2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3 课下能力提升(十五)离散型随机变量的均值Word版 含解析
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.4 二项分布含解析
1．定义一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A,每次试验中P（A）＝p〉0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p（0<p 〈1）,即P（A）＝p，P(A)＝1－p＝q，则事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为P n(k)＝C k，n p k q n－k，k＝0，1，2，…，n.它恰好是（q＋p）n的二项展开式中的第k＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i（i＝1，2，3）表示第i次出现6点这一事件,用B1表示“仅出现一次6点”这一事件．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝（A1错误!2错误!3)＋（错误!1A2错误!3）＋（错误!1错误!2A3)．问题2：试求P（B1）．提示：∵P（A1)＝P（A2)＝P(A3)＝16，且A1错误!2错误!3，错误!1A2错误!3和错误!1错误!2A3互斥，∴P（B1)＝P（A1错误!1错误!2）＋P(错误!1A2错误!3)＋P（错误!1错误!2A3）＝错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＋错误!×错误!错误!＝3×错误!×错误!错误!。
问题3:用B k表示出现k次6点这一事件,试求P(B0）,P(B2)，P（B3）．提示：P（B0)＝P(错误!1错误!2错误!3）＝错误!错误!,P（B2)＝3×错误!错误!×错误!,P(B3）＝错误!错误!.问题4:由以上结果你得出何结论？提示:P（B k)＝C错误!错误!错误!错误!错误!,k＝0，1,2，3.若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝C错误!p k q n－k,其中0<p<1,p ＋q＝1，k＝0，1，2,…，n,则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验：(1）每次试验是在同样条件下进行的；(2）各次试验中的事件是相互独立的;（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生;（4）每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二：其一是对立性，即一次试验中,事件发生与否二者必居其一；其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80％,计算：（结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2）5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种（或准确或不准确）,符合独立重复试验模型．[精解详析］（1）记预报一次准确为事件A,则P（A）＝0。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值》2
高中数学苏教版选修2-3第二章教学设计课题：离散型随机变量的均值许佳龙【教材地位】这节内容在选修2-3第二章，一方面，它承接了必修3的统计概率知识，另一方面，掌握好这节课的研究方法，将有助于后续离散型随机变量和方差的研究。
因此，它在知识体系上起着承上启下的作用。
离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点。
在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性。
【教学目标】1、知识与技能：通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义；能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题。
2、过程与方法：从样本期望到离散型随机变量的期望，培养学生归纳，概况等合情推理的能力，通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的思维习惯。
3、情感态度与价值观：通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
【教学重难点】重点：能计算简单离散型随机变量均值〔数学期望〕难点：理解离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义【教法学法】以学生为主体，教师为主导，引导启发学生进行自主、探究、合作的学习，通过师生、生生的互动和交流获得知识，提升能力，达成学习目标。
【教辅工具】，N时，EX＝nM/N．，且各次射击互不影响，这名射例2〔改编〕某人每次射击击中目标的概率为23手射击3次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望．分析：那么X服从二项分布X～B3，23解：X的分布列为,,,设计意图：同上，由于书本上的例2原题的数据相对来说还是有一定的复杂，所以在不改变问题原理和意图的情况下改变了一定的数据，纯粹为了简化学生的计算过程，为课堂赢得更高的效率。
，且各次射击互不影响，这名射手射再改为“某人每次射击击中目标的概率为23击5次，记击中目标的次数的X，求X的数学期望〞．X～B5，23设计意图：再次进行数据上的变化，一方面可以进一步强化计算的过程以及公式的运用，同时另一方面也让学生看到数据变化后结果有对应的变化，再次引发思考和猜测。
苏教版数学选修2-3高二2.5离散型随机变量的方差最新优质课PPTX课件
2
· · · an · · · pn
(an EX ) pn
2
DX (a1 EX ) p1
(ai EX ) pi
2 i 1
n
方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度
的量，方差越小，随机变量的取值就越集中在其均值的
周围；反之，方差越大，随机变量的取值就越分散。
练习2、已知随机变量X的分布列 X P 求DX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
解：
EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
DX (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 ( 2 2) 0.4
2 2 2
( 3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2
2 2
练习3、甲、乙两名射手在同一条件下射击， 所得环数X1， X2分布列如下：
X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
解：EX 1 9, EX 2 9
问题提出
据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.25
，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型
设备，为保护设备有以下3种方案. 方案1：运走设备运费为3800； 方案2：建一保护围墙，需花费2000元，但围墙无法防 止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失60000 元; 方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来 临将损失60000元，小洪水来临将损失10000元.
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 。
DX 1 0.4, DX 2 0.8
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.5.1 离散型随机变量的均值》9
四．课堂小结：
1.如果随机变量X服从两点分布，那么；
2.如果随机变量X服从二项分布，即X～B〔,〕，那么；
3.如果随机变量X服从超几何分布，即X～H〔,,〕，那么；
回忆离散型随机变量的分布列及分布列中的概率的性质
由具体问题入手，引发学生对离散型随机变量的初步认知和感悟
二．建构数学：
1离散型随机变量取值的平均值即数学期望
公式：
2拓展：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，那么Y也是随机变量．
〔1〕Y的分布列是什么？
〔2〕EY=？
三．数学应用：
例1篮球运发动在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．某运发动罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
分析：掌握0-1分布的数学期望计算方法．
难点
重点：离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念和意义．
难点：离散型随机变量均值〔数学期望〕的概念的引出及应用．
教法
学法
先让学生回忆求平均数的相关方法知识，由一般算法到加权平均的引出、比照，然后引出数学期望的概念，通过一些例题来讲解0-1分布、超几何分布、二项分布的数学期望计算方法．
教学过程
教师活动
学生活动
学会运用均值的定义解决问题
学生发现用定义解决问题时计算较复杂，产生要研究一般情况下的结论的动机
学生总结
作业
教后
札记
例2从批量较大的成品中随机取出3件产品进行质量检查，假设这批产品的合格率为，随机变量X表示这3件产品中的合格品数，求随机变量X的数学期望．
分析：二项分布的数学期望计算方法．
例3高三〔1〕班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，2021球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
2018年高中数学 课下能力提升(十八)独立性检验 苏教版选修2-3
课下能力提升(十八) 独立性检验一、填空题1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关) 2．若两个研究对象X和Y的列联表为：则X与Y之间有关系的概率约为________．3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．②从独立性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病．③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．2×2列联．(填“有关”二、解答题6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．查表知P 答案：③4．解析：提出假设H 0：大学生的性别与看不看营养说明无关，由题目中的数据可计算χ2＝72×（28×20－16×8）244×28×36×36≈8.42，因为当H 0成立时，P (χ2≥7.879)≈0.005，这里的χ2≈8.42>7.879，所以我们有99.5%的把握认为大学生的性别与看不看营养说明有关．答案：有关5．解析：由公式得χ2＝168×（68×38－42×20）2110×58×88×80≈11.377>10.828，所以我们有99.9%的把握说，多看电视与人变冷漠有关．答案：99.9%6．解析：提出假设H 0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．由公式得χ2的值为χ2＝189×（64×73－22×30）286×103×95×94≈38.459.∵当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈38.459>10.828，∴有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的． 7．解：提出假设H 0：种子是否灭菌与有无黑穗病无关． 由公式得，χ2＝460×（26×200－184×50）2210×250×76×384≈4.804.由于4.804>3.841，即当H 0成立时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的．8．解：2×2列联表如下提出假设H 0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．根据χ2公式得χ2＝1 500（982×17－493×8）2990×510×1 475×25≈13.097.因为H 0成立时，χ2>10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5.2离散型随机变量的方差和标准差缺答案
2．5。
2离散型随机变量的方差和标准差错误!A,B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70。
20.060.04 B机床次品数X20123P 0。
80.060。
040.1问题1：试求E（X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0。
7＋1×0.2＋2×0。
06＋3×0.04＝0.44。
E（X2)＝0×0.8＋1×0。
06＋2×0。
04＋3×0。
10＝0。
44.问题2：由E（X1）和E（X2）的值说明了什么？提示：E(X1)＝E(X2）．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量?提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差（1)离散型随机变量的方差①定义:设离散型随机变量X的均值为μ, 其概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(x n－μ）2p n(其中p i≥0,i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1）称为离散型随机变量X的方差，也称为X 的概率分布的方差，记为V(X)或σ2。
②变形公式：V（X）＝错误!错误!p i－μ2.③意义:方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．（2）离散型随机变量的标准差X的方差V（X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝错误!.2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X~0－1分布,则V(X）＝p(1－p）；(2)若X ~H (n ,M ，N )，则V （X ）＝错误!；(3)若X ～B （n ，p ），则V (X )＝np (1－p ）．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V （X ）越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．错误!方差和标准差的计算[例1] X 01 x P错误! 错误! p若E (X ）＝23,求V （X ）． ［思路点拨］ 解答本题可先根据错误!i ＝1求出p 值，然后借助E（X）＝错误!,求出x的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由错误!＋错误!＋p＝1，得p＝错误!.又E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋错误!x＝错误!，∴x＝2。
2018版高二数学苏教版选修2-3学案：2.5 离散型随机变量的均值与方差3
§2.5.1离散型随机变量的均值学习目标1．了解离散型随机变量的期望的意义，2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．学习过程一、自学导航1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．如何刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数100分别用表示，的概率分布如下．12,X X 12,X X 1X kp 0.70.10.10.12X kp 0.50.30.22．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二、探究新知1．数学期望定义2．性质三、例题精讲例1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的X X 数学期望．例2 从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为10，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．0.05X 10X ()E X例3 设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假A B 定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．,A B 12四、课堂精练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X 的分布列；（2）求X 的期望．2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．现工地上0.250.01有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1 运走设备，此时需花费元；3800方案2 建一保护围墙，需花费元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，2000损失费为元；60000方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失元，小洪水来临损失60000元．1000试选择适当的标准，对种方案进行比较．五、回顾小结六、课后作业课本， 第1题671,2,3,4P 71P。
高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目(附答案)
高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ①一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)两点分布与二项分布的均值①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p . ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . (2)离散型随机变量的方差、标准差 随机变量X 的分布列为则把D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 叫做随机变量X 的方差，D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ①若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；②若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． (3)离散型随机变量方差的性质 ①D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②D (C )＝0(C 是常数)．一、离散型随机变量的均值1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝C14C33C47＝435.P(X＝6)＝C24C23C47＝1835.P(X＝7)＝C34C13C47＝1235.P(X＝8)＝C44C03C47＝135.随机变量X的分布列为所以E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.注：求离散型随机变量的均值的一般步骤：(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；(2)求随机变量取每一个值的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)根据均值的计算公式求出E(X)．2．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.∴X的分布列为∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是()A．0.2 B．0.8 C．1 D．0解析：选B因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.4．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于()A．4 B．5 C．3 D．4.5解析：选A P(X＝2)＝1C25＝110，P(X＝3)＝C12C25＝210＝15，P(X＝4)＝C13C25＝310，P(X＝5)＝C14C25＝410＝25，故E(X)＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.5．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：(1)从这402名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－C15C115C120C340＝419 494.(2)由题意知X＝0,1,2，P(X＝0)＝C25＋C215＋C220C240＝61156，P(X＝1)＝C15C115＋C115C120C240＝2552，P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝0×61156＋1×2552＋2×539＝115156.二、离散型随机变量均值的性质 1．已知随机变量X 的分布列如下：(1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解： (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3， 所以Y 的分布列如下：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215. 注：若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)，一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (Y )．2．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为12，z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，∴E (z )＝3，又x ＋y ＋z ＝6，∴X ＝x ＋y ＝6－z ， ∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝6－3＝3.3．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 B ．11 C ．2.2 解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.5．已知η＝2ξ＋3，且E (ξ)＝35，则E (η)＝( ) A.35 B.65 C.215 D.125解析：选C E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.三、两点分布、二项分布的均值1．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解： (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝435， P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243. 注：此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．2．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：903．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np .故选B.4．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25. 答案：255．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83.四、均值的实际应用1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解:(1)利润X可以取6,2,1，－2；(2)利用均值的定义求值；(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解．(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.2．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是12，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额，求E(ξ)．解：法一：ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.故ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.法二：设X i 为第i 名学生获得的“支持”数(i ＝1,2,3)，ξi 为第i 名学生获得的“资助”额(i ＝1,2,3)，则X i ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且ξi ＝5X i (i ＝1,2,3)，ξ＝ξ1＋ξ2＋ξ3.因此E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＋E (ξ3)＝5E (X 1)＋5E (X 2)＋5E (X 3)＝3×5×2×12＝15. 3．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B (4，12)． ∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.即实际支出的数学期望为2 100元．4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.五、求离散型随机变量的方差1．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为则E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以，当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. 所以⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.注求离散型随机变量ξ的方差的步骤： (1)理解ξ的意义，明确其可能取值；(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；(3)求ξ取每个值的概率；(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验；(5)根据方差定义求D (ξ).2.了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X 的分布列及其数学期望、方差．解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．P (X ＝0)＝3×3A 44＝38，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝4)＝1A 44＝124.故X 的分布列为∴E (X )＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，D (X )＝(0－1)2×38＋(1－1)2×13＋(2－1)2×14＋(4－1)2×124＝1. 3．已知随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是( ) A.13 B.23 C.59 D.79解析：选C 由分布列的性质可知a ＋b ＋12＝1，∴a ＋b ＝12.又E (X )＝－a ＋12＝13，解得a ＝16，b ＝13，∴D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，求D (X )．解：由题知X ＝6,9,12.P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴X 的分布列为∴E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.六、常见分布的方差1．(1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分．用ξ表示抛掷一枚硬币的得分数，求E (ξ)，D (ξ)；(2)某人每次投篮时投中的概率都是12.若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差；(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X ，求X 的分布列及其均值、方差．解： (1)ξ服从两点分布，抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为12，所以E (ξ)＝12，D (ξ)＝14.(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，所以E (ξ)＝10×12＝5.D (ξ)＝10×12×12＝52. (3)X 可能取的值是0,1,2.P (X ＝0)＝C 02C 33C 35＝110，P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝35，P (X ＝2)＝C 22C 13C 35＝310，所以X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2.D (X )＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，均值E (ξ)为3，标准差D (ξ)为62.(1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：由题意知，ξ～B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0.1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32， 得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12. ξ的分布列为(2)记“得P (A )＝164＋332＋1564＋516＝2132， 所以需要补种沙柳的概率为2132.3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X 表示是否取到白球，即X ＝⎩⎨⎧1(当取到白球时)，0(当取到红球时)，则X 的方差D (X )＝( )A.21100B.750C.110D.310解析：选A 显然X 服从两点分布，P (X ＝0)＝710，P (X ＝1)＝310.故X 的分布列为所以E (X )＝310，故D (X )＝710×310＝21100.4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝( )A.34B.89C.38D.25解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为13，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则D (X )＝4×13×23＝89.5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (X )＝24，则D (X )的值为( )A ．8B ．12 C.29 D ．16解析：选A 由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴E (X )＝23n ＝24. ∴n ＝36.∴D (X )＝36×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝8.6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差． 解：(1)易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.七、离散型随机变量的均值与方差的应用1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表所示．A机床B机床问哪一台机床加工的质量较好？解：由表中数据可知，E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以它们的期望相同，再比较它们的方差．D(X1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，D(X2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.926 4.因为0.606 4<0.926 4，所以A机床加工的质量较好．2．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，甲运动员参加较好．4．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有P (X <300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.巩固练习：1．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18解析：选A 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13.故选A.2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为()A.323 B.283 C.143 D.163解析：选D由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<23，0<b<1.2 a＋13b＝3a＋2b2⎝⎛⎭⎪⎫2a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝16 3，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，故2a＋13b的最小值为163.故选D.3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A.37 B.47 C.27 D.17解析：选B当k＝±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时d＝1 3；当k＝±3时，d＝12；当k＝±52时，d＝23；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以E(ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，所以E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案：475．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：由P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p )(1－p )＝112可得p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝32舍去， 从而P (X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝23·C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16. 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：536．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，则P(A)＝1－C16C15C110C110＝1－30100＝710.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C26C210×C15C110＝16，P(X＝1)＝C14C16C210×C15C110＋C26C210×C15C110＝1330，P(X＝2)＝C24C210×C15C110＋C14C16C210×C15C110＝13，P(X＝3)＝C24C210×C15C110＝115，所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×16＋1×1330＋2×13＋3×115＝1310.7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P (A )＝1－P (A )＝0.91.8．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)＝( ) A ．3×2－2 B ．3×2－10 C ．2－4 D ．2－8解析：选B 由E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3，得p ＝12，n ＝12，所以p (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210＝3×2－10.故选B. 9．设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，现已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选C 由题意得P (X ＝x 1)＋P (X ＝x 2)＝1，所以随机变量X 只有x 1，x 2两个取值，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29.解得x 1＝1，x 2＝2x 1＝53，x 2＝23舍去，所以x 1＋x 2＝3，故选C.10．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为则E (X )的最大值是．解析：由分布列的性质可知p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，则E (X )＝p ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，故E (X )的最大值为32.∵D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p (p ＋1)2＋p (p ＋1－1)2＋12(p ＋1－2)2＝－p 2－p ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋54，又p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴当p ＝0时，D (X )取得最大值1. 答案：32 111．已知随机变量X 的分布列为①E (X )＝－13；②E (X ＋4)＝－13；③D (X )＝2327； ④D (3X ＋1)＝5；⑤P (X >0)＝13.解析：E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，E (X ＋4)＝113，故①正确，②错误．D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，D (3X ＋1)＝9D (X )＝5，故③错误，④正确．P (X >0)＝P (X ＝1)＝16，故⑤错误．答案：212．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1(万元)和Y 2(万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )取最小值3.。
2020高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十五)离散型随机变量的均值-含解析
(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．
答案
1．解析：由随机变量分布列的性质得，＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
于是，X的概率分布为
X
－2
－1
0
1
2
P
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
答案：－
2．解析：∵X～B(n，0.6)，E(X)＝3，
P(X＝2)＝C×0.52×0.62＋CC×0.52×0.4×0.6＋C×0.52×0.42＝0.37，
P(X＝3)＝C×0.52×0.4×0.6＋CC×0.52×0.42＝0.2，
P(X＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到X的概率分布列为
X
0
1234P0.090.3
0.37
0.2
0.04
7．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值．
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
－1
0
1
2
P
m
则E(X)＝________．
2．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝________．
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第1章章末小结与测评含答案
1一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意，完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1）A错误!＝n（n－1)(n－2)…（n－m＋1），规定A错误!＝1.当m＝n时，A错误!＝n（n－1)(n－2）·…·3·2·1.（2）A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！,0！＝1。
三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3）分析题目条件，避免“选取"时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理,通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1）特殊元素优先安排的策略;(2)合理分类和准确分步的策略;（3)排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；(7）定序问题除法处理的策略;（8）分排问题直排处理的策略；（9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式(a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1,2，…,n）称为二项式系数,第r ＋1项C r n a n－r b r称为通项．[说明]（1）二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a，b的取值有关．（2）运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数）．2．二项式系数的性质（1）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C错误!＝C错误!.(2)增减性与最大值：当r<错误!时,二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时,展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n最大;当n是奇数时，展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n，C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n,即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…。
苏教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差和标准差》参考教案2
备课 时间教学 课题教时 计划1教学 课时1教学 目标 （1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．重点难点 理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题．教学过程一．问题情境甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．1X 0 1 2 3k p0.7 0.10.10.1 2X 0 1 2 3k p0.50.30.2二．学生活动如何比较甲、乙两个工人的技术？我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 三．建构数学1．一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如表所示：X 1x2x…n xP1p2p…n p则2()(())i x E X μμ-=描述了(1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度，故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2σ． 2．方差公式也可用公式221()ni i i V X x p μ==-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差，即()V X σ=．思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 四．数学运用 1．例题：例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X 和标准差()V X ．X 0 1P1p -p解：因为0(1)1p p p μ=⨯-+⨯=，所以22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-，()(1)V X p p =-例2．求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差． 解：第2.5.1节例1中超几何分布如表所示：X 012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751数学期望53μ=，由公式221()ni i i V X x p μ==-∑有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 2047500.9579213759=≈故标准差 0.9787σ≈．例3．求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差． 解：：0.05p =，则该分布如表所示：X 0 1 2345k p 001010(1)C p p - 11910(1)C p p -22810(1)C p p -33710(1)C p p -44610(1)C p p -55510(1)C p p -X 6 7 8910k p 66410(1)C p p - 77310(1)C p p -88210(1)C p p -99110(1)C p p -1010010(1)C p p -由第2.5.1节例2知()0.5E X μ==，由221()ni i i V X x p μ==-∑得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5C C C σ=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-0.7250.250.475≈-= 故标准差0.6892σ≈．说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)X H n M N 时，2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-，当~(,)X B n p 时，()(1)V X np p =-． 例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X 甲80 90 100概率0.2 0.6 0.2试分析两名学生的答题成绩水平．解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：X E ⨯⨯⨯甲（）=800.2+900.6+1000.2=90，X E ⨯⨯⨯乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下：222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240V X =-⨯+-⨯+-⨯=甲乙分数X 乙80 90 100概率 0.4 0.20.4222V X=-⨯+-⨯+-⨯=()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480乙由上面数据可知()(),()()，这表明，甲、乙两人所得分数的平=<E X E X V X V X乙乙甲甲均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大．2．练习：五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法课外作业教学反思。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．已知随机变量ξ满足(ξ)＝，则ξ的标准差为．【解析】＝＝.【答案】．设随机变量ξ可能取值为，且满足(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(ξ)＝.【解析】由题意可知，随机变量ξ服从两点分布，故(ξ)＝×＝.【答案】．随机变量ξ的取值为.若(ξ＝)＝，(ξ)＝，则(ξ)＝. 【导学号：】【解析】设(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(\\(＋＝()，＋＝，))⇒(\\(＝()，, ＝()，))所以(ξ)＝(－)×＋(－)×＋(－)×＝.【答案】．若ξ～，且η＝ξ＋，则(ξ)＝，(η)＝.【解析】∵ξ～，∴(ξ)＝××＝.(η)＝(ξ＋)＝(ξ)＝.【答案】．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的均值是．【解析】法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在次试验中成功次数的可能取值为，则(＝)＝，(＝)＝××＝，(＝)＝＝.所以在次试验中成功次数的分布列为()＝×＋×＋×＝.法二：此试验满足二项分布，其中＝，所以在次试验中成功次数的均值为()＝＝×＝.【答案】．随机变量ξ的分布列如下：】【解析】由题意得＝＋①，＋＋＝②，－＝③，以上三式联立解得＝，＝，＝，故(ξ)＝.【答案】．设一次试验成功的概率为，进行次独立重复试验，当＝时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为．【解析】成功次数ξ～(，)，∴(ξ)＝(－)≤×＝.当且仅当＝－，即＝时，取得最大值＝.【答案】．一次数学测验由道选择题构成，每个选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得分，不作出选择或选错不得分，满分分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数(成绩)为，则＝.由题知～()，所以()＝×＝，()＝××＝，()＝()＝()＝，()＝()＝×()＝×＝，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是与.【答案】二、解答题．设在个同类型的零件中有个是次品，每次任取个，共取次，设ξ表示取出次品的个数．()若取后不放回，求ξ的均值(ξ)和方差(ξ)；()若取后再放回，求ξ的均值(ξ)和方差(ξ)．。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第2章 章末小结 知识整合与阶段检测
[对应学生用书P45]一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P (AB )P (B ).(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝mn.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k qn －k ，k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p .二、随机变量的分布列1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的分布列 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X 的概率分布为：则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时， E (X )＝nMN ，V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：则E (X )＝________.解析：∵k ＋2k ＋3k ＝1，∴k ＝16，∴E (X )＝1×16＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：732．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝________.解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×35＝15.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为 P ＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫1－232＝3×23×19＝29. 答案：294．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝⎛⎭⎫23k (k ＝1,2,3)，则a ＝________. 解析：依题意得a ⎣⎡⎦⎤23＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12. 答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0,2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， ∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1,2)，(1,3)，…(1,6)，(2,1)，(2,3)，…(2,6)，…(6,1)，…(6,5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13.答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6,1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.答案：2310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________. 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的数学期望为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B (3，25)，所以E (X )＝3×25＝65.答案：6513.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为 P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：1314．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值． 解：(1)X 的可能取值为1,2,3， P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B (5，35)，所以E (X )＝5×35＝3.17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率； (2)求X 的分布列和期望．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122×12＝516. (2)由题意知，X 可能取值为4,5,6,7， P (X ＝4)＝2×C 44×⎝⎛⎭⎫124＝18， P (X ＝5)＝2×C 34×⎝⎛⎭⎫123×12×12＝14， P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫123×12＝516， 故X 的分布列为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的概率分布、数学期望和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的概率分布为：所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.19．(本小题满分16分)(天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝r )＝C r 4·C 3－r 6C 310(r ＝0,1,2,3)．所以，随机变量X 的分布列是随机变量X E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝A B∪A B，A，B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.P(C)＝(A B)＋P(A B)＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E(X)＝x.。
高中数学课下能力提升十七正态分布苏教版选修2_3
课下能力提升(十七) 正态分布一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．2．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．4. 右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________．5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．二、解答题6. 如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？8．若随机变量X ～N (0，1)，查表求：(1)P (0<X ≤2.31)；(2)P (1.38≤x <0)；(3)P (|X |<0.5)．答案1．解析：正态曲线关于直线x ＝μ对称，当曲线关于y 轴对称时，说明μ＝0.答案：02．解析：∵P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )，∴（a ＋b ）＋（a －b ）2＝1.∴a ＝1. 答案：13．解析：∵随机变量X 服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (X ＞2)＝0.023.∴P (X ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100，102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝ ⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023， ∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.答案：236．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10， 于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －（x －72）2200，x ∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.7．解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60，100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，最新中小学教案、试题、试卷∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0<x<x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P(60－2×10<x<60＋2×10)＝0.954 4.∴x＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．解：(1)P(0<X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5.1离散型随机变量的均值缺答案
_2。
5随机变量的均值和方差2．5。
1 离散型随机变量的均值错误!设有12个西瓜,其中4个重5 kg,3个重6 kg，5个重7 kg.问题1:任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示:x＝5，6,7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：错误!，错误!，错误!。
问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示?提示：5×错误!＋6×错误!＋7×错误!。
1．离散型随机变量的均值（或数学期望）（1）定义：若离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E（X)或μ，即E（X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.其中，x i是随机变量X的可能取值，p i是概率，p i≥0，i＝0,1,2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1.（2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．2．两种常见概率分布的均值(1）超几何分布:若X~H(n，M,N）,则E（X）＝错误!。
(2)二项分布：若X~B(n，p），则E（X）＝np.1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平,又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量,它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．［对应学生用书P38］求离散型随机变量的数学期望[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；(2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3）设X为取出的4个球中红球的个数，求X的分布列和数学期望．［思路点拨］首先确定X的取值及其对应的概率,然后确定随机变量的概率分布及数学期望．［精解详析] （1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球"为事件B。
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课下能力提升(十五) 离散型随机变量的均值
一、填空题
1
则E (X )＝________．
2．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________．
3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________． 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________．
二、解答题
6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？
7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为1
2，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独
立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．
答案
1．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝1
6，
于是，X
所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－17
30.
答案：－17
30
2．解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.
∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44
＝0.076 8. 答案：0.076 8
3．解析：依题意X
所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.7
4．解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)，
则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17
C 210＝715
，
P (X ＝2)＝C 23
C 210＝115
，
∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝3
5.
答案：3
5
5．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27
125，
P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8
125，
故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5.
答案：6
5
6．解：
根据均值公式，得
E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. ∵E (Y )＞E (X )，
∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大． 7．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52
×0.4×0.6＝0.3，
P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42
＝0.37，
P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42
＝0.2， P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X 的概率分布列为
所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
8．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝1
2
，
设在x m 处击中目标的概率为P (x )， 则P (x )＝k x 2，且12＝k
1002，
∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000
x 2，
∴P (B )＝5 0001502＝2
9，
P (C )＝5 0002002＝18
，
P (D )＝12×79×78＝49144
.
由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率 P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －
·C ) ＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝1
2＋⎝⎛⎭⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎫1－12·⎝⎛⎭⎫1－29·18＝95144
. (2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12，
P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7
144，
P (X ＝0)＝49
144
.
所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝85
48.。