的应用2.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：()()()()()()()n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂=807739437593371267213965++---+=即：参加竞赛总人数为965人。
3.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合{}13A x x =-<<,{}3B x a x a =<<⑴若A B ⊆，求a 的范围．⑵若B A ⊆，求a 的范围．分析：先在数轴上表示出集合A 的范围，要使A B ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有： ⎩⎨⎧≥-≤331a a ，这时a 的值不可能存在．要使B A ⊆， 当0a >时集合A 应该覆盖集合B ，应有⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥0331a a a 成立，即01a <≤．当0a ≤时，B =∅，显然B A ⊆成立．故B A ⊆时的取值范围为：1a ≤在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解．在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
2.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
例3．设方程211x k -=+，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况．33解：我们可把这个问题转化为确定函数21211y x y k =-=+与图像交点个数的情况，因函数1y k =+始终表示平行于轴的所有直线（无论k 取何值），函数211y x =-可以先转换成从函数211y x =-，然后根据二次函数图象性质画出211y x =-图像，进一步画出211y x =-的图象，从而可以直观看出：（1）当1k <-时，1y 与2y 没有交点，这时原方程无解；（2）当1k =-时，1y 与2y 有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是11x x =-=与； （3）当10k -<<时，12y y 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；（4）当0k =时，12y y 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；（5）当0k >时，12y y 与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．通过图像我们可以清楚的看出k 在什么范围内两个函数它们交点的个数，从而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率。
在方程意义下去研究二次方程且带有字母代数的，往往非常棘手，但如果先把它转化成二次函数，并画出二次函数图象，在运用图象的性质去研究，问题就迎刃而解了，本题就是很好的佐证，将二次函数图象与一次函数图象相结合，再根据k 的范围就能很快得出交点个数，即方程解的个数。
所以在今后解类似题目时可以将复杂的代数转化成函数，再画出图像。
2.3 数形结合思想在解不等式中的应用解不等式,就是要对不等式进行同解变形,使之变为与原不等式同解的最简不等式。
不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了教高的教学要求。
结合图形研究,可以避免复杂的讨论,化繁为简。
例4解不等式125292<+--x x x解:移项得 0125292<-+--x x x ， 通分得0252762<++--x x x 即0)3)(25)(9(025)9)(3(>-++⇔>++-x x x x x x 由序轴标根法可知:原不等式的解为：295x -<<-或3x > 注:我们把不标注原点和没有长度单位,只反映任意两个实数的大小顺序的数轴称为序轴,用序轴标根法解不等式的步骤是:将()0f x =的n 个根在序轴上标注出来，这n 个根将序轴分成1n +个区间，则最右一个区间的值使()0f x >，然后自右向左()f x 的符号依次“+”“-”相间。
当()f x 中有重因式时,可把奇次重因式改为一次单因式,把偶次重因式弃掉,并且去掉使偶次重因式为零的实数。
对一些不等式问题，我们可以借助所给图形，仔细观察研究图形，揭示出图形中所蕴含的数量关系，从而运用所学知识加以解决。
例5．解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|(01)a a x x a +>-<<． 解：设()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-.令()()f x g x =,解之得x =分别在同一坐标系中作出()f x 和()g x 在01a <<时的函数图象；如下图所示：x通过以上两个例子,大体说明了数形结合在不等式教学中的应用。
在数学教学中,应抓住数形结合的解题契机:(1)在审题时与解题前,运用数形结合的思想方法勾画题目大意,完善认识结构,确定解题思路。